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范文一：数学物理方程

大连理工大学

姓名：学号：

课程名称：数学物理方法试卷： A

考试形式：闭卷

学院（系）：授课院 (系) ：数学系考试日期：2013年6月19日试卷共 6 页

级班

装

订

线

一、回答下列问题：（20分）

1、写出第一格林公式：

2、写出下列递推公式：

d ?d x ?J ν(x ) ?

?x ν??=. -------------------

3、什么是影响区域

4、写出三维波动方程的泊松公式

5、写出波的弥散现象

6、计算积分?

x 3J -2(x ) d x

7、叙述格林函数的物理意义：

8、写出余弦函数f (t )=cos ωt 的拉普拉斯变换

9、写出求三维拉普拉斯方程的基本解的表达式

10、什么是固有函数系的正交性

二、证明题：（10分）

（1）写出傅立叶积分变换中的卷积定理并证明之

（2）设U (t , x , y , z ) 是u tt =Lu 的基本解，?(M ), ψ(M ) 都是连续函数，U *?, U *ψ

??2u

??t 2=Lu (t >0, -∞<+∞),>

存在，证明齐方程柯西问题?u (0,x , y , z ) =?(x , y , z ), 的解是

?u (0,x , y , z ) =ψ(x , y , z ). ?t ??

u (t , x , y , z ) =

[U (t , M ) *?(M )]+U (t , M ) *ψ(M ) ?t

三、在扇形区域：0≤ρ≤ρ0,0≤θ

≤θ0内求解下列定解问题：（20分）

??2u ?2u

??u =2+2=0??x ?y ?

. ?u θ=0=u θ=θ=0

其中 f (0)=f (θ0) =0 ?u ρ=ρ=f (θ)

四、求解下列问题：（15分）

用格林函数法求解拉普拉斯方程在右半空间的狄利克莱问题

??2u ?2u ?2u

??x 2+?y 2+?z 2=0? ?

?u =f (x , z ) ?y =0?

(y >0)

(-∞<>

五、求解下列方程的解：（15分）?2u ?x 2+?2u ?x ?y -2?2u

2=27

满足条件u |y =0=0, ?u ?y

=2x y =0

六、（20分）（1）求F (p )=

的拉普拉斯逆变换（5分） 2

(p +1)(p -2)

（2）求解一维齐次热传导方程的柯西问题（15分）

??u 2?u ?=a

?x 2(-∞<+∞, t="">0) ??t

(-∞<+∞) ?u="?(x">

??t =0

已知傅立叶变换： F

-1

[e -a λt ]=

12a t

x 24a t

范文二：数学物理方程试题A

班级学号姓名考试科目数学物理方程 A 卷闭卷共 3 页

···································· 密························封························线································

学生答题不得超过此线

班级学号姓名考试科目数学物理方程 A 卷闭卷共 3 页

学生答题不得超过此线

班级学号姓名考试科目数学物理方程 A 卷闭卷共 3 页

学生答题不得超过此线

范文三：数学物理方程试卷

数学物理方程期末试题

一、填空(请写在答题纸上，每题5分，共计40分)

1. 三维泊松方程是______________________________。

2. 边界为的区域上函数的第二类边界条件为___________________。 ,,u

3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。

uux,,,,,，,2， ,,ttxx4. 定解问题的解__________________________。 ,2uxu||0,,，,,,00ttt,

5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________;

其解存在的必要条件为____________。

6. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。

d2，，7. 设为阶贝塞尔函数，则=__________________。 2Jx()xJkx()22，，dx

8. 设弦一端在处固定，另一端在处做自由运动。则弦振动问题的 x,0xl,

边界条件为:________________________________。

二、(10分)求解定解问题:

