范文一：用定积分求平面曲线弧长公式教学设计与实践

用定积分求平面曲线弧长公式教学设计与实践

罗永超，傅文德

(凯里学院数学与计算机科学系，贵州 凯里 556000)

[摘 要] 分析用定积分求平面曲线弧长公式教学中存在的问题和难点，根据学生学习中容易发生知识负迁移 的错误，创设情境，让学生经历问题探索的过程,培养学生言必有据的良好思维品质，进而对当前高等数学的课堂教学进行总 结与反思.

[关键词] 定积分;曲线弧长;可求长

[中图分类事情] G642.41;O 441 [文献标度只码] A [文章编号] 1002- 6991( 2006)06- 0010- 02

方法本身有问题，请继续思考. 1 问题的背景

4 深入探讨，循循善诱 在以上的过程中，学生也许还不知用定积分求平面曲线弧长是数学分析的难点之一，

道问题出在哪里， 对学生而言，至少有以下两个问题需要解决.

第一，弧长定义为什么还需要有一个“可求长”的限这时引入弧长教学的条件又尚未成熟，我们还须进一步引

制,难道闭区间[a，b]上的弧长还有不可求长的情形?导学生思考，深入探究.

既然是我们的推导没有问题，那么问题可能出在微第二，求弧长公式的定理，为什么要从曲线的参数方 22 元上.图1所示，若以MR+RN近似地代替精确程度是否 #程开始?用极坐标方程类比平面区域面积的求法以扇形的

弧长作为微元去求弧长公式不行吗? 更高，也许这样能得到正确的结果.

对此，如果教师迎“难”而上，只管按文[1][2]的编排顺 先让学生在直角坐标系下探究问题. 序:定义、定理、证明 按部就班地照本宣科而不顾学生的 设函数y=(f x)在[a，b]上具有连续导数，则曲线y=(f 感受进行教学的话，将导致学生学完本单元后,充其量是 x) 相应于[a，b]上任一小区间[x，x+dx]的一段弧的长度可只知其然而不知其所以然.为此，我们在教学中因势利导， 用该

设法让学生有一个探索的过程，使学生知其所以然. 曲线上点(x，(f x)到点(x+dx，(f x+dx)的距离来代替，此即弧 2 创设情境,提出问题 微分ds(如图2).在此假设之下，同学们继续探究，得到 22 在给出弧长定义之后，复习极坐标方程#= #( !)"! (dx)+(dy)ds= = # dy′2 2 )d x= 1+y # 1+( dx . (2) $所表示的曲线及二射线=%及=&及围成区域的面积 !!!!dx #

的求法，提出问题: 因此，曲线y=(f x)在闭区间[a，b]上的弧长为 b b 平面曲线的弧长能否类比平面区域的面积, 以“扇 ′2 s= ds= t 1+ydx， (3) #"" a a 形”为“微元”先求出极坐标方程的弧长，而扇形弧长

然后鼓励同学们将其结果化为参数方程，得到 s=#公式简捷易求.请大家讨论. ! 当曲线L的方程为参数方程3 学生讨论,探究问题 受面积求法的影响，绝大多数同学 x=(t) ’认为这是可能的， %!t!$$ y=((t) 于是积极讨论,探究问题，并有以下的推导: ds dy 给出时，弧微分是 L dx 如图1所示的曲线为 M ds 22 ′ 2′ 2 ds= (dx)+(dy)= (’(t))+((t))dt.## N L: #=(# !)，%!!!&， 设弧长微 d !此时弧长公式是 元是夹角为的扇形弧长，即 R $ ds=(# !)d!， 那么，曲图 2 ′ 2 ′ 2 (4) s= " ((t))+((t)) dt’(#" % 线L的弧长公式应为 ! 类似地转化为极坐标方程的弧长的求法,得到当曲线由极 图 1 S = (# !)d! . (1) " 坐标方程#=(# )，%$给出时，由极坐标与直角坐标的 "!!!!

学生得到(1)式后都发现这是一个错误的结果. x= #cos ! ，并将此关系看作曲线以!为参数的参数方 关系 $ 这时,我们不失时机地指出:是我们推导有问题还是 y= #sin !

