范文一：浅谈线性系统状态转移矩阵

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浅谈线性系统状态转移矩阵

墓人睹善慷

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产业技术与理论

王慧娟

董伟

【摘要】状态转移矩阵是现代控制理论的重要概念，在线性控制系统的运动分析中起着重要的作用(文章分别对连续时间线性时变系统、离散时问线性定常系统以及离散时间线性时变系统的状态转移矩阵进行了研究(根据常微分方程和差分方程解的唯一性，得到了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，并求出了其对应的系统矩阵(【关键词】线性系统:状态转移矩阵中图分类号:,,,,

文献标识码:,

文章编号:,,,,,,,,,(,,,,),,,,,,?,,

一、概述

以往的文献对线性系统的状态转移矩阵(包括连续时间

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一连续时间线性时变系统的状态转移矩阵，,(,)是与之对应——————————————————————————————————————

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的系统矩阵。

定理,任意,阶关于,的矩阵函数,,，(,)，若对任意,?,，掣(,)可逆，掣(,):,，，并且,，『(,(,,)掣‘,(,)是常数矩阵，则,,,(,是某一离散时间线性定常系统的状态转移矩阵，且与之对应的系统矩阵为掣(，汁,)掣。,(,)。令,,掣(,，,)甲,(,)，由定理条件知,是常数矩阵，即:

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与连续时间线性时不变系统的情况类似，注意到状态转

线性定常系统、连续时间线性时变系统、离散时间线性定常

系统、离散时间线性时变系统)进行了详细而深入的介绍。值得指出的是，以往的文献都是在系统矩阵已知的前提下，讨论状态转移矩阵的性质求解。然而，给定一个矩阵函数，如何判断它是某一线性系统的状态转移矩阵，如果是状态转移矩阵，如何求取其对应的系统矩阵，这是我们必须解决的问题。

通常情况下，判断矩阵函数是某一连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵的充要条件会在之前的工作中给出。根据常微分方程和差分方程解的唯一性，得到了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，并求出了其对应的系统矩阵。

为了给出判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，需要用到下面的引理。

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引理,状态转移矩阵,(,，,,)是下列矩阵微分方程初值问题的解，且解是唯一的。

移矩阵似,)即矩阵方程(,)的解是唯一的，故甲(,)是某一离散

时间线性时不变系统的状态转移矩阵，,是与之对应的系统矩阵。

定理,任意,阶关于,，,,的矩阵函数,(,，蛐，若对任意,?,口，掣(，;’蛐可逆呻(,蛐】×平,(,蛐只与,有关，并且,,『(,,，,(,声，，则,(,蛐是某一离散时间线性时变系统的状态转移矩阵，且与之对应的系统矩阵为【,(,，,，蛐】掣‘,(,,【,)，,。为

系统的初始时刻。

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引理,状态转移矩阵,(,)是下列矩阵差分方程初值问题的解:

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关于,的矩阵，与,无关，即:

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值问题的解:

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,?,(,)三、结束语

定理,,,给出了判定矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，也给出了计算其对应的系统矩阵的公式。

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由状态转移矩阵的性质可知，对连续系统，定理,的条件也是必要的:但对于离散系统，由于状态转移矩阵不能保证必为非奇异，所以定理,和定理,的条件不是必要的。但对于连续时间线性系统的时间离散化系统，无论其为时不变或时变系统，状态转移矩阵必为非奇异，此时定理,和定理,的条件是充分必要的。

参考文献:

,,】郑大钟(线性系统理论【,】(北京:清华大学出版社，,,,,(【,】刘豹，唐万生(现代控制理论【,】(北京:机械工业出版社’,,,,(

引理,状态转移矩阵似,，,,)是下列矩阵差分方程初

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二、状态转移矩阵的判定判定结果定理,

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初始时刻(这里对,的导数是指二元函数掣(,’,,)对,的偏导数)。

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【,】施颂椒，陈学中，杜秀华(现代控制理论基础【,】(北京:高等教育

