圆锥曲线_经典例题

范文一：圆锥曲线_经典例题

（1）中点弦问题：

（上题麻烦了。是圆不用中点法）（2）轨迹以及弦长最大问题。

（3）利用通径最断解题

（4）利用第二定义求离心率

?我在楼上说的方法不很好，有焦点弦和准线了，当然要想第二定义过P做PD垂直准线于D,那么可得,PF/PD=e,PD/PM=1/2

所以PF/e=1/2PM,又PF/PM=sin60/sin45=根3/根2,所以最终可得离心率为根6 ?????????和楼上算的怎么不一样?

（5）抛物线的一证明，

过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线的顶点的直线与抛物线的准线交于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.

我没搞懂为什么必须用平几？为什么学解析几何，就是想把我们从烦琐的平几中解放出来，前人开创这个来干吗的呀？

建系我就不说了，看图加解答。

令

y?2px

，，

A(x1,y1),B(x2,y2)AB:y?k(x?

p2)

连立两方程消

x可得

y1y2??p，其实这是一个结论

又

y1x1

令

y0?p2

D(?

y0,

)，则

?y0??

py12x1

，又

x1?

，则有y0?

?py1

?y2。完

（6）抛物线

（7）很好的一题，圆锥曲线都实用

这题的问题不在思路上，而是在计算上。看我的。这题做了你们可以自己再去做下05江西文21题。练练。

第一问我不想说了就是重新高考的思路，算出椭圆方程为x2?3y2?4?0

（为哈要弄成这样？因为一般式对于一会直线联立不容易出错，我的习惯）

开动了。分析下意思，就是直线CP与直线CQ要关于C点对称才行。所以这题思路，令出两直线方程，都过C点，斜率相反数，解出两点坐标，算出斜率为定。

解：若斜率不存在，CP，CQ重合，故两直线都有斜率，

令CP:y?k(x?1)?1?kx?k?1。CQ:y??k(x?1)?1??kx?k?1

?y?kx?k?1?x?3y?4?0

由??(1?3k)x?6k(k?1)x?3k?6k?1?0，从这里就要解出xP来。

222

（呵呵。很多人已经没勇气在算下去了，解析几何在高考中很多时候就是考计算，这点不算

什么）大家注意，硬解那当然就bt了，这方程中肯定有一解是1，因为直线是过了（1，1）的，呵呵，所以这二次方程是可以十字相乘的。

1?3k\\1?3k?6k1\\\\\\\?1

呵呵，所以xP?

3k?6k?11?3k

，呵呵，再算xQ可以再同样算，但是注

意到就是先的k变-k就完了，所以xQ?

yP?yQxP?xQ

k(xP?xQ?2)

xP?xQ

3k?6k?11?3k

所以kPQ?

正好是AB 的斜率，（因为B（-1，-1））（8）双曲线，抛物线。2题

（9）直线和双曲线

这题是个好题，我给你写下解答嘛。

（1）这题不能就象2楼这么说，大题不行。应该用坐标建立关系式，由已知有(x,y)?(m,0)?(0,1?m)?(m,1?m)，所以?（2）呵呵，

?x?m?y?1?m

消参有y??x?1

?3即c?3a可得b?8a。设直线和双曲线交于M(x1,y1)，N(x2,y2)

那么以MN为直径的圆过原点意思就是OM垂直ON（这在解析几何里点在圆上最好的翻译）再由向量垂直得x1x2?y1y2?0，（呵呵，伟大定理的内容出来了，化归思想的体现和伟大定理的设而不求思想的体现始终贯穿解析几何）

?y??x?12

2?1?8a?222

27x?2x?1?8a?0x?x??再由?x有得， xx?y1212

77?1?2?2

8a?a

y1y2?(?x1?1)(?x2?1)?x1x2?(x1?x2)?1?

8?8a7

。呵呵。所以

由

x1x2?y1y2?0?a?

a?4

能不能让7x?2x?1?8a?0的

判别市大于0，也就是检验下）

（10）线性规划解决与双曲线有关的最值问题。

（11）抛物线，点坐标范围

（12）抛物线椭圆焦半径的另一公式

（13）抛物线对称存在性问题

已知抛物线y^2=ax (a>0)，直线l过焦点F且与x轴不重合，则抛物线的弦中被l垂直平分的有（）

A 不存在 B 有且只有1条 C 2条 D 3条二题是个对称存在性问题。先设出弦的两点。(

y1a

,y1),(

y2a

,y2)，直线l:y?k(x?

)

那么有两点连线要和直线垂直，所以有

y1?y2y

?y1?y2??ak（1），又

两点中点在直线上。所以

y1?y2

?k(

y1?y2

)（2）

由（1）（2）得?a?2(y1?y2)，显然不存在这样的两点。当然也就没这样的弦

楼上有同学说取垂直时的直线。这是特殊值法，要注意，特殊值法得到的是正确答案的必要不充分条件。

（14）椭圆中比值范围的问题。

椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞o）双曲线x2/a2-y2/b2=1的两条渐进线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l垂直l1，设l与l2交于p点，l与椭圆的两个交点又上至下依次为A，B。求FA与FB长度的最大比值。

现在我有空了。慢慢给你做下。

原式的倒数为1+求

PFPA

，相当于

的最小值。

FA?

a?ccos?

，用PA与

y=?x联立解得P点坐标

(

aca?b

abca?b

)

所以用P点纵坐标来算PF=

abc(a?b)sin?PFPA

abcsin?

所以?

a?accos?bsin?

，又

由垂直关系可知

，

tan???

?sin??

cos???

PFPA

a?accos?bcsin?

abc?

1，另()?t,(t?1) b所以

PFPA

?1=?1?1，

当t?1?时取

，既

a2()?b

1时取。

（15）交轨法求轨迹的问题。

设非坐标轴上的点M(x1,y1)是椭圆C:x方／１２＋y方／４＝１上的一点,点P.Q.T分别是M关于y轴.原点.x轴的对称点,N(x2,y2)为椭圆C上异于点M的另一点,且MN垂直于MQ,QN与PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时,求动点E的轨迹方程.

说实话，这题属于交轨法求轨迹，（我一般觉得很烦，方法很固定，操作很麻烦。）也就是说动点是由一些曲线的交点形成的。方法是令出动点坐标（x，y）。以及出现的参量，建立等式（建立等式的依据就是把所有已知条件都翻译成式子），消掉所有参量。得到动点坐标x，y的等式既是方程。

?22x1y1???1(1)

4?12

2?x2

2???1(2)

4?12

?y?y

开始，建立式子??1?既xy1?x1y?0(3)，

x?x1

?y?yy?y1

?2(4)?

x2?x1

?x?x1?y?yx21

??1(5)?

y1??x2?x1

解释下。（3）体现点在PT上，（4）体现的是点在QN上，（5）体现是垂直条件。

数一下，6个变量5个方程，理论上可以得到任意两量的关系。我们只要x和y。消掉另外参量肯定不能蛮干，看到（1）（2）不做个差简直是对不起那形式（实际上是点差法的基本操作）（1）-（2）再结合（4）（5）有4?

y?y1xx?x1y

?0既3xy??5x1y即x1??

x（6）

代入到（3）中有y1?

y，呵呵，最后代入到（1）中出来了。是椭圆哟。当然最后要舍弃

掉几个点。

（16）求?范围的又一方法：

7.已知A（2cos?,3sin?），B（2cos?,3sin?），C（-1,0）是平面上三个不同的点，若存在?，使得CA??BC，试求?的取值范围。解：由已知CA??BC，可得

（2cos?+1, 3sin?）=?（-1-2cos?,-3sin?）,

?1???2?cos??

?2cos??1????2?cos??cos??

,?, 2?

?3sin???3?sin??sin????sin?

由sin

??cos?=1，得???sin?

??1??

?2?cos?4

?1，

即??1???cos???1??

?1???2

，

若?=-1，则CA??BC，得AB?0，这与A，B两点不重合矛盾，因此，??-1，于是?cos??

cos??

3?5?4?

3?5?4

，可知??0，

，得?1?

3?5?4?

?1，

解得

???3。

（17）圆锥曲线中求角的最值

既然是高考题，那我就是用的基本办法哈。简单的也想不到了。

要刻画一个角的最值，一般都是利用他的某个三角函数值的最值来刻画。令P(x0,x0?3)，当x0??1时,?F1AF2?45 当x0?1时,tan?F1AF2?

?1，故此时?F1AF2?

当x0??3且不为?1，1时，

x0?3

tan?F1PF2?

x0?11?

?x0?3x0?1*x0?3x0?1

x0?3x0?3x0?4

x0?3x0?1

?x0?3?

14x0?3

大角

x0?3

?x0?3x0?1*x0?3x0?1

x0?3x0?3x0?4

当x0??3时，tan?F1PF2?

x0?11?

x0?3x0?1

x0?3?

14x0?3

当x0??5时取得。

综上，当x0??1或?5时，?F1AF2最大为

，此时

|PF1||PF2|

（18）抛物线中常规的最值一题：

（19）一个典型的求离心率范围问题

（20）由等量关系求椭圆离心率

A、B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴的两个端点，过其右焦点F作长轴的垂线与椭圆的一个交点为M，

若sin

先由sin?AMB?则

a(a?c)

?tan?AMB?3或?3

tan?AMB?tan(?AMF??BMF)?

?a(a?c)a(a?c)b

a(a?c)

2a1?

??3?2a??3c

所以2a?3c?e?

（21）抛物线单变量设点解题。

该咋做就咋做。好象现在很多地方没极坐标了。

抛物线单标量设点，然后就是呆坐标翻译已知条件，然后就是得答案。不要想什么简便的，最基本的就是最好的。

,y1),B(

,y2)，则k?

2py1

y2?y1?k??1?2p2?y2

ky2?y?y??1y21??1?12

k????2p2p??k2p???2p

由已知条件。?既?k?既? 2p

2pk?y2??k???1)??y2

?2p???y2

?1?k2p??1?ky2

?y?

由上

2py2

kk?

代到下面的式子中就可以得到了。k?2k?

呵呵，不要说计算麻烦。因为计算并不麻烦。

（22）设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦

AB，若?CBF?90，则AF?BF的长为

（23）

常规想法。

M(x1,y1),N(x2,y2),则，由第二定义，所求式子即是2

e(x1+x2)+2a

x0+c

又,椭圆上的点P（x,y)要满足是圆与椭圆的交点，则????????

FP?AP=0，即（x+c)(x-x0)+y=0,由椭圆方程换掉y有 ca

x+(c-x0)x-cx0+b=0

x0?cca

则x1?x2?

