油条老大i12407336
范文一：高数-无穷级数
第十二章 无穷级数
§12. 1 常数项级数的概念和性质
教学目的：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件 教学重点：级数的基本性质及收敛的必要条件； 教学难点：级数收敛的必要条件。 教学内容：
一、常数项级数的概念
定义1： 设{u n }是一个数列，则称表达式
n
∑u
n =1
∞
n
=u 1+u 2++u n +
为一个数项级数，简称级数，其中第n
项u n 称为级数的通项或一般项，S n =
∞
∑u
k =1
k
称为级数的部分和．
定:2： 若数项级数
∑u
n =1
n
的部分和数列{S n }有极限，则称级数
∞
∑u
n =1
∞
n
收敛，极限值lim S n =A 称为此级数的和，
n →∞
并写成
∑u
n =1
∞
n
=A ．当lim S n 不存在时，则称级数∑u n 发散．
n →∞
n =1
例1、讨论等比级数(几何级数) 比.
n =0
∑aq n =a +aq +aq 2+ ? ? ? +aq n + ? ? ? 的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公
∞
解：如果q ≠1, 则部分和s n =a +aq +aq + ? ? ? +aq
2n -1
a -aq n aq n a ==-.
1-q 1-q 1-q
∞a a
当q <1时, 因为lim="" s="" n="," 所以此时级数∑aq="" n="" 收敛,="">
n →∞1-q 1-q n =0
∞
当q >1时, 因为lim S n =∞, 所以此时级数∑aq n 发散.
n →∞
n =0
如果q =1，则当q =1时, S n =na →∞, 因此级数
n =0
∑aq
∞
n
发散；当q =-1时, 级数
n =0
∑aq n 成为
∞
∞
a -a +a -a +, 此时因为S n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以S n 的极限不存在, 从而这时级数∑aq n
n =0
也发散.
综上所述, 如果q <1,>
n =0
∞
∑aq
∞
n 收敛,
∞
a
其和为; 如果q ≥1 则级数∑aq n 发散.
1-q n =0
仅当|q |<1时, 几何级数例2、="">
n =0
∑aq n a ≠0) 收敛, 其和为1-q .
+n +
是发散的.
a
n (n +1)
. 显然, lim s n =∞, 因此所给级数是发散的. 2n →∞
1+1+1+ ? ? ? +1+ ? ? ?
例3、 判别无穷级数 的收敛性.
1?22?33?4n (n +1)
证 此级数的部分和为s n =1+2+3+ ? ? ? +n = 解： 由于u n = S n =
1=1-1
, 因此
n (n +1) n n +1
111111111) =1-1 +++ ? ? ? + =(1-) +-) + ? ? ? +-
223n n +1n +11?22?33?4n (n +1)
1
) =1, 所以这级数收敛, 它的和是1. n +1
∞
从而lim S n =lim(1-
n →∞
n →∞
例4、证明调和级数
1
发散。 ∑n n =1
11
++23
+
11>ln(1+1) +ln(1+) +n 2
1
+ln(1+) >ln(1+n )
n
证明：因为x >0,ln(1+x )
n →∞
二、收敛级数的基本性质
性质1 设
∑u , ∑v
n n =1
n =1∞∞
n
都收敛，和分别为A , B ，则
∑(u
n =1
∞
n
±v n ) 必收敛，且∑(u n ±v n ) =A ±B ；
n =1
∞
性质2 设k 为非零常数，则级数
∑u
n =1
∞
∞
n
与
∑ku
n =1
∞
n
有相同的敛散性；
性质3 改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性； 性质4 级数收敛的必要条件：如果
∑u
n =1
n
收敛，则lim u n =0；
n →∞
性质5 收敛的级数在不改变各项次序前提下任意加括号得到的新级数仍然收敛且和不变． §12. 2 常数项级数的审敛法
教学目的：掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 教学重点 ：正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和交错级数的莱布尼茨判别法。 教学难点：莱布尼茨判别法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛。 教学内容：
一、正项级数及其审敛法
各项为非负（u n ≥0）的级数1、正项级数收敛的基本定理 定理1 设{S n }是正项级数
∑u
n =1
∞
n
称为正项级数．
∑u
n =1
∞
n
的部分和数列，则正项级数
∑u
n =1
∞
n
收敛的充要条件是数列{S n }有界．
2、正项级数的比较判别法
定理2（正项级数比较判别法的非极限形式）设
∑u , ∑v
n n =1
n =1∞
∞∞
n
都是正项级数，并设u n ≤v n , (n ≥N 0) ，则
① 若
∑v
n =1
∞
n
收敛，则
∞
∑u
n =1
∞
n
收敛；② 若
∑u
n =1
∞
n
发散，则
∑v
n =1
n
发散．
例1 讨论P -级数∑
1(p >0) 的收敛性.
p n =1n
∞∞
1111解：设p ≤1. 这时≥, 而调和级数∑发散, 由比较审敛法知, 当P ≤1时级数∑发散.
n n n =1n n =1n
设p >1. 此时有
∞
1=n 1dx ≤n 1dx =1[11](n =2, 3,).
-?p ?n -1p p p -1n -1x p -1(n -1) n n n p -1
对于级数
n =2
∑[(n -1) -n ], 其部分和
1]+[1-1+ ? ? ? +[1-11=1-. p -1p -1p -1p -1p -1p -1
223n (n +1) (n +1) 1]=1.
(n +1) p -1
11
s n =[1-
因为lim s n =lim [1-
n →∞
n →∞
∞
111当p >1时收敛.
所以级数∑[收敛. 从而根据比较审敛法可知, 级数-]∑p p -1
n p -1n =2(n -1) n =1n
∞
综上所述, P -级数∑
∞
1当p >1时收敛, 当p ≤1时发散。
p n =1n
∞
例2、 证明级数∑
n =1
1是发散的. (n +1)
∞
1111=1+1+ ? ? ? +1+ ? ? ? 是发散的,
证 因为, 而级数∑>=
n +1(n +1) (n +1) 2n +1n =1n +123
根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3 （正项级数比较判别法的极限形式）设
∑u n , ∑v n 都是正项级数，并设lim
n =1
n =1
∞∞
u n
=ρ或为+∞，则
n →∞v n
① 当ρ为非零常数时，级数
∑u , ∑v
n n =1
n =1
∞∞
n
有相同的敛散性；
② 当ρ=0时，若
∑v
n =1
∞
n
收敛，则必有
∑u
n =1
∞
n
收敛；
③ 当ρ=+∞时，若
∑v
n =1
∞
n
发散，则必有
∑u
n =1
∞
n
发散．
例3、 判别级数∑sin
n =1
∞
1的收敛性.
n
sin 1∞∞
1解： 因为 lim =1, 而级数∑发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑sin 1发散.
n n →∞n =1n n =1
n
例4、 判别级数∑ln(1+
n =1∞
1的收敛性.
n 2
ln(1+1) ∞∞
1=1, 而级数∑收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑ln(1+1) 收敛. 解： 因为 lim
n →∞n n =1n n =12n
3、正项级数的比值判别法
∞
u n +1
=ρ或为+∞，则级数∑u n 有 定理4 设∑u n 是正项级数，若lim
n →∞u n =1n =1n
∞
① 当ρ<1时，收敛； ②="" 当ρ="">1或∞时，发散； ③ 当ρ=1时，敛散性不确定．
例5 证明级数1++
11+1+ ? ? ? +1+ ? ? ? 是收敛的. 11?21?2?31?2?3 ? ? ? (n -1)
解： 因为 lim
u n +11?2?3 ? ? ? (n -1) = lim = lim 1=0<1,>
n →∞u n n →∞1?2?3 ? ? ? n n →∞n
例6 判别级数
1+1?2+1?2?3+ ? ? ? +n ! + ? ? ? 的收敛性.
1010210310n
u n +1(n +1)! 10n
= lim ?= lim n +1=∞, 根据比值审敛法可知所给级数发散. 解 因为 lim
n ! n →∞10n →∞u n n →∞10
例7 判别级数
1的收敛性.
(2n -1) ?2n n →∞
∑
∞
解 lim
u (2n -1) ?2n = lim =1.
n →∞u n n →∞(2n +1) ?(2n +2)
这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.
∞
11<2, 而级数∑12收敛,="" 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.="">
(2n -1) ?2n n n =1n
4、正项级数的根值判别法
将比值判别法中的
u n +
1
，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法． u n
例8、 证明级数1+
1+1+ ? ? ? +1+ ? ? ? 是收敛的. 23n n →∞
解： 因为 lim n = lim n →∞
1= lim 1=0, 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.
n n n →∞n
2+(-1) n
例9、判定级数∑的收敛性. n
2n =1
解： 因为lim n =lim
n →∞
∞
12+(-1) n =1, 所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛.
