龙少53475651
范文一：曲线论 曲线的切线和法平面
?2.3 曲线的切线和法面
给出曲线上一点～点是的临近一点,如图1,～把割线绕PPQPQ点旋转～使点沿曲线趋于点～若割线趋近于一定的位置～则PPQPQ
我们把这个割线的极限位置称PQ
为曲线在P点的切线. 定点P称
为切点. 直观上看～切线是通过切
点的所有直线当中最贴近曲线的
直线。
,,设曲线的参数方程是P～切点对应参数～点对应参数trrt,()Q0
,,,,,,,如图2,～则有。 tt，,PQrttrt,，,,()()000
,,,,,,,,,,rttrt()()，,,00上作向量～使得。 在割线PR,PRPQ,t
,,t0当(即)时，若QP,,,rt()0,在可微～则由向量函数的微trt()0
Pt()Qtt()，,00,,,,R商可得向量的极限 PR
,,rttrt()()，,,,00,rt()lim,。 0,,t0,t,rt()0根据曲线的切线定义～得到,rtt()，,0,,,,
PR的极限是切线上的一向量
,,～它称为曲线上一点的切向rt()
O图2 量。
,,由于我们已经规定只研究曲线的正常点～即rt()0,～所以曲线上一点的切向量是存在的。而这个切向量就是切线上的一个非零向量。由以上的推导过程可以看出～这个切向量的正向和曲线的参数的增t
1
量方向是一致的。
现在我们导出曲线上一点的切线方程。
我们仍设曲线上一个切点所对应的参数为～P点的向径是Pt0
,,,,,,～是切线上任一点的向径,如图3,～因为～rt(),rtrt()() ,,,{,,}XYZ000
,,,,,P则得点的切线方程为～其中为切线上的参数。 ,,,,rtrt()()00
下面再导出用坐标表示的切线方程。设
,～ rtxtytzt(){(),(),()},0000
,,,,,， rtxtytzt(){(),(),()},0000
,则由上述切线方程消去得到
XxtYytZzt,,,()()()000～ ,,,,,xtytzt()()()000
这是坐标表示的切线方程。
,,,t例1 求圆柱螺线在处的切线方程。 rtatatbt(){cos,sin,},3解:易得
,～ rtatatbt(){cos,sin,},
,,～ rtatatb(){sin,cos,},,
,,t时～有 3
,,,ab3,～ ra(){,,}3223
,,3a,,,～ rab(){,,}322
所以切线的方程为
,,,,,,rr()(),,,,～ 33
即
2
,133,，,,,,,,。 ,，，，aeaebe(),,123223
如果用坐标表示～则得切线方程为
,a3,Zb,,XYa322～ ,,ab3,a22
即
,,Zb223XaYa,,3,,。 ab,3a
经过切点而垂直于切线的平面称为曲线的法平面或法面。下面导
出曲线的法面方程。
,PP设曲线上一点～它所对应的参数为～点的向径是～trt()00
,是法面上任一点的向径,,{,,}XYZ
,,,,,如图4,～则由得到,,,rtrt()()00
曲线的法面方程为
,,,,[()]()0,,,,rtrt。 00
,若设rtxtytzt(){(),(),()},～ 0000
,,,,,rtxtytzt(){(),(),()},， 0000
则由上述法面方程得到
,,[()]()[()]()[()]()0XxtxtYytytZztzt,,，,,，,,,～这就是坐标表示000000
的法面方程。
,,,t例2 求圆柱螺线rtatatbt(){cos,sin,},在处的法面方程。 6解:易得
3
,～ rtatatbt(){cos,sin,},
,,～ rtatatb(){sin,cos,},,
,时～有 ,t6
,,,3ab～ ,ra(){,,}6226
,,a3,。 ,,rab(){,,}622所以法面的方程为
,,,,,,[()]()0,,,rr～ ,66即
33aa,～ ,,,，,,，,,[]()()()()0XaYaZbb22226
整理后得到
,2aXaYbZb,,，,320。 3
4
范文二：空间曲线的切线与法平面
?14.4 空间曲线的切线与法平面
本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面
的计算问题。
参数方程的情形
设空间曲线的参数方程为 l
xxt,(),
,yyt,() ()atb,,,
,zzt,(),
,,,,,,t其中的参数。又设都在连续，并且对每一不全为0，xyz,,[,]abtabxtytzt,[,],(),(),()
这样的曲线称为光滑曲线。通过曲线上任一点的切线定义为割线的极限位Mxyz,,，，0000
Mxyz(,,)置，由此就可写出曲线在任一点的切线方程为: l0000
XxYyZz,,,000,,。 ,,,xtytzt()()()000
