范文一:常用函数的拉氏变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换
419
420
3. 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设F (s ) 是s 的有理真分式
F (s ) =
B (s ) A (s )
=b m s
m n
+b m -1s
m -1n -1
+ +b 1s +b 0+ +a 1s +a 0
a n s +a n -1s
(n >m )
式中系数a 0, a 1,..., a n -1, a n ,b 0, b 1, b m -1, b m 都是实常数;m , n 是正整数。按代数定理可将F (s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A (s ) =0无重根
这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
F (s ) =
c 1s -s 1
+
c 2s -s 2
+ +
c i s -s i
+ +
c n s -s n
n
=
∑
i =1
c i s -s i
(F-1)
式中,s 1, s 2, , s n 是特征方程A(s)=0的根。c i 为待定常数,称为F(s)在s i 处的留数,可按下式计算:
c i =lim (s -s i ) F (s ) (F-2)
s →s i
或
c i =
B (s ) A '(s )
s =s i
(F-3)
式中,A '(s ) 为A (s ) 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数
n
?n c i ?-s t
f (t ) =L [F (s ) ]=L ?∑?=∑c i e (F-4)
i =1?i =1s -s i ?
-1
-1
i
② A (s ) =0有重根
设A (s ) =0有r 重根s 1,F(s)可写为
F (s )=c r (s -s 1)
r
B (s )
(s -s 1) (s -s r +1) (s -s n ) +
c r -1(s -s 1)
r -1r
=+ +
c 1(s -s 1)
+
c r +1s -s r +1
+ +
c i s -s i
+ +
c n s -s n
式中,s 1为F(s)的r 重根,s r +1,…, s n 为F(s)的n-r 个单根;
421
其中,c r +1,…, c n 仍按式(F-2)或(F-3)计算,c r ,c r -1,…, c 1则按下式计算:
c r =lim (s -s 1) F (s )
r
s →s 1
c r -1=lim
d ds
[(s -s 1) F (s )]
r
s →s 1
c r -j =
1lim
d
(j ) (j )
r
(s -s 1) F (s ) (F-5)
j ! s →s 1ds
1
lim
d
(r -1) (r -1)
c 1=原函数f (t ) 为 f (t ) =L -1[F (s ) ]
(r -1)! s →s 1ds
(s -s 1) F (s )
r
?c i c n ?c r c r -1c 1c r +1-1
=L ?++ +++ ++ +? r r -1
(s -s 1) s -s r +1s -s i s -s n ?(s -s 1) ?(s -s 1)
c r -1?c r ?s t r -1r -2
=?t +t + +c 2t +c 1?e +
(r -2)! ?(r -1)! ?
1
n
∑c e
i
i =r +1
s i t
(F-6)
422
范文二:常用函数的拉氏变换
A 1.表A-1 拉氏变换的基本性质
1 齐次性 L[af(t)],aF(s)线性定理 L[f(t),f(t)],F(s),F(s)1212叠加性
dft() ,,LsFsf[]()(0)dt dft()2 ,,, ,LsFssff()[]()(0)02dt2 ?2 微分定理 一般形式 ndftn()nn,k(k,1),,,,LsFssf()(0),ndtk,1k,1dft()(k,1),ft()k,1dt
n初始条件为0时 df(t)nL[],sF(s)ndt
[f(t)dt],F(s)t,0L[f(t)dt],,, ss 2[f(t)dt][f(t)(dt)],,,F(s)tt,0,02L[f(t)(dt)],,,,, 一般形式 22sss3 积分定理 ?