,收稿日期,2006-08 - 20

,作者简介,罗永超，男，贵州榕江人，凯里晕院教学与计算机科学系副教授.

罗永超，傅文德:用定积分求平面曲线弧长公式教学设计与实践 第 6 期 11

程，从而有 AA，AA，AA， ，AA， 1 22 33 4 n n+1′′x=!cos "- !cos " 和原点(0，0)，构成[0，1]上的连续曲线C.讨论曲线C的内, !′′ y=!sin "+!cos " 接 折线列:

这时 AAA0 , AAAAA0 , AAAAAAA0 , 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 ′2′2 ′′2′′2 设内接折线列的长是数列{L}，显然 ds= x+yd"= (cos - sin )+(sin +cos)d"=!!!!!!"!n "" 12′2 L>2?=1，1!+!d"， " 2 相应的弧长公式是 1 1 L>1+2?=1+ ，2# 4 2 2′2 s= !+!d".(5) "# $ 1 1 1 1， L >1+ +2?=1+ + 3 2 6 2 3 这一下得来全不费功夫，想不到顺着我们的思路求 弧长得到了比教材更为简便的方法. 如果在[a，b]上两条连续的可求长曲线y=(f x)与 y=%1 1 1 1 >1+ L+ + + + .n图 4 2 3 4 n (x)，设它们的长分别是L与L，当y=(f x)与 y= %(x)很 f%接近时,即 11 1 1+ + + + 已知数列 发散，则lim L =+?，即! ’n 2 3 n#>0，x?[a，b]&|(f x)- %(x)|<&.>

[0，1]上的连续曲线C是不可求长的. 它们的长L与L与是否也很接近? f%

至此，用定积分求平面曲线弧长已水到渠成 .这样处 学生很快就给以肯定的回答.教师鼓励学生证明

理，不仅克服了学生的心理障碍，而且让学生知其然更知 自己的结论，学生一下子无法证明(因为这根本不可能).

,3,其所以然.至于求弧长教学中的每一个具体的知识点，这对 教师出示反例.

大学数学专业的学生而言已不再是什么困难的问题. 例如,在[0，1]上,设 f (x)=0，则L=1.又以区间[0, 1]为斜 f

5 总结与反思 在班级教学中,对每位学生而言，没有十边作等腰直角三角形(如图3).设折线函数是 y=(x)，其’1

全十美的教 长 = 2 . L" $ 学方法，本文也不例外，对此，我们愿意与同仁商榷. 1

1 1 (1)教无定法.对此，本文作了一定的探索.我们着眼 将区间[0，1]二等分,在每个区间[0，]与[ ，1]上， 2 2 于思维方法的教学 ，并注意到了学生的学习感受.我们必 同样以它们为斜边作等腰直角三 须教会学生勇于探索未知领域，从失败中获得成功. 角形，设折线函数是y= (2)学生再一次地明白，学习务必防止知识的负迁移. 22 " ’(x)，其长=L=2 = 2 .2 $ " 2 2学生出现知识迁移上的错误，主要是缺乏“言必有据”的严 2 谨思维品质. 1 1 再将区间[0，]与[ ，1]都二(3)师 范 院校的数学课堂 教学 模式更值得我们永远 2 2 等分，同

法继续下去，一直作到第n 次.设折认真探索，因为它不但影响着学生对知识的掌握，更重要 线函数y=%(x)，其长L= n %n 图 3 的是它启迪学生未来的教学. (4)教师比学生“高明”之处，不应只是知识量的体 2n " 2 2 = ，而折线函数y=%(x)在[0，1]上的最大值是 " n n2 现，而应该是如何应用广博的知识优化课堂教学，使学生