(x0?c)带如到2

e(x1+x2)+2a

x0+c

中得

2ac

，答案是A

（24）求椭圆切线的快速求法

以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+根号3*y+4=0有且只一个交点,则椭圆的长轴长为解：

?1，设上面的点(acos?,bsin?

),，到直线x??4?0的距离为

，

22有a?3b=16

，且a?b?4?a?

（24）

（25）椭圆中点弦算长度比值

和弦中点有关的问题都可以用点差法的。设N(x0,0)，则由点差法可得，27?36

y1?y2

y1?y2yMx1?x2xM

又

x1?x2xM?x0

??1，带入到上面并解得xM?4x0。则FN?3?x0

又AB?12?则

FNAB

?14

(x1?x2)?12?

2xM?12?4x0

（26）几何法求椭圆离心率

过一椭圆左焦点F且倾斜角为60度的直线交椭圆于A,B两点，│FA│=2│FB│,则椭圆的离心率为多少？

2/AP=e,1/x=e.

则

2x?

32?e,x?

解得e=2/3

（27）利用椭圆方程消元求值。

椭圆（x^2/16)+(y^2/4)=1上有两点P,Q 。O为原点，若OP,OQ斜率之积为-(1/4),则│OP│^2+│OQ│^2为多少？

y1y2x1x2

，要求的是x1?y1?x2?y2，又x?4y?16

所以从方程中换掉x后就得到所求的是32?3(y1?y2)

那么我们把条件一用就该得到y1?y2这个东西。（这是解析几何一个大思路，题目给你什么你用什么，叫你求什么你算什么，并且注意点是椭圆上的点进而利用方程减少变量。）

y1y2x1x2

14?

y1y2x1x2y1y2

2222

222

116

，（为何要平方，就是为了能用椭圆方程来消元）将x?16?4y

代入有

(16?4y1)(16?

4y2)

116

化一下就有y1?y2?4，故答案为20 （28）双曲线焦点三角形内切圆心。

对于内心O我们要怎么想？

有很多东西可以用，用哪一条性质，这里要结合双曲线上PF2-PF1=2a这一条。所以就想起用PQ=PF……这样的性质。

所以PF2-PF1=2a可得QF1-FF2=2a，即EF1-EF2=2a。可以算得E的横坐标为-a。即圆心始终在x=-a直线上。（29）抛物线，坐标法。

设AB两点坐标分别为(

y14

,y1)(

y24

,y2)，将条件化成坐标有

2y1?3y2?24，2y1??3y2?y2??y1?y1?

365

又直线AB方程为y?y1?令y=0解得x??

y1y24

4y1?y2y1=

(x?

y14

)

（30）一个定角问题

已知圆C:x^2+(y-5）^2=16,在x轴上任取两点M、N，使得以MN为直径的圆与圆C外切，若定点A对所有满足条件的M、N,使得

r,0)

由外切得

到

yx?m?r

?r?4（易有m?r?8r?9），设点A(x,y)，则

?AN

yx?m?r?

，

2yr

则tanMAN?

kAN?kAM1?kANkAM

x?y?2mx?m?r

2yr

x?y?2mx?8r?9

要是一个与m,r无关的定值，则令2pyr?x2?y2?2mx?8r?

9将r?

4带入

整理有(2py?2xm?x2?y2?41?8py要对所有的m 都要成立则必须

?x?0?2py?8?0

??y?3或?2x?0

?2?2

4?x?y?41?8py?0?p?3?

?x?0?

?y??3

?4?p??

（31）双曲线中一个?1??2为定值的问题

不妨设AF1=r，AF2=2r，则有r=2a，5r^2=4c^2，则5a?c，所以可以设双曲线为解：这样的题我喜欢联立方程。

4x?y?4a

下面就是通法了。坐标法是解析几何的通法，设

则4x0?y0?4a。代入向量等式有?1??A(x0,y0)，B(x1,y1),C(x2,y2)，

y0y1

,?2??

y0y2

下面设直线AB

：my?x?

，AC

：py?x?与双曲线4x?y?4a分别联立有

(4m?1)y??16a?0，则y0y1?

16a

4m?1

?y1?

16a

y0(4m?1)

则?1??

y0y1

y0(4m?1)

16a

，同理?2??

y0(4p?1)16a

则?1??2??

y0(4m?4p?2)

16a

，又my0?x0?

，py0?x0?

代入有?1??2??

y0(4m?4p?2)

16a

(8x0?2y0?40a)

16a

48a16a

??3

（32）抛物线切点弦中点轨迹

由直线 y=x 上的动点P 引抛物线 y=x2+1/8 的两条切线，切点为Q、R，求线段QR的中点S的轨迹方程。并说明这轨迹是怎样的一条曲线？

（参数法，首先要知道S是由Q，R的运动而引起运动的，Q，R两点会有两个坐标，然后又有一等量关系就是切线交点在y=x上，所以最后就只有一个参数。）

（33）抛物线中一直线过定点问题

过抛物线y^2=2Px上一点P(x0,y0)作两条互相垂直的直线PA,PB，分别交抛物线于A,B 则直线AB过定点

设，A(

,y1)B(

,y2)

直线AB：y?y2?

2py1?y2

2py1?y2y1y2

(x?

)即y?

2py1?y24p

x?y2?

y1?y2

即y?x?

y1?y2

，由垂直有

(y2?y0)(y1?y0)

??1

得y1y2??4p?y0?y0(y1?y2) 代入到y?

2py1?y2

y1y2y1?y2

中有y?

2py1?y2

4p?y0y1?y2

?y0即

y?y0?

2py1?y2

[x?(2p?

)]即y?y0?

2py1?y2

[x?(2p?x0)]

故过定点(2p?x0,?y0)

（34）鸟巢椭圆题。

题目：简化的奥运会主体育场的“鸟巢”钢结构俯视图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线，若切线AC与BD的斜率之积为-9/16，则椭圆的离心率为_____.

关键的简化其实在切线上。这条性质应该知道吧。

P(x0,y0)是椭圆

x0xa

?1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：

y0yb

?1。

那么设C(x1,y1),D(x2,y2)，则 AC：BD：

x1xax2xa

y1yby2yb

?m，过了（a，0

）则很快求得x1?ma,y1?m?m过了（0，b）

，则同理求得y2?mb,x2??m

22（其实D坐标完全可以由A坐标类比而得）

好了。k1k2?

x1x2y1y2

916

（35）抛物线重心到三顶点距离积的最值。

?????????????????????????

y?4x上三点A，B，C，FA?FB?FC?0，求|FA||FB||FC|的最值

那个向量等式实际上告诉我们F是ABC的重心。

那么不妨设x

轴上方的A(x0,， x0?0，B(x1,y1)C(x2,y2) 则由定比分点坐标公式可得BC

中点D(又由点差法可得kBC2y0?4?kBC??则由BC和抛物线联立有

?y2?4x

42129?

?x?(?4)x??4x0?12?0 3?x?0

y???x?)xxx000?2?

????????????

又可知|FA||FB||FC|=(x0?1)(x1?1)(x2?1)?(x0?1)(x1x2?x1?x2?1)

3?x0

,，由D点在抛物线内可得0?x0?2

伟大定理代入可得(x0?1)(x1x2?x1?x2?1)=x0?3x0?求导可得当x0?

x0?

254

时，最大值为

274

，当x0?

254

时，最小值为

254

另外值得说明的是，当x0?0时也取最小值另外当x0?2时也有最大值（36）向量椭圆

274

，但是此时D点在抛物线上了，不能构成三角形。

解：其实就是方程思想的运用，点在椭圆上，那就是满足方程。

M(acos?,bsin?),N(acos?,bsin?) 由题可知 P(a(?cos???cos?),b(?sin?,?sin?))

由于P在椭圆上，则代入椭圆可得。(?cos???cos?)?(?sin???sin?)?1

可知?2??2?2??cos(???)?1?(???)2 37、三角带换解决椭圆一经典的3点共线。

PQ过A，AB两点横坐标之积为a，P关于x轴的对称点为S，求证S，B，Q共线。设A(x0,0)B(

,0)，P(acosx,bsinx)Q(acosy,bsiny)S(acosx,?bsinx)

则由P,Q,A共线有

sinxacosx?x0

sinyacosy?x0

?asin(x?y)?x0(sinx?siny)

左边倍角打开，右边和差化积公式（不要说不知道，自己拿和差角公式推）可得acos(

x2?y2

)?x0cos(

x2?y2

)，和角公式两边打开合并后得tan

tan

x0?ax0?a

（1）

注意公式（1）的一般性，所以下验证S，B，Q共线即是验证

tan

?x2tan

y2?a

?tan?a

?x2

tan

a?x0a?x0

?tan

tan

x0?ax0?a

显然成立。所以

共线被证明，另外那个长度的倍数

APQA

SBBQ

我就不想多说了，初中生相似的问题。

38、抛物线单变量设点解决一定植定点问题。

设A(

,y1)B(

,y2)，由ABM共线有

2py1?y2

y1y1

?y1y2??2pa

又由于AB的斜率为k=

2py1?y2

，则设倾斜角为?有

tan??

2py1?y2?

1BM

?sin??

4p?4pa?y1?y21?1y2

则

1AM

?sin?(

y1?y2

a(4p?4pa?y1?y2)

，要为定值，则

4p?4pa?0?p?a

18、等腰梯形，椭圆双曲线离心率积。

在等腰梯形ＡＢＣＤ中，上底为ＣＤ，设以Ａ。Ｂ为焦点且过Ｄ的双曲线的离心率为e1 ，

以Ｃ。Ｄ为焦点且过Ａ的椭圆的离心率为e2, 则e1 *e2 的值为_____________

法一、如图，由等腰梯形及正弦定理可得

ABBD?ADDCBD?AD

sinxsinA?sinyDCBD?BC

sin(A?y)sinA?siny

?e1，

sin(A?y)sinA?siny

?e2

则e1e2?

sin(A?y)sin(A?y)

sinA?siny

sinA?sinysinA?siny

?1，

（其中sin(A?y)sin(A?y)?sinA?siny可由和差角公式直接打开得到）法二、既然这样，那我就建系设点了。如图。由第一定义可知。

e1?

e2?

e1e2?

4mn

[(m?n)?h]?[(m?n)?h]

4mn4mn

(19)一个椭圆直角弦中点轨迹的问题.

椭圆：x^2/3+y^2=1.P,Q在椭圆上。且OP垂直OQ.M是P,Q中点。求M的轨迹方程

法一:韦达定理的方法

let:PQ:y?kx?b,M(x,y)

?y?kx?b3b?322222

?(1?3k)x?6kbx?3b?3?0?xx?yy?kxx?kb(x?x)?b?21212121222

1?3k?x?3y?3

?3kb1?3k

,y?

b1?3k

,?k??

x3y

.(1)又y?

b1?3k

?b?(y?

