前世缘73537375
范文一：构造相似三角形
江苏省吴江市南麻中学 姜明
通过添加辅助线，构造相似三角形，是解决几何问题重要的方法之一。而构造的方法，
主要取决于思考问题的角度，即使同一个问题，不同的思考角度也有不同的构造方法，这充
分体现了数学的灵活性。现举一例说明。
（2001年福建省龙岩市中考题）如图1，中，D为BC边的中点，延长AD至E，,ABC
使AD=2DE，连结CE并延长交AB的延长线于点P。试说明：AP=3AB。
从结论开始思考，需把结论进行适当的变形，再根据这“适当的变形”构造适当的相似
三角形。
方法一
AB1分析：结论AP=3AB可变形为：,，则可以构造相似三角形，使AB和AP为对AP3
应边，从而想到过B作BF//P E交AE于F，使得，如图2所示。而由,ABF,,APE,BFD,,CED知：FD=ED，又AD=2DE，从而AF=FD=DE，再由 知：,ABF,,APEABAF1,,，故AP=3AB。 APAE3
方法二
BP2分析：结论AP=3AB还可进一步变形为：,，也需构造相似三角形，使BP和AP3
AP为对应边，从而想到过B作BG//AE交PE于G，使得,PBG,,PAE，如图3所示。而由,CDE,,CBG和CD=BD知：BG=2DE，又AD=2DE，则BGBG2DE2BPBG2,,,,,,PBG,,PAE，再由知，故AEAD，DE2DE，DE3APAE3AP=3AB。
这两种方法是常见的两种方法，一般较容易想到。除从结论开始思考外，还可以从条件
开始思考，构造合适的相似三角形。
二、
从条件开始思考，即把已知的条件“移到”或把已知的条件经过适当的变形后“移到”
要求证的结论上，根据不同的“移法”构造不同的相似三角形。
方法三 和BD=CD知：,BHD,,BPC
分析：过D作DH//CP交AP于H，如图4所示。由AHAD2BH=HP，又由知，从而AB=BH=HP，故AP=3AB。 ,,,AHD,,APEAPAE3
小评：这种方法就是把条件BD=CD和AD=2DE“移到”AP上，把AP三等分，从而证明结论。
方法四
DOED1分析：过D作DO//AP交 CP于O，如图5所示。由知：，,,,EDO,,EAPAPEA3
DOCD1AP3则AP=3DO，又由,,,,CDO,,CBP知，从而BP=2DO，故，从而BPCB2BP2AP=3AB。
ED1CD1小评：这种方法就是把条件AD=2DE变形为,，把BD=CD变形为，,EA3CB2找到DO和AP及DO和BP的关系，从而找到AP和BP的关系，再得到AP和AB的关系。
本题还可以C作CK//AP交AE的延长线于K或者过E作EG//AP交CB于G等方法，构造相似三角形，同学们可以作为练习。
通过添加辅助线，构造相似三角形，只要紧紧抓住根据不同的“需要”构造合适的相
似三角形，就能灵活解决有关几何问题。
范文二：256-构造相似三角形解题
构造相似三角形解题
相似三角形作为一种基本图形，在求解、推证角及线段的数量关系中应用十分广泛(现举例说明如下，供同学们参考，
一、证角相等
0 例1 如图1，在直角梯形ABCD中，AD?BC，?ADC = ?BCD = 90(对角线AC与BD相交于O，OE?CD，垂足为E(
AD 求证:?1 = ?2( 3
1OEOE?BC，有?1 = ?3，?2 = ?4( 分析与简证:由AD?2
要证?1 = ?2，只要证明?3 = ?4(
4DOADCB 由AD?BC，有,; 图1BOBC
DODEADDE OE?BC，有,(?,( BOECBCEC
于是Rt?ADE?Rt?BCE，?3 = ?4(问题得证(
注 本题主要利用相似三角形对应角相等和平行线传递角的功能(
二、证线段成比例
0 例2 如图2，在?ABC中，?CAB = 90，AD?BC，垂足为D，E是AC的中点，直
ABDF,线ED与直线AB的延长线交于点F(求证:( ACAF
C 分析与简证: 由分析可知，所证四条线段AB、AC、DF、
AF不能构成相似三角形，所以考虑转换线段比(由Rt?ADB?