M法平面:过点可以作无穷多条切线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个0
M平面为曲线在点处的法平面，其方程为: l0
,,,xtXxytYyztZz()()()()()()0,，,，,,。 000000
axatyatzct,,,cos,sin,abc,,例1:求螺旋线:，(其中为常数)在点(，0，l
0)的切线方程和法平面方程。
如果曲线方程由下式表示:
， 。 yyx,zzx,，，，，
M则过点的切线方程为 0
XxYyZz,,,000,,， ,,1()()yxzx00
M过点的法平面方程为 0
,,()()()()()0XxyxYyzxZz,，,，,,。 00000
l是用两个曲面的交线表示: 空间曲线
F(x,y,z),0,
,。 G(x,y,z),0,
又设，关于有连续的偏导数， Fxyz,,G
DFG(,)DFG(,)
Dzx(,)Dxy(,),,yx(),zx(),; DFG(,)DFG(,)
Dyz(,)Dyz(,)例2:求两柱面的交线
22,xy，,1,
, 22,xz，,1,
111M(,,)在点的切线方程和法平面方程。 0222
范文三：多元函数微分学的应用空间曲线的切线和法平面定义设
10.4 多元函数微分学的应用
一、空间曲线的切线和法平面
Mll0MM定义10.6 设是空间曲线上的一点, 是上的另一点，如图10-9;则当点沿
MMMMTMTMll00000曲线趋向时，割线的极限位置存在，则称直线为曲线在点处的
MMTMl000切线(过点且与切线垂直的平面，称为曲线在处的法平面(
l下面我们来求空间曲线的切线与溘平面的方程( z l l 设空间曲线由参数方程 M
T xxt,(),M ,0 O yyt,(), y , zzt,(),
图10-9 tt,Mxyz(,,)xt()yt()zt()l00000t给出(当时，曲线上的对应点为(假设函数，，对
,,,xt()yt()zt()t,tl0000可导，且，，不同时为零(给以增量，对应地在曲线上有一点(,,)xxyyzz，,，,，,MM0000M，则割线的方程为
xxyyzz,,,000,,,,,xyz，
,t用除上式的各分母，得
xxyyzz,,,000,,,,,xyz
,,,ttt，
,Mxt(),,t0l00M当点沿曲线趋向于点时，有，对上式取极限，因为上式分母趋向于，,,yt()zt()00，，且不同时为零，所以割线的极限位置存在，且为
xxyyzz,,,000,,'''xtytzt()()()000 (10.4)
,,,MMT{(),(),()}xtytztl00000这就是曲线在点处的切线的方程，切线的方向向量可取为(
Ml0由法平面的定义，曲线在点处的法平面方程为:
,,,xtxxytyyztzz()()()()()()0,，,，,,000000
(10.5)
xx,,
,2yx,,
,3zx,x,1,0例12 求曲线在处的切线方程与法平面方程(
,,x,1y,1z,1,y(1)2,x(1)1,z(1)3,000解 时，，，，，，
由公式(10.4)和(10.5)得，
xyz,,,111,,123切线方程为:，
(1)2(1)3(1)0xyz,，,，,,x，，,236xz法平面方程为:，即 (
二、曲面的切平面与法线
MMMSS000定义10.7 设为曲面上一点，若过且在曲面上的任何曲线在点处的切线
MMS00均在同一个平面上，则称该平面为曲面在点处的切平面(过点且垂直于切平面的
MS0直线，称为曲面在点处的法线(
'''Fxyz(,,)Mxyz()Fxyz(,,)Fxyz(,,)Fxyz(,,)0,00,0,0ySxz设是曲面:上的一点，、、
,,,Fxyz(,,)MFxyz(,,)Fxyz(,,)y0000x000z000在点处连续，且，，不同时为零(则可以证明，
MMS00曲面上过点的任何曲线的切线都在同一个平面上(该平面就是曲面在处的切平面， 其方程为
,,,，,Fxyzyy(,,)()Fxyzxx(,,)(),，,,Fxyzzz(,,)()0y0000x0000z0000 (10.6)
MS0曲面在处的法线方程为
xxyyzz,,,000,,,,,(,,)(,,)(,,)FxyzFxyzFxyzxyz000000000
(10.7)
zfxy,(,)Fxyzfxyz(,,)(,),,S若曲面方程由显函数给出，令，于是Fxyzfxyz(,,)(,)0,,,，此时
,,,,,Ff,Ff,F,,1yyxxz，，，
MS0故在处的切平面方程为
,,fxyxxfxyyyzz(,)()(,)()()0,，,,,,xy0000000，
(10.8)
法线方程为
xxyyzz,,,000,,,,(,)(,)1fxyfxy,xy0000( (10.