)（2）

又由x1x2?y1y2?0?4b?3k?3?0，将（1），（2）代入有

4(y?

)?3(

x3y

)?3?0?12(y?

222

)?x?9y

法二:三角带换的方法

let:Pa,sina)Qb,sinb)M(x,y)

??2x?a?cosb)2222

?4(x?y)?2?2(cosa?cosb)(1) ?

2y?sina?sinb

?2y??

cosa?cosb?sina?sinb

4x2

?4y2?2?2(cosacosb?sinasinb)? 3

2x2

cosacosb?sinasinb??2y2?1(2)

又由垂直有3cosacosb?sinasinb?0(3) 由（2）（3）解得

?x2122

?y2?)2?cosacosb?(

?32??

sin2asin2b?1?(cos2a?cos2b)???

x21

cosacosb?9(?y2?)2

x21

?cosacosb?1?8(?y2?)2(4)

（4）带入（1）有x?y?1?4(

?y?

)

(20)解析法证明一平面几何问题

利用角的关系化成tana1+tana3=1这是必须的.

建立坐标系(注意那个圆),C（x,y),B(-1,0)A(1,0),且x+y=1则

-2

tana1+tana3=

x1+2

y+2y

(x-1)

x+12

y+2y

(x+1)

1-x1-x+y

1+x1+x+y

=2-(

1-x+y2y+2

1+x+y

)=2-y

2y+2(1+y)-x

=2-y

+2y

(化简过程当中用到x

=1进行消元处理,这是圆锥曲线方程思想的基本体现)

范文二：圆锥曲线经典例题

2012延安市高考情分析况

延安市中心张琰;教研20130303-06,

一、取分数录录录录录

陕西省2012年高考取分数:文史:陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕556,497,377,240,理工:陕517,461,331,200,文科:本科文化陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕323,高，科,文化陕陕陕陕陕陕陕陕168。

二、全省上率录录

陕西省2012年高考11个市/区333038名考生,文史最高分陕陕陕陕688,一本7436人，6.67%,,二本3015人，27.01%,,三本73198人，65.66%,,理工最高分陕陕陕陕712,一本44377人，20.03%,,二本89111人，40.22%,,三本164836人，74.40%,.

延安市2012年高考23584名考生，其中届生陕陕陕陕18874名,,文史最陕陕高分668,一本390人，4.71%,第11位,倒一,,二本1678人，20.28%,第10位,倒二,,三本5044人，60.96%,第9位,倒三,,理工最高分陕陕陕陕698,一本2346人，18.06%,第6位,,二本5056人，38.92%,第9位,倒三,,三本9882人，76.06%,第5位,,取情况:一本陕陕陕陕陕陕陕2736人,二本6734人,三本14926人。

三、高考成分析录录录

2012年,我市参加全国普通高校招生考的届生陕陕陕陕陕陕18874名,其中文史陕6959名,理工陕10128名,陕陕陕1234名,体育陕553人。比2011年的17926名增加了948名。

全市一批本科上人数陕陕陕陕2066

，不含,,上率陕陕陕陕陕陕陕陕陕12.09%,比2011年的8.42%上升了3.67个百分点。一本上率排在全市前陕陕陕陕陕陕陕5位的，区,分是:宝塔区、陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕宜川、延川、延、洛川。一本上率排在全市前陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕10位的学校分陕是:延安市中学陕陕陕陕40.5%,延安中学31.7%,宜川中学17.8%,延安市一中1

17.2%,宝塔区四中10.1%,子中学陕陕陕4.2%,甘泉高中学陕陕陕3.8%,延大附中3.8%,黄中学陕陕陕3.1%,吴起高中学陕陕陕3.0%。

全市二批本科上人数陕陕陕4671

，不含,,上率陕陕陕陕陕陕陕陕陕27.34%,比2011年的20.62%上升了6.72个百分点。二本上率排在全市前陕陕陕陕陕陕陕5位的，区,分是:宝塔区、陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕宜川、延川、富、黄。二本上率排在全市前陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕10位的学校分陕是:延安市中学陕陕陕陕74.7%,延安中学55.4%,延安市一中52.0%,宜川中学45.8%,宝塔区四中37.7%,延大附中27.0%,子中学陕陕陕17.1%,吴起高陕中学15.5%,甘泉高中学陕陕陕15.2%,志丹高中学陕陕陕13.7%。

全市三批本科上陕陕11492

，不含,,上率陕陕陕陕陕陕陕陕陕67.26%,比2011年的58.62%上升了8.64个百分点。三本上率排在全市前陕陕陕陕陕陕陕5位的，区,分是:宜川、陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕宝塔区、延川、黄、安塞,三本上率排在全市前陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕10位的学校分陕是:延安市中学陕陕陕陕87.0%,延安中学78.0%,宝塔区四中69.9%,宜川中学67.4%,延安市一中63.3%,延大附中60.4%,延安院附中陕陕陕陕50.6%,甘泉高陕中学46.9%,延川中学45.4%,吴起高中学陕陕陕45.3%。

四、英科分析录录录录

，一,高考英录13录录录录区平均成分析

全市2012年高考英文科平均陕陕陕陕陕67分,理工陕77分。宜川文史平均陕陕陕陕陕陕79分，356人,,理工平均陕陕陕81分，429人,,宝塔区文史平均陕陕陕70分，1071人,,理工平均陕陕陕86分，1764人,,延川文史平均陕陕陕陕陕陕69分，525人,,理工平均陕陕陕81分，837人,,子文史平均陕陕陕陕陕陕陕64分，685人,,理工陕平均78分，1292人,,安塞文史平均陕陕陕陕陕陕63分，705人,,理工平均陕陕陕73分，919人,,延文史平均陕陕陕陕陕陕陕64分，444人,,理工平均陕陕陕72分，551人,,志丹文史平均陕陕陕陕陕陕65分，514人,,理工平均陕陕陕76分，631人,,吴2

起文史平均陕陕陕陕陕陕61分，532人,,理工平均陕陕陕69分，648人,,甘泉文陕陕史平均陕陕陕67分，273人,,理工平均陕陕陕74分，416人,,富文史平均陕陕陕陕陕陕66分，464人,,理工平均陕陕陕76分，675人,,洛川文史平均陕陕陕陕陕陕67分，733人,,理工平均陕陕陕75分，856人,,黄陵文史平均陕陕陕陕陕陕69分，505人,,理工平均陕陕陕72分，701人,,黄文史平均陕陕陕陕陕陕陕72分，152人,,理工平均陕陕陕71分，309人,,

，二,高考英学校平均成分析录录录录录录录录录

全市2012年高考英届生文史平均成前十位的学校是:延安中学陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕115分,宝塔区四中108分,延安市中学陕陕陕陕104分,延安市一中102分,宜川中学97分,子中学陕陕陕90分,延园中学80分,延大附中75分,宝塔高陕中学70分,延安院附中陕陕陕陕69,全市2012年高考英届生理工平陕陕陕陕陕陕陕陕均成前十位的学校是:延安中学陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕陕116分,宝塔区四中104分,延安市陕陕中学104分,宜川中学99分,延安市一中94分,子中学陕陕陕92分,延园中学89分,宝塔高中学陕陕陕77分,延大附中76分,宜川朝阳中学69分。3

范文三：圆锥曲线_--经典例题

（1）中点弦问题：

（上题麻烦了。是圆不用中点法）（2）轨迹以及弦长最大问题。

（3）利用通径最断解题

（4）利用第二定义求离心率

?我在

的方法不很好，有焦点弦和准线了，当然要想第二定义

过P做PD垂直准线于D,那么可得,PF/PD=e,PD/PM=1/2

所以PF/e=1/2PM,又PF/PM=sin60/sin45=根3/根2,所以最终可得离心率为根6 ?????????和楼上算的怎么不一样?

楼上说

（5）抛物线的一证明，

过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线的顶点的直线与抛物线的准线交于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.

我没搞懂为什么必须用平几？为什么学解析几何，就是想把我

们从烦琐的平几中解放出来，前人开创这个来干吗的呀？建系我就不说了，看图加解答。令

y?2px

，，

A(x1,y1),B(x2,y2)AB:y?k(x?

p2)

连立两方程消

x可得

y1y2??p，其实这是一个结论

又

y1x1

令

y0?p2

D(?

y0,

)，则

?y0??

py12x1

，又

x1?

，则有y0?

?py1

?y2。完

（6）抛物线

（7）很好的一题，圆锥曲线都实用

这题的问题不在思路上，而是在计算上。看我的。这题做了你们可以自己再去做下05江西文21题。练练。

第一问我不想说了就是重新高考的思路，算出椭圆方程为x2?3y2?4?0

（为哈要弄成这样？因为一般式对于一会直线联立不容易出错，我的习惯）

解：若斜率不存在，CP，CQ重合，故两直线都有斜率，

令CP:y?k(x?1)?1?kx?k?1。CQ:y??k(x?1)?1??kx?k?1

?y?kx?k?1222

?(1?3k)x?6k(k?1)x?3k?6k?1?0，由?2从这里就要解出xP来。 2

x?3y?4?0?

（呵呵。很多人已经没勇气在算下去了，解析几何在高考中很多时候就是考计算，这点不算什么）大家注意，硬解那当然就bt了，这方程中肯定有一解是1，因为直线是过了（1，1）的，呵呵，所以这二次方程是可以十字相乘的。

1?3k\\1?3k?6k1\\\\\\\?1

呵呵，所以xP?

3k?6k?11?3k

，呵呵，再算xQ可以再同样算，但是注

意到就是先的k变-k就完了，所以xQ?

yP?yQxP?xQ

k(xP?xQ?2)

xP?xQ

3k?6k?11?3k

所以kPQ?

正好是AB 的斜率，（因为B（-1，-1））（8）双曲线，抛物线。2题

（9）直线和双曲线

这题是个好题，我给你写下解答嘛。

（1）这题不能就象2楼这么说，大题不行。应该用坐标建立关系式，由已知有(x,y)?(m,0)?(0,1?m)?(m,1?m)，所以?（2）呵呵，

?x?m?y?1?m

消参有y??x?1

?3即c?3a可得b?8a。设直线和双曲线交于M(x1,y1)，N(x2,y2)

?y??x?12

2?1?8a?222

2x?x??再由?x有得， xx?7x?2x?1?8a?012y12

77?1?2?2

8a?a

y1y2?(?x1?1)(?x2?1)?x1x2?(x1?x2)?1?

