范文一:高数公式所有的公式
2ta n
a 2
a
2t a a s in a =
1-ta n
c o s a =
1+ta n
2
a 2
1+ta n
2
a t a n a =2
1-t a 2
n
a 2
导数公式:
(tgx ) '=sec 2
x
(arcsinx ) '=
12
-x
2
(ctgx ) '=-csc x
(secx ) '=sec x ?tgx (arccosx ) '=-
1-x
2
(cscx ) '=-csc x ?ctgx 1(a x
) '=a x
ln a (arctgx ) '=
1+x
2
(log
a x ) '=
1(arcctgx ) '=-
1x ln a
1+x
2
基本积分表:
?tgxdx =-ln cos x +C ?dx
=
tgx +C
cos 2
x
?sec 2
xdx =?ctgxdx =ln sin x +C
dx
=
2
xdx =-ctgx +C
?sec xdx =ln sec x +tgx +C
?sin
2
x
?csc
?
csc xdx =ln csc x -ctgx +C ?sec x ?tgx dx =sec x +C dx
1x ?csc x ?ctgxdx
=-csc x +C ?a 2
+x 2
=
arctg
+C
a a
dx
1
?a
x
dx =
a
x
+C
?
ln
x -a +C
ln a
x 2-a 2
=
2a x +a ?shxdx
=chx +C ?dx
1a +x 2
+C
a -x 2
=ln
2a
a -x ?chxdx =shx +C
?
dx
=arcsin x +C
=ln(x +
x
2
±a 2
) +C
a 2-x
2
a
?
dx x
2
±a
2
π
π
2
2
I n =
?
sin
n
xdx =?cos
n
xdx =
n -1I 00
n n -2
x 2
+a 2
dx =
x x 2+a
2
+
a
2
?ln(x +x 2+a 2
) +C
22?x 2
-a 2
dx =
x x 2
-a
2
-
a
2
ln x +
x 2
-a 2
+C
22?
a 2
-x 2
dx =x a 2
-x
2
+
a
2
arcsin x +C
2
2
a
sin
2
x +co s 2x =1 sec 2x -ta n 2x =1 csc 2x -co t 2
x =1
倒数关系
tan x ?co t x =1 sec x ?co s x =1 cs c x ?sin x =1
商数关系
ta n x =
sin x c o t x =
c o s x c o s x
sin x
三角函数的有理式积分:
sin x =
2u 1-u 2x 1+u
2
, cos x =
1+u
2
, u =tg
2
, dx =
2du 1+u
2
一些初等函数: 两个重要极限:
e
x
-x
双曲正弦:shx =
-e lim
sin x =1
2
x →0
x -x
1双曲余弦:chx =
e
x
+e lim (1+
) x
=e =2. 71828182842
x →∞
x
x -x 双曲正切:thx =
shx =
e -e chx e
x
+e
-x
arshx =ln(x +x
2
+1)
archx
=±ln(x +x 2
-1)
arthx =
1ln 1+x 21-x
三角函数公式: ·诱导公式:
59045...
·和差角公式: ·和差化积公式:
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin βsin α+sin β=2sin
α+β
2
cos α-β
2
tg (α±β) =
tg α±tg β1 tg α?tg βctg (α±β) =
ctg α?ctg β 1ctg β±ctg α
sin α-sin β=2cos α+β
sin
α-β
2
2
cos α+cos β=2cos α+β
cos α-β
2
2
cos α-cos β=2sin α+β
sin
α-β
2
2
·倍角公式:
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=2cos α-1=1-2sin ctg 2α=
ctg α-12ctg α2tg α1-tg α
22
2
2
α=cos α-sin
22
α
sin 3α=3sin α-4sin
3
3
α
cos 3α=4cos α-3cos αtg 3α=
3tg α-tg α1-3tg α
23
tg 2α=
·半角公式:
sin
α
2
=±
1-cos α
21-cos α1+cos α
1-cos αsin α
sin α1+cos α
cos
α
2
=±
1+cos α
21+cos α1-cos α
=
1+cos αsin α
=
sin α1-cos α
tg
α
2
=±== ctg
α
2
=±
·正弦定理:
·反三角函数性质:arcsin x =
π
2
-arccos x arctgx
=
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
=2R ·余弦定理:c
2
=a
2
+b
2
-2ab cos C
π
2
-arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:
n
(uv )
(n )
=
∑
k =0
C n u
(n -1)
k (n -k )
v
(k )
v '+
n (n -1)
2!
u
(n -2)
=u
(n )
v +nu v ''+ +
n (n -1) (n -k +1)
k !
u
(n -k )
v
(k )
+ +uv
(n )
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:柯西中值定理:
f (b ) -f (a ) =f '(ξ)(b -a )
=f '(ξ) F '(ξ)
拉格朗日中值定理。
f (b ) -f (a ) F (b ) -F (a )
当F (x ) =x 时,柯西中值定理就是
曲率:
弧微分公式:平均曲率:K =
ds =?α+y 'dx , 其中y '=tg α
?α:从M 点到M '点,切线斜率的倾角变
2
化量;?s :M M '弧长。
?s
M 点的曲率:K =lim
?α=d α=y ''.
?s →0
?s
ds
(1+y '2
)
3
直线:K =0;
半径为a 的圆:K =
1.
a
定积分的近似计算:
b
矩形法:
?
f (x ) ≈
b -a (y +y a n
0+y 1+n -1)
b
梯形法:
?
f (x ) ≈
b -a [1
(y 0+y n ) +y 1+ +y n -1]a
n 2b
抛物线法:
?
f (x ) ≈
b -a [(y (y +4(y 3n
0+y n ) +22+y 4+ +y n -2) 1+y 3+ +y n -1)]
a
定积分应用相关公式:
功:W =F ?s 水压力:
F =p ?A
引力:F =k m 1m 2, k 为引力系数r
2
1b
函数的平均值:y =
b -a ?
f (x ) dx
a
b
均方根:
1b -a
?
f
2
(t ) dt
a
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:向量在轴上的投影:
Pr j u (a 1+ a ?b =a ?
d =M 1M
2
=
(x 2-x 1) +(y 2-y 1) +(z 2-z 1)
222
Pr j u AB =cos ?, ?是AB 与u 轴的夹角。
a 2) =Pr j a 1+Pr j a 2
b cos θ=a x b x +a y b y +a z b z , 是一个数量
cos θ=
,
两向量之间的夹角:
a x b x +a y b y +a z b z
a x +a y +a z
2
2
2
?
b x +b y +b z
222
i
c =a ?b =a x
b x
j a y b y
a z , c =a ?b sin θ. 例:线速度:b z
a y b y c y
a z b z c z
k
v =w ?r .
