小明________________
范文一：函数的概念与性质
第二章 函数与基本初等函数I 第一节 函数的概念与性质
2009年高考题
1. （2009全国卷Ⅰ理）函数f (x ) 的定义域为R ，若f (x +1) 与f (x -1) 都是奇函数，则( ) A. f (x ) 是偶函数 B.f (x ) 是奇函数 C. f (x ) =f (x +2) D.f (x +3) 是奇函数 3. （2009浙江文）若函数f (x ) =x 2+
a x
(a ∈R ) ，则下列结论正确的是（ ）
A. ?a ∈R ，f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数B. ?a ∈R ，f (x ) 在(0,+∞) 上是减函数 C. ?a ∈R ，f (x ) 是偶函数 D.?a ∈R ，f (x ) 是奇函数
?log 2(1-x ), x ≤0
5.(2009山东卷理) 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x)= ?，
f (x -1) -f (x -2), x >0?
则f （2009）的值为
A.-1 B. 0 C.1 D. 2 7. (2009山东卷文) 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x)= ?
( )
?log 2(4-x ),
x ≤0
?f (x -1) -f (x -2), x >0
，
则f （3）的值为 ( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2
8.(2009山东卷文) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x -4) =-f (x ) , 且在区间[0,2]上是增函数, 则 ( ). A. f (-25)
(x≤0) 的反函数是
22
22
（ ）
（A ）y =x （x ≥0） （B ）y =-x （x ≥0） （B ）y =x （x ≤0） （D ）y =-x （x ≤0） 10. （2009全国卷Ⅱ文）函数y=y =log 2
2-x 2+x
的图像 （ ）
（A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y =-x 对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y =x 对称 11. （2009
全国卷Ⅱ文）设a =lg e , b =(lge ) , c =lg
x
2
（ ）
（A ）a >b >c （B ）a >c >b （C ）c >a >b （D ）c >b >a
12. （2009广东卷理）若函数y =f (x ) 是函数y =a (a >0, 且
a ≠1) 的反函数，其图像经过点a ) ，则
f (x ) =
2
（ ）
A. log 2x B. log 1x C.
2
12
x
D. x
（ ）
2
14. （2009安徽卷理）设a ＜b, 函数y =(x -a ) (x -b ) 的图像可能是
16. （2009
江西卷文）函数y =
x
的定义域为 （ ）
A ．[-4,1] B ．[-4, 0) C ．(0,1] D ．[-4, 0) (0,1]
17. （2009江西卷文）已知函数f (x ) 是(-∞, +∞) 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x +2）=f (x ) ，且当，则f (-2008) +f (2009)的值为 x ∈[0,2) 时，f (x ) =log 2(x +1）
A ．-2 B．-1 C ．1 D ．2 19. （2009
江西卷理）函数y =
（ ）
的定义域为 ( )
A ．(-4, -1) B ．(-4,1) C ．(-1,1) D ．(-1,1]
?x 2-4x +6, x ≥0
21. （2009天津卷文）设函数f (x ) =?则不等式f (x ) >f (1) 的解集是（ ）
x +6, x <>
A. (-3, 1) ?(3, +∞) B. (-3, 1) ?(2, +∞) C.(-1, 1) ?(3, +∞) D.(-∞, -3) ?(1, 3)
22. （2009天津卷文）设函数f(x)在R 上的导函数为f ’(x),且2f(x)+xf’(x)>x,x 下面的不等式在R 内恒成立的是 （ ）
A. f (x ) >0 B. f (x ) <0 c.f="" (x="" )="">x D.f (x ) <>
2
1
(x ∈R , 且x ≠-) 的反函数是( ) 1+ax a
1-ax 11+ax 1
A 、y =(x ∈R , 且x ≠-) B、y =(x ∈R , 且x ≠-)
1+ax a 1-ax a 1+x 1-x
C 、y =(x ∈R , 且x ≠1) D、y =(x ∈R , 且x ≠-1)
a (1-x ) a (1+x )
25. （2009四川卷文）已知函数f (x ) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
5
xf (x +1) =(1+x ) f (x ) ，则f () 的值是 ( )
215
23.(2009湖北卷理) 设a 为非零实数，函数y = A. 0 B.
1-ax
2
C. 1 D.
2
27. （2009辽宁卷文）已知偶函数f (x ) 在区间[0, +∞) 单调增加，则满足f (2x -1) ＜f () 的x 取值范围是
1
3
( )
332323
29. （2009
陕西卷文）函数f (x ) =x ≥4) 的反函数为 ( )
1212-1-1
（A ）f (x ) =x +4(x ≥0) B.f (x ) =x +4(x ≥2)
221212-1-1
（C ）f (x ) =x +2(x ≥0) (D)学科f (x ) =x +2(x ≥2)
22
f (x 2) -f (x 1)
<0. 30.="" （2009陕西卷文）定义在r="" 上的偶函数f="" (x="" )="" 满足：对任意的x="" 1,="" x="" 2∈[0,+∞)(x="" 1≠x="" 2)="">
x 2-x 1
则 ( ) (A)f (3)
1-2x 1
(x ∈R , 且x ≠-) 的反函数是
1+2x 2
1+2x 11-2x 1A. y =(x ∈R , 且x ≠) B.y =(x ∈R , 且x ≠-)
1-2x 21+2x 2
（A ）（
13
，
23
） B.［
1
，
2
） C.（
1
，
2
） D.［
1
，
2
）
( )
C. y =
1+x 1-x
(x ∈R , 且x ≠1) D.y =(x ∈R , 且x ≠-1)
2(1-x ) 2(1+x )
?x 2+4x ,
36. （2009天津卷理）已知函数f (x ) =?2
?4x -x ,
x ≥0x <>
若f (2-a ) >f (a ), 则实数a
2
的取值范围是 ( ) A (-∞, -1) ?(2,+∞) B (-1, 2) C (-2,1) D (-∞, -2) ?(1,+∞)
37. （2009四川卷理）已知函数f (x ) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
A.0 B.
5
xf (x +1) =(1+x ) f (x ，则) f (f ()) 的值是( )
21
2
C.1 D.
52
38. （2009
福建卷文）下列函数中，与函数y = A .f (x ) =ln x B.f (x ) =
有相同定义域的是 ( )
x
1x
C. f (x ) =|x | D.f (x ) =e
39. （2009福建卷文）定义在R 上的偶函数f (x )的部分图像如右图所示，则在(-2, 0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是 A ．y =x +1 B. y =|x |+1 C. y =?
2
( )
?2x +1, x ≥0?x +1, x <>
3
x ??e , x ≥o
D ．y =?-x
??e , x <>
40. （2009重庆卷文）把函数f (x ) =x -3x 的图像C 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图像C 2．若对任意的u >0，曲线C 1与C 2至多只有一个交点，则v 的最小值为
A ．2
B ．4
C ．6
（ ） D ．8
3
41. （2009重庆卷理）若f (x ) =
12x -1
3
+a 是奇函数，则a = ．
-1
42（2009上海卷文） 函数f(x)=x+1的反函数f (x)=_____________.
