n阶常系数非齐次线性微分方程

范文一：n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法

2009年12月　　　　　　　　　　　　　广西师范学院学报(自然科学版)dec.2009Vol.26No.4

第26卷第4期　　　　　JournalofGuangxiTeachersEducationUniversity(NaturalScienceEdition)

文章编号:1002-8743(2009)04-0097-04

n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法

杨　芳,吴小欢

(广西师范学院数学科学学院)

摘　要:归纳介绍了求n,优缺点,;特解;算子法11　　文献标识码:A

1　引　言

形如

+anx=f(t)n+a1n-1+…+an-1

dtdtdt

n-1

(1)

的方程称为n阶常系数非齐次线性微分方程,这里a1,a2,…,an为常数,f(t)为连续函数.

对于方程(1),可用多种方法求特解,如比较系数法、常数变易法、算子法等.因为算子法要先将方程(1)化成算子形式,再利用算子的性质进行求解,对初学者来说,要求相对较高,相比之下,比较系数法和

常数变易法要求相对较低,只需进行代数运算和积分运算即可,所以一些常微分教材中并未介绍算子法;然而算子法却具备比较系数法与常数变易法无法具有的应用条件,有适用面广、计算量小、准确度

高、简单易行的特点,在求方程(1)特解的过程中发挥着巨大的作用.

因此,本文在研究文献[1～3]的基础上,先归纳总结求方程(1)特解的三种方法-比较系数法、常数变易法与算子法,详细介绍算子法的定义、性质,再通过具体例子分析比较各种方法的优缺点,最后小结各种方法的适用条件,供教学中参考.

2　求方程特解的几种方法

211　比较系数法

仅当方程(1)右端的f(t)为两种特殊类型时,才能用比较系数法求其特解,具体类型及求解过程见文献[2],这里略.

212　常数变易法

此方法对方程(1)右端f(t)的形式未作要求,但要先求出方程(1)对应的齐次线性微分方程的基本解组,再利用常数变易法代入方程(1)求解,关于常数变易法的思想及具体求解过程见文献[2],这里也略.

Ξ收稿日期:2009

-05-11

基金项目:广西师范学院青年科研基金项目(0709B010)

作者简介:杨芳(1980-),女,湖北天门人,讲师,硕士,研究方向:微分方程与生态数学.

?　98?　　　　　　　广西师范学院学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　第26卷

213　算子法

用D(微分算子)表示对t求导的运算,把记作Dx,把n记作Dx,从而把方程(1)记作Dx

dtdtdt+a1D

n-1

x+…+an-1Dx+anx=f(t),记

L(D)=D+a1D

n-1

+…+an-1D+an,(2)(3)

则方程(1)可化为

L(D)x=f.

称(2)为算子多项式,称(3)为方程(1)的算子表示式.

下面1)、2)的内容见文献[1].1)(1)1x122=c1()x1+c2L(D)x2;

(2)若(D=L1D)L2(D)=L2(D)L1(D),则L(D)x=L1(D)[L2(D)x]=L2(D)[L1(D)x];(3)若L(D)=L1(D)+L2(D),则L(D)x=L1(D)x+L2(D)x=L2(D)x+L1(D)x;2)算子多项式L(D)的逆算子(1)逆算子的定义

对于表达式(3),把x=

-1

f(t)记作它的任一个解,则称为算子L(D)的逆算子,也可记为L(D)L(D)

(D).(2)逆算子

的性质L(D)

①L(D)②③

f(t)=f(t);L(D)

f(t)=[f(t)]=[f(t)];

L1(D)L2(D)L1(D)L2(D)L2(D)L1(D)[f1(t)+f2(t)]=f1(t)+f2(t);L(D)L(D)L(D)

(3)逆算子的运算法则

ktkt①若f(t)=e,且L(k)≠0,则f(t)=e;

L(D)L(k)ktkt

②若f(t)=e,且L(k)=0,则()f(t)=e;

LDL(D+k)

③设f(t)为m次多项式,L(0)≠0(即中的常数项an≠0),又按t的升幂展开为级数时,前

L(t)

面的m次多项式记为Q(t),则

f(t)=Q(D)f(t);L(D)

ktkt

φ(t).　　④若f(t)=eφ(t),则()f(t)=e

LDL(D+k)

下节通过具体的例子说明上面三种方法在求方程(1)特解中的作用.