8?8a7

。呵呵。所以

由

x1?x2y10?y2

aa?4

7x?2x?1?8a?0的

判别市大于0，也就是检验下）

（10）线性规划解决与双曲线有关的最值问题。

（11）抛物线，点坐标范围

（12）抛物线椭圆焦半径的另一公式

（13）抛物线对称存在性问题

已知抛物线y^2=ax (a>0)，直线l过焦点F且与x轴不重合，则抛物线的弦中被l垂直平分的有（）

A 不存在 B 有且只有1条 C 2条 D 3条二题是个对称存在性问题。先设出弦的两点。(

y1a

,y1),(1k

y2a

,y2)，直线l:y?k(x?

)

那么有两点连线要和直线垂直，所以有

y1?y2y

?y1?y2??ak（1），又

两点中点在直线上。所以

y1?y2

?k(

y1?y2

)（2）

222

由（1）（2）得?a?2(y1?y2)，显然不存在这样的两点。当然也就没这样的弦

楼上有同学说取垂直时的直线。这是特殊值法，要注意，特殊值法得到的是正确答案的必要不充分条件。

（14）椭圆中比值范围的问题。

现在我有空了。慢慢给你做下。

原式的倒数为1+求

PFPA

，相当于

的最小值。

FA?

a?ccos?

，用PA与

y=?x联立解得P点坐标

(

aca?b

abca?b

)

所以用P点纵坐标来算PF=

abc(a?b)sin?PFPA

abcsin?

所以?

a?accos?bsin?

，又

由垂直关系可知

，

tan???

?sin??

cos???

，所以

PFPA

a?accos?bcsin?

abc?

1，另()?t,(t?1) b所以

PFPA

?1=1?1，

当t?1?时取，

既

()?1时取。

（15）交轨法求轨迹的问题。

?22

x1y1???1(1)

4?12

2?x2

?2?2?1(2)

4?12

?y?y

开始，建立式子??1?既xy1?x1y?0(3)，

x?x1

?y?yy?y1

?2(4)?

x2?x1

?x?x1?y?yx21

??1(5)?

y1??x2?x1

解释下。（3）体现点在PT上，（4）体现的是点在QN上，（5）体现是垂直条件。

y?y1xx?x1y

?0既3xy??5x1y即x1??

x（6）

代入到（3）中有y1?掉几个点。

y，呵呵，最后代入到（1）中出来了。是椭圆哟。当然最后要舍弃

（16）求?范围的又一方法：

7.已知A（2cos?,3sin?），B（2cos?,3sin?），C（-1,0）是平面上三个不同的点，若存在?，使得CA??BC，试求?的取值范围。解：由已知CA??BC，可得

（2cos?+1, 3sin?）=?（-1-2cos?,-3sin?）, ?1???2?cos??

?2cos??1????2?cos??cos??

,?, 2?

?sin????sin??3sin???3?sin?

由sin??cos?=1，得???sin???

??1??

?2?cos?4

?1，

即??1???cos???1??

?1???2

，

若?=-1，则CA??BC，得AB?0，这与A，B两点不重合矛盾，因此，??-1，于是?cos??

cos??

3?5?4?

3?5?4

，可知??0，

，得?1?

3?5?4?

?1，

解得

???3。

（17）圆锥曲线中求角的最值

既然是高考题，那我就是用的基本办法哈。简单的也想不到了。

要刻画一个角的最值，一般都是利用他的某个三角函数值的最值来刻画。

令P(x0,x0?3)，当x0??1时,?F1AF2?45

当x0?1时,tan?F1AF2?

?1，故此时?F1AF2?

1时，当x0??3且不为?1，

x0?3

tan?F1PF2?

x0?11?

x0?3x0?1*x0?3x0?1

x0?3x?3x0?4

x0?3x0?1

?x0?3?

14x0?3

大角

x0?3

?x0?3x0?1*x0?3x0?1

x0?3x0?3x0?4

当x0??3时，tan?F1PF2?

x0?11?

x0?3x0?1

x0?3?

14x0?3

当x0??5时取得。

综上，当x0??1或?5时，?F1AF2最大为

，此时

|PF1||PF2|

（18）抛物线中常规的最值一题：

（19）一个典型的求离心率范围问题

（20）由等量关系求椭圆离心率

A、B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴的两个端点，过其右焦点F作长轴的垂线与椭圆的一个交点为M，

若sin

先由sin?AMB?则

a(a?c)

?tan?AMB?3或?3

tan?AMB?tan(?AMF??BMF)?

?a(a?c)a(a?c)b

a(a?c)

2a1?

??3?2a??3c

所以2a2?3c2?e?

（21）抛物线单变量设点解题。

该咋做就咋做。好象现在很多地方没极坐标了。

抛物线单标量设点，然后就是呆坐标翻译已知条件，然后就是得答案。不要想什么简便的，最基本的就是最好的。 C(

,y1),B(

,y2)，则k?

2py1

y2?y1?

2pk??1?2?y2ky2?y?y??1?y21??1

k?????2p2p?k2p??2p?

由已知条件。?既?k?既? 2p

2pk?y2??k???1)??y2

??2p?y2??1?k2p??1?ky2?

?y?

由上

2py2

kk?

代到下面的式子中就可以得到了。k?2k?

呵呵，不要说计算麻烦。因为计算并不麻烦。

（22）设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦

AB，若?CBF?90，则AF?BF的长为

（23）

常规想法。

M(x1,y1),N(x2,y2),则，由第二定义，所求式子即是2

e(x1+x2)+2a

x0+c

又,椭圆上的点P（x,y)要满足是圆与椭圆的交点，则????????

FP?AP=0，即（x+c)(x-x0)+y=0,由椭圆方程换掉y有 ca

x+(c-x0)x-cx0+b=0

x0?cca

则x1?x2?

(x0?c)带如到2

e(x1+x2)+2a

x0+c

中得

2ac

，答案是A

（24）求椭圆切线的快速求法

以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+根号3*y+4=0有且只一个交点,则椭圆的长轴长为解：

?1，设上面的点(acos?,bsin?

),，到直线x??4?0的距离为

|acos??sin??4|2

|???)?4|

，

令有a?3b=16

，且a?b?4?a?

（24）

（25）椭圆中点弦算长度比值

和弦中点有关的问题都可以用点差法的。设N(x0,0)，则由点差法可得，27?36

y1?y2yMx1?x2xM

又

y1?y2yM

x1?x2xM?x0

??1，带入到上面并解得xM?4x0。则FN?3?x0

又AB?12?则

FNAB

?14

(x1?x2)?12?2xM?12?4x0

（26）几何法求椭圆离心率

过一椭圆左焦点F且倾斜角为60度的直线交椭圆于A,B两点，│FA│=2│FB│,则椭圆的离心率为多少？

2/AP=e,1/x=e. 则

2x?

32?e,x?

解得e=2/3

（27）利用椭圆方程消元求值。

椭圆（x^2/16)+(y^2/4)=1上有两点P,Q 。O为原点，若OP,OQ斜率之积为-(1/4),则│OP│^2+│OQ│^2为多少？

y1y2x1x2

222222

，要求的是x1?y1?x2?y2，又x?4y?16

222

所以从方程中换掉x后就得到所求的是32?3(y1?y2)

那么我们把条件一用就该得到y1?y2这个东西。（这是解析几何一个大思路，题目给你什

么你用什么，叫你求什么你算什么，并且注意点是椭圆上的点进而利用方程减少变量。）

y1y2x1x2

14?

y1y2x1x2y1y2

2222

116

，（为何要平方，就是为了能用椭圆方程来消元）将x?16?4y

代入有

(16?4y1)(16?

4y2)

116

化一下就有y12?y22?4，故答案为20 （28）双曲线焦点三角形内切圆心。

对于内心O我们要怎么想？

有很多东西可以用，用哪一条性质，这里要结合双曲线上PF2-PF1=2a这一条。所以就想起用PQ=PF……这样的性质。

所以PF2-PF1=2a可得QF1-FF2=2a，即EF1-EF2=2a。可以算得E的横坐标为-a。即圆心始终在x=-a直线上。（29）抛物线，坐标法。

设AB两点坐标分别为(

y14

,y1)(

y24

,y2)，将条件化成坐标有

2y1?3y2?24，2y1??3y2?y2??y1?y1?

365

又直线AB方程为y?y1?令y=0解得x??

y1y24

4y1?y2y1=

(x?

y14

)

（30）一个定角问题

已知圆C:x^2+(y-5）^2=16,在x轴上任取两点M、N，使得以MN为直径的圆与圆C外切，若定点A对所有满足条件的M、N,使得

r,0)

由外切得

到

yx?m?r

?r?

?AN

yx?m?r

4（易有m?r?8r?9），设点A(x,y)，则

，

2yr

则tanMAN?

kAN?kAM1?kANkAM

x?y?2mx?m?r

2yr

x?y?2mx?8r?9

要是一个与m,r无关的定值，则令2pyr?x2?y2?2mx?8r?

9将r?4带入

整理有(2py?2xm?x2?y2?41?8py要对所有的m 都要成立则必须 ?

?x?0?2py?8?0

??y?3或?2x?0

?2?2

4?x?y?41?8py?0?p?3?

?x?0?

?y??3

?4?p??

（31）双曲线中一个?1??2为定值的问题

不妨设AF1=r，AF2=2r，则有r=2a，5r^2=4c^2，则5a?c，所以可以设双曲线为解：这样的题我喜欢联立方程。

4x?y?4a

下面就是通法了。坐标法是解析几何的通法，设

B(x1,y1),C(x2,y2)，A(x0,y0)，则4x0?y0?4a。代入向量等式有?1??

y0y1

,?2??

y0y2

下面设直线AB

：my?x?，AC

：py?x?与双曲线4x?y?4a分别联立有

(4m?1)y??16a?0，则y0y1?

222

16a

4m?1

?y1?

16a

y0(4m?1)

则?1??

y0y1

y0(4m?1)

16a

，同理?2??

y0(4p?1)16a

则?1??2??

y0(4m?4p?2)

16a

，又my0?x0?

，py0?x0?

代入有?1??2??

y0(4m?4p?2)

16a

(8x0?2y0?40a)

16a

48a16a

??3

（32）抛物线切点弦中点轨迹

由直线 y=x 上的动点P 引抛物线 y=x2+1/8 的两条切线，切点为Q、R，求线段QR的中点S的轨迹方程。并说明这轨迹是怎样的一条曲线？

（参数法，首先要知道S是由Q，R的运动而引起运动的，Q，R两点会有两个坐标，然后又有一等量关系就是切线交点在y=x上，所以最后就只有一个参数。）

（33）抛物线中一直线过定点问题

过抛物线y^2=2Px上一点P(x0,y0)作两条互相垂直的直线PA,PB，分别交抛物线于A,B 则直线AB过定点

设，A(

,y1)B(

,y2)

直线AB：y?y2?