2n →∞2
二、交错级数及其审敛法 1. 交错级数定义
定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如、为交错级数． 例如, ∑(-1)
n =1∞
n -11
∑(-1)
n =1
∞
n -1
u n ,(u n >0) 或∑(-1) n u n ,(u n >0) 的级数，称
n =1
∞
是交错级数, 但∑(-1) n -11-cos n π 不是交错级数.
n n n =1
∞
2. 交错级数的莱布尼兹判别法 定理5 ：若交错级数
∑(-1)
n =1
∞
n -1
u n ,(u n >0) 满足条件
① u n ≥u n +1(n =1,2, ) ； ② lim u n =0，
n →∞
则交错级数
∑(-1)
n =1
∞
n -1
u n ,(u n >0) 收敛，其和S ≤u 1其余项S -S n 满足S -S n ≤u n +1．
1n
例10、 证明级数∑(-1) n -1 收敛。
n =1
∞
证 这是一个交错级数. 因为此级数满足：(1)u n =>
11=u (n =1, 2,? ? ?) , (2)lim u =lim 1=0。
n
n n +1n +1n →∞n →∞n
1.
n +1
由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s
定义：若级数∑|u n |收敛, 则称级数∑u n 绝对收敛；若级数∑u n 收敛, 而级数∑|u n |发散, 则称级∑u n 条件收
n =1
n =1
n =1
n =1
n =1
∞∞∞∞∞
敛.
例如：级数∑(-1)
n =1∞
n -1
1是绝对收敛的, 而级数∞(-1) n -11是条件收敛的.
∑n n 2n =1
2、绝对收敛与收敛的关系
:定理6：如果级数∑u n 绝对收敛, 则级数∑u n 必定收敛.
n =1
n =1
∞
∞
∞
∞
说明：如果级数∑|u n |发散, 我们不能断定级数∑u n 也发散.
n =1∞
n =1
例11、判别级数∑
sin na 的收敛性.若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛
2
n =1n
∞∞∞
1sin na sin na 绝对收敛. sin na 1解： 因为|, 而级数是收敛的, 所以级数也收敛, 从而级数|||≤∑∑∑n 2n 2n =1n n =1n n =1n
∞
例12、判别级数
n -1
(-1) ∑n =1
1
的收敛性.若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛
n -ln n
∞∞
11111
>，而∑发散，所以∑=0． 解：由于发散。又该级数是交错级数，显然lim
n →∞n -ln n n n -ln n n =1n -ln n n =1n
1
1<0,(x>1) ，所以?1?单调减少． 令f (x ) =，则f '(x ) =??
(x -ln x ) 2x -ln x ?n -ln n ?
-1+
由莱布尼兹判别法可知，原级数收敛．原级数收敛且绝对收敛。
例13、讨论下列级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛，说明理由 （1
）
； （2）∑?∑) ；
n =1
n =1
∞
∞
(n +1) π
n π
sin x
dx x
n 解：（1
）u n =) =-n π+n π) =(-1) -n π)
=(-1) n
由于u n =(-1) n =sin
lim
n →∞
u n 1
=π，所以利用比较判别法的极限形式2n
可得，级数
∑
u n 发散，又因为u n =n =1
∞
总是单减的趋于零，故由交错级数的“莱布尼兹判别法”
知，级数
∑u
n =1
∞
n
收敛，且为条件收敛．
（2）由于
?π
n
(n +1) π
πsin t sin x x =n π+t π(-1) n sin t n
dx =?dt =(-1) ?dt
00n π+t x n π+t
所以原级数为交错级数． 先判定级数
∑?π
n =1
n
∞
(n +1) π
∞πsin t sin x
dx =∑?dt 的敛散性
0x n π+t n =1
sin t sin t sin t
≤≤ ，
n π+πn π+t n ππ2sin t 2≤?dt ≤所以 --------------------------------------------（1） 0n π+πn π+t n π
由于当0
∞∞(n +1) πsin x πsin t 2
由于级数∑发散，所以级数∑?dx =∑?dt 发散．
n π0x n π+t n =1n =1n =1n π+π
∞
因为原级数为交错级数，由（1）利用夹逼定理可知lim
n →∞0
?
π
sin t
dt =0，又因为当 n π+t
0
πsin t πsin t sin t sin t ?πsin t ?
，所以?>dt >?dt ，从而数列??dt ?单减．由
0n π+t 0(n +1) π+t n π+t (n +1) π+t ?0n π+t ?
莱布尼兹判别法知原级数收敛，因此级数收敛且为条件收敛．
§ 12. 3 幂级数
教学目的：了解函数项级数的收敛域及和函数的概念、理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 教学重点：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 教学难点：函数项级数的收敛域及和函数； 教学内容：
一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义 定义：设函数u n (x )(n =1,2,3
∞
) 都在D 上有定义，则称表达式
∑u (x ) =u (x ) +u (x ) +
n
1
2
n =1
为定义在D 上的一个函数项级数，u n (x ) 称为通项，S n (x ) =2．收敛域 定义：设
∑u (x ) 称为部分和函数．
k k =1
∞
∞
∞
∑u (x ) 是定义在D 上的一个函数项级数，x
n n =1
∞
若数项级数∑u n (x 0) 收敛，则称x 0是∑u n (x ) 的∈D ，
n =1
n =1
一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域． 3．和函数 定义：设函数项级数
则任给x ∈I ，存在唯一的实数S (x ) ，使得S (x ) =∑u (x ) 成立．定∑u (x ) 的收敛域为I ，
n
n
n =1
n =1
∞
∞
∞
义域为I 的函数S (x ) 称为级数
∑u (x ) 的和函数．
n n =1
二、幂级数 1．幂级数的定义 定义：设{a n }(n =0,1,2,
) 是一实数列，则称形如∑a n (x -x 0) n 的函数项级数为x 0处的幂级数．
n =0
∞
∞
x 0=0时的幂级数为∑a n x n ．
n =0
2．阿贝尔定理
定理：对幂级数
∑a (x -x )
n
n =0
∞
n
有如下的结论：
⑴ 如果该幂级数在点x 1收敛，则对满足x -x 0
∑a (x -x )
n
n =0∞
n
∞
n
都绝对收敛；
⑵ 如果该幂级数在点x 2发散，则对满足x -x 0>x 2-x 0的一切的x 对应的级数
∞
∑a (x -x )
n =0
n
都发散．
例1：若幂级数敛？
∑a (x -2)
n n =0
n
在x =-1处收敛，问此级数在x =4处是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收
解：由阿贝尔定理知，幂级数
∑a (x -2)
n n =0
∞
n
在x =-1处收敛，则对一切适合不等式
x -2<>
三、幂级数收敛半径、收敛区间
如果幂级数
∑a (x -x )
n
n =0
∞
n
不是仅在x =x 0处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定存在一个正数R ，它
具有下述性质： ⑴ 当x -x 0
∑a (x -x )
n
n =0
∞
n
绝对收敛；
⑵ 当x -x 0>R 时，
∞
∑a (x -x )
n
n =0
∞
n
发散．
如果幂级数
∑a (x -x )
n
n =0
∞
n
仅在x =x 0处收敛，定义R =0；如果幂级数
∑a (x -x )
n
n =0
∞
n
在(-∞, +∞) 内收敛，则
定义R =+∞． 则称上述R 为幂级数间．
四、幂级数收敛半径的求法 求幂级数
∑a (x -x )
n
n =0
n
的收敛半径．称开区间(x 0-R , x 0+R ) 为幂级数
∑a (x -x )
n
n =0
∞
n
的收敛区
∑a (x -x )
n
n =0
∞
n
的收敛半径R
a n +1(x -x 0) n +1
法一：⑴ 求极限ρ(x -x 0) =lim n n →∞a n (x -x 0)
⑵ 令ρ(x -x 0) <1?x -x="">
法二：若a n 满足a n ≠0，则R =lim
n →∞
a n
； a n +1
法三；⑴
求极限ρ(x -x 0) =n ⑵ 令ρ(x -x 0) <1?x -x="">
∞∞
x n n 2n -12n -2
⑴∑n
⑵ ⑶∑ x n
2n =1n =12n ! n =1
∞
a n 12n +1(n +1)!
解：⑴ 收敛半径R =lim =lim n ?=+∞，
n →∞a n →∞2n ! 1n +1
所以收敛域为(-∞, +∞) ； ⑵
收敛半径R =lim
n →∞
a n ==1 a n +1n ∞
n
当x -5=-
1时，对应级数为
n =1
当x -5=
1时，对应级数为
n =1
∞
P -级数， 于是该幂级数收敛域为[4,6)；
x 22n +12n 2n
= ⑶ 由于ρ(x ) =lim n +1x ?
n →∞2(2n -1) x 2n -22
令ρ(x )
1，可得x
，所以收敛半径为R =
2n -1
，此级数发散，
∑2n =1
∞
当x =于是原幂级数的收敛域为(． 五、幂级数的性质
设幂级数
∑a (x -x )
n
n =0
n
∞
n
∞
n
收敛半径为R 1；
∞
∑b (x -x )
n
n =0
∞
n
收敛半径为R 2，则
1．
∑a (x -x ) ±∑b (x -x ) =∑(a
n
n
n =0
n =0
n =0
∞
n
∞
n
∞
n
n
∞
n
，收敛半径R ≥min(R 1, R 2) ； ±b )(x -x ) n n 0
2．[
∑a (x -x ) ]?[∑b (x -x ) ]=∑(∑a b
n =0
n =0
n =0
i =1
n
i n -i
)(x -x 0) n ，收敛半径R ≥min(R 1, R 2) ；
3．幂级数
∑a (x -x )
n
n =0
∞
∞
n
的和函数S (x ) 在其收敛域I 上连续；
4．幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有 S '(x ) =[
∑a (x -x ) ]'=∑[a (x -x ) ]'=∑na (x -x )
n
n
n
n
n
n =0
n =0
n =1
∞∞
n -1
．
5．幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有
?