ABBDBDDFE2,,Rt?CAB，得，从而问题转化为证(显DACADADAF
13然四条线段位于?ADF和?DBF中，只需证?ADF??DBF即AFB可(因为DE为Rt?CDA斜边上的中线，有ED = EC，所以?2
图2= ?C，而?C = ?3，所以?1 = ?2 = ?C =?3(又因为?DFB
= ?AFD，所以?ADF??DBF，问题得证(
注 在证明线段成比例时所给线段比往往不能直接证得，这时首先要通过中间比的传递，再利用相似三角形对应线段成比例来证明(
三、证线段相等
例3 如图3，已知F是?ABC的边BC的延长线上一点，FD交AC于E，且AEBF,(求证:D是AB的中点( ECCF
分析与简证: 本题即证AD = DB，而主要条件只有
AAEBF,，应考虑用比例式证线段相等，故过C作CO?AB(显ECCF
D然，?ADE??CEG，?CGF??BDF(所以EGADAEBFBD,,,，所以AD = BD( FBCGECCFCGC
图3证两条线段相等，可以利用比例线段来证(一般将所证 注
两条线段转化为两个线段比中的分子，且分母相同(或相等)，然后证两个比相等(
四、求线段的长或比值
例4 如图4，直线DF交AABC的边AC于F，交BC于C，A
AFFFBE交AB的延长线于D，且，求:( ,,2ECFCED
MF分析与简证: 由图形可知，已知与所求线段之间没有直接的
BBEDE1C,,关系，所以考虑作辅助线FM?BC交AB于M，有;MFDF3D图4MFAF2BE2BE2,,,,，所以，则，问题得解( BCAC3BC9EC7
注 本题也可过E点作AC的平行线或过E点作AB的平行线，但总的思路是通过辅助线在已知和未知之间建立联系，而后利用比的传递性和性质求解(
例5 如图5，一块三角形的铁皮，BC边的长为4?，
ABC边上的高AD为3?，要将它加工成一块矩形铁皮，使
矩形的一边FG在BC上，其余两个顶点E、H分别在AB，HE
AC上，且矩形的面积是三角形面积的一半，求这个矩形的
BC长和宽各是多少? FDG
图5y分析与简证: 设矩形的长EH =?，宽EF = cm(则x
y、由两方面的条件来限制:一是它的面积;二是图形本身的特征( x
?EH?BC，??AEH??ABC(
APEH3,yx,,?，即( ADBC34
xy,3又因为矩形EFGH的面积等于三角形面积的一半，所以(两式联立可解得x,2t,1.5cm，?，问题得解(
注 在利用相似形的求值问题中，主要是利用相似三角形所提供的对应元素之间的关系，再结合图形的特征进行求解(
范文三：构造相似三角形解题_0
构造相似三角形解题
/
初寸教l学教与学
.
11..’
:
l_
构造?相似三角
张金仁李锦林
形解题
(江苏省泰州市寺巷中学,225300)
相似三角形作为一种基本图形,在求解,
推证角及线段的数量关系中应用十分广泛.
现举例说明如下,供同学们参考.
一
,证角相等
例1如图1,在直角梯形申,AD
//BC,ADC=BCD=90..对角线AC与
BD相交于0,OE-l-CD,垂足为E.
求证:1=L2.
分析与简证AD
由AD//OE
//BC,有1=
3,2=4.
要证1=
2,只要证明
3=L4.
BC
图1
由AD//BC=;
OE//Bc=..?.=.
于是RrZxADE?Rt~BCE,L3=L4.
问题得证.
注本题主要利用相似三角形对应角相
等和平行线传递角的功能.