2py1?y2

(x?

)即y?

2py1?y24p

x?y2?

y1?y2

即y?

2py1?y2

y1y2y1?y2

，由垂直有

(y2?y0)(y1?y0)

??1

得y1y2??4p2?y02?y0(y1?y2) 代入到y?

2py1?y22py1?y2

y1y2y1?y2

中有y?

2py1?y2

4p?y0y1?y2

?y0即

y?y0?

[x?(2p?

)]即y?y0?

2py1?y2

[x?(2p?x0)]

故过定点(2p?x0,?y0)

（34）鸟巢椭圆题。

关键的简化其实在切线上。这条性质应该知道吧。

P(x0,y0)是椭圆

x0xa

?1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：

y0yb

?1。

那么设C(x1,y1),D(x2,y2)，则 AC：BD：

x1xax2xa

y1yby2yb

?m，过了（a，0

）则很快求得x1?ma,y1??m过了（0，b）

，则同理求得y2?mb,x2??，

222（其实D坐标完全可以由A坐标类比而得）

好了。k1k2?

x1x2y1y2

916

（35）抛物线重心到三顶点距离积的最值。

?????????????????????????

y?4x上三点A，B，C，FA?FB?FC?0，求|FA||FB||FC|的最值

那个向量等式实际上告诉我们F是ABC的重心。

那么不妨设x

轴上方的A(x0,， x0?0，B(x1,y1)C(x2,y2) 则由定比分点坐标公式可得BC

中点D(又由点差法可得kBC2y0?4?kBC??则由BC和抛物线联立有

?y2?4x??

y?????

42129x?(?4)x??4x0?12?0 3?x0?

x?)x0x0x0

23?x0

,，由D点在抛物线内可得0?x0?2

????????????

又可知|FA||FB||FC|=(x0?1)(x1?1)(x2?1)?(x0?1)(x1x2?x1?x2?1)

伟大定理代入可得(x0?1)(x1x2?x1?x2?1)=x0?3x0?求导可得当x0?

x0?

254

时，最大值为

274

，当x0?

另外值得说明的是，当x0?0时也取最小值另外当x0?2时也有最大值（36）向量椭圆

274

225

时，最小值为

254

，但是此时D点在抛物线上了，不能构成三角形。

解：其实就是方程思想的运用，点在椭圆上，那就是满足方程。

M(acos?,bsin?),N(acos?,bsin?) 由题可知 P(a(?cos???cos?),b(?sin?,?sin?))

由于P在椭圆上，则代入椭圆可得。(?cos???cos?)?(?sin???sin?)?1

可知?2??2?2??cos(???)?1?(???)2 37、三角带换解决椭圆一经典的3点共线。

PQ过A，AB两点横坐标之积为a2，P关于x轴的对称点为S，求证S，B，Q共线。设A(x0,0)B(

,0)，P(acosx,bsinx)Q(acosy,bsiny)S(acosx,?bsinx)

则由P,Q,A共线有

sinxacosx?x0

sinyacosy?x0

?asin(x?y)?x0(sinx?siny)

左边倍角打开，右边和差化积公式（不要说不知道，自己拿和差角公式推）可得acos(

x2?y2

)?x0cos(

x2?y2

)，和角公式两边打开合并后得tan

tan

x0?ax0?a

（1）

注意公式（1）的一般性，所以下验证S，B，Q共线即是验证

tan

?x2tan

y2?a

?tan?a

?x2

tan

a?x0a?x0

?tan

tan

x0?ax0?a

显然成立。所以

共线被证明，另外那个长度的倍数

APQA

SBBQ

我就不想多说了，初中生相似的问题。

38、抛物线单变量设点解决一定植定点问题。

设A(

,y1)B(

,y2)，由ABM共线有

2py1?y2

y1y1

?y1y2??2pa

又由于AB的斜率为k=

2py1?y2

，则设倾斜角为?有

tan??

2py1?y2

1BM

?sin??

4p?4pa?y1?y21

1y2

则

1AM

?sin?(

?)?

y1?y2

a(4p?4pa?y1?y2)

，要为定值，则

4p?4pa?0?p?a

18、等腰梯形，椭圆双曲线离心率积。

在等腰梯形ＡＢＣＤ中，上底为ＣＤ，设以Ａ。Ｂ为焦点且过Ｄ的双曲线的离心率为e1 ，

以Ｃ。Ｄ为焦点且过Ａ的椭圆的离心率为e2, 则e1 *e2 的值为_____________

法一、如图，由等腰梯形及正弦定理可得

ABBD?ADDCBD?AD

sinxsinA?sinyDCBD?BC

sin(A?y)sinA?siny

?e1，

sin(A?y)sinA?siny

?e2

则e1e2?

sin(A?y)sin(A?y)sinA?siny

sinA?sinysinA?siny

?1，

（其中sin(A?y)sin(A?y)?sinA?siny可由和差角公式直接打开得到）法二、既然这样，那我就建系设点了。如图。由第一定义可知。

e1?

e2?

e1e2?

4mn

[(m?n)?h]?[(m?n)?h]

4mn4mn

(19)一个椭圆直角弦中点轨迹的问题.

椭圆：x^2/3+y^2=1.P,Q在椭圆上。且OP垂直OQ.M是P,Q中点。求M的轨迹方程法一:韦达定理的方法

let:PQ:y?kx?b,M(x,y)

?y?kx?b3b?322222

?(1?3k)x?6kbx?3b?3?0?x1x2?y1y2?kx1x2?kb(x1?x2)?b?222

1?3k?x?3y?3

?3kb1?3k

,y?

b1?3k

,?k??

x3y

.(1)又y?

b1?3k

?b?(y?

)（2）

又由x1x2?y1y2?0?4b2?3k2?3?0，将（1），（2）代入有

4(y?

)?3(

x3y

)?3?0?12(y?

222

)?x?9y

法二:三角带换的方法

let:Pa,sina)Qb,sinb)M(x,y)

??2x?a?cosb)2222

?4(x?y)?2?2(cosa?cosb)(1) ?

2y?sina?sinb

?2y??

cosa?cosb?sina?sinb

4x2

?4y2?2?2(cosacosb?sinasinb)? 3

2x2

cosacosb?sinasinb??2y2?1(2)

又由垂直有3cosacosb?sinasinb?0(3) 由（2）（3）解得

?x2122cosacosb?(?y2?)2??32??

sin2asin2b?1?(cos2a?cos2b)???

x21

cosacosb?9(?y2?)2

x21

?cosacosb?1?8(?y2?)2(4)

（4）带入（1）有x?y?1?4(

?y?

)

(20)解析法证明一平面几何问题

利用角的关系化成tana1+tana3=1这是必须的. 建立坐标系(注意那个圆),C（x,y),B(-1,0)A(1,0),且x

-2

tana1+tana3=

1-x1+xx+1

=+2

1-x+y1+x+yy+2y(x+1)

=1则

x1+2

y+2y

(x-1)

=2-(

1-x+y2y+2

1+x+y

)=2-y

2y+2(1+y)-x

=2-y

+2y

(化简过程当中用到x

=1进行消元处理,这是圆锥曲线方程思想的基本体现)

范文四：圆锥曲线经典例题

圆锥曲线经典例题题型一:选择题

22xy11(若焦点在轴上的椭圆，,1的离心率为，则m=( ) x2m2直接划1为0，832 A(3 B( C( D( 求x、y之间的233关系就是渐进22xy线方程 ,,12(双曲线的渐近线方程是( ) 49

2439(A) (B) (C) (D) yx,,yx,,yx,,yx,,39242y2MFMF12,,0,x,,13(已知双曲线的焦点为F、F，点M在双曲线上且则点M到122

x轴的距离为( )

45233 A( B( C( D( 33322xyFF,,,14(双曲线(a,0,b,0)的两个焦点为，若P为其上的一点，且1222ab

找特殊点，通常是顶点位置 ||2||PFPF,，则双曲线离心率的取值范围为( ) 12

,( ,( ,( ,( (3,)，,(1,3)(1,3][3,)，,

2y,4x5.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )

17157注意:先化A( B( C( D(0 16816 成标准形式2y,2xOA,OB,6(设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则( )

33 (A) (B), (C)3 (D),3 44

||||MNMPMNNP,，,7(已知两点M(,2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足

,0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( ) 把向量转化222y,8xy,4xy,,8x(A) (B) (C) (D) 成坐标形式 8(已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与

线段PF相切于线段PF的中点，则该圆的离心率是()。画图:考察定义

与平面几何知识 5225A.C. D.B.3393

题型二:填空题

121(已知抛物线x的焦点为F，准线为L，M在L上，线段MF与抛物线交于N点，若y,2

利用定义及几何图形的特殊性来解 2||2||,|MF|=MNNF,则决问题，避免复杂的计算(画图求解)

22xy，,12. F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 43

11(2)的最小值为 3 PA，2PFe=，，A、P、H三PF,PH,即2PF,PH22 点共线时，其和最小。(通常把准线做出来考虑问题)

3(已知点M是抛物线的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C: y24,x(4)2(1)21xy,，,,上，则的最小值为 4 ||||MAMF，

xy22，,14. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ||12mm,,

分母的大小决定焦点的位置; 3 (,1)(1,),,,,分母的符号。 2

题型三:综合题

1.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶xOyF(3,0),

1,,点为,设点A1,. D(2,0),,中点坐标代换 2,,

(1)求该椭圆的标准方程;

PPAM)若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程; (2

(3)过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。 BC,O,ABC

设直线，联立求点坐标，再用

点到直线的距离公式

2.已知一条曲线C在y轴的右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴的距离差都是1。求曲线的方程, 是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B

FAFB的任一直线都有????? 0

直线与曲线联立求解;

韦达定理;

向量转化为坐标形式建立关系求解;

设方程的时候注意直线斜率存在的讨

论，通常就用设直线为 tyxm,,

范文五：圆锥曲线经典例题

圆锥曲线经典例题椭圆课下冲关作业

时间：45分钟满分：100分

一、选择题(每小题7分，共42分)

1．[2012·北京宣武]椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是( )

1A. 4C．2 答案：A

解析：长轴长为2a＝，短轴长为2，∴4.

mm1

∴m＝.

x2y2

2．[2011·新课标全国]椭圆＋1的离心率为( )

