勾股数大全勾股数表

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勾股数表

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295 177 1736 1745 177 5220 5223 178 7920 7922 180 189 261 180 240 300 180 273 327 180 299 349 180 385 425 180 432 468 180 525 555 180 663 687 180 800 820 180 891 909 180 1344 1356 180 1615 1625 180 2021 2029 180 2697 2703 180 4048 4052 180 8099 8101 182 624 650 182 1176 1190 182 8280 8282 183 244 305 183 1856 1865 183 5580 5583 184 345 391 184 513 545 184 1050 1066 184 2112 2120 184 4230 4234 184 8463 8465 185 444 481 185 672 697 185 3420 3425 186 248 310 186 952 970 186 2880 2886 186 8648 8650 187 1020 1037 187 1584 1595 188 2205 2213 188 4416 4420 188 8835 8837 189 252 315 189 340 389 189 648 675 189 840 861 189 1980 1989 189 2548 2555 189 5952 5955 190 336 386 190 456 494 190 1800 1810 190 9024 9026 192 220 292 192 256 320 192 360 408 192 494 530 192 560 592 192 756 780 192 1015 1033 192 1144 1160 192 1530 1542 192 2300 2308 192 3069 3075 192 4606 4610 192 9215 9217 194 9408 9410 195 216 291 195 260 325 195 400 445 195 468 507 195 748 773 195 1260 1275 195 1456 1469 195 2108 2117 195 3800 3805 195 6336 6339 196 315 371 196 672 700 196 1365 1379 196 2397 2405 196 4800 4804 196 9603 9605 198 264 330 198 336 390 198 880 902 198 1080 1098 198 3264 3270 198 9800 9802 200 210 290 200 375 425 200 480 520 200 609 641 200 990 1010 200 1242

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3132 3140 224 6270 6274 225 272 353 225 300 375 225 540 585 225 924 951 225 1000 1025 225 1680 1695 225 2808 2817 225 5060 5065 225 8436 8439 228 304 380 228 325 397 228 665 703 228 704 740 228 1071 1095 228 1435 1453 228 2160 2172 228 3245 3253 228 4329 4335 228 6496 6500 230 504 554 230 552 598 230 2640 2650 231 308 385 231 392 455 231 520 569 231 792 825 231 1260 1281 231 2420 2431 231 2960 2969 231 3808 3815 231 8892 8895 232 435 493 232 825 857 232 1674 1690 232 3360 3368 232 6726 6730 234 312 390 234 480 534 234 1040 1066 234 1512 1530 234 4560 4566 235 564 611 235 1092 1117 235 5520 5525 236 3477 3485 236 6960 6964 237 316 395 237 3116 3125 237 9360 9363 238 240 338 238 816 850 238 2016 2030 240 252 348 240 275 365 240 320 400 240 364 436 240 418 482 240 450 510 240 551 601 240 576 624 240 700 740 240 782 818 240 884 916 240 945 975 240 1188 1212 240 1430 1450 240 1591 1609 240 1792 1808 240 2394 2406 240 2875 2885 240 3596 3604 240 4797 4803 240 7198 7202 242 1320 1342 243 324 405 243 1080 1107 243 3276 3285 243 9840 9843 244 3717 3725 244 7440 7444 245 588 637 245 840 875 245 1188 1213 245 4284 4291 245 6000 6005 246 328 410 246 1672 1690 246 5040 5046 247 1596 1615 247 2340 2353 248 465 527 248 945 977 248 1914 1930

