陆边123
范文一：直线斜率
直线斜率：k=tanα
今天我只讲一个知识点，就是我昨天提到的直线斜率：k=tanα
首先需要向大家解释清楚的是这个α指的是直线与X 轴正方向的夹角，如下图
这里会存在一个问题，就是同学们初中学的叫“锐角三角函数”，所以对于图2这样的钝角三角函数，大部分同学应该还不太会，那么这个问题我们可以简化一下，具体操作如下：
对于图1，同学们很容易可以看出tan α=1，所以这一类比较简单，直接得出k=1
对于图2，先求出α的邻补角，即那个与X 轴的负方向的夹角的正切值为1/2，然后因为直线是往下走的，所以K 为负值，因此只需要将刚才那个正切值前面加上“－”号就可以了，即K=tan α=－1/2。初中的同学，我建议就这样理解就可以了。 为什么要讲这个知识点呢？因为它在求一次函数的解析式的时候能减少计算量，节省考试时间。
举例说明：已知直线过A(-1，5) ， B(1，-1) 两点，求直线的解析式。
常规方法是将这两点代入y=kx+b，然后解二元一次方程组，那么我讲完这个知识点之后，同学们可以这样操作： 首先可以简单画个草图，然后像我这样构造一个直角三角形，
tan∠ABC=3,又因为直线往下走，所以k=-3，于是直线解析式为y=－3x+b,再将(1，-1) 代入，可口算出b=2，所以直线解析式为y=－3x+2。
肯定有同学认为这样做学校老师不会给分的，那么我教大家一个可以拿分的办法：
考试的时候试卷上这样写：“将A,B 两点坐标代入y=kx+b，解得k=-3,b=2。” 所有老师都希望学生通过解二元一次方程组来求这个直线解析式，但事实上我们可以偷偷使用我教的这个方法，但是卷面上可以假装解了一个二元一次方程组，老师不会看具体计算过程，因此这样写老师是会给分的。
范文二：直线斜率
一． 选择题：（每小题5分，共50分）
1. 已知一条直线过点（3，－2）与点（－1，－2），则这条直线的倾斜角是（ ）
A.0° B.45° C60° D.90°
2. 直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥,l1，则直线l2的斜率为( ) A. B.- C. 3 D.- 33
3. 经过两点A （2，1），B （1，m2）的直线L 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是（ ）
A ．m -1 C.-11或m b ＞c ＞0, 则点A (a , f (a )), B (b , f (b )), C (c , f (c )) ，点
OB OC
O 为原点，则直线OA,OB,OC 的斜率的大小关系是OA
3. 直线x-3+m(y-4)=0经过定点，该定点的坐标是
4. （原创题）过点M(1,2)5. 已知A （3，0），B(0,4),动点P(x,y)在线段AB 上移动，则线段AB 的方程为：
k >k >k
4x +3y -12=0(0≤x ≤3)
11
P(0,-) 与Q (, 0)
b a 5. （2010苏州质检） 若ab <0，则过点的直线pq>
是 （ ） ;
6. 直线
a (x -2) +b (y +3) =0(a +b ≠0)
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必过定点 。
7. 若两直线m x +ny +1=0, px +qy +1=0都经过P(2,3),则过A (m , n ), B (p , q ) 的直线方程为 。
π8. （1）经过点P(2,3)且倾斜角比直线x-3y+4=0的倾斜角大4的直线方程是2x-y-1=0；
能力提升
9. 已知直线m x +y +2=0与线段AB 有公共点，其中A(-2,3),B(3,2)，求实数m 的取值范围.
5，求直线的斜率。 10. 直线ax +by +c =0的倾斜角为α，且
11. 过点P （3，0）的直线l ，使它被两直线l 1：2x-y-2=0和l 2:x+y+3=0所截得的线段恰好被P
sin α+cos α=
1
所平分，求直线l 的方程。
12. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建矩形草坪（如图），另外△EFA 内部有一个文物保护区不能被占用, 经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大?