3　例子

例1　求方程x″-x=tsint的特解.

解法1(比较系数法)　原方程右端f(t)=tsint==-,对f1(t)=,设特

2222

解为x1(t)=A+Bt,将x1(t)代入方程x″-x=

中,化简整理有-A-Bt=

,比较同类项得A=

第4期　　　　　　　　　杨芳,等:n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法?　99?

0,B=-

,即x1(t)=-.

对f2(t)=-

,设特解为x2(t)=(A+Bt)cos2t+(C+D)sin2t,其中A,B,C,D为待定常

数,将x2(t)代入方程x″-x=-

中,化简整理有

(4D-5A-5Bt)cos2t+(-4B-5C-5Dt)sin2t=-

4D-5A-5Bt=-

2,从而有A0,==-,=,-4B-5C-5Dt=0

x(t)=x1(t)+xtt-t-t

解法,设原方程的解为x(t)=c1(t)e+c2(t)e,将它代入方

程,c1(t)和c′2(t)的两个方程

ec′1(t)+ec′2(t)=0ec′1(t)-ec′2(t)=tsint

-t-t

解得c′1(t)=

c1(t)=

-t

sint,c′2(t)=--t

esint,由此

tedt-

-t

tecos2tdt,c2(t)=-

-t

tedt+

tecos2tdt,

而形如tecos2tdt和tecos2tdt这样的积分,我们无法通过初等运算求出其原函数,故不能用常数变易法求特解.

解法3(算子法)　-x=原方程可化为x″-1)x=

∫

t∫

,此方程的算子表示式为(D

-2

,所以特解为

D-12

-2D-2

-2D-1

要求x=

-,先求2D-12it

-e2D-1

2it

-2+4Di-5

2it

-D

525

2it

=(cos2t+isin2t)+,10从而x=

-的解为2D1

x1=(cos2t+isin2t)

tcos2t-sin2t,

1025

又x2=

D-12

,故原方程的特解为x(t)=x1+x2=--t

tcos2t-sin2t.

1025

例2　求方程x″+2x′+x=3et+1的特解.

解法1(比较系数法)　因为右端f(t)不是特殊形式,故不能用比较系数法求解.解法2(常数变易法)　应用常数变易法,设原方程的解为

-t-t

x(t)=c1(t)e+c2(t)te,将它代入方程,则可得决定c′1(t)和c′2(t)的两个方程

ec′1(t)+tec′2(t)=0

-t--ec′1(t)+(e

-t-t

-t--te)c′2(t)=3e

t+1

?　100?　　　　　　　广西师范学院学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　第26卷

解得c′1(t)=-3t

c1(t)=-

t+1,c′2(t)=3t+1,由此

(t+1)2+2(t+1)2,c2(t)=2(t+1)2,5

将c1(t),c2(t)代入x(t)中,得原方程的特解为

x(t)=-

(t+1)2e-5

+2(t+1)2e

-t

+2(t+1)2te

-t

(t+1)2e-t.5

解法3(算子法)　原方程的算子表示式为

-t-t

x=23e+1=23e(D+1)D+2D+13e

-t

t+1=-t

t+1-t

D(t+1)23

=-t

t1)2-t(t

(t+2.2232t

例34t+)e.解法f(t)符合类型I的情况,故可设原方程的特解为

2232t

x(t)=t(A1+A2t+…+A24t)e,

其中Ai(i=1,2,…,24)为待定常数,需要求解24个未知数,理论上可取,但实际求解相当麻烦.解法2(常数变易法)　重复前面的过程可求解,但计算繁杂,易出错.

22232t

解法3(算子法)　原方程的算子表示式为(D-4D+4)x=(1+t+t+…+t)e,所以特解为

(1+t+t2+…+t23)e2t=e2t2(1+t+t2+…+t23)=x=2

D-4D+4D2t23425

et+t+t+…+t.

1×22×33×424×25小结　从以上三个例子可以看出:

(1)比较系数法对方程(1)右端函数f(t)的形式作了严格要求,当且仅当f(t)满足文献[2]中的两种特殊情形时,才能用此方法求(1)的特解,否则不行.

(2)常数变易法虽对f(t)的形式未作要求,但需要进行大量积分运算,且计算量大,从例1可知,当f(t)的形式较复杂时,可能无法通过初等运算求出原函数,这也大大缩小了此方法的使用范围.