二,证线段c
成比例
例2如图2,E
在/xABC中,
CAB=90,,ABf’
AD上BC,垂足图2
为D,E是AC的中点,直线E1)与直线AB的
延长线交于点F.求证:=.’
分析与简证由分析可知,所证四条线
段AB,AC,DF,AF不能构成相似三角形,所
l0?
2003年
以考虑转换线段比.由Rt?ADB?Rt?C
=
,从而问题转化为证=.
显然四条线段位于/xADF和/XDBF中,只需
证AADF?/xDBF即可.因为DE为
RtZkCDA斜边上的中线,有ED=EC,所以
2=C,而C=L3,所以L1=L2=
C=L3.又因为DFB=AFD,所以
/XADF??DBF,问题得证.
注在证明线段成比例时所给线段比往
往不能直接证得,这时首先要通过中间比的
传递,再利用相似三角形对应线段成比例来
证明.
三,证线段相等
例3如图3,已知F是/XABC的边BC
的延长线上一点,FD交Ac于E,且=
.
求证:D是AB的中点.
分析与简证
本题即证AD
=
DB,而主要条
件只有丽AE=
BF
,考虑用比
C
图3
例式证线段相等,故过C作CG//AB.显然,
/XADE?/xG,?GGF?/xBDF.所以,
一
AD
:
笪:.
所以AD:BD.CGECCFCG一一一.?I—uL,’
注证两条线段相等,可以利用比例线
段来证.一般将所证两条线段转化为两个线
段比中的分子,且分母相同(或相等),然后证
两个比相等.
四,求线段的长或比值
}t
镑{?*l蟊,{{l《照{F}ll};}.}?.{:’l{{l;lp’,l}{tl}ll《tl|..}
第2聊
例4如图4,直线DF交?ABC的边AC
于F,交于E,交的延长线于D,且篙
=
ED’2_求:.一一’’司:EC’
分析与简证
由图形可知,
已知与所求线段
之间没有直接的图
关系,所以考虑作辅助线FM//BC交AB于
M,有=面DE=号;==号,所以
BE
=
吾,则=号.问题得解.
注本题也可过E点作AC的平行线或
过E点作AB的平行线,但总的思路是通过辅
助线在已知和未知之间建立联系,而后利用
比的传递性和性质求解.
例5如图5,一块三角形的铁皮,BC边
的长为4cm,BC边上的高AD为3cm,要将它
加工成一块矩形铁皮,使矩形的一边FG在
.练习与测试.
初中j学教与学
BC上,其余两个顶点E,H分别在AB,AC上,
且矩形的面积是三角形面积的一半,求这个
矩形的长和宽各是多少?
分析与简证
设矩形的长
EHZCTn,宽
EF=ycm.则z,
Y由两方面的条
件来限制:一是图5
它的面积;--是图形本身的特征.
‘
.
‘EH//BC,..AAEHGO?ABC,
.
一墨日n一互
‘‘AD—BC’”3—4.
又因为矩形EFGHl的面积等于三角形面
积的一半,所以xy=3.两式联立可解得z=
2cm,=1.5cm,问题得解.
注在利用相似形的求值问题中,主要
是利用相似三角形所提供的对应元素之间的
关系,再结合图形的特征进行求解.
初一数学寒假练习(总分150分,时间120分钟)
一
,填空题(每空2分,共44分)
1.一1专与——互为相反数,一0.25的倒数
是——
.
2.已知z,Y为有理数,且z?y,则+Y一
定是——数.
3.设甲数为n,乙数为b,则甲数的两倍的倒
数与乙数的一半的差用代数式表示为
4.某种商品原价为a元,现以八五折出售,现
价是——
.
5.将数704900用四舍五人法取近似值,精确
到万位表示为——,它有——个有效数
字.
6.比较大小:一了4——
一
号;一——
一
3.
7.计算:(一2)+(一2):——;
(号)l0×(一1-5)一1)=
8.单项式一zYz的系数是——;次数是
.................................一
?
