小明君Y
范文一：点斜式方程
2.1.2 直线的方程——点斜式
编制 赵继森
一 学习目标
1. 掌握直线方程的点斜式、斜截式,能根据条件熟练求出直线的方程;
2. 感受直线的方程和直线之间的对应关系. 二 自主先学
1. 若直线 l 经过点 ) 3, 1(-A ,斜率为 -2,点 l P 在直线 上运动,那么点 P 的坐标 ) , (y x 满足什 么条件?
2. (1)若直线 l 经过点 ()000y x P , ,且斜率为 k ,则直线方程为 ; 这个方程是由直线上 及其 确定的,所以叫做直线的 方程.
(2)直线的点斜式方程
①一般形式:
②适用条件:
3. (1)若直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 ()b , 0,代入直线的点斜式,
得 ,我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的 .
这个方程是由直线 l 的斜率和它在 y 轴上的 确定的,
所以叫做直线的 方程.
(2)直线的斜截式方程
①截距:
②一般形式:
③适用条件:
注意 :当直线和 x 轴垂直时,斜率不存在,此时方程不能用点斜式方程和斜截式方程表示.
三 合作与交流
【问题 1】
例 1 已知一直线经过点 P (-2, 3) ,斜率为 2,求此直线方程.
【问题 2】
例 2 直线 052=+y 的斜率和在 y 轴上的截距分别为
【问题 3】
例 3 将直线 l 1:02=-+-y x 绕着它上面的一点 ) 2(按逆时针方向旋
转 ?15 得直线 l 2,求 l 2的方程.
【问题 4】
已知直线 l 的斜率为
4
3,且与坐标轴所围成的三角形的面积为 6,求直线 l 的方程.
四 当堂检测
1.根据下列条件,分别写出直线的方程:
(1)经过点 ()24- , ,斜率为 3;
(2)经过点 ()13 , ,斜率为 2
1;
(3)斜率为 2-,在 y 轴上的截距为 2-;
(4)斜率为 2
,与 x 轴交点的横坐标为 7-;
(5)经过点 ()33- -,
,与 x 轴平行;
(6)经过点 ()33- -,
,与 y 轴平行.
2. 直线 32(1) y x +=--的斜率是 y 轴上的截距是 .
3. 经过两点 (,3), (6,) A a B a --的直线斜率为 2,求直线 AB 的方程 .
4.若一直线经过点 ()21
, P ,且斜率与直线 32+-=x y 的斜率相等,求该直线的方程。
五 回顾小结
掌握直线方程的点斜式、斜截式,能根据条件熟练求出直线的方程.
六 作业
例 4
范文二：点斜式方程
3.2.1 直线的点斜式方程
一、教学目标 1、知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。 （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2、过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观
在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。
二、教学重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。 （2）难点：直线的点斜式推导过程中直线与方程对应关系的理解，即纯粹性和完备性。
三、教学设想
范文三：椭圆方程的求法例题
椭椭的方程的求法、定椭法1
A(?4,0),B(4,0)【例】已知的周椭是～～求点的椭迹方程。C1?ABC18
7【椭式】,在周椭椭定椭的?中已知且椭点当位于定点椭有最小椭椭ABC,|AB|=6,CP,cosC.25
建立适的坐椭系当求椭点的椭迹方程,C.
【解】以所在直椭椭椭椭段的中垂椭椭椭建立直角坐椭系:ABx,ABy,椭 椭定椭所以点的椭迹是以、椭焦点的椭椭|CA|+|CB|=2a(a>3),CAB,所以焦距 2c=|AB|=6
22222|CA|+|CB|?6(|CA|+|CB|)?2|CA||CB|?362a?18cosC===?1因椭 CACBCACBCACB2||||2||||||||
2a1822|CA|?|CB|?()=acosC?1?又 所以 ,,22a
18721?=,a=25由椭意得 225a
此椭点坐椭椭 ,|PA|=|PB|,PP(0,?4).
