三角形全等的证明总结

范文一：三角形全等的证明总结

证明全等三角形的一般方法

一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等(SAS)或第三边相等(SSS)。

例1. 如图1，已知:AC,BC，CD,CE，?ACB,?DCE,60?，且B、C、D在同一条直线上。

求证:AD,BE

B C D

图1

二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等(ASA)或找任一等角的对边对应相等(AAS)

例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC,BD，AM?CN，BM?DN。

求证:AM,CN

M N

A C B D

图2

三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等(AAS，ASA)或找夹等角的另一边对应相等(SAS)

例3. 如图3，已知:?CAB,?DBA，AC,BD，AC交BD于点O。

求证:?CAB?DBA

D C

A B

图3

四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应

相等

例4. 如图4，已知AB,AC，AD,AG，AE?BG交BG的延长线于E，AF?CD交

CD的延长线于F。

求证:AE,AF

F E

D G

B C

图4

五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形例5. 如图5，已知?ABC中，?BAC,90?，AB,AC，BD是中线，AE?BD于F，

交BC于E。

求证:?ADB,?CDE

F 1

B E C

图5

常用证题技巧

一、倍长中线(线段)造全等

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，

、已知，如图?ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例1

C二、截长补短 BD1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证:CD?AC ,ABC，BAC

三、借助角平分线造全等

，DG?BC且平分BC，DE?AB于E，DF?AC于F. 2、如图，?ABC中，AD平分?BAC

求证:BE=CF

E GCB F

四、借旋转造全等三角形

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求?EAF的度数.

BCE

五、涉高可用求面积法

14(矩形ABCD的边AD上有一点P，PQ?AC于点Q，PH?BD于点H，AB=6，

AD=8，则PQ+PH的; 值______________

A P D

Q H

B RC R六、巧用角平分线定理及逆定理证题 R

R17.如图10，BD=CD，BF?AC，CE?AB.

R求证:点D在?BAC的平分线上. R

F018. 已知，如图11，在?ABC中，?C=90，AD平分?BAC，DE?AB于点E，点F

VF在AC上，BD=DF.

F 求证:(1)CF=EB; V

V F

F V七、巧用线段垂直平分线证题: V例2. 如图，在?ABC中，BC=8cm, AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E, ?BCEF的周长等于18cm, 则AC的长等于( ) F

F例5.如图，?ABC中，AB与AC的垂直平分线相交于F,且分别交AB于D，交AC于E。 V求证:BF=FC. F

范文二：全等三角形的判定总结

龙文教育个性化辅导授课教案

一、授课目的和考点分析:

全等三角形的判定总结

二、授课内容:

判定两个三角形全等，需要三个条件，将两个三角形中有三对元素对应相等的可能情况列表分析。

总结:三角形全等的判定方法中至少得有一组对应边相等(

证题的思路:

,找夹角(SAS),,,已知两边找直角(HL),,,,找第三边(SSS),,,若边为角的对边，则找任意角(AAS),,,,找已知角的另一边(SAS),,已知一边一角, ,,边为角的邻边找已知边的对角(AAS),,,,,,找夹已知边的另一角(ASA),,,,,找两角的夹边(ASA),,已知两角,,找任意一边(AAS),,

例1:如图，是一个屋顶钢架，AB=AC，D是BC中点。求证: ,ABCADBC,

分析:要证明，就必须证出?1=?2，才能知道?1=?2=90:，可得。 ADBC,ADBC,

怎么才能证出?1=?2呢，从题目条件可看出，只要证出和全等即可，分析一下这两个三角形,ABD,ACD全等条件够吗,显然可利用“边边边”公理可证。

证明:在和中 ,ABD,ACD

,ABAC,已知，，,, ADAD,公共边，，,

,BDDC,已知，，,,

?,ABD?,ACD(SSS)

??1=?2(全等三角形对应角相等) 1

?(平角定义) ，,，,:1BDC90

2 ?ADBC,(垂直定义)

