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范文一：集合及集合间的关系运算
淄博一中高2006级数学学案 编写人:苏梅花 审核人:魏守涛 总序号01 时间 3月17日
第1课时 集合
[问题驱动、自主学习]:
1、集合的三个特征:_____________;可分有限集和无限集，常用的表示方法___________. 2、常用数集:自然数集___，正整数集___，整数集__，有理数集__，实数集___。 3、元素和集合的从属关系表示符号为______，集合与集合的包含关系表示符号为_____。 4、A是B的子集指_____________________,记作____;
A是B的真子集指___________________,记作____;
A等于B指_________________________.
U中A的补集是指_____________________,记作_____,符号语言表示为_____________.
,,5、集合A、B，全集为U，则有: AA; φA; 若AB, BC,则AC; ,,,
( A),_____。 CUCU
6、注意:集合元素的互异性应用;空集在解题中的应用;三种语言(文字语言、符号语言、图形语言)的相互转化;数形结合的应用(数轴、文氏图);含有字母时的分类讨论。 7、集合A与B的交集指的是____________________，记作_____，符号语言表示为_________. 8、集合A与B的并集指的是____________________，记作_____，符号语言表示为_________. 9、集合A、B，全集为U，则有:
?A?A,___;A?φ,___;A?A,___;A?φ,___;A?B,B?A; A?B,B?A。 ?若A,B，则A?B,___，A?B,___; ?(A?B),A,(A?B)，(A?B),B,(A?B)。 ?A?(A),____，A?(A),_____ CUCU
[重点难点、合作探究]:
1、用列举法表示集合:
66A,,x| ?Z，x?N,,B,,a|a, ?Z，x?N,. -x33,x
k1k12、已知P,,x|x, ， , k?Z,,Q,,x|x, ， , k?Z,说明P,Q的关系. 2442
3、满足{1,2}?A,{1,2,3,4}的集合A有______个。
4、如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) (A).(M?P)?S (B).(M?P)?S U P (C).(M?P)?S (D).(M?P)?S CUCUM S
25、已知A,{,4,2a,1,a},B,{a,5,1,a,9},A?B,{9,，求a的值.
[知识梳理、点拨归纳]:
[典例评析、深化提高]:
1、A,{x|x,2k,k?Z},B,,x|x,2k，1,k?Z,,C,,x|x,2(k，1),k?Z,, D,,x|x,2k,1,k?Z,， E,,x|x,4k，1,k?Z,,F,,x|x,4k?1,k?Z,,其中相等的有___________ ，包含关系的有_____________. 2、集合M,,x?N|(8,x)?N,，用列举法表示集合M
,3、已知集合A,,x|,2?x?2,，B,,x| x?a,且AB，则实数a的取值范围是_____.
,4、满足,1，2,A,1，2，3，4,的A有_____个 ,,
5、已知A,{x||x,a|,4},B,{x||x,2|,3},且A?B,R,求a的范围.
[变式巩固、拓展完善]:
1、写出,a，b，c,的所有子集。
2、设U,Z，A,,x|x,2k，k?Z,，B,,x|x,2k，1，k?Z,，求 A和 B。 CUCU
2a23、全集U,,2，,，2a,3,,A,,a,2,, A,,5,,求a. ,aCU4
2,4、P,{x|x,4x,5,0},Q,{x|x,a?0},若PQ，求实数a的取值范围。 ,
k,,k,,5、M,{x|x, ， ,k?Z},N,{x|x, ， ,k?Z}，则M，N的关系为__________. 2442
6、A,{x|,2?x?3},若A?B,φ,A?B,R,则B= .
abab7、设a,b都是非零实数,y,，，可能取的值组成的集合是( ) |a||b||ab|
(A).{3} (B).{3,2,1} (C).{3,1,,1} (D).{3,,1}
18、已知U,R,A,{x|,4?x,2},B,{x|,1,x?3},P,{x|x?0或x?},求A?B?(P), CU2
(A)?(B) CUCU
29、已知全集U,{x|x,50, x?N},M?(L),{2,3}, (M)?L,{1,6}, (M)?(L),{5},则MCUCUCUCU,___________,L,_______________.
范文二：集合间的基本关系与运算
集合间的基本关系
课 型:新授课 教学目标:
(1)了解集合之间的包含、相等关系的含义; (2)理解子集、真子集的概念;
(3)能利用 Venn 图表达集合间的关系; (4)了解空集的含义。
教学重点:子集与空集的概念;能利用 Venn 图表达集合间的关系。 教学难点:弄清楚属于与包含的关系。 教学过程:
一、复习回顾:
1. 提问:集合的两种表示方法? 如何用适当的方法表示下列集合? (1) 10以内 3的倍数; (2) 1000以内 3的倍数 2. 用适当的符号填空: ; ; R 。
思考 1:类比实数的大小关系,如 5<7, 2≤="" 2,试想集合间是否有类似的“大小”="">
二、新课教学
(一) . 子集、空集等概念的教学:
比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) {1,2,3}A =, {1,2,3,4,5}B =;
(2) {}C =汝城一中高一 班全体女生 , {}D =汝城一中高一 班全体学生 ; (3) {|}E x x =是两条边相等的三角形 , {}F x x =是等腰三角形
由学生通过观察得结论。 1. 子集的定义:
对于两个集合 A , B ,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说 这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset ) 。 记作:
() A B B A ??或
读作:A 包含于(is contained in) B ,或 B 包含(contains ) A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A B ? 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:
如:(1)中 A B ?
