范文一：2015秋华师大版数学九上24.6《图形与坐标》word教案2.doc

图形与坐标

教学内容

本节课主要学习图形的变换,如:平移、旋转轴对称、放大或缩小后点的坐标变化. 教学目标

1.知识与技能.

理解点或图形的变化引起的坐标的变化规律, 以及图形上的点的坐标的某种变化引起的 图形变换,并应用于实际问题中.

2.过程与方法.

经历图形坐标变化与图形平移、 旋转、 放大、 缩小等之间的关系, 发展学生的形象思维. 3.情感、态度与价值观.

培养数形结合的思想, 感受图形上点的坐标变化与图形变化之间的关系, 认识其应用价 值.

重难点、关键

1.重点:图形坐标变化与图形变换之间的关系.

2.难点:图形坐标变化与图形变换规律的探究.

3.关键:充分把握平移、旋转、对称、缩放等规律, ? 寻找图形坐标与图形变换之间的 内在联系,渗透互逆的思想.

教学准备

1.教师准备:课件、投影仪、制作投影片.

2.学生准备:预习本节课内容,准备坐标纸.

教学过程

一、创设情境,操作感知

问题牵引 1. (投影显示)

如图,将点 A (-3, -2)向右平移 4个单位长度,得到点 A ,在图上标出这个点,并写 出它的坐标, 把点 A 向上平移 5个单位长度呢?把点 A 向左或向下平移, ? 观察它们的变化, 你能从中发现什么规律吗?再找几个点试一试!

教师活动:操作投影仪,提出问题,引导学生思考,寻找规律.

学生活动:在坐标纸上动手画图,感受其规律,并与同伴交流,归纳点的移动规律. 形成规律,在平面直角坐标系中,将点(x , y )向右或(左)平移 a 个单位长度,可以 得到对应点(x+a, y ) ,或(x-a , y ) ;将点(x , y )向上(或向下)平移 b? 个单位长度, 可以得到对应点(x , y+b)或(x , y-b ) .

拓展延伸:对一个图形进行平移, 这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化; 反过 来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移. 二、范例学习,应用所学

1.例:如图,三角形 ABC 三个顶点的坐标分别为 A (4, 4) , B (3, 1) , C (1, 3) . (1)将△ ABC 三个顶点的横坐标都减去 5,纵坐标不变,分别得到 A ′、 B ′、 C ′, ? 依次连接 A ′、 B ′、 C ′各点, 所得△ A ′ B ′ C ′与原△ ABC 大小、 形状和位置上有什么关系? (2)将△ ABC 三个顶点的纵坐标都减去 4,横坐标不变,分别得到点 A ″、 B ″、 C ″, 依次连接 A ″、 B ″、 C ″各点,所得△ A ″ B ″ C ″与△ ABC 大小、 形状和位置上有什么关系?

2.教师活动:操作投影仪,讲例.

学生活动:观察、应用前面总结的坐标平移规律,解决例题.

思路点拨:所得△ A ′ B ′ C ′与△ ABC 形状、大小完全相同.△ A ′ B ′ C ′可以看作将三 角形 ABC 向左平移 5个单位长度得到.类似地有△ A ″ B ″ C ″与△ ABC 形状、 ? 大小不变,且 是由△ ABC 向下平移 4个单位得到的.

三、随堂练习,巩固深化

如图,三角形 ABC 中任意一点 P (-2, 2)经平移后对应点为 P 1(3, 5) , ? 将三角形 ABC 作同样的平移得到△ A 1B 1C 1,求点 A 1, B 1, C 1的坐标.

思路点拨:本题给出 P (-2, 2)与 P 1(3, 5)的坐标.应从 P 、 P 1中找到一般规律:P → P 1是将 P 点横坐标都加上 5,纵坐标都加 3得到 P 1坐标,由此,可得到 A 1、 B 1、 C 1坐标. 学生活动:动手画图,感受变化.

教师活动:归纳本练习与例题的异同点,从而找出一般规律.

四、继续探究,合作交流

1.阅读理解:课本 P76例.

问题延伸:在课本图 24. 6. 4中,△ AOB 关于 x 轴的轴对称图形是△ A ′ OB , ? 对应顶 点的坐标有什么变化?

教师活动:提出思考问题.

学生活动:应用轴对称观点得出 O 、 B 两点坐标不变,点 A 坐标与点 A? ′坐标关于 x 轴 对称,即点 A ′(2, -4) .

评析:本题是从对称的观点,探究图形的变化.关于 x 轴、 y 轴对称点的坐标的特点应 该把握好.即:关于 x 轴对称的点, x 坐标不变, y 坐标互为相反数,关于 y 轴对称的对称 点, y 坐标不变, x 坐标互为相反数.

问题拓展:请同学们在课本图 24. 6. 5上画出△ OAB 关于 y 轴对称的图形并写出相应 的坐标.

学生活动:动手动图,进行比较.

教师活动:在学生讨论的基础上归纳.