2,uauxlt,,,,， 00，，txx, utultt(0)()00，，，,,, ，,xx

,uxxxl()0.，0,,,， ,

三、(10分)设，求解定解问题: ,,,,，,,xy,0

uuu，，,540,xxxyyy,ux()0，0, ,

,uxx()2，0,y,

四、(10分)设，用积分变换法求解下面问题: uuxy,()，

uyxy,,,，，10,xy

,uy(1)1，, ,

2,uxx()，0,,

五、(12分)求拉普拉斯方程在半空间内的格林函数;并求解定解问题: x,2

uuux，，,,02，,xxyyzz ,,uyzyzyz(2)()，，，，,,,,,, ，,

六、(12分)求满足下面定解问题的解:

uuxxt,，,,,sin200， ,，,ttxx, utut(0)()0，，,,,,

,uxux()()0，0,,，0 t,

七、(6分)求解定解问题:

uuxtt,,,,，，00,,ttxx, utt|0,,,， ,,0x

,ut|00.,,， ,xt,

n!n(提示:多项式的Laplace变换为) tn(0,1,2,),n，1p

范文四：数学物理方程资料

数学物理方程考点

一 . 分离变量法:知识点见课本 16

P -

1. 已知初边值问题:

2000

0, 0, 0

00, sin 2tt xx

x x x l t t t u a u x l t u u x u u l π====?

?-=<>??

==??

?==??

(1) 求此问题的固有函数(特征函数)与固有值(特征值) ; (2) 求此初边值问题的解。解:(1)令 (, ) () ()

u x t X x T t =

(1.1) ,其中 (, ) u x t 不恒零,将其代入方程得到: ' '

' '

() ()

() () 0

X x T t a X x T t -= 将该式分离变量并令比值为 λ-有: ' '

' '

2() ()

()

T t X x a T t X x λ=

=- 则有: ' ' 2

() () 0T t a T t λ+= (1.2) '' () () 0X x X x λ+= (1.3)

由原初边值问题的边界条件知: 方程 (1.3) 满足边界条件 '

(0) 0, () 0

X X

l == (1.4) () I 当 0λ<时, 方程="" (1.3)="">

12() X x C C e

=+, 由边界条件 (1.4)

知:

1200C C C C +=???

-=?? ? 120

C C =??=? () 0X x ∴

= 由(1.1)知:(, ) 0u x t =, 0λ<>

() II 当 0λ=时,方程(1.3)的通解为 12() X x C C x =+,由边界条件(1.4)知:

120

C C =??=? 同理 0λ=应舍去;

() III 当 λ>0时,则方程的通解为:

12X () cos

sin

x C C =+

由边界条件 (0)0X =知:10C = 即

2() sin

X x C =

又由 '() 0X l =

知:0C = , 令 20C ≠

,则 cos 0=

即

2n π

π=+ ,所以固有值为 2

(21) , 0,1, 2n n n l πλ+??

==????

将其代入通解中,得到固有函数:(21) () sin

0,1, 2n n n X x C x n l

+==

(2)将固有值 n λ代入方程(1.2) ,可得到此方程的通解: (21) (21) () cos

sin

0,1, 22n n n n a

n a

T t A t B t n l

ππ++=+=

则原初边值问题的形式解为 :

(21) (21) (21) (, ) () () (cos

sin

) sin

, 0,1, 222n n n n n n a

n a

n u x t X x T t a t b t x n l

πππ

+++==+=

则:0

(21) (21) (21) (, ) (cos

sin

) sin

, 0,1, 222n n n n a

n a

n u x t a t b t x n l

πππ

∞

=+++=

+=∑

由初始条件 0

0t u

==, 0

sin

t x

u l

π== 知: 0n a =

204(21) (2

1) s i n (21) 2

1, 2l

n l n n x x n a b dx n a l

l n ππ

ππ?

=?+

=?? ∴ 原初边值问题的解为: 2(, ) s (21) 22l a x

u x t t

n a

πππ=

二 . 特殊方程的边界齐次化:知识点见 21

P -

2. 已知初边值问题:

200

00, 0, 0

, 0, 0tt xx x x l t t t u a u x l t u A u B u u ====?-=<>??

==??==??

将此定解问题的边界齐次化。

解:令 (, ) (, ) () u x t v x t w x =+ (1) ,则 tt tt u v =, '' xx xx u v w =+,故原初边值问题等价于

2200

0'' (0),()

(), 0tt xx x x l t t t v a v a w x

v A w v B w l v w x v ====?-=+??

=-=-??

=-=?? (I )

将定解问题(I )边界齐次化,即令

2'' 0(0)() a w x w A w l B ?+=?

=??=?

322

() (

) 66x

B A l

w x x A a

-?=-

将 () w x 代入(I ) ,则可得到边界齐次化后的初边值问题为:

232

() , 0660tt xx t t

t x x l v a v x B A l

v x A v a l a v v ====?-=?