2. 集合相等定义:
如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的 元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A B B A ??且 ,则 A B =。 如(3)中的两集合 E F =。 3. 真子集定义:
若集合 A B ?, 但存在元素 , x B x A ∈?且 , 则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset ) 。记作:
A B (或 B A )
读作:A 真包含于 B (或 B 真包含 A )
如:(1)和(2)中
A B ,
C D ; 4. 空集定义:
不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作:?。 用适当的符号填空:
?{}0; ?; ?{}?; {}0{}? 思考 2:课本 P 7 的思考题 5. 几个重要的结论:
(1) 空集是任何集合的子集;
(2) 空集是任何非空集合的真子集; (3) 任何一个集合是它本身的子集;
(4) 对于集合 A , B , C ,如果 A B ?,且 B C ?,那么 A C ?。 说明:
1. 注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的关系;
2. 在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 (二)例题讲解: 例 1.填空: (1) . N ; {2}; ? (2) .已知集合 A ={x|x2-3x +2=0}, B ={1,2}, C ={x|x<8,x∈>
; ; ;
例 2. (课本例 3)写出集合 {, }a b 的所有子集,并指出哪些是它的真子集。
例 3.若集合 {}
{}260, 10, A x x x B x mx =+-==+=
B A ,求 m 的值。
(m=0或 11
32
或 -)
例 4.已知集合 {}{}
25, 121
A x x B x m x m
=-<≤=-+≤≤-且 a="">
?,
求实数 m 的取值范围。 (3
m ≥)
(三)课堂练习 :
课本 P 7练习 1, 2, 3
归纳小结:
本节课从实例入手,非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念 及符号; 并用 Venn 图直观地把这种关系表示出来; 注意包含与属于符号的运用。 作业 布置 :
1. 习题 1.1,第 5题;
2. 预习集合的运算。
课后记 :
课题:集合的基本运算㈠
课 型:新授课
教学目标:
(1)理解交集与并集的概念;
(2)掌握交集与并集的区别与联系;
(3)会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用它们解决一些简单问题。 教学重点:交集与并集的概念,数形结合的思想。
教学难点:理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。
教学过程:
一、复习回顾:
1.已知 A={1, 2, 3}, S={1, 2, 3, 4, 5},则 S ; {x|x∈ S 且 x ?。
2.用适当符号填空:
{0}; 0 ; Φ2+1=0,x ∈ R}
{x|x<3且 x="">5}; -2或 x>5} ; {x|x>-{x>2} 二、新课教学
(一) . 交集、并集概念及性质的教学:
思考 1.考察下列集合,说出集合 C 与集合 A , B 之间的关系:
(1) {1,3,5}A =, {}{2,4,6},
1,2,3,4,5,6B C ==; (2) {}A x x =是有理数 , {}{},
B x x C x x ==是无理数 是实数 ;
由学生通过观察得结论。
6. 并集的定义:
一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集(union set) 。记作:A ∪ B (读作:“ A 并 B ” ) ,即
{}, A B x A ?=∈∈或 x B 用 Venn 图表示:
这样,在问题(1) (2)中,集合 A , B 的并集是 C ,即 A B ?= C
说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。
讨论:A ∪ B 与集合 A 、 B 有什么特殊的关系?
A ∪ A =, A ∪ Ф=, A ∪ ∪ A
A ∪ B =A ? , A ∪ B =B ?巩固练习(口答) :
①. A ={3,5,6,8}, B ={4,5,7,8},则 A ∪ B = ;
②.设 A ={锐角三角形 }, B ={钝角三角形 },则 A ∪ B = ; ③. A ={x|x>3}, B ={x|x<6},则 a="" ∪="" b="7.">
一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合, 叫作集合 A 、 B 的交集(intersection set) ,记作 A ∩ B (读“ A 交 B ” )即:
A ∩ B ={x|x∈ A ,且 x ∈ B}
用 Venn 图表示:(阴影部分即为 A 与 B 的交集)
常见的五种交集的情况:
讨 论 :A ∩ B 与 A 、
B 、 B ∩ A 的关系?
A
A ∩ A = A ∩ Ф= A ∩ ∩ A
A ∩ B =A ? A ∩ B =B ?巩固练习(口答) :
①. A ={3,5,6,8}, B ={4,5,7,8},则 A ∩ B = ;
②. A ={等腰三角形 }, B ={直角三角形 },则 A ∩ B = ; ③. A ={x|x>3}, B ={x|x<6},则 a="" ∩="" b="(二)例题讲解:" 例="" 1.="" (课本例="" 5)设集合="" {}{}12,="" 3a="" x="" x="" b="" x="" x=""><><,求 a="" ∪="" b="">
变式:A ={x|-5≤ x ≤ 8}
例 2. (课本例 7)设平面内直线 1l 上点的集合为 L 1,直线 2l 上点的集合为 L 2,试 用集合的运算表示 1l , 2l 的位置关系。
例 3.已知集合 {}
{}
222190,
560A x x mx m B y y y =-+-==-+=
{}
2280C z z z =+-=是否存在实数 m ,同时满足 , A B A C ?≠??=?? (m=-2)
(三)课堂练习 :
课本 P 11练习 1, 2, 3 归纳小结:
本节课从实例入手,引出交集、并集的概念及符号;并用 Venn 图直观地把 两个集合之间的关系表示出来,要注意数轴在求交集和并集中的运用。 作业 布置 :
3. 习题 1.1,第 6, 7; 4. 预习补集的概念。 课后记 :
课题:集合的基本运算㈡
课 型:新授课 教学目标:
(1)掌握交集与并集的区别,了解全集、补集的意义,
(2)正确理解补集的概念,正确理解符号“ U C A ”的涵义;
(3)会求已知全集的补集,并能正确应用它们解决一些具体问题。 教学重点:补集的有关运算及数轴的应用。 教学难点:补集的概念。 教学过程: 一、复习回顾:
1. 提问:. 什么叫子集、真子集、集合相等?符号分别是怎样的? 2. 提问:什么叫交集、并集?符号语言如何表示? 3. 交集和补集的有关运算结论有哪些?
4. 讨论:已知 A ={x|x+3>0}, B ={x|x≤-3},则 A 、 B 与 R 有何关系? 二、新课教学
思考 1. U={全班同学 }、 A={全班参加足球队的同学 }、
B={全班没有参加足球队的同学 },则 U 、 A 、 B 有何关系?