9)
222xyz，，,412例13 求曲面在点(2，1，2)处的切平面及法线方程(
222Fxyzxyz(,,)412,，，,解 令，则
,,,FxFyFz,,,2,8,2xyz，
,,,FFF(2,1,2)4,(2,1,2)8,(2,1,2)4,,,,xyz
由公式(10.6)和(10.7)得
4(2)8(1)4(2)0xyz,，,，,,xyz，，,26切平面方程为:，即:(
xyz,,,212xyz,,,212,,,,484121法线方程为:，即:(
y,z,arctan(1,1,)4x在点处的切平面方程及法线方程( 例14 求曲面
,yx11,,,zz,,,,zz,,,(1,1),(1,1)xy2222xyxyxy，，22解 ，，
由公式(10.8)和(10.9)得
11,,,,，,,,,xyz,，,,20(1)(1)()0xyz2224切平面方程为:，即 :(
,z,xy11,,4,,112,,法线方程为:(
三、多元函数的极值
在实际问题中，有时不仅需要考察一元函数的极值，而且还需要考察多元函数的极值(本
n段讨论二元函数的极值，其结果可以推广倒元函数上去(
1(二元函数的无条件极值
(,)xyzfxy,(,)00定义10.8 设函数在点的某邻域内有定义，若对该邻域内的任意点(,)xy，都有
fxyfxy(,)(,),fxyfxy(,)(,),0000 ,或,
fxy(,)fxy(,)00则称为函数的极大值(或极小值)(极大值和极小值统称为极值，相应的(,)xy00点称为极大值点(或极小值点)，极大值点与极小值点统称为极值点(
Pxy(,)zfxy,(,)000定理10.6(极值存在的必要条件) 设函数在点的偏导数,,fxyfxy(,)(,)、Pxy00000都存在，且在点处有极值，则在该点的偏导数必为零， 即
,fxy(,),0,,x00,,fxy(,),0,y00,
P(,)xyyy,zfxy,(,)0000证明 因为点为的极值点，所以固定时变为一元函数zfxy,(,)xx,zfxy,(,)000，则是的极值点，由一元函数极值存在的必要条件可知
,,fxy(,)0,fxy(,)0,y00x00(同理，(
,fxy(,)0,,x,,fxy(,)0,(,)xyzfxy,(,)y,00我们把满足方程组的点称为函数的驻点( 定理10.6指出，可微函数的极值点一定是驻点，反之驻点不一定是极值点，例如，函
,,fxyxyff(,),(0,0)0,(0,0)0,,,,(0,0)fxy(,),xyfxy(,),xyxy数即是的驻点，但函数(0,0)在处不存在极值(
22fxyxy(,),，(0,0)同一元函数类似，极值点的偏导数可能不存在，例如函数在取
22fxyxy(,),，(0,0)得极小值，但在处，的偏导数不存在(
下面给出驻点是极值点的充分条件(
Pxy(,)zfxy,(,)000定理10.7(函数取得极值的充分条件) 设函数有驻点，且函数Pxy(,)000在点的某个邻域内有连续二阶的偏导数(令
''''''2Afxy,()Bfxy,()Cfxy,()xxxyyy0,00,00,0,,,BAC ，，，
Pxy(,)zfxy,(,),,0,000(1)若则是函数的极值点，且
Pxy(,)zfxy,(,)A,0C,00001)(或)时，是函数的极小值点(
Pxy(,)zfxy,(,)A,0C,00002)(或)时，是函数的极大值点(
Pxy(,)fxy(,),,0000(2)若，则不是的极值点(
证明从略(
Pxy(,),,0000注:当时，驻点可能是极值点，也可能不是极值点(请读者讨论函数
2222222(0,0)fxyxygxyxyhxyxy(,)(),(,)(),(,),，,,，,分别在点处的极值情况(
fxy(,)由定理10.7，可归纳出求可微函数的极值点的步骤:
,fxy(,)0,,x,,fxy(,)0,y,第一步:求偏导数，解方程组，求出驻点;
2,,,,,[(,)]()()fxyfxyfxy,xyxxyy,,第二步:求二阶偏导数，计算出; 第三步:将各驻点的坐标代入上式分别得判别式
2,,,,,,,,[(,)](,)(,)fxyfxyfxyxyxxyy000000， ,再由的符号判定各驻点是否为极值点(
33zxyxy,，,3例15 求函数的极值(
2,,fxyxy(,)330,,,,x,2,fxyyx(,)330,,,(0,0)(1,1),y,解 解方程组，得两个驻点与，
,,,,,,fxyfxyy(,)3,(,)6,,,fxyx(,)6,xyyyxx求二阶偏导数，，计算