出版社(,,,,(

作者简介:王慧娟(,,,,(,,),,,，新疆乌鲁木齐人，长安大学电控学院二年级学术型硕士研究生，研究方向:控制理论与控制工程;

董伟(,,,,(,)男，山东滨州人，长安大学电控学院二年级学术型硕士研究生，研究方向:控制理论与控制工程(

万方数据

作者单位:

刊名:

英文刊名:

年，卷(期):王慧娟， 董伟长安大学电控学院华人时刊(下旬刊)Chinese Times2012(10)

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参考文献(3条)

1.郑大钟 线性系统理论 2002

2.刘豹;唐万生 现代控制理论 2005

3.施颂椒;陈学中;杜秀华 现代控制理论基础 2007

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范文二：浅谈线性系统状态转移矩阵

墓人睹善慷

Ｏｃｔ．２０１２Ｎｏ．１０ＣＨＩＮＥＳＥＴＩＭＥＳ

产业技术与理论

浅谈线性系统状态转移矩阵

王慧娟

董伟

【摘要】状态转移矩阵是现代控制理论的重要概念，在线性控制系统的运动分析中起着重要的作用．文章分别对连续时间线性时变系统、离散时问线性定常系统以及离散时间线性时变系统的状态转移矩阵进行了研究．根据常微分方程和差分方程解的唯一性，得到了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，并求出了其对应的系统矩阵．【关键词】线性系统：状态转移矩阵中图分类号：ＴＰ２７

文献标识码：Ａ

文章编号：１００６－０２７８（２０１２）１０－０６３?Ｏｌ

一、概述

以往的文献对线性系统的状态转移矩阵（包括连续时间

根据式（１）、式“），由引理１得１ｌ｜（ｔ’ｔｏ）旬（ｔ砧，故ｕ２（ｔ，ｔｏ）是某

一连续时间线性时变系统的状态转移矩阵，Ａ（ｔ）是与之对应的系统矩阵。

定理２任意ｎ阶关于ｋ的矩阵函数１ｌＩ（ｋ），若对任意ｋ≥０，掣（ｋ）可逆，掣（０）：－Ｉ，并且１Ｉ『（ｋ．｝１）掣‘１（ｋ）是常数矩阵，则１ｌｆ（Ｄ是某一离散时间线性定常系统的状态转移矩阵，且与之对应的系统矩阵为掣（Ｉ汁１）掣。１（ｋ）。令Ｇ＝掣（ｋ＋１）甲４（ｋ），由定理条件知Ｇ是常数矩阵，即：

掣（１【＋ｌ净Ｇ掣（ｋ）

Ⅲ（０净Ｉ

（５）

与连续时间线性时不变系统的情况类似，注意到状态转

线性定常系统、连续时间线性时变系统、离散时间线性定常

系统、离散时间线性时变系统）进行了详细而深入的介绍。值得指出的是，以往的文献都是在系统矩阵已知的前提下，讨论状态转移矩阵的性质求解。然而，给定一个矩阵函数，如何判断它是某一线性系统的状态转移矩阵，如果是状态转移矩阵，如何求取其对应的系统矩阵，这是我们必须解决的问题。

通常情况下，判断矩阵函数是某一连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵的充要条件会在之前的工作中给出。根据常微分方程和差分方程解的唯一性，得到了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，并求出了其对应的系统矩阵。

为了给出判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，需要用到下面的引理。

引理ｌ状态转移矩阵Ｏ（ｔ，ｔｏ）是下列矩阵微分方程初值问题的解，且解是唯一的。

移矩阵似ｋ）即矩阵方程（２）的解是唯一的，故甲（ｋ）是某一离散

时间线性时不变系统的状态转移矩阵，Ｇ是与之对应的系统矩阵。

定理３任意ｎ阶关于ｋ，ｋｏ的矩阵函数Ｗ（ｋ，蛐，若对任意ｋ≥ｋ口，掣（Ｉｃ’蛐可逆呻（ｋ蛐】×平４（ｋ蛐只与ｋ有关，并且１ｌ『（ｋｏ，ｌ（ｏ声Ｉ，则ｖ（ｋ蛐是某一离散时间线性时变系统的状态转移矩阵，且与之对应的系统矩阵为【Ｖ（ｋ＋１，蛐】掣‘１（ｋｌ【ｏ），ｋ。为