由学生通过讨论得出结论:
集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 (一) . 全集、补集概念及性质的教学: 8. 全集的定义:
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这 个集合为全集 (universe set) , 记作 U , 是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
9. 补集的定义:
对于一个集合 A , 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合, 叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set) ,记作:U C A ,
读作:“ A 在 U 中的补集” ,即
{}, U C A x x U x A =∈?且 用 Venn 图表示:(阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)
讨论:集合 A 与 U C A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析
, , () U U U
U
A C A A C A U C
C A A
?=?
?== ,
U U C U C U =??=
巩固练习(口答) :
①. U={2,3,4}, A={4,3}, B=φ,则 U C A U C B ;
②.设 U ={x|x<8,且 x="" ∈="" n},="" a="{x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则" u="" c="" a="③.设" u="{三角形" },="" a="{锐角三角形" },则="" u="" c="" a="。">
例 1. (课本例 8)设集 {}{}{}, 1233456U x A B ===x 是小于 9的正整数 ,
, , , , , ,求 U C A , U C B .
例 2.设全集 {}{}{}4, 23, 33U x x A x x B x x =≤=-<><≤集合 ,求="" u="" c="" a="" ,="" a="" b="" ?,="" ,="" (),()="" (),()="" (),="" ()="" u="" u="" u="" u="" u="" u="" a="" b="" c="" a="" b="" c="" a="" c="" b="" c="" a="" c="" b="" c="" a="" b="" ?????。="" (结论:()="" ()="" (),="" ()="" ()="" ()="" u="" u="" u="" u="" u="" u="" c="" a="" b="" c="" a="" c="" b="" c="" a="" b="" c="" a="" c="" b="" ?="">
例 3.设全集 U 为 R , {}
{}
22120,
50A x x px B x x x q =++==-+=,若
{}{}() 2, () 4U U C A B A C B ?=?=,求 A B ?。 (答案:{}2,3, 4)
(三)课堂练习 :
课本 P 11练习 4 归纳小结:
补集、全集的概念;补集、全集的符号;图示分析(数轴、 Venn 图) 。 作业 布置 :
习题 1.1A 组,第 9, 10; B 组第 4题。 课后记 :
范文三：集合间的关系及运算
第 2讲 集合间的关系及运算
【开心自测 】
1、下列集合中不同于另外三个集合的是 ( ) A {}1x x = B {}
2(1) 0y y -= C {}1x = D {}1 2、集合 }{5|<*∈x n="" x="" 的另一种表示法是(="">
A. }{4, 3, 2, 1, 0 B. }{4, 3, 2, 1 C. }{5, 4, 3, 2, 1, 0 D. }{5, 4, 3, 2, 1
2、已知集合 {}2,4,6A =, 若 ,6a A a A ∈-∈, 则 a=
【课题引入】
引例 1: {}1,1, M =-{}1,1,3, N =-{}210, P x x =-=
问:1、哪些集合表示方法是列举法. 2、哪些集合表示方法是描 述法.
3、集合 M 中元素与集合 N 有何关系.集合 M 中元素与集合 P 有何关系.
引例 2:1、 {1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==;
2、 设 A 为某中学高一 (3)班男生的全体组成的集合
B 为这个班学生的全体组成的集合
3、 {|(1)(2) 0}E x x x x =--={0,1,2}F =
问:1、集合 A 中元素与集合 B 有何关系,集合 D 中元素和集合 C 什么关系
2、集合 E 和集合 F 中的元素有何关系?
【金题讲解】
一.子集:如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素,那么
集合 A 叫做集合 B 的子集,记作: ____________________读作:_____________________注意:
例 1:⑴判定下列集合的关系
① }{21, }{4321, , ,
② }{{}05, 15A x x B x x =<>
③ C={x|x是奇数 }, D={x|x是整数 }
④ }{65, }{6
⑵ 写出集合 {}1, {}1,2, {}1,2,3的子集,并找出规律 .
二、真子集:如果说集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少有一个 元 素 不属 于 A ,那 么 集合 A 叫 做集 合 B 的真 子集, 记 作:______________读作:________________
注意:
例 2、 ⑴判定下列集合的关系
① 常 见 数 集 之 间 的 关 系 ? ② }{{}05, 15A x x B x x =<>< ③="" c="{x|x是奇数" },="" d="{x|x是整数">
⑵ 写出集合 {}1,2,3的真子集
三、集合相等:一般地,对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 的每一 个元素都是集合 B 的元素,同时集合 B 的每一个元素都是集合 A 的 元素,我们就说集合 A 等于集合 B ,记作:
例 3、(1)写出 {}a,b,c,d 的所有子集;所有真子集;
练习 1. 用适当的符号(
,
)填空:⑴ 3{}1,2,3,5 ⑵ 5
{}5 ⑶ {}a {},b,c a ⑷ {},b,c a {}b,c ⑸ φ{}0⑹ {}
x x 是矩形 {}x x 是平行四边形 ⑺ {}1,2,3, {}3,2,1
例 4、 (1) 已知集 合 A={}12, 3, 1--m B={}2, 3m , 若 A B ?. 则 实 数 m=__________
(2)已知集合 }{{}2230, 10A x x x B x ax =--==-=,若 B A ,求 a 的 值
练习 2. 已知集合 }{{}4, A x x B x x a =≤<><, 若="" a="" b,="" 求实数="" a="" 的范="">
集合的运算
一、交集的定义:对于两个给定的集合 A 、 B ,由属于 A 又属于 B 的 所有元素构成的集合,叫做 A 、 B 的交集,记作:
例 1、求 A∩ B 1、集合 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={3, 4, 5, 6, 8},
2、已知:集合 A=
, B = 二、并集的定义:对于两个给定的集合 A 、 B ,把它们的所有元素并 在一起构成的集合,叫做 A 、 B 的并集,记作:
{(, ) |21}x y x y +={(, ) |2}x y x y -=
练习 3.