1、（1）m 为何值时，经过两点A(-m，6) ，B （1，3m ）的直线的斜率为12？
（2）m 为何值时，经过两点A(m，2) ，B （-m ，2m-1）的直线的倾斜角为60？ 2、已知直线l 过点P(-1,0),且与以A(2,3),B(3,0)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率的取值范围
3、已知直线l 的斜率k 的取值范围是-1≤k ≤1，求直线l 的倾斜角α的取值范围
4、已知两点A(-1,-5),B(3,-2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率k 1、已知三角形的顶点是A(5,0),B(3,-3),C(0,1),求这个三角形三边所在的直线方程 2、设直线l 的方程为(m 2-2m -3) x +(2m 2+m -1) y -2m +6=0，根据下列条件分别求m 的值
（1）直线l 经过点P(-1,-1) (2)直线l 的斜率为1 （3）直线l 在x 轴上的截距为-3 3、已知方程(m +2) x +(m -3) y +4=0, (m ∈R ) 所表示的直线恒过定点，求该定点坐标 4、已知直线l 过点P(2,1),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 和B 点，O 为坐标原点，求当三角形ABO 的面积最小时，直线l 的方程
1、已知直线l 与直线3x+4y+1=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为
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，求直线l 的方程
2、已知直线l 经过点P(3,1),且被两条平行直线x+y+1=0和x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l 的方程 3、三条直线l 1:3x +my -1=0, l 2:3x -2y -5=0, l 3:6x +y -5=0能围成三角形吗？若能，求出m 的取值范围；不能，说明理由
4、已知光线通过点A(-2,3),经过x 轴反射，其反射光线通过点B(5,7)，求入射光线和反射光线所在的直线方程
1、求圆心在直线5x-3y-8=0上，且与两坐标轴都相切的圆的方程
2、已知三角形ABC 顶点坐标为A(0,0),B(1,1),C(4,2)，求三角形ABC 的外接圆的方程 3、圆C 过点A(1,2),B(3,4),且在x 轴上截得的弦长为6，求圆C 的方程
4、在直角坐标系中，以O 为圆心的圆，与直线x -3y =4相切
（1）求圆0的方程 （2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使PA,PO,PB 成等比数列，求PA ?PB 的取值范围
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1、当正数a 取何值时，直线x+y-2a+1=0与圆x +y -2ax +2y +a -a +1=0相切？相离？相交？
2、直线过点A(1,2)且被x +y =9截得的弦长最小，求此直线的方程及弦长的最小值 3、直线L 经过点P(5,5)，其斜率为k,L 与圆x +y =25相交，交点分别为A,B （1）若AB=45, 求k 的值 （2）若AB<27，求k 的取值范围="" （3）若oa="" ⊥0b,(0为坐标原点)="">
4、已知圆C ：x +(y -3) =4，一动直线L 过A(-1,0)与圆C 相交于P,Q 两点，M 是PQ 的中点，直线L 与直线m:x+3y+6=0相交于点N
（1）求证：当直线L 与m 垂直时，直线L 必过圆心C （2）当PQ=23时，求直线L 的方程
（3）探索AM ?AN 是否与直线L 的倾斜角有关，若无关，求出其值；若有关，请说明理由
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1、圆C 1的方程为x +(y +1) =4，圆C 2的圆心（2，1） （1）若圆C 1与圆C 2相外切，求圆C 2的方程
2
2
2
2
2
2
（2）若圆C 1与圆C 2相交于A,B 两点，且AB=22, 求圆C 2的方程 2、圆x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P,Q 满足：（1）关于直线kx-y+4=0对称；（2）OP 垂直OQ,O 为原点。求直线PQ 的方程
3、已知A(8,0),B(0,6),O为坐标原点（1）求三角形ABO 的内切圆C 的方程；（2）设P 是圆C
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上一点，求P 到直线4x+3y+11=0距离的最值；（3）若S=PA+PB+PO, 求S 的最值
4、（选做）已知圆M:x 2+(y -2) 2=1，Q 是x 轴上的动点，QA,QB 与圆M 分别切于A,B 两点，（1）如果AB =
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, 求直线NQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点的轨迹方程
范文五：直线与斜率公式
1斜率存在时两直线的平行与垂直：
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1//l2?k1=k2且b1?b2
已知直线l1、l2的方程为l1：A1x?B1y?C1?0，
l2：A2x?B2y?C2?0(A1B1C1?0,A2B2C2?0)
l1∥l2的充要条件是A1B1C1?? A2B2C2
2,如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是k1k2??1
已知直线l1和l2的一般式方程为l1：A1x?B1y?C1?0，
l2：A2x?B2y?C2?0，则l1?l2?A1A2?B1B2?0
3,直线l1与l2的夹角定义及公式:
l1到l2的角是?1, l2到l1的角是π-?1,当l1与l2相交但不垂直时, ?1和π-?1仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线l1⊥l2时,直线l1与l2的夹角是角?：0°＜?≤90° 如果1?k1k2?0,即k1k2??1,则??
