范文一：从极限的几何意义和函数定义域出发讨论极限定义

从极限的几何意义和函数定义域出发讨论极限定义

张府柱

(六盘水师范学院，贵州 六盘水 553001)

摘 要:微积分中基本概念的引入出发点都是其几何背景，从几何意义引入极限的定义，借助直观具体、生动形象的几 何情境引出极限和对极限定义中语句的新解读，降低了极限定义的抽象程度，有助于学生对极限的理解和掌握。

关键词:极限，几何意义，定义域，讨论，极限定义

中图分类号:G642.0 文献标识码:A 文章编号:1671-055X(2014)02-0072-04 DOI:10.3969/j.issn.1671-055X.2014.02.019

On Discussing the Definition of Limit Starting from the Geometric Meaning

of Limit and the Definition Domain of Function

ZHANG Fu-zhu

(Liupanshui Normal University, Liupanshui 553001，China)

Abstract: The starting point of the introduction of the basic concepts in calculus is its geometric background, brings in the definition of limit starting from the geometric meaning, the present article argues that using of intuitive specific, vivid geometric situation leads to the new interpretation of limit and the new statement in the definition of limit, reduces its abstract degree, help students understand and master limit. Key words: limit;geometric meaning;definition domain; discussion;definition of limit

就数学分析中极限的教学而言，通常都是通过观察实例，得出数列极限的描述性定义:给定数列 ,a, ，如果当 n 无限增大时，a无限接近于某一个常数 A ，那么我们就称 A 为 n 趋于无穷大时数列 ,a, nn n的 极 限 ，记 作 lim a= A 。 然 后 再 将 描 述 性 定 义 翻 译 的 严 格 的 符 号 化 定 义 : n n ? ?

?ε > 0,?N > 0,?n ? N,, a- a , ? ε 。这里的翻译过程就是对极限定义的理解问题，这个问题既是教学的 n

重点，又是教学的难点。很多教材在处理这个问题时，首先作了一些规定，然后逐句进行翻译解释，规定 太多，过渡不够自然，反而使学生感觉极限太“玄”，无法理解。本文将从极限的几何意义和定义域出发， 对极限定义的教学进行探讨，希望解决极限定义教学中理解难的问题。

1 数列极限定义的引入

定义 1:我们把定义在全体正整数集合 N上函数称为数列，记作 ,a,。 + n

从几何图形上观察下列数列:

n + 1 1 1 1 1 1 1 n+ 1 (1)1 ，- ，，- ，, - ,?，，-1，，?。(图 1)(2)1 ，-1 ，1 ，-1 ，?，(-1)，?。(图 2) 2 3 4 5 6 n

n +1 n +1 1 图 1 a= ，-1， 的图形 n 图 2 a= ，-1， 的图形 n n

收稿日期:2014-01-12

作者简介:张府柱(1979-)，男，贵州盘县人，讲师，主要从事数学分析教学与研究。

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张府柱:从极限的几何意义和函数定义域出发讨论极限定义

nn + ，-1， 3 2 (3)0 ， ， ，?， ，?(图 3) (4)1 ，1 ，?，1，?(图 4) 2 3 n

n 图 4 a= 1 的图形 n +(-1) n 的图形 图 3 a= n n

(1)设想作由 = -ε及 = ε所夹带状区域，观察区域内外点的分布情况:可以直观地看到除了数 1 1 y y

列的前面一些项落在带状区域外，后面的项全部落在带状区域内。

(2)设想作由 = 1 - ε 及 = 1 + ε 所夹带状区域，观察区域内外点的分布情况:可以直观地看到数 y y

列有无穷多项落在带状区域外，也有无穷多项全部落在带状区域内。

(3)设想作由 = 1 - ε 及 = 1 + ε 所夹带状区域，观察区域内外点的分布情况:可以直观地看到除 y y

了数列的前面的一些项落在带状区域外，后面的项全部落在带状区域内。

(4)设想作由 = 1 - ε 及 = 1 + ε 所夹带状区域，观察区域内外点的分布情况:可以直观地看到数 y y

列所有项都落在带状区域内。

(1)(3)(4)在图形上有一个共同属性:即从某一项开始，图形都落在事先给定的带状区域内，这就是 收敛数列;而(2)的图形在事先给定的带状区域外始终还有点，这就是发散数列。

对于(1)(3)(4)，即存在 N? N,当 n ? N时，a对应的点落在带状区域外，当 n > N时，a对1 + 1 n 1 n 应 的点落在带状区域内。将带状区域的宽度进一步变窄为 2ε，仍然看到除了数列前面的一些项落在2

带状 区域外，后面的项全部落在带状区域内，即存在 N? N,当 n ? N时，a对应的点落在带状区2 + 2 n 域外，当 n > N时，a对应的点落在带状区域内，?，将带状区域的宽度变窄 2ε 时，仍然看到除了数列2 n

开始的一 些项落在带状区域外，后面的项全部落在带状区域内，即存在 N ? N,当 n ? N 时，a对应+ n 的点落在带 状区域外，当 n > N 时，a对应的点均落在带状区域内。具有以上属性的数列就是收敛数n

列。

以上例子中带状区域都是事先给定的，就是看这个带状区域能否给函数的定义域一个划分，即存在 N ? N,当 n ? N 时，a对应的点落在带状区域外;当 n > N 时，a对应的点均落在带状区域内。在+ n n

带 状区域内的点在几何上可以表示成 , a- 0 , < ε="" 。我们所关心的是="" ,a,="" 的="" n=""> N 这部分定义。于是n n

我们 可以得出数列极限的 ε - N 定义:

定义 2 设 ,a, 为数列，a 为常数。若 ?ε > 0 ，?N ? N,使得对 ?n > N 时，有 , a- a , < ε="" ，则称数n+="" n="">

列 ,a,收敛于 a ，常数 a 称为 ,a,的极限，并记作 lim a= a 。 nnn n ? ?