2.动手操作.

课本 P77试一试.

学生活动:在课本 P77上画出“试一试”中的图形, ? 观察变换前后的对应顶点的坐标 变化情况,然后与同伴交流.

教师活动:在学生讨论的基础上归纳.说明 x 轴对称点的特点.

3.继续探究

问题牵引 2.

课本图 24. 6. 7表示△ AOB 和它缩小后得到的△ COD ,你能求出它们的相似比吗? 学生活动:从图形中观察可以很容易地得到 OD=2, OB=4,它们的相似比为 1:2,且△ OCD 与△ OAB 的位似中心为点 O .它们的顶点坐标变化是:横、 ? 纵坐标都是原坐标的,即 C (1, 2) , D (2, 0) ,但是点 O 坐标不变. (这是特殊点)

教师归纳:从上例可以得到在对图形进行放大或缩小时, 变换前后的横、 横坐标与相似 比有关系.

拓展延伸:请同学们将图 24. 6. 7中△ AOB 放大 3倍,并感悟其变化.

学生活动:小组合作交流,从比较中掌握规律.

五、随堂练习,巩固深化

如图,将网格中的小船进行如下变换:

1.写出小船各顶点坐标.

2.将上述小船的各顶点纵坐标都乘以 -1,画出变化后的图形.

3.你能将小船向左平移 3个单位,然后再放大 2倍吗?试一试.

六、课堂总结,提高认识

由学生自己进行小结,在形式上可以分四人小组,在小组小结后再在大组总结. 七、布置作业,专题突破

1.课本 P78习题 24. 6第 2题.

2.选用课时作业设计.

八、课后反思(略)

第二课时作业设计

1.如图,△ ABC 中, A 、 B 、 C 三点坐标分别为(-1, -1) , (4, 1) , (1, 3) .

(1)求△ ABC 面积.

(2)将△ ABC 向上平移 1个单位,再向左平移 3个单位,写出平移后的△ A 1B 1C 1的顶点 坐标.

2.如图,象棋盘上,若 ○

帅 位于点(1, -2) , ○ 相 位于点(3, -2) , ? 请你求 ○

炮 位于点的 坐标.

3.在平面直角坐标系中(如图 24. 6-15) ,描出下列各点:

(0, 0) , (-1, -2) , (3, 0) , (-1, 2) , (0, 0) , (-2, 1) , (-2, -1) , (0, 0) 并将点用线段依次连接起来,观察得到的图形,你觉得像什么? ? 如果将这个图形放大 2倍,你能写出放大后相应的坐标吗?

答案 :

1.提示:作长方形将△ ABC 框住,化不规则为规则

2. (-2, 1) 3.略

范文二：2015秋华师大版数学九上25.2.1《概率的意义》word教案.doc

《概率的意义》教案

一 教学目标

1.知识与技能:(1)正确理解概率的意义;

(2)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题; 2.过程与方法:通过对现实生活中的“掷币” , “游戏的公平性” , 、 “彩票中 奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方 法。

3.情感态度与价值观:通过对概率的实际意义的理解,体会知识来源于实 践并应用于实践的辩证唯物主义观,进而体会数学 与现实世界的联系。

二 重点与难点:

重点:对概率含义的正确理解及其在实际中的应用;

难点:随机试验结果的随机性与规律性的联系。

三 学法:试验观察 自主探究

四 教学过程

复习引入

1.请大家回忆一下随机事件发生的概率的定义?

2.频率与概率的有什么区别和联系?

区别:

联系:

3、谁能说一说掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为 1/2的含义? 学习新课

1. 概率的正确理解

思考:有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为 0.5,那么连续两次抛 掷一枚质地均匀的硬币, 一定是一次正面朝上, 一次反面朝上。 你认为这种想法 正确吗?

探究:每人各取一枚同样的硬币,连续两次抛掷,观察它落地后的朝向,并 记录下结果,填入下表。重复上面的过程 10次,把全班同学试验结果汇总,计 算三种结果发生的频率。

做实验:每个同学连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币, 统计全班同学的实验

通过上述试验,你得到什么结论?

思考:如果某种彩票的中奖概率为

1000

1, 那么买 1000张这种彩票一定能中 奖吗?(假设该彩票有足够多的张数。 )

题型一 概率的正确理解

例 1:某射手击中靶心的概率是 0.9,是不是说明他射击 10次就一定能击中 9次?

2. 游戏的公平性

大家有没有注意到在乒乓球、排球等体育比赛中,如何确定由哪一方先发 球?你觉得那些方法对比赛双方公平吗?

探究:某中学高一年级有 12个班, 要从中选 2个班代表学校参加某项活动。 由于某种原因, 一班必须参加, 另外再从二至十二班中选 1个班。 有人提议用如 下的方法:掷两个骰子得到的点数和是几, 就选几班, 你认为这种方法公平吗?

3. 决策中的概率思想

思考:连续 掷骰子 10次, 结果都是出现 1点, 你认为这枚骰子的质地均匀 吗?为什么?