系统的初始时刻。

Ｏ（ｔ，ｔｏ户Ａ（ｔ）ｍ（ｔ柚ｍ（ｔｏ，ｔｏ）＝Ｉｔ≥ｔｏ（１）

引理２状态转移矩阵Ｏ（ｋ）是下列矩阵差分方程初值问题的解：

令Ｇ（曲＝【平（ｋ．＋．１，ｌ【０）】甲’１仳蛐，由定理条件可知Ｇ（ｋ）是

关于ｋ的矩阵，与ｋ无关，即：

’ｌ｜（ｋ＋１，ｌ（０卜Ｇ（曲掣（ｋ’ｋｏ）

平（ｋ，ｋｏ）＝Ｉ

（６）

西（ｋ＋１净Ｇ（ｋ）西（ｋ）ｍ（０Ｈ

值问题的解：

ｋ≥０（２）三、结束语

定理ｌ～３给出了判定矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，也给出了计算其对应的系统矩阵的公式。

ｋ≥ｋｏ（３）

由状态转移矩阵的性质可知，对连续系统，定理ｌ的条件也是必要的：但对于离散系统，由于状态转移矩阵不能保证必为非奇异，所以定理２和定理３的条件不是必要的。但对于连续时间线性系统的时间离散化系统，无论其为时不变或时变系统，状态转移矩阵必为非奇异，此时定理２和定理３的条件是充分必要的。

参考文献：

［１】郑大钟．线性系统理论【Ｍ】．北京：清华大学出版社，２００２．【２】刘豹，唐万生．现代控制理论【Ｍ】．北京：机械工业出版社’２００５．

引理３状态转移矩阵似ｋ，ｋＯ）是下列矩阵差分方程初

西（ｋ＋ｌ，ｌ【ｏ）：＝Ｇ（ｋ）Ｏ（ｋ，ｋｏ）似ｋ。岛Ｈ

二、状态转移矩阵的判定判定结果定理ｌ

任意ｎ阶关于ｔ＇ｔｏ的矩阵函数平（ｔ，ｔ０），若对任意

ｔ．．－＞ｔｏ，１毛，（ｔ，ｔｏ）关于ｔ可导，Ｖ“，Ｄ是可逆矩阵，掣（ｔ’Ｄ＝Ｉ，并且掣【（Ｉ，

Ｄ】只与ｔ有关，ｐｔ忡（ｔ，ｔｏ）是某一连续时间线性时变系统的状态

转移矩，且与之对应的系统矩阵为Ｈ“，Ｄ】甲４也ｔｏ），ｔｏ为系统的

初始时刻（这里对ｔ的导数是指二元函数掣（ｔ’ｔ０）对ｔ的偏导数）。

令Ａ（ｔ）＝【Ｗ（ｔ，ｔｏ）】１ｌ，。（ｔ，ｔｏ），由定理条件知Ａ（ｔ）是关于ｔ的矩阵，与无关，即：

掣（ｔ，ｔｏ）＝Ａ（ｔ）Ｖ（ｔ’ｔＤ）

１ｌ『ｍ，ｔ扣Ｉ

“）

【３】施颂椒，陈学中，杜秀华．现代控制理论基础【Ｍ】．北京：高等教育

出版社．２００７．

作者简介：王慧娟（１９８９．１２）－Ｊｒ，新疆乌鲁木齐人，长安大学电控学院二年级学术型硕士研究生，研究方向：控制理论与控制工程；

董伟（１９８８．９）男，山东滨州人，长安大学电控学院二年级学术型硕士研究生，研究方向：控制理论与控制工程．

万方数据

浅谈线性系统状态转移矩阵

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

王慧娟， 董伟长安大学电控学院华人时刊（下旬刊）Chinese Times2012(10)

