范文一：[曲率半径公式]曲率半径：曲率半径

[曲率半径公式]曲率半径:曲率半径 篇一 : 曲率半径:曲率半径-定义，曲率半径-公式推导

曲率半径就是曲率的倒数。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度就是曲线的曲率，曲率的倒数就是曲率半径。曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度，特殊的如:圆上各个地方的弯曲程度都是一样的而曲率半径就是它自己的半径;直线不弯曲，所以曲率是0，0没有倒数，所以直线没有曲率半径。圆形越大，弯曲程度就越小，也就越近似一条直线。所以说，圆越大曲率越小，曲率越小，曲率半径也就越大。

曲率_曲率半径 -定义

曲线的曲率。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义k就是曲率。

如果在某条曲线上的某个点可以找到1个相对的圆形跟他有相等的曲率,

那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径，在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。

曲率半径

renet公式

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式

摘 要:本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离

开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公

式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明.

关键词:空间曲线;曲率;挠率;Frenet公式

Spatial curvature,torsion and Frenet formulas

Abstract: This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof.

Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas

前言

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一

部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空

间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要

位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全

决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,

就会得到不同类型的曲线.例如:k?0时为直线,??0时为平面曲线.

本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线

的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.

1. 空间曲线的曲率和挠率的定义

1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架

给出c2类空间曲线和上一点p.设曲线的自然参数表示是

r?r,

其中s是自然参数，得

?

α?

r

?

drds

是一单位向量.α 称为曲线上p点的单位切向量.

由于α?1，则

?

α?α

，

即

??

?

r?r

.

在α上取单位向量

?

??

?

β?

α

?

?

r

??

，

αr

β

称为曲线上p点的主法向量.

再作单位向量

γ?α?β，

γ

称为曲线上p点的副法向量.

我们把两两正交的单位向量α,β,γ称为曲线上p点的伏雷内标

架. 1.2 空间曲线的曲率

我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一

条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.

要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ的平均弯曲程度可取为曲线在P、Q间切向量关于弧长的平均旋转角.

设空间中c类曲线的方程为

3

r?r.

曲线上一点p，其自然参数为s，另一邻近点p，其自然参数为s??s.在p、

1

p

1

两点各作曲线的单位切向量α和α.两个切向量的夹角是??，也

1

就是把点p的切向量α平移到点p后，两个向量α和α的夹角为??.

我们把空间曲线在p处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p的曲率.

定义?? 空间曲线在p点的曲率为

1

k?

lim

?s?0

???s

，

??为曲线在点p和p的切向量的夹角. 其中?s为p点及其邻近

点p间的弧长，

1

1

再利用命题“一个单位变向量r的微商的模r,的几何意义是r对

于t的旋转速度”.把这个结果应用到曲线的切向量α上去，则有

?

k?α

?

??

.

由于α?

r，所以曲率也可表示为

k?

r.

??

由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.

对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转，所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率

当曲线扭转时，副法向量位置随着改变，所以我 们用副法向量的转动速度来刻画曲线的扭转程度.

现在设曲线上一点p的自然参数为s，另一邻近点p的参数为s??s，

1

在p、p两点各作曲线的副法向量γ和γ.此两个副法向量的夹角

1

是??.

?

?的微商的模r,的几何意义是r对于t的旋转速度” .把这个结果应用到曲线的副法向量向量γ上去， 得到

?

γ

?

lim

?s?0

???s

，

此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋

转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大，副法向量对于弧长的旋转速

度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.

根据和曲率的定义，我们有

??

?

?

β?

r

??

?

α

?

?

αk

，

rα

即

α?kβ. 对γ?α?β求微商，有

?

?

γ

因而

??α?β?α?β?kβ?β?α?β?α?β，

????

?

γ

又因为γ是单位向量，所以

?α

.

?

γ?γ

.

由以上两个关系可以推出

γ//β. 现在我们给出挠率的定义如下: 定义?? 曲线在p点的

挠率为:

1

?

?

??

??γ，当γ和β异向，?

???

??

??γ，当γ和β同向.??

挠率的绝对值是曲线的副法向量对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.

2. Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导

2.1 Frenet公式的推导 根据及挠率的定义有

γ??? 另外，对β?γ?α求微商，并利用和，可以推导出

β??γ?α??γ?α?γ?α

?