1681A. 3C.3 3

1B. 2D.2 21B. 2D．4

答案：D

x2y2

解析：由1可得a2＝16，b2＝8，∴c2＝a2－b2＝8，∴e2

168c212＝＝e＝ a22

3．[2010·广东]若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )

4A. 5

3B. 5

2C. 5答案：B

1D. 5

解析：由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，3

消去b整理得5c＝3a－2ac，即5e＋2e－3＝0，∴e＝e＝－1(舍

去)．

x22

4．[2012·江南十校一模]已知点M3，0)，椭圆y＝1与直

4线y＝k(x＋3)交于点A、B，则△ABM的周长为( )

A．4 C．12 答案：B

解析：直线y＝k(x3)过定点N(3，0)，而M、N恰为椭圆x22

＋y＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝432＝8，4故选B.

x2y21

5．[2012·湖南郴州]设e是椭圆1的离心率，且e∈(4k21)，则实数k的取值范围是( )

A．(0，3)

B．(3，

) 3

B．8 D．16

C．(0，3)∪() D．(0，2)

3答案：C

1k－416

解析：当k>4时，c＝k－4，由条件知，解得k>；

4k3当0<><>

14－k

由条件知<><><>

x2y2

6．[2011·浙江]已知椭圆C1＋1(a>b>0)与双曲线C2：x2

aby2

－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆4相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )

A．a2＝

13 2

B．a2＝13 D．b2＝2

C．b2＝

2答案：C

解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|＝tan∠COx

3＝2，

∴sin∠COx＝，cos∠COx＝，

2aa24a2

则C的坐标为(，代入椭圆方程得＋＝1，∵545a45b3535

1＝a－b，∴b＝

二、填空题(每小题7分，共21分)

x2y2

7．[改编题]已知F1、F2分别是椭圆＋1(a>b>0)的左、右焦

ab点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，O是坐标原点，OP∥AB，PF1⊥x轴，|F1A|＝10

＋5，则此椭圆的方程是________．

x2y2

答案：＋1

105

解析：由于直线AB的斜率为－OPaax2x22b

线OP的方程为y＝－.与椭圆方程联立得＋1，解得x＝a.

aaa222

根据PF1⊥x轴，取x＝－，从而－＝－c，即a＝2c.又|F1A|

22＝a＋c10＋5，故2c＋c＝105，解得c＝5，从而a＝10.x2y2

所以所求的椭圆方程为1.

105

x2y2

8．[2012·山东东营]F1、F2是椭圆＋1(a>b>0)的左、右焦

ab点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．

答案：e<>

x2y2解析：设P(x0，y0)为椭圆上一点，则1.

ab→＝(－c－x，－y)，PF→＝(c－x，－y)， PF100200→·PF→＝x2＋y2－c2＝0，若∠F1PF2＝90°，则PF1200

2222

a（c－b）x2222

∴x0＋b(1－＝c，∴x0＝

ac22

c－b2

∵0≤x0≤a2，∴0≤1，

∴b≤c，∴a≤2c，∴≤e<>

x2y2

9．[2012·温州市八校联考]设点P在椭圆＝1上运动，Q、

43R分别在圆(x＋1)2＋y2＝1和(x－1)2＋y2＝1上运动，则|PQ|＋|PR|的

取值范围为__________．

答案：[2，6]

解析：设椭圆的左、右焦点分别是F1(－1，0)、F2(1，0)，则两个已知圆的圆心即为椭圆的两个焦点，如图．因此|PQ|＋|PR|的最大值是|PF1|＋|PF2|＋2＝4＋2＝6，最小值是|PF1|＋|PF2|－2＝4－2＝2.

三、解答题(10、11题12分、12题13分)

x2y2

10．[2011·陕西]设椭圆C：＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心

ab35

(1)求C的方程；

(2)求过点(3，0)且斜率为C所截线段的中点坐标．

516

解：(1)将(0，4)代入C＝1，∴b＝4，

9c3a－b

由e＝＝

a5a25

169

即1＝，∴a＝5，

a25x2y2

∴C的方程为＝1.

2516

(2)过点(3，0)且斜率为y＝(x－3)，

55设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 4

将直线方程y＝x－3)代入C的方程，得

x2（x－3）＋＝1， 2525即x2－3x－8＝0，解得 3－413＋41x1＝x2＝，

22x1＋x23

∴AB的中点坐标x中＝＝

22y1＋y226

y中＝(x1＋x2－6)＝－

25536

即中点坐标为(，－．

x2y2

11．[2012·吉林实验中学模考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)

ab与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点．

(1)当椭圆的半焦距c＝1，且a2、b2、c2成等差数列时，求椭圆的方程；

(2)在(1)的条件下，求弦AB的长； (3)当椭圆的离心率e满足

32≤e≤，且以线段AB为直径的圆32

经过坐标原点O时，求椭圆长轴长的取值范围．

解：(1)由已知得2b2＝a2＋c2＝b2＋2c2，又∵c＝1，∴b2＝2，a2

＝3，

x2y2

∴椭圆的方程为＋＝1.

?x＋y－1＝0

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?x2y2得5x2－6x－3＝0，

?3＋2＝1

∴x1＋x2＝，x1·x2＝－

∴|AB|＝2|x1－x2|＝2（x1＋x2）－4x1·x2＝

?x＋y－1＝0222

(3)由?x2y2得(a＋b)x－2a2x＋a2(1－b2)＝0，

?a＋b＝1

由Δ＝4a2b2(a2＋b2－1)>0，得a2＋b2>1. a2（1－b2）2a2

此时x1＋x2＝22x1·x2＝

a＋ba2＋b2∵以线段AB为直径的圆经过坐标原点O， ∴OA·OB＝0，∴x1·x2＋y1·y2＝0， ∴2x1·x2－(x1＋x2)＋1＝0， a2

即a＋b－2ab＝0，故b＝，

2a－1

222

a－bc

由e2＝b2＝a2－a2e2，

∴2a2＝1＋1

. 1－e3253

≤e≤得a2≤5≤2a6. 3242

x2y2

12．[2012·天津模拟]设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分

ab别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2

＋(y－3)＝16相交于M，N两点，且|MN|＝AB|，求椭圆的方程．

解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以c2ccc1

（a－c）＋b＝2c.整理得2()＋－1＝0.得＝－1(舍)，或＝.

aaaa2

所以e＝.

(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．

222??3x＋4y＝12c，

A，B两点的坐标满足方程组?消去y并整理，

??y＝3（x－c）.

??x1＝0，8

得5x－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c.得方程组的解?

5??y1＝－3c，

?83

?33不妨设A(5c，5c)，B(0，－?y＝5.

8x2＝，

3c)，

所以|AB|＝

83316（）2＋（＋3c）2＝. 555

于是|MN|＝|AB|＝2c.

|－333c|

圆心(－1，3)到直线PF2的距离d＝＝

23|2＋c|

. 2

|MN|232

因为d＋(＝4，所以＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－

26x2y2

52＝0，得c＝－舍)，或c＝2.所以椭圆方程为＋＝1.

71612

双曲线课下冲关作业

时间：45分钟满分：100分

一、选择题(每小题7分，共42分)

x2y2

1．[2012·武汉模拟]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率

为

，则双曲线的渐近线方程为( ) 2

A．y＝±2x 2

C．y＝±x

2答案：C

6c23c

解析：由已知e＝，即＝，

a2a2又c2＝a2＋b2，

a2＋b23b212b

∴，得＝±，

aa2a222

故双曲线的渐近线方程为y＝.

2．[2010·全国Ⅰ]已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右

B．y2x 1

D．y＝±

焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为( )

3A. 2C.3 答案：B

解析：在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(22)2＝22＋|PF1|·|PF2|，

解得|PF1|·|PF2|＝4.设P到x轴的距离为h，由S△F1PF2＝

216

|PF1|·|PF2|·sin60°＝|F1F2|·h，解题h＝.

x2y2

3．[2012·山东聊城]已知二次曲线＝1，则当m∈[－2，

4m－1]时，该曲线的离心率e的取值范围是( )

6B. 2D.6

A．23，] 32

B．[

] 22

C．，]

22答案：C

D．[]

x2y2

解析：∵m∈[－2，－1]，∴曲线为双曲线，即－＝1.∴c2

4－mc24－m56m53

＝4－m.∴e＝1－[，．∴e∈[，故选C.

a444222

x2y2

4．[2012·浙江金华十校模拟]若在双曲线－＝1(a>0，b>0)

ab的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是( )

A．e>2 C．e>2 答案：C

解析：由于到原点O和右焦点F的距离相等的点在线段OF的cc

垂直平分线上，其方程为x＝x＝与双曲线的右支

22cc

有两个交点，故应满足>a，即，得e>2，选C.

5．[2012·海南三亚摸底]已知△ABP的顶点A、B分别为双曲|sinA－sinB|x2y2

－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值169sinP等于( )

4A. 55C. 4答案：A

B.7 4B．1<><2><><>

D.7

解析：在△ABP中，由正弦定理知84＝ 105

|sinA－sinB||PB－PA|2a

＝＝

ABsinP2c

x2y2

6．[2012·东北三校第一次联考]已知双曲线－1，过其右

916焦点F的直线(斜率存在)交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则

5A. 35C. 4答案：B

解析：依题意，将直线PQ特殊化为x轴，于是有点P(－3，0)、Q(3，0)、M(0，0)、F(5，0)，

|MF|5

＝B. |PQ|6

|MF|

( ) |PQ|

5B. 65D. 8

二、填空题(每小题7分，共21分)

7．[2012·北京东城区模拟]已知双曲线kx2－y2＝1(k>0)的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为________．

答案：x±y＝0

解析：双曲线kx2－y2＝1的渐近线方程是y＝kx.∵双曲线的11

一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，∴k＝，k＝24

＋1k51

，渐近线方程为x±y＝0. 221k

离心率为e＝

8．[2012·陕西西安质检]已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰x2y23a22b2

好是双曲线＝1的右焦点，且双曲线过点，则该双曲

ppab线的渐近线方程为______．

答案：y＝

x2y2p

解析：抛物线y＝2px的焦点为(0)，双曲线－＝1的右焦

2ab

点为a＋b，0)，∴＝a＋b，即p2＝4(a2＋b2)．因为双曲线过

23a22b2

点()，

9a2－4b29a44b4

所以＝1，即1，

apbpp∴9a2－4b2＝p2＝4(a2＋b2)，∴8b2＝5a2， 1010b∴，渐近线方程为y＝. a44

x2y2

9. [2012·临沂模拟]已知F是双曲线1的左焦点，A(1，

4124)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．

答案：9

解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知：|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，所以当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|取最小值，由双曲线的图象可知，当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，而|AF1|即为|PF1|＋|PA|的最小值；|AF1|＝5，故所求最小值为9.

