断翅的童话
范文一：关于行列式的定义及其计算法
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法%济 职业南学院胡乔林 山东济 南
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$摘 *要 行式的定列义及计其算方是法学数学大的重课内容要! 在 本文中先对行首列进式行三种定了义! 为行 列的式计算使和打用下础 ! 基然后对 行式列计算的作归纳了和总 结"关 键 词 *行列 + 式逆序+ 算法 计列式行各种有不的定同义法方% 了更加为刻深理解行地 列式 的性质 学和习行列的式计算方法% 特是别理一些处关有行式列证的题明% 我 们在这里 介绍列行式三的种定义 & 它们不同的在情下有不况同作用的& 通 第常一种定更义为用 %常但是第二种 第和种定义三某在证明 些 中题有重大 的意义& 积整除的 &! 分$解列法行 %项拆 &法 若行式列的某行% 列&是 行 %两 & 的列和% 行将列式解分为两个 列 式行的 和 &! 变0换素法 !**元!* $$ !*! 令-%
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! 行 列的式定 ’!义设 是"一个! 阶阵方% 的"列式行通常 用" 示表& 我 们用 ("#"$"#""!) "示数码 表#"$ $"! 的任一"列 排 % 用!"(#"$"$" "!* 表示排" 列"#""$"+$"!* 的逆"数 序&则 ! 阶行列式定义如下! # ##! $ $#! !!# $$!$$ !! %$& &# !%"##! "$$ $!"!
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范文二：按行列式定义
习题1.2
1. 按行列式定义,计算下列行列式(要求写出过程):
,,1logatansinabb(1) ; (2) ; (3) ; 22logb11cos,aba
0a01,11a00b0c11,10b0(4) ; (5) ; (6) .
0d0,1110de分析 计算2阶行列式和3阶行列式可用对角线法则.
ab22解 (1) =; ab,ba22ab
1logab1,logalogb (2) =; ,,,110balogb1a
,,tansin (3) =; tan,,cos,,sin,,01cos,
0a0
b0c (4) =;00000000000，，，,，,,，，,,,,,acbdabcd
0d0
1,11
11,1 (5) =111(1)(1)(1)11111(1)，，，,，,，,，，，,，，,
,111
,,，，,，,，,,，，，，,(1)111(1)11111114;
a00
0bc(6) =. abecdbcdaeabeacd，，,,,,,00000000
0de
a2. 在6阶行列式中, 下列项应该取什么符号? 为什么? ij
aaaaaaaaaaaa(1) ; (2) ; 233142561465324354116625aaaaaaaaaaaa(3) ; (4) . 215316426534511332442665
,,(234516)(312645)448，,，,解 (1) 因, 所以取正号;
aaaaaaaaaaaa另一种方法是: =, 因, 所以取正号. (2), ,(431265),6233142561465142331425665
(3), (4) 也可这样做, 不再列出.
(2) 因, 所以取负号; ,,(345162)(234165)7411，,，,
(3) 因, 所以取负号; ,,(251463)(136254)6511，,，,
(4) 因, 所以取正号. ,,(513426)(132465)628，,，,
aaaaaai,3. 当___, =___时成为5阶行列式中一个取负号的项,为什么?k13242553ikij
i和只能取1,4或者4,1.不妨先假设, 则解 ik,,1,4k
,,(13425)(12453)4，aaaaaaaaaa(1)(1)1,,,,，=, 这个项的符号就是, 不符13242553ik1132442553
aaaaaaaaaaaaaaa合要求. 那么当时=, 它和相比就ik,,4,113242553ik14324125531132442553是交换了列指标1和4的位置, 因与相比改变了奇偶性, 所以,(12453),(42153)aaaaa的符号为负. 故应填. ik,,4,11432412553
,,(415)(12345)ki，ai,4. 若是5阶行列式中的一项, 则当___, =___(1),aaaaakij41213455ki
i,时该项的符号为正, 当___, =___时该项的符号为负, 为什么? k
i解 此问和问题3类似, 和只能取2,3或者3,2.不妨先假设ik,,2,3, 则符号为k
,,(43125)(12345)，5(1),(1)(1),,,=, 所以取的是负号. 那么由问题3的分析可知当ik,,3,2时符号取正. 所以当ik,,3,2时该项的符号为正, 当ik,,2,3时该项的符号为负.