?3x , x ≤1,
44（2009北京文）已知函数f (x ) =?若f (x ) =2，则x = .
?-x , x >1,
?1
, x <>
45. （2009北京理）若函数f (x ) =? 则不等式|f (x ) |≥的解集为____________.
3?(1) x , x ≥0
??3
46. （2009
江苏卷）已知a =
2
，函数f (x ) =a ，若实数m 、n 满足f (m ) >f (n ) ，则m 、n 的大小关系
x
为 .48.(2009年广东卷文) （本小题满分14分）
已知二次函数y =g (x ) 的导函数的图像与直线y =2x 平行, 且y =g (x ) 在x =－1处取得最小值m －1(m≠0).
g (x )
x
(1)若曲线y =f (x ) 上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2, 求m 的值 (2) k (k ∈R ) 如何取值时, 函数y =f (x ) -kx 存在零点, 并求出零点.
设函数f (x ) =
7. （2009江苏卷）(本小题满分16分) f (x ) =2x 2+(x -a ) |x -a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x ) 的最小值；(3)设函数h (x ) =f (x ), x ∈(a , +∞) ，直接写出(不需给出演算步骤) 不等式h (x ) ≥1的解集. ．．．．
设a 为实数，函数
2005—2008年高考题
一、选择题
?1-x 2， x ≤1，?1??1. （2008年山东文科卷）设函数f (x ) =?2则f ?的值为（ ）
??f (2)??x +x -2，x >1，
15278A ． B ．- C ． D ．18
16169
2. （07天津）在R 上定义的函数f (x )是偶函数，且f (x )=f (2-x )，若f (x )在区间[1, 2] 是减函数，则函数
f (x )
（ ）
A. 在区间[-2, -1]上是增函数，区间[3, 4]上是增函数 B. 在区间[-2, -1]上是增函数，区间[3, 4]上是减函数 C. 在区间[-2, -1]上是减函数，区间[3, 4]上是增函数 D. 在区间[-2, -1]上是减函数，区间[3, 4]上是减函数
3. (07福建) 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f x ??
??
A. (-1, 1) B. (0, 1) C. (-1, 0) (0, 1) D. (-∞, -1) (1, +∞) 4.(07重庆) 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(8, +∞)上为减函数，且函数y =f (x +8)为偶函数，则 （ ） A. f (6)>f (7) B. f (6)>f (9) C. f (7)>f (9) D. f (7)>f (10) 5. （07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为 ( ) A. y =
?1?
32
|x -1| (0≤x ≤2)
B. y =C. y =
32
3
-
32
|x -1| (0≤x ≤2)
-|x -1| (0≤x ≤2) 2
D. y =1-|x -1| (0≤x ≤2)
6. （2005年上海13）若函数f (x ) =
12+1
x
，则该函数在(-∞, +∞) 上是 （ ）
A ．单调递减；无最小值 B．单调递减；有最小值 C ．单调递增；无最大值 D．单调递增；有最大值 二、填空题
7. （2007上海春季5）设函数y =f (x ) 是奇函数. 若f (-2) +f (-1) -3=f (1) +f (2) +3
则f (1) +f (2) = . 8. （2007年上海）函数y =
lg(4-x ) x -3
的定义域是．
9. （2006年安徽卷）函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x +2)=
1f (x )
，若f (1)=-5,
则
f
(f (5))=_______________。
f (x ) =x -x 4，则当x ∈(0, +∞) 时，f (x ) = .
10. （2006年上海春）已知函数f (x ) 是定义在(-∞, +∞) 上的偶函数. 当x ∈(-∞, 0) 时， 三、解答题
11.(2007广东) 已知a 是实数，函数f (x )=2ax +2x -3-a ，如果函数y =f (x )在区间
2
[-1, 1]上有零点，求a 的取值范围.
第二部分 三年联考汇编 2009年联考题
一、选择题
2. （2009
龙岩一中）函数y =
（ ）
A. (-∞, -1) B.(-1, 2) C.(-∞, -1) (2,+∞) D. (2,+∞)
答案 B
3. （2009湘潭市一中12月考）已知定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x ) =-f (x +) ，且
32
f (-2) =f (-1) =-1，f (0)=2, f (1)+f (2)+…+f (2008)+f (2009)= （ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
4. （2009广东三校一模）定义在R 上的函数f (x )是奇函数又是以2为周期的周期函数, 则 f (1)+f (4)+f (7)等于 ( )
C.1 D.4 A.-1 B.0
6. （黄山市2009届高中毕业班第一次质量检测）对于函数f (x ) =lg x 定义域中任意
x 1, x 2(x 1≠x 2) 有如下结论：①f (x 1+x 2) =f (x 1) +f (x 2) ；
②f (x 1?x 2) =f (x 1) +f (x 2) ； ③ ④f (
f (x 1) -f (x 2) x 1-x 2
>0；
x 1+x 2
2
)
f (x 1) +f (x 2)
2
。上述结论中正确结论的序号是 ( )
A．② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 7. （福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查）已知函数
(x ≤1) ?8x -8
f (x ) =?2, g (x ) =ln x . 则f (x ) 与g (x ) 两函数的图像的交点个数为( ）
x -6x +5(x >1) ?
A ．1 B ．2 C ．3
8. （福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查）已知
D ．4
f (x )(x ≠0, x ∈R ) 是奇函数, 当x <0时, f="" '(x="" )="">0, 且f (-2) =0，则不等式
（ ） f (x ) >0的解集是
A ．（—2，0） B ．(2, +∞) C ．(-2, 0) (2, +∞) D ．(-∞, -2) (2, +∞)
9. （江门市2009年高考模拟考试）设函数f (x ) =ln(-
1x
) 的定义域为M ，g (x ) =
1-x 21+x
的定义域为N ，则
M N = ( )
A. {x x <0} b.{x="" x="">0且x ≠1} C.{x x <0且x ≠-1}="" d.{x="" x="" ≤0且x="">
二、填空题
12．（2009年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查）已知函数f (x ) 为R 上的奇函数， 当x ≥0时，f (x ) =x (x +1) . 若f (a ) =-2，则实数a = .
答案 -1
?x 2, x 0
14. （安徽省示范高中皖北协作区2009年高三联考）已知函数f (x )=?，则不
x +1, x ≥0?
等式f (x ) 4的解集为
?x +2(x ≤-1)
3?15. (北京市石景山区2009年4月高三一模理) 函数f (x ) =?x 2(-1
2x (x ≥2) 2f (a )
12
，则实数a 的取值范围是16. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文) 设a 为常数，f (x ) =x 2
-4x +3. 若函数f (x +a ) 为偶函数，则a =__________；f (f (a )) =_______.