共个共个nn,,nF(s)1nnL[?f(t)(dt)],,[?f(t)(dt)]tnnk,,0,,,,,,1ssk,1
共个n,F(s)n初始条件为0时 ?L[f(t)(dt)],n,,s
,TsL[f(t,T)1(t,T)],eF(s)4 延迟定理(或称域平移定理) t
,atL[f(t)e],F(s,a)s5 衰减定理(或称域平移定理)
limf(t),limsF(s)6 终值定理 t,,s,0
limf(t),limsF(s)7 初值定理 t,0s,,
ttL[f(t,,)f(,)d,],L[f(t)f(t,,)d,],F(s)F(s)8 卷积定理 121212,,00
419
2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
序
拉氏变换E(s) 时间函数e(t)Z变换E(z) 号
1 δ(t) 1 1
,1z ,(t),,(t,nT) ,2 T,Ts,z,1n01,e
1z1(t)3 z,1s
1Tzt 4 22(z,1)s
221Tz(z,1)t5 332(z,1)s2
nnn1(1),,ztlim()6 ,naTn,1,a0!n!n,az,es
1z,ate7 ,aTs,az,e
,aT1Tze,atte8 2,aT2(s,a)(z,e)
,aT(1,e)za,at1,e9 ,aTs(s,a)(z,1)(z,e)
zzb,a,at,bt,e,e10 ,aT,bT(s,a)(s,b)z,ez,e
,,zsinTsin,t11 222s,,z,2zcos,T,1
,sz(z,cosT)cos,t12 222z,2zcos,T,1s,,
,aT,,zesinT,at13 esin,t222,aT,2aT(s,a),,z,2zecos,T,e
2,aTs,a,z,zecosT,at2214 ecos,t2,aT,2aT(s,a),,z,2zecos,T,e
z1t/Ta15 s,(1/T)lnaz,a
420
3. 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行
反变换。设s是的有理真分式 F(s)
mm,1bs,bs,?,bs,bB(s)mm,110n,m () F(s),,nn,1A(s)as,as,?,as,ann,110式中系数a,a,...,a,ab,b,?b,b,都是实常数;是正整数。按代数定理可m,n01n,1n01m,1m
将展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 F(s)
? A(s),0无重根
这时,F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
ncccccini12 (F-1) ()??Fs,,,,,,,,s,ss,ss,ss,ss,si,1ini12
式中,s,s,?,scs是特征方程A(s)=0的根。为待定常数,称为F(s)在处的留数,可ii12n
按下式计算:
(F-2) c,lim(s,s)F(s)iis,si
或
()Bs (F-3) ,ci,()Ass,si
式中,,sA(s)A(s)为对的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数
nn,,c,1,1,stii ,,ceftLFsL(),(),= (F-4) i,,,,i,ss,i,11i,,
? A(s),0有重根
设sA(s),0有r重根,F(s)可写为 1
B(s),, Fs,r(s,s)(s,s)?(s,s)1r,1n
ccccccinr,r11,r1= ???,,,,,,,,r,r1(s,s)(s,s)(s,s)s,ss,ss,s111,r1in
式中,sss为F(s)的r重根,,…, 为F(s)的n-r个单根; n1r,1
421
cccc其中,,…, 仍按式(F-2)或(F-3)计算,c,,…, 则按下式计算: nr,1r,11r
r c,lim(s,s)F(s)r1ss,1
dr c,lim[(s,s)F(s)]r11,dsss,1
?
j()1dr (F-5) c,lim(s,s)F(s)rj1,j()ss,1j!ds
?
r(1),1dr c,lim(s,s)F(s)11r(1),ss,1(r,1)!ds
原函数为 f(t)
,1 f(t),L,,F(s)
,,cccccc,1inrr,11r,1 ,,,,,,,,,L???,,rr,1,,,,,,(ss)ssssss(ss)(ss),1r,1in,11
ncc,,ststrrrr,1,2,1i1 (F-6) ,t,t,,ct,ce,ce?,i,21,r,r,(1)!(2)!ir,,1,,
422
范文三:常用函数的拉氏变换
?4.2.4 常用函数的拉氏变换
n2. tu(t)
n,,求tut的拉氏变换
n,,,tn1nn,st,stn,,stL,,t,t,edt,e,tedt,,000,ss
,n1n,,st ,tedt,0s
n1nn,,,,,?Lt,Lts
,,1,st,stn,1 L,,t,t,edt,tde,,00,s
,,,,1,st,st ,t,e,edt,,,00,s,,
,,,111,st,,,, e,,20s,ss,,
n,2
22122,,,, Lt,Lt,,,23ssss
,3n
332632,,,, Lt,Lt,,,34ssss
!nn,, ?,Ltn,1s