例2:已知:如图，AB=AD，BC=DC。求证:?B=?D。

,ABC,ADC 分析:要证?B=?D，显然在和中。

,ABC,ADC 若?，就必然得出?B=?D。

,ABC,ADC 如何证明和全等呢，全等条件具备哪些呢,已知AB=AD，BC=DC只差一个条件，就可以用“边

边边”公理了。同学们自己想一想，为什么不选择“边角边”公理呢,这样只要连结AC便是公共边。

证明:连结AC

,ABC,ADC 在和中

,ABAD,已知，，,,BCDC,已知，，,

,ACAC,公共边，，,,

,ABC,ADC ??(边边边)

??B=?D

一、判断正误

1、两边和一个角对应相等的两个三角形全等。( )

2、如果?，D在BC上，在BC上且BDBD,，那么一定有ADAD,。( ) ,ABC,ABCD,,,,,,,,,,

3、如果?，D在BC上，在BC上且，那么一定有ADAD,。,ABC,ABCD，,，BADBAD,,,,,,,,,,,

( )

4、三个角对应相等的两个三角形全等。( )

5、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。( )

6、一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等。( )

7、一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。( )

8、一腰相等的两个等腰直角三角形全等。( )

二、证明题:

1、已知:如图，AB、CD、EF互相平分于O点。

求证:,ACE?,BDF

2、已知:如图，AB=CD，AD=BC，AO=CO，EF过O点。

求证:OE=OF

三、学生对于本次课的评价:

? 特别满意 ? 满意 ? 一般 ? 差

学生签字:

四、教师评定:

1、学生上次作业评价: ?好 ? 较好 ? 一般 ?差

2、学生本次上课情况评价: ?好 ? 较好 ? 一般 ?差

教师签字:

龙文教育教务处:

年月日

范文三：全等三角形的总结

新人教版八年级数学上期导学案

主备人 : 主审人: 课题全等三角形小结与复习课型新授课年级八年级单元第单元课时第课时学习 1.知道第十一章全等三角形知识结构图.

目标 2.通过基本训练，巩固第十一章所学的基本内容.

3.通过典型例题的学习和综合运用，加深理解第十一章所学的基本内容，

发展能力.

学习知识结构图和基本训练.

重点

学习典型例题和综合运用.

难点

学法自主探究，合作交流

指导

知识全等三角形的性质和判定，角的平分线的性质和判定链接

梳理知识框架图

一个条件探究导课案三角形两三边______________ 两个条件自全等的前两边一____ 学条件 ___边_____________ 两边一对角预三个条件 ____________ 两角一边对应相等习____________ __________________

学后完成展示的内容，20分钟后，进行展示。小交流课前学习内容，互帮互助，提高学习思想，掌握多变的学习方法;

组

合

作

课完成下面的证明过程: 如图，OA,OC，OB,OD. A班求证:AB?DC. D 证明:在?ABO和?CDO中， O

级 ,OAOC,,堂 ,B，,AOB__________, ,展 C,OBOD,, ,

示教 ??ABO??CDO( ).

??A, .

?AB?DC( 相等，两直线平行). 学

提出自己的疑问，运用集体智慧，共同解决; 完成下面的证明过程: 质如图，AB?DC，AE?BD，CF?BD，BF,DE.求证:?ABE??CDF. AD 证明:?AB?DC， 2F疑 ??1, .

?AE?BD，CF?BD， 1E探 ??AEB, . BC ?BF,DE，

究 ?BE, .

在?ABE和?CDF中，

,，,1______,

,BE______,, ,

,，,AEB_______,,

??ABE??CDF( ).

自通过以上过程，分析自己在知识、思想方面的经验和教训; 悟

自

得

1.填空

(1)能够的两个图形叫做全等形，能够的两个三角形叫做全

等三角形.

(2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做，重合的边测叫做，重合的角叫做 .

(3)全等三角形的边相等，全等三角形的角相等.

(4) 对应相等的两个三角形全等(边边边或 ). 评 (5)两边和它们的对应相等的两个三角形全等(边角边或 ).

(6)两角和它们的对应相等的两个三角形全等(角边角或 ).

(7)两角和其中一角的对应相等的两个三角形全等(角角边或 ). 反 (8) 和一条对应相等的两个直角三角形全等(斜边、直角边D 或 ). C (9)角的上的点到角的两边的距离相等. O馈 2.如图，图中有两对三角形全等，填空: ABE (1)?CDO? ，其中，CD的对应边是， ADDO的对应边是，OC的对应边是 ;

O (2)?ABC? ，?A的对应角是，

?B的对应角是，?ACB的对应角是 . ABC

3如图～CD?AB～BE?AC～OB,OC.