17. （2009丹阳高级中学一模）若函数y =mx 2
+x +5在[-2, +∞) 上是增函数，则m 的取
值范围是____________。
三、解答题
18.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试) 设函数f (x ) =x -1+x -2。 （1）画出函数y=f(x)的图像；
（2）若不等式a +b +a -b ≥a f (x ) ，（a ≠0,a 、b ∈R ）恒成立，求实数x 的范围。 2. （2009聊城一模）若a>2,则函数f (x ) =13
x 3-ax 2+1在区间（0，2）上恰好有
（ A ．0个零点 B ．1个零点 C ．2个零点
D ．3个零点
二、填空题
1. （2009滨州一模）给出下列四个结论：
①命题“?x ∈R , x 2
-x >0" 的否定是“?x ∈R , x 2
-x ≤0”； ②“若am 2
, 则a 0时, f '(x ) >0, g '(x ) >0, 则x<0时f '(x="" )="">g '(x ).
其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号） 3. （2009上海闸北区）函数y =log 0. 5x 的定义域为___________.
4. （2009重点九校联考）函数y =2-x +log 3(1+x ) 的定义域为三、解答题
2. （2009滨州一模）设函数f (x ) =p (x -1
-2ln x , g (x ) =x 2
x
.
（I ）若直线l 与函数f (x ), g (x ) 的图象都相切，且与函数f (x ) 的图象相切于点 （1，0），求实数p 的值；
（II ）若f (x ) 在其定义域内为单调函数，求实数p 的取值范围；
2007—2008年联考题
一、选择题
2.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考) 函数y =-x +
x -1是 ( )
A ．奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 二、填空题
6. （2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）若对于任意a ∈[-1,1], 函数f (x ) = x 2
+ (a
）
范文二：函数的概念与性质
专题讲座
高中数学“函数的概念与性质”教学研究
李梁 北京市西城区教育研修学院
函数是中学数学中的重点内容，它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.
本专题内容由四部分构成:关于函数内容的深层理解;函数概念与性质的教学建议;学生学习中常见的错误分析与解决策略;学生学习目标检测分析.
研究函数问题通常有两条主线:一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等.
一、关于函数内容的深层理解
(一)函数概念的发展史简述
数学史角度:早期函数概念(Descartes，1596—1650引入坐标系创立解析几
何，已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系)[几何角度];Newton，1642—1727，用数流来定义流量(fluxion)的变化率，用以表示变量间的关系;Leibniz，1646—1716引入常量、变量、参变量等概念;Euler引入函数符号，并称变量的函数是一个解析表达式[代数角度];Dirichlet，1805—1859提出是与之间的一种对应的观点[对应关系角度] ;Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度].
Dirichlet:认为怎样去建立与之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出:“对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个确定的值，那么叫做的函数.”这种函数的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确(经典函数定义).
Veblen，1880,1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是其它对象.
(二)初高中函数概念的区别与联系
1(初中函数概念:
设在某个变化过程中有两个变量，如果对于在某个范围内的每一个值，都有
是的函数，叫自变量，叫的函数. 唯一的值与它对应，我们就说
2(高中函数概念:
(1)设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.记作，其中叫原象，叫象.
(2)设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数.记作.
其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确定.
(3) 函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象.
构成函数的三要素:定义城，值域和对应法则，其中定义域和对应法则是核心.
(三)函数在整个数学知识体系中的地位及作用
函数是中学数学最重要的基本概念之一，其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射;函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础;它不仅对前面学习的集合知识做了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具;函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切;函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用;函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础.
(四)函数的概念与性质结构框图
(五)函数的概念与性质教学重点和难点 教学重点:
1(函数的概念
2(函数的基本性质
3(基本初等函数的图象和性质 教学难点:
1(函数概念的理解
2(对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握
3(运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题
二、函数概念与性质的教学建议:
(一)如何深入把握函数的概念,
1(映射与函数的教学建议:
教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分内容宜采用教师引导，师生共同研讨的方式来学习.
在教学中，教师可以类似举如下的例子进行剖析:
例1:设集合和都是自然数集合. 映射把集合中的元素映射到集合中的元素, 则在映射作用下, 2的象是_______;20 的原象是________.
分析:由已知，在映射作用下的象为.
所以，2的象是;
设象 20 的原象为，则的象为 20，即.
由于，随着的增大而增大，又，所以20 的原象是4.
这个例子要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象. 能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时，题目中兼顾对于函数性质的探究，具有一定的综合程度.
2(函数的定义域问题:
确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件，因此对于一个函数问题，首先要明确自变量的取值集合.教学中，教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题:
例2:求下列函数的定义域:
(1);
(2);
(3);
(4);
解:(1)由，得，所以或，所以或. 所以，所求函数的定义域为.
(2)由得，或.
所以，所求函数的定义域为.
(3)由得，且，，
所以，所求函数的定义域为
4)由得即所以. (
所以，所求函数定义域为.
例3:如图，用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长
为，求此框架围成的面积与的函数关系式，并指出定义域. 解:根据题意,.
弧长为，所以
.
所以，.
根据问题的实际意
. 义.
解得.
所以，所求函数定义域为.
上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题.
(1)给出函数解析式求定义域(如例2)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.
中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有:
? 分式中分母不为零;
? 偶次方根下被开方数非负;
? 零次幂的底数要求不为零;
? 对数中的真数大于零，底数大于零且不等于 1;
? ，则.
(2)在实际问题中求函数的定义域(如例 3). 在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制 , 还应考虑实际问题对自变量的限制.
另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的.比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域.
3(函数的对应法则问题:
确定函数的对应法则(即求函数的解析式)是有关函数概念中的重要问题，教学中教师可以设置如下相关题组，和学生共同解决.
例4:(1)已知，求的解析式;
(2)已知，求的值;
(3)如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式;
(4)已知函数与函数的图象关于直线对称，求的解析式.
分析:(1)求函数的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题.
方法一:. 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则是“原象对应于原象除以原象的平方减1”.所以，.
方法二:设,则.则，所以.
这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.
(2)用“凑型”的方法，.所以，
.
(3)因为为二次函数，并且当时，取得最小值，
所以，可设，
又，所以，所以.
.
(4)这个问题相当于已知的图象满足一定的条件，进而求函数的解析式. 所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求的解析式.
设的图象上任意一点坐标为，则关于对称点的坐标为
，由已知，点在函数的图象上，
所以，点的坐标满足的解析式，即，
所以，.
由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有像(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法;有像(3)所用到的待定系数法;也有像(4)所用到的解析法.
值得注意的是(4)中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系.
(二)教学中如何突出函数性质的本质,
函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等，侧重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用. 这部分内容常用到数形结合的思想方法.
1(关于基本概念的理解:
(1)设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数.
设函数的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且
，则这个函数叫做偶函数.
由奇函数定义可知，对于奇函数，点与点都在其图象上.又点与点关于原点对称，我们可以得到:
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形.
(2)一般地，设函数的定义域为，区间.如果取区间中的任意两个值，，改变量，则
当时，就称函数在区间上是增函数;
当时，就称函数在区间上是减函数.
如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性，区间称为单调区间.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
(3)一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域中的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期.
(4)一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域中的每一个值时，都成立，则函数的图象关于直线对称.
这四个概念都比较抽象，建议讲述相关概念时采用数形结合的手段，不断揭示概念的几何背景，进而完善学生对概念的认识.