1、 求下列集合的交集和并集
2. 已知集合 A={1, 2, 5, 7}, B={2, 4, 6, 8},
求(1) A ∩ B (2) A ∪ B
(3) A ∩ φ(4) B ∪ φ
三、全集:如果所研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个 给定集合为全集。用 U表示。
补集的定义:如果 A 是全集 U 的一个子集, 在 U 中不属于 A 的的所有 元素构成的集合,叫 A 在 U 中的补集。记作:
注意:
例 2、 1、 U={1,2,3,4,5,6, }, A={1,3,5}
求 U C A , A ∩ (U C A ) , A∪(U C A )
2、已知 求 Q U C 22{|230}{|430}A x x x B x x x =+-==++=(1) , U {|}Q {}
x x x x ==是实数 , 是有理数 {|}{|}
Q x x Z x x ==(2) 是有理数 , 是整数
3、已知 U=R,}{5, A x x =>求 U C A
课堂练习:
1、满足{1, 3}∪A={1, 3, 5}的所有集合 A 的个数是( )
A . 1 B. 2 C. 3 D. 4
2、集合 A={x|x<-3,或 x="">3}, B={x|x<1,或 x="">4},则 A∩B= .
3、已知集合 X={x|x=2m,m∈Z}, Y={y|y=4n+2,n∈Z},则 X 与 Y 关系为( )
4.设全集 U={10|≤∈x N x }, A={2,4} , B={4,5,10},则
A ∩ B= ,A∪ B = ,=B C U ,A∪
=B C U , A ∩ =B C U 。
5、下列式子中,不正确 ...
的是( ) (A)}5|{3<∈x x="" (b="" )="" {0}∪="" φ="φ" (c="" )="" }0|{}1,="">
}0|{3<∈-x x="" 6.="" 设="" u="R," m="{1|≥x" x="" },="" n=""><≤x x="" },求="" u="" c="" m="" ∪="" u="" c="" n="">
7.已知集合 {}A x x a =<, b="" }{12,="" x="" x=""><且 a="" ∪="B" c="" u="" r="" ,则="" a="" 的取值范="" 围是(="">
A a≤ 1 B a>1 C a≥ 2 D a>2
8、设 {|}A x x a =>, {|03}B x x =<,若 a="" b="?" ,求实数="" a="" 的取值范围="" 是="">
9、设 {}{}22230, 560A x x x B x x x =--==-+=,则 A B .
10、若关于 x 的方程 3x 2+px -7=0的解集为 A ,方程
3x 2-7x +q =0的
解集为 B ,且 A ∩ B ={1
3-},求 A B .
【互动答疑】
巩固与提高
1、用 ”
、
、
、
“ ?
?
?
?连接下列集合对:
① A={济南人 }, B={山东人 };
② A=N, B=R;
③ A={1, 2, 3, 4}, B={0, 1, 2, 3, 4, 5};
④ A={本校田径队队员 }, B={本校长跑队队员 };
⑤ A={11月份的公休日 }, B={11月份的星期六或星期天 }
2、若 A={a , b , c },则有几个子集,几个真子集?写出 A 所有的子 集。
3、选择题
(1)设M={0,1,2,4,5,7},
N={1,4,6,8,9},P={4,7,9}, 则(M∩N)∪(M∩P)=()
A. {1,4}B. {1,7}C. {4,7}D. {1,4,7} (2)已知A={y|y=x 2-4x+3,x∈R},B={y|y =x-1,x∈R},则A∩B=()
A. {y|y=-1或0}B. {x|x=0或1}
C. {(0,-1) , (1,0D. {y|y≥-1}
(3)已知集合M={x|x-a =0},N={x|a x-1=0}, 若M∩N=M,则实数 a =()
A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0
(4)已知C Z A={x∈Z|x>5},C Z B={x∈Z|x>2},则有( )
A.A ?B B.B ?A C.A=B D.以上都不对
(5)设 R U =, }1|{≥=x x A , }50|{<=x x="" b="" ,则="" b="" a="" c="" u="" )="" (="(" )="" a.="">
(6)设全集U={2,3, a 2+2a -3},A={|a +1|, 2},C U A={5},则 a 的值为( )
A.2或-4 B.2 C.-3或1 D.4
4、填空题
(1) . 若集合A、B满足A∪B=A∩B,则集合A,B的关系是 _____
(2)设 }, 32|{2R x x x y y A ∈--==, }, 132|{2R x x x y y B ∈++-==,则 B A =________。
(3)设U=R,A={b x a x ≤≤|},C U A={x|x>4或x<3},则 a="________," b="">
(4)设U=R , A={x|x 2-x-2=0}, B={x||x |=y +1,y∈A}, 则C U B=______________.
3、解答题
(1) . 已知关于 x 的方程 3x 2+px -7=0的解集为 A ,方程 3x 2-7x +q =0的解集为 B ,若 A ∩ B ={-
3
1},求 A ∪ B .
(2) 已知全集S={不大于 20的质数}, A、 B是S的两个子集, 且满足A∩(C S B)={3,5}, (C S A)∩B={7, 19}, (C S
A)∩(C S B)={2, 17},求集合A和集合B.
范文四：集合间的关系与运算
2013高考一轮复习理数(一)
集合间的关系与运算
&课程解读
一、学习目标:
1. 了解集合的概念、空集、全集的含义 .
2. 理解元素与集合“属于”的关系,集合与集合“包含”或“相等”的关系 . 以及集合 的子、交、并、补集的概念 .
3. 掌握集合的四种表示方法 (列举法、 描述法、 区间法、 Venn 图法) 及集合的子、 交、 并、补集的运算 .
4. 体会数形结合、分类讨论的数学思想在解决集合有关问题中的应用 .
二、重点、难点:
重点:掌握集合的概念及其运算
难点:集合知识的应用 .
三、考点分析:
根据考纲的要求及命题的方向:集合这部分内容考查的是:一:对基本知识的理解,基 础题较多,题型大都是以选择、填空题为主 . 二:集合基础知识的简单应用:如在大题中间 接考查集合知识或在集合方面定义新运算等都是新的命题背景,也是高考命题的热点 .
&知识梳理
(知识网络结构)
???????
