烽火戏母猴
范文一：2015北京高考文科数学
2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1、若集合A=x -5
A ．x -3
C ．x -3
2、圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是（ ）
A ．(x -1)+(y -1)=1 B．(x +1)+(y +1)=1
C ．(x +1)+(y +1)=2 D．(x -1)+(y -1)=2
3、下列函数中为偶函数的是（ ）
A ．y =x 2sin x B．y =x 2cos x C．y =ln x D．y =2-x
4、某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ） 22222222{}{}B=（ ） {}{}{}{}
100 C．180 D．300
A ．90 B．
5、执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）
A ．3 B．4 C．5 D．6
6、设a ，b 是非零向量，“a ?b =a b ”是“a //b ”的（ ）
A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A ．1 B
．2
8、某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A ．6升 B．8
升 C．10升 D ．12升
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9、复数i (1+i )的实部为 ．
10、2，3，log 25三个数中最大数的是 ．
11、在?ABC 中，a =3，b =-312∠A=2π，则∠B= 3
y 2
12、已知(2,0)是双曲线x -2=1（b >0）的一个焦点，则b =． b 2
13、如图，?ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P(x , y )为D 中任意一点，则z =2x +3y 的最大值为．
14、高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
15、（本小题满分13分）已知函数f (
x )=sin x -2x ． 2
(I)求f (x )的最小正周期；
2π?0, (II)求f (x )在区间???上的最小值． ?3?
16、（本小题满分13分）已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10，a 4-a 3=2．
(I)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3，b 3=a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？
17、（本小题满分13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
I估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(II)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；
(III)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
18、（本小题满分14分）如图，在三棱锥V -ABC 中，平面V AB⊥平面ABC ，?V AB为等边三角形，AC ⊥BC 且AC =BC =O，M分别为AB，V A的中点． (I)求证：V B//平面MOC ；
(II)求证：平面MOC ⊥平面V AB；
(III)求三棱锥V -ABC 的体积．
x 2
-k ln x ，k >0． 19、（本小题满分13分）设函数f (x )=2
(I)求f (x )的单调区间和极值；
(II)证明：若f (x )存在零点，则f (x
)在区间(上仅有一个零点．
20、（本小题满分14分）已知椭圆C :x 2+3y 2=3，过点D (1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C 交于A，B两点，直线AE与直线x =3交于点M．
(I)求椭圆C 的离心率；
(II)若AB垂直于x 轴，求直线BM的斜率；
(III)试判断直线BM与直线D E的位置关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1、【答案】
A
考点：集合的交集运算.
2、【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可得圆的半径为r =
考点：圆的标准方程.
3、【答案】B
【解析】 (x -1)+(y -1)=2. 22
试题分析：根据偶函数的定义f (-x ) =f (x ) ，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,+∞) 不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 考点：函数的奇偶性.
4、【答案】C
【解析】 试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为160016=；设样本中老年教师的9009
人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即32016=，解得x =180. x 9
考点：分层抽样.
5、【答案】
B
考点：程序框图.
6、【答案】A
【解析】
试题分析：a ?b =|a |?|b |cos ，由已知得cos =1，即=0，a //b . 而当a //b 时，还可能是π，此时a ?b =-|a ||b |，故“a ?b =a b ”是“a //b ”的充分而不必要条件.
考点：充分必要条件、向量共线.
7、【答案】C
【解析】
试题分析：四棱锥的直观图如图所示：
由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA
是四棱锥最长的棱，
SA
考点：三视图.
8、【答案】B
【解析】
试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量V =48升. 而这段时间内行驶的里程数S =35600-35000=600千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
考点：平均耗油量. 48?100=8升，故选B. 600
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9、【答案】-1
【解析】
试题分析：复数i (1+i ) =i -1=-1+i ，其实部为-1.
考点：复数的乘法运算、实部.
10、【答案】log 25
【解析】 [来源:学+科+网]
1试题分析：2=
1，32=>
1，log 25>log 24>2>log 25最大. 8-31
考点：比较大小.
11、【答案】π 4
【解析】
试题分析：由正弦定理，得πa b ，
，
所以sin B =，所以∠B =. ==4sin A sin B 考点：正弦定理.
12、
【答案】【解析】
试题分析：由题意知c =2, a =1，b 2=c 2-a 2=
3，所以b =
考点：双曲线的焦点.
13、【答案】
7
考点：线性规划.
14、【答案】乙、数学
【解析】
试题分析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.
②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.
考点：散点图.
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
15、【答案】（1）2π；（2
）
考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.
16、【答案】（1）a n =4+2(n -1) =2n +2；（2）b 6与数列{a n }的第63项相等.
【解析】
试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用等差数列的通项公式，将a 1, a 2, a 3, a 4转化成a 1和d ，解方程得到a 1和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到b 2和b 3的值，再利用等比数列的通项公式，将b 2和b 3转化为b 1和q ，解出b 1和q 的值，得到b 6的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d.
因为a 4-a 3=2，所以d =2.
又因为a 1+a 2=10，所以2a 1+d =10，故a 1=4.
所以a n =4+2(n -1) =2n +2 (n =1, 2, . )
（Ⅱ）设等比数列{b n }的公比为q .
因为b 2=a 3=8，b 3=a 7=16，
所以q =2，b 1=4.
所以b 6=4?26-1=128.
由128=2n +2，得n =63.
所以b 6与数列{a n }的第63项相等.
考点：等差数列、等比数列的通项公式.
17、【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大.
【解析】
试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；第二问，先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100+200，再计算概率；第三问，由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.