2,,,,,,[(,)]()()936fxyfxyfxyxy,,,xyxxyy,,
(0,0),,,90在点处，，不是极值点，
(1,1)(1,1),,,,270A,,60处，，且，是函数的极小值点，极小值是在点
33(3)|1xyxy，,,,(1,1)(
在解决实际问题时，若得到的目标函数，在其定义域内驻点是唯一的，则最值一定在驻
点处取得，因而可以简化运算(
a例16 求内接于半径为的球面的长方体的最大体积(
2222(,,)xyzxyza，，,解 设球面的方程为，长方体的第一卦限的顶点坐标为则其
222222Vxyzxyaxy,,,,88xyxya,,,，,0,0,0体积为:，其中，
2,,vxy8222,,,,,80yaxy,222,xaxy,,,,2,vxy8222,,,,,,80xaxy222,,yaxy,,,求偏导得 ，
aaz,xy,,
33解得:，从而得，
a833Va,,8()最大33所以，(
2.多元函数的条件极值
以上讨论的是无条件极值问题，即自变量在定义域内无其它条件限制(但在许多问题中，
fxyxy(,),往往会遇到对自变量还附加有其他约束条件的情形，如求函数满足条件xya，,xya，,(0)a,的极值，其约束条件是(带有约束条件的极值问题称为条件极值(
在有些问题中，可以把条件极值转化为无条件极值(
xya，,fxyxy(,),(0)a,例17 求函数满足条件的极值(
2fxyxyxaxx(,)(),,,,,，ax解 ，
aa(,)fxyxy(,),22显然，函数在处取得极大值(
解决条件极值问题常用下面的拉格朗日乘数法(
zfxy,(,),(,)xy拉格朗日乘数法:设二元函数和在所考虑的区域内有连续的一阶偏
,,,(,)xy,(,)xyzfxy,(,),,(,)0xyyx导数，且、不同时为零，求函数在约束条件下的极值，可用下面步骤来求:
1.构造拉格朗日函数:
Fxyfxyxy(,,)(,)(,),,，,,
,其中，称为拉格朗日乘数(
2.解联立方程组
,,F,,(,)(,)0,，,,,fxyxyxx,,x,,F,,,(,)(,)0,，,,,fxyxy,yy,y,
,,F(,)0,,,xy,,,,
(,)xy得可能的极值点，在实际问题中，往往就是所求的极值点(
n更一般情况，对元函数
yfxxx,(,)？12n
在约束条件
,(,,,)0xxx？,()mn,im,1,2,,？in12 下的极值求法为
1)作辅助函数:
Fxxxf(,,,,,,,)？？？,,,,,,,,,,，，，，12121122nmmm
2)解联立方程组
,F,,,0,1,2,,in？,,x,i,,F,,,0,1,2,,km？,,,k,
(,,)xxx,？12n得可能的极值点，在实际问题中，往往就是所求的极值点( 例18 用拉格朗日乘数法解例17(
,(,)xyxya,，,解 令 ，
Fxyxyxya(,,)(),,,，，,构造函数:，
解联立方程组
,,Fy,，,,0x,,Fx,，,0,,y
,,Fxya,，,,0,,
axy,,2得，
2aaafxy(,),，,极大224? (
例19 用钢板制造体积为,的无盖长方形水箱，问怎样选择长、宽、高才能材料最省,
xyz,,xyzV,S解 设无盖长方形水箱长、宽、高分别为，则，设其表面积为，则
Sxyyzxz,，，22，
S所用材料最省，也即求的最小值(
FxyzxyxzyzxyzV(,,,)22(),,，，，,,构造函数: 解联立方程组
,F,,，，,yzxyz20,,x,,F,,，，,,xzxz20,,y,,F,,，，,,2()0xyxy,,z,,F,,,xyzv,,,
32V3xyVz,,,2,2得，
32V
332V2V2即无盖长方形水箱的长、宽、高分别为、、时用料最省( 例20 在已知周长为2p的一切三角形中，求出面积最大的三角形(
,xyzp，，,2xyz,,解 设三角形三个边长分别为，则，设面积为，则由海伦公式得
,,,,,ppxpypz()()()，
Fxyzppxpypzxyzp(,,,)()()()(2),,,,,，,，，,构造函数: 解联立方程组
,F,,,,,，,,ppypz()()0,,x,,F,,,,,，,,ppxpz()()0,,y,,F,,,,,，,,ppxpy()()0,,z,,F,,，，,,xyzp20,,,
2pxyz,,,3得(
因此，在周长为定值的三角形中，等边三角形的面积最大(
习题10,4
xt,,,,2ytt,,,,12，，,
3,1,1,1zt,，，,25(求空间曲线在点处的切线方程与法平面方程.