2(关于函数的奇偶性问题:
对于函数的奇偶性，要求学生会判断及简单应用.教学中可给出如下题组:
例1:判断下列函数的奇偶性.
(1); (2); (3);
(4); (5).
解:(1)解，得到函数的定义域为或，关于原点不对称，
所以此函数为非奇非偶函数.
(2)函数的定义域为，但是，由于，，
即，且，
所以此函数为非奇非偶函数.
(3)函数的定义域为，又， 所以此函数为偶函数.
(4)解，得，
又，
所以此函数为奇函数.
(5)函数的定义域为，又， 所以此函数为奇函数.
通过本例及函数奇偶性的定义，进一步可以得到下面几个结论: ? 一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称; ?是奇函数，并且在时有定义，则必有; ? 既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为，等. 判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤:
? 判断函数的定义域是否关于原点对称;
? 考察与的关系.
由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶 函数四类.
例2:已知为奇函数，当时，， (1)求的值;
(2)当时，求的解析式.
解:(1)因为为奇函数，所以. (2)方法一: 当时,.
所以，.
方法二:设是在时图象上一点,则一定在在时
的图象上.
所以，，.
上述三个例子分别从具体函数、抽象函数、以及奇偶性的应用上加深对概念的理解. 3(关于函数的单调性问题:
例3:用函数单调性定义证明，函数在区间上为
增函数.
证明:设，
因为，所以，又因为 ，
所以，，
所以，
函数在区间上为增函数.
例4:设是定义域为的奇函数，且它在区间上是减函数.
(1)试比较与的大小;
(2)若，且，求证:.
解:(1)因为是奇函数，所以，
又在区间上是减函数，所以，即.
(2)因为，所以异号，不妨设，
因为，所以，
因为，，在区间上是减函数，
所以，
因为是奇函数，所以，
所以，即.
总之，函数的单调性是我们研究的极为重要的函数性质，其与其它问题的联系、自身的应用都很广泛，在教学中要予以充分注意.
(三)怎样有效提升学生对基本初等函数的图象与性质的把握,
基本初等函数包括: 二次函数、指数函数、对数函数和幂函数.
函数的图象上直观地反映着函数的性质, 学习函数的“捷径”是熟知函数的图象. 熟知函数图象包括三个方面:作图，读图，用图.
掌握初等函数一般包括以下一些内容:首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质.函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑.
函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质.
1(关于二次函数的处理:
对于二次函数，初中已有研究，但高中阶段处理二次函数的视角又和初中有所不同.
例如:设是实数，证明关于的方程有两个不相等的实数解.(初中、高中的不同处理方法)
教学中可以参考如下的题目:
例1:(1)如果二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是________.
(2)二次函数的最大值恒为负，则的取值范围是_______.
(3)函数对于任意均有，则，
的大小关系是_____________.
解:(1)由于此抛物线开口向上，且在上是增函数，
画简图可知此抛物线对称轴或与直线重合，或位于直线的左侧，
于是有，解之得.
(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数，且判别式”，
即 解得.
(3)因为对于任意均有，所以抛物线对称轴为.
又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得.
例2、已知二次函数的对称轴为，且图象在轴上的截距为，被轴截得的线段长为，求的解析式.
解:解法一:设，
由的对称轴为，可得;
由图象在轴上的截距为，可得;
由图象被轴截得的线段长为，可得均为方程的根.
所以，即，所以.
.
解法二:因为图象被轴截得的线段长为，可得均为方程的根.
所以，设，
图象在轴上的截距为，即函数图象过点. 又
即. 所以.
二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重.
二次函数的解析式有三种形式:
一般式;顶点式，其中为顶点坐标;
双根式，其中为函数图象与轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根.
例1、2两个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用.这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用.
2(关于指数函数、对数函数和幂函数的处理:
这三种基本初等函数是在研究一般函数基础上的重要模型，教学中建议采用如下问题突出相关函数性质的应用.
例3、比较下列各小题中各数的大小:
(1)与; (2) ; (3)与;
(4)与; (5)与; (6).
是减函数,. 分析:(1)
(2)函数在区间(0, +)上是增函数，所以， 函数在区间(0, +)上是减函数，所以， 所以.
(3)由于,所以. (4)利用幂函数和指数函数单调性.. (5)因为,.根据不等式的性质有. (6)因为，所以，即;
比较与，只需比较与，
因为是增函数，所以只需比较与的大小，
因为，所以，所以，
综上，.
例4:已知，比较的大小.
分析:方法一(作商比较法)
，又，所以，
所以，所以.
方法二(作差比较法)
， 因为，所以，
所以，即.
方法三(构造函数)
令，将看作是关于的一次函数， 因为，所以此函数为减函数，又，
，
所以，即.
两个数比较大小的基本思路:
如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较”与“作商比较”，如例4的方
法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例3(1)(2)(3)，例4的方法三). 如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比
较，也可以考虑借助中间量来比较(如例3(4)(5)(6)).
三、学生学习中常见的错误分析与解决策略
例1:下列四组函数中，表示同一个函数的是( )
(A), (B), (C), (D),
易错点:? 定义域;? 对应法则;? 函数的概念.
错因分析:? 忽视函数的定义域;? 不清楚函数概念的实质，如(B)中表示自变量的字母不同，就误认为不会是同一个函数.
解题策略:判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与对应法则是否完全相同.
一般有两个步骤:(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致.(2)对解析式进行合理变形的情况下，看对应法则是否一致.
分析:(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数.(B)中两个
及，对应法则也相同，所以选(B). 函数的定义域相同，化简后为
这个例子可以有效检测学生对函数概念的把握，同时突出映射与函数概念的联系.
例2:已知函数的定义域为，求函数及的定义域.
易错点:? 对应法则定义域;? 定义域的概念.
错因分析:? 对对应法则的符号不理解;? 不清楚定义域的含义.
解题策略:此题的题设条件中未给出函数的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情:?定义域是指的取值范围;?受对应法则制约的量的取值范围在“已知”和 “求”当中是一致的 .那么由的定义域是可知法则制约的量的取值范围是，而在函数中，受直接制约的是，而定义域是指的范围，因此通过解不等式得，即的定义域是
. 同理可得的定义域为.
例3:设函数在上有定义，的值不恒为零，对于任意的，恒有
成立，则函数的奇偶性为_________.
易错点:? 抽象函数;? 对“恒成立”的理解.
错因分析:? 抽象函数的有关性质;? 对“恒成立”的理解不清晰，不能将其转化为所需求的结构.
解题策略:关于对抽象函数“”的使用一般有以下两个思路:
令为某些特殊的值，如本题解法中，令得到了.当然，如果令
则可以得到，等等.
令具有某种特殊的关系，如本题解法中，令.得到，在某些情况下也可令，等等.
总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理.在不是很熟悉的时候，要有试一试看的勇气.
解:令，则，所以，
再令，则，所以，又的值不恒为
是奇函数而非偶函数. 零，故
例4:已知函数是定义域为的单调增函数.