试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为200=0.2. 1000
（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品. 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得： 100+200=0.3. 1000
200=0.2， 1000
100+200+300=0.6， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1000
100=0.1， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
考点：统计表、概率.
18、【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3
【解析】
试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力. 第一问，在三角形ABV 中，利用中位线的性质得OM //VB ，最后直接利用线面平行的判定得到结论；第二问，先在三角形ABC 中得到OC ⊥AB ，再利用面面垂直的性质得OC ⊥平面V AB ，最后利用面面垂直的判定得出结论；第三问，将三棱锥进行等体积转化，利用V C -VAB =V V -ABC ，先求出三角形V AB 的面积，由于OC ⊥平面V AB ，所以OC 为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可. 试题解析：（Ⅰ）因为O , M 分别为AB ，V A 的中点，
所以OM //VB .
又因为VB ?平面MOC ，
所以VB //平面MOC.
（Ⅱ）因为AC =BC ，O 为AB 的中点，
所以OC ⊥AB .
又因为平面V AB ⊥平面ABC ，且OC ?平面ABC ，
所以OC ⊥平面V AB.
所以平面MOC ⊥平面V AB. （Ⅲ）在等腰直角三角形ACB
中，AC =BC =
所以AB =2, OC =1.
所以等边三角形V AB
的面积S ?VAB =又因为OC ⊥平面V AB ，
所以三棱锥C-V AB
的体积等于 1?OC ?S ?VAB =. 33
又因为三棱锥V -ABC 的体积与三棱锥C-V AB 的体积相等，
所以三棱锥V -ABC
的体积为. 3
考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.
19、【答案】（1）单调递减区间
是，单调递增区间
是+∞) ；极小
值f =k (1-ln k ) ；（2）证明详见解析.
2
所以，f (x
) 的单调递减区间是
，单调递增区间是+∞) ；
f (x
) 在x =
f =k (1-ln k ) . 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x ) 在区间(0,+∞
) 上的最小值为f =
因为f (x ) 存在零点，所以k (1-ln k ) . 2k (1-ln k ) ≤0，从而k ≥e . 2
当k =e 时，f (x
) 在区间
上单调递减，且f =0，
所以x =f (x
) 在区间上的唯一零点.
1e -k >
0，f =<0， 22当k="">e 时，f (x
) 在区间上单调递减，且f (1)=
所以f (x
) 在区间上仅有一个零点.
综上可知，若f (x ) 存在零点，则f (x
) 在区间上仅有一个零点
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.
20、【答案】（1
）
【解析】 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用e =（2）1；（3）直线BM 与直线DE 平行. 3c 计算离心率；第二问，由直线AB a
的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与x=3相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；第三问，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到x 1+x 2和x 1x 2，代入到k BM -1中，只需计算出等于0即可证明k BM =k DE ，即两直线平行.
x 2
+y 2=1.
试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为3
所以a =b =
1，c =所以椭圆C
的离心率e =c =. a 3
（Ⅱ）因为AB 过点D (1,0)且垂直于x 轴，所以可设A (1,y 1) ，B (1,-y 1) .
直线AE 的方程为y -1=(1-y 1)(x -2) .
令x =3，得M (3,2-y 1) .
所以直线BM 的斜率k BM =2-y 1+y 1=1. 3-1
（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行. 证明如下：
当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知k BM =1.
又因为直线DE 的斜率k DE =1-0=1，所以BM //DE . 2-1
当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =k (x -1)(k ≠1) .
设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则直线AE 的方程为y -1=y 1-1(x -2) . x 1-2
令x =3，得点M (3,y 1+x 1-3) . x 1-2
?x 2+3y 2=3由?，得(1+3k 2) x 2-6k 2x +3k 2-3=0. ?y =k (x -1)
6k 23k 2-3所以x 1+x 2=，x 1x 2=. 1+3k 21+3k 2
考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.
范文二：2015年北京高考数学
篇一:2015年北京高考数学(理)试题及答案word版
绝密?启封并使用完毕前
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分(在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项( 1(复数i?2?i?? A(1?2i
B(1?2i
C(?1?2i
D(?1?2i
开始
?x?y?0，?
2(若x，y满足?x?y?1，则z?x?2y的最大值为
?x?0，?A(0
1
B(1
C(
3 2
x=1，y=1，k=0
D(2
s=x-y，t=x+yx=s，y=t
3(执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A(??2，
2?
B(??4，0?
C(??4，?4?
D(?0，?8?
k=k+1
否
k?是输出(x，y)
4(设?，?是两个不同的平面，m是直线且m??(“m??”
是“???”的
A(充分而不必要条件 B(必要而不充分条件
C(充分必要条件D(既不充分也不必要条件
5(某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积
是
A
(2 B
2
(4 C
(2? D(5
6(设?an?是等差数列. 下列结论中正确的是
A(若a1?a2?0，则a2?a3?0 B(若a1?a3?0，则a1?a2?0 C(若0?a1?
a2，则a2? D(若a1?0，则?a2?a1??a2?a3??0
2正(主)视图
1
结束
侧(左)视图
俯视图
7(如图，函数f?x?的图象为折线ACB，则不等式f?x??log2?x?1?的解集是
A(?x|?1?x?0? B(?x|?1?x?1? C(?x|?1?x?1?D(?x|?1?x?2?
y2
C
8(汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确 的是
A(消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B(以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽
3
油最多
C(甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升
汽油
D(某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，
在该市用丙车比用乙车更省油
A-1
B2
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分(
9(在?2?x?的展开式中，x3的系数为
5
((用数字作答)
x2
10(已知双曲线2?y2?1?a?