4,点到直线距离公式：
点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离为：d?
5,两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1?0， ?.夹2?2.如果1?k1k2?0，tan??k2?k1 1?k2k1Ax0?By0?CA?B22
l2：Ax?By?C2?0，则l1与l2的距离为d?C1?C2
A2?B2 6,直线系方程:若两条直线l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)＋?(A2x?B2y?C2)?0或
(A2x?B2y?C2)+?(A1x?B1y?C1)?0 (λ为常数)。
7,直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量F1F2=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量
方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=
n m
1.已知函数f(x)=asinx-bcosx(ab≠0)满足f(错误！未找到引用源。-x)=f(错误！未找到引用源。+x),则直线ax+by+c=0的斜率为
( )
(A)1 (B)错误！未找到引用源。 (C)-错误！未找到引用源。 (D)-1
例1.（1） a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2a－1[解析] 两直线平行的充要条件是≠a＝±2.故a＝2a2－2
是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．
[点评] 如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p，q互为充要条件，若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件．
（2）已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线l1∥l2的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] l1∥l2时，an－bm＝0；an－bm＝0时?/ l1∥l2.
故an＝bm是直线l1∥l2的必要不充分条件．
(3)已知直线ax＋y＋2＝0与直线bx－(a＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为
A．5 B．4 C．2 D．1
a＋11[解析] 由题意知，ab－(a＋1)＝0且a≠0，∴ab＝a＋1，∴ab＝a＋， aa2222222
11∴|ab|＝|a＋|＝|a|＋≥2.(当且仅当a＝±1时取“＝”)． a|a|
(4)已知a、b为正数，且直线(a＋1)x＋2y－1＝0与直线3x＋(b－2)y＋2＝0互相垂直，则3213( ) A．12 B. C．1 D．25 ab6
[解析] ∵两直线互相垂直，∴3(a＋1)＋2(b－2)＝0，∴3a＋2b＝1，∵a、b>0， 32326b6a∴＋＝(＋)(3a＋2b)＝13＋＋≥13＋2ababab
6b6a???ab
??3a＋2b＝16b6a＝25.等号成立时，ab 132，∴a＝b＝，故＋的最小值为25. 5ab
例4. （1）已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
??m－8＋n＝0，[解析] (1)由题意得???2m－m－1＝0，2 ??n＝7，解得???m＝1， ∴当m＝1，n＝7时，l1与l2相交
m8n于点P(1，－1)．(2)l1∥l2?＝，得：m＝4，n≠－2，或m＝－4，n≠2. 2m－1
(3)l1⊥l2?m32＋83m＝0，∴m＝0，则l1： 8y＋n＝0.又l1在y轴上的截距为－1，则n＝8.综上知m＝0，n＝8.[点评] 讨论l1∥l2时要排除两直线重合的情况．处理l1⊥l2时，
利用l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0可避免对斜率存在是否的讨论.