aaa5. 写出4阶行列式中包含因子的项, 并指出正负号. 4223ij
aaaaaaa解 参照习题1.1的第6题知, 4阶行列式中包含因子的项有和422311233442ij
aaaaaaaaaaaa,(1342)2,,(4312)5,. 由于，故取正号; ，故取负142331421123344214233142号.
aa6. 写出4阶行列式中所有取负号且包含因子的项. 23ij
a解 类似于第5题可推知, 4阶行列式中包含的项为 23
aaaa,(1324)1, 取负号; 11233244
aaaa 取正号; (也可由(1)取负号推知(2)取正号),(1342)2,11233442
取负号; ,(2341)3,aaaa12233441
aaaa 取正号; (也可由(3)取负号推知(4)取正号),(2314)2,12233144
aaaa 取负号; ,(4312)5,14233142
aaaa 取正号. (也可由(5)取负号推知(6)取正号),(4321)6,14233241
aaaaaaaa所以所求的项为, , . aaaa112332441423314212233441
7. 按行列式定义, 计算下列行列式((4)中, 并均要求写出计算过程):n,1
a000,101000ba,20(1) ; (2) ; 000c03b,000d
aaaaaaaaa11121,11nn,12345
0aaabbbbb21222,1n,12345
(3) cc000; (4) . 12
00dd000aann,,1,11,212
000ee000an112
,101
a,20解 (1)由对角线法则, =(1)(2)(3)00011(2)0,，,，,，，，，,,，,，ab
03b,
,,，,,,,,,,，,,(1)00(3)(6)6baabab;
,()jjjj1234a (2) 根据定义=. (1),aaaa,ij1234jjjj123444，jjjj1234
a000
000baaaa在行列式的通项中, 只有这一项的因子中不含零, 所以11233244000c
000d
,(1324),aaaa原式===. (1),aaaa,abcd1123324411233244
,()jjjjj12345 (3) 根据定义=. a(1),aaaaa,ij12345jjjjj1234555，jjjjj12345
aaaaa12345
bbbbb12345
在行列式的通项中每一个项中最后三个因子cc000aaaaa1212345jjjjj12345
dd00012
ee00012
分别取值于行列式最后三行的不同列的三个数, 而行列式最后三行中均只有aaa,,345jjj345
二个数不为零, 所以这三个因子中至少一个取零. 这样行列式的每一项中都含有因子零, 所
以每项都为零, 从而行列式为零.
,()jjj12na=, 该展开式通项(4) 根据定义aaa(1),aaa,ij12jjnj12jjnj12n12n，nnjjj12n
aaaa11121,11nn,
0aaa21222,1n,
a中取自的第行, 现在第行中除了外其余元素都nnan1njn
00aann,,1,11,2
000an1
j,1为零. 故若, 则对应的行列式展开式中的那一项一定为零, 求和时可不考虑. 因此只n
aj,1要考虑的项. 同样对于行列式的第行中除了和外其余元素都为零, 且an,1n,1,1nn,1,2
2j,1j因, 从而只能取了. 依次类推, 行列式展开式的所有项中除去列指标nn,1
1jjjnn,,(1)1对应的项外都为零. 又因为, 所以原式,,,,((1)1)(1)nnnn12n2
1nn,(1)2(1),aaaa=. nnnn,,12,11,21
aa001114
00aa2223aaaaaaaa,8. 问 = 112233441423324100aa3233
aa004144
为什么错? 正确答案是什么?
解 错, 原因在于没有搞清楚4阶行列式定义而把2,3阶行列式的对角线法则误认为对4
阶行列式也成立. 4阶和4阶以上的行列式没有对角线法则. 正确答案为:
aaaaaaaaaaaaaaaa，,,. 11223344142332411123324414223341
具体解法可参考习题1.4第5题之(3).