0??y?0，则a?a
π??
11(在极坐标系中，点?2?
?到直线?cos????6的距离为3??
??
(
12(在?ABC中，a?4，b?5，c?6，则
sin2A
4
?sinC
;
13(在?ABC中，点M，N满足AM?2MC，BN?NC(若MN?xAB?yAC，则x?y?
?2x?a?x?1??
14(设函数f?x???
??4?x?a??x?2a??x?1.
?若a?1，则f?x?的最小值为
;?若f?x?恰有2个零点，则实数a的取值范围是
(
三、解答题(共6小题，共80分(解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) xxx
15((本小题13
分)已知函数f(x)?cos?2(
222
(?) 求f(x)的最小正周期; (?) 求f(x)在区间[?π，0]上的最小值(
16((本小题13分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
A组:10，11，12，13，14，15，16 B组:12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机
5
各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙( (?) 求甲的康复时间不少于14天的概率; (?) 如果a?25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (?) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等,(结论不要求证明)
17((本小题14分)如图，在四棱锥A?EFCB中，平面AEF?平面EFCB，?AEF为等边三角形，EF?BC，BC?4，EF?2a，?EBC??FCB?60?，O为EF的中点(
(?) 求证:AO?BE; (?) 求二面角F?AE?B的余弦值;
A
(?) 若BE?平面AOC，求a的值(
C F
E
B
1?x
18((本小题13分)已知函数f?x??ln(
1?x
(?)求曲线y?f?x?在点?0，f?0??处的切线方程;
?x3?
1?时，f?x??2?x??; (?)求证:当x??0，
3??
?x3?
6
1?恒成立，求k的最大值((?)设实数 k使得f?x??k?x??
对x??0，
3??
x2y21?和点A?m，n??m?0?19((本小题14分)已知椭圆C:2?2?1?a?b?
0?，点P?0，
ab都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M(
(?)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示);
(?)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N(问:y轴上是否存在点Q，使得?OQM??ONQ,若存在，求点Q的坐标;若不存在，说明理由(
?2an，an?18，
??( 20((本小题13分)已知数列?an?满足:a1?N*，a1?36，且an?1???n?1，2，
2a?36，a?18n?n
记集合M?an|n?N*(
(?)若a1?6，写出集合M的所有元素;
(?)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明:M的所有元素都是3的倍数; (?)求集合M的元素个数的最大值(
7
??
篇二:2015年北京高考数学理
篇三:2015北京高考数学(理)试题含答案 2015年北京高考数学(理科)真题
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分(在每小
题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项( 1(复数
i?2?i?? A(1?2i
B(1?2i
C(?1?2i
D(?1?2i
?x?y2(若x，y满足?
?0，?x?y?1，则z?x?2y的最大值为 ??x?0，A(0
B(1
C(
32
D(2
3(执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A(??2，2? B(??4，0? C(??4，?4? D(?0， ?8?
4(设?，?是两个不同的平面，m是直线且m??(“m??”
8
是“???”的
A(充分而不必要条件
B(必要而不充分条件
C(充分必要条件
D(既不充分也不必要条件
5( 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
A
(2? B
(4 C
(2? D(5 6( 设?an?是等差数列. 下列结论中正确的是
侧(左)视图
A(若a1?a2?0，则a2?a3?0 B(若a1?a3?0，则a1?a2?0 C(若0?a1?a2，
则a2 D(若a1?0，则?a2?a1a??2a?3??0
俯视图
7( 如图，函数f?x?的图象为折线ACB，则不等式f?x??log2?x?1?
的解集是
A(?x|?1?x?0? B(?x|?1?x?1? C(?x|?1?x?1? D(?x|?1?x?2?
9
8( 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶
的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在
不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正
确的是
A(消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B(以相同速度行驶相同路程，三辆车中， 甲车消耗汽
油最多 C(甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10
升汽油 D(某城市机动车最高限速80千米/小时. 相
同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分(
9(在?2?x?5
的展开式中，x3
的系数为
((用数字作答)
10(已知双曲线x2a
y2
2??1?a?
0??y?0，则a?
(
11(在极坐标系中，点???
2?
10
π?3??到直线??cos????
?6的距离为
(
12(在?ABC中，a?4，b?5，c?6，则 sin2A
sinC
? (
13(在?ABC中，点M，N满足AM?2MC，BN?NC(若
MN?xAB?yAC，
则x?
;y?
(
?14(设函数f?x???
?2x?a?x?1???
4?x?a??x?2a??x?1.
?若a?1，则f?x?的最小值为
?若f?x?恰有2个零点，则实数a的取值范围是 (
三、解答题(共6小题，共80分(解答应写出文字说
明，演算步骤或证明过程)
xxx
217((14分)如图，在四棱锥A?EFCB中，?AEF为
11
等边三角形，平面AEF?平面EFCB，
EF?BC，BC?4，EF?2a，?EBC??FCB?60?，O为EF的中点( 15((13分)
已知函数f(x)?2cos22
(
(?) 求证:AO?BE;
(?) 求f(x)的最小正周期; (?) 求f(x)在区间[?π，0]上的最小值(
(?) 求二面角F?AE?B的余弦值; (?) 若BE?平面AOC，求a的值(
16((13分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
A组:10，11，12，13，14，15，16
B组:12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选(转 载 于:wWW.xlTkWJ.Com 小 龙文 档 网:2015年北京高考数学)出的人记为甲，B 组选出的人记为乙( (?) 求甲的康复时间不少于14天的概率; (?) 如果a?25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
(?) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等,(结论不要求证明)
A
12
F
C
E
B
1?x
18((13分) 已知函数f?x??ln(
1?x
(?)求曲线y?f?x?在点?0，f?0??处的切线方程; ?x3?
