街角_哭泣-
范文一：灰色预测+灰色关联分析
灰色关联分析法
根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，来衡量因素间关联程度。灰色关联分析法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。
根据评价目的确定评价指标体系，
为了评价×××我们选取下列评价指标： 收集评价数据（此步骤一般为题目中原数据，便省略）
将m 个指标的n 组数据序列排成m*n阶矩阵：
'
?x 1' (1)x 2(1) ' ' x 1(2)x 2(2) ' ' ' (X 1, X 2, , X n ) =
x ' (m ) x ' (m ) 2?1
'
x n (1)?
?'
x n (2)? ??'
x n (m ) ??
对指标数据进行无量纲化
为了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，在进行关联度计算之前，我们首先对各要素的原始数据作... 变换。无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：
x n (1)??x 0(1)x 1(2)
?x (2)x (2) x (2)01n ?(X 0, X 1, , X n ) = ? ?x (n ) x (n ) x (n ) 1n ?0? 确定参考数据列
为了比较... 【评价目的】，我们选取... 作为参考数据列，记作
' ' ' ' X 0=(x 0(1), x 0(2), , x 0(n )) T
x (k ) -x i (k )
计算0，得到绝对差值矩阵
求两级最小差和两级最大差
n
m
min min x 0(k ) -x i (k ) =min(*,*,*,*,*,*)=*
i =1n
k =1m
max max x 0(k ) -x i (k ) =max(*,*,*,*,*,*)=*
i =1
k =1
求关联系数
由关联系数计算公式ζi (k ) =
min min x 0(k ) -x i (k ) +ρ?max max x 0(k ) -x i (k )
i
k
i
k
x 0(k ) -x i (k ) +ρ?max max x 0(k ) -x i (k )
i
k
，取
ρ＝0.5，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数，得关联系数如
下：
ζ1(1)?ζn(1)
?? = ζ= ?
ζ1 n ?ζn(n)
计算关联度
分别计算每个评价对象各指标关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序
1m
列的关联关系，并称其为关联度，记为：r 0i =∑ζi (k ) 。经过计算得到关联度：
m k =1
R =(r 01r 02r 03... )=()
[注]如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值1m
即r 0'i =∑W k ?ζi (k ) （k=1,式中W k 为各指标权重。 , m ）
m k =1根据关联度矩阵得出综合评价结果
如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），*个被评价对象由好到劣依次为： 。
如果存在多个参考数据列，则为优度分析问题，类似的得到关联度矩阵如下：
?r 11r 12r 13??? ? ?R = r 21r 22r 23?= ?
r ? ??31r 32r 33???
从上述关联度矩阵，可以得到如下几点结论：
由max γ1i =表明，在．．．中，【ｉ代表的指标】占有最大的优势，它对．．．【参
i
考指标】的贡献最大，其次是，，，。
由max γij =表明，在*、*、*中，与... 【i 代表的指标】联系最为紧密的是...
i
【j 代表的指标】。
[注] 常用的无量纲化方法有均值化法(见公式(1.1))、初值化法(见公式(1.2))和标准化变换(见公式(1.3))等．或采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同．
x i (k ) =
(k ) (1.1) 1
(k ) ∑x m
i m
'
k =1
i
'
x i (k ) =
(k ) (1.2) x (k )
i ' i
'
x -(1.3) s
灰色系统预测模型GM(1,1)
使用条件
1. 数据量不少于4个（大数据、小数据都可精准预测）