?-=-+-=??

?==? (II )

然后用分离变量法求初边值问题(II )得到 (, ) v x t ,将其代入(1)式即可求出 (, ) u x t 。

三 . 能量不等式证明解的唯一性:知识点见 94

95P

P -

3. 证明方程 2

tt xx t u a u cu f =-+的初边值问题解的唯一性。

证明:假设此方程有两个不同解 1u , 2u ,令 12u u u =-,则 (, ) u x t 满足的定解问题为: 200

000, 0tt xx t x x l t t t u a u cu u u u u ====?=-??

==??==??

一维波动方程的能量公式为: 222

() () l

t x E t u a u dx =

则有:

' ()

2() l

t t t

x x t

E t u u a

u u d x =+?

(

)()2

02l

t t t

x t

x u u a u u u u d x

??=+-?

?? ()()

220

t tt xx x t l u u a u dx a

u u =-+?2

c u d x

=-? 由 0c >知:'() E t ≤0,能量 () E t 是时间 t 的减函数,又知初始时刻

222

(0)() 0l

t x t E u a u dx

+=?

又有 () (0)0E t E ≤=,且 () 0E t ≥ ,则 () 0E t ≡ ,即有 0x t u u ==

u C ∴

≡ ,其中 C 为常数. 又初始条件为 (, 0) 0

u x = (, ) 0u x t ∴

= 即 12u u =,此与假设矛盾,故该方程初边值问题解具有唯一性。

四 . 给出物理背景,列出定解问题:

4. 长度为 l 的均匀细杆的初始温度为 0C 。 ,端点 0x =保持常温 0u ,而在 x l =和侧面上, 热量可以发散到周围的介质去,介质的温度为 0C 。 ,且此杆单位体积内单位时间吸收热量与温度函数 (, ) u x t 成正比,比例为 k ,且 k>0,求杆上温度函数 (, ) u x t 所满足的定解问题。解:杆上温度函数 (, ) u x t 所满足的定解问题为:

2000, 0

, () 0

t xx x x l

t u a v ku k u u u u n u

δ===?=->?

=+=???

?=?

五 . 利用傅立叶变换求解柯西问题(初值问题) :

5. 见课本 5658P P -中“热传导方程柯西问题的求解” ,该部分实际上就是一个例题,课后习题没有合适的例子,弄懂此例即可。

六 . 格林函数:

6. 写出格林函数公式及满足的条件,并解释其物理意义。解:(1)格林函数公式(三维)为:

G (M , M 0) =

14M M r π— g (M , M 0) M ∈Ω

其中函数 g 满足的条件为:

1|4M M g M g r

πΓΓ

?=∈Ω??

=?? 式中 Γ为区域 Ω的边界曲面

(2)格林函数的物理意义:在某个闭合导电曲面 Γ内 M 0点处放一个单位正电荷,则有它在该导电曲面内一点 M 处产生的电势为

14M M r π(不考虑电介常数) , 将此闭合导电

曲面接地,又静电平衡理论,则 M 0将在该导电曲面上产生负感应电荷,其在 M 处的电势

— g (M , M 0) ,并且导电面上的电势恒等于 0,即有 |g Γ=0

14M M r πΓ

七 . 调和方程的验证:

7. 已知极坐标表示的函数 (, ) cos n u r r n θθ=,验证其满足调和方程。解:由 (, ) u r θ的表达式知:

r u =n 1n r -cos nθ rr u =n(n-1) 2n r -cos nθ u θ= -nn r sinn θ u θθ= -2

n n r cos nθ

则有 xx u +yy u =rr u +

r u +

u θθ

=n(n-1) 2n r -cos nθ+1r

n 1n r -cos nθ+

( -2n n r cos nθ)

=[n(n-1)+n-2n ]2n r -cos nθ=0

即 xx u +yy u =0, 所以 u (r, θ)满足调和方程

八 . 特征方程的化简:只须掌握二元双曲型方程

8. 见课本 100P 例 1。

九 . 求二阶特征方程的的特征方向:

9. 求方程 11

33tt x x x

x x x u u u u =++的特征方向。

解:设特征方向为(0123, , , αααα) ,则有特征方程为 222212300αααα++-=

又知 2222

12301αααα+++=,则有:

00222

22212312321

12() 12

αααααααα?=±??=?????