(?)求证:当x??0，1?时，f?x??2?x??; 3??
?x3?
(?)设实数k使得f?x??k?x??对x??0，1?恒成立，
求k的最大值(
3??
x2y2
19((14分)已知椭圆C2?2?1?a?b? 0?，点P?0，1?和点A?m，n??m?0? ab
都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M( (?)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n
表示);
13
(?)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N(问:y轴上是否存
在点Q，使得?OQM??ONQ,若存在，求点Q的坐标;若不存在，说明理由(
?2a，an?18，
20((13分)已知数列?an?满足:a1?N*，a1?36，且an?1??n ??(?n?1，2，
2a?36，a?18n?n
记集合M?an|n?N*(
(?)若a1?6，写出集合M的所有元素;
(?)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明:M的所有元素都是3的倍数; (?)求集合M的元素个数的最大值(
??
14
范文三：2015北京高考数学理
2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理科) (北京卷)
本试卷共 5页, 150分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上
作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 (选择题共 40分)
一、选择题 共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.复数 ()i 2i -= A . 12i +
B . 12i -
C . 12i -+
D . 12i --
2.若 x , y 满足 010x y x y x -??
+???
≤ , ≤ , ≥ , 则 2z x y =+的最大值为
A . 0
B . 1
C .
32
D . 2
3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为
A . ()22-,
B . ()40-,
C . ()44--,
D . ()08-,
4.设 α, β是两个不同的平面, m 是直线且 m α? . “ m β∥ ” 是 “ αβ∥ ” 的 A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是
俯视图
侧 (左 ) 视图
A
. 2 B
. 4 C
. 2+ D . 5 6.设 {}n a 是等差数列 . 下列结论中正确的是
A .若 120a a +>,则 230a a +> B .若 130a a +<,则 120a="" a="">< c="" .若="" 120a="" a="">
,则 2a D .若 10a <,则 ()()21230a="" a="" a="" a="" --=""> 7.如图,函数 ()f x 的图像为折线 ACB ,则不等式 ()()2log 1f x x +≥ 的解集是
A . {}|10x x -<≤ b="" .="" {}|11x="" x="" -≤="" ≤="" c="" .="" {}|11x="" x=""><≤ d="" .="">
|12x x -<>
8.汽车的 “ 燃油效率 ” 是指汽车每消耗 1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽
车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是
A .消耗 1升汽油,乙车最多可行驶 5千米
B .以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C .甲车以 80千米 /小时的速度行驶 1小时,消耗 10升汽油
D .某城市机动车最高限速 80千米 /小时 . 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
第二部分 (非选择题 共 110分)
二、填空题 共 6小题,每小题 5分,共 30分. 9.在 ()5
2x +的展开式中, 3x 的系数为 . (用数字作答)
10.已知双曲线 ()2
2210x y a a
-=>
0y +=,则 a =
11.在极坐标系中,点 π23?
? ??
??
到直线 ()
cos 6ρθθ+=的距离为 .
12.在 ABC △ 中, 4a =, 5b =, 6c =,则
sin 2sin A
C
= 13.在 ABC △ 中,点 M , N 满足 2AM MC = , BN NC = .若 MN xAB yAC =+
,则 x =
y =
14.设函数 ()()()21421. x a x f x x a x a x ?-<>
=?--??
? ? ? ≥
①若 1a =,则 ()f x 的最小值为
②若 ()f x 恰有 2个零点,则实数 a 的取值范围是 .
三、
解答题 (共 6小题,共 80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
15. (本小题 13分)
已知函数 2() cos 222
x x x
f x =.
(Ⅰ ) 求 () f x 的最小正周期;
(Ⅱ ) 求 () f x 在区间 [π0]-, 上的最小值.
16. (本小题 13分)
A , B 两组各有 7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A 组:10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 B 组:12, 13, 15, 16, 17, 14, a
假设所有病人的康复时间互相独立,从 A , B 两组随机各选 1人, A 组选出的人记为 甲, B 组选出的人记为乙.
(Ⅰ ) 求甲的康复时间不少于 14天的概率;
(Ⅱ ) 如果 25a =,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
(Ⅲ ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明) 17. (本小题 14分)
如图,在四棱锥 A EFCB -中, AEF △ 为等边三角形,平面 AEF ⊥平面 EFCB , EF BC ∥ , 4BC =, 2EF a =, 60EBC FCB ∠=∠=?, O 为 EF 的中点. (Ⅰ ) 求证:AO BE ⊥;
(Ⅱ ) 求二面角 F AE B --的余弦值; (Ⅲ ) 若 BE ⊥平面 AOC ,求 a 的值.
F
E
C
B
A
18. (本小题 13分) 已知函数 ()1ln
1x
f x x
+=-.
(Ⅰ)求曲线 ()y f x =在点 ()()00f , 处的切线方程;
(Ⅱ)求证:当 ()01x ∈,
时, ()323x f x x ??
>+ ??
?; (Ⅲ)设实数 k 使得 ()33x f x k x ??
>+ ???