22xy所以点的椭迹方程椭 C1(0)+=y?2516
()1,0【例】已知椭椭以坐椭椭椭椭椭～以坐椭原点椭椭中心～椭椭的一焦点椭称称个～点C2
:,36,,M,在椭椭上～求椭椭的方程～C,,22::
:,36,,M,F(1,0),F(?1,0)【解法】,有定椭可得～点在椭椭上。112,,22::
2a=MF+MF=23所以～又c=112
22xy故椭椭方程椭,+=132
22xy【解】椭椭椭方程2+=>>1(0)ab22ab
22?=?=+cab11
36:,36,,,点在椭椭上～,44,,22?+=122::ab
22xy4222?4?5?6=0?=2,=3?+=1bbba32
y22F(1,0)Fxy:(1)16++=【例】已知椭～定点,椭椭椭点～3MF221
M且椭与相切,求点内的椭迹的方程MC.F1xOFF【解析】椭椭的半椭径,Mr12
因椭椭与椭相切～所以内,,,MFMF4r11
因椭椭椭点～所以,,MFMFr22y所以,,～即，,,4MFMFMF4MF1212
所以点的椭迹是以～椭焦点的椭椭,FMCF12M且此椭椭的方程形式椭，,,,,1(ab0)xOFF1其中,～,～所以,～,,2a4c1a2b2
所以曲椭的方程，,, C1
x,y【例】椭x,y?R,i,j椭直角坐椭系内椭正方向的椭位向量～4
a=xi+(y+2)j,
M(x,y)～且,求点的椭迹的方程～Cb=xi+(y?2)j|a|+|b|=8
????【解析】由已知可得又知～a=()()x～y+2,b=x～y?2,|a|+|b|=8
2222x+(y+2)+x+(y?2)=8
M(x,y)F(0,?2),F(0,2)即点到定点两的距之和椭定椭离～又88>412
M(x,y)F(0,?2),F(0,2)所以的椭迹椭以 椭焦点椭椭～12
22xy故方程椭 +=11216
||,||,||CBABCAAB,(1,0),(1,0)?【例】已知的三椭椭成等差列数若点的坐椭分椭椭5?ABC,.
求椭点的椭迹的方程CW;
||,||,||CBABCAAB,【解析】因椭成等差列数点的坐椭分椭椭:,yC
(1,0),(1,0)?l
EO||||2||4CBCAAB+==4||>AB所以且 xAB
DAB,由椭椭的定椭可知点的椭迹是以椭焦点椭椭椭的C4椭椭去掉椭椭的端点(),
所以. acb===2,1,3
22xy故椭点的椭迹方程椭 CW+= 1(0)y43
lxy:230?+=F(1,0)?【例】一束光椭点从出椭椭直椭上一点反射后恰好穿椭点6,,D1
F(1,0)FF,求以、椭焦点且椭点的椭椭的方程;CD212
lxy:230?+=F【解析】椭点椭于直椭的椭点称, Fmn(,)11
9n1 m=?=? 92 5m+12 F(,)?椭解得,,? 12mn?155 230 ?+=n= 5 22
?根据椭椭的定椭得,,||||PFPF=11
9222 ===, 2a(1)(0)22??+?=||||PFPF+||FF121255
?, ,,c=1a=2b=?=211
2x2?椭椭的方程椭, C+=y12
22Q【例】已知椭～定点～点椭椭上的椭点～点在上～7Mxy:536?+=NPN(5,0)PM()
uuuruuuruuuruuur点在上～且椭足～求点的椭迹方程。GGMPNPNQGQNP= =2,0
GQ【解析】由椭意可得,垂直平分～所以～NPGP=GN