向量的混合积:
a x
[a b c ]=(a ?b ) ?c =b x
c x
=a ?b ?c cos α, α为锐角时,
代表平行六面体的体积。
平面的方程:1、点法式:2、一般方程:3、截距世方程:
A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0,其中n ={A , B , C },M 0(x 0, y 0, z 0)
Ax +By +Cz +D =0x a +y b +z c =1
Ax
平面外任意一点到该平面的距离:d =
+By A
2
+Cz
2
+D
2
+B +C
空间直线的方程:
x -x 0
m
=
y -y 0
n
=
z -z 0
p
?x =x 0+mt
?
=t , 其中s ={m , n , p };参数方程:?y =y 0+nt
?z =z +pt
0?
二次曲面:1、椭球面:
x a
222
+
y b
222
+
z c
22
=1
2、抛物面:3、双曲面:单叶双曲面:
x
2p
+
y
2q
=z (, p , q 同号)
x a
2222
+
y b y b
2222
-
z c z c
2222
=1
双叶双曲面:
x a
-+=(马鞍面)1
多元函数微分法及应用
全微分:dz =
?z ?x
dx +
?z ?y
dy du =
?u ?x
dx +
?u ?y
dy +
?u ?z
dz
全微分的近似计算:多元复合函数的求导法
?z ≈dz =f x (x , y ) ?x +f y (x , y ) ?y :
dz ?z ?u ?z ?v
z =f [u (t ), v (t )]=?+?
dt ?u ?t ?v ?t ?z ?z ?u ?z ?v
z =f [u (x , y ), v (x , y )]=?+?
?x ?u ?x ?v ?x 当u =u (x , y ) ,v =v (x , y ) 时,du =
?u ?x
dx +
?u ?y
dy dv =
?v ?x
dx +
?v ?y
dy
隐函数的求导公式:
F x F x F x dy d y ??dy
隐函数F (x , y ) =0=-2=(-) +(-) ?
dx F y ?x F y ?y F y dx dx F y F x ?z ?z
隐函数F (x , y , z ) =0=-=-
?x F z ?y F z
?F
隐函数方程组:
?F (x , y , u , v ) =0?(F , G )
J ==?u ?
?G ?(u , v ) ?G (x , y , u , v ) =0
?u
?v ?x
?v ?y
=-
1J 1J ?
?(F , G ) ?(u , x ) ?(F , G ) ?(u , y )
?F F
?v =u ?G G u ?v
F v G v
2
?u ?x ?u ?y
=-
1J 1J
?
?(F , G ) ?(x , v ) ?(F , G ) ?(y , v )
=-?=-?
微分法在几何上的应用:
?x =?(t )
?
?y =ψ(t ) 在点M (x 0, y 0, z 0) 处的切线方程:?z =ω(t ) ?
x -x 0
y -y 0
z -z 0
空间曲线
?'(t 0)
=
ψ'(t 0)
=
ω'(t 0)
在点M 处的法平面方程:若空间曲线方程为:
?'(t 0)(x -x 0) +ψ'(t 0)(y -y 0) +ω'(t 0)(z -z 0) =0
F y T ={
G y
F z G
z
??F (x , y , z ) =0
, 则切向量?
G (x , y , z ) =0??
,
F z G z
F x G
x
,
F x G x
F y G
y
曲面F (x , y , z ) =0上一点M (x 0, y 0, z 0) ,则:
1、过此点的法向量:n ={F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程:
:F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0x -x 0
F x (x 0, y 0, z 0)
=
y -y 0
F y (x 0, y 0, z 0)
=
z -z 0
F z (x 0, y 0, z 0)
方向导数与梯度:
函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 沿任一方向其中?为x 轴到方向
l 的转角。
l 的方向导数为:
?f ?l
=
?f ?x
cos ?+
?f ?y
sin ?
函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 的梯度:grad f (x , y ) =
?f ?f
i +j ?x ?y
它与方向导数的关系是单位向量。∴?f ?l
?f
=grad f (x , y ) ?e ,其中e =cos ??i +sin ??j ,为l 方向上的?l
是grad f (x , y ) 在l 上的投影。
多元函数的极值及其求法:
设f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0,令:f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B , f yy (x 0, y 0) =C ??A <0, (x="" 0,="" y="" 0)="" 为极大值2ac="" -b="">0时,??
?A >0, (x 0, y 0) 为极小值?
?2
则:值?AC -B <>
?AC -B
???
2
=0时, 不确定
重积分及其应用:
??
D
f (x , y ) dxdy =
??
D '
f (r cos θ, r sin θ) rdrd θ
2
2
曲面z =f (x , y ) 的面积A =
??
D x
??z ???z ?
?dxdy 1+ ?+ ?
??x ???y ?
平面薄片的重心:=
M M
??
=
D
x ρ(x , y ) d σ
, =
M M
y
??
=
D
y ρ(x , y ) d σ
??
D
ρ(x , y ) d σ
??
D
ρ(x , y ) d σ
y 轴I
=
平面薄片的转动惯量:平面薄片(位于F x =f
对于x 轴I x =
??
D
y ρ(x , y ) d σ, 对于
2
y
??
D
x ρ(x , y ) d σ
2
xoy 平面)对z 轴上质点M (0, 0, a ), (a >0) 的引力:
F ={F x , F y , F z },其中:
??
D
ρ(x , y ) xd σ
(x
2
F y =f 3
2
??
D
ρ(x , y ) yd σ
(x
2
F z =-fa ??3
2
D
ρ(x , y ) xd σ
3
+y
2
+a )
2
+y
2
+a )
2
(x
2
+y
2
+a ) 2
2
柱面坐标和球面坐标:
?x =r cos θ?
柱面坐标:?y =r sin θ, ???f (x , y , z ) dxdydz
?
?
z =z
Ω
=
???
Ω
F (r , θ, z ) rdrd θdz ,
其中:F (r , θ, z ) =f (r cos θ, r sin θ, z )
?x =r sin ?cos θ?2
球面坐标:?y =r sin ?sin θ, dv =rd ??r sin ??d θ?dr =r sin ?drd ?d θ
??
z =r cos ?