三、解答题(10、11题12分、12题13分)

x2y2

10．[改编题]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，右

焦点为F，直线x＝x轴交于点B，且与一条渐近线交于点

a＋bC，点O为坐标原点，OA＝2OB，OA2OC＝2，过点F的直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．

(1)求双曲线的方程；

(2)证明：B、P、N三点共线； (3)求△BMN面积的最小值．

a2a2ab

解：(1)设双曲线的焦距为2c，则点B(，0)，不妨取C(，

ccc2a2a3

由OA＝2OB，OA·OC＝2，得a2，解得a2＝4，b2＝12，

ccx2y2

所以所求双曲线的方程为－＝1.

412

(2)由(1)可得点B(1，0)，F(4，0)，显然过点F的直线l的斜率不为0，故可设其方程为x＝ty＋4，

22xy?1由?412，得(3t2－1)y2＋24ty＋36＝0，

?x＝ty＋4

1因为直线l与双曲线右支有两个不同交点，所以t2≠

3设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

－24t

y1＋y2＝3t－1

所以，又P(x1，－y1)，所以BP＝(x1－1，－y1)，

y1y2＝3t－1

???

BN＝(x2－1，y2)，

因为(x1－1)y2＋y1(x2－1) ＝x1y2＋y1x2－y1－y2 ＝2ty1y2＋3(y1＋y2)

－24t36

＝2t·2＋323t－13t－1＝0，

所以向量BP，BN共线，所以B、P、N三点共线． (3)由(2)及直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N， 3621得y1y2＝2<>

33t－1

181＋t11S△BMN＝|BF|·|y1－y2|＝·|BF|（y1＋y2）－4y1y2＝22|3t－1|63＋3t.

1－3t令u＝1－3t2，u∈(0，1]，则63·

△

BMN

＝63·

4－u

＝6u

3·

41－＝uu

24（）－，

u816

由u∈(0，1]，得∈[1，＋∞)，

当1，即t＝0时，S△BMN有最小值，最小值为18. u

x2y2

11．[2012·长沙一中模拟]设A，B分别为双曲线＝1(a>0，

abb>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.

(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝

－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在3

→＋ON→＝tOD→，求t的值及点D的坐双曲线的右支上存在点D，使OM标．

解：(1)由题意知a＝23， b

∴一条渐近线为y＝x，

23|bc|

即bx－3y＝0，∴3，

b＋12

22xy

∴b2＝3，∴双曲线的方程为＝1.

123

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，

将直线方程代入双曲线方程得x2－3x＋84＝0，则x1＋x2＝3，y1＋y2＝12，

???x＝43，∴?∴?

?y＝3，xy?

1，?123

220

x43＝y03

∴t＝4，点D的坐标为3，3)．

y2x2512．已知双曲线C的方程为－1(a>0，b>0)，离心率e＝，

ab225

顶点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)如图，P是双曲线C上一点，A、B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第1→＝λPB→，一、二象限．若APλ∈[2]，求△AOB

3面积的取值范围．

解：(1)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线ax－by＝0

的25距离为

∴

25abab25＝＝ c55a＋bab2c5

a＝2??

，得?b＝1，

??c＝5，

5由?＝a2??c＝a＋b

y22

∴双曲线C的方程为x＝1.

(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x. 设A(m，2m)，B(－n，2n)，m>0，n>0. →＝λPB→得P点的坐标为由AP

m－λn2（m＋λn），， 1＋λ1＋λ

（1＋λ）y22

将P点坐标代入－x＝1，化简得mn＝

44λ设∠AOB＝2θ，∵－θ)＝2，

214

∴tanθ＝sin2θ＝

25又|OA|＝5m，|OB|＝5n，

111

∴S△AOB＝OA|·|OB|·sin2θ＝2mn＝(λ＋＋1.

22λ11111

记S(λ)＝(λ＋＋1，λ∈[2]，则S′(λ)＝(1－．

232λλ由S′(λ)＝0得λ＝1，又S(1)＝2， 189

S()＝S(2)＝ 334

∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ＝AOB

的面积取得最大值，

∴△AOB面积的取值范围是[2，．

§2.4 抛物线复习练习

一．知识回顾

1. 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．

3. 通径：抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦叫抛物线的通径，抛物线y2＝2px(p>0)的通径长为

4. 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质．

p22

①y1y2＝－p，x1x2＝

pppp2p

②|AF|＝x1＋ |BF|＝x2＋|AB|＝x1＋x2＋p＝

21－cosθ21＋cosθsinθp2112

③S△AOB＝θ为直线AB的倾斜角)． ④为定值.

2sinθ|AF||BF|p

⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． ⑥以AF或(BF)为直径的圆与y轴相切．

二. 易错知识剖析

1.抛物线的定义失误．

例题1：到直线x＝2与定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是( )

A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线

答案：D

2.抛物线方程的四种标准形式失误．

例题2：已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________．答案：±4

3.抛物线的性质应用失误．

例题3：已知抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，则它的焦点坐标为________，准线方程________．答案：0) x＝－

例题4：已知A、B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且抛物线的焦点恰为ΔAOB的重心，则直线AB的方程是________． 3

答案：x＝

44.针对小练习

①抛物线y＝8mx2(m＞0)，F是焦点，则m表示( )

A．F到准线的距离； B．F到准线的距离的倒数 11

C．F D．F到准线的距离的倒数的

416111

解析：先化为标准形式：x2＝，则由2p＝，得m＝故选D.

8m8m16p②(2010·四川，3)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( ) A．1 B．2 C．4

解析：抛物线2p＝8，p＝4，则焦点到准线的距离为4，故选C. ③抛物线x2＝4ay(a≠0)的准线方程为( ) 答案：C

D．8

A．x＝－a

a C．y＝－a B．x＝D．y＝a

x2y2

④与椭圆1共焦点的抛物线的标准方程为（）答案：C

2516A．y2＝12x

B．y2＝－12x C．y2＝12x或y2＝－12x D．以上都不对

⑤(2010·安徽，12)抛物线y2＝8x的焦点坐标是________．解析：抛物线y2＝8x，p＝4，焦点F(2,0). 答案：(2,0)

三. 例题剖析

1.抛物线定义的应用: 对抛物线定义的理解，应注意定点不在定直线上，否则轨迹是一条直线，椭圆、双曲线、抛物线都是到定点F的距离和到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹．当01时，表示双曲线；当e＝1时，表示抛物线．注意三者的联系与区别．

例题1: 点M到(4,0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．解析：如图，设点M的坐标为(x，y)，由已知条件，“点M与点F的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1”就是“点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离”．根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线． p

∵4，∴p＝8.∵焦点在x轴的正半轴上，∴点M的轨迹方程为y2＝16x. 2变式训练1:(2010·湖南，5)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 ( ) A．4

B．6 C．8 D．12

解析：y2＝8x的焦点是F(2,0)，准线为x＝－2，如图所示，PA＝4，

AB＝2，∴PB＝PF＝6.答案：B 2.抛物线的标准方程

例题2：试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(－3,2)；

(2)焦点在直线x－2y－4＝0上

解析：(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2px，(p>0)或x2＝2py(p>0)，∵过点(－3,2)，∴4＝－

2p(－3)或9＝2p·2，∴p＝或p＝

4199

∴所求的抛物线方程为y2＝－x，准线方程是x＝；或x2，准线方程是y＝－

3328

(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)，当焦点为p

(4,0)时，4， ∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x，准线方程为x＝－4.

焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.

2∴所求的抛物线的方程为y2＝16x，准线方程是x＝－4或x2＝－8y，准线方程是y＝2. 变式训练2：(2010·山东，10)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若ΔOAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( ) A．y2＝±4x ±8x C．y2＝4x 8x

aaa

解析：由抛物线方程知焦点为F(，0)∴直线l为y＝2(x－)，与y轴交点为A(0．

44211aaa2

∴SΔOAF＝|OA|·|OF|＝|－||＝＝4. ∴a2＝64，a＝±8.故y2＝±8x.故选B.

222416

3.抛物线的性质:掌握抛物线的性质，重点应抓住两点(一个顶点、一个焦点)、两线(一条对

称轴和一条准线)、一率(离心率)、一方向(开口方向)．

例题3：已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2) p22p

求证：(1)x1·x2＝；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝θ为直线AB与x轴的夹角)；

4sinθ

p211

(3)S△AOB＝； (4)为定值； (5)以AB为直径的圆与抛物线准线相切．

2sinθ|AF||BF|pp

证明：(1)∵y2＝2px(p＞0)的焦点F(，0)，设直线方程为y＝k(x，(k≠0)．

22p??y＝k(x－2)(y·y)2p2222

由?消去x得ky－2py－kp＝0①， ∴y1·y2＝－p，x1·x2＝＝.

4p42??y＝2px

pp22

当k不存在时，直线方程为xy1＝p，y2＝－p，则y1·y2＝－p，x1·x2＝24p2

因此，总有y1·y2＝－p，x1·x2＝

B．y2＝D．y2＝

ppp

(2)由抛物线定义：|AF|等于点A到准线x＝－的距离．∴|AF|＝x1＋|BF|＝x2＋222p1p

∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.②，又∵y＝k(x)，∴x＝y.

2k2

12p2p

∴x1＋x2＝y1＋y2)＋p.由方程①知：y1＋y2＝. ∴x1＋x2＝p，将③代入②得

kkk2p112p

|AB|＝＋2p＝2p(1＋)＝2p(1＋)＝kktanθsinθ(3)如图，S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|BF|·sinθ

|OF|·|AF|·sin(π－θ)＋22

111p2pp2＝OF|·sinθ(|AF|＋|BF|)＝·|OF|·|AB|·sinθ＝·sinθ＝2222sinθ2sinθ

x1＋x2＋p1111p2112(4)＝又∵x1·x2＝＋＝|AF||BF|pppp4|AF||BF|p

x1x2＋x1x2＋(x1＋x2)＋

2224常数．

(5)设AB的中点为M(x0，y0)分别过A、M、B作准线的垂线，垂足为C、N、D， 111

则|MN|＝(|AC|＋|BD|)(|AF|＋|BF|)＝|AB|. ∴以AB为直径的圆与准线相切．

222思考：还可以证明①∠ANB＝90°；②以CD为直径的圆切AB于点F等．变式训练3：设A、B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB. (1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；

(2)求证：直线AB过定点；

(3)求弦AB中点P的轨迹方程； (4)求△AOB面积的最小值．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)．

yy(1)kOA＝，kOB＝. ∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.

x1x2

y2y22

∵y1＝2px1，y2＝2px2，∴y1y2＝0. ∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.