2. 灰色预测适用于原始数据非负的，具有较强指数规律的序列。 3. 对于GM (1,1)发展系数a 与级比σ(0)k 有： a 的可容区间为(-2, 2)
当-a ≤0.3时，GM(1,1)可以用作中长期预测；
当0.3<-a ≤0.5时，gm(1,1)可用作短期预测中长期慎用；=""><-a ≤0.8时，gm(1,1)作短期预测慎用；=""><-a ≤1时，用残差修正gm(1,1)模型；="" 当-a="">1时，不宜采用GM(1,1)模型。
σ
(0)
-22(e , e ) =(0.1353,7.3891) k 的可容区间为
建模步骤
设原有数据序列x (1), x (2)......x (n)，它们满足x (k)≥0,k =1,2...n 。
[注意剔除异常数据；如原始数据不是非负时作平移变换，令x+0 k =x 0 k +α]。
1. 求级比，并作建模可行性分析 根据级比公式
x (0)(k-1)
σ(k)=(0)
x (k)，
求得δ= δ 0 , δ 1 , …δ(n) =( )
当对所有的k 有σ(k)∈(e,e ) 时，X(0)可用作GM(1,1)建模。 [否则对数据再做一定的平移变换使生成数列的级比满足条件。] 2. 数据处理
(0)(1)x (k ) x 对序列做一次累加生成(k ) 序列，以弱化原始序列的随机性和波动性。
，那么有x (0)(k )=x (1)(k +1)-x (1)(k ) 。 (0)(1)x (k)z 对序列做紧邻均值生成(k ) 序列 即
m =1
(1)(1)(1)
即z (k ) =0.5x (k ) +0.5x (k -1), k =2,3... n 。 3. 建立GM(1,1)灰微分方程模型
dx 1 k +az 1 k =x 0 k +az 1 k =b，并确定其参数。
(0)(0)(0)(0)
-2n +12n +1
x (k ) =∑x (0)(m ), k =1,2... n
(1)
k
?x (0)(2)??-z (1)(2) (0)? (1)x (3)?-z (3) Y =B = ? 令， x (0)(n ) ?? -z (1)(n ) ???1?
?1?
?a ?
? ，则Y=B b ?。
????1?
用MATLAB 最小二乘法求解参数u, P=(BT B) -1B T Y=(a,b)T 。
。 接下来求解上面得到的基本模型x 0 k +a z 1 k =b
4. 建立白化形式的近似微分方程： dx (1)
+ax(1)=b，其中a 为发展系数，b 为灰色作用量 dt
根据其时间响应函数
b b
x (1)(t)=(x(1)(1)-) e -a t +
a a
解得时间响应序列为：
?-ak ?b b ?
?(k+1) =(x(1)-)e +。 x
??a a
?(0)(k+1) =x ?(1)(k+1)-x ?(1)(k)，得原始数据序列x(0)的预测值（模型由累减生成x
(1)
(0)
还原值）为
x (0)= x 0 1 , x 0 2 , …, x 0 (n) =( )。
?(0)(k) q (k)=x (0)(k)-x
?(0)(k)q (k)x (0)(k)-x
ε(k)=(0)?100%=?100%(0)
x (k)x (k)
n 1
ε(avg)=|ε(k)|∑n -1k =2
p =(1-ε(avg))?100%
当ε(k)=****<10%，p=****>90%时，模型精度较高，可进行预报和预测。
Verhulst 模型
Verhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即 S 形过程，常用于人口预测、生物生长、繁殖预测及产品经济寿命预测等。
1. 数据处理
(0)(1)
对x (k ) 序列做一次累加生成x (k ) 序列，以弱化原始序列的随机性和波动性。
，那么有x (0)(k )=x (1)(k +1)-x (1)(k ) 。
(0)(1)
对x (k)序列做紧邻均值生成z (k ) 序列 即
m =1
(1)(1)(1)z (k ) =0.5x (k ) +0.5x (k -1), k =2,3... n 。 即
x (k ) =∑x (0)(m ), k =1,2... n
(1)
k
2. 建立GM(1,1)Verhulst 模型x 0 +ax 1 =b(x 1 ) 2，并确定其参数。
?-z (1)(2)
?x (0)(2)?
(1) (0)?
x (3)?B = -z (3) Y =
?，令
x (0)(n ) ??
-z (1)(n ) ??
?(2))?
?2?(1)
(3))?
?a ??，则Y=B ?。
?b ??
2(1)
(z (n))??