2π
πr (?, θ)
2
???
Ω
f (x , y , z ) dxdydz
1M
=
???
Ω
F (r , ?, θ) r sin ?drd ?d θ=
1M
2
?d θ?d ??F (r , ?, θ) r
sin ?dr
重心:=转动惯量:
???
Ω
x ρdv , =
???
Ω
y ρdv , =
1M
2
???
Ω
z ρdv , 其中M ==(x
2
2
???
Ω
ρdv
I x =
???
Ω
(y
2
+z ) ρdv , I y =
2
???
Ω
(x
2
+z ) ρdv , I z =
???
Ω
+y ) ρdv
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧设f (x , y ) 在L 上连续,
β
长的曲线积分):L 的参数方程为:
?x =?(t )
, (α≤t ≤β), 则:?
y =ψ(t ) ?
2
?
L
f (x , y ) ds =
?
α
f [?(t ), ψ(t )]?'(t ) +ψ'(t ) dt (α<β)>β)>
2
?x =t
?
?y =?(t )
第二类曲线积分(对坐设L 的参数方程为
标的曲线积分):
?x =?(t )
,则:?
y =ψ(t ) ?
β
?P (x , y ) dx
L
+Q (x , y ) dy =
?{P [?(t ), ψ
α
L
(t )]?'(t ) +Q [?(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt
两类曲线积分之间的关L 上积分起止点处切向量格林公式:
系:?Pdx +Qdy =的方向角。) dxdy =
?P ?y
?(P cos α
L
+Q cos β) ds ,其中α和β分别为
??
D
(
?Q ?x
-
?P ?y
L
Pdx +Qdy 格林公式:
??
D
(
?Q ?x
-
?P ?y
) dxdy =
12
Pdx
L
+Qdy
当P =-y , Q =x ,即:·平面上曲线积分与路径
?Q ?x
-=2时,得到D 的面积:A =
??
D
dxdy =
xdy
L
-ydx
无关的条件:
1、G 是一个单连通区域;
2、P (x , y ) ,Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分,·二元函数的全微分求积在
?Q ?x u (x , y ) =
=?P ?y
注意方向相反!:
u (x , y ) 的全微分,其中:
,且
?Q ?x
=?P ?y
。注意奇点,如
(0, 0) ,应
时,Pdx +Qdy 才是二元函数
(x , y )
?P (x , y ) dx
(x 0, y 0)
+Q (x , y ) dy ,通常设
x 0=y 0=0。
曲面积分:
对面积的曲面积分:
??
∑
f (x , y , z ) ds =
??
D xy
f [x , y , z (x , y )]+z x (x , y ) +z y (x , y ) dxdy
22
对坐标的曲面积分:
??
∑
P (x , y , z ) dydz +Q (x , y , z ) dzdx +R (x , y , z ) dxdy ,其中:R [x , y , z (x , y )]dxdy ,取曲面的上侧时取正
号;
??
∑
R (x , y , z ) dxdy =±
??
D xy
??
∑
P (x , y , z ) dydz =±
??
D yz
P [x (y , z ), y , z ]dydz ,取曲面的前侧时取正号;
??Q (x , y , z ) dzdx
∑
=±??Q [x , y (z , x ), z ]dzdx ,取曲面的右侧时取正
D zx
号。
两类曲面积分之间的关
系:??Pdydz +Qdzdx
∑
+Rdxdy =
??(P cos α
∑
+Q cos β+R cos γ) ds
高斯公式:
???
Ω
(
?P ?x
+
?Q ?y
+
?R ?z
) dv =
∑
Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =
∑
(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds
高斯公式的物理意义散度:
——通量与散度:
div ν<0,>0,>
...
?P ?Q ?R
div ν=++, 即:单位体积内所产生的流体质量,若
?x ?y ?z
通量:??A ?n
ds =??A n ds =??(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds ,
∑
∑
∑
因此,高斯公式又可写
成:???
div A dv =
A n ds
Ω
∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
??
(
?R -
?Q ) dydz +(
?P -
?R ) dzdx +(?Q -
?P ) dxdy =∑
?y
?z
?z
?x
?x
?y
Pdx
+Qdy +Rdz Γ
dydz
dzdx dxdy cos α
cos βcos γ上式左端又可写成:
??
???=
??
???∑
?x ?y ?z ∑
?x ?y ?z P
Q
R P
Q
R
空间曲线积分与路径无
关的条件:?R =?Q ?P =?R ?Q =?P ?y
?z ?z ?x ?x ?y
i
j k
旋度:rot A =
????x ?y ?z P
Q
R
向量场A 沿有向闭曲线
Γ的环流量:
Pdx
+Qdy +Rdz =
A ? t ds
Γ
Γ
常数项级数:
n
等比数列:1+q +q
2
+ +q
n -1
=
1-q
1-q
等差数列:1+2+3+ +n =(n +1) n
2
调和级数:1+
1+1+ +
1是发散的
23n
级数审敛法:
1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):
设:ρ=lim
n →∞
?ρ<>
u n ,则?ρ>1时,级数发散
?ρ=1时,不确定?
2、比值审敛法:
U U
?ρ<>
,则?ρ>1时,级数发散
?ρ=1时,不确定?
设:ρ=lim
n →∞
n +1n
3、定义法:
s n =u 1+u 2+ +u n ; lim s n 存在,则收敛;否则发
n →∞
散。
交错级数
u 1-u 2+u 3-u 4+ (或-u 1+u 2-u 3+ , u n >0) 的审敛法
??u n ≥u n +1
,那么级数收敛且其和?
lim u =0??n →∞n
——莱布尼兹定理:
r n ≤u n +1。
如果交错级数满足
s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值
绝对收敛与条件收敛:
(1) u 1+u 2+ +u n + ,其中u n 为任意实数;(2) u 1+u 2+u 3+ +u n + 如果(2) 收敛,则如果(2) 发散,而调和级数:
(1) 肯定收敛,且称为绝对(1) 收敛,则称发散,而
收敛级数;
(1) 为条件收敛级数。
n
∑∑
1n
∑
(-1) n
级数:
1n
2
收敛;
≤1时发散p >1时收敛
p 级数:∑
1n
p
幂级数:
1+x +x
2
+x + +x
3n
+ x <1时,收敛于x>1时,收敛于x>
11-x
对于级数
(3) a 0+a 1x +a 2x
2
+ +a n x
n
+ ,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全
x
数轴上都收敛,则必存
在R ,使
x >R 时发散,其中R 称为收敛半径。x =R 时不定
ρ≠0时,R =
求收敛半径的方法:设
lim
n →∞
1
ρ
a n +1a n
=ρ,其中a n ,a n +1是(3) 的系数,则
ρ=0时,R =+∞ρ=+∞时,R =0
函数展开成幂级数:
函数展开成泰勒级数:
f
(n +1)
f (x ) =f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0)
n +1
f ''(x 0) 2!