x
x 0
S (x ) d x =
?
x
x 0
[n a (-x 0x ) ]d =∑x ∑
n
n =0
n =0
∞∞
?
x
x 0
-0x n [a (
n
1x ) ]=d n +1n =0
∞
n
n 1
-a (0+x ) x
例3： 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内的和函数 ⑴
∑nx
n =1
∞
n -1
x 4n +1
(-1
4n +1n =1
∞
解：⑴ 令S (x ) =
∑nx
n =1
∞
n -1
(-1
∞
∞
?
x
S (x ) dx =?(∑nx
n =1
x
n -1
) dx =∑x n =
n =1
x 1-x
所以S (x ) =
1-x +x 1
=,(-1
(1-x ) (1-x )
∞
x 4n +1
⑵ 令S (x ) =∑(-1
n =14n +1
∞
x 4n +1x 44n
S '(x ) =(∑ ) '=∑x =4
1-x n =14n +1n =1
∞
x x 41111
dx =(-1+?+?) dx 所以S (x ) =?22?001-x 421+x 21-x
x
=
∞
11+x 1ln +arctan x -x ，(-1
n
例4：求幂级数
∑(2n +1) x
n =0
∞
的收敛域，并求其和函数。
解：易求得收敛域为(-1,1)
∞
11
因为∑(2n +1) x =∑2nx +∑x =2x ∑(x ) '+=2x [∑x n ]'+
1-x 1-x n =0n =0n =0n =0n =0
n
n
n
n
∞
∞
∞
111+x
，x ∈(-1,1) 。 =2x () '+=
1-x 1-x (1-x ) 2
所以和函数为s (x ) =
∞
1+x
, x ∈(-1,1) 。 2
(1-x )
例5：:求幂级数∑
1x n
的和函数.
n +1n =0
1x n
x ∈[-1,1). 显然s (0)=1. ,
n =0n +1
∞
解： 求得幂级数的收敛域为[-1,1) . 设和函数为s (x ), 即s (x ) =∑
∞
∞∞
11n +1n +1
x 的两边求导得[xs (x ) ]'=∑(x ) '=∑x n =1. 在xs (x ) =∑
1-x n =0n +1n =0n +1n =0
对上式从0到x 积分, 得xs (x ) =?
1=-ln(1-x ) .
01-x
x
??-1ln(1-x ) 0<|x><11于是, 当x="" ≠0时,="" 有s="" (x="" )="-ln(." 1-x="" )="" .="" 从而s="" (x="" )="">
x ?1 x =0?
(-1) n
例7：求级数∑的和.
n +1n =0
∞
∞(-1) n
1x n
解：考虑幂级数∑, 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则s (-1) =∑.
n +1n +1n =0n =0
∞
∞(-1) n
1=ln 1. 在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1) =ln2, s (-1) =ln , 即∑
22n =0n +1
§12. 4 函数展开成幂级数
x α
ln(1+x ) e ,sin x ,cos x (1+a ) 教学目的：了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，掌握，和的麦克劳林展
开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 教学重点：常用函数的麦克劳林展开式； 教学难点：泰勒级数；
教学内容
一、函数展开成幂级数的定义
定义：设函数f (x ) 在区间I 上有定义，x 0∈I ，若存在幂级数
∞
∑a (x -x )
n
n =0
∞
n
，使得
f (x ) =
∑a (x -x ) , ?x ∈I
n
n
n =0
则称f (x ) 在区间I 上能展开成x 0处的幂级数． 二、展开形式的唯一性
定理：若函数f (x ) 在区间I 上能展开成x 0处的幂级数 f (x ) =则其展开式是唯一的，且
∑a (x -x ) , ?x ∈I
n
n
n =0
∞
f (n ) (x 0)
a n =
n !
三、泰勒级数与麦克劳林级数 1．泰勒级数与麦克劳林级数的定义
(n =0,1,2, ) ．
定义：如果f (x ) 在x 0的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数
∑
n =0
∞
f (n ) (x 0) f '(x 0) n
(x -x 0) =f (x 0) +(x -x 0) +n ! 1! f (n ) (x 0)
+(x -x 0) n +
n !
为函数f (x ) 在x 0点的泰勒级数．
当x 0=0时，称幂级数
∑
n =0
∞
f (n ) (0)n f '(0)
x =f (0)+x +n ! 1! f (n ) (0)n
+x +
n !
为函数f (x ) 的麦克劳林级数． 2．函数展开成泰勒级数的充要条件
定理：函数f (x ) 在x 0∈I 处的泰勒级数在I 上收敛到f (x ) 的充分必要条件是：f (x ) 在x 0处的泰勒公式 f (x ) =
∑
k =0
n
f (k ) (x 0)
(x -x 0) k +R n (x ) k !
n →∞
的余项R n (x ) 在I 上收敛到零，即对任意的x ∈I ，都有lim R n (x ) =0． 四、函数展开成幂级数的方法 1．直接法
利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法． 2．间接法
通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开成幂级数的方法．所用的运算主要是四则运算、（逐项）积分、（逐项）求导、变量代换．利用的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式．
幂级数常用的七个展开式
e x
∞
=∑x n
n !
,
x ∈(-∞, +∞)
n =0∞
x =∑(-1) n
x 2n +1
sin ,
x ∈(-∞, +∞)
n =0(2n +1)! ∞
cos x =∑(-1) n
x 2n
x ∈(-∞, +∞)
n =0
(2n )! ,
∞
x ) =∑(-1) n
x n +1
ln(1+-1
n =0
n +1,
(1+x ) α=1+αx +
α(α-1)
x 2+
+
α(α-1)(α-2)
(α-n +1)
2!
n !
x n +
, x ∈(-1,1) 1
∞
1-x =∑x n , x ∈(-1,1)
n =0
1
∞
1+x =∑(-1) n x n , x ∈(-1,1) ．
n =0
例1．将f (x ) =ln
x
1+x
展开成x -1的幂级数。 解：由于f (x ) =ln x -ln(1+x ) ，而
∞
n l n x =l n +[1x -(
=1∑) ]-
n -(1
(x -1)
n
-
11) ;
n =1
x -(=1) ]+l n +x -∞n
l n (+1x =) l n +[21(=+∑) -l n n -1
(x -12
1n =1
n 2n ) -1)
2
≤∑∞
所以f (x ) =-ln 2+
(-1) n -11(1-1)(x -1) n
(0
n 2n
例2．将函数f (x ) =
1
x 2-3x +2
展开成x 的幂级数。并指出其收敛域。
解：因为f (x ) =
1(1-x )(2-x ) =11-x -1
2-x
而
(11)
∞
111∞x n n =∑x (x <1); =∑()="" (x=""><2) 1-x="" n="02-x" 2n="">
∞
11
所以f (x ) =2=∑(1-n +1) x n , 收敛域为(-1,1) 。
x -3x +2n =02
例3
．将f (x ) =x arctan x -ln 解：对f (x ) 求导，得
x 的幂级数。
1x
-=arctan x 22
1+x 1+x
f '(x ) =arctan x +x
∞
1n 2n
再求导得：f ''(x ) ==(-1) x , (-1
1+x n =0
积分得：f '(x ) -f '(0)=
∑(-1) n
n =0
∞
12n +1
x , (-1≤x ≤1) 2n +1
由f '(0)=arctan 0=0得：f '(x ) =
∑(-1) n
n =0
∞
1
x 2n +1, (-1≤x ≤1) 2n +1
x 2n +2
再积分得：f (x ) =∑(-1) , (-1≤x ≤1) 。
(2n +1)(2n +2) n =0
∞
n
§12.5 傅里叶级数
教学目的：了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l , l ]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0,l ]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式； 教学重点：傅里叶级数；
教学难点：傅里叶级数的狄利克雷定理。 一、傅里叶级数
定义1：设函数f (x ) 在区间[-l , l ]上可积，令
1l n πx
dx ,(n =0,1, 2, ) a n =?f (x )cos
l -l l 1l n πx
dx ,(n =1, 2, ) b n =?f (x )sin
-l l l
a 0∞n πx n πx
则三角级数+∑[a n cos +b n sin ]叫f (x ) 以2l 为周期的傅里叶级数，其中
2n =1l l
a n , b n 叫f (x ) 的傅里叶系数．
定义2：设函数f (x ) 在区间[0,2l ]上可积，令
12l n πx
f (x )cos dx ,(n =0,1, 2, ) ?0l l 12l n πx
dx ,(n =1, 2, ) b n =?f (x )sin
0l l
a n =
a 0∞n πx n πx
则三角级数+∑[a n cos +b n sin ]叫f (x ) 以2l 为周期的傅里叶级数，其中
2n =1l l
a n , b n 叫f (x ) 的傅里叶系数．
a 0∞
例1： 设f (x ) =πx +x (-π
2n =1
2
_____．
1l 3πx
dx ， 其中l =π 解： b 3=?f (x )sin
l -l l
π1π22
于是 b 3=?(πx +x )sin 3xdx =2?x sin 3xdx =π．
0π-π3
二、傅里叶级数的收敛定理
定理（狄里赫莱定理）如果f (x ) 在区间[-l , l ]上满足： （1）只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点
则f (x ) 的以2l 为周期的傅里叶级数
a 0∞n πx n πx +∑(a n cos +b n sin ) 2n =1l l
的收敛域为(-∞, +∞) ，其和函数S (x ) 是以2l 为周期的周期函数，在其一个周期上的表达式为
?f (x -0) +f (x +0)
, x ∈(-l , +l ) ??2
S (x ) =?