(1)
2
(z (z
用MATLAB 最小二乘法求解参数u, P=(BT B) -1B T Y=(a,b)T 。
4. 建立白化形式的近似微分方程：
(x 1 ) 2，其中a 为发展系数，b 为灰色作用量 x 0 +a x 1 =b
根据其时间响应函数
解得时间响应序列为：
a x (0)(1)
x (t)=
b x (0)(1)+(a -b ) e -at
(1)
a x (0)(1)
x (k +1) =
b x (0)(1)+(a -b )e -ak 。
(1)
?(0)(k+1) =x ?(1)(k+1)-x ?(1)(k)，得原始数据序列x(0)的预测值（模型由累减生成x
还原值）为x (0)= x 0 1 , x 0 2 , …, x 0 (n) =( )。
?(0)(k) q (k)=x (0)(k)-x
?(0)(k)q (k)x (0)(k)-x
ε(k)=(0)?100%=?100%
x (k)x (0)(k)
n 1
ε(avg)=∑|ε(k)|
n -1k =2
p =(1-ε(avg))?100%
当ε(k)=****<10%，p=****>90%时，模型精度较高，可进行预报和预测。
范文二：灰色关联度分析
灰色关联度分析 一 、关联度分析的意义
关联度是表征两个事物的关联程度
设有参考序列和比较序列
(0)(0)(0)(0)x(t),{x(1),x(2),..........x(n)} 1111
(0)(0)(0)(0)x(t),{x(1),x(2),...........x(n)} 2222
(0)(0)(0)(0)x(t),{x(1),x(2),............x(n)} 3333
(0)(0)(0)(0)x(t),{x(1),x(2),.............x(n)} 4444
四个时间数据序列如图所示：
则关联度为
r12＞r13＞r14
关联度分析是一种曲线间n何形状的分析比较，即n何形状越接近，则关联程度越大，反之则小。
二、面积关联度分析法
关联度应用关联系数来表示，我们用曲线间的差值大小作为一种衡量关联度的尺度。
设母因素时间数列和子因素时间数列分别是: x(f),{x(f),x(f),..........,x(f)} iki122inx(f),{x(f),x(f),.......,x(f)} jkj1j2jn记fk时刻xj对xi的关联系数为?ij（fk），其绝对差值为：
?x(f),x(f),(f)?= k=1,2,……,n这是对两个方列 ikjkijk
各时刻的最小绝对差为：
(f),x(f)=?x? min,minikjkk
各时刻的最大绝对差为：
(f),x(f)?x? ,min,maxikjkk
,min，,max, (f),ijk则母因素为子因素两曲线在各时刻的相对差值用下式表示： ,(f)，,max,ijk
式中,(f)称为xj对xi在K时刻的关联系数 ijk
关联系数的上界值,(f)=1 ijk
k关联系数的下界值,(f)= ijk1，k
K?（0，1），称为分辨系数，减少极值对计算的影响，提高分辨率。
?原始数据标准化处理方法
关联系数,(f)的值主要决定于xi和xj在各时刻的差值，由于xi和xj数据单位不同，ijk
会影响,(f)的值，因此若是要对原始数据作无量纲处理，即标准化处理。数据标准化有ijk
两种方法：初值化处理和均值化处理。
初值化处理即把序列第一个数据除以该序列所有数据，得到一个新数列。
均值化处理即把序列平均值除以该序列所有数据，得到一个新数列。
?面积关联度
关联系数只表示各时刻数据间的关联程度，我们用基本均值表示两条曲线间的关联程度
N1r,(f)= k=1,2,……,N ,ijijkNk,1
称r为子因素曲线xj对母因素曲线xi的关联度。 ij
?多个序列的最小绝对差和最大绝对差。
在灰色关联度分析中，无论序列有多少，和各只有一个。 ,min,max
和的求法，以为例解释，类似。 ,min,min,max,max
(f),x(f)minmin =?x? ,minikjkjk
例 母序列:x(t),x(t),........,x(t) 01020N
子序列:x(t),x(t),........,x(t) 11121N