1 学得更好，更乐于学习. 同时，教师的教学方法应灵活多 .于是，函数%(x)能够任意接近于函数 f(x)，即$&>0，n 2 2变，不墨守成规，正因为如此我们要声明本文不提倡每次 1 当 n充分大时，$x?,0,1]&|(f x)- %(x)|= <#. 但是，它们课都要将学生“置于死地而后生”.="" n="" n2="" (5)这种探究式的="" 课="" 堂教学="" 对学="" 生发展无疑是至关="" 的长1与2="" 都不能很接近，="" "重要的，但实际情况却不允许我们有更多的时间像本文那="" 即="" 2="" 2="" |l-="" l|=" - 1>#(取0<#< " -="" 1).="" f%n0="" 0样去实施这种符合学生认识事物规律的教学模式，但我们="">

认为，只要有可能，我们都会实施探究式的教学模式，哪怕

引导学生思考(2)式到(3)式的推导依据. 在教学进度上做出一点牺牲也是值得的.

但还不够，教师继续提问:

闭区间[a，b]上的连续曲线y=(f x)是否一定可以求长? 参考文献:

这下学生不敢直接回答教师的问题，这说明学生在 ,1,华东师范大学数学系. 数学分析:上册,M,. 第3版 . 北京:高 ,3,350积极思考. 教师不妨再讲授例题 等教育出版社， 2001. 在坐标平面上取点列: ,2,刘玉琏. 数学分析讲义:上册,M,. 第4版. 北京:高等教育出 1 1 1 1 1 版社，2003:384- 388. 1，0)，A(，)，A(，0)，A(，)， ，A( 1 2 3 42 2 3 4 4 ,3,刘玉琏 . 数学分析讲义学习指导书:上册,M,. 北京:高等教 1 1 1 育出版社，1987. ，0)，A( ，， ，依次用线段连接上述各A( ) 2k- 12k2k- 1 2k 2k [责任编辑:潘志清]点，有线段列(如图4):

范文二：空间曲线弧长公式的证明

空间曲线弧长公式的证明 第30卷第12期四川兵工2009年12月

空间曲线弧长公式的证明

王磊,高明关2,任晓芳

(青岛大学a.师范学院.b.数学科学学院,山东青岛266071) 摘要:引入了一般度量空间Rk中曲线弧长的极限式定义,证明了该定义与已知的确界式定义等价,从而可用向

量值函数的微积分工具给出弧长公式的一个简洁证明.

关键词:空间曲线;弧长;向量值函数

中图分类号:0172.2文献标识码:A文章编号:1006一O7O7(2OO9)12—0119—02 文献[1]中研究了平面曲线的弧长,是通过曲线内接折线长的极限来定义的,称为曲线弧长的极限式定义,并进一步

证明了光滑曲线的弧长公式,但证明中所采用的方法过于繁琐,历来是教学中的难点;文献[2]则研究了一般度量空间R

中曲线的弧长,是通过曲线内接折线长的上确界来定义的,称为曲线弧长的确界式定义,并利用向量值函数的微积分工具

给出了弧长公式的一个证明.为了使文献[2]op#j方法能自然地用于简化教材的传统内容,本文中引入了度量空间R中曲

线弧长的极限式定义,且证明了在Rk中上述2种曲线弧长定义的等价性,这部分知识对微分几何中相关内容的教学也有

所借鉴.

12种空间曲线弧长定义的等价性

将[n,b]映入度量空间R的映射y称为R^中的曲线.若y是一一的,则称为弧. 假设是R中的任1条曲线,给定[口,6]的任一分划P={,",X,n},且令llPll:maxJ),(X,i)

一y(X,i一】)J,1?I?"

以(P,7)=?l7()一),(一1)1.

定义1[】若由A(P,y)这些数构成的集合对于[n,6]的全部分划是有界的,则称曲线y

是可求长的,其弧长定义为

A(y)=sup{A(P,7)}.

定义2若对于曲线无论怎样的分划P,均存在有限的极限lima(P,y)=L(y),则称曲线y是可求长的,并把L(y)

定义为曲线的弧长.

定理1关于弧长的上述2个定义等价.