?????????????????=??≠??φ?∈∈????????∈B A , A B B A B A , B A , B A A A ) ii (, ) i B A B A , B x , A x Venn . 4. 3. 2. 1则 且 集合相等:若 合的真子集 注:空集是任何非空集 的真子集 是 则 且 真子集:若 任何集合 是任何集合的子集 空集 注:(的子集,记 是集合 那么集合 则 子集:若任意的 集合之间的关系 图法 、描述法、区间法、 集合的表示法:列举法 无限集、空集 集合的分类:有限集、 性、互异性、无序性 集合元素的特性:确定 ,不属于 于:元素与集合的关系:属 集合与集合的表示方法
???????
????????===φ==?∈=??=????=φ==∈∈=??=????φ=φ==∈∈=) B C ) A C ) B A (C ), B C () A C () B A (C A ) A C (C , A ) A C (, U A ) A C }A x U x |x {A C . 3B A B B A , B x A x ) B A (x A A , A A A , A B B A }B x A x |x {B A . 2B A A B A , B x A x ) B A (x A , A A A , A B B A }B x A x |x {B A . 1U U U U U U U U U U u ((注:性质:(且 补集:定义:且 注:性质:或 并集:定义:或 注:性质:且 交集:定义: 常用的结论:若集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 的子集个数是 n
2个,真子集个数是 12-n 个,非空真子集个数是 22-n 个 .
&典型梳理
知识点一:集合的基础知识(集合的表示法、集合之间的关系)
例 1:(基础题)
把下面的说法或表示方法正确的命题的序号填在题后的横线上
(1) 已知集合 S }, , {C B A =中的三个元素是 ABC ?的三个内角, 则三角形一定是非等 腰三角形
(2)集合 A ={(x , y ) |}4|{}4|{}4222+==+==+=x y y x y x x y
(3)若集合 A ) , 0[+∞=,集合 B =) , 0(+∞,则 A B ?
(4) 设 P 表示 ABC ?所在平面上的点 . 且集合 S =}|{PC PB PA P ==, 则 P 是 ABC ?的外心
(5)已知 U 是全集, M 、 N 是 U 的两个子集,若 φ=≠N M U N M , ,则 U N C M C U U =) () (
(6)任何一个集合至少有两个子集
(7)集合 P =}, 01|{2R x x x ∈=-的真子集个数是 4个 .
上述命题中正确命题的序号是 _________________.
【思路分析】 本题考查集合的表示法和集合之间的关系等知识,
(1)考查合元素的特性 — 互异性 .
(2)集合的表示法:
集合 A )}(|{)},(|{)},(|) , {(x f y y C x f y x B x f y y x ======,表示含义不同, A 是点集, B , C 都是数集 .
(3)考查用区间表示集合、子集的含义 .
(4)考查描述法表示集合的含义及三角形外心的概念 .
(5)考查利用 Venn 图表示集合的方法及其简单的应用 .
(6)考查子集的概念,空集是任何集合的子集 .
(7)考查一个集合的子集的个数问题 .
【解题过程】
(1)根据集合元素的特性-互异性知:A , B , C 任意两个角都不相等,故命题正确 .
(2) 三个集合 |) , {(y x }4|{},4|{},4222+=+=+=x y y x y x x y 表示的含义不同, A =|) , {(y x 是数集 是点集, }4x y |x {B }4x y 22+==+=, 4x y 2+=表示函数 的 x 的取 值集合即函数定义域,集合 C ={}4|2+=x y y 表示的是函数 y 的取值集合,即函数的值 域 . 故命题错误 .
(3)由区间表示的含义知:集合 A 中的元素 0B ?,根据子集定义知:A B ?,故命 题正确 .
(4) 由 S =}|{PC PB PA P ==知 P 点到三角形 ABC 的三个顶点的距离相等 . 故命题 正确
(5)根据已知集合 U , M , N 的关系,画出 Venn 图(如图) :知命题正确
.
(6)当 A =φ时,集合 A 的子集只有一个,就是其本身 . 故命题错误 .
(7)由于集合 P ={-1, 1}的子集个数是 22个,真子集个数是 3122
=-个 .
故命题错误 .
正确命题的序号是:(1) (3) (4) (5)
【解题后的思考】 解决这类概念性问题的关键是理解集合表示方法的含义, 特别是用描述法 表示的集合竖线左边的元素是什么要分清楚,对集合关系的判断可以借助数轴、 Venn 图等 工具判断 .
例 2:(中等题)
(1)已知集合 A B A a x x B R x x x ?≥=∈≤=且 },|{},, 2|||{,求 a 的取值范围 .
(2)已知集合 M =}01mx 2mx |R m {N },0m 1|m {2<><-对任意实数 x="" 恒成立,判断集合="" m="" 与="" n="" 的关系="">
【思路分析】 本题考查两个集合关系的判断及两个集合关系的应用 .
对(1)根据 B A ?借助数轴判断,对(2)首先要认识集合 N 的含义,它表示的是 m 的取值集合,然后根据 恒成立 对任意的实数 x mx mx 0122<-+来确定 m="" 的取值范围="">
【解题过程】 (1)化简集合 A =}22|{≤≤-x x ,由集合 B A ?结合数轴得: 2-≤a
(2)化简集合 N :当 m =0时 01mx 2mx 2<-+对任意的实数 x="" 恒成立="">
当 m 0≠时
由 01mx 2mx 2<-+对任意的实数 x="" 恒成立="">
?<>
-10
借助数轴知:集合 M , N 的关系是 N M ≠?
【解题后的思考】 这类问题是集合中常见的经典题型, 主要考查借助数轴判断两个集合的关
系或根据两个集合的关系借助数轴求参数范围的问题, 体现了数形结合的思想的应用 . 在 (1) 中易错点是 a 能否取到-2,需要验证 . 不妨取 a =-2
则 }2|{-≥=x x B ,符合 B A ?.