xyz，，，,390zxy,26(求曲面 的平行于平面的切平面方程.
xyz，，,122xy，,1xoy34527(求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点.
222xyz，，,1222abc28(在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切面的切点，并求此最小体积。
22222y,2zxy,,,1zxy,,,1zxy,,,129(设，(1)求的极值, (2)求在条件下的极值.
122fxyxy,sin,,，，，，，230(求的极值.
3100m31(某工厂要用钢板制作一个容积为的有盖长方体容器，若不计钢板的原度，怎样制作材料最省,
范文四：空间曲线的切线和法平面求法探讨.doc
空间曲线的切线和法平面求法探讨
摘 要:本文主要通过一些典型例题讲解了空间曲线由不同形式的方程给出时，空间曲线的切线和法平面的求法。
关键词:空间曲线;切线;法平面
【中图分类号】 G642.1 【文献标识码】 B 【文章编号】 1671-8437(2015)02-0007-02
求空间曲线的切线与法平面方程时，要根据给定曲线的方程所属类型是参数式还是其它形式，选择适当的求解方法，关键是先求出切点坐标和曲线在切点处的切向量。下面笔者就对曲线的切线和法平面求法进行探讨。
1 空间曲线由参数方程x=x(t)，y=y(t)，z=z(t) (α?t?β)给出
若空间曲线的方程为参数方程时，x=x(t)，y=y(t)，z=z(t) (α?t?β)曲线上的点p0(x0，y0，z0)对应的参数为t0，而x(t)，y(t)，z(t)在
t=t0时有导数，则曲线在点p0的切向量为s={x′(t0)，y′(t0)，z′(t0)}，因此，曲线在点p0处的切线方程为==，其法平面方程为x′(t0)(x-x0)+y′(t0)(y-y0)+z′(t0)(z-z0)=0。
例1 求曲线x=??sin2t，y=bsintcost，z=ccos2t对应于t=处的切线方程和法平面方程(?唬?b，c为常数)。
解:对应于t=的点为(，，)，当t=时，有
x′t|=2??sintcost|=?唬? y′t|=bcos2t|=0，
z′t|=-2csintcost|=-c，即切向量为s={?唬?0，-c}。
因此，所求切线方程为==，其法平面方程为?唬?x-)-c(z-)=0，即??x-cz-+=0。
例2 求曲线x=(t+1)2， y=t3， z=在点(1，0，1)处的切线方程和法平面方程。
解:因为点(1，0，1)对应于t=0，当t=0时，有
x′t|=2(t+1)|=2， y′t|=3t2|=0，
z′t|=|=0
即切向量为s={2，0，0}。所以，切线方程为y=0z=1，
其法平面方程为2(x-1)=0，即x=1。
例3 求曲线x=， y=， z=2t上的点，使得曲线在该点的切线平行于平面x+3y+z-3=0，并求过该点的切线方程。
解:设参数t=t0，对应曲线上任一点M0(x0，y0，z0)，则:
x0=， y0=， z0=2t0，
由于x′(t0)=，y′(t0)=-， z′(t0)=2即切向量为:
s=，-，2，切线方程为:
==。
又因为平面x+3y+z-3=0的法向量为n={1，3，1}。由题意，切线与已知平面平行，所以s?n=-+2=0，因此
(1+t0)2=1，即t0=0或t0=-2，
对应曲线上的点为M1(0，1，0)或M2(2，-1，-4)。
则曲线在点M1(0，1，0)处的切线方程为==，
则曲线在点M2(2，-1，-4)处的切线方程为==。
2 空间曲线的方程以交面式方程F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0给出
若空间曲线的方程以交面式方程F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0给出时，曲线上的点p0(x0，y0，z0)处的切线就是这两个曲面在p0点的切平面的交线，因此其切向量s与两曲面在切点处的法向量n1，n2均垂直。因为n1=F′x，F′y，F′z|，n2=G′x，G′y，G′z|，所以切向量