求证:?1,?2. 12

O BC

一个条件板

三角形两两个条件三边______________ 书全等的两边一____ 条件 ___边_____________ 两边一对角三个条件设 ____________ 两角一边对应相等 ____________ 计 __________________

课后

反思

范文四：全等三角形的判定——总结

年级：八年级编写人：审查人：班级：姓名：组别：

12.2全等三角形的判定——总结

学习目标：1、对所有学过的判定三角形全等的方法进行归纳、总结

2、能够正确选用判定三角形全等的方法

复习案

一、知识梳理

1、我们学过的判定三角形全等的方法一共有分别可简写成“、“”“”、“”、“”，其中只适用于判定直角三角形全等的是“ ”，其他四种适用于任意三角形的判定。

2、“SSS ”的内容是“”

3、“SAS ”的内容是“”

4、“ASA ”的内容是“”

5、“AAS ”的内容是“”

6、“HL ”的内容是“，直角三角形ABC 用符号表示为“ ”

7、用“HL ”判定两个三角形全等的前提是两个三角形都是三角形。

8、用“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”判定三角形全等时，都需要

9、用“ASA ”与“AAS ”判定三角形全等时，都需要两个角、一条边，两种方法的区别在于“ASA ”的一条边指的是两角的，“AAS ”的一条边指的是两角之一的。（用夹边、对边填空）

二、复习自测

1、见课本第16页第9题图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：（1）△ABC ≌△DEF （2）∠A=∠D

2、见课本第16页第10题图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC，OB=OD，求证：

（1）△AOB ≌△COD （2）∠A=∠C 吗？∠B=∠D 吗？DC ∥AB 吗？请写出理由

3、见课本第16页第11题图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB=CE，AB ∥ED ，AC ∥FD ，求证：

（1）△ABC ≌△DEF （2）AB=DE，AC=DF

4、见课本第17页第12题图，DE=FE，FC ∥AB

（1）请用“ASA ”的方法证明△ADE ≌△CFE

（2）请用“AAS ”的方法证明△ADE ≌△CFE

（3）AE 与CE 相等吗？

5、课本第17页第13题，一共有几对三角形全等，分别写出来并加以证明

范文五：关于全等三角形的难题关于全等三角形的旋转难题

旋转已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，?ACB=90?，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即AD?CE，BE?CE，(1)如图1，当CE位于点F的右侧时，求证:?ADC??CEB; (2)如图2，当CE位于点F的左侧时…

全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是:一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论:角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂…

倍长中线(线段)造全等1、已知:如图，AD是?ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且 AE=EF，求证:AC=BFC 分析:要求证的两条线段AC、BF不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF转化

到同一个三角形…

旋转

已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，?ACB=90?，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即AD?CE，BE?CE，

(1)如图1，当CE位于点F的右侧时，求证:?ADC??CEB; (2)如图2，当CE位于点F的左侧时，求证:ED=BE-AD;

(3)如图3，当CE在?ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想(

考点:全等三角形的判定与性质(专题:证明题;探究型(分析:(1)利用同角的余角相等得出?CAD=?BCE，进而根据AAS证明?ADC??CEB(

(2)根据AAS证明?ADC??CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD(

(3)根据AAS证明?ADC??CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进而得到ED=AD+BE(解答:(1)证明:?AD?CE，BE?CE， ??ADC=?CEB=90?(

??ACD+?ECB=90?，?CAD+?ACD=90?， ??CAD=?BCE(同角的余角相等)( 在?ADC与?CEB中

?ADC=?CEB ?CAD=?BCE AC=BC ， ??ADC

??CEB(AAS)(

(2)证明:?AD?CE，BE?CE， ??ADC=?CEB=90?(

??ACD+?ECB=90?，?CAD+?ACD=90?， ??CAD=?BCE(同角的余角相等)( 在?ADC与?CEB中

?ADC=?CEB ?CAD=?BCE AC=BC ， ??ADC??CEB(AAS)( ?DC=BE，AD=CE( 又?ED=CD-CE， ?ED=BE-AD(

(3)ED=AD+BE(

证明:?AD?CE，BE?CE， ??ADC=?CEB=90?(

??ACD+?ECB=90?，?CAD+?ACD=90?， ??CAD=?BCE(同角的余角相等)( 在?ADC与?CEB中

?ADC=?CEB ?CAD=?BCE AC=BC ， ??ADC??CEB(AAS)( ?DC=BE，AD=CE( 又?ED=CE+DC，

?ED=AD+BE(点评:本题考查了全等三角形的判定和性质;利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握