?f (-l +0) +f (l -0) , x =±l ??2
?2, -1
f (x ) =例2：设f (x ) 是周期为2的函数，它在区间(-1,1]上的定义为，则f (x ) 的傅里叶级数在?3
x ,0
解：根据狄里赫莱定理知，f (x ) 的傅里叶级数在x =1处收敛于
f (-1+0) +f (1-0) 2+13
==。
222
?e x , -π≤x <>
例3：设f (x ) =?，则其以2π为周期的傅里叶级数在x =π收敛于___，在x =2π收敛于____。
?1,0≤x <>
解：根据狄里赫莱定理知，f (x ) 以2π为周期的傅里叶级数在x =π收敛于
f (π-0) +f (-π+0) 1+e -π
=，f (x ) 以2π为周期的傅里叶级数在x =2π收敛于s (π) =
22s (2π=) s
f (0-0+) f (=2
+(0
=0+) 1
= 2
11
三、对称区间上奇、偶函数的傅里叶级数
命题1：若f (x ) 为定义在[-l , l ]上的偶函数，则其以2l 为周期的傅里叶级数为
a 0∞n πx
f (x ) ~ +∑a n cos
2n =0l
2l n πx
f (x ) cos dx (n =0,1,2, ) ?0l l
命题2：若f (x ) 为定义在[-l , l ]上的奇函数，则其以2l 为周期的傅里叶级数为
其中 a n =
f (x ) ~
∑b n sin
n =0
∞
n πx
l
其中 b n =
2l n πx
f (x )sin (n =1,2, ) ． l ?0l
例4．将f (x ) =?
?2x +1, -3≤x <>
展开成以6为周期的傅里叶级数。
?1,0≤x ≤3
解：f (x ) 在[-3,3]上满足狄里赫莱条件。
31310
a 0=?f (x ) dx =[?(2x +1) dx +?1dx ]=-1
03-33-3
313n πx 10n πx n πx
a n =?f (x )cos =[?(2x +1)cos dx +?cos dx ]
03-333-333
013n πx 0n πx n πx 3
[(2x +1)sin -2sin dx +sin =?-30] ?-33n π3336n πx 06n
[1-(-1) ] =22cos -3=22
n π3n π
313n πx 10n πx n πx
b n =?f (x )sin dx =[?(2x +1)sin dx +?sin dx ]
03-333-333
013n πx 0n πx n πx 36
[(2x +1)cos -2cos dx +cos ]=(-1n ) +1 =-?-30?-33n π333n π
所以f (x ) 以6为周期的傅里叶级数为
f (x )
1∞6n πx 6n πx -+∑22(1-(-1) n )cos +(-1) n +1sin ] 2n =1n π3n π3
1+1-5+1
=1, S (3)=S (-3) ==-2，而 22
又因为上傅里叶级数的和函数S (x ) 满足：S (0)=
f (0)=1, f (3)=1, f (-3) =-5，所以
1∞6n πx 6n πx
f (x ) =-+∑22(1-(-1) n )cos +(-1) n +1sin ]，(-3
2n =1n π3n π3
例5：设f (x ) =x 2(0≤x ≤π) ，将f (x ) 在[0,π]上展成正弦级数。 解：先将f (x ) 作奇延拓，得到[-π, π]上的奇函数F (x ) 。则a n =0, b n =
(n =0,1,2, )
2
π
2
?
π
f (x )sin nxdx =
π0
2
π
?
π
x 2sin nxdx
=
1
?(-)[x 2cos nx πn
-?2x cos nxdx ]
π
=
=
122π?(-)[(-1) n π2-x sin nx π+sin nxdx ] 0?0πn n n
2π44(-1) n +1+3(-1) n -3 n n πn π
∞
2
所以F (x ) 以2π为周期的傅里叶级数为： F (x )
∑
n =1
[
2π44
(-1) n +1+3(-1) n -3]sinnx , n n πn π
设上傅里叶级数的和函数为S (x ) ，则由狄里赫莱定理得：S (0)=0, S (π) =0
2
而F (0)=0, F (π) =π, F (x )
[0,π]
=f (x )
故f (x ) =
∑
n =1
∞
[
2π44
(-1) n +1+3(-1) n -3]sinnx , x ∈[0,π) n n πn π
例6：将f (x ) =x 2在[0, π]上展开为余弦级数
2
解： 将f (x ) 作偶延拓，即f (x ) =x , -π≤x ≤π, 于是b n =0(n =1,2,
)
a 0=
2
π
2
?
π
2π2
x d x =
3
2
a n =
π
?
π
2x 2sin nx 2x cos nx 2sin nx π4n
x cos nx d x =+-]=-1,(n =1,2, ) ()0232
πn n n n
2
(-1) n
f (x ) 在[0, π]上连续，∴f (x ) =x =+4∑2cos nx ,0≤x <π. 在端点x="">
3n =1n
2
∞
∞
1π2(-1) n 2
f -π+0）+（f π-0） [（]=π=f (π) ， 因此 x =+4∑2cos nx , -π≤x ≤π。 23n =1n
π2
范文二：考研高数重点解析：微分方程与无穷级数
凯程考研
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考研高数重点解析:微分方程与无穷级 数
考研数学复习, 除了结合考纲把基础打牢,还需适当总结方法、关注重点。下面是由凯 程考研小编为考生们整理分享的暑期考研数学复习重点解析之高数微分方程与无穷级数部 分。凯程考研助力广大考生在考研的道路上都可以取得一个骄傲的成绩。
一、微分方程
微分方程可视为一元函数微积分学的应用与推广。 该部分在考试中以大题与小题的形式 交替出现, 平均每年所占分值在 8分左右。 常考的题型包括各种类型微分方程的求解, 线性 微分方程解的性质,综合应用。
对于该部分内容的复习,考生首先要能识别各种方程类型 (一阶:可分离变量的方程、 齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程 (数一、二 ) 、全微分方程 (数一 ); 高阶:线性方程、欧 拉方程 (数一 ) 、高阶可降阶的方程 (数一、二 )) ,熟悉其求解步骤,并通过足量练习以求熟练 掌握 ; 在此基础上还要具备数学建模的能力——能根据几何或物理背景,建立微分方程。 有三点提醒考生朋友们:
1. 解微分方程主要考查考生计算积分的能力,而实际应用则对考生的综合能力提出较 高要求,考生需结合练习把“解方程”和“列方程”的能力练好。
2. 非基本类型的方程一般都可通过变量替换化为基本类型。
3. 考生需弄清常见的物理量、几何量与微分、积分的关系。
二、无穷级数
级数可视为微积分的综合应用。该部分是数一、数三的必考内容,分值约占 10%。常 考的题型有:常数项级数的收敛性, 幂级数的收敛半径和收敛域, 幂级数展开, 幂级数求和, 常数项级数求和以及傅里叶级数。其中幂级数是重点。
结合考试分析,建议考生从以下方面把握该部分内容:
1. 常数项级数
理解其收敛的相关概念并掌握各种收敛性判别法。
2. 幂级数
考试有三方面的要求:幂级数收敛域的计算, 幂级数求和,幂级数展开。考生应通过一 定量训练使自己具备这三方面的能力——给定幂级数,准确计算其收敛半径进而得到收敛 域,能求其和函数,能将一个简单函数在指定点展开成幂级数。
3. 傅里叶级数
考试出现频率和考试要求均较低, 掌握傅里叶系数的求法, 再了解狄利克雷定理的内容 即可。
如何有效地复习考研数学 ? 把我们自己比作一道数学题,要做微分运算——拿着放大镜 把每个考点弄清,也要做积分运算——持续地投入,积跬步以至千里 ; 要有严谨的态度—— 一张数表里有一个数不同结果就变了, 还要有灵活的思维——于点、 线、 面, 数、 表、 空间,
凯程考研
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常量、变量、随机变量间自由游弋 ; 面对逝去的光阴不要悔恨——函数都可以不单调,人却 要让过去决定未来吗, 面对不如意的现状要接纳——作为考生, 我们无权更改微分方程的初 始条件,我们能做的是接受它,把题漂亮地解出来。最后,凯程考研小编要说的是,考研数 学的复习不易, 只要按部就班做好上述知识点复习建议, 相信考生朋友们会发现复习越来越 轻松,对自己也越来越有自信,凯程考研祝同学们复习顺利!
