灑脫-cola
范文一：2分组分解法
用分组分解法进行因式分解
1、分解因式
（1）a2?3a?b2?3b?
（ 2）x?2x?4xy?4y?4y?22
（3）1?mn(1?mn)?m3n3?
（4）2a(a2?a?1)?a4?a2?1
2、已知：a?b?c?0，求a3?a2c?abc?b2c?b3的值。
3、分解因式：1?m2?n2?2mn?_________
4、分解因式：x2?y2?x?y?__________
5、分解因式：x3?3x2?4x?12?_________
6、m2(n2?1)?4mn?n2?1
7、已知：a2?b2?1，c2?d2?1，且ac?bd?0，求ab+cd的值。
8、分解因式：x3?2x?3
9、分解因式：a?a?1
10、已知：x2?y2?z2?0，A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3?y3?z3?(x?y)(x?z)A，试求A的表达式。
5
- 1 -
范文二：《分组分解法》教案
分组分解法
教学目标
1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；
2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.
教学重点和难点
重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.
难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法.
教学过程设计
一、复习
把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.
(1)a－ab+3b－3a； (2)x－6xy+9y－1；
(3)am－an－m+n； (4)2ab－a－b+c.
解 (1) a－ab+3b－3a
=(a－ab)－(3a－3b)
=a(a－b)－3(a－b)
=(a－b)(a－3);
(2)x－6xy+9y－1
=(x－3y)－1
=(x－3y+1)(x－3y－1);
(3)am－an－m+n
=(am－an)－(m－n) 2222 2222222222222
=a(m－n)－(m+n)(m－n)
=(m－n)(a－m－n);
(4)2ab－a－b+c
=c－(a2+b2－2ab)
=c－(a－b)
=(c+a－b)(c－a+b).
第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.
第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式 继续分解因式.
第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.
第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式 ，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.
把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运 用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.
这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.
二、新课
例1 把 分解因式.
问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?
答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法. 解 方法一
2 22222
方法二
；
例2 把分解因式.
问：观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解?
答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.
解：
=
=
=
=
例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.
分析：这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：
一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.
解 45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2)
=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)]
=5a[(3m2)－(2x－y) 2]
=5a(3m+2x－y)(3m－2x+y).
例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式.
分析：如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了.
解 2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an
=(2a2－3an)+(4am－6mn)
=a(2a－3n)+2m(2a－3n)
=(2a－3n)(a+2m).
指出：如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式按照分组原则，用分组分解法分解因式.
三、课堂练习
把下列各式分解因式：
(1)a2+2ab+b2－ac－bc； (2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；
(3)4a2+4a－4a2b+b+1； (4)ax2+16ay2－a－8axy；
(5)a(a2－a－1)+1； (6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；
答案：
(1)(a+b)(a+b－c)； (2)(a－b+m+m)(a－b－m－n)；
(3)(2a+1)(2a+1－2ab+b)； (4)a(x－4y+1)(x－4y－1)；
(5)(a－1) 2 (a+1)； (6)(bm+an)(am+bn).
四、小结
1.把一个多项式因式分解时，如果多项式的各项有公因式，就先提出公因式，把原多项式变为这个公因式与另一个因式积的形式.如果另一个因式是四项(或四项以上)的多项式，再考虑用分组分解法因式分解.
2.如果已知多项式中含有因式乘积的项与其他项之和(或差)时(如例3)，先去掉括号，把多项式变形后，再重新分组.
五、作业
1.把下列各式分解因式：
(1)x3y－xy3； (2)a4b－ab4；
(3)4x2－y2+2x－y； (4)a4+a3+a+1；
(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2； (6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；
(7)x2+x－(y2+y)； (8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).
2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.
答案：
1.(1)xy(x+y)(x－y)； (2)ab(a－b)(a2+ab+b2)；
(3)(2x－y)(2x+y+1)； (4)(a+1) 2 (a2－a+1)；
(5)xy(x+2y)(x+1)(x－1)； (6)(x2+2xy+4y2)(x－2y－1)；
(7)(x－y)(x+y+1)； (8)(ax－by)(bx+ay).