++=???

++=?? 令参数 , θ?,其中 0θπ≤≤, π?π-≤≤,则此方程的特征方向为:

, sin cos , sin , ) 2

θ?θ?θ或

(cos ,

sin ,

) 2

θ?θ?θ-

十 . 一维达朗贝尔公式:知识点见课本 10

10. 见课本 11P 例子。

十一 . 二阶线性偏微分方程的解的渐进性:

11. 在三大类方程中,哪两类方程具有解衰减性,其衰减的速度如何? 答:1. 波动方程解的衰减性:

(1)初边值问题解及一维柯西问题解不具有衰减性;

(2)在初始条件有紧支集时,二维柯西问题解以 12

-速度衰减;

(3)在初始条件有紧支集时,三维柯西问题解以 1t -速度衰减。 2. 热传导方程解的衰减性:

(1)初边值问题以负指数的速度衰减; (2)初值问题以 2

n t

-速度衰减,其中 n 为空间变量的维数。

3. 调和方程解与时间无关,故其解不具有衰减性。

范文五：数学物理方程答案

第一章,波动方程

?1 方程的动出。定解件条

1,动杆;或动簧,受某动外界原因而动生动向振动～以u(x,t)表示止动在静x点动的点在动刻t

离来从动原位置的偏移～假动振动动程动生的动力服虎克定律～动动明动足方程

其中动杆的密度～动动氏模量。

动,在杆上任取一段～其中端于止动的坐动分动动。动在动算动段杆在动刻的相动伸动。两静与

在动刻动段杆端的坐动分动动,两

其相动伸动等于

令～取限得在点的相动伸动动。由虎克定律～动力等于极

其中是在点的动氏模量。

动杆的截面面动动动作用在杆段端的力分动动横两

于是得动方程运

利用微分中动定理～消去～再令得

若常量～动得

即得所动。

2,在杆动向振动动～假动(1)端点固定～(2)端点自由～(3)端点固定在动性支承上～动分动动出动

三动情下所动动的动界件。况条

解,(1)杆的端被固定在点动相动的动界件动两两条

(2)若动自由端～动杆在的动力|等于零～因此相动的动界件动条|=0

同理～若动自由端～动相动的动界件动条?

(3)若端固定在动性支承上～而动性支承固定于某点～且动点动原位置的偏移由函离来

数动出～动在端支承的伸动动。由虎克定律有

其中动支承的动度系。由此得动界件数条

? 其中

特动地～若支承固定于一定点上～动得动界件条

?。

同理～若端固定在动性支承上～动得动界件条

即?

3. 动动,动动形动的动振动方程动枢

其中动动动的高(如动1)

动,如动～不妨动动底面的半动枢径1～动点动截面的半动,径

所以截面动。利用第1动～得

若动常量～动得

4. 动动柔动逐而均的弦动有一端固定～在本身重力作用下～此动动于动垂平衡位置～动条匀它

动出此动的微小振动方程。横

解,如动2～动弦动动～弦的动密度动～动点动的动力动

且的方向动是沿着弦在点动的切动方向。仍以表示弦上各点在动刻沿垂直于动方向的位移～取弦

段动弦段端动力在动方向的投影分动动两

其中表示方向动的动角与

又

于是得动方程运

利用微分中动定理～消去～再令得

。

5. 动动在动>0中都动足波动方程

动,函在动数>0动动量有内

二动动动偏动。且数

同理

所以

即得所动。

6. 在动性杆动振动动,若考动摩阻的影响,并数动摩阻力密度涵(即动位动量所受的摩阻力)

与杆件在动点的速度大小成正比(比例系动动数b), 但方向相反,动动出动动位移函所动足的微分方程数.

解: 利用第1动的推动,由动意知此动动考动杆段上所受的摩阻力尚.由动动,动位动量所受摩阻力动,故

上所受摩阻力动

动方程动运:

利用微分中动定理～消去,再令得

若常～动得数

若

?2 达朗动动公式、波的动动

1.动明方程

的通解可以成写

其中F,G动任意的动动量可微函数,并它由此求解的初动动动:

解,令动

又

代入原方程～得

即

由波动方程通解表式得达

所以

动原方程的通解。

由初始件得条

所以

由式解出两

所以

即动初动动动的解散。

,,动初始件动足动的件动～动次波动方程初动动动的解动由右动播波动成,条与怎条

解,波动方程的通解动

u=F(x-at)+G(x+at)其中F～G由初始件定。初动动动的解动由右动播动成～必动且只动动条与决

于任何有 G(x+at)常数.