s=n1×n2=i j kF′x| F′y| F′z|G′x| G′y| G′z|
=F′y F′zG′y G′z，F′z F′xG′z G′x，F′x F′yG′x G′y=l，m，n
因此曲线在点p0处的切线方程为==，
其法平面方程为l(x-x0)+m(y-y0)+n(z-z0)=0。
例4 求球面x2+y2+z2=6与抛物面z=x2+y2处的交线在点
p(1，1，2)的切线方程和法平面方程。
解:设F(x，y，z)=x2+y2+z2-6G(x，y，z)=x2+y2-z，则求偏导数， 得:
F′x=2x，F′y=2y，F′z=2z， G′x=2x，G′y=2y，G′z=-1，
则曲线在点p(1，1，2)的切线的方向向量为:
s=F′y F′zG′y G′z，F′z F′xG′z G′x，F′x F′yG′x G′y
=2 42 -1，4 2-1 2，2 22 2=-10，10，0
故曲线在点p(1，1，2)的切线方程为==，
1，1，2)的法平面方程为(x-1)-(y-1)=0，即x-y=0。 而过点p(
例5 求曲线x2+y2+z2=3x2x2-3y+5z=4在点p(1，1，1)处的切线和法平面方程。 解:由题意可知，在该点处切线的方向向量垂直于两曲面的法向量n1，n2，由n1=-1，2，2，n2=2，-3，5，故可取
s=n1×n2=-1，2，2×2，-3，5=16，9，-1。
所以，切线方程为 ==，
而法平面方程为16(x-1)+9(y-1)-(z-1)=0，
即16x+9y-z-24=0。
x)，z=z(x)给出 3 空间曲线由方程y=y(
若空间曲线由方程y=y(x)，z=z(x)给出，选x为参数，将曲线方程化为参数方程x=x，y=y(x)，z=z(x)，则曲线在任一点p0(x0，y0，z0)的切向量为s={1，y′x(x0)，z′x(x0)}，因此曲线在点p0处的切线方程为 ==，其法平面方程为 (x-x0)+y′x(x0)(y-y0)+
z′x(x0)(z-z0)=0。
例6 求曲线x2-z=0x+y+4=4在点p(1，-5，1)处的法平面与直线4x-3y-2z=0x-y-z+1=0之间的夹角。
解:已知曲线的参数方程为x=x，y=-x-4，z=x2，则曲线在点p处的法平面的法向量为
n=(1，y′x，z′x|=(1，-1，2x)|=1，-1，2，
而所给直线的方向向量为
s=i j k4 -3 -21 -1 -1=i+2j-k=1，2，-1。
设直线与平面夹角为φ，直线的方向向量s与平面的法向量n的夹角为θ，于是
sinφ=cosθ==， 故φ=。
即曲线在点p处的法平面与所给直线的夹角为。
例7 求曲线y2=x，x2=z在点p0(1，1，1)处的切线方程及法平面方程。
解:视x为参数，则曲线的参数方程为x=x，y2=x，z=x2。
先求切向量，由于x′=1，y′x=，z′x=2x，则该曲线的切向量为s=1，y′x，z′x=1，，2x。于是过点p0(1，1，1)处的切线的方向向量为1，，2，所以，切线方程为
==，即==，
其法平面方程为 (x-1)+(y-1)+2(z-1)=0，即2x+y+4z=7。
例8 求证曲线x2-z=0 (1)3x+2y+1=0 (2)上点p0(1，-2，1)处的法平面与直线L:9x-7y-21z=0x-y-z=0平行。
证明:在方程(1)和(2)的两边分别对x求导，得:
2x-z′x=03+2y′x=0， 解得:z′x=2xy′x=-。
因而该曲线的切向量为s=(1，y′x，z′x)，于是过点p0(1，-2，1)处的切线的方向向量为(1，-，2)，这也是过点p0处的法平面的法线向量，即n=(1，-，2)。又直线L的方向向量
s=n1×n2=i j k9 -7 -211 -1 -1=-14i-12j-2k=-14，-12，-2。
由于n?s=(1，-，2)?(14，-12，-2)=0，因此法平面与直线平行。
参考文献:
[1] 廖玉麟等.高等数学试题精选题解[M].武汉:华中科技大学
出版社，2001.