凯程考研:
凯程考研成立于 2005年,具有悠久的考研辅导历史,国内首家全日制集训机构考研,一直 从事高端全日制辅导,由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释 然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成,为学员全程高质量授课、答 疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。
凯程考研的宗旨:让学习成为一种习惯;
凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里;
信念:让每个学员都有好最好的归宿;
使命:完善全新的教育模式,做中国最专业的考研辅导机构;
激情:永不言弃,乐观向上;
敬业:以专业的态度做非凡的事业;
服务:以学员的前途为已任,为学员提供高效、专业的服务,团队合作,为学员服务,为学 员引路。
特别说明:凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布,同学们和家长可以查看。扎扎实 实的辅导,真真实实的案例,凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里。
如何选择考研辅导班:
在考研准备的过程中, 会遇到不少困难, 尤其对于跨专业考生的专业课来说, 通过报辅导班 来弥补自己复习的不足, 可以大大提高复习效率, 节省复习时间, 大家可以通过以下几个方 面来考察辅导班,或许能帮你找到适合你的辅导班。
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凯程考研
历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!
的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集, 李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构 只是很普通的老师授课,对知识点把握和命题方向,欠缺火候。
对该专业有辅导历史:必须对该专业深刻理解, 才能深入辅导学员考取该校。 在考研辅导班 中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下 2015五道口金融学院状元,考取五道口 15人,清华经管金融硕士 10人,人大金融硕士 15个,中财和贸大金融硕士合计 20人,北师 大教育学 7人, 会计硕士保录班考取 30人,翻译硕士接近 20人,中传状元王园璐、 郑家威 都是来自凯程,法学方面,凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩 获多个法学和法硕状元, 更多专业成绩请查看凯程网站。 在凯程官方网站的光荣榜, 成功学 员经验谈视频特别多, 都是凯程战绩的最好证明。 对于如此高的成绩, 凯程集训营班主任邢 老师说,凯程如此优异的成绩, 是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的, 很多 学生本科都不是名校, 某些学生来自二本三本甚至不知名的院校, 还有很多是工作了多年才 回来考的, 大多数是跨专业考研,他们的难度大, 竞争激烈, 没有严格的训练和同学们的刻 苦学习,是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。
凯程考研历年战绩辉煌,成就显著!
在考研辅导班中, 从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道 口金融学院金融硕士 29人,占五道口金融学院录取总人数的约 50%,五道口金融学院历年 状元均出自凯程 . 例如, 2014年状元武玄宇 ,2013年状元李少华, 2012年状元马佳伟, 2011年状元陈玉倩 ; 考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院 金融硕士的同学更是喜报连连, 总计达到 150人以上, 此外, 还有考入北大清华人大法硕的 张博等 10人, 北大法学考研王少棠, 北大法学经济法状元王 yuheng 等 5人成功考入北大法 学院,另外有数 10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教 育硕士辅导班学员考入 15人, 创造了历年最高成绩。 会计硕士保录班考取 30多人, 中传郑 家威勇夺中传新闻传播硕士状元, 王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元, (他们的经验谈视 频在凯程官方网站有公布,随时可以查看播放。)对于如此优异的成绩, 凯程辅导班班主任 邢老师说, 凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理, 全方位的辅导是分不开的,很 多学生本科都不是名校, 某些学生来自二本三本甚至不知名的院校, 还有很多是工作了多年 才回来考的,大多数是跨专业考研, 他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的 刻苦学习,是很难达到优异的成绩。
考研路上,拼搏和坚持,是我们成功的必备要素。
王少棠
凯程考研
历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!
本科学校:南开大学法学
录取学校:北大法学国际经济法方向第一名
总分:380+
在来到凯程辅导之前, 王少棠已经决定了要拼搏北大法学院, 他有自己的理想, 对法学 的痴迷的追求, 决定到最高学府北大进行深造, 他的北大的梦想一直激励着他前进, 在凯程 辅导班的每一刻, 他都认真听课、 与老师沟通, 每一个重点知识点都不放过, 对于少棠来说, 无疑是无比高兴的是,圆梦北大法学院。在复试之后,王少棠与凯程老师进行了深入沟通, 讲解了自己的考研经验, 与广大考北大法学, 人大法学、 贸大法学等同学们进行了交流,录 制为经验谈,在凯程官方网站能够看到。
王少棠参加的是凯程考研辅导班,回忆自己的辅导班的经历, 他说:“这是我一辈子也 许学习最投入、 最踏实的地方, 我有明确的复习目标, 有老师制定的学习计划、 有生活老师、 班主任、授课老师的管理,每天 6点半就起床了,然后是吃早餐,进教室里早读, 8点开始 单词与长难句测试, 9点开始上课,中午半小时吃饭,然后又回到教室里学习了,夏天比较 困了就在桌子上睡一会,下午接着上课,晚上自习、测试、答疑之类,晚上 11点 30熄灯睡 觉。”
这样的生活, 贯穿了我在辅导班的整个过程, 王少棠对他的北大梦想是如此的坚持, 无 疑,让他忘记了在考研路上的辛苦,只有坚持的信念,只有对梦想的勇敢追求。
龚辉堂
本科西北工业大学物理
考入 :五道口金融学院金融硕士 (原中国人民银行研究生部 )
作为跨地区跨校跨专业的三跨考生 , 在凯程辅导班里经常遇到的 , 五道口金融学院本身公 平的的传统 , 让他对五道口充满了向往 , 所以他来到了凯程辅导班 , 在这里严格的训练 , 近乎严 苛的要求 , 使他一个跨专业的学生 , 成功考入金融界的黄埔军校 , 成为五道口金融学院一名优 秀的学生 , 实现了人生的重大转折。
在凯程考研辅导班, 虽然学习很辛苦, 但是每天他都能感觉到自己在进步, 改变了自己 以往在大学期间散漫的学习状态,进入了高强度学习状态。在这里很多课程让他收获巨大, 例如公司理财老师, 推理演算, 非常纯熟到位,也是每个学生学习的榜样, 公司理财老师带 过很多学生,考的非常好。在学习过程中,拿下了这块知识,去食堂午餐时候加一块鸡翅, 经常用小小的奖励激励自己,寻找学习的乐趣。在辅导班里,学习成绩显著上升。
在暑期,辅导班的课程排得非常满,公共课、专业课、晚自习、答疑、测试,一天至少 12个小时及以上。但是他们仍然特别认真,在这个没有任何干扰的考研氛围里,充实地学 习。
在经过暑期严格的训练之后, 龚对自己考入五道口更有信心了。 在与老师沟通之后, 最 终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择,决定之后,让他更加发奋努力。
五道口成绩公布,龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训, 优秀的学习氛围, 让他感觉有 质的飞跃,成功的喜悦四处飞扬。
另外,在去年,石继华,本科安徽大学,成功考入五道口金融学院,也就是说,我们只
凯程考研
历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!