x(t),x(t),.........,x(t) 21222N
第一步：固k,k,i,0,，j变动时，得到： 0
x(t),x(t)x(t),x(t)x(t),x(t)?,??,……, ?? min0k1k0k2k0NjN0102j第二步：从中可以选出：x(t),x(t)?? min0kjk?00j
第三步：当k变动时，可以得到:
x(t),x(t)x(t),x(t)x(t),x(t)??, ??,……, ?? minminmin0j102j20NjNjjj
第四步：从中又可以选出最小的= ,min
?关联度比较及实际意义
当计算出子因素对母因素的关联度rr后，将 排序 ijijr,r,........,r ijijij12m
则子因素对母因素影响的重要程度依次是序列： j,j,........,j 12m
灰色系统优势分析 1、 优势分析的意义
如果母函数数列不止一个，被比较的子函数数列也不止一个，则可以构成关联矩阵，通
过关联矩阵多元素间的关系，可以分析哪些因素是优势，哪些是劣势。
2、 优势分析的理论模型
设有5个母函数，6个子函数。记为：
00000Y(k),Y(k),Y(k),Y(k),Y(k)12345 000000x(k),x(k),x(k),x(k),x(k),x(k)123456
根据灰色关联度多数计算方法，可以分别计算每个母函数对子函数的关联度，将这些关
联度排列成矩：
矩阵中每一行表示同一母函数对不同子函数的影响，每一列表示不同母函数对同一子函
数的影响，据此就可以根据R中各行和各列关联度
rij的大小来判断子函数对母函数的
作用。
3、 实例分析
?原始数据
投资是母函数，收入和产值是子函数
某县对农业投资的原始数据
某县各农业部门收入原始数据
范文三：灰色关联分析
灰色关联分析
用途：考虑到影响****因素的指标个数之多，并且彼此之间存在着一定的相关性，因此上海市就业是一个多因素复杂的系统，我们采用灰色关联理论对各因素与城镇就业人数之间的关系进行分析研究。灰色关联分析反映了曲线间的关联程度，反映了各相关因素对体统特征行为的接近次序，其中关联度最大的为最优因素，因此灰色关联分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态历程分析。
1）建立原始数列的因变量参考数列和自变量比较数列
(1)(2)(3)(k)
?，自变因变量参考数列又称母序列，记作X0(k)，X(k)??x,x,x?,x0000??
(1)(2)(3)(k)
?量参考数列又称母序列，记作Xi(k)，X(k)?? ?xi,xi,xi?,xi?,i?1,2,?n。
2）将原始序列进行初始化法、均值化法的无法量纲处理，目的是消除数量级大小不同的影响，以便于进行计算和比较分析，我们采用了这两种方法对数据进行了处理。
3）计算每个时刻点上母序列与各子序列差的绝对值，并从中取得最大差和最小差序列：?i(k)?x0(k)?xi(k)(i?1,2,?,n)，则差序列为：
????i(1),?i(2),?i(3),??i(k)?，i?1,2,?,n
i
（21）
其中，最大差：?max?maxmaxx0(k)?xi(k)；最小差：
ii
?min?minminx0
i
i
(k)
?xi
(k)
。
4）计算灰色关联度系数 利用公式L(0ki)?
?min???max????max
计算灰色关联度系数，其中L(0ki)是第k个点的
子因素与母因素的相对差值，?为分辨系数，一般在0与1之间选取，通常取为0.5。
5）计算灰色关联度 为求总的关联度，需要考虑不同的观测点在总体观测中的重要性程度，则需要确定各点的权重，我们采用算数平均的方法计算灰色关联度R0i，公式为
k?1
6）关联度排序
根据R0i的大小安排关联序的先后顺序，关联度越接近于1，说明关联程度越大，根据经验，当??0.5时，两因素的关联度大于0.6，便认为其关联性显著[13]
。我们利用MATLAB[14]软件编程（代码详见附录3）计算可得，各指标的关联度如小表所示，从结果来看，所有的因素关联度均大于0.6，则说明选取的指标均对上海的就业有影响。
R0i?