2.原式=2b(x－2y+2)(x－2y－2)当x－2y=－2，b=－4098时，原式的值=0.
课堂教学设计说明
1.突出“通法”的作用.
对于含四项的多项式，可以根据所给的多项式的特点，常采取“二、二”分组或“一、三”分组的方法进行因式分解，这是运用分组法把多项式分解因式的通法，是带有规律性和程序性的解题思路，学生应切实掌握.安排例1的目的是：引导学生运用分组的通法把一个含有六项的多项式分解因式，促使学生能举一反三，触类旁通.
2.加强各种方法的纵横联系.
把分组分解法与提公因式法和公式法之间结合为一体，进行纵横联系，综合运用，考察学生掌握因式分解的方法和技能的状况是这节课教学设计的目标.通过讨论例3，引导学生综合应用三种方法把多项式分解因式，以开发学生解题思路的变通性和灵性活，对于启迪学生的思维和开阔学生的视野起到重要作用.
3.打通相反的思维过程.
因式分解与整式乘法是相反的变形，也是相反的思维过程，学生在学习多项式的因式分解时，也应当适当联系整式的乘法.安排例4，目的是引导学生认识到，在把多项式因式分解时，如果给出的多项式出现了有因式乘积的项，但又不能提取公因式，这时就需要进行乘法运算，把变形后的多项式重新分组，再分解因式，从而启发学生在学习数学时，应善于对数学知识和方法融汇贯通习惯于正向和逆向思维.
探究活动
系数为1的 型的二次三项式同学们已经会分解因式了，那么二次项系数不是1的二次三项式 怎么分解呢？如：
1． ；2. .
有兴趣的同学可以模仿 型式子的因式分解试着把上面两式分解因式,你能总结出规律吗?
答案:
1. ; 2. .
规律：二次项系数不是1的二次三项式 分解因式时，若满足下列条件，则可将其分解为 ：
可分解为 ， 即
可分解为 ， 即
， ， ， 满足 ，即
按斜线十字交叉相乘的积之和 若与一次项系数 相等，则可分解因式，
第一个因式由第一行的两个数组成
第二个因式由第二行的两个数组成
分解结果为：
范文三：分组分解法
分组分解法
（1）ax +2by -2ay -bx ； （2）4mx +3ny -2my -6nx ；
（3）8mx -3ny +12my -2nx ； （4）2mx -6ny -3my +4nx ；
（5）a 2-3a -4b 2+6b ；
（7）4x 2-6x +15y -25y 2；
（9）a 2-6ab -4c 2+9b 2；
（11）81x 2-y 2+10yz -25z 2；
（13）9x 2+25y 2-30xy -6x +10y ；
（15）2m 2x -6m 2y +4mnx -12mny ；
（17）3x 3-18x 2+27x -12xy 2；
（6）4a 2-8a -12b -9b 2； （8）9x 2-6x +14y -49y 2； 10）4x 2-12x -25y 2+9； 12）9-4a 2-49b 2+28ab ； 14）10m +15n -4m 2-9n 2-12mn ； 16）2x 3y -8xy 3-6x 2y +12xy 2； 18）3a 3bc -3ab 3c -12abc 3+12ab 2c 2. 1 （（ （ （（
范文四：分组分解法
第三节 分组分解法
【】
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考
虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作
因式分解——分组分解法。
方分类 分组方法 特点 法
?按字母分组?按系数分组?符合二项、二项 公式的两项分组 四项 分
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 组
分五项 三项、二项 各组之间有公因式
解三项、三项 各组之间有公因式 法 二项、二项、二项 六项
三项、二项、一项 可化为二次三项式
【】
?
本节的重点是设计分组，使其能够具有公因式或运用公式为分解，难点是分组的合理
性，值得注意的是分组的方法没有固定的形式，要依据其特点，适当的分组，预见其分组
后的结果情况。
?