要努力,方向正确,就能取得优异的成绩。师弟师妹们加油,五道口、人大、中财、贸大这 些名校等着你来。
黄同学 (女生 )
本科院校:中国青年政治学院
报考院校:中国人民大学金融硕士
总分:跨专业 380+
初试成绩非常理想,离不开老师的辛勤辅导,离不开班主任的鼓励,离不开她的努力, 离不开所有关心她的人,圆梦人大金融硕士,实现了跨专业跨校的金融梦。
黄同学是一个非常腼腆的女孩子, 英语基础算是中等, 专业课是 0基础开始复习, 刚刚 开始有点吃力,但是随着课程的展开,完全能够跟上了节奏。
初试成绩公布下来, 虽然考的不错, 班主任老师没有放松对复试的辅导, 确保万无一失, 拿到录取通知书才是最终的尘埃落地, 开始了紧张的复试指导, 反复的模拟训练, 常见问题、 礼仪训练, 专业知识训练, 每一个细节都训练好之后, 班主任终于放心地让她去复试, 果然, 她以高分顺利通过复试, 拿到了录取通知书。 这是所有凯程辅导班班主任、 授课老师、 生活 老师的成功。
张博,从山东理工大学考入北京大学法律硕士,我复习的比较晚,很庆幸选择了凯程, 法硕老师讲的很到位, 我复习起来减轻了不少负担。 愿大家在考研中马到成功, 也祝愿凯程 越办越好。
张亚婷, 海南师范大学小学数学专业, 考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向, 成功实现了自己的北师大梦想。特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。
孙川川,西南大学考入中国传媒大学艺术硕士,播音主持专业。在考研辅导班,进步飞 快,不受其他打扰,能够全心全意投入到学习中。凯程老师也很负责,真的很感谢他们。 在凯程考研辅导班, 他们在一起创造了一个又一个奇迹。 从河南理工大学考入人大会计 硕士的李梦说:考取人大,是我的梦想,我一直努力,肯定能够成功的,只要我们不放弃, 不抛弃,并且一直在努力前进创造成功的条件,每个人都能够成功。正确的方法 +不懈的努 力 +良好的环境 +严格的管理 =成功。我相信,每个人都能够成功。
范文三：2015考研高数：微分方程与无穷级数解析
以下是高数微分方程与无穷级数部分。
一、微分方程
微分方程可视为一元函数微积分学的应用与推广。该部分在考试中以大题与小题的形式交替出现，平均每年所占分值在8分左右。常考的题型包括各种类型微分方程的求解，线性微分方程解的性质，综合应用。
对于该部分内容的复习，考生首先要能识别各种方程类型(一阶：可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一);高阶：线性方程、欧拉方程(数一)、高阶可降阶的方程(数一、二))，熟悉其求解步骤，并通过足量练习以求熟练掌握;在此基础上还要具备数学建模的能力——能根据几何或物理背景，建立微分方程。
另外，有几点需提醒考生：
1. 解微分方程主要考查考生计算积分的能力，而实际应用则对考生的综合能力提出较高要求，考生需结合练习把“解方程”和“列方程”的能力练好。
2. 非基本类型的方程一般都可通过变量替换化为基本类型。
3. 考生需弄清常见的物理量、几何量与微分、积分的关系。
二、无穷级数
级数可视为微积分的综合应用。该部分是数一、数三的必考内容，分值约占10%。常考的题型有：常数项级数的收敛性，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数展开，幂级数求和，常数项级数求和以及傅里叶级数。其中幂级数是重点。
结合考试分析，建议考生从以下方面把握该部分内容：
1. 常数项级数
理解其收敛的相关概念并掌握各种收敛性判别法。
2. 幂级数
考试有三方面的要求：幂级数收敛域的计算，幂级数求和，幂级数展开。考生应通过一定量训练使自己具备这三方面的能力——给定幂级数，准确计算其收敛半径进而得到收敛域，能求其和函数，能将一个简单函数在指定点展开成幂级数。
3.傅里叶级数
考试出现频率和考试要求均较低，掌握傅里叶系数的求法，再了解狄利克雷定理的内容即可。
如何有效地复习考研数学？如果我们也视其为一道数学题，我想我们应该明白：我们要做微分运算——拿着放大镜把每个考点弄清，也要做积分运算——持续地投入，积跬步以至千里;我们要有严谨的态度——一张数表里有一个数不同结果就变了，还要有灵活的思维——于点、线、面，数、表、空间，常量、变量、随机变量间自由游弋;面对逝去的光阴不要悔恨——函数都可以不单调，人却要让过去决定未来吗，面对不如意的现状要接纳——作为考生，我们无权更改微分方程的初始条件，我们能做的是接受它，把题漂亮地解出来。
范文四：高数无穷级数第一节总结~留一手
高数： 一. 无穷级数：
∑a =a +a +a ..... +a
n =1
n
1
2
3
∞
n
+....... 其中a n 称为级数的通项。
二．级数的第n 个和：
s =a +a +a
n
1
2
3
+..... +a n 。（注：没有无穷项，与上面区分）
三, 讨论无穷级数的收敛性就是讨论它的部分和数列
{s }
n
的敛散性：如果
{s }
n
收敛于S 就称
级数收敛，如果
{s }
n
没有极限，就称级数发散。
（注：
{s }
n
收敛指的就是
s n 趋近于一个
=+++..... +，但n 趋向时，∞s n a 1a 2a 3a n
常数）。
四.
收敛级数的性质：
∞n =1
n →∞
n →∞
?1. 若级数∑a n 收敛，则lim a n =0 （注：可以用lim a n ≠0证明级数发散，但不能
lim
n →∞
a
n
=0去证级数收敛，这是一个充分不必要条件）。
个人做题经验：做题时，如果是让你判断收敛性的，第一步要做的就是看看当n →∞是的值，尤其是那些表达式比较复杂，很有可能使发散的 2. 若
a
n
∑a
n =1
∞
n
与
∑b
n =1∞
n
∞
n
收敛，m ，k 为常数，则
∑(m a
n =1
∞
n
+k b n ) 也收敛（注：线性关系）。
3. 在级数
∑a
n =1
中改变有限项的值，不影响级数的敛散性。
五．正项级数 1.. 定义：如果
a
n
≥0，则称∑a n 为正项级数。
n =1
∞
2. 证明正项级数的方法： 一定理：正项级数
∑a
n =1
∞
n
收敛的充分必要条件是它的部分和数列
{s }
n
有界。
（注：其实与前面的相呼应，正项级数确保了数列和单调）。
?比较判别法：设∑a n 与∑b n 是两个正项级数，从某项开始有a n ≤b n .
n =1
n =1
∞∞
则若
∑b
n =1∞
∞
n
收敛，则
∑a
n =1∞
∞
n
也收敛。
若
∑a
n =1
n
发散，则
∑b
n =1
n
也发散。
做题经验：很多时候，让题目处理一下变为>
1
，可以得到题目发散 n
让题目处理一下变为
1
可以得到题目收敛 n 2
总之用这个方法就一个原则，让题目放大缩小到 我们已知收敛性的数列上
?三定理：设∑a n 与∑b n 是两个正项级数，lim
n =1
n =1
n →∞
∞∞
b
n
=A .
n
若0
∑a
n =1
∞
n
与
∑b
n =1
∞
n
同敛散；
（注：我是这样记的：极端考虑，
a
n
就是
b
n
的A 倍，常数的A 倍肯定是常
数，无穷的倍数肯定也就是无穷了） 若A=0，则当
∑b
n =1∞
∞
n
收敛时，
∑a
n =1
n
∞
n
也收敛；
当A=+∞时，
∑b
n =1
n
发散，
∑a
n =1
∞
也发散。
（注：无穷的 无穷倍 肯定就是 无穷啦）
做题经验：这种题目常常要用到 等价无穷小，所以得熟悉一些常用的 等价形式，以便 转化到我们熟知收敛性的数列上
?Cauchy 极限判别法：设∑a n 正项级数，n →∞
n =1
∞
lim n
=q
当q<>
∑a
n =1
∞
n
收敛； 当q>1,
∑a
n =1
∞
n
发散.
?Alembert 极限判别：设∑a n 正项级数，lim
n =1
∞
a
n +1n
=q
当q<>
∑a
n =1
∞
n
收敛； 当q>1,
∑a
n =1
∞
n
发散
.
当比值为1时，这种方法就会失效，得采用其他的办法。 当题目的数列 是只有乘除和乘方组合时，用这种最方便
Caushy 积分法：设f （x ）在[1,+∞]上有定义，在[1,+∞]非负且单调递减，则
+∞
∑f (n ) 与
n =1
∞
n =1
?f (x ) dx 同敛散
一般做到有 ln （n ）的很大一部分 是要用积分法的e
六．交错级数
1. 定义：
∑(-1)a
n =1
∞
n -1
n
称为交错级数
∞
n -1
2. 收敛条件：若
{a }
n
单调趋于0，则级数
∑(-1)a
n =1
n
收敛。
七．绝对收敛于条件收敛 1. 定义：若
∑a
n =1
∞
n
收敛则
∑a
n =1
∞
n
一定收敛称为，
∑a
n =1
∞
n
绝对收敛
若
∑a
n =1
∞
n
收敛，但是
∑a
n =1
∞
n
不收敛则称为
∑a
n =1
∞
n
条件收敛。
∞
当题目中出现∑(-1)n -1
n =1
a
n
或者一些掺杂三角函数的 数列时题型
做题笔记：
应该考虑绝对收敛这种解题
范文五：高数 无穷级数 微分方程 曲面积分 重积分
无穷级数
无穷级数是研究生入学考试《数学一》和《数学二》的重点也是难点内容之一，内容包括常数项级数的收敛与发散，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p 级数以及它们的收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理， 任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法，初等幂级数展开式，函函数的傅里叶（Fourier ）系数与傅里叶级数，狄利克雷（Dlrichlei ）定理，函数在[-l，l]上的傅里叶级数，函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数。 通过学习，同学应达到如下要求：
1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2. 掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件。
3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7. 理解幂级数的收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10. 掌握ex 、sinx 、cosx 、ln （1+x）和（1+x）α的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[-L，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
一、 知识网络图
?和性质?常数项级数的一般概念??
?常数项级数?几何级数与p 级数
??
?正项级数?
?交错级数，条件和绝对收敛??
?
?幂级数收敛半径?
??
?幂级数?函数的幂级数展开
??幂级数的和函数
??
?傅里叶展开?函数在对称区间上的的?傅里叶级数???三角级数????
二、典型错误分析
1
例1、判断级数∑ 是否收敛。
n =12n +1
∞
1
=0, ∴∑a n =0 [错解] ∵ lim a n =lim
n →∞n →∞2n +1n =1
∞
[分析] 通项为零只是级数收敛的必要条件，即就是收敛，极限也未必为零。级数收敛的充要条件应该是cauchy 收敛准则, 但必要条件可以用来否定级数收敛 [正确解] lim
m , n →∞
∑a
i =n
m
i
=lim (a n +a n +1+ a m ) ，考虑到m 任意性， 不
m , n →∞
m , n →∞
lim
∑a
i =n
m
i
=lim (a n +a n +1+ a m )
m , n →∞
111
++ +)
n →∞2n +12n +32n +(2n +1)
妨取m =2n ，于是
111111>lim (++ +) >?n →∞2n +1n +22n +122n +11>2
=lim (
从而 上面数列发散
注意，正项级数判别其敛散性的步骤如下： 首先考察lim u n ?
n →∞
?≠0发散
?=0需进一步判别
①如u n 中含n ! 或n 的乘积通常选用比值法；
②如u n 是以n 为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法； ③如u n 含形如n α（α可以不是整数）因子，通常用比较法； ④利用级数性质判别其敛散性；
⑤据定义判别级数敛散性，考察lim S n 是否存在，实际上考察{S n }
n →∞
是否有上界。
例2、判别下列级数的敛散性
2n n! ∑n
n =1n
∞
[错解] 用比式判别法则 lim
u n
n →∞u n +1
2n n!
n
=lim n
n →∞
2n +1(n +1)!
n +1n +1
n
(n +1)=lim n →∞
2n
n
n
?1? 1+?
n ?