例 3:(创新题)
已知集合 A =R y , x },10xy |) y , x {(B },07y 4x 4y x |) y , x {(22∈-===++++
(1)对于直线 m 和直线外的一点 P ,用“ m 上的点与点 P 的距离最小值”定义点 P 到 直线 M 的距离与原有的点线距离的概念是等价的,试以类似的方式给出一个点集 A 与点集 B 的“距离”的定义 .
(2)依照你给出的定义求点集 A 与点集 B 的距离 .
【思路分析】 根据题意知:本题是集合新定义问题,解决本题的关键是理解点线距离,定义 的实质是:“点与点距离的最小值”, 在此基础上正确给出两个点集距离的定义, 由此才能 解决第二问 . 在第二问中:集合 A 中的点构成一个圆:圆心为 C (-2,-2) ,半径为 1,即 (1) 2() 222=+++y x , 集合 B 中的点集构成双曲线 . 所以要求点集 A 与点集 B 的距离实 质是求圆 C 上一点与双曲线上一点的距离的最小值 .
【解题过程】
(1)点集 A 与点集 B 距离的定义:在点集 A , B 上分别取一点,所取两点之间的距离 若有最小值,则此最小值为点集 A 与点集 B 的距离 .
(2)设 P (x , y )是双曲线 xy =-10上任意一点,则
24
) 2(28) (4) (8) (42) (8
) (4) 2() 2(||22222222+++=++++=+++-+=++++=+++=y x y x y x y x xy y x y x y x y x PC 当且仅当 ?????+-=?????--=+-=????-==++11111002y x y x xy y x =-时, 2||PC . 最小,此时 |PC|的最小值是 62,即点集 A 与点集 B 的距离的最小值是 2-1.
【解题后的思考】 在集合问题中除了考查基本概念和基本运算外, 还会考查一些有关集合新 定义的问题,这也是高考命题的方向,这类问题考查了学生的抽象概括能力 .
知识点二:集合的运算
例 4:(基础题)解答下列各题
(1)已知集合 A ={x|3<><7},集合 b=""><><5},求 )="" ()="" (,="" b="" c="" a="" c="" b="" a="" u="" u="">
(2)已知集合 },|{},112|{b x a x B x x x A ≤≤=><-=或>
}31|{},2|{≤<=->=x x B A x x B A ,求 a +b 的值;
(3)已知集合 A =}1) 85(log |{},09|{2
222=+-==-+-x x x B a ax x x , }082|{2=-+=x x x C ,问是否存在 a 的值使 φφ=≠C A B A , 同时成立?
【思路分析】 本题考查集合的交、并、补集的基本运算 . 对(1)题借助数轴容易求出 ) () (, B C A C B A U U 或利用性质:) () () (B C A C B A C U U U =解题 . 对(2)题同样
借 助 数 轴 由 B A B A , 求 a , b 的 值 . (3) 题 :先 化 简 集 合 B 、 C , 再 根 据 φφ=≠C A B A , 同时成立的两个条件求 a 的值 .
【解题过程】 (1)由数轴得:B A ={x|-1<><>
}17|{) (-≤≥=∴x x x B A C U 或 ,故 }17|{) () (-≤≥=x x x B C A C U U 或
(2)由数轴观察得:a =1, b =3,
即 a +b =4
(3)对于集合 B :由 3, 20651) 85(log 21222==?=+-?=+-x x x x x x , 即 B ={2, 3}, C ={-4, 2}
由 φφ=≠C A B A , A A ?∈?2, 3
把 x =3代入方程 092
2=-+-a ax x 求得 a =0或 a =3
验证:当 a =0时, A ={3,-3},当 a =3时, A ={3, 0}都满足已知条件 .
故所求 a 的值是 0, 3.
【解题后的思考】 对于集合的交、 并、 补集的运算要能熟练的利用数轴或利用 Venn 图解决 . 使抽象的问题形象化 . 这类问题大多是填空题或选择题或大题中的一个步骤而已 . 但对以集 合为载体的大题((3)题)要掌握解决问题的切入点 . 如:本题的切入点就是对条件 “ φφ=≠C A B A , ”的理解 .
例 5:(中等题)
1. 已知集合 A }023|{2=+-=x ax x
(1)若集合 A 是空集,求 a 的取值范围 .
(2)若集合 A 中只含有一个元素,求 a 的值 .
(3)若集合 A 中至多含有一个元素,求 a 的取值范围 .
2. 已知集合 M =}0y x 2x |) y , x {(22=++,集合 N ={(x , y ) |y=x +a},
若 ) N M ( ≠?φ,求 a 的取值范围 .
【思路分析】 根据题意知:题 1:考查集合 A 中的元素的个数与方程 0232=+-x ax 的根的个数关系,从而转化为判定方程 0232=+-x ax
解的个数问题,这是本题的切入点 .
题 2:在理解 ) N M ( ≠?φ含义的前提下转化为直线与圆的位置关系的问题 .
【解题过程】 1. 集合 A 是方程 0232=+-x ax 的解集 .
(1)集合 A 为空集等价于:0232=+-x ax 的解集为空集, 即 8
908) 3(2>?<--=?a a="" ,故当="" 89="">a 时,集合 A 为空集 . (2)集合 A 只含有一个元素包含两种情形:(i ) 0232=+-x ax 是一次方程
此时 a =0, (ii ) 0232=+-x ax 有等根 ?8
90=?=?a 故当 a =0或 a =8
9时,集合 A 只含有一个元素 . (3)集合 A 中至多含有一个元素包含两种情形:(i ) A 为空集, (ii ) A 中只含有一个 元素 .
综合(1) (2)知:所求 a 的取值范围是 }0{}8
9|{ ≥a a
2. 由已知:) N M ( ≠?φ得:集合 N M 非空 . 而集合 M 中的点构成圆 C : 1) 1(22=++y x ,集合 N 中的点构成直线 L :y =x +a,
故集合 N M 非空等价于直线 L 与圆 C 有公共点, 即:212112|
01|+≤≤-?≤+--a a , 故所求 a 的取值范围是 ]21, 21[+-
【解题后的思考】 像这类以集合包装的题型不仅考查集合的概念和集合的运算, 更重要的是 考查利用数形结合、 分类讨论、 方程的数学思想解决问题, 如本题也可利用方程的数学思想
解决集合 N M 非空等价于方程组 ???+==++a
x y y x x 0222有解的问题 .