所以GMGNGP+==6
、待定系法数2
高考椭椭整理中的椭椭
3x,;广椭,已知椭椭的中心在坐椭原点～椭椭在椭上～心率椭离～且上一GG12009
2
22xy点到的焦点的距之和椭两个离～椭椭的方程,GG12+=1369
22yxCCA(1,0)3,;2009浙江理,已知椭椭,的焦点且的右椭点椭～椭+=>>1(0)ab1122ab
2y2C垂直椭椭的弦椭椭,求椭椭的方程,1+=x114
,;宁海理,已知椭椭的中心椭直角坐椭系的原点～焦点在椭上～的一它162009CxOyx
22xy个两个离椭点到焦点的距分椭是和,求椭椭的方程,71C+=1167
22xyab>>,0,;山椭理,椭椭椭;,椭～两点～椭坐72009E:O+=1M(2,2)N(6,1)22ab
22xy椭原点～求椭椭的方程。E+=184
22xy3,;全?,已知椭椭国椭右焦点～的心率椭离～直椭F92009lCab:1(0)+=>>22ab3
2a当的斜率椭椭～坐椭原点到的距椭离～求～的椭,1Obll
2
ab==3,2
22xy3,;安徽文,已知椭椭的心率椭离～以原点椭椭心～以椭椭102009+=>>1(0)ab22ab3
短半椭椭椭半的椭直椭径与相切,求与, ,y=x+2abab==3,2
x,;湖南文,已知椭椭的中心在原点～焦点在椭上～以焦点和短椭的两个两142009C
22xy个个端点椭椭点的四椭形是一面椭椭的正方形;椭椭,,求椭椭的方程,,8QC+=184、椭化已知件条3
AB,(0,1)?(0,1)AMBM,【例】已知点的坐椭分椭是直椭相交于点且椭的斜率之椭椭它1,,M,1?求点椭迹的方程C.M;2
(,)xy【解析】椭点的坐椭椭:,M
1yy+?111kk =?? =?,? AMBMxx22
2x2整理得椭就是椭点的椭迹方程 x 0,(),M+=y12
QG//ABA(?1,0)B(1,0)【例】椭、分椭椭的外心和重心已知:求点C的?ABC2QG,,,椭迹E
xyC(x,y)A(?1,0)B(1,0)G(,)【解析】椭:,?, ?
33
QG//AB又?是外心且Q,
yQ(0,)?
3
|QA|=|QC|?
2224yyy22?即 1,+=+x+=1(y?0)x993
234x=?3?3,0【例】已知椭点到直椭的距是到定点离倍求椭点的距的离(.P3P)33
的椭迹方程;
42322P(x,y)x+3=(x+3)+y【解析】椭椭点由椭意知:,. 33
22xx22即椭点的椭迹方程是. P. ?+y=1+y=144
【例】在平面直角坐椭系中椭度椭的椭段的一端点个在射椭上滑椭另一端4,6PQPy=0(x?0),
PM1=.点在射椭上滑椭点在椭段上且Qx=0(y?0),MPQ,MQ2
求点的椭迹方程M;
【解】椭点、、的坐椭分椭是、、其中依件可得条:PQMP(x, 0)Q(0,y)M(x, y) x?0,y?0,1111
22 x+y=36(*)11
3 uuuruuuurPM1xx= 1Q=.2?可得, PQPM=3MQ2 yy=31
22xy代入式得+=1(x,y?0) (*),164
22xy即点的椭迹方程椭 M+=1(x?0,y?0)164
【例】已知;～,、;～,～若椭点椭足。求椭点的椭迹方MN?MP=6|PN|5M40N10PP
程～
【解】椭椭点;～,～ Pxy
椭 MP(x4,y),MN(3,0),PN(1x,y)=?=?=??