1
n
(k)0i
?Ln
表6 各指标灰色关联度对照表
难点：样本数据和方阵数据的含义及其使用方法（未解决）
定义：对于两个系统之间的因素，其随时间或不同对象而变化的关联性大小的量度，称为关联度。在系统发展过程中，若两个因素变化的趋势具有一致性，即同步变化程度较高，即可谓二者关联程度较高；反之，则较低。因此，灰色关联分析方法，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，作为衡量因素间关联程度的一种方法。
clear; clc;
yangben=load('yangben.txt');
fangzhen=load('fangzhen.txt'); %待判数据 [rows,cols]=size(fangzhen); p=0.5; %分辨系数 [m,n]=size(yangben);
yangben=(yangben./max(yangben))';
for i=1:cols
% 因素3/9越小越好 if (i==9 | i==3)
clear Value;clear minValue; Value = fangzhen(:,i); minValue=min( Value ); for j=1:rows
fangzhen(j,i) = minValue / fangzhen(j,i); end elseif(i==6)
clear Value;clear minValue;clear maxValue; Value = fangzhen(:,i); minValue=min( Value ); maxValue=max( Value ); for j=1:rows
fangzhen(j,i) = ( fangzhen(j,i) - minValue ) / ( maxValue - minValue ); end else
clear Value;clear minValue; Value = fangzhen(:,i); maxValue=max( Value ); for j=1:rows
fangzhen(j,i) = fangzhen(j,i) / maxValue;
end end end
fangzhen=fangzhen';
% 方阵的列行数据发生值发生交换 for i=1:cols
for j=1:rows
fangzhen(i,j)=abs( yangben(1,j)-fangzhen(i,j) ); end end
matrixMax=max(max(fangzhen)); matrixMin=min(min(fangzhen)); totalValue=matrixMin + matrixMax; for i=1:cols
for j=1:rows
fangzhen(i,j)=totalValue/(fangzhen(i,j)+matrixMax); end end
R = sum(fangzhen,2)/rows
或灰色关联度matlab源程序
最近几天一直在写算法，其实网上可以下到这些算法的源程序的，但是为了搞懂，搞清楚，还是自己一个一个的看了，写了，作为自身的积累，而且自己的的矩阵计算类库也迅速得到补充，以后关于算法方面，基本的矩阵运算不用再重复写了，挺好的，是种积累，下面把灰关联的matlab程序与大家分享。
灰色关联度分析法是将研究对象及影响因素的因子值视为一条线上的点,与待识别对象及影响因素的因子值所绘制的曲线进行比较,比较它们之间的贴近度,并分别量化,计算出研究对象与待识别对象各影响因素之间的贴近程度的关联度,通过比较各关联度的大小来判断待识别对象对研究对象的影响程度。
关联度计算的预处理，一般初值化或者均值化，根据我的实际需要，本程序中使用的是比较序列与参考序列组成的矩阵除以参考序列的列均值等到的，当然也可以是其他方法。
%注意：由于需要，均值化方法采用各组值除以样本的各列平均值 clear;clc; yangben=[
47.924375 25.168125 827.4105438 330.08875 1045.164375 261.374375
16.3372 6.62 940.2824 709.2752 962.1284 84.874
55.69666667 30.80333333 885.21 275.8066667 1052.42 435.81 ]; %样本数据
fangzhen=[
36.27 14.59 836.15 420.41 1011.83 189.54 64.73 35.63 755.45 331.32 978.5 257.87 42.44 23.07 846 348.05 1025.4 296.69 59.34 39.7 794.31 334.63 1016.4 317.27 52.91 17.14 821.79 306.92 1141.94 122.04 4.21 4.86 1815.52 2584.68 963.61 0.00 6.01 2.43 1791.61 2338.17 1278.08 30.87 3.01 1.58 1220.54 956.14 1244.75 3.91 25.65 7.42 790.17 328.88 1026.01 92.82 115.80 27 926.5 350.93 1079.49 544.38 12.63 8.75 1055.50 1379.00 875.10 1.65 ]; %待判数据
[rows,cols]=size(fangzhen); p=0.5; %分辨系数
[m,n]=size(yangben); R=[];
for irow=1:rows
yy=fangzhen(irow,:); data=[yy;yangben];
data_gyh1=mean(yangben) for i=1:m+1 for j=1:n
data_gyh(i,j)=data(i,j)/data_gyh1(j); end end
for i=2:m+1 for j=1:n
Dij(i-1,j)=abs(data_gyh(1,j)-data_gyh(i,j)); end end
Dijmax=max(max(Dij)); Dijmin=min(min(Dij));
for i=1:m for j=1:n
Lij(i,j)=(Dijmin+p*Dijmax)/(Dij(i,j)+p*Dijmax); end
end
LijRowSum=sum(Lij');
for i=1:m
Rij(i)=LijRowSum(i)/n; end
R=[R;Rij]; end R
范文四：GRA-灰色关联分析
灰色关联分析的步骤
灰色关联分析的具体计算步骤如下：
第一步：确定分析数列。
确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。
设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k) | k = 1,2,Λ,n}；比较数列（又称子序列）Xi={Xi(k) | k = 1,2,Λ,n},i = 1,2,Λ,m。
第二步，变量的无量纲化
由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。 [2]
第三步，计算关联系数
x0(k)与xi(k)的关联系数
记，则 (为一行向量)
，称为分辨系数。ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为