1．对于四项式的两两分组，若分组的方法不同会导致最后的结果不同吗？
[] 不会，因为通过合理的分组分解，且使每一个因式都分解到不能再分解时，
最后的结果一定是相同的。
2．若多项式带有括号，应如何分解？
[] 若多项式带有括号，且括号内的式子相同时，可用换元后进行分组分解，若
括号内式子不相同，又不便直接分组时，要将括号去掉，重新整理后再分组分解。 ?
例1 对4x
22+2x-9y-3y运用分组分解法分解因式，分组正确的是：（ ）
2222A．（4x+2x）+（-9y-3y） B．（4x-9y）+（2x-3y）
2222C．（4x-3y）+（-9y+2x） D．（4x+2x-3y）-9y
[]A．各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理。B．第一组可用平方差公式分解得（2x+3y）（2x-3y），与第二组有公因式2x-3y可提取，所以分组合理，C．与D．各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合
理。
[] B．
3223例2 将x-xy-xy+y分组分解，下列的分组方法不恰当的是
32233223A．（x-xy）+（-xy+y） B．（x-xy）+（-xy+y）
33223223C．（x+y）+（-xy-xy） D．（x-xy-xy）+y
[]A．、B．各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C．第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式x+y，所以分组合理，D．第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当。
[]D．
例3 把下列各式分解因式
2（1）7x-3y+xy-21x
22-3ax-6ab-4b
22（3）1-x+4xy-4y
（2）x[] （1）按字母x、y两两分组，或按各项的系数比两两分组。（2）因为各项的
系数之间无比例关系，按字母分组后又无公因式，所以应考虑符合公式的分组，即第一项、
第四项一组，其余两项为另一组。（3）因为两项一组分组后，均无法继续分解，所以考虑
三项、一项的分组，即把符合完全平方公式的项合为一组，另一项作为第二组。
2[] （1）7x-3y+xy-21x
2 =（7x-21x）+（-3y+xy）
=7x（x-3）+y（x-3）
=（x-3）（7x+y）
或者 27x,3y，xy,21x 2,(7x，xy)，(,3y,21x)
,x(7x，y),3(7x，y)
,(7x，y)(x,3)
注意：虽然分组的形式不同，但分解的结果相同。
22(2)x,3ax,6ab,4b
22,(x,4b)，(,3ax,6ab) ,(x，2b)(x,2b),3a(x，2b) ,(x，2b)(x,2b,3a) 22(3)1,x，4xy,4y
22 ,1,(x,4xy，4y)
2 ,1,(x,2y)
,(1，x,2y)(1,x，2y)
例4 把下列各式分解因式
22 (1)x,4xy，4y,3x，6y
3223(2)x,3x，6xy,12y，8y 222(3)x，4xy，4y,9a，6a,1 22(4)x,2xy，y,2x，2y，1[] （1）五项式分组常为三项、二项，且把符合公式的分为一组，所以前三项一
组，后二项为另一组，（2）第一项与第五项为一组，其答卷项为另一组。（3）前三项与后
三项均符合完全平方公式，且两者之间的符号相反，又可用平方差公式。（4）依次分为三
项、二项、一项共三组，使其化为二次三项式，再继续运用完全平方公式。
[解答]
(1)x,4xy，4y,3x，6y 2,(x2,4xy，4y)，(,3x，6y) 2,(x,2y),3(x,2y) 2,(x,2y)(x,2y,3)
(2)x,3x，6xy,12y，8y3223
,(x，8y)，(,3x，6xy,12y)3322
,(x，2y)(x,2xy，4y),3(x,2xy，4y)2222
,(x,2xy，4y)(x，2y,3)22
(3)x，4xy，4y,9a，6a,1,(x，4xy，4y),(9a,6a，1)222222
,(x，2y),(3a,1)22
,(x，2y，3a,1)(x，2y,3a，1)
22(4)x,2xy，y,2x，2y，1
22,(x,2xy，y)，(,2x，2y)，1
2,(x,y),2(x,y)，1
2,(x,y,1)
例5 把下列各式分解因式。
(1) a(a-1)(a-2)-6
(2) (x+2)(x-2)-4y(x-y)
(3) y(y+2)+4x(x-y-1)
[分析] （1）（2）（3）都具有一个共性，即含有括号，且都无法再继续进行下去，