248 3840 3848 248 7686 7690 249 332 415 249 3440 3449 250 600 650 250 3120 3130 252 275 373 252 336 420 252 405 477 252 539 595 252 561 615 252 735 777 252 864 900 252 1120 1148 252 1311 1335 252 1755 1773 252 2261 2275 252 2640 2652 252 3965 3973 252 5289 5295 252 7936 7940 253 1380 1403 253 2904 2915 255 340 425 255 396 471 255 612 663 255 700 745 255 1288 1313 255 1904 1921 255 2160 2175 255 3608 3617 255 6500 6505 256 480 544 256 1008 1040 256 2040 2056 256 4092 4100 256 8190 8194 258 344 430 258 1840 1858 258 5544 5550 259 660 709 259 888 925 259 4788 4795 260 273 377 260 288 388 260 624 676 260 651 701 260 825 865 260 1287 1313 260 1680 1700 260 3375 3385 260 4221 4229 260 8448 8452 261 348 435 261 380 461 261 1160 1189 261 1248 1275 261 3780 3789 264 315 411 264 352 440 264 448 520 264 495 561 264 702 750 264 770 814 264 950 986 264 1073 1105 264 1440 1464 264 1573 1595 264 1927 1945 264 2170 2186 264 2898 2910 264 4352 4360 264 5805 5811 264 8710 8714 265 636 689 265 1392 1417 265 7020 7025 266 312 410 266 912 950 266 2520 2534 267 356 445 267 3956 3965 268 4485 4493 268 8976 8980 270 360 450 270 648 702 270 704 754 270 1200 1230 270 2016 2034 270 3640 3650 270 6072 6078 272 510 578 272 546 610 272 1071 1105 272 1140

1172 272 2304 2320 272 4620 4628 272 9246 9250 273 364 455 273 560 623 273 736 785 273 936 975 273 1764 1785 273 2860 2873 273 4136 4145 273 5320 5327 275 660 715 275 1500 1525 275 3432 3443 275 7560 7565 276 368 460 276 493 565 276 805 851 276 1040 1076 276 1575 1599 276 2107 2125 276 3168 3180 276 4757 4765 276 6345 6351 276 9520 9524 279 372 465

范文二：勾股数

勾股数

勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。目录

常用套路

简介

所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。即a2+b2=c2,a,b,c∈N

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n 得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c 互质的勾股数组。

关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：

第一套路

当a 为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。

实际上就是把a 的平方数拆成两个连续自然数，例如：

n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

n=3时(a,b,c)=(7,24,25)

... ...

这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

第二套路

2、当a 为大于4的偶数2n 时，b=n^2-1, c=n^2+1

也就是把a 的一半的平方分别减1和加1，例如：

n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

n=6时(a,b,c)=(12,35,37)

... ...

这是次经典的套路，当n 为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n 为偶数时由于b 、c 是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。

所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如：

n=2时(a,b,c)=(8,15,17)

n=3时(a,b,c)=(12,35,37)

n=4时(a,b,c)=(16,63,65)

... ...

公式证明

证明

a=2mn

b=m^2-n^2

c=m^2+n^2

证：

假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）如果a,b 均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k

等式化为4k^2 = (c+b)(c-b)

显然b,c 同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）

作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M ，N 为正整数

现在往证：(M,N)=1

所以(M,N)=1得证。

依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ... ，其中a1,a2... 均为偶数，p1,p2,p3... 均为质数

如果对于某个pi ，M 的pi 因子个数为奇数个，那N 对应的pi 因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M ，N 都是平方数。

设M = m^2, N = n^2

从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 从而a=2mn

局限

目前，关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15... ，就不能全部有公式计算出来。

完全公式

a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ①

其中m ≥3

⒈ 当m 确定为任意一个 ≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m 的因子}

⒉ 当m 确定为任意一个 ≥4的偶数时，k={m^2 / 2的所有小于m 的偶数因子}

基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如，当m 确定为偶数432时，因为k={432^2 / 2的所有小于432的偶数因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，将m=432及24组不同k 值分别代入b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2；即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b 和斜边c ，基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。

组数N

算术基本定理：一个大于1的正整数n ，如果它的标准分解式为

n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依据定理，易得以下结论

当a 给定时，不同勾股数组a ，b ，c 的组数N 等于①式中k 的可取值个数

⒈ 取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a 的因子}，则k 的可取值个数：

N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

⒉ 取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2 / 2的所有小于a 的偶数因子}，则k 的可取值个数：