(3)算子法同时克服了上述两种方法的缺点,具有适用面广、计算量小、准确度高、简单易行的优点,在求解过程中发挥着巨大作用.对初学者来说,在学习了前两种方法之后,可通过适当练习加深对这两种方法的理解;有了一定的理论和实践基础之后,再掌握算子的定义、性质及求解过程,并通过具体例子,采用一题多解的方法体会算子法的应用,融会贯通,加深对知识的理解与领悟,相信这样的教学过程,对学生们今后的学习可起到事半功倍的作用.

参考文献:

[1]白春艳,李明辉.算子方法在微分方程中的应用[J].高等数学研究,2008,3(11):50252.[2]王高雄,周之铭,等.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2006.[3]阮炯.差分方程和常微分方程[M].上海:复旦大学出版社,2003.

[责任编辑:班秀和]

范文二：【毕业论文】n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法

【毕业论文】n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求

解方法

【标题】广义非线性变分包含的带误差的近似点的算法【作者】秦海波【关键词】极大?单调映象广义非线性变分包含带误差的近似点的算法? Hilbert空间【指导老师】金茂明【专业】数学与应用数学【正文】1(引言最近,丁和罗?引入了希尔伯特空间函数的?次微分和?近似映射，并且证明了?近似映射的存在性和?连续性。在这一概念下，丁和罗发展和创新一些新的扰动迭代算法的一类新的广义拟变分包含与非凸泛函。黄和方?研究了一类新的极大?单调映射，并且证明了其预解算子在希尔伯特空间中的Lipschitz连续性。他们还研究和引入了一类新的涉及极大?单调映射的广义变分包含，并利用极大?单调映射预解算子技巧建立了一种解决这类广义变分包含问题的算法。关于变分包含的理论和各种解法学者们进行了大量的研究，取得了大量的研究成果，例如:Ding X?.P.,Luo C.L..Perturbed proximal point

algorithms for generalized quasi-variational-like

inclusion[J]..math.2000,113:153-165?给出了扰动近端点算法广义拟变分包含分析;Fang Y.P.?,N. J. Huang?研究了一类新的一般变分包含极大?单调映射;g?研究了广义隐拟线性变分方程;g?研究了广义变分包含的非紧性映射;Nadler ivalued contraction mappings[J].Pacific ,30?对集值收敛映射进行了研究;Lee C.H.,Ansari? Q. H.,Yao J.C..A? perturbed algorithm for strongly

nonliner variational-like inclusions[J]。Bull?.Aus.2000,62:417-426?提

出了非线性强变分包含的扰动算法;但是对于误差的估计，很多文章并不曾涉及或者比较粗略，这使得我们对算法的准确性估计很不方便，因此本文给出一种带有误差的近似算法，至于最好估计还有待我们去研究。受到这些文献的一些工作的鼓舞,在这篇文章中我们引入和研究了一类新的涉及极大?单调映射广义非线性变分包含，利用极大?单调映射预解算子技巧建立一种新算法来解决这类新的广义变分包含问题。本文是对文献?中相应结果的推广和改进。2(预备知识在这篇文章中，我们命H为一个实Hilbert空间，并赋予范数?和内积?分别命?、?和?代表H的所有非空子集，非空闭子集和Hausdorff度量空间。令?是两个二元单值映射?是三个单值映射S,G,T?是三个集值映射，?是一个多值映射，并且对每个?是一个?极大单调映射。现在我们考虑如下问题:寻求?有:?(2.1)成立，以上问题称为广义非线性变分包含。又如果?对所有?都成立，并且?是一个极大?单调映射时，问题(2.1)又等价于寻找?使得(2.2)选取适当的?以及空间H我们就可以得到一些新的变分包含，变分不等式。并且可以从一般的集值变分包含中得到一些较好的结果，可以解决一些物理和工程技术上问题。首先还是让我们来回忆一些基本概念。定义2.1集值映射?称为?连续的,如果存在常量?对一切?都有?成立。定义2.2命变换?是单值的。映射?称为:1. 关于?在第一分量强单调，如果存在常量?有:?对一切?均成立;2. 关于第一分量?连续，如果存在常量?使得对一切?都成立?。类似地我们可以定义?关于第二分量的?连续性。定义2.3映射?称为:(1)单调的,如果?对一切?都成立;(2)严格单调的,当且仅当?时成立;(3)强单调,如果存在常量?使得?均成立;(4)?连续的,如果存在常量?有?对一切?都成立。定义2.4命?是一个单值映射,集值映射?称为:(1)?单调的,如果?;(2)严格?单调,如果?当且仅当?成立;(3)强?单调,如果存在常量?有?;