=lim ?
n ←∞2 =
e
>1 发散 2
[分析] 此乃把正项级数的比式判别公式记颠倒了
[正确解法] 只需要后一项比前一项就可以了，显然
lim
u n 2
==<1>
n →∞u e n +1
例3、判别下列级数的敛散性
?n ? ∑ ?
n =1?2n +1?
∞
n
n 1
=≠0 发散
n →∞n →∞2n +12
[分析] 此乃把正项级数的根式判别公式与级数收敛的必要条件
混淆了
[正确解法] 其实以上情形同比式判别法，结果是收敛的
[错解] 用根式判别法：lim u n =lim
?n ??n ??1?
<=或者用比较原则 ?="" ?="">
?2n +1??2n ??2??1?
∵ ∑ ?收敛 ∴ 原级数收敛
n =1?2?
∞
n
n n n
3°交错级数的敛散性的判别法 如u n >0，则称∑(-1)
n =1∞
n -1
u n =u 1-u 2+u 3-u 4+?为交错级数。
莱伯尼兹判别法：
如交错级数∑(-1)
n =1∞
n -1
u n 满足：
n →∞
( i ) u n ≥u n +1 ( ii ) lim u n =0 则 ∑(-1)
n =18
n -1
u n 收敛，且和s ≤u 1
例4、判断下列级数的敛散性。 ∑(-1)
n =1∞
n
n +1-n
n →∞
n →∞
[错解] lim u n
)
=lim n +1-n )≠0 ，从而发散
)
1n +1+n
[分析] 以上是一个不定式的极限，分子有理化后即得极限是零 [正确解法] 由以上分析知道
lim u n =lim n +1-n =lim
n →∞
n →∞
n →∞
=0
并且
u n =n +1-n
=
11
>
n +1+n n +2+n +1
=n +2-n +1 =u n +1 ∴ 收敛
例5、判断下列级数的敛散性。 ∑(-1)
n =1∞
n -1
1
n -ln n
1
≠0 发散
n →∞n →∞n -ln n
[分析] 以上是一个不定式的极限，不能贸然得极限是零
[错解] ∵ lim u n =lim
[正确解法] lim u n =lim
n →∞
11
=lim
n →∞n -ln n n →∞n
1
=0 ln n 1-
n
并且 [(n +1)-ln (n +1)]-[n -ln n ]=1-ln 1+
??
1?
?>0 n ?
∴
11
> 即 u n >u n +1
n -ln n n +1-ln n +1 ∴ 由Leibnitz 判别法知收敛
注意：绝对收敛与条件收敛 知识点的掌握 ∑u n 为任意项级数
如∑u n 收敛 称∑u n 绝对收敛
如∑u n 发散 ∑u n 收敛 称∑u n 条件收敛
n =1
n =1
n =1
n =1∞
n =1∞
∞
n =1∞
∞
∞
定理，如∑u n 收敛 →∑u n 必收敛
n =1
n =1
∞∞
对幂级数主要讨论两个问题
（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数 幂级数的收敛域具有特别的结构
定理：（i ）如∑a n x n 在x =x 0 (x 0≠0) 收敛，则对于满足x
n =0
∞
一切x ∑a n x n 都绝对收敛
n =0∞
∞
（ii ）如∑a n x n 在x =x 1发散，则对于满足x >x 0的一切x
n =0
n
∑a n x 发散 ∞
n =0
n n
证：（1）∵ ∑a n x 0收敛→lim a n x 0=0
n =0
∞
n →∞
n
n
而a n x n =a n x 0
n
x x 0
n
<>
x
x 0
n
?x ?x
?<1即x>
∞
∴ ∑a n x n 收 ∴ 原级数绝对收敛
（2）反证：如存在一点x 2 (x 2>x 1) 使∑a n x n 2 收
n =0
n
则由（1）∑a n x 1 收，矛盾。
n =0∞
∞
由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R ，使x 幂级数的收敛半径及其求法 定理：如幂级数∑a n x n 系数满足lim n =0∞ a n +1 =ρ (或lim n =ρ) n →∞a n →∞n 则（1）0<><+∞ （2）ρ=""> R = 1 ρ R =+∞ （3）ρ=+∞ ∞ R =0 n ∞ 注意：当x =±R ∑a n x 的敛散性不能确定，要讨论∑a n (±R ) n n =0 n =0 例6：求下列幂级数的收敛域 n =1 ∑(-1) ∞ n -1 3n x n n a n +113n +1n [错解] lim =lim ?n =3 故R = n →∞a n →∞n +133n 11 ) ∴ 收敛域为(-, 33 [分析] 求收敛域必须考虑在端点处所对应的级数的收敛情况 ∞11 [正确解法] 当x = 原级数为∑(-1) n -1 为交错级数，满足 3n =1n ?u n = 1n > 1n +1 =u n +1 ?lim u n =0 ∴ 收敛 n →∞ ∞11 当x =- 原级数为-∑ 发 3n =0n 11 ] ∴ 收敛域为(-, 33 例7：求下列幂级数的收敛域 ∞l n 1(+n ) n -1 x ∑ n n =1 a l n n (+2) n [错解] l i n +1=l i ? n →∞a n →∞n +1l n n (+1) n 2 ln n +ln(1+) n =1 =lim ? n →∞n +1 ln n +l n 1(+) n ∴ R =1 ∴ 收敛域为[-1，1） [分析] 求收敛域必须考虑在端点处所对应的级数的收敛情况 [正确解法] 当x =1 ln(1+n ) ln(1+n ) n >21 >) 原级数为∑ 发( n n n n =1 ∞ ln(1+n ) 为交错级数 n n =1 ln(1+n ) =0 满足（1）lim u n =lim n →∞n →∞n ln(1+x ) （2）设f (x ) = x ≥2 x x -ln(1+x ) x x ≥2，<1，ln(1+x )="">1 ，当f '(x ) =21+x x ln(1+n ) ln(2+n ) >=u n +1 ∴f '(x ) <0 f="" (x="" )="" 单调减，="" ∴u="" n=""> n n +1 ∞ln(1+n ) 故∑(-1) n 收敛 ∴ 收敛域为[-1，1） n n =1 求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式： x =-1 原级数为∑(-1) n ∞ x n x 2x n e =∑=1+x ++ ++ , 2! n! n =0n! x ∞ (-∞, +∞) (-1,1) ∞1 =∑(-1)n x n =1-x +x 2- +(-1)n -1x n + , 1+x n =0 ∞1 =∑x n =1+x +x 2+ +x n + , 1-x n =0 (-1,1) ln (1+x )=∑(-1) n =1 ∞ n -1 x n x 2x 3x 4 =x -+-+ , n 234 (-1, 1] 2n +1x 2n +1x 3x 5x 7n x sinx =∑(-1)=x -+-+ +(-1)+ 2n +1! 2n +1! 3! 5! 7! n =0 ∞ n (-∞, +∞) 2n x 2x 4x 6n x cosx =∑(-1)=1-+-+ +(-1)+ 2! 4! 6! n =0(2n )! (2n )! ∞ n x 2n (-∞, +∞) (1+x )α =1+αx + α(α-1)2α(α-1) (α-n +1)n x + +x + , 2! n! (-1,1) 在端点的敛散性与α有关。 例9求下列幂级数的和函数 n =1 n ∑n (n +1)x ∞ n ∞ ∞ [错解] 令S (x )=∑n (n +1)x =x ∑(n +1)n x n -1 n =1 n =1 2?"?x 2x n +1??= =x ? ∑x ?=x 3 ??n =1?1-x ?1-x ? [分析] 幂级数只有在收敛域内才是逐项可积、逐项可导的 ，所以 首先得求收敛域 ∞ " u n +1x n +1n (n +1)=lim ?=x [正确解法] lim n n →∞u n →∞n +1n +2x n R=1，x=±1，u n 0，∴收敛域为（-1，1） 令S (x )=∑n (n +1)x n =x ∑(n +1)n x n -1 n =1 n =1 ∞ ∞ 2?"?x 2x n +1??= =x ? x ∈（-1，1） ∑x ?=x 3 ?1-x ?n =1?(1-x )?? ∞ " 例10求下列幂级数的和函数 1+n 2n x ∑n n =0n! ?2 ∞ ∞t n ∞n 21+n 2n [错解]令S (t )=∑t =∑+∑t n n! n =0n =0n! n =1n! ∞t ∞ =e +∑ ∞ n n =1 (n -1)! t n t =e +∑ ∞ n t ∞ n -1+1 n =1 (n -1)! t n t n =e +∑ t n =1 (n -1)! +∑ 1 n =2 (n -2)! =e t +te t +t 2e t 故S (x )= x ?e 2 1+ ? x x 2? ? x ∈ (-1,1) +24?? [分析] 幂级数只有在收敛域内才是逐项可积、逐项可导的 ，所以 首先得求收敛域，不能想当然的认为收敛域就是（-1,1） [正确解法] 1+n 2∑ n! n =0 ∞ x ∞1+n 2n ?x ? t ?t =∑ 2n =0n! ?2? n u n +1 =0 n →∞u n lim ∞ 收敛域（-∞，+∞） ∞t n ∞n 21+n 2n 令S (t )=∑t =∑+∑t n n! n =0n =0n! n =1n! t ∞ =e +∑ ∞ n n =1 (n -1)! t n t =e +∑ ∞ n t ∞ n -1+1 n =1 (n -1)! t n t n =e +∑ t n =1 n -1! +∑ 1 n =2 n -2! =e t +te t +t 2e t 故S (x )= x ?e 2 1+ ? x x 2? ?