[2] 林建华，庄平辉，林应标.高等数学精品课堂[M].厦门:厦门大
学出版社，2006.
[3] 薛嘉庆.高等数学题库精编[M].沈阳:东北大学出版社，2000.
范文五：空间曲线的切线和法平面求法探讨[权威资料]
空间曲线的切线和法平面求法探讨
摘 要:本文主要通过一些典型例题讲解了空间曲线由不同形式的方程给出时，空间曲线的切线和法平面的求法。
关键词:空间曲线;切线;法平面
【】 G642.1 【】 B 【】 1671-8437(2015)02-0007-02
求空间曲线的切线与法平面方程时，要根据给定曲线的方程所属类型是参数式还是其它形式，选择适当的求解方法，关键是先求出切点坐标和曲线在切点处的切向量。下面笔者就对曲线的切线和法平面求法进行探讨。
1 空间曲线由参数方程x=x(t)，y=y(t)，z=z(t) (α?t?β)给出
若空间曲线的方程为参数方程时，x=x(t)，y=y(t)，z=z(t) (α?t?β)曲线上的点p0(x0，y0，z0)对应的参数为t0，而x(t)，y(t)，z(t)在
t=t0时有导数，则曲线在点p0的切向量为s={x′(t0)，y′(t0)，z′(t0)}，因此，曲线在点p0处的切线方程为==，其法平面方程为x′(t0)(x-x0)+y′(t0)(y-y0)+z′(t0)(z-z0)=0。
例1 求曲线x=,,sin2t，y=bsintcost，z=ccos2t对应于t=处的切线方程和法平面方程(,唬,b，c为常数)。
解:对应于t=的点为(，，)，当t=时，有
x′t|=2,,sintcost|=,唬, y′t|=bcos2t|=0，
z′t|=-2csintcost|=-c，即切向量为s={,唬,0，-c}。
因此，所求切线方程为==，其法平面方程为,唬,x-)-c(z-)=0，即,,x-cz-+=0。
例2 求曲线x=(t+1)2， y=t3， z=在点(1，0，1)处的切线方程和法平面方程。
解:因为点(1，0，1)对应于t=0，当t=0时，有
x′t|=2(t+1)|=2， y′t|=3t2|=0，
z′t|=|=0
即切向量为s={2，0，0}。所以，切线方程为y=0z=1，
其法平面方程为2(x-1)=0，即x=1。
例3 求曲线x=， y=， z=2t上的点，使得曲线在该点的切线平行于平面x+3y+z-3=0，并求过该点的切线方程。
解:设参数t=t0，对应曲线上任一点M0(x0，y0，z0)，则:
x0=， y0=， z0=2t0，
由于x′(t0)=，y′(t0)=-， z′(t0)=2即切向量为:
s=，-，2，切线方程为:
==。
又因为平面x+3y+z-3=0的法向量为n={1，3，1}。由题意，切线与已知平面平行，所以s?n=-+2=0，因此
(1+t0)2=1，即t0=0或t0=-2，
对应曲线上的点为M1(0，1，0)或M2(2，-1，-4)。
则曲线在点M1(0，1，0)处的切线方程为==，
则曲线在点M2(2，-1，-4)处的切线方程为==。
2 空间曲线的方程以交面式方程F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0给出
若空间曲线的方程以交面式方程F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0给出时，曲线上的点p0(x0，y0，z0)处的切线就是这两个曲面在p0点的切平面的交线，因此其切向量
s与两曲面在切点处的法向量n1，n2均垂直。因为
n1=F′x，F′y，F′z|，n2=G′x，G′y，G′z|，所以切向量
s=n1×n2=i j kF′x| F′y| F′z|G′x| G′y|
G′z|
=F′y F′zG′y G′z，F′z F′xG′z G′x，F′x
F′yG′x G′y=l，m，n
因此曲线在点p0处的切线方程为==，
其法平面方程为l(x-x0)+m(y-y0)+n(z-z0)=0。