对 ()01x ∈,
恒成立,求 k 的最大值. 19. (本小题 14分)
已知椭圆 C ()22
2210x y a b a b
+=>>
, 点 ()01P ,
和点 ()A m n , ()0m ≠ 都 在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ;
(Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问:y 轴上是 否存在点 Q ,使得 OQM ONQ ∠=∠?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 20. (本小题 13分)
已知数列 {}n a 满足:*1a ∈N , 136a ≤ ,且 121823618n n n n
n a a a a a +?=?->?, ≤ ,
, ()12n =, ,
… . 记集合 {}
*|n M a n =∈N .
(Ⅰ)若 16a =,写出集合 M 的所有元素;
(Ⅱ)若集合 M 存在一个元素是 3的倍数,证明:M 的所有元素都是 3的倍数; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理科) (北京卷)答案
一、选择题(共 8小题,每小题 5分,共 40分)
(1) A (2)D(3) B (4) B (5) C (6) C (7) C (8) D 二、填空题(共 6小题,每小题 5分,共 30分) (9) 40 (10
(11) 1 (12) 1 (13) 12 16 (14) 1, 12≤ a <1 或="" a="" ≥="">
三、解答题(共 6小题,共 80分)
(15) (共 13分) 解:(I
)因为 () cos ) f x x x =
-
sin() 4x π=+ 所以 () f x 的最小正周期为 2π (Ⅱ)因为 0x π-≤≤,所以 3444
x πππ-≤+≤
当 4
2
x π
π
+
=-
,即 34
x π=-时, () f x 取得最小值。
所以 () f x 在区间 [],0π-
上的最小值为 3() 142
f π-=--
(16) (本小题 13分)
解:设时间 1A 为“甲是 A 组的第 i 个人”
, 时间 1B 为“乙是 B 组的第 i 个人” , i=1,2,?, 7. 由题意可知 111
() () 7
P A P B ==
, i=1,2,?, 7. (Ⅰ)由题意知,时间“甲的康复时间不少于 14天”等价于“甲是 A 组的第 5人,或
者第 6人,或者第 7人” ,所以甲的康复时间不少于 14天的概率是
5675673() () () () 7
P A A A P A P A P A =++=
(Ⅱ)设时间 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长” . 由题意知,
C=41516171526272736676A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B .
因此 4151617152() () () () () () P C P A B P A B P A B P A B P A B =++++ 6272736676() () () () () P A B P A B P A B P A B P A B +++++
=1041() P A B =1041() () P A P B =
1049
(Ⅲ) a=11或 a=18 (17) (本小题 14分) 解:(I )因为△ AEF 是等边三角形, O 为 EF 的中 点,
所以 AO ⊥ EF.
又因为平面 AEF ⊥平面 EFCB , AO ?平面 AEF ,
所以 AO ⊥平面 EFCB.
所以 AO ⊥ BE.
(Ⅱ)取 BC 中点 G ,连接 OG .
由题设知 EFCB 是等腰梯形, 所以 OG ⊥ EF. 由(I )知 AO ⊥平面 EFCB 又 OG ?平面 EFCB , 所以 OA ⊥ OG .
如图建立空间直角坐标系 O-xyz , 则 E (a,0,0) , A (0, 0
) ,
B (2
2-a ) , 0) , EA =(-a , 0
) ,
BE
=(a-2
a-2) ,0) .
设平面 ABE 的法向量为 n=(x,y,z )
则: n 0?
n 0? EA BE ??=???=??
即
0?
(2) 2) 0
ax a x a y ?-=??
-+-=?? 令 z=1,则
y=-1.于是 n=
-1,1)
平面 AEF 是法向量为 p=(0,1,0) 所以 cos (n , p ) =
n p n p ?
=5
-. 由题知二维角 F-AE-B
为钝角,所以它的余弦值为 - (Ⅲ)因为 BE ⊥平面 AOC ,所以 BE ⊥ OC ,即 0BE OC ?=
.
因为 BE
=(a-2
a-2) , 0) , OC =(-2
2-a ) , 0) ,
所以 BE OC ? =-2(a-2) -32
(2) a -.
由 0BE OC ?= 及 0
3
,
(18) (本小题 13分) 解:(I )因为 () f x =ln(1+x) -ln (1-x ) ,所以
() f x '=
1111x x
++-, (0)f '=2. 又因为 (0)f =0,所以曲线 y= () f x 在点(0 , (0)f )处的切线方程为 y=2x.
(Ⅱ)令 () g x =() f x -2(x+3
3
x ) ,则
() g x '=() f x '-2(1+2
x ) =42
21x x
-. 因为 () g x '>0(0<><1) ,所以="" ()="" g="" x="" 在区间(0,1)上单调递增。="" 所以="" ()="" g="" x="">(0)g =0, x ∈(0, 1) , 即当 x ∈(0, 1)时, () f x >2(x+33x ).
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 k 《 2时, () f x >k(x+3
3x ) 对 x ∈(0, 1)恒成立 .
当 k>2时,令 () h x =() f x - k(x+3
3x ) ,则
() h x '=() f x '-k (1+2
x ) =42
21kx k
x
+--.
所以当 0x <时, ()="" h="" x=""><0,因此 ()="" h="" x="">
)上单调递 减 .
当 0x <() h="" x=""><(0)h =0,即="" ()="" f="" x=""><>
3x ).
所以当 K>2时, () f x > k(x+3
3
x ) 并非对 x ∈(0, 1)恒成立 .
综上可知, k 的最大值为 2。 (19) (本小题 14分)
解:
(Ⅰ)由题意得 2221,
, . b c
a
a b c =??
?=???=+?
解得 2a =2.