时，分辨力最好，通常取ρ = 0.5。 (0,1),具体取值可视情况而定。当
第四步，计算关联度
因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度ri公式如下：
第五步，关联度排序
关联度按大小排序，如果r1
在算出Xi(k)序列与Y(k)序列的关联系数后，计算各类关联系数的平均值，平均值ri就称为Y(k)与Xi(k)的关联度。
范文五：灰色关联分析
灰色关联分析
灰色关联分析(Grey Relational Analysis, GRA) 什么是灰色关联分析 灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度[1]。
灰色系统理论是由著名学者邓聚龙教授首创的一种系统科学理论(Grey Theory)，其中的灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间关联程度的方法。此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近，与参考数列的关系越紧密。灰色关联分析方法要求样本容量可以少到4个，对数据无规律同样适用，不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。其基本思想是将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度以及根据关联度的大小对待评指标进行排序。灰色关联度的应用涉及社会科学和自然科学的各个领域，尤其在社会经济领域，如国民经济各部门投资收益、区域经济优势分析、产业结构调整等方面，都取得较好的应用效果。[2]
关联度有绝对关联度和相对关联度之分，绝对关联度采用初始点零化法进行初值化处理，当分析的因素差异较大时，由于变量间的量纲不一致，往往影响分析，难以得出合理的结果。而相对关联度用相对量进行分析，计算结果仅与序列相对于初始点的变化速率有关，与各观测数据大小无关，这在一定程度上弥补了绝对关联度的缺陷。[2]
灰色关联分析的步骤[2]
灰色关联分析的具体计算步骤如下：
第一步：确定分析数列。
确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。 设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k) | k = 1,2,Λ,n}；比较数列（又称子序列）Xi={Xi(k)
| k = 1,2,Λ,n},i = 1,2,Λ,m。
第二步，变量的无量纲化
由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。
第三步，计算关联系数
x0(k)与xi(k)的关联系数
记，则
，称为分辨系数。ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为(0,1),具
时，分辨力最好，通常取ρ = 0.5。 体取值可视情况而定。当
第四步，计算关联度
因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度ri公式如下：
第五步，关联度排序
关联度按大小排序，如果r1
在算出Xi(k)序列与Y(k)序列的关联系数后，计算各类关联系数的平均值，平均值ri就称为Y(k)与Xi(k)的关联度。
参考文献
? ↑ 徐凤银,朱兴珊,颜其彬,李士伦.储层含油气性定量评价中指标权重的确定方法(J).西南石油学院学报,1994年04期
? ↑ 2.0 2.1 2.2 晋宗义,李璐,童金萍.粮食安全问题研究——以安徽省为例
层次分析法
层次分析法（The analytic hierarchy process,简称AHP），也称层级分析法
1、什么是层次分析法
层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。
2、层次分析法的基本步骤
1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。
2、构造成对比较阵。从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
3、计算权向量并做一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构造成对比较阵。
4、计算组合权向量并做组合一致性检验。计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。
3、层次分析法的优点 运用层次分析法有很多优点，其中最重要的一点就是简单明了。层次分析法不仅适用于存在不确定性和主观信息的情况，还允许以合乎逻辑的方式运用经验、洞察力和直觉。也许层次分析法最大的优点是提出了层次本身，它使得买方能够认真地考虑和衡量指标的相对重要性。
4、建立层次结构模型
将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
〔例1〕 购物模型
某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：
〔例2〕 选拔干部模型
对三个干部候选人y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 假设有三个干部候选人y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型
5、构造成对比较矩阵 比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。设共有 n 个元素参与比较，则称为成对比较矩阵。 成对比较矩阵中aij的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。aij在 1-9 及其倒数中间取值。 aij = 1，元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同；
aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要；
aij = 5，元素 i 比元素 j 重要；
aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多；
aij = 9，元素 i 比元素 j 的极其重要；
aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 与 j 的重要性介于aij = 2n ? 1与aij = 2n + 1之间；
，n=1,2,...,9， 当且仅当aji = n。
成对比较矩阵的特点：。（备注：当i=j时候，aij = 1） 对例 2， 选拔干部考虑5个条件：品德x1，才能
x2，资历x3，年龄x4，群众关系x5。某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：
a14 = 5 表示品德与年龄重要性之比为 5，即决策人认为品德比年龄重要。
6、作一致性检验
从理论上分析得到：如果A是完全一致的成对比较矩阵，应该有
但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。
