范文一：用导数求值域的方法证明高考不等式

欲证不等恒成立，差值函数求值域

(南宁许兴华选编)

对于比较简单的不等式恒成立证明问题，往往采取构造差值函数，结合判断正负的方法进行解决。下面我们以几道高考试题为例，谈一下这类问题的解决方法。

一.高考真题解析

[谋定思路有方向]

由导数公式，将已知不等式转化为关于a的不等式:

则a不小于lnx-x的最大值.而求这个函数的最值恰是导数的强项.

由符号法则可知，不等式

适当变形，构造出新的函数，从何获得证明.

[规范解答不失分]

【解后反思要升华】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了学生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想。

问题（I）求函数a的取值范围，其基本思路是将已知不等式

多次等价转换，分离出参数a，转而利用

的最大值（如果g(x)存在最大值）”，原问题转化为求函数g(x)的最大值;或者将原不等式等价转化为不等式

的最大值不大于零。而求函数的最值恰好发挥了导数的解题功能。

对于问题（II），一个非常自然的想法是分两种情况讨论f(x)的符号，这是通法，方法1恰好支持了这一观点;如果换个角度思考，讨论f(x)=(x+1)lnx-x+1的符号，实质上就是讨论（x+1）[lnx-(x-1)/(x+1)]的取值符号。注意到p(1)=0,下面的思路就自然产生了:p(1)是函数p(x)的最值吗？如果是，那么函数p(x)就有统一的取值符号；如果不是，我们在看p(x)是否是单调函数？如果是，那么函数p(x) 在x=1左右两侧的取值符号也清楚了。这种有序的猜想、尝试、证明等思维方式，正是破解综合问题应有的基本数学素养。

【变式思考1】我们能否从问题（I）的解决过程中抽象出对我们有用的结论呢？

实际上，问题（I）的解决过程为我们提供了一个非常重要的不等式命题:

显然,上述方法揭示出本题两问的内在联系，充分利用已有的结果和特殊与一般的辩证关系，使得第（II）问的解决如行云流水！从中你是否体会到数学思维的美妙？

间接，美妙的解法源于对问题本质的理解和对解题过程的变式感悟。如果不能发现不等式命题：

想要获得上述解法是不可想象的。

【变式思考2】

【21.2 ?变式练习】

范文二：求导数

def? func(coeff):

sum=''

for key? in coeff:

sum=sum+'+'+str(key)+'*'+'x'+'**'+str(coeff[key])

return sum[1:]

from sympy import *

from sympy.core.sympify import SympifyError

expr = func({2:0,3:1,4:2,5:7})

x = Symbol("x")

sexpr = sympify(expr)

print diff(sexpr, x)

print diff(sexpr, x).subs('x',3)

使用字典来完成这件事

(2+3*x+4*x**2+7*x**3.7).diff(x).subs({x:3}).evalf()

范文三：求解析式求值域

求函数解析式求函数值域的几种方法

求函数解析式

一待定系数法

例1：. 设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，

图象过点(0，3) ，求f(x)的解析式。

变式：已知二次函数f (x ) 的二次项系数为a ，且不等式f (x ) >-2x 的解集为（1，3），方程f (x ) +6a =0有两个相等的实根，求f (x ) 的解析式。

二配凑法

例2

：已知f 1) =x +求f (x ) 的解析式。

变式：已知f (x -) =x +1

x 21, 求f (x ) . 2x

三换元法（注意：换元后要确定新元t 的取值范围）。

例3：已知f

2变式：已知f (x -1) =x +2，求f (x ) 的解析式 x +2=-x +3x +2，求f (x ) 的解析式 )