证明设曲线y按定义1可求长,且弧长以(y)=sup{A(P,7)},则对任意e>0,存在分划Pl,使得Pl对应的和A

?A(y)一A(P1,),)<e.不妨设IlPlll:艿>0,则对任意的分划P2,只要0(Pl,)满足0

?l}P2ll<,就有

A(y)?A(Pz,y)?A(Pl,y)?0

从而0?A(y)一A(P2,y)<,.故y按定义2可求长,且弧长为lA(P,y). 另一方面,若y按定义2可求长,且弧长L(),)=liraA(P,y),则对任意,>0,存在>0,当分划P满足llPll<

时,对应和满足lA(P,y)一L(y)}<,,设sup{A(P,y)以(y),则存在分划P1,使得P】对应的和满足0<A(y)一以

(Pl,7)<,.若{IPllI<艿,贝lj{A(Pl,),)一L(),){<,,此时

I以()一,()I:{^()一以(P,)+A(P.,)一L()l?lA()一A(P,)l+l^(P,,)一()I<2 若llPlJl?,则将所有长度不小于的小区间插入有限个分点,使这些小区间的长度小于,得到1个新的分划P2,

I{P2}I<,则P2对应的和满足A(P2,;)?以(Pt,)I>0,故0<A()一A(P2,)<e,

此时

{以()一三()}=lA()一A(P:,)+A(P2,)一()l?『以()一A(尸,)l+lA(P,)一,()f<2e 从而由E的任意性知A(y)=L(y).

2向量值函数的微分和积分

为便于叙述,先给出向量值函数的微分和积分的一些相关结果,其详细论述可参阅文献[2]

*收稿日期:2009—10—30

基金项目:青岛大学师范学院青年科研基金资助项目.

作者简介:王磊(1976一),男,山东胶南人,硕士,讲师,主要从事调和分析研究 120四川兵工

记[o,6]上的硒etlmn可积函数类为R[n,6].设,,…,是[o,b]上的函数,若=(,,2,…,)将[.,6]映入

ak,则称为[o,6]上的向量值函数,在[o,6]上连续在[o,6]上连续是指对=1,2,…,|j},在[n,6]上连续),且在

[o,b]上一致连续(即若对每个,>0,存在1个>0,对于[n,b]中一切满足『—Yl<,的,Y而言,都能使

l()一(y)I<e).对任一?【.,bl,令;(t):,?t?6,,?,定义()的导函数为():(,),则 称?R[.,6](指对=1,2,…,,?R[.,6]),定义()在[n,6]上的积分为

『():(f()d,f(),…,『()).口d4n

引理1若=(^,,2,…,^)在[.,6]连续,则在[o,6]上一致连续.

引理2f在点可微当且仅当^,…,在点可微,且厂=(,,…,).

引理3?R[o,6],?R[o,6],贝唬+五?R[.,6],c?R[8,6],cER,=1,2且 (+)dx=fdx+f2dx,cf~dx=c』laadI(厂l+,2=I+I,I=d.n口d

引理4若?R[n,6],.<c<6,则?R[.,.],?R[.,hi,且I+I:I. 引理5设于及将[o,6]映人R,?R[o,6],,:,则l()d:(6)一(o).

~Jltl6若?R[.,6],则II?R[,6]且If()dI?rI()Id.

证明设=(,,…,),lI?R[o,6]容易得到.为了证明不等式,令;=(y.,Y2,…,),:Id,则: f,且

I=?竹=?IfA=I(?y~)ax.

根据Schwarz~?砺(,)?lI1(,)1,,?【o,6】,就有lyI?IyIIlldx,即为要证明的不等式.

3弧长公式的向量值证明

基于定义1,给出了R中曲线弧长公式的一个简洁证明,即如一下结论. 定理2[2设为R中的曲线,,在[.,6]上连续,则可求长,且弧长A():lI,(,)Idt. 证明若a?,??6,则I()一(一?)I=Ixi.)dl?,J(,)ld,,所以对[.,6]的每个分划P, 有以()?l)Idf.

下面证明反向不等式.给定',>0,由在[n,6]上一致连续,可知存在艿>0,当ls—

tI<占时有

I,(s)一,(t)I<e.设P:{0,一,)是[n,6]的1个分划,并且对一切,?<.若托一l?t?屯,则I(t)I?

x)I+s.所以

ftI,(t)Id,?I,()I?+?:Ij[(,)+()一(t)]dtI+e??