9.把多项式一2x+5—3x一4x按x的降幂
排列后,它的首项是——,第三项的系数
是——
.
1O.在括号内填上适当
的项:一n+2b—C:
一
(——)=(b—
c)一(——)
l1.图中阴影部分的面
积S=——.第l1题图
12.已知:5一4y一=12;用含z的代数式表
?
11
范文四：【doc】构造相似三角形解题
构造相似三角形解题
/
初寸教l学教与学
.
11..'
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构造?相似三角
张金仁李锦林
形解题
(江苏省泰州市寺巷中学,225300)
相似三角形作为一种基本图形,在求解, 推证角及线段的数量关系中应用十分广泛.
现举例说明如下,供同学们参考. 一
,证角相等
例1如图1,在直角梯形申,AD //BC,ADC=BCD=90..对角线AC与 BD相交于0,OE-l-CD,垂足为E. 求证:1=L2.
分析与简证AD
由AD//OE
//BC,有1=
3,2=4.
要证1=
2,只要证明
3=L4.
BC
图1
由AD//BC=;
OE//Bc=..?.=.
于是RrZxADE?Rt~BCE,L3=L4. 问题得证.
注本题主要利用相似三角形对应角相 等和平行线传递角的功能.
二,证线段c
成比例
例2如图2,E
在/xABC中,
CAB=90,,ABf'
AD上BC,垂足图2
为D,E是AC的中点,直线E1)与直线AB的 延长线交于点F.求证:=.'
分析与简证由分析可知,所证四条线 段AB,AC,DF,AF不能构成相似三角形,所 l0?
2003年
以考虑转换线段比.由Rt?ADB?Rt?C =
,从而问题转化为证=.
显然四条线段位于/xADF和/XDBF中,只需 证AADF?/xDBF即可.因为DE为 RtZkCDA斜边上的中线,有ED=EC,所以 2=C,而C=L3,所以L1=L2= C=L3.又因为DFB=AFD,所以
/XADF??DBF,问题得证.
注在证明线段成比例时所给线段比往 往不能直接证得,这时首先要通过中间比的 传递,再利用相似三角形对应线段成比例来 证明.
三,证线段相等
例3如图3,已知F是/XABC的边BC 的延长线上一点,FD交Ac于E,且= .
求证:D是AB的中点.
分析与简证
本题即证AD
=
DB,而主要条
件只有丽AE=
BF
,考虑用比
C
图3
例式证线段相等,故过C作CG//AB.显然, /XADE?/xG,?GGF?/xBDF.所以, 一
AD
:
笪:.
所以AD:BD.CGECCFCG一一一.?I—uL,' 注证两条线段相等,可以利用比例线 段来证.一般将所证两条线段转化为两个线 段比中的分子,且分母相同(或相等),然后证 两个比相等.
四,求线段的长或比值
}t
镑{?*l蟊,{{l《照{F}ll};}.}?.{:'l{{l;lp',l}{tl}ll《tl|..}
第2聊
例4如图4,直线DF交?ABC的边AC 于F,交于E,交的延长线于D,且篙
=
ED'2_求:.一一''司:EC'
分析与简证
由图形可知,
已知与所求线段
之间没有直接的图
关系,所以考虑作辅助线FM//BC交AB于 M,有=面DE=号;==号,所以
BE
=
吾,则=号.问题得解.
注本题也可过E点作AC的平行线或 过E点作AB的平行线,但总的思路是通过辅 助线在已知和未知之间建立联系,而后利用 比的传递性和性质求解.
例5如图5,一块三角形的铁皮,BC边 的长为4cm,BC边上的高AD为3cm,要将它 加工成一块矩形铁皮,使矩形的一边FG在 .练习与测试.
初中j学教与学
,其余两个顶点E,H分别在AB,AC上, BC上
且矩形的面积是三角形面积的一半,求这个
矩形的长和宽各是多少?