1.1 数列极限的几何解释:数列 ,a, 以 a 为极限，就是对任意事先给定的由 = a - ε 及 = a + ε 所夹带 ny y 状区域，从第 N 项以后的一切数 a, a, a,?全部落在这个带状区域内，在这个带状区域外只 N + 1 N + 2 N + 3

有有限个数(至多有 N 个)(图 5)。

图 5 a以 a 为极限 n

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六盘水师范学院学报

1.2 在实际的应用中，收敛数列的极限 a 不一定能找得到，但当 ?n > N 时，用哪一个 a的值作为常数 a n 的近似值，其误差也不会超过 ε 。因此 ε 可以认为是我们事先要求的精度，它没有任何限制，所以它具有 任意性，一旦我们事先给定，它就可以作为常数使用，因此，它具有相对的固定性。再者，当下标大于 N 的项都可以作为常数 a 的近似值 ，其 误差都不会超过 ε ，若 a，a都是常数 a 的近似值 ，那 么差 n m

, a- a, < ε="" 必定成立，这就是柯西收敛准则。="" n="" m="">

1.3 从数列极限定义的引入来看，数列极限存在，那么我们就可以按照事先给定的精度 ε ，对数列的定 义域进行划分:N ? N,使得 N= ,n|n ? N,?,n|n > N, ，在 ,n|n > N, 上始终满足 , a- a , < ε="" ，因此我+="" +="" n="" 们="" 称="" n=""> N 是数列 ,a, 受限制后的定义域(高孝忠，2006)。如果按照事先给定的精度 ε ，对数列的定n

义域 进行划分:N ? N,使得 N= ,n|n < n,?,n|n="" n,="" ，在="" ,n|n="" n,="" 上始终成立="" ,a="" -="" a="" ,="" ε="" ，同样+="" +="" n="" 是合理="" 的，因此极限的定义也可以陈述如下:="">

lim a= a ? ?ε > 0,?N > 0,?n ? N,成立, a- a , ? ε 。 n n n ? ? 1.4 数列 ,a, 受限制后的定义域一定是形式化的 +? 邻域，在这个形式化的 +? 邻域内，恒成立不等 n

式 , a- a , ? ε 。若 , a- a , ? ε 确定的定义域不是 +? 邻域，则 ,a, 发散。即一个数列的定义域不能满 n n n

足上述划分，则该数列必为发散数列。

2 数列极限的拓广

2.1 一元函数的极限

关于邻域的定义补充说明

x一般的教材中都对某点 的邻域给出定义，无穷邻域很少定义，这里补充说明，设 X 为充分大的正 0

数时，如下数集

xx xx xx U ，?， = |, , > X, U ，+?， = ,|> X,, U ，-?， = ,|< -x,,,="">

分别称它们为 ? 邻域，+? 邻域，-? 邻域(华东师范大学数学系，1991)。 为了下面的叙述方

面，我们也把当 N 为充分大的正整个数时，正整数集 ,n|n > N, 形式化地称为 +? 邻域。

有了上述形式化的 +? 邻域的定义，lim a= a 可以描述了按照事先给定的精度 ε ，存在形式化的 n n ? ?

+? 邻域，在这个邻域内成立 , a- a , < ε="" 。="" n="">

x设 = f ， ， 为定义在 D 上的函数，类似于数列极限的定义，可以得出以下定义: y

xx x?如果按照事先给定的精度 ε ，存在 U ，+?， = ,|> X,? D ，在这个邻域内成立 f ， ， - A< ε="" ,则,="" ,="">

x xx称 A 是当 ? +? 时 f ， ， 的极限，记作 lim f ， ， = A 。即 x ? +? xxxx lim f ， ， = A ? ?ε > 0,?X > 0,?:> X 有 f ， ， A< ε-="" ,="" ,="" x="" +?="" xx="" x?如果按照事先给定的精度="" ε="" ，存在="" u="" ，-?，="">< -x,?="" d="" ，在这个邻域内成立="" f="" ，="" ，="" -="">< ε="" ,,="" ,="">

x xx则称 A 是当 ? -? 时 f ， ， 的极限，记作 lim f ， ， = A 。即 x ? +? xxxx lim f ， ， = A ? ?ε > 0,?X > 0,?:< -x="" 有="" f="" ，="" ，="" -="">< ε,="" ,="" x="" -="" x="" x?如果按照事先给定的精度="" ε="" ，存在="" u="" ，?，="|," ,=""> X? D ，在这个邻域内成立 f ， ， - A< ε="" ,则,,,="" ,="">

x xx称 A 是当 ? ? 时 f ， ， 的极限，记作 lim f ， ， = A 。即 x ? ? xxx xlim f ， ， = A ? ?ε > 0,?X > 0,?:, , > X 有 f ， ， - A< ε,="" ,="" x="" -="" 74="">

张府柱:从极限的几何意义和函数定义域出发讨论极限定义

0x xx x ?如果按照事先给定的精度 ε ，存 在 U ， ,δ， = |0 < ,="" -="" ,="">< δ?="" d="" ，在="" 这个邻域内成立,,="" 0="" 0="">

xxxx xf ， ， - A< ε="" ,则称="" a="" 是当="" 时="" f="" ，="" ，="" 的极限，记作="" lim="" f="" ，="" ，="A" 。即,="" ,="" 0="" x="" x?="">

xx xxxlim f ， ， = A ? ?ε > 0,?δ > 0,?:0 < ,="" -="" ,="">< δ="" 有="" f="" ，="" ，="" -="">< ε,="" ,="" 0="" x="" x="" 0同理可以定义左右极限和非正常极限。="">