(1)比较与的大小;
(2)若，求实数的取值范围.
易错点:? 函数概念;? 增函数.
错因分析:? 对函数概念中的对应法则的理解不清楚;? 没有理解增函数概念的实质，不会将其应用于解决问题.
解题策略:回顾单调增函数的定义，在，为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题:的符号;的符号;函数在区间上是增还是减.
由定义可知:对于任取的，若，且，则函数在区间上是增函数;
不仅如此，若，且函数在区间上是增函数，则;
若，且函数在区间上是增函数，则;
于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着自然的联系，请结合例4加以体会.
解:(1)因为，所以，
由已知，是单调增函数，所以.
(2)因为是单调增函数，且，所以，
解得或.
四、学生学习目标检测分析
(一)课程标准中的相关要求
1(函数
? 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。
? 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如，图像法、列表法、解析法)表示函数。
? 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
? 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数，了解奇偶性的含义。
? 学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
2(指数函数
14? 通过具体实例(如，细胞的分裂，考古中所用的C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景。
? 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
? 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
? 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
3(对数函数
? 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。
? 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
x ? 知道指数函数y=a与对数函数y=logx互为反函数。(a > 0, a?1) 4(幂函a
数
23通过实例，了解幂函数的概念;结合函数y=x, y=x, y=x, y=, y=的图像，了解它们的变化情况。
(二)高考考试内容与要求
1(函数
? 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.
? 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.
? 了解简单的分段函数，并能简单应用.
? 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
? 会运用函数图像理解和研究函数的性质.
2(指数函数
? 了解指数函数模型的实际背景.
? 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
? 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.
? 知道指数函数是一类重要的函数模型.
3(对数函数
? 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.
? 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.
? 知道对数函数是一类重要的函数模型;
? 了解指数函数与对数函数互为反函数().
(三)两个典型高考题目剖析:
例1(2010年全国卷 理8)已知函数.若，且，则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
分析:本题的知识涉及对数函数的图象和性质，函数图象的变换，利用导数研究单调性，不等式中的均值定理等内容;涉及到数形结合与等价转化的数学思想，有一定的综合性.
思路一:因为，即 ，所以.
因为函数在上单调递增，由，得，不合题意;由
，得.
又因为，所以，且.
从而，其中.
令，则，当时，，所以函数在区间上单调递增.由此可知，，故的取值范围是，正确选项是(C).
思路二:函数的图象如右图所示.因为，且，从而有，且.以下同解法一.
本题颇有些“绵里藏针”，
如果未注意到的
隐含条件，而直接利用均值定
理，，从而得出的选A或B的错误结论.本题对于函数与导数考查的深刻性与灵活性可见一斑.
例2(2010年北京卷文14) 如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，设顶点
的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为 ;
在其两个相邻零
点间的图象与轴所围成区域的面积为_______.
说明:“正方形沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动. 沿轴正方向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转，当顶点落在轴上时，再以顶点为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形可以沿轴负方向滚动.
分析:不难想象，从某一个顶点(比如)落在轴上的时候开始计算，倒下一次点落在轴上，在倒下一次点落在轴上，.这个过程中四个顶点依次落在了轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为.
下面考察点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，点从原点开始运动的时候，首先是以点为圆心，为半径作圆周运动(圆弧);当点落在轴上后，再以点为圆心，为半径作圆周运动(圆弧);当点落在轴上后，再以点为圆心，为半径作圆周运动(圆弧);最终当点落在轴上后，以点为圆心作圆，点在轴上保持不动，因此在其两个相邻零点间的图象如下:
所以，在其两个相邻零点间的图象与轴所围成区域的面积为.
数与形的运动变化是近几年数学高考的热点问题，如何认识和刻画图形的运动，并揭示相应的数量关系，是分析和解决这类问题的两个关键点.
参考资料
【相关资源】
1.从单调性概念教学片段看数学语言转换的教学(PDF)
2.函数概念的发展与比较
3.数学概念学习的一般理论
【参考文献】
1(参考书目:新专题教程:集合与函数(高中数学1)陈德燕，华东师范大学出版社，2009—4—1
2(网上文章:为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一,作者:王尚志，张怡慈文章来源:整体把握与实践高中数学新课程
3(网上文章:函数与方程的思想在解题中的应用《中学数学研究》2008年第2期文章作者:罗建宇
范文三：函数的概念与性质
第二单元 函数的概念及其性质
(120分钟 150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 函数y=
的定义域为
A . (-∞, -2) B. (2, +∞)
C . (-∞, -2]∪[2, +∞) D . (-∞, -2) ∪(2, +∞)
2
解析:x -4>0得x>2或x<-2. 答案:d="" 2.="" 已知函数y="">
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
解析:f (-2) =-2+4=2, ∴f [f (-2)]=f(2) =2-1=1. 答案:A
, 则f 等于
3. 已知f (x+1) =x2+2x-5, 则f (x ) 的解析式为
C .f (x ) =x2+6
222
解析:f (x+1) =x+2x-5=(x+1) -6, ∴f (x ) =x-6. 答案:B 4. 与函数y=
A
.y=
解析:y=答案:A
A .f (x ) =x2 B .f (x ) =x2-6 D .f (x ) =x2+6x
是同一个函数的是 B .y=(
) 2 C.y=
D .y=x
=|x|与y=|x|是同一个函数.
5. 设f (x )(x ∈R ) 为奇函数, f (1) =, f (x+2) =f(x ) +f(2), 则f (3) 等于
A.0 B.1 C. D.5
解析:由f (x+2) =f(x ) +f(2) 知f (1) =f(-1+2) =f(-1) +f(2) =-f(1) +f(2),
∴f (2) =2f (1) =1, ∴f (3) =f(1) +f(2) =+1
=.