3.如图1、图2、图3，?AOB，?COD均是等腰直角三角形，?AOB,?COD,90o， (1)在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系,请说明理由。

(2)若?COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗,为什么,

(3)若?COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗,还具有上问中的位置关系吗,为什么,

考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形(分析:(1)根据等腰三角形的两腰相等进行解答( (2)证明?DOB??COA，根据全等三角形的对应边相等进行说明(解答:解:(1)相等( 在图1中，??AOB，?COD均是等腰直角三角形，?AOB=?COD=90?， ?OA=OB，OC=OD， ?0A-0C=0B-OD， ?AC=BD; (2)相等(

在图2中，0D=OC，?DOB=?COA，OB=OA， ??DOB??COA，

?BD=AC(点评:本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角(

4.(2008河南)((9分)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题:“如图?，已知在?ABC中，AB=AC，

P是?ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使?QAP=?BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP(”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图?的分析，证明了?ABQ??ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰

三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图?给出证明(

考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质(专题:证明题;探究型(分析:此题的两个小题思路是一致的;已知?QAP=?BAC，那么这两个等角同时减去同一个角(2题是加上同一个角)，来证得?QAB=?PAC;而根据旋转的性质知:AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS证得?ABQ??ACP，进而得出BQ=CP的结论(解答:证明:(1)??QAP=?BAC， ??QAP-?BAP=?BAC-?BAP，即?QAB=?CAP; 在?BQA和?CPA中，

AQ=AP ?QAB=?CAP AB=AC ， ??BQA??CPA(SAS);

?BQ=CP(

(2)BQ=CP仍然成立，理由如下: ??QAP=?BAC，

??QAP+?PAB=?BAC+?PAB，即?QAB=?PAC; 在?QAB和?PAC中，

AQ=AP ?QAB=?PAC AB=AC ， ??QAB??PAC(SAS)，

?BQ=CP(点评:此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质;选择并利用三角形全等是正确解

答本题的关键(

5.(2009山西太原)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图?中的两张三角形胶片?ABC和

?DEF(且?ABC??DEF。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把?DEF绕点B顺时针方向旋

转，这时AC与DF相交于点O(

?当?DEF旋转至如图?位置，点B(E)，C，D在同一直线上时， AFD与 DCA的数量关系是 ( ?当?DEF继续旋转至如图?位置时，(1)中的结论还成立吗,AO与DO存在怎样的数量关系,请说明理由(

点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质(专题:探究型(分析:(1)根据外角的性质，得?AFD=?D+?ABC，?DCA=?A+?ABC，从而得出?AFD=?DCA;

(2)成立(由?ABC??DEF，可证明?ABF=?DEC(则?ABF??DEC，从而证出?AFD=?DCA;

(3)BO?AD(由?ABC??DEF，可证得点B在AD的垂直平分线上，进而证得点O在AD的垂直平分线上，则直线BO是AD的垂直平分线，即BO?AD(解答:解:(1)?AFD=?DCA(或相等)( (2)?AFD=?DCA(或成立)，理由如下:

方法一:由?ABC??DEF，得AB=DE，BC=EF(或BF=EC)，?ABC=?DEF，?BAC=?EDF(??ABC-?FBC=?DEF-?CBF， ??ABF=?DEC(

在?ABF和?DEC中， AB=DE ?ABF=?DEC BF=EC

??ABF??DEC，?BAF=?EDC(

??BAC-?BAF=?EDF-?EDC，?FAC=?CDF( ??AOD=?FAC+?AFD=?CDF+?DCA， ??AFD=?DCA(

方法二:连接AD(同方法一?ABF??DEC， ?AF=DC(

由?ABC??DEF，得FD=CA(

在?AFD??DCA， AF=DC FD=CA AD=DA ??AFD??DCA，?AFD=?DCA(

(3)如图，BO?AD(

方法一:由?ABC??DEF，点B与点E重合，得?BAC=?BDF，BA=BD( ?点B在AD的垂直平分线上，且?BAD=?BDA(

??OAD=?BAD-?BAC，?ODA=?BDA-?BDF， ??OAD=?ODA(

?OA=OD，点O在AD的垂直平分线上( ?直线BO是AD的垂直平分线，BO?AD(

方法二:延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD( 在?ABO和?DBO中， AB=DB BO=BO OA=OD ??

ABO??DBO，?ABO=?DBO(

在?ABG和?DBG中， AB=DB ?ABG=?DBG BG=BG

??ABG??DBG，?AGB=?DGB=90?(

?BO?AD(点评:本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握(

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求?EAF的度数.

考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质(分析:延长EB使得BG=DF，易证?ABG??ADF(SAS)可得AF=AG，进而求证?AEG??AEF可得?EAG=?EAF，再求出?EAG+?EAF=90?即可解题(解答:解:延长EB使得BG=DF，在?ABG和?ADF中，

由 AB=AD ?ABG=?ADF=90? BG=DF ，可得?ABG??ADF(SAS)， ??DAF=?BAG，AF=AG，

又?EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE， ??AEG??AEF(SSS)， ??EAG=?EAF，

??DAF+?EAF+?BAE=90? ??EAG+?EAF=90?， ??EAF=45?(

答:?EAF的角度为45?(点评:本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证?EAG=?EAF是解题的关键(

例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DM?DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

(1) 当 MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 (2) 若AB=2，求四边形DECF的面积。

考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形(专题:计算题(分析:(1)连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分?ACB，CD?AB，?A=45?，CD=DA，则?BCD=45?，?CDA=90?，由?DM?DN得?EDF=90?，根据等角的余角相等得到?CDE=?ADF，根据全等三角形的判定易得?DCE??ADF，即可得到结论;

(2)由?DCE??ADF，则S?DCE=S?ADF，于是四边形DECF的面积=S?ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S?ACD，从而得到四边形DECF的面积(解答:解:(1)连CD，如图， ?D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点， ?CD平分?ACB，CD?AB，

?A=45?，CD=DA， ??BCD=45?，?CDA=90?， ??DM?DN， ??EDF=90?， ??CDE=?ADF，在?DCE和?ADF中，

?DCE=?DAF DC=DA ?CDE=?ADF ， ??DCE??ADF， ?DE=DF;

(2)??DCE??ADF， ?S?DCE=S?ADF，

?四边形DECF的面积=S?ACD，而AB=2， ?CD=DA=1，

?四边形DECF的面积=S?ACD=1 2 CD?DA=1 2 (点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角(也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质( 1、已知四边形

BCBN

(图3)

(图1) (图2)

ABCD中，AB AD，BC CD，AB BC，?ABC 120 ，?MBN 60 ，?MBN绕B点旋

AD，DC(或它们的延长线)于E，F(

当?MBN绕B点旋转到AE CF时(如图1)，易证AE,CF EF(

当?MBN绕B点旋转到AE CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立,若成立，请给予证明;若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系,请写出你的猜想，不需证明(

转，它的两边分别交

2、(西城09年一模)已知

,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.

(1)如图,当?APB=45?时,求AB及PD的长;

(2)当?APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应?APB的大小.

3、在等边 ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为 ABC外一点，且 MDN

60 , BDC 120 ,BD=DC.