【dtI+l)?l+e?一1)l+ze

将上述不等式相加得到

l1,(t)1dt?A(P,)+2e(6一)?A()+2e(6一.)

故由e的任意性,可得』I(t)Idt<.A(),即结论成立.

按照定理2,当:2时,即为平面曲线的情形,设(,)=((f),y(t)),若()在[o,6]上连续,则A()=

b

I,(t)Idt:f~/,—d,,这正是文献[1]中的结果.同样,也容易得到空间尺中曲线的弧长公式.

参考文献:

[I]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,1999. [2]WalterRudin.PrinciplesofMathematicalAnalysis[M].McGraw-HillCompany,1976.

范文三：教学中用定积分求曲线弧长的改进

教学中用定积分求曲线弧长的改进 2011年11月

第30卷第l1期

洛阳师范学院

JournalofLuoyangNormalUniversity NOV..2011

Vo1.30No.1l

教学中用定积分求曲线弧长的改进

王嘉谋,何莉敏

(内蒙古科技大学数理与生物工程学院,内蒙古包头014010) 摘要:本文利用光滑曲线弧长定义直接推导出求曲线弧长公式,改变了以往以切线近似代替弧长导出求曲

线弧长公式的思想.

关键词:微元法;弧长;折线;切线

中图分类号:G64文献标识码:A文章编号:1009—4970(2011)l1—0011—02 在高等数学教学中,应用定积分计算平面曲线

的弧长时,普通工科的高等数学教材的处理方案是

微元法,即在区间【0.bl上任取一小区间

[.+dx],将如图1所示曲线Y=)在

【.+d】上的一段长度为?s的弧用该曲线在点

(厂())处的切线的相应的小段长度来近似代替

(即IMM,IIMN1),而切线小段MN的长度为

丽=~/(dx)+().=1+(厂()).dx,从

而弧长的微元为

ds:,/1+(厂())dx(1)

,6,—————————————————————:_ 由(1)推得s=I,/1+(厂())dx.

Ia

这样处理问题的优点在于简单且容易理解,但 存在严重的不足,其主要表现在以下两点. 1)我们知道,只有选取的线性函数

,/1+(.厂())dx满足条件

AS一,/1+(厂())dx=0()(2) 时,线性表达式,/1+(厂())才有"资格"来近 似代替AS.容易看出(2)式的成立当且仅当 lim:1(3)IMNl

这就又回到了在讨论弧微分时很难说清的(3)式上 去.普通高等数学教材都是让读者无条件地承认 (3)式成立,然而(3)式并不是显而易见的事实. 2)在求弧长之前,都给出了平面曲线弧长的 严格数学定义.而弧长的定义是用曲线的内接折线 (割线)的长度之和s(:?JJ)的极限来

定义的.因此,用切线段长度之和来逼近弧长的做 法显然与弧长定义不一致.这样就使读者产生这样 的疑虑:由内接折线给出的弧长的定义与上面导出 的算法计算出的"弧长"是否一致?这也是一个很难 回答的问题.

鉴于上述原因,笔者认为在这节的教学中,不 用元素法,而用弧长定义直接来求平面曲线的弧 长,以推导出弧长的公式更好些.

1给出平面曲线的长度的概念

定义…:设A,日是平面曲线弧的两个端点,在 弧AB上依次任取分点A=Mo,M.,M2,…,,, …

,Mn=B,并依次连接相邻的分点得一折线 (图3).

令S=?Il,i;1

则曲线弧AB的弧长定义s为 s:i?II(4)^—

.0.

其中A=

.

max{IMi,.1).

2用定义计算平面曲线的弧长 设平面曲线方程为Y=),函数Y=)在 【口.

6】上具有连续导数,A(0n)),(b6)).求 曲线弧的长度s.

收稿日期:2011—06—20

基金项目:内蒙古科技大学理科基地项目(JY2010103);内蒙古科技大学教学(教改)

重点项目(JY2009017) 作者简介:王嘉谋(1957一),男,陕西长安人,副教授.