2.2 多元函数的极限

设 f ，P， 是 定 义 在 D 上 的 函 数 ，如 果 按 照 事 先 给 定 的 精 度 ε ，存 在 0x，P， 的 时 f U ，P ,δ， = |0 < ,="" p="" -="" p="" ,="">< δ?="" d="" ，在这个邻域内成立="" f="" ，p，="" -="">< ε="" ,则称="" a="" 是当="" p="" p0="" ,0="" ,,="" ,="" 0="" 极限，记作="" lim="" f="" ，p，="A" 。即="" p="" p="" 0lim="" f="" ，p，="A"> 0,?δ > 0,?P:0 < ,="" p="" -="" p,="">< δ="" 有="" f="" ，p，="" -="">< ε,="" ,="" 0="" p="" p="">

3 由几何意义引入极限和把 n > N 理解为受 , a- a , < ε="" 限制的定义域，在极限定义的教学中="" n="">

有其独特的优越性

3.1 将抽象难懂的问题变得直观生动。在以往的教学中，通过观察实例，得到数列极限的描述性定义:对 于给定数列 ,a, ，如果当 n 无限增大时，a无限接近于常数 a 。其一，这个定义本身就不准确，给人直 nn

观地觉得如果 lim a= a ，当 n 充分大时，必有 , aa , ? , aa , ? ,a a , ? ? ，这种直观认识是错 - - - n n n + 1 n + 2 n ? ? 1 1 1 = ，其极限为 0 。但 , a- 0 , = 误的(王芳，2012)，例如取 an 2k < ,="" a0="" ,="。其二在" -="" 2k="" +="" 1="" n2k="" +="" 1="" 2k="" n="" +(-1)="">

将描述性定义进行符号化的过程中，对任意 ε > 0 ，用 , a- a , < ε="" 来表示“="" a无限接近于常数="" a="" ”学生理="" n="" n="">

解上不难;而用“存在充分大的 N ? N，当 n > N ”来表示“当 n 无限增大”学生往往是无法理解的，而学 +

生常用“任意充分大的 N ? N，当 n > N ”来表示“当 n 无限增大”的错误结果。其次，ε 决定 N 如何理 +

解也是学生不能理解的，它和“先有鸡还是先有蛋,”一样让人难于理解。而本文给出极限观点是:从形 上看，数列从 N 项起以后的全部项落在了事先给定的由 = a - ε 及 = a + ε 所夹带状区域;从数上看， y y

lim a= a 可 以 描 述 了 按 照 事 先 给 定 的 精 度 ε ，存 在 形 式 化 的 +? 邻 域 ，在 这 个 邻 域 内 成 立 n n ? ? , a- a , < ε="" 。从而直观生动地引出了极限的严格符号化定义。="" n="">

3.2 把定义中自变量所满足的空心邻域(无穷邻域)理解为函数受限制后的定义域(高孝忠，2006)，那么， 空心邻域(无穷邻域)的任何子空心邻域(无穷邻域)都能使上述定义中的绝对值不等式成立。在极限有 关的证明中，取 N = max,N,N, 、X = max,X,X, ，δ = min,δ,δ, ，就是集合取交集运算，其实质就是 121212

所有涉及的函数受限制后的公共定义域。在利用极限定义证明极限时，通常采用适当放大的方法，为寻 找 N 带来方便，它的依据仍然是空心邻域(无穷邻域)的任何子空心邻域(无穷邻域)都能使 , a- A, < ε="" n="">

x或 f ， ， - A< ε="" 成立。,="" ,="">

n = 1 . 例 1 按 ε - N 定义证明 lim n ? ? n +

, ,1 n 1 1 1= - 证 法 一 :对 于 给 定 的 ε > 0 ，只 要 , , < ε="" 成="" 立="" ，解="" 得="" n=""> - 1 。 于 是 ?ε > 0, 取 , , n + 1 n + 1 ε

, , ，1 ，n n - , , ,N = 1，使得 ?n > N ，有 = 1 。 - 1< ε="" lim="" ε="" ,="" ，,="" n="" +="" 1="" n="" n="" +="" ,="" 1,="" ,="" 1="" 1="" 1="" ，="" n="" -="" 1="," ,="" 证="" 法="" 二="" :对="" 于="" 给="" 定="" 的="" ε=""> 0 ，只 要 <>< ε="" 成="" 立="" ，解="" 得="" n=""> 。 于 是 ?ε > 0, 取 , , n + 1 ε n + 1 n

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六盘水师范学院学报

, , n n 1 , , = 1 。 ， ,N = ，使得 ?n > N ，有 1< ε="" lim="" -="" n="" n="" +="" ,="" ,="" εn="" +="" 1="" ，，="" ，="" ,="" 1="" 1="" 1="" ，，="" ，,,,="" ,可以看出:n|n=""> ? n|- 1，其实质是:通过适当放大后确定的邻域变成了直接确定,,,,εε ，， ，，

， 的子邻域，所以结论仍成立。 的邻域

例 2 下列哪些描述可以作为极限的定义。

1 (1)对于任意的自然数 k ，总存在自然数 N ，使得当 n > N 时，有 , a- a , < 。="" n="" k="">

(2)如果对于无穷多个 ε > 0 ，总存在自然数 N ，使得当 n > N 时，有 , a- a , < ε="" 。="" n="">

1 1 解:(1)可以。 同样具有绝对的任意性和相对的固定性，只需取 ε = 即可。但它与“对于任意 k k

1 ε > 0 ，总存在自然数 N ，使得当 n > N 时，有 , a- a , < ε="" ”并不等价。实因是="" 始终是正有理数，而="" ε="" 可="" n="" k="" 以是正有理数也可以是正无理数。="">