，x ∈(-∞, +∞) +24?? 例11 利用计算幂级数的和函数，求下列级数的和 n 2-n +1 (-1)∑n 2n =0 ∞ n [错解] 因为 lim n →∞ 2∞ n 2-n +1n n -n +1 =0，所以S=∑(-1)=0 n 2n 2n =0 [分析] 通项趋近于零只是级数收敛的必要条件。首先考虑其对应 的幂级数，再求收敛域，利用收敛幂级数的性质 [正确解法] ∞?1?n 2-n +1∞?1? S =∑(-1)=∑n (n -1) -?+∑ -?=S 1+S 2 n n =0n =02?2?n =0?2? ∞ n n n S 2= 11+1 2 = 2 3 ∞ ∞ 记：S 1(x )=∑n (n -1)x n =x 2∑n (n -1)x n -2 （-1，1） n =0 n =2 =x 2∑n (n -1)x n -2 n =2 ∞ 2?"?x ??? =x 2 ∑x n ?=x 2 ??x =2??1-x ? ∞ " = ∞ 2x 2 (1-x )3 n ?1?4 S 1 -?= ?2?27 n 2-n +14222 ∴ ∑(-1) =+=n 27327n =02将函数展开成幂函数 1、泰勒级数与麦克劳林级数 设函数f (x )在x 0的某邻城内具有任意阶导数，则级数 '()''()f (n )(x 0)(x -x 0)n =f (x 0)+f x 0(x -x 0)+f x 0(x -x 0)2 ∑ n ! 1! 2! h =0 ∞ f (n )(x 0) (x -x 0)n + + + n ! 称为f (x )在x =x 0点的泰勒级数 特别当x 0=0，则级数 f (n )(0)n f '(0)f ''(0)2f (n )(0)n x =f (0)+x +x + +x + ∑ n ! 1! 2! n ! h =0 ∞ 称为f (x )的麦克劳林级数 2、函数f (x )展开成泰勒级数的条件x -x 0 f (x )能展开成泰勒级数：f (x )=∑a n (x -x 0) n =0 ∞ n f n (x 0) (x -x 0)n ?∑ n ! n =0 ∞ 收敛于f (x )?lim R n (x )=0 n →∞ R n (x )= f (n +1)(ζ) n +1! ?x n +1 ζ在x 0，x 之间 3、幂级数展开式的求法 f (n )(x 0) 方法1、 直接法：计算a n = 证明：lim R n (x )=0 n →∞n ! 及f (x )=f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0)+ f ''(x 0) (x -x 0)2+ 2! f (n )(x 0) (x -x 0)n + + n ! 方法 2、 间接法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换四则运算，逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式。 例12 将下例函数展开成(x -x 0)的幂函数 f (x )= 1x +3x +2 2 , x 0=1 = 11- x +1x +21 x (-(-) +1) 2 f (x )= 1 x +1x +2[错解] ∑∑= 11 - -(-x ) +12 然后将 1 , -(-x ) +1 1 按几何级数展开即可 x (-(-) +1) 2 [分析] 不符和在x=1展开的如下形式 ∑ h =0 ∞ f (n )(x 0)f '(x 0)f ''(x 0)n (x -1)=f (x 0)+(x -1)+(x -1)2 n ! 1! 2! f (n )(x 0)(x -1)n + + + n ! [正确解法] f (x )= 111 =- x +1x +2x +1x +2 n 1111∞n ?x -1?其中===∑(-1) ? x -1?2n =0x +12+x -1??2?2 1+? 2?? -1 x -1 <1> 11111∞n ?x -1? ==?=∑(-1) ? x +23+x -13?x -1?3n =03?? 1+? 3?? -2 ∞111?n ?1n ∴ f (x )=-=∑(-1) n +1-n +1?(x -1) x +1x +2n =03??2 n -1 111 -? x 1+x 21+2 x +22111 =?+? 2x 2+4x +125x +452x +3 f (x )= 如f (x )=ln 1-x +x =∑(-1) n =1∞ n -1 ( 2 )( ?1+x 3? ?=ln 1+x 3-ln (1+x ) =ln 1+x ? ?? () 13n x -x n (-1 ，１]） n ∞ ) 考研试题选编 例13 (2004考研数学一) 设 ∑a n =1∞ n 为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若lim na n =0，则级数 n →∞ ∑a n =1 n 收敛. ∞ （B ） 若存在非零常数λ，使得lim na n =λ，则级数 n →∞ ∑a n =1 n 发散. (C) 若级数 ∑a n =1∞ ∞ n 收敛，则lim n a n =0. n →∞ 2 (D) 若级数 [ B ] ∑a n =1 n 发散, 则存在非零常数λ，使得lim na n =λ. n →∞ [错解] [C] [分析] 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过 排除法找到正确选项. ∞∞ 11 [正确解法] 取a n =，则lim na n =0，但∑a n =∑发散， n →∞n ln n n =1n =1n ln n 排除(A)，(D)；又取a n = 1n n ，则级数 ∑a n =1 ∞ n 收敛，但lim n a n =∞，排除(C), n →∞ 2 故应选(B). 本题也可用比较判别法的极限形式， ∞∞ a n 1 na n =l i =λ≠0，而级数∑发散，因此级数∑a n 也发散，故 l i m n →∞n →∞1n =1n n =1 n 应选(B). 例14 (2004 考研数学三) 设有下列命题： (1) 若 n =1∞ ∑(u 2n -1+u 2n ) 收敛，则∑u n 收敛. n =1 ∞n =1 ∞∞ (2) 若 n =1 ∑u n 收敛，则∑u n +1000收敛. ∞ u n +1 (3) 若lim >1，则∑u n 发散. n →∞u n n =1 (4) 若 n =1 ∑(u n +v n ) 收敛，则∑u n ，∑v n 都收敛. n =1 n =1 ∞∞∞ 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). [ B ] (C) (3) (4). (D) (1) (4). [错解] [D] [分析] 可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. [正确解法] (1)是错误的，如令u n =(-1) ，显然， n n =1 ∑u n ∞ 分散，而 n =1 ∑(u 2n -1+u 2n ) 收敛. (2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性. ∞ u (3)是正确的，因为由lim >1可得到u n 不趋向于零(n → ∞) ，所以 n →∞ u n n =1 ∑u n 发散. ∞∞ 11 (4)是错误的，如令u n =, v n =-，显然，∑u n ，∑v n 都发散，而 n n n =1n =1 ∞ n =1 ∑(u n +v n ) 收敛. 故选(B). ∞ 例15 (2005考研数学一) 求幂级数间与和函数 ∑(-1) n =1 ∞ n -1 (1+(2n -1) ) x 2n 的收敛区 [错解]原级数可以分成两个s (x ) =∑(-1) n -1x 2n 与 n =1 ∞ p (x ) =∑(-1) n -1 n =1 ∞ 1 x 2n 两个分别求和相加而得 n (2n -1) ∞ x 22n -12n -2 ''s (x ) =， p (x ) =2(-1) x =∑22 1+x 1+x n =1 从而对p ''(x ) 积分得到2arctan x ，再积分，用分步积分公式有 2x arctan x -ln(1+x 2) ，从而和函数为 x 2 +2x arctan x -ln(1+x 2) 2 1+x [分析] 显而易见该级数的收敛区域为(-1,1), [正确解法] 以上的推导结果只有在收敛区域才是成立的，所 以正确的答案是在以上结果里加上收敛区域即可。错误的解答属于典型的对而不全 例16 (2004考研数学一) 设有方程x +nx -1=0，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 α 收敛. x n ，并证明当α>1时，级数∑x n n =1∞ n [错解] 利用介值定理证明存在性，而正项级数的敛散性可用比较法判定。 证明： 记 f n (x ) =x n +nx -1. 由f n (0) =-1<0，f n="" (1)="n">0， n 及连续函数的介值定理知，方程x +nx -1=0存在正实数根x n ∈(0, 1). n 1-x n 1 <，故当α>1时，由x +nx -1=0与x n >0知 0 n 1α 0 n ∞ 1α 而正项级数∑α收敛，所以当α>1时，级数∑x n 收敛. n =1n n =1 ∞ [分析] 没有考虑唯一性。 [正确解法] 现利用单调性证明惟一性。当x>0时， f n '(x ) =nx n -1+n >0，可见f n (x ) 在[0, +∞) 上单调增加, 故方程 x n +nx -1=0存在惟一正实数根x n . ，补上这条，原证明才完整。