故椭圆 C 的方程为 2
212
x y += 设 M (m x , 0) . 因为 m ≠ 0,所以 -1<><1. 直线="" pa="" 的方程为="" y-1="">
1
n x m
-,
所以 m x =
1m n -,即 M (1m n
-, 0) . (Ⅱ)因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称,所以 B (m , -n ) ,
设 N(N x ,0) , \则 N x =
1m
n
+. “存在点 Q (0, Q y )使得 ZOQM=ZONQ等价” , “存在点 Q (0, Q y )使得
OM OQ
=
OQ ON
”即 Q y 满足 2Q M N y x x =.
因为 1M m x n =-, 1N m x n =+,
2
212
m n +=, 所以 2
2
2
21Q M
N m y x x n ===-.
所以 Q y
Q y
故在 y 轴上存在点 Q ,使得 ∠OQM=∠ONQ. 点 Q 的坐标为(0
0,
. (20) (本小题 13分) (Ⅰ) {6, 12, 24}
(Ⅱ)因为集合 M 存在一个元素是 3的倍数,所以不妨设 k a 是 3的倍数 .
由 12, 18,
236, 18n n n n
n a a a a a +≤?=?->?可归纳证明对任意 n k ≥, n a 是 3的倍数 .
如果 k=1,则 M 的所有元素都是 3的倍数 .
如果 k>1,因为 k a =21k a -或 k a =21k a --36,所以 21k a -是 3的倍数,于是 1k a -是 3的
倍数, ;类似可得, 2k a -,?, 1a 都是 3的倍数,从而对任意 1n ≥, n a 是 3的倍数, 因此 M 的所有元素都是 3的倍数 .
综上,若集合 M 存在一个元素是 3的倍数,则 M 的所有元素都是 3的倍数 .
(Ⅲ)由 36a ≤, 111
12, 18,
236, 18n n n n n a a a a a ----≤?=?->?可归纳证明 36(2,3...) n a n ≤=.
由于 1a 是正整数, 1121
12, 18,
236, 18, a a a a a ≤?=?->?所以 2a 是 2的倍数 .
从而当 3n ≥时, n a 是 4的倍数 .
如果 1a 是 3的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数 n , n a 是 3的倍数 . 因此当 3n ≤时, {}12,24,36n a ∈. 这时 M 的元素个数不超过 5. 如果 1a 不是 3的倍数,由(Ⅱ)知所有正整数 n , n a 不是 3的倍数 .
因此当 3n ≥时 {}4,8,16,20,28,32n a ∈. 这时 M 的元素个数不超过 8. 当 1a =1时, {}1,2,4,8,16,20,28,32M =有 8个元素 . 综上可知,集合 M 的元素个数最大值为 8.
范文四：2015北京高考数学文
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文科) (北京卷)
一、选择题(本大题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选 项中,选出符合题目要求的一项. )
1.若集合 {}
52x x A=-<,>
33x x B=-<,则 ab="(" )="" a="" .="">
32x x -< b.="">
52x x -< c="" .="">
33x x -< d.="">
53x x -
2.圆心为 ()1,1且过原点的圆的方程是( )
A . ()()2
2
111x y -+-= B. ()()2
2
111x y +++= C . ()()2
2
112x y +++= D. ()()2
2
112x y -+-=
3.下列函数中为偶函数的是( )
A . 2
sin y x x = B. 2
cos y x x = C. ln y x = D. 2x y -=
4.某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况, 在抽取的样本
中,青年教师有 320人,则该样本的老年教师人数为( )
A . 90 B. 100 C. 180 D. 300
5.执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为( )
A . 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.设 a , b
是非零向量, “ a b a b ?= ”是“ //a b ”的( )
A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )
A . 1 B
. 2
8.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
注:“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内,该车每 100千米平均耗油量为( )
A . 6升 B. 8升 C. 10升 D. 12升
二、填空题(本大题共 6小题,每小题 5分,共 30分. )
9.复数 ()1i i +的实部为 .
10. 3
2-, 1
2
3, 2log 5三个数中最大数的是 11.在 C ?AB中, 3a =, b =
23
π
∠A=
,则 ∠B= 12.已知 ()2,0是双曲线 2
2
21y x b
-=(0b >)的一个焦点,则 b = .
13.如图, C ?AB及其内部的点组成的集合记为 D , (), x y P为 D 中任意一点,则
23z x y =+的最大值
为 .
14.高三年级 267位学生参加期末考试,某班 37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在 全年级中的排
名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.
从这次考试成绩看,
①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ; ②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 .
三、解答题(本大题共 6小题,共 80分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. )
15. (本小题满分 13分)已知函数 (
)2
sin 2
x
f x x =-. (I )求 ()f x 的最小正周期; (II )求 ()f x 在区间 20, 3π??
????
上的最小值.
16. (本小题满分 13分)已知等差数列 {}n a 满足 1210a a +=, 432a a -=. (I )求 {}n a 的通项公式;
(II )设等比数列 {}n b 满足 23b a =, 37b a =,问:6b 与数列 {}n a 的第几项相等?
17. (本小题满分 13分)某超市随机选取 1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四 种商品的情况,
整理成如下统计表,其中“√”表示购买, “×”表示未购买.
(I )估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(II )估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3中商品的概率;
(III )如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?
18. (本小题满分 14分)如图,在三棱锥 V C -AB中,平面 V AB⊥平面 C AB, V ?AB为等边三角形,
C C A⊥B且 C C A=B=O, M分别为 AB, V A的中点.
(I )求证:V //B平面 C MO; (II )求证:平面 C MO⊥平面 V AB; (III )求三棱锥 V C -AB的体积.