N=[(2m0－1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

其中，p1，p2，……，pr 为互不相同的奇素数，m0，m1，……，mr 为幂指数。

口诀记忆

常见勾股数

3，4，5 ：勾三股四弦五

5，12，13 ： 5·12记一生（13）

6，8，10：连续的偶数

8，15，17 ：八月十五在一起（17）

特殊勾股数

连续的勾股数只有3，4，5

连续的偶数勾股数只有6，8，10

其他信息

20以内

3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82

20-40

20 21 29；20 48 52；21 28 35；21 72 75；24 32 40；24 45 51；24 70 74；25 60 65；27 36 45；28 45 53；30 40 50；30 72 78；32 60 68；33 44 55；33 56 65；35 84 91；36 48 60；36 77 85；39 52 65；39 80 89；40 42 58；40 75 85 ；40 96 104

40-100

42 56 70 ； 45 60 75 ； 48 55 73 ； 48 64 80 ； 48 90 102 ； 51 68 85 ； 54 72 90 ； 56 90 106 ； 57 76 95 ； 60 63 87 ； 60 80 100 ；

60 91 109 ； 63 84 105 ； 65 72 97 ； 66 88 110 ； 69 92 115 ；

72 96 120 ； 75 100 125 ； 80 84 116 ；

范文三：勾股数

勾股数

定义

　　勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

常见的勾股数

勾股弦

3K 4K 5K

5K 12K 13K

7K 24K 25K

8K 15K 17K

9K 40K 41K

...... ...... ......

注：3K,4K,5K即3,4,5的同一倍数

　　勾股数

　　A=s2-t2 B=2st C=s2+t2 其中s>t，且s，t为正整数。

勾股数组

　　满足勾股定理方程a²+b²=c²的正整数组（a，b，c）。例如3、4、5（即勾三、股四、弦五）就是一组勾股数组。

　　由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

　　勾股数组的通式：

　　a=M²-N²　

　　b=2MNc=M²+N²　(M>N,M,N为正整数）

勾、股、弦的比例

　　1：√3：2 （一个锐角为30°的直角三角形)

　　1：1：√2（等腰直角三角形）

勾股数的相关介绍

　　①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

　　②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

　　③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

　　]在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。　

　　这就是勾股定理的逆定理。　

　　勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c为最长边：如果A×A+B×B=C×C，则ABC是直角三角形。如果A×A+B×B>C×C，则ABC是锐角三角形。如果A×A+B×B<C×C，则ABC是钝角三角形。]证明方法b]1、统一法构造一个直角三角形A'B'C'.使得两直角边为a;b，由勾股定理，斜边为c。　根据边边边公理。得到2个三角形全等，所以原三角形为直角三角形。　

　　2、三角函数Cos90 已知AB2+BC2=AC2，而任一三角形的边之间均满足，AC2=AB2+BC2-2AB*BA*COSB ，比较两式得，COSB=0 ，B=90度。　

　　3、相似三角形证明依题意作ABC，设BC=a、AC=b、AB=c，满足a2+b2=c2 （a的平方+b的平方=c的平方）此时，在AB边上截取点D使∠DCB=∠A，在DCB与ACB中，∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠A DCB∽ACB DC:AC=BC:AB=BD:BC 把BC=a、AB=c代入，可求得BD= a2∕c（c分之a的平方）把AC=b代入，可求得CD= ab∕c AC=AB―BC=c-（a2∕c）（c-c分之a平方）= c2- a2（c平方-a平方）= b2∕c（c

分之b平方）在ACD与DCB中，DC:AD=BC:AC=BD:CD=a：b ACD∽DCB ∠ACB=∠BDC=∠ADC=90° 原命题

得证

　　显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。

　　1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。则8、15、17便是一组勾股数。证明：a、b、c构成一组勾股数