?

12?洛阳师范学院2011年第11期 (1)在[a,6】内任意插入一1个分点:0=.<.

<X2<…<—l<<…<n— l<=b.

令Y=)(i=1,2,…,n),则点Mi(,Y) 将分为n个长度为AS的小弧段,则s=??s,

其,asl?}.

(2)求?Js的近似值

ASlI:

=

4(x—,1)+厂()(—一1)

=,

/1+()??,?(,一1).

(3)作和式

s=?AS一?酉???().

(4)取极限

由于厂()连续,及弧长的定义有

s=limef4=limXJ—i而2??

=

l^//1+厂()dx.

即s=J~/1+厂()dx(5)

在讨论弧微分时,我们用直观的方法(即在承 认(3)式成立的情况下)推出了ds= ,,/1+(厂()).dx,现在可用(5)式严格证明这一 点.

事实上,当?【a.6]上,s=s() =

则塞=.

故ds:41+(厂())dx,此式还可写为ds: ~/()+()(或()=().+())(6) 若光滑曲线方程为{litt;:?,,LV=II A((O1),砂(OL)),B(v(3),()). 由于=(t)dt,=(t)dt,则由(6)式

得

ds=丽:t

(7)

于是

s=

fdt(8)

这样以来,前述疑虑统统消除,同时还给出了 弧微分公式的严格数学证明,各这样做不失为一个

好方法.

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学(上册)[M].北京:高等教

育出版社,2006.

[2]南京邮电大学高等数学教研室.高等数学(上册)[M].

北京:清华大学出版社,2006.

[3]张汉林.高等数学(上册)[M].北京:机械工业出版社,

2006.

[4]曹吉利,王树勋.高等数学(上册)[M].西安:西北工业

大学出版社,20(0.

[责任编辑胡廷锋]

DevelopmentofSolvingCurveArcLengthbyDefiniteIntegralinTeaching WANGJia-moll,HELi.rain

(SchoolofMathematics,PhysicsandBiologicalEngineering,InnerMongolia UniversityofScienceandTechnological,Baotou014010,China) Abstract:Thispaperdirectlyderivesthecurvearclengthformulafromthedefinitionofsmoot

hcurvearc

length.Ideasaboutapproximatingthearclengthwithtangentlinehavechangedtogetthearcle

ngthformulaof

smoothcurvebefore.

Keywords:micro—elementmethod;arclength;brokenline;tangentline

范文四：求平面曲线的弧长和曲率

,.平面曲线的弧长与曲率:

1.平面曲线C参数方程由tyyttx=x,.,,,,,给出.，，，，,,

,,若x与在上连续可微，且,0,.x+,,，tyttytt,,,,，，，，，，，，,,,,

,

,,则为一光滑曲线(即可求长) 弧长:S=x+;Ctytdt，，，，,,

2..,曲线由,,Cyfxxab直角坐标方程，，,,

将它看成参数方程:x=x,y=,,.,fxxab，，,,

b2,,，1;Sfxdx，，,a

3.,,.若曲线C由r=r,将它化为参数方程极坐标方程xy,,rr,,,,cos,sin.，，，，，，,,,,,,,,,,.,当r在上连续且r与r不同时为零时，,,,,,,,,，，，，，，,,,,

,22,则弧长公式为:S=rr，d.，，，，,,,,,

,,,,,,xyxy,

曲率:K=;3

222,,xy，，，

,,y

特别:若曲线由表示，则yfx,K=;，，3

22,1，y，，

范文五：不同方程形式下曲线弧长公式一致性

不同方程形式下曲线弧长公式一致性

摘 要, 对曲线的方程在参数方程形式、极坐标方程形式、向量方程形式等不同形式下,证明了曲线弧长公式的一致性,即都统一于公式s=?蘩|′,t,|dt.

关键词, 曲线 弧长 导数

1.引言

在大学数学的教学中,曲线的弧长是很重要的一部分内容,但对于曲线在不同的方程形式下,其弧长的计算公式也有所不同,这些公式有没有联系呢,这就是本文要回答的问题.