(4)极大?单调,如果?是?单调的并且?成立。引理2.1?命?是一个严格单调映射,为极大?单调映射,则我们可以得到如下结论:(1)若由?对一切?,可以推出?，其中?;(2)逆映射?对一切?都是单值的;根据引理2.1?我们可以定义极大?单调映射?的预解算子如下:对一切?。引理2.2命?分别对常量?强单调和Lipschitz连续,是极大?单调映射。于是我们可以定义对?依常数? Lipschitz连续预解算子，即?对一切?都成立。引理2.3对任意给定的?，?是问题2.1的一个解当且仅当?，这里?是一个常数。证明直接可以从?的定义推得。根据引理2.3和Nadler?我们发展了问题(2.1)的一种新的带误差的近似点的算法如下:算法2.1对任意给定的，命?，因为?,由Nadler[7]我们可以得到存在?使得下式成立:?。又命?，以此类推我们得到迭代序列?满足?:?,我们把上式记为(2.3)式从算法2.1我们又可以得到如下算法:算法2.2对任意给定的?我们可以得到迭代序列?满足:?;?;?.3(主要结果定理3.1?令?分别对常量?强单调和Lipschitz连续，?分别对常数是?连续的，映射?分别对常量 Lipschitz连续，?对常量?强单调。命分别关于第一第二分量Lipschitz连续，Lipschitz常数分别为?，并且关于?的第一分量对常数?强单调，?是一个对每个?极大?单调的集值映射。假设存在?对每个?，有?(3.1)?(3.2)以及?。(3.3)于是由算法2.1产生的迭代序列?分别强收敛到?，亦即?是问题2.1的一个解。证明?:从(2.3)，(3.1)和引理2.2我们有(3.4)因为?强单调并且Lipschitz连续，所以我们有:?(3.5)又根据假设我们可有?(3.6)和因为?是Lipschitz连续的，?是?连续的，所以我们有?(3.8)?(3.9)由(3.4),(3.9)得?(3.10)其中?令?，则我们知道当。从(3.2)我们可以知道存在正整数?有?。因此对一切?由不等式(3.10)有?(3.11)其中?。故对一切?我们有?,又因为?，我们得到?，即?是空间?的一个

cauchy序列。设?。从式(2.3)我们有:?(3.12)?(3.13)?(3.14)因为?是一个cauchy序列，从(3.12),(3.14)我们知道?都是cauchy序列。当?令?。另外我们还得到?，由此我们可以推出。因为?，所以对上式等号两端同时取极限?，我们就有?，于是由引理2.3我们就知道?就是问题(2.1)的一个解，证毕～由定理3.1我们有如下结果:定理3.2?令?分别关于常量?强单调和Lipschitz连续，?分别对常数是?连续的，映射?分别对常量 Lipschitz连续，?对常量?强单调。命分别关于第一第二分量Lipschitz连续，Lipschitz常数分别为?，并且关于?的第一分量对常数?强单调，?极大?单调。假如:?并且?，则由算法2.2产生的迭代序列?分别强收敛于?，并且?即为问题(2.2)的一个解。注3.1?改进了参考文献?中的相应结果，并且通过引入误差项?使得结果更加精确，由定理3.2我们看到迭代序列强敛时误差项应该满足的条件是?，?因此此算法总体而言是比较好的。4(总结:在Hilbert空间中利用与极大单调映象相联系的预解算子技巧，引入和研究了一类新的广义非线性变分包含，并且建立了一种新的求解近似解的带误差的近似点的算法，在这种算法中作出的迭代序列带上了误差项，这对于我们认识精确解的深入了一步，这种算法也为我们今后对一些迭代序列的强收敛性判定提供了一种方法。并且带上误差项使得我们能够看出算

法的优劣程度，这是对最近相关文献中的一些相应结论的推广和改进。

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2009年12月

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