参考文献(3条)

1.郑大钟 线性系统理论 20022.刘豹;唐万生 现代控制理论 2005

3.施颂椒;陈学中;杜秀华 现代控制理论基础 2007

引用本文格式：王慧娟.董伟 浅谈线性系统状态转移矩阵[期刊论文]-华人时刊（下旬刊） 2012(10)

范文三：状态转移矩阵例题

?2e -t -e -2t

【例9.18】 已知状态转移矩阵 Φ(t ) =?-t -2t ?-2e +2e 解 利用性质（1）、（2），有 e -t -e -2t ?，试求A 。 -t -2t ?-e +2e ?

?-2e -t +2e -2t A =Φ(0) =?-t -2t ?2e -4e 1?-e -t +2e -2t ??0?=?? e t -4e -2t ?t =0?-2-3?

=?【例9.19】已知状态方程：x 1??0－1，试求状态转移矩阵的逆矩阵Φ(t ) 。 x ??-2-3?

解 已知该齐次状态方程的转移矩阵为：

?2e -t -e -2t

Φ(t ) =?-t -2t ?-2e +2e

利用性质（4）得 e -t -e -2t ?， -t -2t ?-e +2e ?

e t -e 2t ? t 2t ?-e +2e ??2e t -e 2t Φ(t ) =Φ(-t ) =?t 2t ?-2e +2e -1

Φ－1(t ) 还可以根据Φ(t ) 按一般矩阵求逆矩阵的方法求取。

范文四：状态转移矩阵性质

Use term-by-term differentiation of the Peano-Baker series to prove that

, ,,,,,(,)(,)()ttA,,,,

证明过程如下:

已知莱布尼兹法则为:

gtgt()()dd'' (,)(,)()(,)()(,),,,,,,,,，AtdAtgtAtftAtd,,ftft()()dtdt

状态转移矩阵的Peano-Baker展开式为:

,tt1

,,,,,,,,(,)()()()tIAdAAdd,，，，111221,,,,,,

根据莱布尼兹法则对Peano-Baker展开式的每一项求导可得:

dI第1项为: ,0,d

第2项为:

tdAd(),,11,d,,

tdtdd, AAAd()()(),,，,,,,11,ddd,,,,

,,，0()0A,

,,A(),

第3项为:

,,11

将看成整体，令 AAd()(),,,fAAd()()(),,,,,1221122,,,,

,t1dAAdd()(),,,,1221,,d,,,tdfd,(),,11,d,,td,,，0()()ffd11,,,,d,,tdfd(),11,,,d,,t1d,AAdd,()()1221,,,,,,d,,,t1d,AAdd()(),1221,,d,,,,,t,,

AAd()(()),,11,,,,

t, ,,AdA()*()11,,,,

,,A(),以此类推，Peano-Baker展开式的每一项在对求导后，都可以提出一项，提出,

此项之后得到如下:

,tt1, ,,,,,,,,,(,)(()()())*(())tIAdAAddA,，，，,111221,,,,,,,,

,即证: ,,,,,(,)(,)()ttA,,,,

范文五：状态转移矩阵例题

?2e?t?e?2t

【例9.18】 已知状态转移矩阵 ?(t)???t?2t??2e?2e解 利用性质（1）、（2），有 e?t?e?2t?，试求A。 ?t?2t??e?2e?

??2e?t?2e?2t?A??(0)???t?2t?2e?4e1??e?t?2e?2t??0???? et?4e?2t?t?0??2?3?

???【例9.19】已知状态方程：x1??0－1，试求状态转移矩阵的逆矩阵?(t)。 x???2?3?

解 已知该齐次状态方程的转移矩阵为：

?2e?t?e?2t

?(t)???t?2t??2e?2e

利用性质（4）得 e?t?e?2t?， ?t?2t??e?2e?

et?e2t? t2t??e?2e??2et?e2t?(t)??(?t)??t2t??2e?2e?1

?－1(t)还可以根据?(t)按一般矩阵求逆矩阵的方法求取。

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