DaDa,9. 若阶行列式中元素均为整数, 则必为整数, 这结论(,1,2,,)ijn,nijij
对不对? 为什么?
解 对. 行列式的值是行列式中取自所有不同行不同列的元素乘积的代数和, 而整数经
加,减,乘之后仍然为整数.
0001,
0010,
阶行列式. 10. 计算nn(1),
0100,
,1000
解 方法一 该行列式的展开式只有一项不为零, 即, 而该项带有的符号aaa12,11nnn,
nn(1),nnnn(1)(1),，,((1)1)nn,n222为, 所以原式=. (1)(1),,,(1)(1)(1),,,,,
nnnn(1)(1),，n22 方法二 直接利用第7题第(4)小题的结论得: 原式=.(1)(1)(1),,,,,
范文三：n阶行列式的定义
第二节 n阶行列式的定义
内容分布图示
? 排列与逆序
? 例1 ? 例2 ? 例3
? 引例 ? n阶行列式定义
? 例4 ? 例5 ? 例6
? 对换
? n阶行列式定义的其它形式
? 例7 ? 例8 ? 例9
? 内容小结 ? 课堂练习
? 习题1-2 ? 返回
内容要点:
一、排列与逆序
由自然数1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n级排定义1
列(简称为排列)。
例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列.
(ii？i？i？i)定义2 在一个级排列中，若数 则称数与构成一个逆序.i,i,iintsts12tsn
N(ii？i).一个级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为 n12n
根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:
i(t,1,2,？,n)设在一个级排列中,比大的且排在前面的数由共有个, 则ii？iitn12ntit
的逆序的个数为, 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即 ttii
n
N(ii？i),t，t，？，t,t.,1212nni ,1i
定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
二、n阶行列式的定义
2na(i,j,1,2,？,n)ij定义4 由个元素组成的记号
aa？a11121n
aa？a21222n
？？？？
aa？an1n2nn
称为阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的个元素nn
aa？a乘积的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对1j2jnj12n
应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即
aa？an11121
aa？an21222Njj？j()12n ,(,1)aa？a,1j2jnj12n？？？？jj？j12n
aa？annnn12
|a|其中表示对所有级排列jj？j求和. 行列式有时也简记为det或，这里n(a)ij12n,ijjj？j12n
N(jjj)？12na数称为行列式的元素，称 为行列式的一般项. (,1)aa？aij1j2jnj12n
n!注: (1) 阶行列式是项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所n
带的符号)各占一半;
N(jj？j)12naa？a(,1) (2) 的符号为(不算元素本身所带的符号); 1j2jnj12n
(3) 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆. |a|,a,
三、对换
为进一步研究n阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。
定义5 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续称
为对换。将两个相邻元素对换，称为相邻对换。
定理1 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。
推论 奇排列变成自然顺序排列的对换次数为奇数, 偶排列变成自然顺序排列的对换次
数为偶数.
!个n级排列，其中奇偶排列各占一半. 定理2 n 个自然数(n>1)共有n
定理3 阶行列式也定义为 n
s D,(,1)aa？aijijij,1122nn
N(ii,,,i)，N(jj,,,j)其中S为行标与列标排列的逆序数之和. 即S=。 2n12n1
推论 n阶行列式也可定义为
N(iii),,,12n D,(,1)aa？a,i1i2in,12n
例题选讲:
排列与逆序
例1 (讲义例1) 计算排列32514的逆序数.
例2计算排列217986354的逆序数, 并讨论其偶性.