(x -x 0) + +
2
f
(n )
(x 0)
n !
(x -x 0) +
n
余项:R n =
(ξ)
(n +1)!
, f (x ) 可以展开成泰勒级数的
f ''(0) 2!
充要条件是:
f
(n )
lim R n =0
n →∞
n
x 0=0时即为麦克劳林公式:
f (x ) =f (0) +f '(0) x +x
2
+ +
(0)
n !
x +
一些函数展开成幂级数:
(1+x )
m
=1+mx +x
3
m (m -1)
2!
x
2
+ +
x
m (m -1) (m -n +1)
n !
x
n
+ (-1
sin x =x -
3!
+
x
52n -1
5!
- +(-1)
n -1
(2n -1)!
+ (-∞
欧拉公式:
?e +e
cos x =??2
?ix -ix
e -e ?
sin x =?2?
ix
-ix
e
ix
=cos x +i sin x 或
三角级数:
∞
f (t ) =A 0+
∑
n =1
A n sin(n ωt +?n ) =
a 02
∞
+
∑
n =1
(a n cos nx +b n sin nx )
其中,a 0=aA 0,a n =A n sin ?n ,b n =A n cos ?n ,ωt =x 。
正交性:1, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x sin nx , cos nx 任意两个不同项的乘积上的积分=
0。
在[-π, π]
傅立叶级数:
f (x ) =
a 02
∞
+
∑
n =1
(a n cos nx +b n sin nx ) ,周期
=2π
?1?a n =
π?
其中?
1?
b n =?π?1+ 12
2
π
?
-π
f (x ) cos nxdx (n =0, 1, 2 )
π
?
-π
f (x ) sin nxdx (n =1, 2, 3 )
13+
2
+14
2
15+
2
+ =16
2
π
8
2
1+
12
2
+
13
2
+
14
2
+ =
π
6
2
2
+ =
π
2
24
1-2
π
12
2
+
13
2
-
14
2
+ =
π
12
正弦级数:
a n =0,b n =
π
2
?
f (x ) sin n xdx n =1, 2, 3 f (x ) =
∑
a 02
b n sin nx 是奇函数
π
余弦级数:
b n =0,a n =
π
?
f (x ) cos nxdx n =0, 1, 2 f (x ) =+
∑
a n cos nx 是偶函数
周期为2l 的周期函数的傅立叶级数:
f (x ) =
a 02
∞
+
∑
n =1l
(a n cos
n πx l
+b n sin
n πx l
) ,周期=2l
?1n πx
dx (n =0, 1, 2 ) ?a n =?f (x ) cos
l -l l ?
其中?
l 1n πx ?
b n =?f (x ) sin dx (n =1, 2, 3 ) ?l l -l ?
微分方程的相关概念:
一阶微分方程:
y '=f (x , y ) 或 P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0
:一阶微分方程可以化
为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式,解法:
可分离变量的微分方程
?g (y ) dy =?
f (x ) dx 得:G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。
dy dx
=f (x , y ) =?(x , y ) ,即写成
dx x =
du
y x
y x
代替u ,
的函数,解法:
齐次方程:一阶微分方
y x
dy dx
程可以写成du dx
du dx
设u =,则=u +x ,u +=?(u ) ,∴
?(u ) -u
分离变量,积分后将
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:
1、一阶线性微分方程:
dy dx
+P (x ) y =Q (x )
-
当Q (x ) =0时, 为齐次方程,当Q (x ) ≠0时,为非齐次方程,2、贝努力方程:
dy dx
y =Ce
?P (x ) dx
?P (x ) dx
dx +C ) e
-
y =(?Q (x ) e
n
?P (x ) dx
+P (x ) y =Q (x ) y ,(n ≠0, 1)
全微分方程:
如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0,其中:∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的
通解。
?u
分方程,即:
?u
=P (x , y ) =Q (x , y ) ?x ?y
二阶微分方程:
d y dx
22
+P (x )
dy dx
+Q (x ) y =f (x ) f (x ) ≡0时为齐次f (x ) ≠0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)y ''+p y '+qy =0,其中p , q 为常数;求解步骤:1、写出特征方程:
(?) r
2
+pr +q =0,其中r ,r 的系数及常数项恰好是r 1, r 2
2
(*)式中y '', y ', y 的系数;
2、求出(?) 式的两个根
3、根据
r 1, r 2的不同情况,按下表写
出(*)式的通解:
二阶常系数非齐次线性微分方程
y ''+p y '+qy =f (x ) ,p , q 为常数f (x ) =e f (x ) =e
λx
P m (x ) 型,λ为常数;
[P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型
λx
范文二:对一个动量算符公式的质疑
对一个动量算符公式的质疑
:酬昆明
(商丘师范学院物理系河南商丘476000)
摘要:指出由于在曲线坐标系中,动量算符p的分量p,不一定满足自伴性,因而公式==寺『J孓y‘ty一吮y‘)d矿不能成立。
关键词:曲线坐标系;动量算符;自伴性
中图分类号;0413
1弓I西
文献【l】在曲线坐标系中由公式
=专ll如’仝Jv一谤Jl},‘、dy
一=一旦Hjf"旦0qj+-≤LV-ej)c文[,】式¨)(2)
这是因为依据定义
Illp’pi删y(3)
l妒萤i测=鼍sl如‘圣J妒一毋JI;,‘)av
(4)
(5)
(6)
J渺+p,孵矿=f』p(ty)’dV(7)
事实上,文献[1】作者在文献[2】中已确认;在曲线坐标系中的某些t①不自伴,因此在量子力学中不
斗导得了动量分量的算符公式然而,公式(1)在曲线坐标系中却是一个不能成立的公式。若要式(3)等于式(1),则必有郦l铷‘童J硼V=一ll妒,妒‘dV注意到动量算符争叫巾一‘-?刍s可ej瓦0州毛2(一神可1瓦0丁.是,由式(4)、(6)可得上式表明在曲线坐标系中,动量分量的算符都是厄米算符。而这个结论却是与人们的普遍认识相矛盾:即在曲线坐标系中,动量分量的算符并非各个自伴(自伴性强予厄米性)。矛盾的产生却是缘于让式(3)等于式(1)。因式(3)是一个定义式.这就证明了文献【Il给出的式(1)不能成立。‘作肴简介:胡昆明(1948-),男,河南郾城人,商丘师范学院物理系副教授。
能成为力学量的算符。②量J咖‘t旧y究竟代表什么物理量?它可能毫无意义。
显然。笔者完全赞同文献[1]、[2]作者的上述2个观点。由观点①,文献[1]给出的公式(1)不能普遍成立。由观点②
=Ⅱp’t归y已毫无意义,那么文献[2]给出的
=Ⅱ肜‘t阳矿也不可能获得什么意义。
上述分析表明,在曲线坐标系中,公式(1)不能成立,文献n、2]依据公式(1)给出求取动量分量的算符公式(2)的方法是行不通的。
事实上,要推导出公式(2),必须象文献[3、4]那样,首先定义出满足厄米性质的任一动量分量的算符应为
.1..