例 6:(创新题) :
1. 非空集合 G 关于运算 ⊕满足:
(i )对任意的 a , b G ∈都有 a +b G ∈, (ii )存在 e G ∈,使得对一切 a G ∈都有: a a e e a =⊕=⊕,此时关于运算 ⊕的集合为“融洽集”.现给出下列集合运算:
(1) G ={非负整数 }. ⊕为整数的加法 .
(2) G ={偶数 } . ⊕为整数的乘法 .
(3) G ={平面向量 }. ⊕ 为平面向量的加法 .
(4) G ={虚数 }. ⊕为复数的乘法 .
其中 G 关于运算 ⊕为融洽集的有哪些?并说明理由 .
2. 设集合 S =}, , , {3210A A A A , 在集合 S 上定义运算:k j i A A A =⊕, 其中 k 是 j i +被 4整除的余数 . () 3, 2, 1, 0, =j i , 满足关系式:02) (A A X X =⊕⊕(S X ∈) 的集合 X 的个数是( )
A . 4 B . 3 C . 2 D . 1
【思路分析】 按照题意, 这两题都是新定义集合的创新试题 . 1. 按照新集合“融洽集”的定 义逐一判断 . 2. 关键是理解:在集合 S 上定义运算法则 . S X ∈,故 3210, , , A A A A X =等,然后逐一验证 .
【解题过程】 1. (1)由于任意的两个非负整数之和还是非负整数满足(i ) ,同时存在 e =0满足(ii ) ,故为融洽集 .
(2)任意的两个偶数之和仍是偶数满足(i ) ,但不存在偶数 e ,
使 a a e e a =⊕=⊕成立 . 故不是融洽集
(3)由于任意的两个向量的和仍是向量,满足(i ) ,存在 0=e 满足条件(ii ) ,故是融 洽集 .
(4)由于任意两个虚数的和不一定是虚数,不满足(i ) ,故不是融洽集 .
2. 当 0A X =时, 0+0被 4整除余数是 0,故 22) (A A X X =⊕⊕不满足题意 . 当 1A X =时, 1+1被 4整除余数是 2,此时满足 02) (A A X X =⊕⊕
当 2A X =时, 2+2被 4整除余数为 0,此时 22) (A A X X =⊕⊕不满足题意
当 3A X =时, 3+3被 4整除余数为 2,此时满足 02) (A A X X =⊕⊕
故本题选 C .
【解题后的思考】 像这类创新型的集合问题是新课标高考命题的热点, 解题的关键是对已知 中的自定义集合“运算”或自定义“集合”中的定义的理解 .
&提分技巧
(1)在知识点一中出现的题型大都是选择题或填空题,掌握集合的基础知识是关键 . 同时,要能利用数轴、 Venn 图等数学工具解决问题 .
(2)在集合的交、并、补集的基本运算中,基本上都以填空题或选择题出现,根据考 纲的要求,一般计算量不会太大 . 主要考查基础与能力,掌握数轴或 Venn 图的数学工具的 应用会给解题带来很大的方便, 在以集合为载体的大题中要注重数学思想方法的应用, 集合 的创新问题一般难度不太大,但解题的关键是理解新定义、应用新定义 . 同时规范的解题步 骤也是得分的重要环节 .
&同步练习 (答题时间:60分钟,满分 60分)
一、选择题(每题 5分 计 20分)
1. 下列命题或表达式正确的个数是( )个
(1) φφ?. (2) 0φ∈. (3)若集合 A ={x|}012=+x ,则集合有 2个子集 .
(4) }1|{}1|{22+==+=x y y x y x , (5) M ={直线 }, N ={圆 },则 φ=N M
(6) ) () (B A C B A C U U =.
A . 2 B . 3
C . 4 D . 5 2. 集合 M ={(x , y ) |x+y =2} N ={(x , y ) |x-y =4},则 =N M ( ) A . x=3, y =-1
B . (3,-1) C . {3,-1}
D . {(3,-1) } *3. 设 U =R , A ==>=>B C A x x B x x U },1|{},0|{( )
A . }1x 0|x {<>
B . }1x 0|x {≤< c="" .="" }0x="" |x="">< d="" .="" }1x="" |x="" {="">
*4. 集合 M ={x|}0x 2cos |x {N },1x tan 2===,则 M , N 的关系是( )
A . N M ?
B . M N ? C . N M =
D . φ=N M
二、填空题(每题 5分,计 15分)
5. 集合 M ={}1) 1x (k y |) y , x (+-=,集合 N ={}02|) , (22=-+y y x y x
则 N M 的子集的个数是 ___________.
6. 设集合 A ={???≤-+>a
24x a 1x |x 2
},若 A 非空,则 a 的取值范围是 _________.
7. 从自然数 1-20这 20个数中,任取 2个相加,得到的和作为集合 M 中的元素,则 M 的非空子集的个数是 _________.
三、计算题:(25分)
8. 设集合 A ={B A },12
x 1x 2|
x {B },2|a x ||x ?<><-,求 a="" 的取值范围="" .="">
9. 已知集合 A ={2, 4, 6, 8, 9}, B ={1, 2, 3, 4, 5, 8},又知集合 C 是这样的一 个集合:若 C 中的各个元素都加上 2,则变为 A 的一个子集,若 C 中的各个元素都减去 2, 则变为 B 的一个子集,求集合 C 的个数 . (5分)
10. 已知集合 A ={}01|{},0|22=++==++px qx x B q px x x 同时满足下面的条 件:
(i ) ) 0, (},2{) () (, ≠-=≠q p B C A ii B A R φ,求 p , q 的值 . (10分)
一、选择题
1. A 解析:(1) (5)是正确的 .
2. D
3. B
4. C 解析:由 41tan 1tan 2ππ±
=?±=?=k x x x , 由 422202cos ππππ±=?±
=?=k x k x x ,故 M =N .