题型二 概率的应用

例 2:设有外形完全相同的两个箱子,甲箱有 99个白球和 1个黑球,乙箱 有 1个白球和 99个黑球,今随机地抽取一箱,再从取出的一箱中抽取一球,结 果取得白球.问这球是从哪一个箱子中取出的?

4. 概率与预报

思考 :某地气象局预报说 , 明天本地降水概率是 70%,你认为下面两个解释中 哪个能代表气象局的观点 ?

(1)明天本地有 70%的区域下雨 ,30%的区域不下雨 ; (2)明天本地下雨的机会是 70%.

生活中,我们经常听到这样的议论:“天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根 本一点雨都没下,天气预报也太不准确了” , 学了概率后,你能给出解释吗?

5.试验与发现

奥地利遗传学家孟德尔(G .Mendel,1822~1884)用豌豆进行的杂交试验。

6.遗传机理中的统计规律

孟德尔通过豌豆进行杂交试验的进一步研究发现了生物遗传的基本规律 . 课堂练习 :

五.课堂小结:

本节课我们学习了哪些内容?你能具体总结一下吗?

作业: P126 3 P134 4

范文三：2015秋华师大版数学九上23.1《成比例线段》word教案1

23.1 成比例线段

教学内容

在小学学过数的比，比的前项、后项，数所成的比例，比例的项、外项、内项，及比例的基本性质等知识的基础上，本节课主要介绍了线段的比、成比例线段等概念，比例的性质以及有关运算(

教学目标

1(知识与技能(

初步认识成比例线段、掌握比例的基本性质以及实际应用(

2(过程与方法(

经历问题情境的引入过程，借助代数推理的方法理解比例线段和比例的基本性质，通过引入比值的这种方法，贯通比例的性质(

3(情感、态度与价值观(

培养学生积极的情感、态度，认识数学中丰富的人文价值(

重难点、关键

1(重点:理解成比例线段、学会应用比例的基本性质(

2(难点:理解和应用比例的基本性质(

3(关键:把握“比值k”的方法，揭示其本质,k，表示a是b的k倍(

教学准备

1(教师准备:多媒体课件、投影仪(

2(学生准备:预习本节课内容(

教学过程

一、回顾交流，迁移知识

1(教师引导(

课本P45试一试，请同学们完成，并从中思考它们的关系((如课本图24(2(?1)

学生活动:完成课本P45试一试，并讨论(

教师活动:我们知道，选定一个长度单位，如米、厘米等，可以量出一条线段的长度，如果选用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是

ma:b=m:n，或写成,( n

注意:和数的比一样，两条线段的比a:b中，a叫做比的前项，b?叫做比的后项(

学生活动:回顾小学学过的知识，把数比迁移到式比(

2(导入新课(

c 四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，那,，那么这四条线段da、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段(

c 教师提问:如果四条线段a、b、c、d是成比例线段，即=，那么ad=bc吗, d

c 思路点拨:可以通过引入比值k的方法，借助代数推理得到证明:设=,k，?那么a=kb，dc=kd，ad=kb?d=b?kd=bc(

学生活动:与教师共同探究(

cc 评析:书中比例性质，突出了:若=，则ad=bc;若ad=bc，则=，?这是比例的基dd

c本性质(该基本性质表明，“比例式”(=)和“等积式(ad=bc?)是可以互相转化的，由d

dbddcad=bc还可以得到7个比例式:(1)=;(2)=;(3)=;(4)=;(5)=;(6)bdccddb=;(7)=( bd

二、范例学习，加深理解

1(例1:A、B两地的实际距离AB=250m，画在图上的距离A′B′=5cm，?求图上的距离与实际距离的比(

思路点拨:取米作为共同的长度单位，那么AB=250m，A′B′=0.05m，这样，AB``0.051( ,,AB2505000

评析:在地图或其他工程图纸上，都标有比例尺，?比例尺就是图上长度与实际长度的比(

2(例2:已知如图所示，在Rt?ABC中，?C=90?，?A=30?，

ABAC斜边AB=2，求，( BCAB

2222ABBC,,,213 思路点拨:本题利用勾股定理，可得BC=1，AC==，这样ABAC3==2，=( BCAB2

教师活动:操作投影仪，引导学生共同解决范例，从中巩固知识(

学生活动:参与例1,例2的学习(

评析:线段的比应注意以下几个问题:

(1)a:b=k，证明a是b的k倍(

(2)由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数(

(3)比与所选线段的长度单位无关，求比时两条线段的长度单位要一致(

(4)除了a=b外，a:b?b:a，与互为倒数(

三、合作交流，拓展延伸

探究问题((投影显示)

cab，cd，如图24((1)已知=,3，求和( dbd

cab，cd，(2)如果==k(k为常数)，那么=成立吗,为什么, dbd

点评:设置本例的目的在于巩固，强化对比例基本性质的理解和认识，同时介绍一种方法??引入比值k，利用这种方法，可以将比例的大部分性质加以证明(

cab，33bbcddd，，，,,4, 解:(1)==3，得a=3b，c=3d，因此==4( dbbdd

ab，cd，c (2)=成立，理由是:由于==k，得a=kb，c=kd( bdd

ab，kbbcdkdd，，，,，,k1, 因此==k+1( bbdd

ab，cd， 故= bd

师生活动:教师引导学生分成四人小组，讨论交流，而后派代表上台演示(

四、课堂练习，巩固深化

1(课本P47练习(

2(探研时空(

(1)如果1:x=0.4:3，求x的值(

ab (2)如果，那么(a-b):b等于多少, ,74

ADAE3(如图:，且AD=3cm，DB=2cm，AC=4cm，求AE、EC的长度( ,DBEC

cac， 4(若==2，求的值( dbd，

教师活动:组织学生训练，巡视、引导，答疑(

学生活动:分四人小组学习(

五、课堂总结，提高认识 提问:

1(怎样的四条线段才能构成成比例线段,

2(成比例线段的基本性质有哪些,

3(怎样检查所做的比例变形是否正确,

师生活动，交互式小结，交流(

六、布置作业，专题突破

1(课本习题24(2第1、2、3题(

2(选用课时作业设计(

七、课后反思(略)

第一课时作业设计

1(如果2: 3=(5-x):x，那么x=________(

5，x 2(如果=(a、b均为正数，且a?b)，那么x=_______( x

xy， 3(如果=，那么x:y=_________( y

4(线段a=10cm，b=100cm，则=( )

1 A(10 B( C(100 D(以上结论都不对 10

xy, 5(若4x-5y=0，则的值为( ) x

1 A(5 B( C( D(5 10

6(延长线段AB到C，使BC=2AB，求(1)AC:AB;(2)AB;BC;(3)BC:AC(

7(一木杆长4米，竖立于地面影长2米，此时测得一烟囱影长为12.5米，?求这个烟囱的高(

答案:

5,b 1(3 2( 3(4:3 4(B 5(C 6(略 7(25米 ab,

范文四：2017华师大版数学九上24.1《相似的图形》word教案.doc

24.1 相似的图形

教学目标:

理解相似形的概念,了解相似形是两个图形之间的关系。由于需要的不同,要制定出 大小不一定相同的图形,培养学生的观察能力

教学过程:

一、导入新课

挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片, 供同学观察, 并看课本第 42页的图,提出问题:这几组图片有什么相同的地方呢 ?

这些图片大小虽然不一样,但形状是相同。

二、讲解新课

由于不同的需要,我们用同一底片冲洗、 放大得到的相片有 1寸的,也有 2寸的, 也有 更大的,这些大小不一样的相片,其形状是相同。 同学们想一想, 在毕业证书贴的相片与学 籍卡片 上的相片、 学习证的 相片大小不一定一样, 但形状相同, 如果不相同会有什么后果 呢 ? 大小不相同的中国地图或世界地图,其形状也是 相同的, 只是由于需要的不同,印制 成大小不一的图片。 对于某一地区, 也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、 山岗等所处的 位 置都是相同,同学们想一想,如果两张地图 (同一地区 ) 的形状不一样,那就会 给我们许 多错觉,就会产生许多麻烦的事情。

在日常生活中我们会 看到许多这样形状相同,而大小不一定相同的图形。 在数学上, 我们把具有相同形状的图形称为相似形 。同学们 你还能 说出哪些相似的图形吗 ?

(同学们思考、讨论、交换意见 ) 国旗、国旗上的五角星。画 一个图形放在投影机上映 射到屏幕上的图形与原图、平 面镜上看到你自己的像等。

如图所示的是 一些相似的图形。

想一想:放大镜下的图形和 原来的图形相似吗

你看过哈哈镜吗 ? 哈哈镜中的形像与你本人相似吗 ?

还有一些图形,看 起来有点相像,但它们不是相似的图形。

为什 么有一部 分图形看起来相像,但不相似呢 ? 这就是数学上说的相似图形还有其特 征,就 是这章要探 索的内容。

三、课堂练习

课本第43页试一试,你能画出两个或更多的相似形吗 ?

四、小 结

形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形 ,相 似形在日常生 活中 经常碰到。 五、作业

范文五：华师大版数学九上26.2《模拟实验》word知识拓展

九年级上第26章第2节模拟实验知识拓展

我们是不是该相信小概率事件？

一、什么是小概率事件？

小概率事件，字面意义就是发生的可能性极小的事件。比如，北京地区出现日全食；山西洪洞发生里氏5级地震，新疆吐鲁番地区下了一场暴雨，小行星撞地球等等。以上这些是发生在自然界的小概率事件，发生在人类社会的小概率事件诸如上证指数突破2000点，某特定国家通过允许同性恋的法律，某两个国家统一等等。至于发生在日常生活中的小概率事件，也是不胜枚举，如某个特定的人中了彩票头奖，某日某地有人跳楼自杀，等等。