四消元法 （此方法的实质是解函数方程组）。

例4：设设f (x)满足2x f (x)－3f (

1) = x2+ 1求f (x ) 的解析式。 x

变式：已知定义在R 上的函数f (x ) 满足f (-x ) +2f (x ) =x +1，求f (x ) 的解析式。

五赋值法

例5：已知f (0)=1, f (a -b ) =f (a ) -b (2a -b +1), 求f (x ) 。

六“即时定义”法

例6. 对定义域分别是D f 、D g 的函数y =f (x ), y =g (x ) ，规定：函数

?f (x ) ?g (x ), 当x ∈D f 且x ∈D g ??h (x ) =?f (x ), 当x ∈D f 且x ?D g ,

???g (x ), 当x ?D f 且x ∈d g 若f (x ) =1, g (x ) =x 2

x -1，写出函数h (x ) 的解析式。

当堂练习

1． 已知f (x )= x -2x ，求f [f (x )]的解析式． 2

2．已知f (x -1) ＝x +2x +3，求f (x ) 的解析式．

3. 已知f (x ) 是二次函数，且f (x +1)+f (x -1)=2x 2-4x +4，求f (x ) ．

4. 已知f (x ) -2 f (－x ) ＝x ，求函数f (x ) 的解析式．

6．设对任意数x ，y 均有f (x +y )=2f (y )+x +2xy -y +3x +3y ， 222

求f （x ）的解析式．

求函数值域

一

观察法（适用于较简单的函数，从解析式观察，利用如x ≥0，x 2≥00等，直接得出它的值域）．

2例1求函数y =4-x 的值域 变式：求函数f (x ) =-2的值域 2x +1

二配方法

y =的值域。 例2. 求y =x -x +1x ∈[0, 3)的值域

变式：求函数2

三反解法

x -1y =(x ≥-4) 2x +1x +2例3. 求函数y =的值域. 变式：求函数的值域。 x -3

四分离常数法

x 2-x 2x 2-1例4. 求y =2的值域 变式：求函数y =2的值域 x -x +1x +1

五换元法（注意新元的范围）

例5.

求y =6x +1+ 变式：求函数y =x -2x +3的值域。

六图像法

例6. 求函数

y =x -3-x +1的值域。

当堂练习：求下列函数的值域

1. y =3x +1， x ∈{1，2，3，4，5 }． 2. y =x 2-4x +6，x ∈[1,5)．

3. y =2x 4. y =

5. y =2x 2-4x +3． 6.

y =x

x ． x ∈[2, +∞) x +1

2x +12x 2+4x -77. y＝． 8. y =2． x -3x +2x +3

?x +2x ∈(-∞, -1]?2 9.y =x -3+x +7． f (x ) =?x x ∈(-1, +1)

?1x ∈[1, +∞)?

范文四：求值域讲座

名师典范 专题讲座 杨老师 13193131676

求函数值域方法 函数值域方

求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一,也是考试的热点和难点之一. 基本知识 1. 定义:因变量 y 的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合) . 2. 函数值域常见的求解思路: ⑴.划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解. ⑵.反解函数,将自变量 x 用函数 y 的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数 y 的不等式,解不等式即可获解. ⑶. 可以从方程的角度理解函数的值域, 如果我们将函数 y = f ( x) 看作是关于自变量 x 的方程,在值域中任取一个值 y0 , y0 对应的自变量 x0 一定为方程 y = f ( x) 在定义域中的 一个解,即方程 y = f ( x) 在定义域内有解;另一方面,若 y 取某值 y0 ,方程 y = f ( x) 在 定义域内有解 x0 ,则 y0 一定为 x0 对应的函数值.从方程的角度讲,函数的值域即为使关 于 x 的方程 y = f ( x) 在定义域内有解的 y 得取值范围. 特别地,若函数可看成关于 x 的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域 内有解的条件,利用判别式求出函数的值域. ⑷.可以用函数的单调性求值域. ⑸.其他. 3. 函数值域的求法 在以上求解思路的引导下,又要注意以下的常见求法和技巧: ⑴.观察法;⑵.最值法;⑶.判别式法;⑷.反函数法;⑸.换元法;⑹.复合函 数法; ⑺. 重要不等式法; ⑻. 利用函数的单调性; ⑼. 利用三角函数的有界性; ⑽. 图 象法;⑾.配方法;⑿.比例法; (13)数形结合法. 一.观察法:由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法.

1,利用非负数的性质 , 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域. 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域. 例 1-1,(1)求函数 y = 16 x 2 的值域. (2)求函数 y = 解析:(1)∵ 0 ≤ 16 x 2 ≤ 16 , ∴ 0 ≤ 16 x 2 ≤ 4 解析: 故 所求函数的值域为 y ∈ [0,] . 4

(2)∵ x 2 + 1 > 0 ,∴ 原函数可化为 y ( x 2 + 1) = x 2 3 ,即 x 2 (1 y ) = y + 3 ,

x2 3 的值域. x2 + 1

第 1 页 共 11 页

名师典范 专题讲座 杨老师 13193131676

当 y ≠ 1 时, x 2 =

y+3 y+3 , ∵ x 2 ≥ 0 ,∴ ≥ 0 ,解得 3 ≤ y ≤ 1 1 y 1 y

又 y ≠ 1 , 所以 3 ≤ y 对于含有绝对值(或分段)函数,若函数图象比较易作出, 对于含有绝对值(或分段)函数,若函数图象比较易作出,则利用函数图象 能较快的求出其值域. 能较快的求出其值域. 例 1-2,求函数 y =| x 2 | | x + 1 | 的值域. 解析: 解析:去掉绝对值符号得 :

x 2 ( x + 1) = 3( x > 2) y = 2 x ( x + 1) = 2 x + 1(1 ≤ x ≤ 2) . 2 x + ( x + 1) = 3( x 画出函数的图象(如图) :由函数的图象可得,原 函数