11 1 (2)不能。(2)中的 ε 不具备绝对任意性。例如常值数列 a= 与常数 0 ，则 ε ?(,) 的 ε 有无n 10 9 8 穷 , , 1 1 1 1 1 , , 多个，均满足 , a- a , = - 0 = <>< ε="" ，但="" lim="?" 0="" 。="" n="" n="" 10="" ,="" ,="" 10="" 10="" 9="" 104="" 结束语="">

极限从其思想的萌芽，有意识无意识应用过它的数学家积累了极强的实际背景，但外尔斯特拉斯给 出精确的极限定义后，极限理论推动了数学的极大进步，同时也让数学脱离实际背景，变得更加抽象。 教育工作者的首要任务是从不同的角度揭示极限的本质，让极限理论回归到直观生动的生活中，让更多 的人理解它，掌握它。

参考文献:

华东师范大学数学系.1991.数学分析[M].北京:高等教育出版社，(3):6. 高孝

忠.2006.数学分析[M].北京:贵州人民出版社，27-32. 王芳.2012.数列极限定

义的等价定义及其作用[J]. 黑龙江科技信息，(15):195.

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范文二：二元函数的极限

第十六章 多元函数的极限与连续 ?2 二元函数的极限

?2 二元函数的极限 教学计划：４课时．

教学目的：让学生掌握二元函数极限定义及它和累次极限的关系． 教学重点：二元函数极限和累次极限．

教学难点：用定义判别极限的存在性和特殊路径法判别极限的不存在． 教学方法：讲授法．

教学步骤：

一 二元函数的极限

定义1 设P为定义在二元函数，为的D一个聚点，A是一个确定的实数。fD,0

o若对任给正数，，P,UP;,:D,，总存在某正数，使得当时，都 有 ,0

，，fP,A,,,则称P,P在D上当时，以A 为极限，记作 f0．．．

，， 1 ，，limfP,A.P,PP,D0

在对于不致产生误解时，也可简单地写作 P,D

，，1' ，，limfP,A.P,P

当，，，，P,Px,y,x,y，，1'分别用坐标表示时，也常写作 000

，，，，limfx,y,A.1" (x,y),(x)y0,0

22例1 依定义验证lim(x，xy，y),7. xy,(,)(2,1)

证 因为

22 x，xy，y,7

22 ,(x,4)，xy,2，(y,1)

,(x，2)(x,2)，(x,2)y，2(y,1)，(y，1)(y,1)

,x,2x，y，2，y,1y，3.

先限制在点(2,1)的方邻域 ,,1

,,，，x,yx,2,1,y,1,1 内讨论，于是有

y，3,y,1，4,y,1，4,5,

x，y，2,(x,2)，(y,1)，5

,x,2，y,1，5,7.所以

22 x，xy，y,7,7x,2，5y,1

,7(x,2，y,1).

,设,,,min(1,)为任给的正数，取，则当时， 就有 x,2,,,y,1,,,(x,y),(2,1)14

22 x，xy，y,7,7,2,,,. ?

例2 设

22,x,y第十六章 多元函数的极限与连续 ?2 二元函数的极限 ,xy,(x,y),(0,0),22 f(x,y),,x，y

,0,(x,y),(0,0),,

证明 limf(x,y),0．(x,y),(0,0)

证 对函数的自变量作极坐标变换。这时等价x,rcos,,y,rlsin,.(x,y),(0,0)

于对任何都有。由于 ,r,0.

22x,y f(x,y),0,xy22x，y

1122 ,rsin4,,r,44

22因此，对任何， 只须取，当时，不管取什么值,,0,0,r,x，y,,,,,2,,

都有即。 ? limf(x,y),0f(x,y),0,,,(x,y),(0,0)

下述定理及推论相当 于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归结原则(而且证

明方法也相似)．我们可通过它们进一步认识定义1中“P,P”所包含的意义． 0

定理16.5 P的充要条件是：对于D的任一子集E，只要是E的聚点，limf(P),A0P,P0P,D

就有

limf(P),AP,P0P,E

推论1 设PE,DE，是的聚点，若不存在，则也不存在． limf(P)limf(P)011P,PP,P00P,EP,D1

推论2 设PE,E,D，是它们的聚点，若存在极限 012

limf(P),A,limf(P),A， 12P,PP,P00P,EP,E12但A,A，则不存在． limf(P)12P,P0P,D

推论3 极限P,P存在充要条件是：对于D中任一满足条件且limf(P)n0P,P0P,D

,,,,，，PfP的点列，它所对应的函数列都收敛． limP,Pnnn0n,,

下面两个例子是它们的应用．

xy 例3 讨论f(x,y),(x,y),(0,0)当时是否存在极限． 22x，y

解 当动点(x,y)(0,0)沿着直线而趋于定点时，由于此时y,mx

m，因而有 f(x,y),f(x,mx),21，m

m lim(,)lim(,).fxy,fxmx,2x(y,,)(0,0)x,01，my,mx

这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值不同，因此所讨论的极

限 不存在． ?

例4 二元函数

2,1,当0,y,x,第十六章 多元函数的极限与连续 ?2 二元函数的极限 , f(x,y),,,,,x,，,时，

,0,其余部分.,

如图16－7所示，当沿任何直线趋于原点时，相应的(x,y)

都趋于零，但这并不表明此函数在时极f(x,y)(x,y),(0,0)限存在．因为

2当点y,kx(0,k,1)沿抛物线趋于点 (x,y)

O时，将趋于1。所以 f(x,y)limf(x,y).(x,y),(0,0)

不存在。 ?