?

?

?

?

???β?α?γ?kβ

??kα??γ

公式，，称为空间曲线的伏雷内公式，即

54空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式_n维欧式空间

?

?

α?kβ???

?β??kα??γ??

γ???β??

，

这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵

?0?

?k??0?

k0??

0??? ?0??

2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出c3类的空间曲线

r?r.，

则有

r?

,

drdsdsdt

?

?r

dsdt

，

??

dsdr?ds?ds???ds?ds??ds,,

r??r??r??r?r?r????222

dtds?dt?dtdt??dt?dt?

?

?

,

2

?

2

2

2

2

，

所以

????ds?2?d2s?????ds?3

r?r?r??r??r?r???r?， 2?

dt?dt??dt???dt??

,

,,

?

ds

由上式得

r?r

,

,,

?ds?

?rr??sin?

?dt?

?

??

3

.

注意上式中

?

?

??

r?1,r?r,

dsdt

?r

,

，

因而有

r?r

,

,,

?kr

,

3

.

由此得到曲率的一般参数表示式

k?

r?rr

,3,

,,

.

2.3挠率的一般参数表示式的推导 再由伏雷内公式的式

γ???是过曲线上一点P的主法线的正侧取线段PC，使PC的长为

1k

，以C为圆心，以

1k

为半径在密切平面上确定

一个圆，这个圆称为曲线在P点的密切圆，曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径.

3. 有关曲率、挠率的计算和证明

例 1?? 求圆柱螺线r??acos?,asin?,b???????????的曲率和挠率.

1

解 由圆柱螺线方程r??acos?,asin?,b??，先计算

r???asin?,acos?,b?,

,

r,,???acos?,?asin?,0?,

r

,,,

??asin?,?acos?,0?,

于是有

r?

e1

r?r

??asin?

?acos?

,

,,

,

e2acos??asin?

e3

b??absin?,?abcos?,a0

2

?,

r?r

,,,

?

代入曲率和挠率的公式得

k?

r?rr

,,3,

,,

?

3

?

aa?b

2

2

,

?

?r,r,r???

?r,r?

,,

,,,2

,

,,

ba

2

2

2

4

ab?a

?

ba?b

2

2

.

由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.

例 2?? 证明曲率恒等于零的曲线是直线.

1

证明 已知k?r?0,因而

r?0,

??

??

由此得到 r?a. 再积分即得 r?as?b, 其中b也是常向量.这是一

条直线的参数方程.

例 3?? 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线.

1

?

证明 若??0,则γ是固定向量，但是我们已知

α?γ?0,

因而有

?

r?γ?0,

积分后得

r?γ?a

，

所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.

以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、

挠率对空间曲线的研究有重要意义.

结语:

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.

参考文献:

[1] 梅向明，黄敬之.微分几何[M]. 北京:高等教育出版社，2008.

范文二：曲率半径计算公式

曲率半径计算公式

Mr. He C. S. 2012年10月10日

1. 已知曲线方程为 y =f (x ) ，则

i i ??x =x ?y (1+y

i i ?c

?y ? 圆心位置：?i 2?1+y ?y c =y +i i ?y ??2) R =(1+y ) |i 232y i i |

2. 已知曲线方程为??x =x (t ) ，则 ?y =y (t )

??x =x ??c i 2i 23?(x +y ) 2?R = 圆心位置：?ii i i ii ?x y ?x y ?y c =y +???y (x +y ) x i i i i 2i 2y y ii ii ?x

x ii ii y i x (x +y )

x i i 2i 2 ?y i

3. 已知曲线极坐标方程为ρ=ρ(?) ，则

R =(ρ2+ρ)

i 2i 232ii ρ2+2ρ?ρρ

i 2i ?2?x =ρcos ??(ρ+ρ)(ρcos ?+ρsin ?)

i 2ii ?c

2ρ+2ρ?ρρ圆心位置：? ?i 2i ?(ρ2+ρ)(ρsin ??ρcos ?) ?y c =ρsin ??i 2ii ?2ρ+2ρ?ρρ?