因而得到:
,,11,st,stLutedte,,(),1,,, ,,0,0,0ss,,(1)
1Ltut,,(), ,,02s(2)
2!2!2LtutLut,,,,(),(), ,,023ss(3)
3!3Ltut,,(), ,,04s(4)
n!n,,从而有Ltu(t),n,0n,1s
范文四:单边拉氏反变换
课 时 第 10周 第 3- 4课时
课题:单边拉氏反变换
一、教学目的:
1、熟悉单边拉氏反变换
2、掌握单边拉氏反变换的部分分式展开法 二、教学重点:
单边拉氏反变换的部分分式展开法
三、教学难点:
单边拉氏反变换的部分分式展开法的应用 四、教学方法:
讲授法
五、教学用具:
电脑多媒体和黑板
六、教学过程:
4.3.1 查表法
4.3.2 部分分式展开法
A,(s,p)F(s)iis,pi
2例:求 的拉氏逆变换. 233ss,,Fs(),32 sss,,,6116
练习见课本P148
对于非重根,系数的求法和前面一样,对于重根则需用求导的方法求系数
mm,1 bs,bs,?,bs,bAACCAmmk,1101201,1,,,?,,,?,kkk,1 a(s,p)(s,p)?(s,p)s,ps,p(s,p)(s,p)s,pniiii1212
kA,(s,p)F(s) 0is,pi
d kAspFs,,[()()]1i,spisd
k-1 1dkAspFs,,[()()],ki1,k1,sp iks,1!d,,
例见课本P150
例见课本P151
例见课本P151
七、课程小结:
※单边拉氏反变换的部分分式展开法的应用 八、课后作业 (书面作业)
范文五:拉氏变换与反变换
**拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换**
自动控制系统所涉及的数学问题较多,经常要结算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦,如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程,可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算,又能够单独地表明初始条件的影响,并有变换表可查找,因而是一种较为简便的工程数学方法。
1、拉普拉斯变换(简称拉氏变换)的定义
如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数f (t ) ,它的定义域是 t ≥0,那么
f (t ) \的拉普拉斯变换定义为
F (s ) =L [f (t )] ?f (t ) e -st dt (1)
∞
式中, s 是复变数, s =σ+j ω(σ、ω均为实数),?e -st 称为拉普拉斯积
∞
分; F (s ) 是函数f (t ) 的拉普拉斯变换,它是一个复变函数,通常也称F (s ) 为f (t ) 的象函数,而称f (t ) 为F (s ) 的原函数;L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式(1)表明:拉氏变换是这样一种变换,即在一定条件下,它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数F (s ) 。所以,拉氏变换得到的是复数域内的数学模型。
2、几种典型外作用函数的拉氏变换
(1)单位阶跃函数1(t ) 的拉氏变换
?0
1(t ) ?
?1
(t <>
(t ≥)
拉氏变换得
F (s ) =L [1(t )]=?
-st
∞
1-st
1(t ) e dt =-s
-st
∞0
当Re(s ) >0,则lim e
t →∞
→0。所以
∞0
1-st
L [1(t )]=-e
s 11
=[0-(-)]=
s s
(2)单位脉冲函数δ(t ) 的拉氏变换
L [δ(t )]=1
(3)单位斜坡函数t 的拉氏变换
?0f (t ) =?
?t
∞
(t <>
(t ≥0)
拉氏变换式F (s ) =利用分部积分法
?
te -st dt
?
令
∞
udv =[uv ]-?vdu
∞
t =u , e -st dt =dv
则
dt =du ,
1v =-e -st
s
所以
∞?1?t ??
F (s ) =?-e -st ?-? -e -st ?dt
?s ?00?s ?
∞
当Re(s ) >0时,lim e -st →0, 则
t →∞
F (s ) =0+
1∞-st 1
e dt = s ?0s 2
(4)单位加速度函数的拉氏变换
?0?f (t ) =?12
t ??2
(t <0) (t="">0)>
其拉氏变换式为
11
F (s ) =L (t 2) =3
2s
通常并不根据定义来求解象函数和原函数,而可从拉氏变换表(书P32-33)中直接查出。
3、拉氏变换的主要定理(书P31表2-2)
根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换,但
利用以下的定理,则对一般的函数可以使运算简化。
在计算中经常用到的定理是微分定理:设F (s ) =L [f (t )],则有
?df (t ) ?
式中f (0)是函数f (t ) 在t =0时的值。若初始值f (0)=0,L ?=sF (s ) -f (0),??dt ?
?df (t ) ?
则L ?=sF (s ) 。 ?dt ??