22由已知得～ ?3(x?4)=6(1?x)+(?y)
22xy22化椭得 3+4=12,+=1xy即43
22xy?点的椭迹是椭椭 P+=143
F0,1y=?1【例】已知点～直椭,～椭平面上的椭点～椭点作直椭的垂椭～垂足椭()7llPP
uuuruuuruuuruuurQ～且,求椭点的椭迹的方程～CQPQFFPFQgg=P
uuuruuuruuuruuurPxy,Qx,1?【解析】椭～椭～?～()()QPQFFPFQgg=
0,1,2,1,2yxxyx+?=??gg?, ()()()()
2222121yxy+=??即～即～所以椭点的椭迹的方程, ()()xy=4Cxy=4P【例】已知平面上一定点个;,～,和一定直椭条,,～椭椭平面上一椭点～8C10Lx=4P
uuuruuuruuuruuurQ作～垂足椭～PQ?L(2)(2)0.PQPCPQPC+ ?=
;,求点的椭迹方程～1P
uuuruuuruuuruuuruuuruuur22【解析】由～ (2)(2)0PQPCPQPC+ ?=||4||PQPC=
22222|4|4[(1)]xxy+=++3412xy+=椭;～,～得～～? 点的椭迹方程椭PPxy
22xy,+=143
范文四：椭圆标准方程典型例题
椭圆标准方程典型例题
22例1 已知椭圆的一个焦点为(0，2)求的值( mx，3y,6m,0m
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程( a,3b，，P3，0
AB例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨ACG,ABCBC,16
A迹和顶点的轨迹(
4525PP例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，33P过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程(
22xy，，，,1a,b,0P例5 已知椭圆方程，焦点为，，是椭圆上一点，FF1222ab
b(求:的面积(用、、表示)( ，FPF,,,FPFa,1212
22例6 已知动圆P过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动，，B:x,3，y,64，，A,3，0
圆圆心P的轨迹方程(
211x,,2P，，y,1P，(1)求过点且被平分的弦所在直线的方程; 例7 已知椭圆,,222,,(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (3)过引椭圆的割线，求截得的弦的，，A2，1中点的轨迹方程;
1P,,,(4)椭圆上有两点、，O为原点，且有直线OP、斜率满足， kkQOQOPOQ2
M求线段中点的轨迹方程( PQ
22y,x，m例8 已知椭圆及直线((1)当为何值时，直线与椭圆有公共点, 4x，y,1m
210(2)若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程( 5
22xyl:x,y，9,0，,1M例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要123
使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处,并求出此时的椭圆方程(
22xy，,,1例10 已知方程表示椭圆，求的取值范围( kk,53,k
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方A(3,,2)B(,23,1)程(
22例13 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹( x，y,1yPM
,例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为Fx13
的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长(
22xyP(4,2)，,1例15 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程( ll369
1MtanM,例16 在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、,PMNtanN,,22
PN为焦点且过点的椭圆方程(
22xy，,1MN例17 椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点， FMF11259
ONO则(为坐标原点)的值为( )
3A(4 B(2 C(8 D( 2
范文五：椭圆标准方程典型例题
椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆mx2?3y2?6m?0的一个焦点为（0，2）求m的值．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P?3，0?，a?3b，求椭圆的标准方程．
例3 ?ABC的底边BC?16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．
例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为
的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
452和，过P点作焦点所在轴33
x2y2
例5 已知椭圆方程2?2?1?a?b?0?，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是ab
椭圆上一点，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面积（用a、b、?表示）．
例6 已知动圆P过定点A??3，且在定圆B：求动圆圆心P的轨迹方程． 0?，?x?3??y2?64的内部与其相内切，2
x2?11??y2?1，例7 已知椭圆（1）求过点P??且被P平分的弦所在直线的方程； 2?22?
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
1?引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （3）过A?2，
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP?kOQ??
求线段PQ中点M的轨迹方程．
1 1， 2
例8 已知椭圆4x2?y2?1及直线y?x?m．
（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为
例9 2，求直线的方程． 5x2y2
??1的焦点为焦点，以椭圆过直线l：x?y?9?0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，123
点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
x2y2
???1表示椭圆，求k的取值范围． 例10 已知方程k?53?k
例11 已知x2sin??y2cos??1(0????)表示焦点在y轴上的椭圆，求?的取值范围．
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(,?2)和B(?23,1)两点的椭圆方程．
例13 知圆x2?y2?1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．
例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为?的直线交椭圆于A，3
B两点，求弦AB的长．
x2y2
??1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON（O为坐标原点）的值为例15 椭圆259
A．4 B．2 C．8 D．3 2
x2y2
?1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y?4x?m，椭圆C上有不同的两点例16 已知椭圆C?43
关于该直线对称．
例17 在面积为1的?PMN中，tanM?
点的椭圆方程．
2 1，tanN??2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P2