19. (本小题满分 13分)设函数 ()2
ln 2
x f x k x =-, 0k >. (I )求 ()f x 的单调区间和极值;
(II )证明:若 ()f x 存在零点,则 ()f x
在区间 (
上仅有一个零点.
20. (本小题满分 14分)已知椭圆 C :2
2
33x y +=,过点 ()D 1,0且不过点 ()2,1E的直线
与椭圆 C 交于 A,
B两点,直线 AE与直线 3x =交于点 M.
(I )求椭圆 C 的离心率;
(II )若 AB垂直于 x 轴,求直线 BM的斜率;
(III )试判断直线 BM与直线 D E的位置关系,并说明理由.
2015年普通高等学校招生全国考试 数学(文) (北京卷)参考答案
一、选择题(共 8小题,每小题 5分,共 40分)
(1) A (2) D (3) B (4) C (5) B (6) A (7) C (8) B 二、填空题(共 6小题,每小题 5分,共 30分) (9)— 1 (10) log 25
(11) 4π
(12
(13) 7 (14)乙 数学 三、解答题(共 6小题,共 80分) (15) (共 13分) 解:(I )因为
(
)sin f x x x =+
2sin() 3x π
=+- 所以
()
f x 的最小正周期为 2π.
(II )因为 0
23x π≤≤
,所以 33x ππ
π
≤+≤.
当
3
x π
π
+
=,即
23x π
=
时, ()f x 取得最小值 .
所以 ()f x 在区间 20, 3π??????
上的最小值为
23
f π
??
= ???.
(16) (共 13分) 解:(I )设等差数列 {}n a 的公差为 d .
因为
432a a -=,所以 2d =.
又因为 1210a a +=,所以 1210a d +=,故 14a =.
所以
42(1) 22(1,2, ) n a n n n =+-=+= .
(II )设等比数列 {}n b 的公比为 q.
因为
238b a ==, 3716b a ==,
所以 2q =,
14b =.
所以
61
642128b -=?=. 由 128=22n +得 63n =. 所以
6b 与数列 {}n a 的第 63项相等 .
(17) (共 13分)
解:(I )从统计表可以看出,在这 1000位顾客中有 200位顾客同时购买了乙和丙,
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 200
0.21000=.
(II ) 从统计表可以看出, 在这 1000位顾客中, 有 100位顾客同时购买了甲、 丙、 丁, 另有 200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2种商品, 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3种商品的概率可以估计为
100200
0.3
1000+=.
(III )与(I )同理,可得:
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 200
0.2
1000=,
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 100200300
0.6
1000++=,
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 100
0.11000=.
所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最 大。
(18) (共 14分)
解:(I )因为 O,M 分别为 AB ,VA的中点,
所以OM //VB . 又因为VB ?平面 MOC , 所以 VB//平面 MOC.
(II )因为AC=BC,O为 AB 的中点, 所以 OC ⊥AB.
又因为平面 VAB ⊥平面 ABC ,且 OC ?平面 ABC , 所以 OC ⊥平面 VAB . 所以平面 MOC ⊥平面 VAB .
(III )在等腰直角三角形 ACB
中, AC BC == 所以 2AB =, 1OC =. 所以等边三角形 VAB
的面积 VAB S ?.
又因为 OC ⊥平面 VAB ,
所以三棱锥 C VAB -
的体积等于 13
VAB OC S ??=
又因为三棱锥 V ABC -的体积与三棱锥 C VAB -的体积相等,
所以三棱锥 V ABC -
(19) (共 13分)
解:(I)由 ()2
2x f x kInx
=-(k>0)得
2() k x k
f x x x x -=-=
. 由 '
() f x =0
解得 x =
() f x 与 ' () f x 在区间(0, +∞)上的情况如下:
所以, () f x 的单调递减区间是
,单调递增区间是 ) ∞;
() f x
在 x =(1
1) 2k nk f -=
.
(II )由(I )知, () f
x 在区间 (0,) +∞上的最小值
(11)
2
k nk f -=
.
因为 () f x 存在零点,所以 (11)
2k nk -≤,从而
k e ≥.
当 k e =时, () f x 在区间 上单调递减,且
0f =, 所以 x =
() f x 在区间 上的唯一零点 .
当 k >e时, (
) f x
在区间 上单调递减,且 1() 2f I =
>
0, 2e k
f -=<>
所以 () f x 在区间 上仅有一个零点 .
综上可知,若 () f x 存在零点,则 () f x 在区间 上仅有一个零点 .
(20) (共 14分)
解:(I )椭圆 C 的标准方程为 2
21
3x y +=.
所以 1, a b c === 所以椭圆 C 的离心率
c e a =
=.
(II )因为 AB 过点 (1,0)D 且垂直于 x 轴,所以可设
11(1, ), (1, ) A y B y , 直线 AE 的方程
11(1)(2) y y x -=--. 令 3x =,得 1(3,2) M y -.
所以直线 BM 的斜率
112131BM y y k -+==-. (III )直线 BM 与直线 DE 平行 . 证明如下:
当直线 AB 的斜率不存在时,由(II )可知 1. BM k =
又因为直线 DE 的斜率 10121DE k -==-,所以 BM //DE . 当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 (1)(1) y k x k =-≠, 设 1222(, ), (, ), A x y B x y 则直线 AE 的方程为
1111(2). 2y y x x --=-- 令 3x =,得点
113(3,) 2y x M x +--. 由 2233, (1) x y y k x ?+=?=-?得
2222(13) 6330. k x k x k +-+-= 所以 22121222633, . 1313k k x x x x k k -+==++
直线 BM 的斜率 1121232. 3BM y x y x k x +---=-
因为
11212121(1) 3(1)(2) (3)(2) 1(3)(2) BM k x x k x x x x k x x -+--------=
--
[]121221(1) 2() 3(3)(2) k x x x x x x --++-=
--
22
22213312(1)(3) (3)(2) k k k x x -+-+-=--
0=,
所以, 1. BM DE k k ==
所以 BM //DE .