一=寺(e,‘P+P’e∥(8)
注意到式(5).才能由式(8)导出式(2),式(2)的严格写法应为
t一瓦iTl瓦_0+等(V一)】
能的。㈤显然,试图仅由式(6)给出的t的平均值公式==来导出式(2)是完全不可
参考文献:
许方官,对动量算符的讨论。大学物理,1999,18(9):1。[I】
[2]许方官,关于对《曲线坐标系中相对论性动量分量的算符中会出现∑:项吗》一文的答复。大学物理,2003,22(3):19。
[3】
[4]钱伯初,曾瑾言著,量子力学习题精选与剖析,北京:科学出版社(1999):98梁灿宾,正则动理算符之争。大学物理,1994,13(4):4。
TheQueryonaMomentumFunctorFormula
HuKun?ming
(DepartmentofPhysicsShangqiuTeachersCollege,Sangqiu,Henan,476000,china)
Abstract:Inthispaper,thattheformulaof=_三JJJ(∥’如一谚y‘)d矿c锄otbetenableispointedoutbecauseoftheponent乒ofthemomentumfunctorpnotalwayssatisfyingthe
system.self-adjointnessinthecurvilinearcoordinate
[KeyWords]:theCurvecoordinate,Momentomoperators,Hermitiandujaim
对一个动量算符公式的质疑
作者:
作者单位:胡昆明商丘师范学院物理系(河南商丘)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Conference_5613721.aspx
范文三:电磁波动量密度的普适公式
安 徽 机 电 学 院 学 报V o l. 12 N o. 3 第 12 卷 第 3 期
Jo u rna l o f A nh u i In st itu te o f M ech an ica l and E lec t r ica l E ng inee r ing Sep. 1997 1997 年 9 月
α 3 电磁波动量密度的普适公式
刘全跃
( )皖南医学院 芜湖 241000
2 r+利用动量守恒原理推导出电磁波在介质界面上反射、折射时的能量守恒式 摘要
ncos iτ ψ ψψ ?22 ) () (1 即 R + T = 1, 进而证明电磁波动量密度的普适公式是 g = D ×B = Εu E × H =ncos i11 1 ττ 1 ψ ? 1 τ ) (= S , 而不是 g = E × H = S 。2 2 2 v C C
普适公式 关键词动量密度 动量守恒
中图分类号 O 44115
( 利用麦克斯韦方程组、洛伦兹力公式以及动量守恒原理可以推导出电磁波动量密度 单
) 体积中电磁波动量的表达式。若是利用真空中的麦氏方程组, 推导出的电磁波动量密度表
达式为
τ 1 ψ ? 1 τ () g = E × H = S()1 2 2 C C
若利用介质中的麦氏方程组, 且介质是各向同性的, 则导出结果为
τ ψψψ ? 1 τ ) () (()g = D ×B = Εu E × H = S 2 2 v τ () ()的闵可夫斯基表达式 1908 年。那么, 电磁波动量密度的普适公式到底是 2式是通称的 g
1 , 3 () () () 1式还是 2式呢? 在《电动力学》与《电磁学》的一些教材中, 均认为 1式是电磁波动
() 量密度的具有普适性的一般表达式。笔者认为, 电磁波动量密度的普适公式应是 2式, 理
由有如下两点:
11 大家知道, 真空可算是介质的一种特例, 因此电磁波动量密度的普适公式理应为由
() 介质中的麦氏方程组推出的 2式。
() 21 笔者发现, 只有将 2式作为电磁波动量密度的普适公式, 才能利用动量守恒原理推
n 2 cos i2 2 () = 导出电磁波在介质界面上反射、折射时的能量守恒式 r+1 即R + T = 1, 若利n cos i 1 1
() () 用1式则得不到这一结果。这一事实就足以说明电磁波动量密度的普适公式应是 2式而() () 不是 1式。下面就利用动量守恒定律和2式来推导R + T = 1 这一电磁波在介质界面上
反射折射时应遵从的守恒式。
( 对于介质中的平面电磁波来说, 其动量密度为 g , 传播速度为 v , 因此动量流密度 单位
) 时间内垂直流过单位面积的动量在数值上应为 v g。如果令动量流密度为 G , 则有
1 n = v g = = G S Sv C
如图 1 所示, 设 ? 平面电磁波从介质 1
入射于界面上, 其电矢量的大小为 E , 介质1
1 的折射率为 n , 入射角为 i, 投射在界面上 1 1
的面积为A , 则平均能流密度的大小为 S 1
Ε1Ε01 1 2 2 (E == nE 对于一般的绝1 1 1 2 u 2 u 10
) Ε 缘介质有, u = u , n =r , 动量流密度大0
小为 G , 相应的动量流应为 G A cos i; ? 反1 11
’’ 射波电矢量大小为 E 1 , 平均能流密度 S 1 =
Ε 1 0 ’’2 n E , 动量流密度 G , 动量流应为1 1 1 2 u 图 1 电磁波的入射与折射0
’ G A cos i; ? 折射波的折射角为 i, 介质 2 的折射率为 n , 其电矢量大小为 E , 平均能流密112 2 2
Ε1 02 S 2 = n 2 2 E , 动量流密度为 G , 动量流为 G A cos i。2 222 u 0
由于入射到界面的电磁波与界面之间有相互作用, 界面受到电磁辐射压力, 因此在界
的法线方向上动量不守恒, 但在界面的切线方向上动量是守恒的, 依动量守恒原理, 有
’() ) ) ( ( G A cos is in i= G A cos is in i+G A cos is in i1 11 1 1 1 22 2
’ G cos is in i= G cos is in i+G cos is in i1 1 1 1 1 1 2 2 2
n S将 G =,这一关系式代入等式两侧c
得
’ n S cos is in i= n S cos is in i+1 21 1 1 11 1 n 2S 2 cos i2 s in i2
即
2 2 2 2 2 ’2E cos is in i= n E cos is in i+ n E cos is in i n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 22 n cos is in i 2 2 22 ’22 = E + E E 1 1 22 n cos is in i1 1 1
n s in i代入上式,将折射定律 n s in i=2 2 1 1
得
n cos i2 22 ’22= E + E 1 1 E 2 n cos i 1 1
’ E n cosi E 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) + =1 E n cos iE 11 1 1
故
n 2 cos i22 2 ()r+ t=1 R + T = 1 n cos i 1 1
() 容易证明: ? 在界面的法线方向上动量不守恒; ? 利用1式得不到R +T = 1 这一
果; ? 利用能量守恒原理可以更方便地推导出R + T = 1 这一结果, 在此均从略。另外, 利
刘全跃电磁波动量密度的普适公式第 3 期 ?75?