　　2．任取两个正整数m、n、（m>n），那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。

　　证明： a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 a、b、c构成一组勾股数。

　　3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。首先观察已知数是奇数还是偶数。

　　（1）若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。例如9是勾股数中的一个数，那么9、40、41便是一组勾股数。证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为

　　(2）若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。例如8是勾股数组中的一个数。那么8、15，17便是一组勾股数。

　　证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 （2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数

编辑本段最早的勾股定理应用

　　从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图

　　设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米

　　∵a=√[l2-（l-h)2]=√[52-(5-1)2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。

编辑本段《周髀算经》的证明

　　《周髀算经》为算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是中国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。

　　首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，

得邪至日”（《周髀算经》上卷二）

　　而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2]——

　　昔者周公问于商高

曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”

　　商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

　　周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。

《周髀算经》证明步骤

　　“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。

　　“故折矩①，以为勾广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个勾三（圆周率三）、股四（四方）的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。

　　“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。

　　“两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积，所以勾方+股方=弦方。

　　注意：

　　① 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。

　　② “既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]、曲安京[1]等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。

　　③ 长指的

是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称：“两矩者，句股各自乘之实。共长者，并实之数。

　　由于年代久远

，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。

编辑本段加菲尔德证明勾股定理

　　1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

　　如下：

　　解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的正方形面积。

　　勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，

　　说明：中国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。

　　举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方；= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5

　　则说明斜边为5。

编辑本段多种证明方法

　　这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。

　　有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（

参见循环论证）。

证法1

　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，

　　∴ ∠EGF = ∠BED，

　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，

　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形。

　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，

　　∴ ∠ABC = ∠EBD.

　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

　　即 ∠CBD= 90°

　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

　　BC = BD = a.

　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形。

　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S，则

　　A2+B2=C2

证法2

　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

　　F作FN⊥PQ，垂足为N.

　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，

　　∴ ∠MPC = 90°，

　　∵ BM⊥PQ，

　　∴ ∠BMP = 90°，

　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。

　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，

　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，

　　∴ ∠QBM = ∠ABC，

　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，

　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2

证法3

　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.

　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

　　∴FI=a，

　　∴G,I,J在同一直线上，

　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

　　∠CJB = ∠CFD = 90°，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

　　∴∠ABG = ∠BCJ,

　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，

　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°，

　　∵∠ABC= 90°，

　　∴G,B,I,J在同一直线上，

　　A2+B2=C2。

证法4

　　作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，

　　交AB于点M，交DE于点L.

　　∵ AF = AC，AB = AD，

　　∠FAB = ∠GAD，

　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

　　∵ ΔFAB的面积等于，

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM

　　的面积的一半，

　　∴ 矩形ADLM的面积 =.

　　同理可证，矩形MLEB

的面积 =.

　　∵ 正方形ADEB的面积

　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

　　∴ 即A2+B2=C2

证法5（欧几里得）

　　《几何原本》中的证明

　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，

其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：

　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

　　其证明如下：

　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

证法6（射影定理）

　　如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高

　　通过证明三角形相似则有射影定理如下：

　　（1）（BD）²;=AD·DC，

　　（2）（AB）²;=AD·AC ，

　　（3）（BC）²;=CD·AC。　

　　由公式（2）+（3）得：（AB）²;+（BC）²;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）²；，

　　图1即（AB）²;+（BC）²;=（AC）²，这就是勾股定理的结论。

图1

证法7（赵爽弦图）

　　在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形

边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

赵爽弦图

　　4×（ab/2）+（b-a）2 =c2；　

　　化简后便可得：a2 +b2 =c2;

青朱出入图

　　亦即：c=(a2 +b2 )1/2

证法8（达芬奇）

达芬奇的证法

　　三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间

那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。

　　证明：

　　第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE

　　第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'