二、填空题 5. 4 解析:由 0) 1(2) 1(0
21) 1(222222=-+-+????=-++-=k x k x k y y x x k y , 04) 1)(1(44, 012242>=-+-=?≠+k k k k ,
N M ∴中有两个元素, N M ∴的子集有 4个 .
6. (-1, 3) 解析:由已知:3a 1a 24a 12<><>
7. 1237- 解析:由已知集合 M 中的最小数是 1+2=3,最大数是 19+20=39, 故集合 M 中共有 37个元素 .
三、计算题
8. 解:化简集合 A =}32|{},22|{<><-x x="" b="" a="" x="" a="" x="" ,集合="" a="" 显然非空,="" 利用数轴由="" b="" a="">
222≤≤????≤+-≥-a a a ,
故 a 的取值范围是[0, 1].
9. 解:(逆向思维) A 中的元素都减去 2得集合 D ={0, 2, 4, 6, 7}, B 中的元素都 加上 2得集合 E ={3, 4, 5, 6, 7, 10},故集合 C 是集合 D 与集合 E 的交集的真子集,故 集合 C 有 7123=-个 .
10. 解:设 x 0是集合 A 中的元素,则 01110020020=+?+?
?=++x p x q q px x , 故 B x ∈0
1,即集合 A , B 中的元素互为倒数 . 由 φ≠B A 一定有:0
01x x =10±=?x ,又 A 2}2{) B C (A R ∈-?-= , 故 A ={1,-2}或 A ={-1,-2}, 由此求得 21
, 1{21, 1{--=-=B B 或 ,
由根与系数的关系知:
?
??==???-==????=?-???=-?-=-+2q 3p 2q 1p q 2) (1) (p 21q ) 2(1p ) 2(1或 --)=)+(-(-或 .
范文五：集合间的关系与运算练习
1
2.集合间的关系与运算
一.选择题
1. 已知集合 }24|{
A. M a ? B. M a ∈}{ C. M a ? D. M a ≠?}{
2. 已知集合 }{直线 =P , }{圆 =Q ,则 Q P ?中元素的个数为( )
A. 0, 1, 2其中之一 B. 0 C.无穷多个 D.无法确定
3. 下列各组函数中表示同一函数的是( )
A. 1) (-=x x f 与 12) (2
+-=x x x g B. 11) (2--=x x x f 与 1) (+=x x g C. 2) (x x f = 与 ||) (x x g -= D. 1) (=x f 与 0) (x x g =
4. 如果 U 是全集, S P M , , 是 U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合为 ( )
A. S P M ??) (;
B. S P M ??) (;
C. ) () (S C P M U ??;
D. ) () (S C P M U ??
5. 已知集合 22{31},{31}P x x m m T x x n n ==++==-+, 有下列判断 :
① 5{}4P T y y ?=≥-; ② 5{4
P T y y ?=≥- ; ③ P T ?=? ; ④ P T =,其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 已知 C B A , , 是三个集合,若 C B B A ?=?,则一定有( )
A. C A ? B. A C ? C. A C ≠ D. φ=A
7. 不等式 02>++c bx ax 的解集是 }21|{<-x x="" ,那么不等式="" ax="" c="" x="" b="" x="" a="" 2)="" 1(}1(2="">+-++的解集是( ) A. }30|{ C. }12|{<-x x="" d.="" }12|{="">- 2 8. 设 B A , 是两个非空的集合,定义集合 }, |{*B x A x x B A ?∈=且 , 依据上述规定,集合 )=(B A A ** ( ) A. B A ? B. B A ? C. A D. B 二.填空题 9. 已知集合 }, , |) , {(2R y x x y y x M ∈-==, }, 1|) , {(R y x y x N ∈==,则 N M ?=____________。 10. 已知集合 M ={-8, 1, 9},集合 N ={1, m -1},若 N ? M ,则实数 m = ________. 11. A ={x |x 2-2x -3=0}, B ={x |ax -1=0}.若 B 是 A 的子集,则 a 的值为 12. 已知 {15},{4}A x x x B x a x a =<->=≤<+或 ,="" 若="" a="" ?≠b,="" 则实数="" a="" 的取值范围是=""> 13. 已知集合 }2, , {d m d m m A ++=, }, , {2mq mq m B =,其中 0≠m ,且 B A =,则 =q __________ 。 14. 集合 A ={x |1 三.解答题 15. 设 B A , 都是不超过 9的正整数组成的全集 U 的子集, }9, 1{) () (=?B C A C U U , }8, 6, 4{) (=?B A C U ,求 集合 B A , 。 16. 已 知 集 合 }02|{2≤-+=x x x A , }412|{≤+<=x x="" b="" ,="" }0|{2="">++=c bx x x C , 并 且 满 足 φ=??C B A ) (, R C B A =??) (,求 c b , 的值。 17. 设集合 A ={x |x 2+4x =0}, B ={x |x 2+2(a +1) x +a 2-1=0, a ∈ R },若 B A ,求实数 a 的取值范围. 3 18. 已知集合 }0) 3)((|{>--=a x a x x A (0>a ) , }086|{2<+-=x x="" x="" b=""> 1)若 A ?≠B ,求实数 a 的取值范围; 2)若 φ=?B A , 求实数 a 的取值范围; 3)若 }43|{<=?x x="" b="" a="" ,="" 求实数="" a=""> 19. 设集合 A ={x |-1≤ x ≤6}, B ={x |m -1≤ x ≤2m +1},已知 B ? A . 求实数 m 的取值范围. 20. 已知二次函数 ) (x f 的二次项系数为 a ,且不等式 x x f 2) (->的解集为(1, 3) 1)若方程 06) (=+a x f 有两个相等的根,求 ) (x f 的解析式; 2)若 ) (x f 的最大值为正数,求实数 a 的取值范围。 转载请注明出处范文大全网 » 集合及集合间的关系运算