例3 (讲义例2) 求排列n(n,1)(n,1)？321的逆序数, 并讨论其奇偶性.
n阶行列式的定义
0001
0020D,例4 (讲义例3) 计算行列式 0300
4000
aa？a11121n
0a？a222n例5 (讲义例4) 计算上三角形行列式 (aa？a,0).1122nn？？？？
00？ann
,11,naa？aaab？ab11121n11121n2,naa？aaba？ab21222n21222nD,,D,例6 设 , 证明:D,D.2112 ？？？？？？？？
,1,2nnaa？aabab？an1n2nnn1n2nn
对换
例7 试判断aaaaaa和,aaaaaa是否都是六阶行列式中的项. 142331425665324314512566
例8 (讲义例5) 在六阶行列式中, 下列两项各应带什么符号
(1) aaaaaa; 233142561465
(2) aaaaaa. 324314516625
00010？
00200？
D.例9 (讲义例6) 用行列式的定义计算 ,？？？？？？n
n10000,？
0000n？
课堂练习
N(i432k)N(52j14)，1.若是五阶行列式的一项，则应为何值,此时该(,1)aaaaai,j,ki5423j21k5
项的符号是什么,
0101
10102.用行列式的定义计算下列行列式: . 0100
0011
x112
1x1,13f(x),,3.已知求的系数. x32x1
112x1
范文四：§3n阶行列式的定义
§3 n 阶行列式的定义
一、三阶行列式的结构 二、n 阶行列式的定义 三、小结
一、 三阶行列式的结构
三阶行列式
a11 D = a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 = a11a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21a 32 a 33 ? a13 a 22 a 31 ? a11a 23 a 32 ? a12 a 21a 33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 a13 a 21 a 32 列标排列的逆序数为 偶排列 + 正号
t (312 ) = 1 + 1 = 2,
a11a 23 a 32
a11 ∴ a21 a31 a12 a22 a32 a13
列标排列的逆序数为 奇排列 ? 负号,
t (132 ) = 1 + 0 = 1,
a23 = ∑ ( ?1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a33
二、n 阶行列式的定义
1. 定义 由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和∑ ( ?1)t a1 p1 a2 p2 ?anpn a11 a21 D= ? a n1 a12 ? a1n a22 ? a2 n ? ? an 2 ? ann
记作
简记作 det(aij ).
其中 :
p1 p2 ? pn 为自然数 1， 2， ?，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2 n ( 3) D = ??????? an1 an 2 ? ann =
(
p1 p2 ? pn t( p p ?p ) ( ) a1 p a2 p ?anp ? 1 ∑
1 2 n 1 2 n
指n!个n级排列之和.) ∑ p p ?p
1 2 n
例
计算行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
解:
0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
= ( ? 1)
t ( 4321 )
1 ? 2 ? 3 ? 4 = 24.
例4
证明
λ1 λ2
?
(1) 对角行列式
= λ1λ2 ?λn ;
λn
λ1
(2)
λn
λ2
?
= ( ? 1)
n ( n ?1 ) 2
λ1λ2 ?λn .
例5 计算上三角行列式
解
分析
a11 a12 ? a1n 0 a 22 ? a 2 n ??????? 0 0 ? a nn
a1 p1 a2 p2 ?anpn .
展开式中项的一般形式是
pn = n, pn?1 = n ? 1, pn? 3 = n ? 3,? p2 = 2, p1 = 1,
所以不为零的项只有 a11a22 ?ann .
例5 计算上三角行列式
a11 a12 ? a1n
解
0 a 22 ? a 2 n ??????? 0 0 ? a nn
a11 a12 ? a1n 0 a 22 ? a 2 n ??????? 0 0 ? a nn
= ( ? 1)
t ( 12?n )
a11a 22 ? a nn
= a11a22 ?ann .
例6
D=
1 2 3 4 0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
=?
1 0 D= 0 0
2 4 0 0
3 2 5 0
4 1 = a11 a 22 a 33 a44 = 1 ? 4 ? 5 ? 8 = 160. 6 8
同理可得下三角行列式
a11 0 0 ? 0 a 21 a 22 0 ? 0 = a11a22 ?ann . ???????? a n1 an 2 a n 3 ? a nn
上三角行列式和下三角行列式统称为 三角行列式 注意 如果一个 n阶行列式中等于零的元 素比
n 2 ? n还多，则此行列式必等 于零 .