同理,函数f (t ) 的高阶导数的拉氏变换为
?d n f (t ) ?n
(0)- -f (n -1) (0) L ?=s F (s ) -s n -1f (0)-s n -2f ?n
?dt ?
显然,如果原函数f (t ) 及其各阶导数的初始值都等于零,则原函数f (t ) 的n 阶导
?d n f (t ) ?n 数的拉氏变换就等于其象函数F (s ) 乘以s ,即L ?=s F (s ) ?n
?dt ?
n
3、拉普拉斯反变换(简称拉氏反变换)
拉普拉斯反变换的公式为
1c +j ∞
f (t )=L [F (s ) ]=F (s ) e st d s ?2πjc -j ∞
-1
式中 L ——表示拉普拉斯反变换的符号
通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和,然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数,即得所求的原函数f (t ) 。所以,拉氏反变换得到的是时域的数学模型。 部分分式展开法:
在控制理论中,常遇到的象函数是的有理分式(n ≥m )
-1
为了将F (s ) 写成部分分式,首先将F (s ) 的分母因式分解,则有
式中,
,
,…,
是
的根的负值,称为F (s ) 的极点,按照
这些根的性质,可分为以下几种情况来研究。
1. F(s ) 的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换
式中, 是待定系数,它是 处的留数,其求法如下
A i =lim(s +p i ) F (s ) =(s +p i ) F (s )
s →p i
s =-p i
再根据拉氏变换的迭加定理,求原函数
例: 求的原函数。
解: 首先将 的分母因式分解,则有
即得
2. F(s ) 含有共轭复数极点时的拉氏反变换
如果F (s ) 含有共轭复数极点,可将分母配成二项平方和的形式,并作为一个整体来求原函数。
例1 求F (s ) =
20
的原函数。 2
s +4s +13
20?3
20=解:F (s ) =2,然后由拉氏变换表查出对应的反变换函数,2
s +4s +13(s +2) +9
即得所求的原函数f (t ) ,f (t ) =
20-2t
e sin 3t 3
例2 求F (s ) =
20
的原函数。
(s +1)(s 2+4s +13)
解:F (s ) =
202as +b
=+,通分可求得系数a =-2, b =-3,
(s +1)(s 2+4s +13) s +1(s 2+4s +13)
故F (s ) =
2-2(s +3) 22(s +2) 23+2=--?,查表可得所求的2222
s +1(s +4s +13) s +1(s +2) +33(s +2) +3
-t
-2t
原函数f (t ) ,f (t ) =2e -2e
1
(cos3t +sin 3t ) 。
3
3. F (s ) 中含有重极点的拉氏反变换
例 求的拉氏反变换。
解: 将展开为部分分式
上式中各项系数为
于是
查拉氏变换表,得
d 2c (t ) dc (t )
+2+2c (t ) =r (t ) 2
dt dt
4、应用拉氏变换解线性微分方程
应用拉氏变换解线性微分方程时,采用下列步骤:
(1) 对线性微分方程中每一项进行拉氏变换,使微分方程变为 s 的代数方程; (2) 解代数方程,得到有关变量的拉氏变换表达式; (3) 用拉氏反变换得到微分方程的时域解。
d 2c (t ) d c () t
+3+2c (t ) =2r t (,) 初始条件分别为例:已知系统的微分方程
d t 2d t (0) =0 和c (0) =-1、c (0) =0时系统在输入r (t ) =1(t ) 作用下的输出c (t ) 。 c (0) =c
=0时,解:1、当初始条件c(0)=c(0)应用微分定理可得
s 2C (s +) C (s =)
3s C +(s ) 2=C (s ) 2R (s )
1121
=s (s +1) (+s 2) s +s 1+s
2
拉氏反变换可得: c(t)=1-2e -t +e -2t
(0) =0时,由 (t ) +3c (t ) +2c (t ) =2r (t ) 得 2、 当初始条件c (0) =-1, c c
(0) +3sC (s ) -3c (0) +2C (s ) =2R (s ) (应用高阶导数的拉氏变换得到) s 2C (s ) -sc (0) -c 2-s 2-3s 142
代入初始条件得:C (s ) = =-+
s (s +1)(s +2) s s +1s +2
拉氏反变换可得:c (t ) =1-4e -t +2e -2t