的值域为 y ∈ [3, . 3]

二.最值法: 对于闭区间上的连续函数, 利用函数的最大值, 最小值求函数的值域的方法. 例 2-1:求函数 y = 2 x , x ∈ [ 2, 2] 的值域.

1 4 , 4

第 2 页 共 11 页

名师典范 专题讲座 杨老师 13193131676

例 2-2:求函数 y = 2 x 2 + 5 x + 6 的值域. 三.判别式法:通过二次方程的判别式求值域的方法.

73 ∞, 8

利用判别式法 的一元二次方程, 看成相应的系数, 将函数表达式转化为关于 x 的一元二次方程,把 y 看成相应的系数,因为方 程 有 实 根 , 由 判 别 式 ≥0 , 求 得 函 数 的 值 域 , 此 法 常 用 于

y= ax 2 + bx + c 2 (a + d 2 ≠ 0) 的有理分式函数的值域探求问题. 的有理分式函数的值域探求问题. 2 dx + ex + f x2 +1 的值域. x2 + x +1

例 3-1,求函数 y =

解析: 解析:由于函数的定义域为 R , 所以去分母整理得: (1 y ) x 2 yx + (1 y ) = 0 , 当 y ≠ 1 时, = (1 y ) 2 4(1 y )2 ≥ 0 ,

2 ≤ y ≤ 2, 3 2 又当 y = 1 时, x = 0 ,∴ y ∈ [ ,] . 2 3

即 3 y 2 8 y + 4 ≤ 0 ,解得:

例 3-2: 求函数 y =

2x +1 的值域. x 2x + 2

2

( ∞, 1) ∪

1 , +∞ 2

四.反函数法:利用求已知函数的反函数的定义域,从而得到原函数的值域的方法.

利用互为反函数的性质 因为原函数的值域与其反函数的定义域相同, 因为原函数的值域与其反函数的定义域相同,所以可由求其反函数的定义 域来确定原函数的值域. 域来确定原函数的值域.

例 4-1,求函数 y =

a x + ax (a > 0且a ≠ 1) 的值域. a x a x

解析: 解析:已知函数的反函数为 f 1 ( x) = 由

x +1 > 0 ,解得 x > 1或x

1 x +1 log a (a > 0且a ≠ 1) 2 x 1

+ 故 所求函数的值域为 y ∈ (∞, 1) ∪ (1, ∞) .

第 3 页 共 11 页

名师典范 专题讲座 杨老师 13193131676

五.换元法:通过对函数恒等变形,将函数化为易求值域的函数形式来求值域的方法.

某些函数通过换元,可使其变为我们熟悉的函数,从而求得其值域, 某些函数通过换元,可使其变为我们熟悉的函数,从而求得其值域, 但在代换时应注意等价性. 但在代换时应注意等价性. 例 5-1,求函数 y = 2 x 3 + 13 4 x 的值域. 解析: 解析:令 13 4 x = t , t ≥ 0 ,则 x =

13 t 2 , 4

1 7 1 ∴ y = t 2 + t + = (t 1) 2 + 4 ≤ 4 ,当且仅当 t = 1时取等号, 2 2 2

故 所求函数的值域为 y ∈ (∞,] . 4

例 5-2:求函数 y = x 1 2 x 的值域.

1 ∞, 2

六.复合函数法:对函数 y = f (u ), u = g ( x ) ,先求 u = g ( x ) 的值域充当 y = f (u ) 的定义 域,从而求出 y = f (u ) 的值域的方法. 例 9: 求函数 y = log 1 ( 2 x + 5 x + 3) 的值域.