思考题
已知
f (x) = x 1 3 1 1 x 2 1 1 1 x 2x 2 ?1 1 1
求 x 3 的系数 .
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f (x) = 3 1 1 x 2 1 1 1 x 2x 2 ?1 1 1
对应于
(? 1) a11a22a33a44 + (? 1)t (1234 ) a11a22a34a43
t
(? 1)t a11a22a33a44 = x 3 , (? 1)t (1234 ) a11a22a34a43 = ?2 x 3
故 x 3 的系数为 ? 1.
范文五：n阶行列式的定义
第二节 n阶行列式的定义
介绍线性代数的思想方法及其要点，关于行列式定义的说明以及学习中要特别注意之处
内容要点：
从三阶行列式讲起，应如何定义行列式，对于更高阶行列式定义的启发于思考。
一、排列与逆序
定义1 由自然数1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n级排列(简称为排列)。
例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列. 规定自然数的排列由小到大的次序为标准次序。
若数it?is, 则称数it与is构成一个逆序. 定义2 在一个n级排列(i1i2?it?is?in)中，
一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为N(i1i2?in).
根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:
设在一个n级排列i1i2?in中,比ik(k?1,2,?,n)大的且排在ik前面的数由共有tk个, 则
N(i1i2?in)?t1?t2???tn?
ik的逆序的个数为tk, 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即
?t.
kk?1
n
定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
二、n阶行列式的定义
定义4 由n2个元素aij(i,j?1,2,?,n)组成的记号 a11a21
?
an1
a12a22?an2
?a1n?a2n?? ?ann
称为n阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n个元素乘积a1j1a2j2?anjn的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即
a11a12?a1na21a22?a2n
?(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn
????jj?j
12n
an1an2?ann
?
其中数aij
j1j2?jn
?
表示对所有n级排列j1j2?jn求和. 行列式有时也简记为det(aij)或|aij|，这里
元素，称 (?1)
N(j1j2?jn)
称为
a1j1a2j2?anjn 为行列式的一般项.
注: (1) n阶行列式是n!项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;
(2) a1j1a2j2?anjn的符号为(?1)
N(j1j2?jn)
(不算元素本身所带的符号);
(3) 一阶行列式 |a|?a,不要与绝对值记号相混淆.
三、对换
为进一步研究n阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。 定义5 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续称为对换。将两个相邻元素对换，称为相邻对换。
定理1 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。 借助课件设计的动画形象解释证明思路。
推论 奇排列变成自然顺序排列的对换次数为奇数, 偶排列变成自然顺序排列的对换次数为偶数.
定理2 n 个自然数(n>1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半. 定理3 n阶行列式也定义为
D?
?(?1)a
s
i1j1ai2j2?ainjn
其中S为行标与列标排列的逆序数之和. 即S=N(i1i2???in)?N(j1j2???jn)。
推论 n阶行列式也可定义为
D?
?(?1)
N(i1i2???in)
ai11ai22?ainn,
例题选讲：
排列与逆序
例1 (教材例1) 计算排列32514的逆序数.
例2计算排列217986354的逆序数, 并讨论其偶性.
n阶行列式的定义
00010020
例4 (教材例3) 计算行列式D?
03004000
a11
例5 (教材例4) 计算上三角形行列式
a12a22?0
?a1n
?a2n
(a11a22?ann?0).
???ann
0?0
对换
例8 (教材例5) 在六阶行列式中, 下列两项各应带什么符号 (1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25.
00?01000?200
例9 (教材例6) 用行列式的定义计算Dn???????
n?10?00000?00n
课堂练习
视讲课时间而定，布置课堂练习
1.若(?1)N(i432k)?N(52j14)ai5a42a3ja21ak5是五阶行列式的一项，则i,j,k应为何值？此时该项的符号是什么？
01
2.用行列式的定义计算下列行列式:
00x1
3.已知f(x)?
1010010110. 01
112x1?1
,求x3的系数.
习题布置
1. (1) (3) (5) 32x1
12x3. (1) (3) 4. 11
6. (2) (5)
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