由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求，转化为要求： 的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。
检验成对比较矩阵A一致性的步骤如下：
计算衡量一个成对比较矩阵 A （n>1 阶方阵）不一致程度的指标CI：
RI是这样得到的:对于固定的n,随机构造成对比较阵A, 其中aij1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9中随机抽取的. 这样的A是不一致的, 取充分大的子样得到A的最大特征值的平均值
注解:
? 从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准RI：RI称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数 n 有关。
? 按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR：
。
? 判断方法如下： 当CR
计算得到,查得RI=1.12，
这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。 此时A的最大特征值对应的特征向量为
U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。 这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。该特征向量标准化后变成U = (0.475,0.263,0.051,0.103,0.126)Z。经过标准化后这个向量称为权向量。这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。各因素的相对重要性由权向量U的各分量所确定。
求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 语句求A的特征值:〔Y,D〕=eig（A），D为成对比较阵 的特征值，Y的列为相应特征向量。
在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵A = (aij)的最大特征值λmax(A)和相应特征向量的近似值。
定义
，
可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。
计算
可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由λ来判断矩阵A的一致性。
7、层次总排序及决策
现在来完整地解决例 2 的问题，要从三个候选人y1,y2,y3中选一个总体上最适合上述
五个条件的候选人。对此，对三个候选人y = y1
,y2,y3分别比较他们的品德(x1)，才能(x2)，资历(x3)，年龄(x4)，群众关系(x5)。
先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵
经计算，B1的权向量
ωx1(Y) = (0.082,0.244,0.674)z
故B1的不一致程度可接受。ωx1(Y)可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。 类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵
通过计算知，相应的权向量为
它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。经检验知B2,B3,B4,B5的不一致程度均可接受。
最后计算各候选人的总得分。y1的总得分
从计算公式可知，y1的总得分ω(y1)实际上是y1各条件得分
ωx1(y1) ,ωx2(y1) ,...,ωx5(y1) ,的加权平均, 权就是各条件的重要性。同理可得y2,Y3 的得分为
ωz(y2) = 0.243,ωz(y3) = 0.452
即排名:Y3 > Y1 > Y2
比较后可得：候选人y3是第一干部人选。
8、层次分析法的用途举例
例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后，在决定买那一款式时，往往不是直接拿电冰箱整体进行比较，因为存在许多不可比的因素，而是选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型号、耗电量、外界信誉、售后服务等。然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不
一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决策就很容易了。
9、层次分析法应用的程序 运用AHP法进行决策时，需要经历以下4个步骤：
1、建立系统的递阶层次结构；
2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）
3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；
4、计算当前一层元素关于总目标的排序权重。
5、进行一致性检验。
10、应用层次分析法的注意事项 如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。
为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：
1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；
2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。
11、层次分析法应用实例
1、建立递阶层次结构；
2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）
对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵。
3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；
关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。
（1）几何平均法（根法）
计算判断矩阵A各行各个元素mi的乘积；
计算mi的n次方根；
对向量进行归一化处理；
该向量即为所求权重向量。
（2）规范列平均法（和法）
计算判断矩阵A各行各个元素mi的和；
将A的各行元素的和进行归一化；
该向量即为所求权重向量。
计算矩阵A的最大特征值?max
对于任意的i=1,2,…,n, 式中为向量AW的第i个元素
（4）一致性检验
构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并进行一致性检验。虽然在构造判断矩阵A时并不要求判断具有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩阵A进行一致性检验。
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