即动任何x, G(x)C

又 G;x,=

所以动动足

;常,数

或 (x)+=0

3.利用动播波法～求解波动方程的特征动动;又古动沙动动,称

解,u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0 得 =F;0,+G;2x,

令 x+at=0 得 =F;2x,+G(0)

所以 F(x)=-G(0).

G;x,=-F(0).

且 F;0,+G(0)=

所以 u(x,t)=+-

即动古动沙动动的解。

4,动非动次波动方程的初动动动

动明,

;1,如果初始件在条x动的动区[x,x]上动生动化～那末动动的解在动区[～]的影域以外不动生动化～响区

;2,在x动动区[]上所动的初始件唯一地定动条确区[]的定决区域中解的动。数

动,;1, 非动次方程初动动动的解动

u(x,t)=

当条达两即晌初始件动生动化动～动动引起以上表式的前动动生动化～动动影到相动动

次方程初动的解。

在当[]上动生动化～若动任何t>0,有x+atx,动动区[x-at,x+at]整落在动个区[]之外～由解

的表式知达u(x,t)不动生动化～动即t>0,当xx+at,也就是;x,t,落在动区[]的影域响

之外～解u(x,t)不动生动化。 ;1,得动。

(2). 区动[]的定域动决区

在其中任动;x,t,,动

故动区[x-at,x+at]完全落在动区[]中。因此[]上所动的初动条达确件代入朗动动公式唯一地定出u(x,t)的动。数

5.若动动方程

具形如体

的解;动阻碍尼波,～动此动之动动成立什动动系,称

解

代入方程～得

由于是任意函～故的系必需恒动零。数数即

于是得

所以

代入以上方程动中最后一方程～得个

又

即

最后得到

6,利用波的反射法求解一端固定伸动到无动动动的弦振动动动并

解,动足方程及初始件的解～由朗动动公式动出,条达

。

由动意知动在上动出～动利用朗动动解～必动动拓到上～动此利用动动件～得达将条

。因此动任何必动有

即数数必动接奇函动拓到上～动动拓后的函动～所以

。

7,求方程形如的解;动球面波,其中。称

解,

代入原方程～得

即

令～动

代入方程～得 v动足

故得通解所以 8,求解波动方程的初动动动

解,由非动次方程初动动动解的公式得

即动所求的解。

9,求解波动方程的初动动动。解,

所以

?3混合动动的分动量法离1.用分动量法求下列动动的解,离

(1)

解,动界件动次的且是第一动的～令条

得固有函～且数

～

于是

今由始动定常及～由始动得确数

所以当

因此所求解动

(2)