2 2

49 8 , +∞

七.利用重要不等式求值域:

第 4 页 共 11 页

名师典范 专题讲座 杨老师 13193131676

对于非基本函数,若所给函数表达式符合均值不等式,可试用此法. 对于非基本函数,若

所给函数表达式符合均值不等式,可试用此法. 1 例 7-1,求函数 y = x 2 (1 3 x)(0 ≤ x ≤ ) 的值域. 3 1 1 解析: 解析:当 0 ≤ x ≤ 时,y ≥ 0 ,当 x = 0或x = 时,y = 0 3 3

1 4 3x 3x 当 0

3x 3x + + (1 3x) 4 2 4 2 ≤ . = 9 3 243

2 当且仅当 x = 时等号成立. 9 4 故 所求函数的值域为 y ∈ [0, ] . 243

例 7-2:求函数 y = x +

3

1 的值域. x 1 例 7-3:求函数 y = 2 x + 2 ( x > 0) 的值域. x

x + 1 x 1 的值域.

( ∞, 2] ∪ [ 2, +∞ )

[3, +∞ )

八.利用函数的单调性: 例 8-1:求函数 y = 提示:y =

2 , ≥1 , x ∴ x + 1, x 1 都是增函数, y = x + 1 x 1 故 x +1 + x 1

是减函数,因此当 x = 1 时, ymax =

2 ,又∵ y > 0 ,∴ y ∈ 0, 2 .

(

例 8-2:求函数 y = x 1 2 x 的值域. 略 解 : 易 知 定 义 域 为 ∞, , 而 y = x 1 2 x 在 ∞, 上 均 为 增 函 数 , ∴ 2 2

1

1

1 1 1 1 y ≤ 1 2i = ,故 y ∈ ∞, 2 2 2 2

利用函数的单调性由函数的定义域先求出内函数的值域, 利用函数的单调性由函数的定义域先求出内函数的值域,再进一步求出外 函数的值域(此法对求复合函数的值域非常适用). 例 8-3,(1)求函数 y = 2 x 5 + log 3 x 1(2 ≤ x ≤ 10) 的值域.

第 5 页 共 11 页

名师典范 专题讲座 杨老师 13193131676

1 (2)求函数 y = log a [1 ( ) x ],x ∈ (0,,

x 1 ,由于 y1,y 2 在[2, ] 上均为增函数,所以 10

y = y1 + y 2 在 [2, ] 也是增函数, 10

1 所以 y min = 2 3 + log 3 2 1 = , y max = 2 5 + log 3 9 = 33 8 1 故 所求函数的值域为 y ∈ [ , ] . 33 8 1 1 1 (2) 令 t = ( ) x , ∵ x ∈ (0, , 则 t = ( ) x 在 R 上 递 减 , ∴ t ∈ ( , , 1) 1) 2 2 2 1 1 1 t ∈ (1, ) ,再令 u = 1 t ∈ (0, ) ,又 y = log a u在(0, ) 上递减, 2 2 2 故 所求函数的值域为 y ∈ (log a , ∞) +

对 于 形 如 f ( x) =

ax + b 2 ax 2 + bx + c 2 (a + c 2 ≠ 0)或f ( x) = 2 ( a + d 2 ≠ 0) 的 有 cx + d dx + ex + f

理分式函数均可利用部分分式发求其值域. 理分式函数均可利用部分分式发求其值域. 例 8-4,(1)求函数 y = 解析: 解析:(1) 因为 y = 3x 1 x2 x 的值域. (2)求函数 y = 2 的值域. x +1 x x +1

3 x 1 3 x + 3 4 3( x + 1) 4 4 = = = 3 ≠ 3, x +1 x +1 x +1 x +1

故 所求函数的值域为 y ∈ (∞, ∪ (3, ∞) (此题也可用反函数法求解) 3) +

x2 x x2 x +11 1 1 = = 1+ 2 = 1+ (2) 因为 y = 2 , 2 1 2 3 x x +1 x x +1 x x +1 (x ) + 2 4

1 3 3 1 3 1 而 ( x ) 2 + ≥ ,所以 0

第 6 页 共 11 页

名师典范 专题讲座 杨老师 13193131676

九.利用函数的有界性:

由于三角函数具有有界性: | 由于三角函数具有有界性:| sin x |≤ 1,cos x |≤ 1 ,这一性质在求有关函数的

值域中有其独特的重要作用. 值域中有其独特的重要作用. 3 sin x 3 例 9-1,求函数 y = 的值域. 2 cos x + 10 解析:由于 2 cos x + 10 ≠ 0 ,所以 去分母整理得: 3 sin x 2 y cos x = 10 y + 3 , 解析:

∴ 9 + 4 y 2 sin( x ) = 10 y + 3(tan = 2y 10 y + 3 ) ,则 sin( x ) = . 2 3 9 + 4y

由 | sin( x ) |≤ 1 ,得

10 y + 3 9 + 4y

2

≤ 1 ,解得:

5 ≤ y ≤ 0, 8

5 故 所求函数的值域为 y ∈ [ ,] 0 8

例 9-2:求函数 y =

2 cos x + 1 的值域. 3cos x 2

2 sin x 的值域. 2 + sin x

1 ∞, ∪ [3, +∞ ) 5 1 3 , 3

例 9-3:求函数 y =

十.图象法:如果可能做出函数的图象,可根据图象直观地得出函数的值域(求某些分段 函数的值域常用此方法) . 例 10-1:求函数 y = x 3 x + 1 的值域.

[ 4, 4]

十一.配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函 数值域. 例 11-1:求函数 y =

x 2 + x + 2 的值域.

第 7 页 共 11 页

名师典范 专题讲座 杨老师 13193131676

点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求. : 解:由 x + x + 2 ≥ 0 ,可知函数的定义域为 x∈[-1,2].此时

2

1 9 9 x 2 + x + 2 = ( x )2 + ∈ 0, 2 4 4

∴ 0 ≤ x + x + 2 ≤

2

3 3 ,函数的值域是 0, . 2 2

十二.比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求 出原函数的值域. 例 12-1 已知 x,y∈R,且 3x-4y-5=0,求函数 z=x2+y2 的值域. 点拨:将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式,设置参数,代入原函数. 解:由 3x-4y-5=0 变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1. 当 k=-3/5 时,x=3/5,y=-4/5 时,zmin=1. 函数的值域为{z|z≥1}. 点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数, 可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识. 练习: 已知 x,y∈R, 且满足 4x-y=0,求函数 f(x,y)=2x2-y 的值域. (答案: {f(x,y)|f(x,y)≥1} ) 十三.数形结合法:根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合. 例 13-1:求函数 y =

x 2 + 4 x + 5 + x 2 4 x + 8 的值域.

点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域. 解:原函数变形为 f ( x ) =

( x + 2)2 + 1 + ( x 2)2 + 2 2

作一个长为 4,宽为 3 的矩形 ABCD,再切割成 12 个单位 正方形.设 HK= x ,则 EK=2 x ,KF=2 + x ,AK= ( x 2) + 2 ,

2 2

KC= ( x + 2) + 1 .

2

由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当 A,K,C 三点共 线时取等号. ∴原函数的知域为{y|y≥5} .

第 8 页 共 11 页

名师典范 专题讲座 杨老师 13193131676

第 9 页 共 11 页

名师典范 专题讲座 杨老师 13193131676

第 10 页 共 11 页

名师典范 专题讲座 杨老师 13193131676

杨老师寄语:在数学学习中般要搞题海战术,要一题多解,做一

道题要有收获, 杨老师寄语:在数学学习中般要搞题海战术,要一题多解,做一道题要有收获,也就 般要搞题海战术 题多解 是要搞懂. 题多方寻找解体途径,我们就可以对各种解法给予评价 考试时就 对各种解法给予评价, 是要搞懂.一道题多方寻找解体途径,我们就可以对各种解法给予评价,考试时就能快速 选择最好的解题方法 最好的解题方法. 选择最好的解题方法.

第 11 页 共 11 页

范文五：用配方法求值域

用配方法求值域

一、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域 二、例题讲解

21、求函数的值域。 y,2,,x，4x(x,,0,4,)

22设:配方得:利用二次函数的f(x),,x，4x(f(x),0)f(x),,(x,2)，4(x,,0,4,)相关知识得，从而得出:。 ,,,,f(x),0,4y,,2,2

说明:在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为:。 f(x),0

2,x，4x,32、求函数的值域。 y,e

2u解答:此题可以看作是u,,x，4x,3和两个函数复合而成的函数，对配方可得:uy,e

u2u,1，得到函数的最大值，再根据得到为增函数且故uy,0y,eu,,(x,2)，1y

2,x，4x,3函数的值域为:。 y,(0,e]y,e

3、若，试求的最大值。 x，2y,4,x,0,y,0lgx，lgy

本题可看成一象限动点在直线上滑动时函数的最大p(x,y)x，2y,4lgx，lgy,lgxy值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得:

2，y=1时，x,(0,4),y,(0,2),而lgx，lgy,lgxy,lg[y(4,2y)],lg[,2(y,1)，2

取最大值lg2。 lgx，lgy

转载请注明出处范文大全网 » 用导数求值域的方法证明高考不