综上可知,直线 BM 与直线 DE 平行 .
范文五：2015年北京高考数学
2015年北京高考数学(理科)真题
本试卷共 5页, 150分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 (选择题共 40分)
一、选择题 共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.复数 ()i 2i -= A . 12i +
B . 12i -
C . 12i -+
D . 12i --
2.若 x , y 满足 010x y x y x -??
+???
≤ , ≤ , ≥ , 则 2z x y =+的最大值为
A . 0 B . 1 C .
32
D . 2
3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为
A . ()22-,
B . ()40-,
C . ()44--,
D . ()08-,
4.设 α, β是两个不同的平面, m 是直线且 m α? . “ m β∥ ” 是 “ αβ∥ ” 的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是
俯视图
侧 (左 ) 视图
A
. 2 B
. 4 C
. 2+ D . 5 6.设 {}n a 是等差数列 . 下列结论中正确的是
A .若 120a a +>,则 230a a +> B .若 130a a +<,则 120a="" a="">< c="" .若="" 120a="" a="">
,则 2a D .若 10a <,则 ()()21230a="" a="" a="" a="" --=""> 7.如图,函数 ()f x 的图象为折线 ACB ,则不等式 ()()2log 1f x x +≥ 的解集是
A . {}|10x x -<≤ b="" .="" {}|11x="" x="" -≤="" ≤="" c="" .="" {}|11x="" x=""><≤ d="" .="" {}|12x="" x=""><>
8.汽车的 “ 燃油效率 ” 是指汽车每消耗 1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽
车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是
A .消耗 1升汽油,乙车最多可行驶 5千米
B .以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C .甲车以 80千米 /小时的速度行驶 1小时,消耗 10升汽油
D .某城市机动车最高限速 80千米 /小时 . 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
第二部分 (非选择题 共 110分)
二、填空题 共 6小题,每小题 5分,共 30分. 9.在 ()5
2x +的展开式中, 3x 的系数为 . (用数字作答)
10.已知双曲线 ()2
2210x y a a
-=>
0y +=,则 a =
11.在极坐标系中,点 π23?
? ??
??
到直线 ()
cos 6ρθθ+=的距离为 .
12.在 ABC △ 中, 4a =, 5b =, 6c =,则
sin 2sin A
C
= 13.在 ABC △ 中,点 M , N 满足 2AM MC = , BN NC = .若 MN xAB yAC =+
,则 x =
y =
14.设函数 ()()()21421. x a x f x x a x a x ?-<>
=?--??
? ? ? ≥
①若 1a =,则 ()f x 的最小值为
②若 ()f x 恰有 2个零点,则实数 a 的取值范围是 .
三、解答题 (共 6小题,共 80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15. (本小题 13分)
已知函数 2() cos 222
x x x
f x =.
(Ⅰ ) 求 () f x 的最小正周期;
(Ⅱ ) 求 () f x 在区间 [π0]-, 上的最小值.
16. (本小题 13分)
A , B 两组各有 7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A 组:10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 B 组:12, 13, 15, 16, 17, 14, a
假设所有病人的康复时间互相独立,从 A , B 两组随机各选 1人, A 组选出的人记为 甲, B 组选出的人记为乙.
(Ⅰ ) 求甲的康复时间不少于 14天的概率;
(Ⅱ ) 如果 25a =,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
(Ⅲ ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)
17. (本小题 14分)
如图,在四棱锥 A EFCB -中, AEF △ 为等边三角形,平面 AEF ⊥平面 EFCB , EF BC ∥ , 4BC =, 2EF a =, 60EBC FCB ∠=∠=?, O 为 EF 的中点. (Ⅰ ) 求证:AO BE ⊥;
(Ⅱ ) 求二面角 F AE B --的余弦值; (Ⅲ ) 若 BE ⊥平面 AOC ,求 a 的值.
F
E
C
B
A
18. (本小题 13分) 已知函数 ()1ln
1x
f x x
+=-.
(Ⅰ)求曲线 ()y f x =在点 ()()00f , 处的切线方程;
(Ⅱ)求证:当 ()01x ∈,
时, ()323x f x x ??
>+ ??
?; (Ⅲ)设实数 k 使得 ()33x f x k x ??
>+ ??
?对 ()01x ∈,
恒成立,求 k 的最大值.
19. (本小题 14分)
已知椭圆 C ()22
2210x y a b a b
+=>>
, 点 ()01P ,
和点 ()A m n , ()0m ≠ 都 在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ;
(Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问:y 轴上是 否存在点 Q ,使得 OQM ONQ ∠=∠?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 20. (本小题 13分)
已知数列 {}n a 满足:*1a ∈N , 136a ≤ ,且 121823618n n n n
n a a a a a +?=?->?, ≤ ,
, ()12n =, ,
… . 记集合 {}
*|n M a n =∈N .
(Ⅰ)若 16a =,写出集合 M 的所有元素;
(Ⅱ)若集合 M 存在一个元素是 3的倍数,证明:M 的所有元素都是 3的倍数; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
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