下面我们再给出当，,P(x,y),P(x,y)时，趋于（非正常极限）的定义． f(x,y)000

定义2 设D为二元函数的定义域，P(x,y)是D的一个聚点。若对任给正数M，000

o总存在点P(x,y),U(P;,):DP的一个领域，使得当时，都有，则称f(p),Mf,00

，,P,P在D上当时，存在非正常极限，记作 0．．．

limf(x,y),，,(x,y),(x,y)00

或 limf(P),，,.P,P0

仿此可类似的定义：

与 limf(P),,,limf(P),,.P,PP,P00

1例5 设f(x,y),.证明 22x，y23

limf(x,y),，,(x,y),(0,0)

2222证 因为2x，3y,4(x，y)，对任给正数M，取

1 ,,,

2M

122就有 x，y,.

2M

122由此推得 2x，3y,,M

1即 ,M. 222x，3y这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图16－8）. ?

二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四

则运算法相仿，特别把，，fPf(x,y)看作点函数时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出．

二 累次极限

在上一段所研究的极限limf(x,y)中，两(x,y),(x,y)00

个自变量xy同时以任何方式趋于。这种极限也称为重极限。在这一段里，我们要考x,y0,0

察xyxf与依一定的先后顺序相继趋于与时的极限，这种极限称为累次极限． y00

定义3设E,E,ExEyfR，是的聚点，是的聚点，二元函数在集合xyy0x0

?y,E,y,y上有定义。若对每一个，存在极限由于此极限limf(x,y),D,E，Ey0xy第十六章 多元函数的极限与连续 ?2 二元函数的极限 x,x0x,Ex

一般与有关，因此记作 y

，，,y,limf(x,y),x,x0x,Ex而且进一步存在极限

，，L,lim,y, y,y0y,Ey则称此极限为二元函数，，，，x,xy,y先对后对的累次极限，并记作 f00

L,limlimf(x,y) y,yx,x00y,Ex,Eyx或简记作

L,limlimf(x,y).y,yx,x00

类似地可以定义先对x后对的累次极限 y

K,limlimf(x,y).y,yx,x00

累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系．下面三个

例子将说明这一点．

xy例6 设f(x,y),. 由例3已经知道(x,y),(0,0)时f的重极限不存在.但22x，y

当y,0时有

xy lim,0. 22x,0xy，从而有

xy limlim,0. 2200y,x,，xy

xy同理可得 limlim,0. 2200x,y,，xy即f的两个累次极限都存在而且相等．

22x,y，x，y 例7 设(,)，它关于原点的两个累次极限分别为 fxy,x，y

222x,y，x，yy,y limlim,lim,lim(y,1),,1. y,0x,0y,0y,0x，yy与

222x,y，x，yx,x limlim,lim,lim(1，x),1. x,0y,0x,0x,0x，yx

当沿斜率不同的直线，，，，y,mx,x,y,0,0时，容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在（下面的定理16.6将告诉我们，这是一个必然的结果）．

11例8 设，，fx,y,xsin，ysin,它关于原点的两个累次都不存在。这是因为对任yx

何y,0fy,0f，当时的第二项不存在极限。同理，对任何，当时的第x,0x,0

一项也不存在极限。但是由于

11第十六章 多元函数的极限与连续 ?2 二元函数的极限 , xsin，ysin,x，yyx故按定义1知道的重极限存在，且 ，，flimfx,y,0. ，，，，x,y,0,0

下述定理告诉我们：重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的．

定理16.6 若，，，，x,yfx,y在点存在重极限 00

，，limfx,y，，，，x,y,x,y0o与累次极限 ，， limlimfx,y,y,xx,y00则它们必相等。

证 设 ，， limfx,y,A,，，，，x,y,x,y0o:则对任给的正数，，，，Px,y,UP;,,，总存在正数，使得当时，有 ,0

(2) ，，fx,y,A,,.另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式

(3) 0,x,x,,0

的x，存在极限

，，，， (4) limfx,y,,x.y,y0

回到不等式（2），让其中y,y，由(4)可得 0

(5) ，，,x,A,,.故由(3),(5)证得，，，即 lim,x,Ax,x0

，，，， ? limlimfx,y,limfx,y,A.x,xy,y，，，，x,y,x,y000o

由这个定理可导出如下两个便于应用的推论。

推论1 若累次极限

，，，， limlimfx,y,limlimfx,yx,xy,yy,yx,x0000和重极限

，，limfx,y ，，，，x,y,x,y0o

都存在，则三者相等。

推论2 若累次极限

，，，，limlimfx,y,与limlimfx,y x,xy,yy,yx,x0000存在但不相等，则重极限，，limfx,y必不存在。 ，，，，x,y,x,y0o

请注意，定理16.6保证了在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。（本节习题

3则给出较定理16.6弱一些充分条件。）但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结

论，对此只需考察本节习题2（5）。

推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可被用来否定重极限的存

在性（如例7）。

作业布置：P99 1（1），（2）；2（6），（７）．

范文三：函数极限的性质

?2 函数极限的性质 教学目的与要求:

掌握各种函数极限存在形式下的性质:唯一性，局部保号性，四则运算等

教学重点，难点:

性质的证明及如何运用极限存在的性质。

教学内容:

在?1中我们引入了下述六种类型的函数极限:

，，，，1)，， 2) 3) limfx;limfx;limfx;x,，,x,,,x,,

，，limfx;4) 5) 6) ，，，，limfx;limfx.，,x,xx,xx,x000

下面以第4)种类型的极限为代表叙述并证明这些性质. 一 函数极限的性质

，，limfx定理3.2(唯一性) 若极限存在, 则此极限是唯一的. x,x0

分析: 利用函数极限的定义. ,,,

0，，limfx，，定理3.3(局部有界性) 若存在,则在的某空心领域Ux内有界( fx00x,x0

分析: 在函数极限的定义中取定. ,,,,,1

注1 函数的局部有界性是局部性概念,而有界性是整体性概念,两者含义不同.在f(x)

上的有界函数一定在内的每点局部有界;但在内每点处局部有界的函数不(a,b)(a,b)(a,b)

111f(x),,x,(0,1)一定是有界函数,例如:. ,由函数极限的局部x,,,(0,1),lim0x,xx0xx0有界性定理可知在点处局部有界,但是在上是无界的. f(x)f(x)(0,1)x0

，，limfx,A,0定理3.4(局部保号性) 若(或),则对任何正数(或,0r,Ax,x0

00，，，，),存在Ux, 使得对一切x,Ux有 r,,A00

，，，，fx,r,0fx,,r,0 (或).

分析: 在函数极限的,,,定义中取定,,A,r

Ar,.注2 在以后应用局部保号性时,常取 2

0,，，(;,)limfxlimg(x)Ux定理3.5(保不等式性) 设 与 都存在,且在某邻域内0x,xx,x00

,，，，，fxgx有,则

,，，，，limfxlimgx x,xx,x00

,，，，，fxgxf(x),0g(x),0 注3 保不等式性的一个特例: 中如果或者,则相应的

，，，，limgx,0limfx,0结论为或者. x,xx,x00

注4 局部保号性是由函数在一点极限值的符号确定在这一点附近函数值的符号;保不等式性则是由函数在一点附近函数值的符号确定在这一点极限值的符号.

0,，，，，limfx,limgx,A,定理3.6(迫敛性) 设 且在某，，内有 Ux,;0x,xx,x00

，，，，，，fx,hx,gx,

，，limhx,A.则 x,x0

，，，，limfxlimgx定理3.7(四则运算法则) 若极限与都存在,则函数当f,g,f,gx,xx,x00

时极限也存在,且 x,x0

,,，，，，，，，，limfx,gx,limfx,limgx;1) x,xx,xx,x000

,,，，，，，，，，limfxgx,limfx,limgx;2) x,xx,xx,x000

f，，limgx,0又若,则当时极限存在,且有 x,x0gx,x0

fxlim()，，fxx,x03) lim,.x,x0，，gxgxlim()x,x0

，，limgx,0问题: 为什么极限根除法法则中只假设, 而不假设? g(x),0x,x0

二 利用函数极限的性质计算某些函数的极限

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限(

22例, 求() 2lim(x，4x,x，3).x,，,

,，，,1limxtanx,1.例2 求() ,4x,4

13,,例3 求(,1) lim,.,,3x,,1x，1x，1,,

xlima,1(a,1).例4 证明 ,0x

复习思考题、作业题:

2，3，4，5，6

范文四：二元函数的极限

§2 二元函数的极限

(一) 教学目的：

掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系． (二) 教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限． 基本要求：

(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限

存在性的基本方法．

(2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题． (三) 教学建议：

(1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极

限的方法．

(2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．

一 二元函数的极限

先回忆一下一元函数的极限： lim f (x ) =A 的“ε-δ” 定义(c31)：

x →x 0

设函数f (x ) 在x 0的某一空心邻域U (x 0, δ1) 内由定义，如果对

?ε>0,

当 x ∈U (x 0, δ) ，即 |x -x 0|<δ 时，都有="" |f="" (x="" )="" -a=""><ε，?δ>0, δ≤δ1，

则称x →x 0时，函数f (x ) 的极限是 A.

类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：

设二元函数f (x , y ) 为定义在D ?R 2上的二元函数，在点P 0(x 0, y 0) 为D 的一个聚点，A 是一个确定的常数，如果对 ?ε>0,

?δ>0，使得当 P (x , y ) ∈U (P 0, δ) D 时，

都有 |f (P ) -A |<ε，则称f 在d="" 上当="" p="" →p="" 0时，以a="">

P →P 0

P ∈D

lim f (P ) =A

也可简写为 lim f (P ) =A 或

P →P 0

(x , y ) →(x 0, y 0)

2

lim f (x , y ) =A

例1 用定义验证

2

lim

(x , y ) →(2, 1) 2

(x +xy +y ) =7

2

2

2

证明: |x +xy +y -7|≤|x +x -6+xy -x +y -1|

≤|x +3||x -2|+|x +y +1||y -1|

限制在 （2，1）的邻域 {(x , y ) ||x -2|<1, |y=""><>

|x +3|<>

|x +y +1|<>

取 δ=min{1, ε/6}，则有

|x +xy +y |<>

2

2

由二元函数极限定义 lim

(x , y ) →(2, 1)

(x +xy +y ) =7

22

22

?x -y

, (x , y ) ≠(0, 0) ?xy 22

例2 f (x , y ) =?x +y ，

?0, (x , y ) =(0, 0) ?