　　因为S1=S2

　　所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'

　　又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF

　　所以OF2+OE2=E'F'2

　　因为E'F'=EF

　　所以OF2+OE2=EF2

　　勾股定理得证。

证法9

　　从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：

b ( a + b )= 1/2c2 + ab + 1/2(b + a)(b - a)

　　矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直

　　角三角形。

　　（简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab

　　2b2 - b2 + a2 = c2;

　　a2 + b2 = c2;

　　注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。

证法10

　　在Rt三角形ABC中，角C=90度，作CH垂直于AB于H。

　　令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d

　　1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c·a/c+b/c·b/c

　　=(a^2+b^2)/c^2=1

　　所以a^2+b^2=c^2

　　得证。

范文四：勾股数

所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。即a2+b2=c2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n 得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c 互质的勾股数组。关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：

第一套路

当a 为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。实际上就是把a 的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

第二套路

2、当a 为大于4的偶数2n 时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a 的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n 为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n 为偶数时由于b 、c 是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... 编辑本段公

式及证明证明

a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证：假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）如果a,b 均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c 同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M ，N 为正整数现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p ，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾所以(M,N)=1得证。依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2... 均为偶数，p1,p2,p3... 均为质数如果对于某个pi ，M 的pi 因子个数为奇数个，那N 对应的pi 因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M ，N 都是平方数。设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 从而a=2mn

上述公式的局限

目前，关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15... ，就不能全部有公式计算出来。编辑本段勾股数的完全公式完全公式

a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ① 其中m ≥3 ⒈ 当m 确定为任意一个 ≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m 的因子} ⒉ 当m 确定为任意一个 ≥4的偶数时，k={m^2 / 2的所有小于m 的偶数因子} 基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如，当m 确定为偶数432时，因为k={432^2 / 2的所有小于432的偶数因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，将m=432及24组不同k 值分别代入b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2；即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b 和斜边c ，基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。

勾股数的组数N

算术基本定理：一个大于1的正整数n ，如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依据定理，易得以下结论当a 给定时，不同勾股数组a ，b ，c 的组数N 等于①式中k 的可取值个数 ⒈ 取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a 的因子}，则k 的可取值个数： N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2 ⒉ 取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2 / 2的所有小于a 的偶数因子}，则k 的可取值个数： N=[(2m0－1) ×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2 其中，p1，p2，……，pr 为互不相同的奇素数，m0，m1，……，mr

为幂指数。编辑本段口诀记忆常见勾股数

3，4，5 ：勾三股四弦五 5，12，13 ： 5·12记一生（13） 6，8，10：连续的偶数 8，15，17 ：八月十五在一起（17）特殊勾股数

连续的勾股数只有3，4，5 连续的偶数勾股数只有6，8，10编辑本段100以内的勾股数开头数字为20以内

3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82

开头数字为20-40

开头数字为40-100

42 56 70 & 45 60 75 & 48 55 73 & 48 64 80 & 48 90 102 & 51 68 85 & 54 72 90 & 56 90 106 & 57 76 95 & 60 63 87 & 60 80 100 & 60 91 109 & 63 84 105 & 65 72 97 & 66 88 110 & 69 92 115 & 72 96 120 & 75 100 125 & 80 84 116 &

范文五：勾股数

常见的勾股数：（3， 4 ，5）（5，12，13）（6，8，10）（7，24，25）（8，15，17）（9，12，15 ）（9，40，41）（10，24，26）（11，60，61）（12，16，20）（12，35，37）（13 84 85 ）（14 48 50 ）（15 20 25 ）（15 36 39）（16 30 34 ）（16 63 65）（18 24 30）（18 80 82 ）（20 21 29 ）（20 48 52）（21 28 35 ）（21 72 75）（24 32 40）（24 45 51）（24 70 74）（25 60 65）（27 36 45）（28 45 53）（30 40 50）（30 72 78）

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