例4 求球面x2+y2+z2=6与抛物面z=x2+y2处的交线在点
p(1，1，2)的切线方程和法平面方程。
解:设F(x，y，z)=x2+y2+z2-6G(x，y，z)=x2+y2-z，则求偏导数， 得:
F′x=2x，F′y=2y，F′z=2z， G′x=2x，G′y=2y，G′z=-1，
则曲线在点p(1，1，2)的切线的方向向量为:
s=F′y F′zG′y G′z，F′z F′xG′z G′x，F′x
F′yG′x G′y
=2 42 -1，4 2-1 2，2 22 2=-10，10，0
故曲线在点p(1，1，2)的切线方程为==，
而过点p(1，1，2)的法平面方程为(x-1)-(y-1)=0，即x-y=0。
例5 求曲线x2+y2+z2=3x2x2-3y+5z=4在点p(1，1，1)处的切线和法平面方程。 解:由题意可知，在该点处切线的方向向量垂直于两曲面的法向量n1，n2，由n1=-1，2，2，n2=2，-3，5，故可取
s=n1×n2=-1，2，2×2，-3，5=16，9，-1。
所以，切线方程为 ==，
而法平面方程为16(x-1)+9(y-1)-(z-1)=0，
即16x+9y-z-24=0。
3 空间曲线由方程y=y(x)，z=z(x)给出
若空间曲线由方程y=y(x)，z=z(x)给出，选x为参数，将曲线方程化为参数方程x=x，y=y(x)，z=z(x)，则曲线在任一点p0(x0，y0，z0)的切向量为s={1，y′x(x0)，z′x(x0)}，因此曲线在点p0处的切线方程为 ==，其法平面方程为 (x-x0)+y′x(x0)(y-y0)+
z′x(x0)(z-z0)=0。
例6 求曲线x2-z=0x+y+4=4在点p(1，-5，1)处的法平面与直线4x-3y-2z=0x-y-z+1=0之间的夹角。
解:已知曲线的参数方程为x=x，y=-x-4，z=x2，则曲线在点p处的法平面的法向量为
n=(1，y′x，z′x|=(1，-1，2x)|=1，-1，2，
而所给直线的方向向量为
s=i j k4 -3 -21 -1 -1=i+2j-k=1，2，-1。
设直线与平面夹角为φ，直线的方向向量s与平面的法向量n的夹角为θ，于是
sinφ=cosθ==， 故φ=。
即曲线在点p处的法平面与所给直线的夹角为。
例7 求曲线y2=x，x2=z在点p0(1，1，1)处的切线方程及法平面方程。
解:视x为参数，则曲线的参数方程为x=x，y2=x，z=x2。
先求切向量，由于x′=1，y′x=，z′x=2x，则该曲线的切向量为s=1，y′x，z′x=1，，2x。于是过点p0(1，1，1)处的切线的方向向量为1，，2，所以，切线方程为
==，即==，
其法平面方程为 (x-1)+(y-1)+2(z-1)=0，即2x+y+4z=7。
例8 求证曲线x2-z=0 (1)3x+2y+1=0 (2)上点p0(1，-2，1)处的法平面与直线L:9x-7y-21z=0x-y-z=0
平行。
证明:在方程(1)和(2)的两边分别对x求导，得:
2x-z′x=03+2y′x=0， 解得:z′x=2xy′x=-。
因而该曲线的切向量为s=(1，y′x，z′x)，于是过点p0(1，-2，1)处的切线的方向向量为(1，-，2)，这也是过点p0处的法平面的法线向量，即n=(1，-，2)。又直线L的方向向量
s=n1×n2=i j k9 -7 -211 -1 -1=-14i-12j-2k=-
14，-12，-2。
由于n?s=(1，-，2)?(14，-12，-2)=0，因此法平面与直线平行。
参考文献:
[1] 廖玉麟等.高等数学试题精选题解[M].武汉:华中科技大学
出版社，2001.
[2] 林建华，庄平辉，林应标.高等数学精品课堂[M].厦门:厦门大
学出版社，2006.
[3] 薛嘉庆.高等数学题库精编[M].沈阳:东北大学出版社，2000.
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