答案:C
6. 设偶函数f (x ) 的定义域为R , 当x ∈[0, +∞) 时, f (x ) 是增函数, 则f (-2), f (π), f (-3) 的大小关系是
A .f (π) 解析:由于f (x ) 为R 上的偶函数, ∴f (-2) =f(2), f (-3) =f(3), 又当x ∈[0, +∞) 时, f (x ) 是增函 数, ∴f (-2) =f(2) 答案:C 7. 已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数, f (x+2) =-f(x ), 则f (12) 的值为 A .-1 B . 0 C . 1 D . 2 解析:∵f (x+2) =-f(x ), ∴f (x+4) =f(x ), 又f (x ) 是奇函数, ∴f (12) =f(0) =0. 答案:B 8. 设f (x ) 是R 上任意的一个函数, 则下列叙述正确的是 A. f (x ) f (-x ) 是奇函数 B . f (x ) |f(-x ) |是奇函数 C. f (x ) -f (-x ) 是偶函数 解析:设F 1(x ) =f(x ) f (-x ), D. f (x ) +f(-x ) 是偶函数 由F 1(-x ) =f(-x ) f (x ) =F1(x ), 得F 1(x ) 是偶函数; 设F 2(x ) =f(x ) |f(-x ) |, 其奇偶性取决于f (x ) 的奇偶性; 设F 3(x ) =f(x ) -f (-x ), 由F 3(-x ) =f(-x ) -f (x ) =-F3(x ), 得F 3(x ) 是奇函数; 设F 4(x ) =f(x ) +f(-x ), 由F 4(-x ) =f(-x ) +f(x ) =F4(x ), 得F 4(x ) 是偶函数. 答案:D 9. 函数f (x ) =x2-2ax+a+2在[0, a ]上取得最大值3, 则实数a 为 A . 或1 B . 1 C . 2 D . 以上都不对 解析:因为函数f (x ) =x-2ax+a+2=(x-a ) -a +a+2, 对称轴为x=a, 开口方向向上, 所以f (x ) 在[0, a ]上单调递减, 其最大值在x=0处取得, 即f (x ) max =f(0) =a+2=3, 故a=1. 答案:B 2 2 2 10. 函数f 那么f 在 是定义域为R 的偶函数, 又是以2为周期的周期函数. 若f 上是 在上是减函数, A . 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数 解析:因f (x ) 为R 上的偶函数, 且在[-1, 0]上是减函数, ∴f (x ) 在[0, 1]上是增函数, 又f (x ) 是以2为周期的函数, ∴f (x ) 在[2, 4]上是先增后减的函数. 答案:C 11. 图中的阴影部分由底为1, 高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成. 设函数S=S(a )(a ≥0) 是图中介于平行线y=0及y=a之间的阴影部分面积, 则函数S (a ) 的图象大致为 解析:由图中介于平行线y=0及y=a之间的阴影部分面积的增速知C 答案符合. 答案:C 12. 己知f (x ) 是定义域为(-1, 1) 的奇函数, 而且f (x ) 是减函数, 如果f (m-2) +f(2m-3) >0, 那么实数m 的取值范围是 A . (1, ) B . (-∞, ) C . (1, 3) 解 析 : 由 于 D . (, +∞) f (x ) 是 奇 函 数 , 且 为 减 函 数, ∴f (m-2) +f(2m-3) >0?f (m-2) >-f(2m-3) =f(3-2m ), ∴ 答案:A ? ?1<><> 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在题中的横线上. 13. 函数y=x2+ax+b在区间(-∞, 3) 上递减, 则实数a 的取值范围是. 解析:二次函数的递减区间为(-∞, -],∴-≥3即a ≤-6. 答案:(-∞, -6] 14. 若一次函数f (x ) 的定义域为[-3, 2],值域为[2, 7]则f (x ) = 解析:设y=kx+b, 则当k>0时答案:x+5或-x+4 解得 ; 当k<> 解得 15. 已知f (x ) 为定义域在R 上的奇函数, 当x>0时, f (x ) =x3+1, 则x<0时, f="" (x="" )=""> 333 解析:∵当x<0时, -x="">0, ∴f (-x ) =(-x ) +1=-x+1=-f(x ), ∴x<0时, f="" (x="" )=""> 3 答案:f (x ) =x-1 16. 已知y=f 是偶函数, y=g ·g 是奇函数, 它们的定义域均为<0的解集为> , 且它们在x ∈ 上的图象 如图所示, 则不等式f 解析:由f (x ) 为偶函数, g (x ) 为奇函数, 可画出它们在[-π, π]上的图象, 如右图, ∴不等式f (x ) ·g (x ) <0的解集为(-, 0)="" ∪(,="" π)=""> 答案:(-, 0) ∪(, π) . 三、解答题:本大题共6小题, 共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. (本小题满分10分) 设函数f (x ) = 是奇函数(a 、b 、c ∈Z ), 且f (1) =2, f (2) <3, 求a="" 、b="" 、c=""> 解析:由条件知f (-x ) +f(x ) =0, ∴+ =0, ∴c=0又f (1) =2, ∴a+1=2b , 5分 ∵f (2) <3,> <> ∴ <> 解得-1 ∴b=或1, 由于b ∈Z , ∴a=1、b=1、c=0. 10分 18. (本小题满分12分) 设g (x ) = . (1) 若g (x ) 的定义域为R , 求m 的范围; (2) 若g (x ) 的值域为[0, +∞), 求m 的范围. 2 解析:(1) 由题知f (x ) =mx+x+1≥0恒成立, ①当m=0时, f (x ) =x+1≥0不恒成立; ②当m ≠0时, 要满足题意必有 ∴m ≥. 综上可知, m 的范围为[, +∞) . 2 6分 (2) 由题知, f (x ) =mx+x+1能取到一切大于或等于0的实数. ①当m=0时, f (x ) =x+1可以取到一切大于或等于0的实数; ②当m ≠0时, 要满足题意必有 ∴0<> 综上可知, m 的范围为[0, ]. 12分 19. (本小题满分12分) 设f (x ) =3ax 2+2bx+c, 若a+b+c=0, f (0) f (1) >0, 求证: (1) 方程f (x ) =0有实根; (2) -2<> 解析:(1) 若a=0, 则b=-c, f (0) f (1) =c(3a+2b+c) =-c≤0, 与已知矛盾, ∴a ≠0. 2 方程3ax +2bx+c=0的判别式Δ=4(b -3ac ), 由条件a+b+c=0, 消去b , 得Δ=4(a +c-ac ) =4[(a-c ) +c ]>0, 2 2 2 2 2 2 故方程f (x ) =0有实根. 6分 (2) ∵f (0) f (1) >0, ∴c (3a+2b+c) >0, 由条件a+b+c=0, 消去c , 得(a+b)(2a+b) <> ∵a 2>0, ∴(1+)(2+) <> 故-2<-1.> 20. (本小题满分12分) 设f (x ) 为定义在R 上的偶函数, 当0≤x ≤2时, y=x; 当x>2时, y=f(x ) 的图象是顶点为P (3, 4) 且过点A (2, 2) 的抛物线的一部分. (1) 求函数f (x ) 在(-∞, -2) 上的解析式; (2) 写出函数f (x ) 的值域和单调区间. 解析:(1) 当x>2时, 设f (x ) =a(x-3) +4. ∵f (x ) 的图象过点A (2, 2), 2 ∴f (2) =a(2-3) 2+4=2, ∴a=-2, ∴f (x ) =-2(x-3) 2+4. 设x ∈(-∞, -2), 则-x>2, ∴f (-x ) =-2(-x-3) +4. 2 又因为f (x ) 在R 上为偶函数, ∴f (-x ) =f(x ), ∴f (x ) =-2(-x-3) +4, 即f (x ) =-2(x+3) +4, x ∈(-∞, -2) . 6分 2 2 (2) 函数f (x ) 图象如图所示. 由图象观察知f (x ) 的值域为{y|y≤4}. 单调增区间为(-∞, -3],[0, 3]. 单调减区间为[-3, 0],[3, +∞) . 