2p2p

(2)证明：∵y21＝2px1，y2＝2px2，∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．

y1－y22p2p2p当x1≠x2时，则＝，∴kAB＝∴直线AB的方程为：y－y1＝x－x1)．

x1－x2y1＋y2y1＋y2y1＋y2y22px2px2px2px－2px＋yy2

∴y＝y1－∴y＝＋∵y21＝2px1，y1y2＝－4p，∴y＝y1＋y2y1＋y2y1＋y2y1＋y2y1＋y2－4p22p＋. ∴y＝x－2p)． y1＋y2y1＋y2

AB过定点(2p,0)，设M(2p,0)．当x1＝x2时，AB仍然过定点(2p,0)． 2p2p2p(3)如图，设OA：y＝kx代入y2＝2px得：x＝0，x＝， ∴A(．

kkk

同理，以－k得B(2pk2，－2pk)．∴

??1y＝p(k)?k

1x0＝p(k2＋k

.∵k2＋＝

1xy222(－k)2＋2，∴()2＋2，即y20＝px0－2p.∴中点P的轨迹方程为y＝px－2p.(p＞0)． kpp1

(4)SΔAOB＝SΔAOM＋SΔBOM＝|OM|(|y1|＋|y2|)＝p(|y1|＋|y2|)≥2p12＝4p2，当且仅当|y1|＝|y2|＝

22p时，等号成立，故ΔAOB面积的最小值为4p2. 4.抛物线方程的综合运用

→

例题4：(20102东北三校联考)已知A、B两点在抛物线C：x2＝4y上，点M(0,4)满足MA＝→→→λBM. (1)求证：OA⊥OB；

(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.(ⅰ)求证：点N在一定直线上； (ⅱ)设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．

解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：y＝kx＋4，与x2＝4y联立得x2－4kx－16＝0，Δ＝(－→→

4k)2－4(－16)＝16k2＋64＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－16. OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋→→4)(kx2＋4)＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝(1＋k2)(－16)＋4k(4k)＋16＝0， ∴OA⊥OB. 111211

(2)(ⅰ)过点A的切线：y＝x1(x－x1)＋y1＝1x－x1，① 过点B的切线：yx2x2，②

224242x1＋x2

联立①②得点N，－4)，所以点N在定直线y＝－4上．

2x1＝－λx2，??→→

(ⅱ)∵MA＝λBM，∴(x1，y1－4)＝λ(－x2,4－y2)，联立?x1＋x2＝4k，

??x1x2＝－16.(1－λ)2λ2－2λ＋11964

可得k＝＝λ2,4≤λ≤9， k2≤.

λλλ49

－8

直线MN：y＝x＋4在x轴上的截距为k，

8338

∴直线MN在x轴上的截距的取值范围是[－]∪[]．

3223变式训练4：设F是抛物G：x2＝4y的焦点．

(1)过点P(0，－4)作抛物线G的切线，求切线方程；

(2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足·＝0，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值．

x211

:解析：(1)∵y＝∴y ′＝x. 设切点为P(x0，y0)，切线斜率k＝x0，

4224y＝x，????00?x0＝4?x0＝－4，y0＋41

?∵y0＝，∴x0. ∴?12解得或?

4x02??y＝4y＝4.＝y＋4.??0000??2

x22

∴切线方程为y＝±2x－4.

(2)设AF所在直线的斜率为k，则直线AF：y＝kx＋1，直线BF：y＝－x＋1.

y＝kx＋1，??联立?x2得x2－4kx－4＝0，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4，

y＝.??4∴|AC|＝1＋k16k＋16＝4(k2＋1)．同理得|BD|＝

1＋k

(1＋．＋16＝4·kk

1114k＋16k＋882

∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝34(k＋1)·4(1＋＝8k2＋16 22kkk

≥2

8k2＋16＝32，当k2＝1时取“＝”，故四边形ABCD面积的最小值为32.

四．基础训练题

1．(20102河北石家庄一模)动点P到A(0,2)点的距离比它到直线l：y＝－4的距离小2，则动点P的轨迹方程为( )

A．y＝4x 8x C．x＝4y 8y

解析：由抛物线定义可知，A(0,2)为其焦点，y＝－2为其准线，故动点P的轨迹方程为x＝8y. 答案：D

2．(20102湖北襄樊调研统一测试)抛物线y＝4x的焦点坐标为( ) 1

A．(1,0) B．(0，) C．(0,1)

160)

11p1

解析：将抛物线方程化为标准方程：x2，可知抛物线的焦点在y轴上，由2p＝，

442161

可知焦点坐标为(0，．答案：B

3．(20102四川成都二诊)设抛物线y＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点．若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为( ) A．5

B．8 C．10 D．12

B．y＝D．x＝

1D．(，

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4，又E到y轴的距离为3，∴

x1＋x2

＝3.∴|AB|＝10.答案：C

4．(20102河北衡水中学一模)AB是抛物线y＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( ) A．2 3C.2

5D.2

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB过焦点，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝x1

＋x2＋1＝4，则有

x1＋x2＝3，即C的横坐标为. 答案：C

5．(20102广西四市联合调研)若抛物线y＝2px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则

x2y2

p的值为( ) A．2

C．4

D．－4

B．－2

解析：y＝2px的焦点坐标为(0)，椭圆的右焦点为(2,0)，则有2，故p＝4.答案：C

226．(20102四川宜宾二诊)从抛物线y＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为( ) A．10

D．4

B．8 C．6

解析：由抛物线的定义可知：|PM|＝|PF|＝5，又∵|PF|＝xP＋＝xP＋1＝5，

211

∴xP＝4，yP＝4.∴S△PMF＝3|MP|3yP＝3534＝10. 答案：A

7．(20092四川，9)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )

A．2

B．3 C.5

3716

解析：∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y＝4x的准线，∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛|431－330＋6|

物线的焦点)，所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1的距离为2， 3＋4故选A.

8．椭圆C11的左准线为l，左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，焦

43点是F2，C1与C2的一个交点为P，则|PF2|的值等于( )

4A. 3

x2y2

B.．4 3

D．8

解析：设|PF2|＝m，点P到直线l的距离为d，则由抛物线定义得d＝|PF2|＝m.又由点P在椭圆上，由椭圆第一定义得|PF1|＝4－m，由椭圆第二定|PF1|14－m18义得＝e＝，解得m答案：B

d2m23

9．(20092山东青岛一模)抛物线y＝－2x的焦点坐标为________． 1112

解析：x＝－y＝－2py，焦点为(0．答案：(0，－)

288

10．(20102重庆，13)已知过抛物线y＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.

解析：∵y＝4x，∴p＝2，F(1,0)，又∵|AF|＝2，∴xA＋＝2，∴xA＋1＝2，

2∴xA＝1，即AB⊥x轴，F为AB的中点，∴|BF|＝|AF|＝2. 答案：2

11．一个正三角形的两个顶点在抛物线y＝ax上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a＝________.

解析：设正三角形边长为x，则3＝xsin60°，∴x＝12，当a＞0时，将(63，6)代

2入y＝ax得a＝23，当a2p＝1，

4244

∴AB过焦点是可能的．此时M点到y轴的最短距离是AB当F在

AB上时，设A、B的纵坐标分别为y1、y2，则y1y2＝－p2从而(y1＋y2)2＝y21＋y2＋2y1y2

512＝232. ∴y1＋y2＝±2.此时AB中点的纵坐标为±422525∴当M的坐标为，±)时，M到y.

424

(2)本题考查抛物线上距离的最值，利用几何意义，考查数形结合的数学思想．

?1?如图，焦点F ，0?，当P、A、F三点共线时|PA|＋|PM|才有最小值， ?2?

此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－，即|PA|＋|PM

的最小值为：

1|FA|－2

?712＋42－1＝5－1＝9. 22222??

15．如图所示，已知点A(2,8)，B(x1，y1)，C(x2，y2)均在抛物线

y2＝2px(p＞0)上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合．

(1)写出该抛物线的方程及焦点F的坐标； (2)求线段BC的中点M的坐标； (3)求BC所在直线的方程．

解析：(1)由点A(2,8)在抛物线y＝2px上，有8＝2p22，解得p＝16. ∴抛物线方程为y＝32x，焦点F的坐标为(8,0)．

AF→→

(2)由于F(8,0)是△ABC的重心，M是BC的中点，∴＝2，∴AF＝2FM.

设点M的坐标为(x0，y0)，则(6，－8)＝2(x0－8，y0)，解得：x0＝11，y0＝－4. 故点M的坐标为(11，－4)．

(3)由于线段BC的中点不在x轴上，∴BC所在的直线不垂直于x轴，故设BC所在直线的方

??y＋4＝k(x－11)，

程为y＋4＝k(x－11)(k≠0)．由?2

?y＝32x，?

得ky－32y－32(11k＋4)＝0.

32y1＋y216

∴由根与系数的关系，得y1＋y2＝，由(2)，得＝－4，即＝－4.

k2k∴k＝－4，故BC所在的直线方程为：4x＋y－40＝0.

16．(20102河北唐山一模)过点M(1,1)作直线与抛物线x＝2y交于A、B两点，该抛物线在

A、B两点处的两条切线交于点P.

(1)求点P的轨迹方程； (2)求△ABP的面积的最小值．

解析：(1)设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，代入x＝2y，得x－2kx＋2k－2＝0. 其中Δ＝(－2k)－4(2k－2)＝4[(k－1)＋1]＞0.记A(x1，)、B(x2，)，则x1＋x2＝2k，

x21x22

x1x2＝2k－2.对y＝求导，得y′＝x，则切线PA的方程为y＝x1(x－x1)，

即y＝x1x－.①同理，切线PB的方程为y＝x2x－.②

22由①、②两式得点P的坐标为(

??x＝k，

???y＝k－1，

x2x21

x21x22

x1＋x2x1x2

，2

，于是P(k，k－1)，即点P轨迹的参数方程为

消去参数k，得点P的轨迹方程为x－y－1＝0.

(2)由(1)知|AB|1＋k|x1－x2|＝(1＋k)[(x1＋x2)－4x1x2]＝

(1＋k)(k－2k＋2).

|k(k－1)＋1－(k－1)|k－2k＋2

点P到直线AB的距离d＝ 1＋k1＋k

13322

△ABC的面积S|AB|2d＝(k－2k＋[(k－1)＋1]当k＝1时，S有最小值1.

222

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