小概率事件是要和不可能事件，也即无概率事件区别开的。所谓不可能事件，就是指完全不可能发生、概率为零的事件。不可能事件可以分为三类。第一类，如某人某时刻既在甲地又在乙地，世界上既有能刺穿一切盾的矛又有能抵挡一切矛的盾等等，属于自相矛盾的事件，违反了逻辑，也就绝对不可能发生。这类不可能事件显然没有研究意义。

第二类，如日本没有进行南京大屠杀、诸葛亮的隐居地在河南南阳而不是湖北襄阳等等，是对于历史上确凿发生过的事件的否定，也即对必然事件的否定，其概率自然为零。但是这种不可能事件在统计学上也没有研究意义，因为统计学更多地是关注在一定条件下可以重现的事件以及一般性的事件，而不是永远无法重现的个别事件。

不可能事件的第三类，如永动机、常温常压下纯冰在零摄氏度以下自发融化、地球接收到三秒钟前太阳发射的光线等等，违反了最基本的自然规律，也是对必然事件的否定，因而发生的概率也为零。永动机违反了热力学定律；常温常压下纯冰在零摄氏度以下融化违反了冰的相图，实质也是违反了热力学第二定律；地球接收到三秒钟前太阳发射的光线则违反了相对论“真空光速不变”的原理。不过，某些这一类的不可能事件的判定不是很简单的，后文还要提及

二、基本的概率计算方法

小概率事件彼此也可以相差很大的。例如，同样是发生里氏5级以上地震，在日本和在山西洪洞的概率就明显不同。日本几乎每年都会发生至少一次里氏5级以上地震，而山西洪洞发生里氏5级以上地震的概率大约是200年～300年一遇（同一地震序列中的几次5级以上地震按一次计算）。又如同样是干旱地区，吐鲁番和南美洲智利阿塔卡马沙漠的暴雨概率也大为不同。1958年8月14日，吐鲁番突降36.0毫米的暴雨，引发山洪泛滥；这种暴雨在有记录以来的阿塔卡马沙漠地区还从未出现——相反，阿塔卡马沙漠曾创造了1845-1936年间整整91年没有降水的纪录。

要对小概率事件发生的可能性有正确的认识，就必须估计出小概率事件的概率。概率计算的最基本方法，是先估计出与该事件互不相容（即永远不可能同时发生）的所有事件的数目，则该事件包括的所有情况的数目与所有这些互不相容事件的数目之比，就是该事件的概率。最直观的例子是掷骰子。骰子共有六面，掷一次骰子得到某一点值就有六种可能，而且是互不相容的。因此，全部互不相容事件的数目是6。假如我们要算掷一次得到1点的概率，这个事件只有一种可能，所以其概率为1/6。假如我们要算掷一次得到点数为3的倍数的概率，因为这个事件包含两种情况（3点和6点），所以其概率为2/6=1/3.

这种基本方法有两个局限：第一，它所计算的事件如果要发生，只能发生一次；第二，它所计算的事件是瞬间决定的，而不是一个连续的过程。但是这两个局限并不难突破。对于多次发生的事件，可以应用独立事件的积的办法计算某一事件的概率。所谓独立事件，是指两件或两件以上事件彼此之间互不干扰，一件事发生与否对另一件事的概率没有影响。如两次彩票的头奖号码，因为抽奖过程是完全独立的，因此第二次彩票的头奖号码有可能和第一次相同，而不会有意避开。显然，在考虑几次事件联合发生的概率时，总的互不相容事件的数目是每一独立事件的互不相容事件数目的乘积。如掷两个骰子，第一个骰子有6种可能，第二个骰子也有6种可能，总可能性就是6×6＝36种。因此，总概率也就是每一独立事件发生的概率之积。例如掷两个骰子出现两个6点，每个骰子出现6点的概率是1/6，总概率就是(1/6)×(1/6)＝1/36。

如果事件发生的次数再多，应用简单的四则计算就会感到计算量庞大而难以算出结果。而对于连续性发生的事件，也不能用硬性分割的办法把它简化为瞬间发生的多次独立事件。幸而高等数学已经解决了这个问题。极限概念的引进为解决复杂的概率计算提供了理论基础，微积分就是极限概念的应用。应用微积分来计算概率，也就成为统计学的基础。

三、小概率事件的估计方法

不同的小概率事件，有不同的各具特色的概率估计方法，概率值的表达形式也不相同，但都体现了上述基本的计算方法。例如，对地震、旱灾、洪水之类自然灾害的概率，我们常常用“××年一遇”这种表达形式。仍以洪洞地区地震为例。自有史料记载以来，1303年9月25日在城关镇-赵城镇（当时为洪洞县和赵城县）发生了大地震，据史籍文献里的烈度推算，震级为里氏8级；1695年5月18日，在洪洞南部的临汾发生八级大地震，强烈波及洪洞地区。如果再算上一些震级较小的破坏性地震，洪洞地区5级以上破坏性地震的概率大约是两三百年一遇。