12分 21. (本小题满分12分) 图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图, 图2是凹槽的横截面(阴影部分) 示意图, 其中四边形ABCD 是矩形, 弧CMD 是半圆, 凹槽的横截面的周长是4. 已知凹槽的强度与横截面的面积成正比, 比例系数为 , 设AB=2x , BC=y. (1) 写出y 关于x 的函数表达式, 并指出x 的取值范围; (2) 当x 取何值时, 凹槽的强度最大? 解析:(1) 易知半圆CMD 的半径为x , 故半圆CMD 的弧长为πx , ∴2x+2y+πx=4? y= 依题意知0<> <> , , ∴y=(0 <><) .=""> 6分 ) =-时, 凹槽的强度最大. ( x-) + 2 (2) 设凹槽的强度为T , 则有T=, ∵0 答:当 x= <, ∴当x=""> 时, 凹槽的强度最大. 12分 22. (本小题满分12分) 对于定义在区间D 上的函数f (x ), 若存在闭区间[a , b ]?D 和常数c , 使得对任意x 1∈[a , b ],都有f (x 1) =c, 且对任意x 2∈D , 当x 2?[a , b ]时, f (x 2) >c恒成立, 则称函数f (x ) 为区间D 上的“平底型”函数. (1) 判断函数f (x ) =x+|x-2|是否为R 上的“平底型”函数, 并说明理由; (2) 若函数g (x ) =mx+ 是区间[-2, +∞) 上的“平底型”函数, 求m 和n 的值. 解析:(1) 对于函数f (x ) =x+|x-2|, 当x ∈(-∞, 2]时, f (x ) =2; 当x ∈(2, +∞) 时, f (x ) =2x-2>2, 所以不存在闭区间[a , b ],使当x ?[a , b ]时, f (x ) >2恒成立. 故f (x ) 不是“平底型”函数. (2) 因为函数g (x ) =mx+得 mx+ =c恒成立. 5分 是区间[-2, +∞) 上的“平底型”函数, 则存在区间[a , b ]?[-2, +∞) 和常数c , 使 所以x +2x+n=(mx-c ) 恒成立, 即 22 , 解得或. 8分 当 时, g (x ) =x+|x+1|. 当x ∈[-2, -1]时, g (x ) =-1, 当x ∈(-1, +∞) 时, g (x ) =2x+1>-1恒成立. 此时, g (x ) 是区间[-2, +∞) 上的“平底型”函数. 当 时, g (x ) =-x+|x+1|. 当x ∈[-2, -1]时, g (x ) =-2x-1≥1, 当x ∈(-1, +∞) 时, g (x ) =1. 此时, g (x ) 不是区间[-2, +∞) 上的“平底型”函数. 综上分析, m=1, n=1为所求. 12分 考察函数的概念与性质 x 1. 设f (x ) 为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) =2，则+2x +b （b 为常数） f (-1) =________ 2. 已知函数f (x ) ，x ∈F ，那么集合{(x , y ) |y =f (x ), x ∈F } {(x , y ) |x =1}中所含元素的个数有 个 3. 函数 y =lg x -3____ 4. 设函数f (x ) =lg(ax 2+2x +1) ，①若f (x ) 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若f (x ) 的值域是R ，求实数a 的取值范围 ?1?5. 若函数y =f (x ) 的定义域为?, 2?，则f (log2x ) 的定义域为__________ ?2? 6. 当x ∈(0, 2]时，函数f (x ) =ax 2+4(a +1) x -3在x =2时取得最大值，则 a 的取值范围是___ 7. y = 2x +1_____y =x +4+的值域为____ 2sin θ-12sin θ-13x y = 8. 求函数y =，y =，的值域 x 1+31+sin θ1+cos θ 9. 求函数y = 的值域 10. 求函数y = y = 11. 求函数y = x +3 1112. 若f (x -) =x 2+2，则函数f (x -1) =_____ x x 13. 若函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0, +∞) 时，f (x ) =x (1+3x ) ，那么当x ∈(-∞, 0) 时，f (x ) =________ 14. 已知f (x ) +2f (-x ) =3x -2，求f (x ) 的解析式 a ·2x +a -215. 若f (x ) =为奇函数，则实数a ＝____ 2x +1 16. 已知函数f (x ) =ax +1在区间(-2, +∞)上为增函数，则实数a 的取值范围_____ x +2 17. 函数y =log 1-x 2+2x 的单调递增区间是________ 2() 18. 已知函数f (x ) =|lg x |. 若a ≠b 且，f (a ) =f (b ) ，则a +b 的取值范围是________ 19. 若x ∈R ，f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，则f (x ) 的奇偶性是______ 20. 若x ∈R ，f (x ) 满足f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，则f (x ) 的奇偶 性是______ 21. 已知f (x ) 是定义在(-3,3) 上的奇函数，当0 f (x ) 的图像如右图所示，那么不等式f (x ) cos x <> x 22. 设f (x ) 的定义域为R +，对任意x , y ∈R +，都有f () =f (x ) -f (y ) ，且x >1时，y 1f (x ) <0，又f ()="1，①求证f" (x="" )="" 为减函数；②解不等式f="" (x="" )="" +f="" (5-x="" )="" ≥-2.=""> 23. 已知定义域为R 的函数f (x ) 满足f (-x ) =-f (x +4) ，且当x >2时，f (x ) 单调递增。如果x 1+x 2<4，且(x 1-2)(x="" 2-2)=""><0，则f (x="" 1)="" +f="" (x="" 2)=""> 24. 设f (x ) 是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x +2) =f (x +1) -f (x ) ，如果 3f (1) =lg ，f (2) =lg 15，求f (2001) 2 1 函数的概念及其基本性质 一、选择题 1. 函数 x x x y ++=1的定义域为( ) A . {}0≥x x B . {}1≥x x C . {}{}01 ≥x x D . {}10≤≤x x 2. 已知 ()12+=x x f ,则 ()[]1-f f 的值为( ) A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 3. 下列各组函数中,两个函数相等的是( ) A . ()()1, 12-=-= x x g x x f B . ()()11, 12-?+=-=x x x g x x f C . ())()221, 1-=-= x x g x x f D . ()()3, x x g x x f == 4. 函数 ()221>-=x x y 的值域是( ) A . ()+∞, 0 B . [)+∞, 0 C . (]1, 0 D . [)+∞, 1 5. 下列函数中,单调递增区间为 (]0, ∞-的是( ) A . x y 1-= B . 1+-=x y C . 22-=x y D . x y -= 6. 若等腰三角形 ABC 的周长为 10,则底边长 y 关于 x 的函数解析式为 x y 210-=,此函数的 定义域为( ) A . R B . {}0>x x C . {}50 7. 若函数 ()x p x x f -=在 ()+∞, 1上是增函数,则实数 p 的取值范围是( ) A . [)+∞-, 1 B . [)+∞, 1 C . (]1, -∞- D . (]1, ∞- 8. 对任意两个不相等的实数 b a , ,定义在 R 上的函数 ()x f 总有 ()()0>--b a b f a f 成立,则必有 ( ) A . ()()b f a f > B . ()()b f a f C . ()x f 在 R 上是增函数 . D . ()x f 在 R 上是减函数 . 9. 下列命题正确的是( ) A .