探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系(

图1 图2

图3

(I)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ; 此时

;

(II)如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM DN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗,写出你的猜想并加以证明; (III) 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q= (用x、L表示)(

考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质(分析:(1)由DM=DN，?MDN=60?，可证得?MDN是等边三角形，又由?ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt?BDM?Rt?CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN，此时 QL =2 3 ;

(2)在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1(可证?DBM??DCM1，即可得DM=DM1，易证得?CDN=?MDN=60?，则可证得?MDN??M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立;

(3)首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证?DBM??DCM1，即可得DM=DM1，然后证得?CDN=?MDN=60?，易证得

?MDN??M1DN，则可得NC-BM=MN(解答:解:(1)如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN( 此时 Q L =2 3 ( (2分)( 理由:?DM=DN，?MDN=60?， ??MDN是等边三角形， ??ABC是等边三角形， ??A=60?，

?BD=CD，?BDC=120?， ??BDC=?DCB=30?， ??MBD=?NCD=90?， ?DM=DN，BD=CD， ?Rt?BDM?Rt?CDN，

??BDM=?CDN=30?，BM=CN， ?DM=2BM，

DN=2CN， ?MN=2BM=2CN=BM+CN; ?AM=AN，

??AMN是等边三角形， ?AB=AM+BM， ?AM:AB=2:3， ?Q L =2 3 ;

(2)猜想:结论仍然成立( (3分)(

证明:在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1((4分) ??MBD=?M1CD=90?，BD=CD， ??DBM??DCM1，

?DM=DM1，?MBD=?M1CD，M1C=BM， ??MDN=60?，?BDC=120?， ??M1DN=?MDN=60?， ??MDN??M1DN，

?MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，

??AMN的周长为:

AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC， ?Q L =2 3 ;

(3)证明:在CN上截取CM1=BM，连接DM1((4分) 可证?DBM??DCM1， ?DM=DM1，(5分) 可证?CDN=?MDN=60?， ??MDN??M1DN， ?MN=M1N，(7分)(

?NC-BM=MN((8分)(点评:此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识(此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法(

例8((2005年马尾)用两个全等的等边三角形?ABC和?ACD拼成菱形ABCD.把一个含60?角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60?角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，(如图13—1)，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论,并证明你的结论;

(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时(如图13—2)，你在(1)中得到的结论还成立吗,简要说明理由.

考点:菱形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;旋转的性质(分析:(1

)利用全等三

角形的判定得出?ABE??ACF即可得出答案;

(2)根据已知可以得出?BAE=?CAF，进而求出?ABE??ACF即可;

(3)利用四边形AECF的面积S=S?AEC+S?ACF=S?AEC+S?ABE=S?ABC求出即可(解答:解:(1)得出结论是:BE=CF，

证明:??BAC=?EAF=60?， ??BAC-?EAC=?EAF-?EAC，即:?BAE=?CAF，

又?AB=AC，?ABE=?ACF=60?，

? ?BAE=?CAF AB=AC ?ABE=?ACF ， ??ABE??ACF(ASA)， ?BE=CF， (2)还成立，

证明:??BAC=?EAF=60?， ??BAC+?EAC=?EAF+?EAC，即?BAE=?CAF，

又?AB=AC，?ABE=?ACF=60?，

即 ?BAE=?CAF AB=AC ?ABE=?ACF ， ??ABE??ACF(ASA)， ?BE=CF，

(3)证明:??ABE??ACF， ?S?ABE=S?ACF，

?四边形AECF的面积S=S?AEC+S?ACF=S?AEC+S?ABE=S?ABC; 而S?ABC=1 2 S菱形ABCD，

?S=1 2 S菱形ABCD(点评:此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键( 解:(1)BE=CF.

证明:在?ABE和?ACF中， ??BAE+?EAC=?CAF+?EAC=60?， ??BAE=?CAF.

?AB=AC，?B=?ACF=60?，??ABE??ACF(ASA). ?BE=CF.

(2)BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明?ABE和?ACF

旋转型

1、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点

(点G与C、D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD

外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。 A

求证:? ?BCG??DCE H

F ? BH?DE

E B C

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质(专题:动点型(分析:(1)根据正方形的边的性质和直角可通过SAS判定?BCG??DCE，从而利用全等的性质得到?BGC=?DEC; (2)连接BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE，从而找到BD= 2，CE=BE-BC= 2 -1，根据全等三角形的性质求解即可(解答:解:(1)证明:?四边形ABCD、GCEF都是正方形， ?BC=DC，?BCG=?DCE=90?，GC=EC ??BCG??DCE(3分) ??BGC=?DEC(4分)

(2)连接BD

如果BH垂直平分DE，则有BD=BE(6分) ?BC=CD=1， ?BD= 2 (8分)

?CE=BE-BC= 2 -1(9分) ?CG=CE= 2 -1

即当CG= 2 -1时，BH垂直平分DE((10分)点评:此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和线段的垂直平分线的性质等几何知识(线段的垂直平分线上的点到线段的

两个端点的距离相等(特殊图形的特殊性质要熟练掌握(

2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC(

(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母); (2)证明:DC?BE(

AB=AC ?