需要说明的是，这种通过史籍的记载来进行自然灾害的统计和概率估计的方法是中国特色的，因为只有中国保留下来了如此众多而完备的各种史籍。对于缺乏史籍的国家和地区，对自然灾害的统计和概率估计，只能通过自然调查的方法。

又如对外星人来访的概率估计。首先是分析事件发生的原因。外星人来访有两个前提条件，一是生命能够存在，二是生命能够进化到智慧生命并且发展到宇航时代。影响这两个前提条件的必备因素是很多的，首先必须要求恒星是稳定的主序星，温度不能过热，而且是单一存在，不是双星或多星系统；其次，行星大小适中，有足够的水和大气，与恒星的距离适中，轨道偏心率不能太大；再次，有足够的时间供生命演变，也即宇宙环境要稳定，在行星系统30光年内的所有恒星都必须保证在这一时间段内不发生灾变。如果对每一个原因都利用现有的天文观测资料进行慎重的估计，文明世界在银河系内发生的可能性只有不到10^(-6)，换句话说，银河系的四千亿颗恒星里，可能存在宇航时代文明世界的恒星不到四十万个，即文明世界的平均半径达70光年。这一计算方法首先由SETI 工程的先驱者、美国天文学家弗兰克·德雷克(Frank Drake)提出，德雷克因此建立了一个计算概率的公式，称为德雷克公式。德雷克公式清晰地告诉我们，即使按最保守的估计，外星人来访的可能性也不会比你猜中一个随机生成的六位数更大。

同样，对于社会和日常生活中的小概率事件的统计和概率估计，也有自己独特的方法。但总不外乎原因分析、建模和调查这几种基本方法。统计学发展到今天，已经是一门严谨精密的科学，在自然科学和社会科学的研究中得到了越来越多的应用。例如统计热力学，就是统计学方法和物理学的完美结合。社会科学的研究更离不开统计学，因为社会发展的规律本身就是以统计性为其特征的。因此，掌握统计学的基本原理，已是对从事各种研究的学者的最起码要求。

四、有意义和无意义的小概率事件

以上对小概率事件及其概率估算方法做了简单的分析。分析结果是需要应用于实践的。对小概率事件估算出来的概率值，可以科学地决定我们的决策。这时我们就需要判定，哪些小概率事件是有意义的，哪些小概率事件是无意义的。因此，判断小概率事件是否有意义，就是判断它对于我们的实践是否有影响。这体现了对小概率事件的意义判断的“实用性” 首先，概率本身的大小是一个重要的判定依据。如果一个小概率事件的概率太小，比如，低于10^(-5)量级，那么在绝大多数情况下，它对于实践的影响可以忽略，也就因此是没有意义的。比如月亮从天上掉下来，严格地说，这也是小概率事件，因为既然地球对月亮有吸引力，它从天上掉下来是理论成立的。那么这种事件发生的概率是多少呢？同样先要找原因。

月球掉下来的最可能原因不外乎三种：一，有小行星撞过来，改变了它的运行轨道；二，外星人所为；三，地球人自己所为。前两种的概率都不到10^(-7)，而第三种，在最近几十年内，概率趋近于零。三种原因合起来考虑，这一事件发生的概率至多是2×10^(-7) ，尽管不是零，但却足以被认定是无意义的。因此，不会有任何一个国家准备足够的核弹头，以备万一月球下坠时发射、以改变其运行轨迹、使之飞离地球或回到原轨道之用。

其次，实践的精度也是一个重要的判定依据。如果做一件事不需要太多的考虑，也就是说，不需要太高的精度，那么凡是低于这个精度的不确定性都可以不在考虑之列，也就因此是无意义的。比如计算月球轨道，如果只是为了定农历的初一，那么至多考虑地球引力、太阳引力、岁差等三四项就可以了；如果要精确计算的话，大行星的摄动之类也必须考虑进去。二十世纪初，英国天文学家E.W. 布朗(E.W. Brown)在精密的观测和天体力学理论的基础上，建立了新的月球运动理论，并以毕生精力投入到月球轨道计算中去。他所考虑的影响月球轨道的因素，就有几百项之多。这对于尖端的天文学应用（例如后来的人造卫星发射和控制）当然是十分有意义的，但对于编制农历，考虑这么多的因素就无意义了。

再次，考虑小概率事件的发生时，需要注意到它的发生频率不均性。小概率事件的发生概率只能是在一定范围内平均而言，但分布可以是不均的。例如我们常常说我国是多地震国家，但地震在时间和空间上都分布不均。比如，我们不能要求地震很少的江西省盲目加大抗震基础设施建设，那样是对资金的浪费，自然是无意义的。国家颁布的中国地震烈度区划图就是根据不同地区不同的地震发生频率制订的，有效地避免了抗震措施的盲目采取和资金的浪费。又如，1976年7月28日唐山地震后，围绕如何重建唐山展开了争论。如果按唐山地震的最大烈度XI 度设防，则需要的建设资金过高，新唐山难以重建。因此，在地震学者的详细勘察之后，认定五十至一百年内，唐山地区不会再发生5.0级以上地震。于是把唐山地区的烈度区划定为VIII 度区。这时候，1976年的唐山地震最大烈度高达XI 度这一小概率事件对于今年五十至一百年这个时间区段内的城市抗震建设就是无意义的了。