() 从以上推导可以看出, 电磁波动量过程是满足动量守恒的, 但只有利用 2式, 电磁波
() 动过程的动量定恒性才能得到正确的表示, 电磁波动量密度的普适公式应是 2式。
参考文献
1 11 杰克逊 1 经典电动力上册, 北京: 人民教育出版社, 1978: 265 J D
2 郭硕鸿 1 电动力学 1 北京: 人民教育出版社, 1979: 198
3 赵凯华等 1 电磁学, 下册 1 北京: 人民教育出版社, 1978: 327
O n the C om m o n F o rm u la o f E le c t rom a g ne t ic
W a v e πs M om e n tum D e ns ity
L iu Q u a ny u e
() 241000 W annan M ed ica l Co llegeW uh u
2 co si2 n 2 (+ = 1 + A bstra c t T h is p ap e r dedu ce s f rom th e en e rgy co n sen va t io n fo rm u la rR Tn co si 1 1) = 1th a t ligh t ref lec ted an d ref rac ted o n th e d ie lec t r ic su rface o b se rve s th e p r in c ip le o f th e
, co n se rva t io n o f m om en tum w h ich com f irm s th a t th e comm o n fo rm u la o f e lec t rom agn e t ic
1 1 1 οψ τ τ ψ ττ ψτο ()××( ×)= = = D B Εu E H S b u t no t g E H= S. w ave’ s m om en tum den sity is g= 2 2 v C C 2
,th e co n se rva t io n o f m om en tum , th e comm o n fo rm u la Key word s m om en tum den sity
范文四:初中物理的所有公式
初中物理的所有公式
一、测量
⒈长度 L :主单位 :米;测量工具 :刻度尺;测量时要估读到最小刻度的下一位;光年的单位 是长度单位。
⒉时间 t :主单位 :秒;测量工具 :钟表;实验室中用停表。 1时=3600秒, 1秒=1000毫秒。 ⒊质量 m :物体中所含物质的多少叫质量。主单位:千克; 测量工具:秤;实验室用托盘 天平。
二、机械运动
⒈机械运动:物体位置发生变化的运动。
参照物:判断一个物体运动必须选取另一个物体作标准,这个被选作标准的物体叫参照物。 ⒉匀速直线运动:
①比较运动快慢的两种方法:a 比较在相等时间里通过的路程。 b 比较通过相等路程所需 的时间。
②公式:1米/秒=3.6千米/时。
三、力
⒈力 F :力是物体对物体的作用。物体间力的作用总是相互的。
力的单位:牛顿(N )。测量力的仪器:测力器;实验室使用弹簧秤。
力的作用效果:使物体发生形变或使物体的运动状态发生改变。
物体运动状态改变是指物体的速度大小或运动方向改变。
⒉力的三要素:力的大小、方向、作用点叫做力的三要素。
力的图示,要作标度;力的示意图,不作标度。
⒊重力 G :由于地球吸引而使物体受到的力。方向:竖直向下。
重力和质量关系:G=mg m=G/g
g=9.8牛/千克。读法:9.8牛每千克,表示质量为 1千克物体所受重力为 9.8牛。
重心:重力的作用点叫做物体的重心。规则物体的重心在物体的几何中心。
⒋二力平衡条件:作用在同一物体;两力大小相等,方向相反;作用在一直线上。
物体在二力平衡下,可以静止,也可以作匀速直线运动。
物体的平衡状态是指物体处于静止或匀速直线运动状态。 处于平衡状态的物体所受外力的合 力为零。
⒌同一直线二力合成:方向相同:合力 F=F1+F2 ;合力方向与 F1、 F2方向相同;
方向相反:合力 F=F1-F2,合力方向与大的力方向相同。
⒍相同条件下,滚动摩擦力比滑动摩擦力小得多。
滑动摩擦力与正压力,接触面材料性质和粗糙程度有关。【滑动摩擦、滚动摩擦、静摩擦】 7.牛顿第一定律也称为惯性定律其内容是:一切物体在不受外力作用时,总保持静止或匀 速直线运动状态。 惯性:物体具有保持原来的静止或匀速直线运动状态的性质叫做惯性。 四、密度
⒈密度 ρ:某种物质单位体积的质量,密度是物质的一种特性。
公式:m=ρV 国际单位:千克/米 3 ,常用单位:克/厘米 3,
关系:1克/厘米 3=1×103千克/米 3; ρ水=1×103千克/米 3;
读法:103千克每立方米,表示 1立方米水的质量为 103千克。
⒉密度测定:用托盘天平测质量,量筒测固体或液体的体积。
面积单位换算:
1厘米 2=1×10-4米 2,
1毫米 2=1×10-6米 2。
五、压强
⒈压强 P :物体单位面积上受到的压力叫做压强。
压力 F :垂直作用在物体表面上的力,单位:牛(N )。
压力产生的效果用压强大小表示,跟压力大小、受力面积大小有关。
压强单位:牛 /米 2;专门名称:帕斯卡(Pa )
公式:F=PS 【 S :受力面积,两物体接触的公共部分;单位:米 2。】
改变压强大小方法:①减小压力或增大受力面积, 可以减小压强; ②增大压力或减小受力面 积,可以增大压强。
⒉液体内部压强:【测量液体内部压强:使用液体压强计(U 型管压强计)。】
产生原因:由于液体有重力,对容器底产生压强;由于液体流动性,对器壁产生压强。 规律:①同一深度处, 各个方向上压强大小相等②深度越大, 压强也越大③不同液体同一深 度处,液体密度大的,压强也大。 [深度 h ,液面到液体某点的竖直高度。 ]
公式:P=ρgh h:单位:米; ρ:千克/米 3; g=9.8牛/千克。
⒊大气压强:大气受到重力作用产生压强, 证明大气压存在且很大的是马德堡半球实验, 测 定大气压强数值的是托里拆利(意大利科学家)。托里拆利管倾斜后,水银柱高度不变,长 度变长。
1个标准大气压=76厘米水银柱高=1.01×105帕=10.336米水柱高
测定大气压的仪器:气压计(水银气压计、盒式气压计)。
大气压强随高度变化规律:海拔越高,气压越小,即随高度增加而减小,沸点也降低。 六、浮力
1.浮力及产生原因:浸在液体(或气体)中的物体受到液体(或气体)对它向上托的力叫 浮力。方向:竖直向上;原因:液体对物体的上、下压力差。
2.阿基米德原理:浸在液体里的物体受到向上的浮力,浮力大小等于物体排开液体所受重 力。