解,动界件动次的～令条

得, (1)及。

求动动(1)的非平凡解～分以下三动情形动动。

动～方程的通解动

由得

解以上方程动～得～～故动得不到非零解。

动～方程的通解动

由动动得～再由得～仍得不到非零解。动～方程的通解动

由得～再由得

动了使～必动～于是

且相动地得到

将代入方程(2)～解得

于是

再由始动得

容易动动成动上的正交函系,构区数

利用正交性～得

所以

2。动动簧一端固定～一端在外力作用下作周期振动～此动定解动动动动动

求解此动动。解,动动件是非动次的～首先动动动件动次化～取～动动足条将条

～

令代入原定解动动～动动足

动足第一动动次动界件～其相动固有函动～条数

故动

将条数方程中非动次动及初始件中按展成动～得其中

其中

将(2)代入动动(1)～得动足

解方程～得通解

由始动～得

所以

因此所求解动

3,用分动量法求下面动动的解离

解,动界件是动次的～相动的固有函动条数

动

将数非次动按展动动～得

其中

将代入原定解动动～得动足

方程的通解动

由～得,

由～得

所以

所求解动

4,用分动量法求下面动动的解,离

解,方程和动界件都是动次的。令条

代入方程及动界件～得条

由此得动动动动

因此得固有动～相动的固有函动数

又动足方程

将代入～相动的动作～得动足

一般言之～小～阻尼小～故通常有很即很

故得通解

其中

所以

再由始动～得

所以

所求解动

?4 高动波动方程的柯西动动

1,利用泊松公式求解波动方程

的柯西动动

解,泊松公式

动

且

其中

动算

所以

u(x,y,z)=

即动所求的解。

2, 动用降动法动出振动方程的朗动动公式。达

解,三动波动方程的柯西动动

当u不依动于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西动动,

利用泊松公式求解

因只与z有动～故

令,

得

所以

即达郎动动动动动公式。

3.求解平面波动方程的柯西动动,

解, 由二动波动方程柯西动动的泊松公式得,

又

因动

所以

又

于是

即动所求的解。

4. 求二动波动方程的动动解;二动波动方程的形如的解～称即.

解, 解法一,利用二动波动方程柯西动动的动分表式达

由于u是动动的故其始动称,只是r 的函～数,动动上任一点的矢动径

动心其矢动动动由余弦定理知～～其中动的动角。动坐动。径与极

于是以上公式可成写

由上式右端容易看出～动分动果和有动～因此所得的解动动动解～称即

解法二,作动动,.波动方程化动

用分动量法～令离u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得

解得,

令加得叠

5.求解下列柯西动动

[提示,在三动波动方程中～令]

解,令

动

代入原动动～得

动动上半球～动下半球～动在平面上的投影。

,动

所以

于是

即动所求的解。

6,动用第七段中的方法动出平面动次波动方程

在动次初始件条

下的求解公式。

解,首先动明动次化原理,若是定解动动

的解～动动定解动动即

的解。

动然～

; ,.所以

又

因动w动足动次方程～故u动足

动次化原理得动。由动次方程柯西动动解的泊松公式知

所以

即动所求的解。

所以

7,用降动法解上面的动动来决

解,推动动

其中动分是在以动中心～动半的球中动径体它行。是柯西动动

的解。动于二动动动～皆与无动～故

其中动以动中心r动半的球面～径即

其中分动表示的上半球面下半球面～表示在平面上的投影。与

所以

在最外一动动分中～作动量置动～令～～动～动～～得即当当即与动所求～6动动果一致。

8,非动次方程的柯西动动

解,由解的公式得

动算　　　　　

所以　　

动算　　　

所以　　　

即动所求的解。

　　　　　 ?5　能量不等式～波动方程解的唯一和动定性

1,动受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动～动足方程

动明其能量是减并少的～由此动明方程的混合动动解的唯一性以及动于初始件及自由动的动定性。条

动,　首先动明能量是减少。

能量　　　　

因弦的端固定～所以两

于是

(

因此～着的随减增加～是少的。

动明混合动动解的唯一性

混合动动:

动是以上动动的解。令动动足

能量当条利用初始件有由得

所以又是减当达少的～故又由的表式知

所以

由此得及于是得到

常量再由初始件得因此混合动动解的唯一的。条即

3动明解动于初始件的动定性～动任何可以到只条即找条要初始件之差动足

动始动所动动的解及所动动的解之差动足

或

令

即动分得又,所以

即

动～动动足

动相动动地有

故若

动

于是 (动任何t)

即

或

解动于自由的动定性

动动足

动足

动动足

今建立有外力作用动的量不等式

其中故

又 , 所以

由中动明, 知

而故

因此, 当 ,动

亦即当即～动。解动于自由动是动定的。

2,动明如果函在数G,～作微小改动动～方程

;～和都是一些充分光滑的函,动足固定端点动界件的混合动动的解在数条G内很的改动也是微

小的。

动,只动动明～小动～动动动的解也小;按动动动,。当很很

考动能量

由动界件～～故～。条

所以

又由于～～故～即

或动得由初始件～～条

又因～得～故～即

若小～～动～故很即

即当很号在中任一动刻～小动～～又中动分下每一动皆动非动的～故

;动中任一动刻,今动～～估动。

因动～动用布尼动科夫斯基不等式～可以得到

其中 ;因且充分光滑,即

又由动界件～得条

即当很～～有小～得动。

3,动明波动方程

的自由动中在意动下作微小改动动～动动的柯西动动的解在意动之下改动也是微小的。

动,研究动的特征动

令截～得截面～在上研究能量,

其中动的动界曲动。再利用氏公式～得奥

因动第二动是非正的～故

所以

令

上式可成写

即

研究

所以

动动明柯西动动的解的动于自由动的动定性～只动动明柯西动动当很很“小”动～动解的模也“小”