函数 的最大值是 43+=x y 4. 2 B .函数 ()的最大值是 b a x y -+-=2 b - C .函数 x y 6=的最小值是 0. D .函数 c bx ax y ++=2的最大值是 ()0442≠-a a b ac . 二、填空题 10. 函数 ()3 2122-++-=x x x x f 的定义域是 ___________ 11. 若 ()()33212-++-=m mx x m x f 为偶函数,则实数 m 的值为 _______ 12. 已知某二次函数的图像的顶点坐标为 ()1, 1,且图像经过点 ()2, 0,该二次函数的解析式为 ____________ 13. 已知函数 ()()()()?? ???≥<--≤+=2221122x x="" x="" x="" x="" x="" x="" f="" ,若="" ()3="x" f="" ,则="x"> 14. 若 ()x f 是定义在 ()+∞, 0上的增函数,则不等式 ()()[]28->x f x f 的解集是 __________ 15. 已 知 函 数 ()x f y =为 奇 函 数 , 且 当 0>x 时 , ()322+-=x x x f ; 则 当 0 ()=x f ______________ 三、解答题 16. 证明函数 x x y 1+ =在区间 [)+∞, 1上是增函数 . 17. 求函数 4 21-=x y 在区间 []5, 3上的最大值 . 18. 已知 {} 12, 21222--==?????? +-+-==x x y y B x x x y x A , 试用区间表示 B A 与 B A . 19. 已知 ()x f 满足 二次函数,且 是 ()()()x x f x f f 21, 10=-+=,求 ()x f . 类型一、有关函数的定义域 1.求下列函数的定义域: (1) 121y x = +-;(2 ) y = 2 .函数 y =的定义域为 . 3. (1)已知函数 () f x 的定义域为 [1, 2) -,求 (1) f x -的定义域; (2)已知函数 f(2x-1)的定义域为 []3, 3-,求 f(x)的定义域; (3)已知函数 f(2x-1)的定义域为 [) 1, 0,求 f(1-3x)的定义域; (4)已知函数 f(x+3)的定义域为 []2-, 5-,求 F (x ) =f(x+1)+f(x-1)的定义域。 3 【变式训练】已知函数 f(x)的定义域为 []1, 0,求 g(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0)的定义域。 类型二、求函数值以及值域 4. 已知函数 f(x)的定义域为 R , 对任意的实数 m , n , 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)+ 21, 且 0) 2 1(=f , 求(1) f(1); (2)f(1)+f(2)+f(3)。 5. 对任何实数 , x y ,函数 ()f x 满足:()()()(), 12f x y f x f y f +=?=且 ,试求 ()()()()(()234200720081232006007f f f f f f f f f f +++++的值。 6. 已知函数 () f x , () g x 同时满足:() () () () () g x y g x g y f x f y -=+; (1) 1f -=-, (0)0f =, (1)1f =, 求 (0),(1), (2)g g g 的值。 7. 若 ()2f x ax a =为一个正的常数,且 f f ??=??a 的值为 _______ 8.求下列函数的值域: (1) 3254x y x +=-; (2) 22y x x =-++;(3) 12-+=x x y (4)1122+++-=x x x x y 类型三、求函数的表达式 9.已知函数 1() 1x f x x -=+. 求 () f x 的表达式; 10.已知函数 22() , 1x f x x R x =∈+; (1)求 1() () f x f x +的值; (2)计算:111(1)(2)(3)(4)() () () 234 f f f f f f f ++++++; 11. 求下列函数的解析式: (1)已知 ) 0() () 1(2≠=+x x x f x f ,求 f(x); (2)已知 x x x f x f 2) (2) (2+=-+,求 f(x); 【变式训练】已知函数满足 2f(x-1)+f(1-x)=2x-1,求 f(x); 12.已知 2() f x ax bx c =++, (0)0f =,且 (1) () 1f x f x x +=++,试求 () f x 的表达式。 13. 已 知 函 数 ()()2 , x f x a b a x b =+为常数 , 且 方 程 ()120f x x -+=有 两 个 实 数 根 121 2, , 3, 4x x x x ==且 ,求函数 ()f x 的解析式。 类型六、数形结合思想的应用 14.若方程 x m x x -=-+-332 在 ) 3, 0(∈x 内有唯一解,求实数 m 的取值范围; 【变式训练 1】 已知方程 m x x =+-342 有 4个、 3个、 2个根、 无实根, 分别求出 m 的取值范围。 2. 若二次函数 ) (x f 图像关于 y 轴对称,且 2) 1(1≤≤f , 4) 2(3≤≤f ,求 ) 3(f 的范围。 3. 若不等式 0≤ x 2 -ax +a ≤ 1的解集是单元素集,则 a = 类型四、函数的单调性和奇偶性 4 15. 求函数 x x y 412-=的单调区间; 16. 求函数 22) (2 +-=ax x x f , []1, 1-∈x 的最小值; 【变式训练】 1、求函数 12) (2-+-=ax x x f 在 []2, 0上的最大值、最小值; 2、函数 44-) (2 -=x x x f 在区间 []1, t +t (R t ∈)上的最小值记为 g(t),试写出 g(t)的函 数解析式。 17. 已知 f(x)是定义在 []1, 1-上的增函数,且 f(x-2) 18. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数,对 R y x ∈, 都有 ) () () (y f x f y x f +=+, 且当 x>0时, f(x)<> (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)是 R 上的减函数; 【变式训练】 1. 设 f(x)是定义在 R 上的函数,对 R n m ∈, 恒有 ) () () (n f m f n m f ?=+,且当 x>0时, 0<><> (1) 求证:对于任意实数 x ,都有 f(x)>0; (2) 求证:f (x )在 R 上式减函数。 2. 设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R , 对 于 任 意 实 数 , , 21x x 有 ) 2() 2(2) () (21212 1x x f x x f x f x f -?+=+,且 1) (, 0) 2(-==ππf f (1)求 f(0)的值; (2)求证:f(x)是偶函数,且 ) x f x f () (-=-π; 19. 已知 f(x)为偶函数, g(x)为奇函数 , 且满足 1 1) () (-=+x x g x f ,求 f(x), g(x)。 20. 判断函数 (][)???∈----∈-+=6, 1, 4) 5(1, 6, 4) 5() (22x x x x x f 的奇偶性; 21.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<> 2) (2-+=x x x f ,求 f(x)的解析式; 22. 函数 2 1) (x b ax x f ++=是定义在 ()1, 1-上的奇函数,且 52) 21(=f (1)确定函数 f (x )的解析式; (2)判定函数的单调性; (3)解不等式 f(t-1)+f(t)<> 23. 已知函数 [)???? ???????????∈-??????-∈---∈+=2, 21, 121, 1, 21, 2, 1) (x x x x x x x x f (1)求函数的值域; (2)设函数 []2, 2, 2) (-∈-=x ax x g ,若对于任意 []2, 21-∈x ,总存在 []2, 20-∈x , 使得 ) () (10x f x g =,求实数 a 的取值范围。范文四：函数的概念与性质
范文五：函数的概念与性质