证明lim

(x , y ) →(0, 0)

f (x , y ) =0

x -y x +y

22

22

证 |f (x , y ) |≤|xy

所以

lim

(x , y ) →(0, 0)

|≤|xy |

lim

(x , y ) →(0, 0)

|f (x , y ) |≤lim

(x , y ) →(0, 0)

|xy |=0

|f (x , y ) |=0

对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：

P →P 0

lim f (P ) =A 是指： P (x , y ) 以任何方式趋于P 0(x 0, y 0) ，包括沿任何直线，沿任

何曲线趋于p 0(x 0, y 0) 时，f (x , y ) 必须趋于同一确定的常数。

对于一元函数，x 仅需沿X 轴从x 0的左右两个方向趋于x 0，但是对于二元函数，P 趋于P 0的路线有无穷多条，只要有两条路线，P 趋于P 0时，函数f (x , y ) 的值趋于不同的常数，二元函数在P 0点极限就不存在。

?1, 0

例1 二元函数 f (x , y ) =?

?0, rest

请看图像（x62），尽管P (x , y ) 沿任何直线趋于原点时f (x , y ) 都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当P (x , y ) 沿抛物线 y =kx , 0<1时， f="" (x="" ,="" y="" )="">

2

( 考虑沿直线y =kx 的方向极限 ). ?x 2y

, ?

例2 设函数 f (x , y ) =?x 2+y 2

?0, ?

(x ., y ) ≠(0, 0) (x , y ) =(0, 0)

求证 lim f (x , y ) =0

x →0

y →0

证明 因为 |f (x , y ) -0|=

x |y |x +y

2

2

2

≤

x |y |x

2

2

=|y |

所以， 当 (x , y ) →(0, 0) 时， f (x , y ) →0。

请看它的图像，不管P (x , y ) 沿任何方向趋于原点，f (x , y ) 的值都趋于零。

通常为证明极限lim f (P ) 不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两

P →P 0

个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 .

但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 ?/ 全面极限存在. 例3

设函数

(x , y ) ≠(0, 0) (x , y ) =(0, 0)

?xy

, ?22

f (x , y ) =?x +y

?0, ?

证明函数 f (x , y ) 在原点处极限不 存在。

证明 尽管 P (x , y ) 沿 ｘ轴和ｙ轴

趋于原点时 (f (x , y ) 的值都趋于零， 但沿直线y =mx 趋于原点时

x ?mx x +(mx )

2

2

f (x , y ) ==

mx

22

2

(1+m ) x

=

m 1+m

2

沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例１沿任何路线趋于原点时，

极

限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。

例4

非正常极限 极限

lim

(x , y ) →(x 0, y 0)

判别函数 f (x , y ) =

xy +1-1x +y

在原点是否存在极限.

f (x , y ) =+∞的定义:

12x +3y

2

2

例1 设函数 f (x , y ) = 证明 lim f (x , y ) =∞

x →0y →0

证 |

12x +3y

2

2

|≥|

13(x +y )

2

2

|

只要取 δ

16M

|x -0|<δ, |y=""><δ>

|

12x +3y 16δ

22

2

|≥|

13(x +y )

2

2

|

≥>M

12x +3y

2

2

请看它的图象，因此 是无穷大量。

例2 求下列极限: i)

lim

x y x +y

2

22

; ii)

(x , y ) →(0, 0) (x , y ) →(3, 0)

lim

sin xy y

;

iii)

(x , y ) →(0, 0)

lim

xy +1-1xy

; iV)

(x , y ) →(0, 0)

lim

ln(1+x +y )

x +y

2

2

22

.

二. 累次极限: 累次极限

前面讲了P (x , y ) 以任何方式趋于P 0(x 0, y 0) 时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x , y 依一定次序趋于x 0, y 0时 f (x , y ) 的极限，称为累次极限。 对于二元函数f (x , y ) 在P 0(x 0, y 0) 的累次极限由两个

lim lim f (x , y ) 和 lim lim f (x , y )

y →y 0x →x 0

x →x 0y →y 0

例1

f (x , y ) =

xy x +y x -y x +y

222

2

, 求在点( 0 , 0 ) 的两个累次极限.

22

例2 f (x , y ) =, 求在点( 0 , 0 ) 的两个累次极限 .

例3 f (x , y ) =x sin

1y

+y sin

1x

, 求在点( 0 , 0 ) 的两个累次极限 .

二重极限与累次极限的关系:

（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序 。

例 函数 f (x , y ) =

x -y +x +y

x +y

2

2

22

的两个累次极限是 y -y y x +x x

22

lim lim

x -y +x +y

x +y x -y +x +y

x +y

2

y →0x →0

=lim

2

y →0

=lim (y -1) =-1

y →0

=lim (x +1) =1

x →0

lim lim

x →0y →0

=lim

x →0

（２） 两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 例 f (x , y ) =

xy x +y

xy x +y

2

2

2

2

， 两个累次极限都存在

lim lim

y →0x →0

=0, lim lim

xy x +y

2

2

x →0y →0

=0

但二重极限却不存在，事实上若点P (x , ) 沿直线 y =kx 趋于原点时，

kx

2

2

2

f (x , y ) =

x +(kx )

→

k 1+k

2

二重极限存在也不能保证累次极限存在

二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例 函数 f (x , y ) =x sin

1y +y sin

1x

由 |f (x , y ) | ≤ |x |+|y |→0 , ( x , y ) →(0, 0) . 可见二重极限存在 , 但

1x

lim sin

x →0

和 lim sin

y →0

1y

不存在，从而两个累次极限不存在。

（4）二重极限极限lim

(x , y ) →(x 0, y 0)

f (x , y ) 和累次极限lim lim f (x , y ) (或另一次序) 都存

x →x 0y →y 0

在 , 则必相等. ( 证 )