在参考文献,1,、,2,中,得出了平面曲线弧由参数方程

x=φ,t,y=?准,t, ,α?t?β,,1.1,

给出时,曲线弧长s的计算公式为

s=?蘩dt,1.2,

这里要求φ,t,、?准,t,在,α,β,上具有一阶连续导数.

对于空间曲线,若其曲线弧由参数方程

x=x,t,y=y,t,z=z,t, ,α?t?β,,1.3,

给出时,曲线弧长s的计算公式为

1

s=?蘩dt,1.4,

这里也要求x,t,、y,t,、z,t,在,α,β,上具有一阶连续导数.

当曲线弧由直角坐标方程

y=f,x,,a?x?b,,1.5,

给出时,曲线弧长s的计算公式为

s=?蘩dx,1.6,

这里要求f,x,在,a,b,上具有一阶连续导数.

当曲线弧由极坐标方程

ρ=ρ,θ,,α?θ?β,,1.7,

给出时,曲线弧长s的计算公式为

s=?蘩dθ,1.8,

这里要求ρ,θ,在,α,β,上具有一阶连续导数的性质.

2.公式的统一性

定理,引言中的公式,1.2,、,1.4,、,1.6,、,1.8,统一于公式s=?蘩|′,t,|dt.

公式s=?蘩|′,t,|dt参见文献,3,.证明,,1,证明公式,1.2,统一于公式s=?蘩|′,t,|dt

把曲线的参数方程改写为向量方程形式(t)={φ,t,,?准,t,},α?t?β,

则′,t,={φ′,t,,?准′,t,},|′,t,|=

所以s=?蘩|′,t,|dt=?蘩dt

2

,2,证明公式,1.4,统一于公式s=?蘩|′,t,|dt

同样把曲线的参数方程改写为向量方程形式,t,={x,t,,y,t,,z,t,},α?t?β,.

则′,t,={x′,t,,y′,t,,z′,t,},|′,t,|=

所以s=?蘩|′,t,|dt=?蘩dt

,3,证明公式,1.6,统一于公式s=?蘩|′,t,|dt

把直角坐标方程y=f,x,,a?x?b,改写为,t,={t,f,t,},a?x?b,

则′,t,={1,f′,t,},|′,t,|=

所以s=?蘩|′,t,|dt=?蘩dt

这里只要把变量t看着,1.5,中的x即可.

,4,证明公式,1.8,统一于公式s=?蘩|′,t,|dt

把曲线的极坐标方程改写为向量方程

,t,={ρ,t,cost,ρ,t,sint},α?t?β,

则′,t,={ρ′,t,cost-ρ,t,sint,ρ′,t,sint+ρ,t,cost}

所以|′,t,|=

=

这里只要把变量t看着,1.7,中的θ即可.

定理证毕.

另外我们还可以证明文献,3,中的曲面曲线弧长公式s=?蘩dt也统一于公式s=?蘩|′,t,|dt.

这里的E=•,F=•,G=•,即E,F,

3

G是曲面的第一类基本量.

证明,对于曲面曲线= ,u,t,,v,t,,,有=+,所以|′,t,|=•=,+,•,+,=•,,+2• +•,,=E,,+2F +G,,

所以s=?蘩|′,t,|dt=?蘩dt

证毕.

在大学数学的教学中,可以把相关联的内容同样起来,比如在上面关于曲线弧长公式的教学中,可以把不同类型的公式合在一起统一于一个公式,这样既便于学生记忆也便于学生总结归纳,在教学中能收到良好的效果.

参考文献,

,1,同济大学应用数学系.高等数学,上册,,M,.第五版.北京,高等教育出版社,2004:276-279.

,2,华东师范大学数学系.数学分析,上册,,M,.第三版.北京,高等教育出版社,2009:247-250.

,3,梅向明等.微分几何,M,.第四版.北京,高等教育出版社,2008:23-80.

基金项目,宿州学院教研项目,szxyjyxm201021,

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