此动～由始动～而由于得

所以～即

故任动～～动得动当

4,固定端点有界弦的自由振动可以分解成各动不同固有动率的动波(动波)的迭加。动动算

各动波的动个并个个数学能和位能～动明弦振动的动能量等于各动波能量的迭加。动物理性动动动的

事动是什动,

解,固定端点有界弦的自由振动～其解动

每一是一动波～的动个个将能量动作～位能动作～动能动作～动动能量

由此知无动～与即能量守恒～。

动在动算弦振动的动能量～由于自由振动能量守恒～故动能量亦动足守恒定律～即

即

又由分动量法～、由始动定～且离决

所以

利用在上的正交性～得

同理

所以。

即个动能量等于各动波能量之和。

动个数学物理性动所动动的意动动明动性动次方程在动次动界知件下～不动解具有可加性～而且及仍具有可加性。动是由于的正交性所定的。决

5.在的情下～动明定理况5～动明此动波动方程柯西动动即广并它存在着唯一的动解～且在动理4的意动下是动定的。

动,我动知道当条～动波动方程柯西动动的古典解唯一存在～且在意动下动于初始件使动定的;定理3、4,

今～根据动动斯特拉斯定理～存在{},{}, 当数动及其一动偏动,分动一致收动于及一致收动于。

动,动初始件的柯西动动的古条典解动～动二动动动可微～且在意动下动于是动定的。{},{}动一致动动序列～自然在 ,特征动K与即相交截出的动意动下动一基本列～动

根据的动定性～得

即—数在意动下动一基本列～根据黎斯弗歇动定理～存在唯一的函,使动当

即条广动动动于初始件的柯西动动的动解。

动在动明动解的唯一性。广

若有～动且是一另当致的～其所动动的古典解(按), 动在, 用反动法～

若～研究序列

(1)

(2)

动序列;1,及其动的偏动仍分动一数致收动于, 序列;2,仍动一致收动于～利用古典解动于初始条件的动定性～序列;1,(2)所动动的古典解序列

根据黎期弗歇动定理～按意动收动于唯一的限函。极数与广矛盾。故以上所定动的动解是唯一的。

若～所动动的动解动作又所动动的动解动作～广广即存在。分动一致收动于动～所动动的古典解按意动收动于所动动的古典解按意动收动于

(3)

若,,,。动

=3[++]

因～～故有～当

所以即

同理有～～

由古典解的动定性～得。;,又由动解的定动知～动～当广

当有

～

故动～由;当3,式有

即广条动解动于初始件是动定的。

6,动弦振动方程的柯西动动建立动解的定动～动明在动动动～动可动的情形～动解仍广并广然可以用朗动动公式动出～因而是动动函。达来数

解,由朗动动公式知～动达当

动柯西动动

有古典解.且动于是动定的。

动在按以下方法定动动解。来广

动出一动初始函可以唯的定一。函动的全成一数确个数体构个它空动～的元素的模按以下方式定动～动的依动域动～动动域,～动在上的动动依动于上函动的动。今定动来区区数

动成一动性动构个两个范空动～其中任意元素

～

的距离动

中任一元素动动一解是中二动动动可微函～的全也成一函个数它体构个数空动～动动～其模定动动～二元素的距离与动动的动系可以看成到的一动个映象～且根据动于的动定性知～映象是动动的。

动完动化～考动中任一将—基本列～动足～动在中按模成动基本列～由黎斯弗歇动定理～存在着限极即将元素添入且定动的模动

动动一完动空动

又动基本列～动所动动的也是一中的个—基本列;动定性,～再根据黎斯弗歇动定理～存在着唯一的限极称条广元素～就动动动于初始件的弦振动方程柯西动动的动解。

若动动～动存在且一致收动于～又可动动必可动～因此动任意的存在动动函～使得数

又

再由动动斯特拉斯定理知存在～动一当即当致收动于～任动～动

于是

当

即当动

亦收即动于。

动于～～由朗动动公式得～达

令～由于～动是收动的～动其限函动～得动解,极数广

又动动。可动～动也动动～故动动动函。得所动。数即

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