即 F 浮=G 液排=ρ液 gV 排。 (V 排表示物体排开液体的体积)
3.浮力计算公式:F 浮=G-T =ρ液 gV 排=F 上、下压力差
4.当物体漂浮时:F 浮=G 物 且 ρ物 <ρ液 当物体悬浮时:f="" 浮="G" 物="" 且="" ρ物="ρ液" 当物体上浮时:f="" 浮="">G物 且 ρ物 <ρ液 当物体下沉时:f="" 浮="">ρ液> 七、简单机械 ⒈杠杆平衡条件:F1l1=F2l2。力臂:从支点到力的作用线的垂直距离 通过调节杠杆两端螺母使杠杆处于水位置的目的:便于直接测定动力臂和阻力臂的长度。 定滑轮:相当于等臂杠杆,不能省力,但能改变用力的方向。 动滑轮:相当于动力臂是阻力臂 2倍的杠杆,能省一半力,但不能改变用力方向。 ⒉功:两个必要因素:①作用在物体上的力;②物体在力方向上通过距离。 W =FS 功的单 位:焦耳 3.功率:物体在单位时间里所做的功。表示物体做功的快慢的物理量,即功率大的物体做 功快。 W=Pt P的单位:瓦特; W 的单位:焦耳; t 的单位:秒。 八、光 ⒈光的直线传播:光在同一种均匀介质中是沿直线传播的。小孔成像、 影子、 光斑是光的直 线传播现象。 光在真空中的速度最大为 3×108米/秒=3×105千米/秒 ⒉光的反射定律 :一面二侧三等大。【入射光线和法线间的夹角是入射角。反射光线和法线 间夹角是反射角。】 平面镜成像特点:虚像,等大,等距离,与镜面对称。物体在水中倒影是虚像属光的反射现 象。 ⒊光的折射现象和规律:看到水中筷子、鱼的虚像是光的折射现象。 凸透镜对光有会聚光线作用,凹透镜对光有发散光线作用。 光的折射定律:一面二侧三随 大四空大。 ⒋凸透镜成像规律:[U=f时不成像 U=2f时 V=2f成倒立等大的实像 ] 物距 u 像距 v 像的性质 光路图 应用 u>2f f<><2f 倒缩小实="">2f> f<><2f v="">2f 倒放大实 幻灯机 u ⒌凸透镜成像实验:将蜡烛、凸透镜、光屏依次放在光具座上,使烛焰中心、凸透镜中心、 光屏中心在同一个高度上。 九、热学: ⒈温度 t :表示物体的冷热程度。【是一个状态量。】 常用温度计原理:根据液体热胀冷缩性质。 温度计与体温计的不同点:①量程,②最小刻度,③玻璃泡、弯曲细管,④使用方法。 ⒉热传递条件:有温度差。 热量:在热传递过程中, 物体吸收或放出热的多少。 【是过程量】 热传递的方式:传导(热沿着物体传递)、对流(靠液体或气体的流动实现热传递)和辐射 (高温物体直接向外发射出热)三种。 ⒊汽化:物质从液态变成气态的现象。方式:蒸发和沸腾,汽化要吸热。 影响蒸发快慢因素:①液体温度,②液体表面积,③液体表面空气流动。蒸发有致冷作用。 ⒋比热容 C :单位质量的某种物质,温度升高 1℃时吸收的热量,叫做这种物质的比热容。 比热容是物质的特性之一,单位:焦/(千克℃) 常见物质中水的比热容最大。 C 水=4.2×103焦/(千克℃) 读法:4.2×103焦耳每千克摄氏度。 物理含义:表示质量为 1千克水温度升高 1℃吸收热量为 4.2×103焦。 ⒌热量计算:Q 放=cm ⊿ t 降 Q 吸=cm ⊿ t 升 Q 与 c 、 m 、⊿ t 成正比, c 、 m 、⊿ t 之间成反比。⊿ t=Q/cm 6.内能:物体内所有分子的动能和分子势能的总和。一切物体都有内能。内能单位:焦耳 物体的内能与物体的温度有关。物体温度升高,内能增大;温度降低内能减小。 改变物体内能的方法:做功和热传递(对改变物体内能是等效的) 7.能的转化和守恒定律:能量即不会凭空产生,也不会凭空消失,它只会从一种形式转化 为其它形式,或者从一个物体转移到另一个物体,而能的总量保持不变。 十、电路 ⒈电路由电源、电键、用电器、导线等元件组成。要使电路中有持续电流,电路中必须有电 源,且电路应闭合的。 电路有通路、断路(开路)、电源和用电器短路等现象。 ⒉容易导电的物质叫导体。如金属、酸、碱、盐的水溶液。不容易导电的物质叫绝缘体。如 木头、玻璃等。 绝缘体在一定条件下可以转化为导体。 ⒊串、并联电路的识别:串联:电流不分叉,并联:电流有分叉。 【把非标准电路图转化为标准的电路图的方法:采用电流流径法。】 十一、电流定律 1. 电量 Q :电荷的多少叫电量,单位:库仑。 电流 I :1秒钟内通过导体横截面的电量叫做电流强度。 Q=It 电流单位:安培 (A) 1安培 =1000毫安 正电荷定向移动的方向规定为电流方向。 测量电流用电流表,串联在电路中,并考虑量程适合。不允许把电流表直接接在电源两端。 ⒉电压 U :使电路中的自由电荷作定向移动形成电流的原因。电压单位:伏特 (V)。 测量电压用电压表 (伏特表 ) ,并联在电路(用电器、电源)两端,并考虑量程适合。 ⒊电阻 R :导电物体对电流的阻碍作用。符号:R ,单位:欧姆、千欧、兆欧。 电阻大小跟导线长度成正比,横截面积成反比,还与材料有关 . 导体电阻不同,串联在电路中时,电流相同(1∶ 1)。 导体电阻不同,并联在电路中时, 电压相同(1:1) 4.欧姆定律 :(变形后有 U=IR和 R=U/I)(欧姆定律 :导体中的电流跟导体两端 电压成正比,跟导体的电阻成反比) (1).串联 : 1. I =I1=I2=…=In (串联电路中电流的特点:电流处处相等 ) 2. U=U1+U2+…+Un (串联电路中电压的特点:串联电路中,总电压等于各部分电路两端 电压之和 ) 3. R=R1+R2+…+Rn (串联电路中电阻的特点:总电阻等于各部分电路电阻之和 ) (2).并联 1. I=I1+I2+…+In (并联电路中电流的特点:干路上的电流等于各支路电流之和 ) 2. U=U1=U2=…=Un (并联电路中电压的特点:各支路两端电压相等。都等于电源电压) 3. 1/R=1/R1+1/R2+…+1/Rn(或者 R=R1+R2/R1R2) (并联电路中电阻的特点:总电阻 的倒数等于各并联电阻的倒数之和 ) (3).比值算法 1. U1:U2=R1:R2 (串联电路中电压与电阻的关系:电压之比等于它们所对应的电阻 之比) 2. I1:I2=R2:R1 (并联电路中电流与电阻的关系:电流之比等于它们所对应的电阻的 反比) 电功率部分 1. P=UI (适合于任何电路) 2. P=W/t (适合于任何电路) 3. Q=I^2Rt (焦耳定律,适合于任何电路 ) 4. P=P1+P2+…+Pn (适合于任何电路) 5. W=UIt (,适合于任何电路 ) 6. P=I^2R (只适合于纯电阻电路 ) 7. P=U^2/R (只适合于纯电阻电路 ) 8.Q=W(只适合于纯电阻电路。