范文三：焦半径公式的证明

焦半径公式的证明

【寻根】 椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F 1，F （距离之和为定值2a （2a>2c ）2|F 1F 2|=2c ）

的动点轨迹（图形）.

这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c 和a .

第一个参数c ，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a ，就确定了椭圆的形状和大小. 比较它们的“身份”来，c 比a 更“显贵”. 遗憾的是，在椭圆的方程

之嫌. 里，却看不到c 的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”

为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c ，并寻找关于c 的“题根”.

一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式

数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义. 但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.

【例1】 已知点P （x ，y ）是椭圆上任意一点，F 1（-c ,0）和F 2(c ,0) 是椭圆的两个焦点. 求证：|PF 1|=a+；|PF 2|=a -.

【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来. 然后利用椭圆的方程“消y ”即可.

【解答】 由两点间距离公式，可知

|PF 1|= (1) 从椭圆方程解出

(2)

代（2）于（1）并化简，得

|PF 1|= (-a ≤x ≤a )

同理有 |PF 2|=

【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 (-a ≤x ≤a )

r 1=a+ex r 2=a-ex (e =)

从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c, 最小值a-c . 从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）

.

二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径

用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的. 为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.

椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物, 按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.

【例2】 P (x,y ) 是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，0）的距离的和为2a （a>c>0）. 试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.

【分析】 问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）. 先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.

【解答】 依题意，有方程组

②-③得

代①于④并整理得r 1-r 2= ⑤

联立①，⑤得

【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性. 由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.

三、 焦半径公式与准线的关系

用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.

如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c, 0）为焦点，以l 1： x=-为准线的椭圆上任意一点. PD ⊥l 1于D. 按椭圆

的第二定义，则有

即r 1=a+ex, 同理有r 2=a-ex.

对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.

准线

因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.

缺乏定义的“客观性”.

【例3】 P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任意一点. 直线l 为x=-，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：.

【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a +ex .

对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-=x+.

故有.

【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F （（F （）与定直线l 1:x =-1-c, 0）2c, 0）

的距离之比为定值e （0<><>

四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程 (l 2：x=)

现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半. 而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单, 特别是逆过程中的两次求平方根）.

其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.

【例4】 设点P （x ，y ）适合方程

0）的距离之和为2a （c =a -b ）. 222. 求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c, 0）和F 2（c ，

【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程. 利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.

【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c ,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知

r 1=a+ex ①

同理还有

r 2=a-ex ②

①+② 得 r 1+r 2=2a

即 |PF 1|+|PF 2|=2a .

即P （x ，y ）到两定点F 1（-c ，0）和F 2（c, 0）的距离之和为2a.

【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数. 因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.

范文四：用运动观点推倒曲率半径公式

本文受国家和国际知识产权法保护

用质点运动观点推导曲率半径公式

, 吕昌源 已知曲线方程为y=f(x),将其以t为参数改写为参数方程形式

,,,,,, , ,,,,,,,,,将该参数方程看作某质点的运动方程组

x和y对t求一阶导数得到速度的表达式

,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,

x和y对t求二阶导数得到加速度的表达式

,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,,, ,

由匀速圆周运动的向心加速度公式

,,,, ,,

推出曲率半径的表达式应当为

,,,, ,,

其中a为加速度在垂直于速度方向上的分量. n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,，,, ,,

ππ，，记从x轴正方向起旋转至速度方向的角度为θ,使 θ,,,,,22，，

,,,,θ,,,,,

,，,,,θ, ,,，,,,θ

y=f(x) 2y=f(x) 1

ay

ay

-θ v -θ ax -θ

θ ax θ

θ v

本文受国家和国际知识产权法保护

,,,,,,,,,θ,,,,,θ, ,,,

,,,,,,,,,,,,，，,,,,,,,,,,,,,,,, ,，,,,,，,,,,,,,, ,， ,,,，,,,θ,，,,,θ

,,,,,，,,,,,, ,，,,,,， ,,，,,,θ

最后得到

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,，,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,，,,,θ

1/30/2012 5:08 PM

范文五：曲率半径的物理求法

曲率半径的物理求法

第3期旭红:精品生物化学眯要素探忻l09

参考文献:

…张丽萍.生物化学简明敦程【.4版.北京:高等教育出版社,2009 【2j丁旭红.优化课堂提问提高教学效果l'IJ.教育珲沦研究,2003(5):11-12 [3I陈利论综合性大学师范类专业的敦学没it-[JI.扬州大学,2001,5(3):42—45 曲率半径的物理求法

吴来初

一

般的曲线运动都有瞬时加速度,通常将其分解为法向加速度a与切向加速度a,法向加速度与该处的曲率半径p的

关系足la.1=P(其中:为速度),据此可求曲线的曲率半径.