BAE=?CAD AE=AD

??ABE??ACD( (2)??ABE??ACD， ??ACD=?ABE=45?( 又??ACB=45?，

??BCD=?ACB+?ACD=90?( ?DC?BE(

点评:此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得到所需要的已知条件(

3、(1)如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角

形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC(求?AEB的大小;

O 图7

(2)如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求?AEB的大小. B C

图8

4、如图，AE?AB，AD?AC，AB=AE，?B=?E，

求证:(1)BD=CE;(2)BD?CE(

(证明:(1)AE?AB，AD?AC ?BAE=?CAD ?BAD=?CAE(而AB=AE，?B=?E， ??ABD??AEC(?BD=CE(

(2)由?ABD??AEC知?B=?E(

而?AGB=?EGF，??EFG=?EAB=90?，?BD?CE(

如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC(求?AEB的大小(考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质(专题:计算题(分析:由于?BOC和?ABO都是等边三角形，可得OD=DC=OC=OB=OA，进而求出?BDA与?CAD的大小

及关系，则可求解?AEB(解答:解:??DOC和?ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点， ?OD=DC=OC=OB=OA， ??ACD??DBA， ??BDA=?CAD(

又??BDA+?OBD=?BOA=60?，而?ODB=?OBD， ??BDA=30?( ??CAD=30?(

??AEB=?BDA+?CAD，

??AEB=60?(点评:本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质;可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，求得角的度数是正确解答本题的关键( 答题:yeyue

5、如图所示，已知AE?AB，AF?AC，AE=AB，AF=AC。求证: (1)EC=BF;(2)EC?BF

6、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求?EAF的度数.

考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质(分析:延长EB使得BG=DF，易证?ABG??ADF(SAS)可得AF=AG，进而求证?AEG??AEF可得?EAG=?EAF，再求出?EAG+?EAF=90?即可解题(解答:解:延长EB使得BG=DF，

在?ABG和?ADF中，

由 AB=AD ?ABG=?ADF=90? BG=DF ，可得?ABG??ADF(SAS)，

??DAF=?BAG，AF=AG，

又?EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE， ??AEG??AEF(SSS)， ??EAG=?EAF，

??DAF+?EAF+?BAE=90? A??EAG+?EAF=90?， ??EAF=45?(

7、D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DM?DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 ?当 MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 ?若AB=2，求四边形DECF的面积。

10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，?ABC=?AED=90?，求五边形ABCDE的面积

考点:全等三角形的判定与性质(专题:应用题(分析:可延长DE至F，使EF=BC，可得?ABC??AEF，连AC，AD，AF，可将五边形ABCDE的面积转化为两个?ADF的面积，进而求出结论(解答:解:延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，

?AB=CD=AE=BC+DE，?ABC=?AED=90?， ?CD=EF+DE=DF，

在Rt?ABC与Rt?AEF中，

? AB=AE ?ABC=?AEF BC=EF ?Rt?ABC?Rt

?AEF(SAS)，

?AC=AF，

在?ACD与?AFD中，

? AC=AF CD=DF AD=AD ??ACD??AFD(SSS)，

?SABCDE=2S?ADF=2×1 2 ?DF?AE=2×1 2 ×2×2=4(点评:本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，应熟练掌握五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求?EAF的度数.