（5）累次极限与二重极限的关系

若累次极限和二重极限都存在， 则它们必相等

范文五：函数极限的定义

第三节函数极限的定义?自变量趋向无穷大时函数的极限?自变量趋向有限值时函数的极限?函数极限的性质

注：有时需区分x趋于无穷大的符号。例. lim2x=+∞x→+∞

x

xlim→?∞2=0

: limx→∞f(x)=A?xlim→+∞f(x)=xlim→?∞f(x)=A.性质

定义 2 设函数 f(x)在 x0 的某去心邻域内有定义， 在 的某去心邻域内 定义， 如 果存在常数 A， 存在常数 对于任意给定的正数 ε ,总存在正数δ 使得满足 使得满足 0

思考 考察下列极限并说明理由 (1) lim x0 ;x → x0x2 ?1 (2) lim x →1 x ? 1解答(1) x0 ; (2) 2

x2 ? 1 (2) lim x →1 x ? 1y 2 1 -1 0 1x2 ? 1 y= x ?1x过程中, 无限趋近于 趋近于数 函数在 x → 1 的过程中 对应函数值 f ( x ) 无限趋近于数 2. 因 时的极限. 此 2 是函数 f(x)当 x → 1 时的极限 当该函数在x=1处没有定义 处没有定义. 注意 该函数在 处没有定义

例.1 limsin （极限不存在的例子） . 极限不存在的例子） x →0 x1 y = sin x

单侧极限: 单侧极限:x → x0lim f ( x ) = A是指无论 x以任何方式接近 x 0， f ( x )均以 A为极限，但有时我们需 要考虑 为极限，的变化趋势。 当 x从 x 0的一侧接近 x 0时 f ( x )的变化趋势。左极限: 左极限: lim? f ( x ) = A 记作 f ( x ? ) = A 0 x→ x0右极限: 右极限: lim+ f ( x ) = Ax → x0记作 f ( x ) = A+ 0例如.x →0lim x = 0. +

y ? 1 ? x, x

?1 练 习. 设 f ( x ) = ? ?xx0研 究 当 x → 0，f ( x ) 的 极 限 是 否 存 在.解：x→0lim? f ( x ) = lim? 1 = 1x→0yf(x)=1 f(x)=xx→0lim+ f ( x ) = lim+ x = 0x→01左右极限都存在， 左右极限都存在， 但不相等 . 所以 lim f ( x ) 不存在 .x→00x

三、函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性 ) 存在， 如果 lim f ( x )存在 ， 那么这极限唯一.x → x0定理2(函 数 极 限 的 局 部 有 界 性 ) 如 果 lim f ( x ) = A， 那 么 存 在 常 数 M > 0 和x → x0δ > 0， 使 得 当 0

定理 3 (函数极限的局部保号性 )x → x0lim f ( x ) = A, 而且 A > 0 (或 A 0 (或 f ( x )

判断题1.若{ xn }收敛，则存在M>0,使得 xn ≤ M (n=1,2, 收敛， 2.若 lim f ( x ) = A>0,则f ( x0 ) > 0.x → x0).3.若 lim f ( x ) = A，则存在M>0，在 x0的任一x → x0邻域内， 邻域内，有 f ( x ) ≤ M . 4.若{xn }发散，则{ xn }无界. 发散，答案：正确；错误；错误； 答案：正确；错误；错误；错误

定理 4 (函数极限与数列极限的关系) 存在， {x 如果极限 lim f ( x )存在， n }为函数 f ( x )的x → x0的数列，且满足： 定义域内任一收敛于x0的数列，且满足： xn ≠ x0 (n ∈ N + )，那么相应的函数值数列 {f ( xn )}必收敛，且 lim f ( xn ) = lim f ( x ). 必收敛，n →∞ x → x0

--该定理的逆否命题经常用于证明函数的极 --该定理的逆否命题经常用于证明函数的极 限不存在. 限不存在. 例如1 lim sin 不存在 x →0 x则f ( xn ) = sin 2nπ = 01 2nπ +1 取x → 0的子序列 xn = 2nπ再取x → 0的子序列 yn =π2则f ( yn ) = sin(2nπ +π2)=1两函数列极限不相等，故原函数的极限不存在. 两函数列极限不相等，故原函数的极限不存在.

四、小结函数极限的统一定义lim f ( n) = A;n→ ∞lim f ( x ) = A;x→∞ x → x0x → +∞lim f ( x ) = A;x → x0x → ?∞lim f ( x ) = A;x → x0lim f ( x ) = A;lim+ f ( x ) = A;lim? f ( x ) = A.lim f ( x ) = A ? ?ε > 0, ?时刻, 从此时刻以后 , 恒有 f ( x ) ? A

作业一 、 用

思考题是否一定有 lim f ( x) = f ( x0 ) 存在, 1. 若极限 lim f ( x) 存在,x→ x0 x → x0a x , x ≤1 存在, 2. 设函数f (x) = 2 x + 1, x > 1 且 lim f ( x) 存在, 则 x→1 a= 3 .2

一、自变量趋向无穷大时函数的极限sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x

一、自变量趋向无穷大时函数的极限sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x

一、自变量趋向无穷大时函数的极限sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x

一、自变量趋向无穷大时函数的极限sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x

例2. 研究当 x→0， f(x)=|x| 的极限.：f(x)=|x|=???x x

?+x x≥0

=

xlim→0+f(x)=xlim→0+x0

=

xlim→0?f(x)xlim→0?(?x)=0

所以 limx→0|x|=0.yf(x)=-xf(x)=x解

?x?1 x

解：

??x+1 x>0研究当 x→0， f(x) 的极限是否存在. x→0 时 y lim?x)1?f(x)=lim?(x1)=?f(x→0x→01 xlim→0+f(x)=xlim→0+(x+1)=11

左右极限都存在，左右极限都存在， 但不相等.所以 limx→0f(x) 不存在.-1xf(x)=x-1 当

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