这时，应考虑去掉括号，重新分组，则可“柳暗花明”，出现转机。
[解答]
32 (1)a(a,1)(a,2),6 32,a,3a，2a,6 2,(a,3a)，(2a,6)
2 ,a(a,3)，2(a,3)
,(a,3)(a，2)
(2)(x，2)(x,2),4y(x,y)22 ,x,4,4xy，4y22
,(x,4xy，4y),4 2
,(x,2y),4
,(x,2y，2)(x,2y,2)
(3)y(y，2)，4x(x,y,1)22 ,y，2y，4x,4xy,4x 22,4x,4xy，y,(4x,2y) 2,(2x,y),2(2x,y)
,(2x,y)(2x,y,2)例6 已知 ，化简 。
[分析] 由已知条件，通过因式分解，可得到（x+5y）的值，从而可以化简的求代数22322x，10xy，25y,1,0x，5xy，x式。
[解答] 由 ，可得
22x，10xy，25y,1,0
(x，5y),1,0.即2
[(x，5y)，1][(x，5y),1],0
？x，5y，1,0,或x，5y,1,0
当x，5y，1,0时x，5xy，x322
,x(x，5y，1),02
当x，5y,1,0时,即x，5y,1
322？x，5xy，x
2,x(x，5y，1)
2,x(1，1)
2,2x
[能力层面训练]
?知识掌握
1、用分组分解法把ab-c+b-ac分解因式分组的方法有
A、1种 B、2种 C、3种 D、4种
2、用分组分解a222-b-c+2bc的因式，分组正确的是
222222A.(a,c),(b,2bc)B.(a,b,c)，2bc
222222 C.(a,b),(c,2bc)D.a,(b，c,2bc)
3、填空：
（1）ax+ay-bx-by=(ax+ay)- ( )
=( )( )
22(2)x-2y-4y+x=( )+( )
=( )( )
222(3)4a-b-4c+4bc=( )-( )
=( )( )
4、把下列各式分解因式
2 (1)5x，6y,15x,2xy
2(2)7a，ab,21a,3b 22(3)ax，3x,4a,12
5、把下列各式分解因式
32(1)x，x,4x,4 22(2)x，a,bx,ab，2ax
422 (3)x,2x，xy,y，16、把下列各式分解因式
22(1)a(a，1),b(b，1)
2222 (2)ab(c，d)，cd(a，b)
(3)a(a，2b,2c)，b(b,2c)?能力提高
7、把 分解因式为（ ） 224x,a,6a,9A、（2x-a+3）(2x-a-3) B、(2x-a+3)(2x+a-3)
C、(2x+a+3)(2x-a-3) C、(2x+a+3)(2x+a-3)
228、把 分解因式为（ ） a,2a,4b，4b
A、(a+2 )(a+2b-2) B、(a-2b)(a+2b-2)
C、(a+2b)(a-2b+2) D、(a-2b)(a+2+2) 9、把下列各式分解因式
(1)9(a，c)(a,c),b(b，6c)
222222(2)2(a，b)(a，b),(a,b) 22(3)(a,4)，(b,4)，2(ab,8)
22222 (4)(a，b,1),4ab
222(5)a(b,c)，b(c,a)，c(a,b)
?延伸拓展
10、化简1+x+x(1+x)+x(1+x)21998+?+x(1+x)
43322411、当x-y=1时，求代数式 的值. x,xy,xy,3xy，3xy，y
2222212、已知a、b、c是?ABC的三条边，求证：代数式 的值一(a，b,c),4ab
定是负数。
范文五：分组分解法教案
9.16 分组分解法
上海市民办中芯学校 张莉莉 教学目标： 1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义．
2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理 的分组方案．
3．能综合运用各种方法完成因式分解．
教学重点： 理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 教学难点： 筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解
教学过程：
一 复习引入
1.什么是因式分解？
2.学过几种因式分解的方法？
3.思考：如何将多项式 (1)ax?ay?bx?by分解因式？
二 新知探究
环节1
内容 ：因式分解 (1)ax?ay?bx?by
教师：提出问题 指导学生一题多解 引入定义
学生：思考 回答 板书练习
意图：1.通过一题多解，培养学生的发散思维
2.使学生整体感悟因式分解的方法，再局部的把握知识。