将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG

A则GE=GB+BE=DF+BE=EF

又AE=AE，AF=AG，

所以三角形AEF全等于AEG

所以?EAF=?GAE=?BAE+?GAB=?BAE+?DAF 又?EAF+?BAE+?DAF=90

C所以?EAF=45度

(1)如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F(请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由(

(2)将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由(

(3)如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有(2)中的数量关系,如果有，请说明

理由(如果没有，那么点P在AC的什么位置时，PE、PF才具有(2)中的数量关系( 考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质(专题:几何综合题(分析:(1)证明?ABE

??ADF可推出AE=AF(

(2)本题要借助辅助线的帮助(过点P作PM?BC于M，PN?DC于N，证明?PME??PNF可推出PE=PF(

(3)PE、PF不具有(2)中的数量关系(当点P在AC的中点时，PE，PF才具有(2)中的数量关系(解答:解:(1)如图1，AE=AF(理由:证明?ABE??ADF(ASA) (2)如图2，PE=PF(

理由:过点P作PM?BC于M，PN?DC于N，则PM=PN(由此可证得?PME??PNF(ASA)，从而证得PE=PF(

(3)PE、PF不具有(2)中的数量关系(

当点P在AC的中点时，PE、PF才具有(2)中的数量关系(

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质(专题:几何综合题(分析:(1)证明?ABE??ADF可推出AE=AF(

(2)本题要借助辅助线的帮助(过点P作PM?BC于M，PN?DC于N，证明?PME??PNF可推出PE=PF(

(3)PE、PF不具有(2)中的数量关系(当点P在AC的中点时，PE，PF才具有(2)中的数量关系(解答:解:(1)如图1，AE=AF(理由:证明?ABE??ADF(ASA) (2)如图2，PE=PF(

理由:过点P作PM?BC于M，PN?DC于N，则PM=PN(由此可证得?PME??PNF(ASA)，从而证得PE=PF(

(3)PE、PF不具有(2)中的数量关系(

当点P在AC的中点时，PE、PF才具有(2)中的数量关系(点评:本题考查的是正方形的性质以及全等三角形的判定(

(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，(如图13—1)，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论,并证明你的结论;

(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时(如图13—2)，你在(1)中得到的结论还成立吗,简要说明理由.

解:(1)BE=CF.

证明:在?ABE和?ACF中， ??BAE+?EAC=?CAF+?EAC=60?， ??BAE=?CAF.

?AB=AC，?B=?ACF=60?，??ABE??ACF(ASA).

?BE=CF.

(2)BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明?ABE和?ACF

1、用两个全等的等边三角形?ABC和?ACD拼成菱形ABCD.把一个含60?角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60?角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时(如

图所示)，通过观察或测量BE、CF

你的结论;

(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图所示)，你在(1)中得到的结论还成立吗,说明理由。

6、已知?AOB=90?，?AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直

角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延长线相交于D、E。

当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证:CD=CE 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需

证明。

10、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点(点G与C、D不重合)，以C为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。

(1)说明:?BCG??DCE;(2)BG与CD有何关系,为什么,(3)将正方形GCEF绕点C顺时针旋转，在旋转过程中，(1)、(2)中的结论还成立吗,画出一个图形，直接回答，不必说明理由。

如图?，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM(以

AB为一边向外作等边三角形?ABE，将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN，连接EN( (1)求证:?AMB??ENB;

(2)若AM+BM+CM的值最小，则称点M为?ABC的费尔马点(若点M为?ABC的费尔马点，试求此时?AMB、?BMC、?CMA的度数;

(3)小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法:如图?，分别以?ABC的AB、AC为一边向外作等边?ABE和等边?ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为?ABC的费尔马点(试说明这种作法的依据(

AOD

MDOE

BEB

ADE

考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质(分析:(1)结合等边三角形的性质，根据SAS可证?AMB??ENB;

(2)连接MN，由(1)的结论证明?BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时?AMB、?BMC、?CMA的度数;

(3)根据(2)中费尔马点的定义，又?ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上(因此线段EC与BF的交点即为?ABC的费尔马点(解答:解:(1)证明:??ABE为等边三角形， ?AB=BE，?ABE=60?( 而?MBN=60?， ??ABM=?EBN( 又?BM=BN，

??AMB??ENB(

(2)连接MN(由(1)知，AM=EN( ??MBN=60?，BM=BN， ??BMN为等边三角形( ?BM=MN(

?AM+BM+CM=EN+MN+CM(

?当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小( 此时，?BMC=180?-?NMB=120?; ?AMB=?ENB=180?-?BNM=120?; ?AMC=360?-?BMC-?AMB=120?(

(3)由(2)知，?ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上( 因此线段EC与BF的交点即为?ABC的费尔马点(点评:本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大(

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