1等距螺旋线

例1求旋转半径为r,螺距为h的等距螺旋线的曲率半径.

解设质点沿X轴做匀速直线运动,速度为V,同时在垂直于轴的平面上做半径为r的匀速圆周运动,速度为v,

每前进一个螺距h刚好完成一次圆周运动,质点的运动轨迹就是等距螺旋线,并且有2ar/lv『=h/Iv1.在垂直于轴的平面

上,质点做匀速圆周运动的加速度大小为I=『/r,因沿轴方向,质点没有加速度,所以质点的合加速度就是n,从

而InI=/=0』:+IvI:,则得=【1+/(4n:r:)】r.显然等距螺旋线的曲率半径是处处相等的. 2摆线

例2汽车以速度沿直线行驶,车轮半径为,.将车轮轮缘上的点P在地面上的起点位置取为坐标原点,前进方向为

X轴正方向(见图1).求点P的运动轨迹方程以及轨迹的曲率半径. 解经过时间f,点P的坐标为=卜rsin(Iv,.[t/r),Y=r—rcos(Iv.It~r),消去t得点P的 轨迹方程为r:=(—):+(r—):=[rarccos(r,),)r一一]:+(r—y).

点P速度矢盛与加速度矢量关系见图2,点P的加速度为点P对车轮圆心0的加速度与D对

地的加速度的矢越和,因D对地的加速度为0,所以点P的加速度就是点尸对车轮圆心0的加速

度,其大小为_卜==/r,其法向分量的大小为I=(./r)sino.50.点P的速度p沿轨迹切线方

向是点P列车轮阋心0点转动速度与0对地的速度的矢量合成,大小为=21.Isin0.50.所以

(/r)sinO.50=一4sin:0.5o/p,解得P=4rsinO.50.

3椭圆

例3求髓圆匕任意点的曲率半径,已知长半轴与短半轴分别为a和b. 解某行星绕太阳做椭圆形运动,长半轴和短半轴分别是a,b,椭圆的焦距为C,太阳位于

0

图1点尸的运动轨迹

图2点P速度与

加速度的关系

椭圆的…'个焦点上,行星在近Et点和远日点时,到太阳的距离分别为a—c和a+c,速度分别是.和:.根据开普勒第

二定律得(a—c)=Iv:J+c),根据机械能守恒得0.5mlvJ:一GMm/(a,c)=0.5mJv:J一GMm/(a+c)(其中:M为太阳的质

量;m为行星的质量;G为引力常量),得=?+c)GM/[a(a—c)】.

行星运行到某位置P时,到太阳的距离为,,速度为v,行星到太阳的连线与行星速度的夹角为

0.根据椭圆的性质可知,法线PN平分ZF,eC(见图3).

设尸=2?,由余弦定理得():=r:}(一一2r(2a—r)cos2fl,由于COS2fl=2COS?一1, 因此r(2a—r)COS:-=":一c:.因nc:=b,所以sin=COS=b/4r(2a—r).根据开普勒第二定律

得II(a—c)=Ivlrsinc~,因而=?G(2n—r)/(ar),所以P=(2ar-r:)flab)

4抛物线

例4用运动分解方法求抛物线Y:一_2px(p>())任意点的曲率半径. 解抛物线方程Y=2px(p>0)叮看成Y轴}:速度为的匀逑直线运动卡u轴上加速度为a的

匀变速直线运动的台运动的运动轨迹(见圈4).由抛体运动规律Y=f,=05at,可得 Y:2Iv.jI/(f_因J比I=V/p.

图4抛体运动

设任点P时速度为,与方向成角0,则c.s=I/?.法向加速度的大小为I=lc.s= l//p~4p2t.I)因此1+).

(作者单位:娄底市涟源mt,湖南娄底417124)

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