划分小概率事件的有意义和无意义，可以使我们科学地对各种可能影响实践的因素进行取舍，从而使我们的决策具有最大的合理性。这也是运筹学的基本思想。

五、小概率事件和不可能事件的分辨

小概率事件以其概率小，有时是容易和不可能事件混淆的。如何区分小概率事件和不可能事件，不是一件简单的事情。首先，确实得承认某些情况下的区别是一个历史范畴，也就是说，随着科学技术的进步，某些被判定是不可能的事件可能成为小概率事件，而某些被判定是小概率的事件可能成为不可能事件。但是，这种分辨标准的变化只是个别标准的变化，而

不是全部标准的变化。科学技术的发展是对宇宙客观规律的不断深入认识，是一个趋近绝对真实的过程，这就好比岩石在海中沉积，不断会有新的岩层生成，而老的岩层并未消失，而是成为新岩层的基础和支撑。承认个别判定标准的变化，决不是为了推而广之，认为整个科学体系的判定标准都有问题。

比如，惰性气体在发现之后的半个多世纪内，一直认为绝对不能与其他元素化合。但1962年，加拿大化学家巴特列(N. Bartlett)率先合成了第一种惰性气体的化合物——六氟络铂酸氙，开创了惰性气体化学这一崭新的无机化学分支，也使人们不得不把惰性气体改称为“稀有气体”，以图名正言顺。但是，在常温常压的大部分情况下稀有气体是无法和其他物质反应的，氦、氖、氩三种稀有气体至今没有拿到化合物，说明稀有气体的化学反应只是小概率事件。这是不可能事件转变为小概率事件之一例。 又如，1898年，英国物理学家凯尔文(W.T. Kelvin)曾忧心忡忡地认为，随着工业文明的不断发展和人类数目的不断增多，地球上的氧气在500年之内就会耗光，人类就会灭亡。事实上，早在1772年，英国化学家普利斯特里(J. Priestley）就发现了光合作用，以后的科学家陆续发现，光合作用消耗二氧化碳，制造氧气，恰恰和呼吸作用相反。生态学的发展使人们确立了碳循环、氧循环的概念，知道在尊重自然规律的前提下，人类的活动不会造成地球上的碳循环和氧循环失衡，生态环境会一直保持下去，因而，凯尔文的担心只是杞人忧天。这又是小概率事件转变为不可能事件的例子了。

但是需要指出的是，这种小概率事件和不可能事件的区别，仅仅是哲学层面上的意义。在实践层面上，一旦认定某小概率事件是“无意义”的，那么它和不可能事件也就没有任何区别。这就像是用计算器计算，如果你不停地用2除1，在一直不断地按等号之后，最后肯定会得到一个零。尽管从理论上讲，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，但计算器把若干次操作之后的结果，和真正的零等同起来，也就说明小概率事件和不可能事件的哲学层次区别，不能简单地套用在实践中。

六、小概率事件的另一个层面性

前面讲到了小概率事件有意义和无意义的一个层面性，即哲学层面和实践层面的区别。小概率事件的另一个层面性，是个体层面和一般层面的区别。事实上这也只不过是事物的种种矛盾中的一般矛盾和特殊矛盾的区别，但因为在我们讨论中的重要性，姑且把它提升到“层面”的高度来讨论。

我们举一个通俗的例子。日本漫画《机器猫》中曾经有一个故事，野比看到电视上保护朱鹮的新闻报道，忽然意识到自己也是世界上独一无二的一个，于是要机器猫“保护”自己以

逃避繁杂的功课享受童年的快乐，结果适得其反。这里面就存在个别和一般层面的区别。野比作为人类，只是一个个体，而人类则是一个一般层面上的概念。个体的野比的“灭绝”和一般的人类的灭绝，显然是不同的

同理，小概率事件作为偶然性的一种体现，只能起到补充和完善必然性的作用。如果承认历史唯物主义是正确的，人类社会的发展是客观的，那么社会规律必然是客观的，而作用在整体社会上的小概率事件，如果是起源于社会内部，而不是外部世界强加的不可抗力，就不会扭转人类社会本身发展的大势。但是在个体层面，这种小概率事件却可以扭转个人以至局部社会的命运。

不错，有时候社会领域里的小概率事件确实给人一种“身不由己”的感觉。但是这种“身不由己”感只在个人层面上有意义，从整个社会的发展来看，它只不过是滚滚洪流中的一瞬间的浪花。在承认历史唯物主义的前提下，过分渲染这种“身不由己”感，如果不是文学式的感喟，就是历史相对主义对人的意识的夸大；而抹煞这种“身不由己”感，又落入了机械历史唯物主义的窠臼。