分析与简证
设矩形的长
EHZCTn,宽
EF=ycm.则z,
Y由两方面的条
件来限制:一是图5
它的面积;--是图形本身的特征. '
.
'EH//BC,..AAEHGO?ABC,
.
一墨日n一互
''AD—BC'"3—4.
又因为矩形EFGHl的面积等于三角形面 积的一半,所以xy=3.两式联立可解得z= 2cm,=1.5cm,问题得解.
注在利用相似形的求值问题中,主要 是利用相似三角形所提供的对应元素之间的 关系,再结合图形的特征进行求解. 初一数学寒假练习(总分150分,时间120分钟) 一
,填空题(每空2分,共44分)
1.一1专与——互为相反数,一0.25的倒数 是——
.
2.已知z,Y为有理数,且z?y,则+Y一 定是——数.
3.设甲数为n,乙数为b,则甲数的两倍的倒
数与乙数的一半的差用代数式表示为 4.某种商品原价为a元,现以八五折出售,现 价是——
.
5.将数704900用四舍五人法取近似值,精确 到万位表示为——,它有——个有效数 字.
6.比较大小:一了4——
一
号;一——
一
3.
7.计算:(一2)+(一2):——;
(号)l0×(一1-5)一1)=
8.单项式一zYz的系数是——;次数是 .................................一
?
9.把多项式一2x+5—3x一4x按x的降幂 排列后,它的首项是——,第三项的系数 是——
.
1O.在括号内填上适当
的项:一n+2b—C:
一
(——)=(b—
c)一(——)
l1.图中阴影部分的面
积S=——.第l1题图
12.已知:5一4y一=12;用含z的代数式表 ?
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范文五：如何判定相似的三角形
在初中教学中证明图形的相似度是我们教学中的重点，也是在以后的教学中学习“三角形”和“圆”的基础，对于相似三角形的判断必须要熟练而灵活，本文笔者简单的阐述了
相似三角形判定，供参考。
一、判定两个三角形相似的基本定理.
1、如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
3、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 .
二、相似三角形最基本的图形需熟练掌握
1、A型，直线D E截两边可得 4个三角形与原AA B C相似.
2 、X型，直线D E截两边延长线可得2个三角形与原AA BC相似.
3、公共角
因此，两个相似三角形经过平移、 旋转、 翻折后依然相似.
4、两个全等的三角形一定（肯定）相似。
5、两个等腰直角三角形一定（肯定）相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似）
6、两个等边三角形一定（肯定）相似。
7、直角三角形相似判定定理
（一）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
（二）直角三角形被斜边上 的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
三、三角形判定的例题分析
例在一次数学活动课上，老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下测得身高1.6 5 m的甲同学的影长 BA为 1.1 m， 与此同时， 测得教学楼的影长 D F为 1 2 .1 m， 如图1所示。请你根据已测得的数据，求教学楼 DE的高度。（精确到0.1m）
图1 图2
分析：这里我们把太阳光看作为平行光线， 即如图2中的AC与EF互相平行， 于是本问题可以转化在?ABC和?FDE中，利用 AC∥EF证得?ABC∽?FDE.由相似三角形对应边成比例可以求出DE的长。
解： 如图2
∵AC∥EF
∴∠CAB=∠EFD
又∵CB⊥AB，ED⊥FD
∴∠CBA=∠EDF=90°
∴?ABC～?FDE
∴BC/DE=BA/DF
即1.65/DE=1.1/12.1
∴DE≈18.2（m）
因此，教学楼DE的高度约为18.2m.
点评：本题目借助相似三角形的性质解决实际问题，关键是寻找二角形相似的条件，利用太阳光是平行光以及人、楼与地难亩画出相应的图形构造相似三角形，然后通过相似三角形对应边成比例得出关系式求解。
综上所述，判定三角形相似的方法较多，同学们要灵活选择，明确判断的思路，关键是能分析题 目提供的已知条件，充分去寻找要判断相似三角形所缺的条件，灵活而准确地组成三角形相似的条件。