3. 探索 讨论 总结分组的原则
要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有供四项式作
分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接
达到分解的目的．但如果分组后在局部分别分解，然后在组与
组直接再看看有没有公因式，就可以创造整体分解的机会．
试一试：分解因式（1） xy?2x?y?2 （2）a?b?ab?1
22（4）x?4y?x?2y （4）9a?b?3a?b 22
环节2
如何将多项式(2)a?2ab?b?1分解因式？
教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？
学生：尝试 探索 总结
意图：拓展学生的思维 再一次认识如何合理分组？
要点：组和组之间存在平方差的联系
巩固练习：
22 （1）x?10xy?25y?x?5y （2）a?3a?ab?3b 222
（3）x?2x?a?2a 22
三 课堂小结：引导学生从知识，技能，方法，整体等方面自主小结如何合理分组，
教师点评，总结
四 作业布置：练习册：9.16
补充思考题：
环节3 巩固练习：
1.多项式x2?y?xy?x运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）
A. (x2?y)?(xy?x) B. (x2?xy)?(y?x)
C. x2?(y?xy?x) D. (x2?y?xy)?x
2. 多项式x-a-2a?1运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）
A. (x2-a2)?(-2a?1) B. x2-(a2?2a?1)
C. (x2-a2-2a)?1 D. (x2-2a)?(-a2?1)
3. 多项式 x2?x?y2?y运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）22
A.(x2?x)?(?y2?y) B. (x2?y2)?(x?y)
C. (x2?y)?(?y2?x) D. (x2?x?y)?y2
5.因式分解.
（1）a?b?ab?1 （2）a?2ab?ac?bc?b
（3）x2?x?4y2?2y （4）a?4b?12bc?9c
教师：指导学生分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单. 学生：实践巩固 应用问题
意图：举一反三 触类旁通
注意：分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单.
三 归纳小结 渗透学法 22222
??按字母分组四项多项式如何分组？?两两分组? 符合平方差公式的两项分组???差公式?三一分组?先完全平方公式后平方
作业布置：练习册9.16
补充思考题： （1）x?4y （2）x?3xy?36y
22（3）x-4xy?4y?2x-4y （4）18a?32b?18a?24b 22444224
提示：（3）是三项多项式，但不是完全平方式的形式，也不能用十字相乘法分解，
应该怎么处理？可以在原式的基础上增减项使得配成完全平方式的形式
x4?3x2y2?36y4?x4?12x2y2?36y4?9x2y2?(x4?12x2y2?36y4)?9x2y2
(4)的思路同（3）
(1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性.
(2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单.
(3)分组时要用到添括号法则，注意添加带有“－”号的括号时，括号内每项的符号都要改变.
(4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项
式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
?提公因式法¨?22?)??平方差公式:a?b?(a?b)(a?b（适用两项的多项式） 公式法??222???完全平方公式:a?2ab?b?(a?b)（适用三项的多项式）
?十字相乘法（适用三项的多项式）?
【分析】（1）这是一个四项式，它的各项没有公因式，而且也没有供四项式作分解的公式
可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的．但是，
如果分组后在局部分别分解，就可以创造整体分解的机会．
（2）符合公式的两项分组
（3）观察多项式，前三项符合完全平方公式
要点：分组后组间能分解因式