所以，能够辩证地看待小概率事件，也是我们认识自然世界和人类社会，并更好地应用统计学和运筹学来解决问题的一个前提。

七、我们是不是该相信小概率事件？ 经过上述的分析，下面我们来回答本文题目中的这个问题。

所谓“相信”某事，最简单的解释是认为某事是真的，不怀疑。如果我们不去考虑现代心理学对相信这一意识行为发起的原因的探析，而仅分析它的表现形式的话，那么“相信”至少有两个层次：其一，仅仅停留在哲学层面上的相信，而不用它指导实践；其二，既是哲学层面上的相信，也是实践层面上的相信，即用这一所相信的理念来指导实践。

显然，第一种相信对于指导实践是没有意义的，它所满足的，仅是一种内心的需求，一种纯思辩的愉悦。第二种相信则不仅仅达到这一点，而且将所相信的事物，用作自己行动的指南，并将这种指导实践的作用，作为发挥“相信”的能动性的重点。

对于自然科学研究来说，因为实践是其重点，一切自然科学研究的理论都要符合实践，所以从科学实践的角度来讲，第二种相信才是真正的相信，第一种相信对此而言只能是“伪相信”。比如，有一些科学家信教，但是在科学研究里面，他们并不把那些独属于宗教的教义拿来实施，宗教只是他们科学实践以外的感性生活里的重要成分。因此，对于他们作科学研究这件事来说，宗教的信仰只能是一种伪相信。不过需要特别强调一点，本文中所有“伪

相信”中的“伪”，对应英文的pseudo-，只是一个中性的前缀，不具贬义，因此不能说，伪相信就是不合理的。

同理，上文已经论述，无意义的小概率事件对于实践不具指导作用。相信这种小概率事件只能起到对意识本身的能动作用，而对于实践，只能是一种伪相信

反过来，在人文艺术领域，因为不涉及以物质为客体的实践，上述伪相信和真相信的区别，也就没有必要。尽管在科学实践的立场上，人文艺术领域的相信都是“伪相信”，但这样讲显然是对人文艺术不公平的——因为人文艺术并不要求能指导实践。因此我们另换一种说法，称其为“人文式相信”更合适一些。可以说，人文艺术所孜孜追求的也就是人文式相信。但是把这种人文式相信上升到科学实践角度的真相信的层次，也即人文艺术越俎代庖地指导科学实践，就是一种错误的作法了。

八、违反上述作法导致的错误作法举例 在本文的末尾，我们举两个今年发生的有名事件，以阐明违反上述作法会导致怎样的错误。

“非典”期间，著名科幻作家王晋康先生写了一组文章，阐述自己的“平衡医学观”，并认为“非典”的爆发正是现代医学违反“平衡医学观”而引发的咎由自取现象。王文见网之后，立刻引发了留美生物学博士方舟子及清华大学教授赵南元、网人桔梗等人的抨击。方舟子以自己掌握的专业知识，论证了王晋康“平衡医学观”的荒谬之处；赵南元则重点批评了王晋康越俎代庖的行为。客观地说，王晋康的“平衡医学观”经过他自己的补充和发挥，是一套很有趣味的思想体系。最初，王晋康只是把这种思想体系应用到科幻小说创作中来，只局限在人文艺术的框架里，自然收到了很好的效果。因为那些不以科普为目的的科幻小说的本质是纯文学或通俗文学，科普以外的审美为第一要求，不用来指导实践，所以王晋康在小说中写这样的观点无可厚非，反而使他的小说因具备思想性而锦上添花。但现在王晋康把他的观点应用到实践层面上，意欲指导科学，从科学实践的角度来说，不管王是不是意识到这一点，都是犯了以伪相信为真相信的错误。

又如中国科技大学校长朱清时在接受别人访谈时，称自己相信西藏喇嘛可以用内功融化披在身上的冰毯上的冰。这种相信对科学实践来说也只是一种伪相信。因为他所相信的事物，在没有外界不可抗力的作用下，足以被证明是一个不可能事件；即使在有外界不可抗力（如外星人之类）的作用下，也只能是一个小概率事件。如果真是外星人所致，前面已经分析，外星人和地球人打交道的概率不超过10^(-6)，而外星人帮助喇嘛融化冰毯，概率只可能更低。这种小概率事件对于指导科学实践已经没有意义。但是朱院士在访谈中侈谈科学和哲学，

并且以确凿的语气认为，喇嘛的拙火“就是科学”，这种认识显然也犯了以伪相信为真相信的错误，是伪相信性质的人文式相信在越俎代庖指导科学，所以是应当受批判的言论。公开发表这种言论，更是与朱清时的院士和科技大学校长身份不相匹配的。

我想那些赞同王晋康或朱清时的人们，也应该慎重地考虑自己对这个问题的认识是不是太简单。

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