其中 W 是电流流过导体所做的功, Q 是电流流过导体产生 的热) 20. W=I^2Rt (只适合于纯电阻电路 ) 21. W=U^2t/R (只适合于纯电阻电路 ) 综上所诉可得:Q=W=UIT=Pt=I^2Rt=U^2t/R 22. P1:P2=U1:U2=R1:R2 (串联电路中电功率与电压、电阻的关系:串联电路中,电功率 之比等于它们所对应的电压、电阻之比 ) 23. P1:P2=I1:I2=R2:R1 (并联电路中电功率与电流、电阻的关系:并联电路中, 电功率之比等于它们所对应的电流之比、等于它们所对应电阻的反比 ) 十三、磁 1.磁体、磁极【同名磁极互相排斥,异名磁极互相吸引】 物体能够吸引铁、钴、镍等物质的性质叫磁性。具有磁性的物质叫磁体。磁体的磁极总是成 对出现的。 2.磁场:磁体周围空间存在着一个对其它磁体发生作用的区域。 磁场的基本性质是对放入其中的磁体产生磁力的作用。 磁场方向:小磁针静止时 N 极所指的方向就是该点的磁场方向。磁体周围磁场用磁感线来 表示。 地磁北极在地理南极附近,地磁南极在地理北极附近。 3.电流的磁场:奥斯特实验表明电流周围存在磁场。 通电螺线管对外相当于一个条形磁铁。 通电螺线管中电流的方向与螺线管两端极性的关系可以用右手螺旋定则来判定。 参照物:判断一个物体运动必须选取另一个物体作标准,这个被选作标准的物体叫参照物。 ⒉匀速直线运动: ①比较运动快慢的两种方法:a 比较在相等时间里通过的路程。 b 比较通过相等路程所需 的时间。 ②公式:1米/秒=3.6千米/时。 毕业班小学数学总复习资料——所有公式 常用的数量关系式 1、每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数 总数÷份数=每份数 2、1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数 几倍数÷倍数=1倍数 3、速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 4、单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价 5、工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 6、加数+加数=和 和-一个加数=另一个加数 7、被减数-减数=差 被减数-差=减数 差+减数=被减数 8、因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数 9、被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形 (C :周长 S:面积 a:边长 ) 周长=边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2、正方体 (V:体积 a:棱长 ) 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3、长方形( C:周长 S:面积 a:边长 ) 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体 (V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高) (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5、三角形 (s :面积 a:底 h:高) 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高 6、平行四边形 (s :面积 a:底 h:高) 面积=底×高 s=ah 7、梯形 (s :面积 a:上底 b:下底 h:高) 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8、圆形 (S :面积 C:周长 л d=直径 r=半径) (1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л 9、圆柱体 (v:体积 h:高 s:底面积 r:底面半径 c:底面周长) (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr 或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 (4)体积=侧面积÷2×半径 10、圆锥体 (v:体积 h:高 s:底面积 r:底面半径) 体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数=平均数 12、和差问题的公式 (和+差)÷2=大数 (和-差)÷2=小数 13、和倍问题 和÷(倍数-1) =小数 小数×倍数=大数 (或者 和-小数=大数) 14、差倍问题 差÷(倍数-1) =小数 小数×倍数=大数 (或 小数+差=大数) 15、相遇问题 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 16、浓度问题 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度 溶液的重量×浓度=溶质的重量 溶质的重量÷浓度=溶液的重量 17、利润与折扣问题 利润=售出价-成本 利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100% 涨跌金额=本金×涨跌百分比 利息=本金×利率×时间 税后利息=本金×利率×时间×(1-20%) 常用单位换算 长度单位换算 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体(容) 积单位换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 重量单位换算 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间单位换算 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天) 有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天) 的有:4\6\9\11月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒 范文五:小学学过的所有公式