范文一：圆锥曲线专题——轨迹方程问题

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一、轨迹方程的求法:

(1)条件直译法: (2)几何分析法: (3)相关点法: (4)定义法: (5)参数法: (6)交轨法: 二、核心题型:圆锥曲线的定义及性质运用、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题、焦 点弦问题、弦的中点问题(注意检验! ! ! ) 、面积问题、范围和最值问题、存在性问题、对 称问题、直线过定点问题、定值问题以及解析几何与函数、数列、不等式等的综合。 核心思想:分析法思想明确解题目标和方向、转化意识、简化运算意识。

题型一、轨迹方程的基本求法(条件直译法、定义法、相关点法、参数法、交轨法)

1、 若 , M N 6MN =, 动点 P 满足 1PM PN ?=

, 则 P 的轨迹方程为 .

2、椭圆

22

12516

x y +=的左右焦点为 12, F F , P 为椭圆上的一动点, M 为 1F P 的中点.则 M 的轨迹方程为 ; 12PF F ?重心 G 的轨迹方程为 . 3、 从双曲线 221x y -=上一点 Q 引直线 :20l x y +-=的垂线, 垂足为 N , 则线段 QN 的 中点 M 的轨迹方程为 .

4、过原点作 2

8y x =的两互相垂直的弦 , OA OB ,以 , OA OB 为邻边作矩形 OBMA .则动 点 M 的轨迹方程为 .弦 AB 中点 N 的轨迹方程为 .

5、直线 l 垂直于 x 轴且交双曲线 22

221x y a b

-=于 , M N 两点, 12, A A 为双曲线的顶点,则直

线 1A M 与 2A N 的交点 P 的轨迹方程为

6、已知 12, A A 为 22

194

x y +=的长轴的两端点, 12, P P 是垂直于 12A A 的弦的两端点,则 11A P 与 22A P 的交点

M 的轨迹方程为

7、已知双曲线 2

2

22x y -=. (1)求以 (2,1)A 为中点的双曲线的弦所在直线的方程; (2)过 (1,1) B 能否作出直线 l ,使 l 与双曲线交于 12, Q Q ,且 (1,1)B 为 12Q Q 的中点?

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1、 (08重庆 20题)已知 ) 0, 2(), 0, 2(N M -,动点 P 满足:6. PM PN +=(1)求点 P 的

轨迹方程; (2

)若 2

1cos PM PN MPN

-=, 求点 P 的坐标。

2、 (09重庆 20题)以中心为原点的椭圆的一条准线为 y =

e =M 是 椭圆上一动点. (1)若 ) 3, 0(), , 0(D C -,求 ]

max

MD

MC ?; (2)若 B A ), 0, 1(是圆

221x y +=上的点, N 是 M 在 x 轴上的射影, 点 Q 满足 0, =?+=. 求 线段 QB 中点 P 的轨迹方程。

3、 (10重庆 20题)中心为原点 O 的双曲线 C 一焦点为 ) 0, (F ,离心率 2

=

e . (1) 求 C 的标准方程; (2)如图,过点 ) , (11y x M 的直线 44:111=+y y x x l 与过点 ) , (22y x N (12x x ≠) 的直线 44:222=+y y x x l 的交点 E 在双曲线 C 别交于 H G , 两点,求 OGH ?的面积 .

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4、 (11年重庆 20题)如图,椭圆 C 的离心率 2

2

=

e ,一条准线的方程为 22=x . (1) 求 C 的 标 准 方 程 ; (2) N M , 是 C 上 两 点 , 点 P 满 足 :2+=, 且

2

1

-=?ON OM k k ,问:是否存在两个定点 21, F F ,使得 21PF PF +为定值?若存在,求

21, F F 的坐标;若不存在,说明理由.

5、 如图,椭圆 ) 0(, 1:22221>>=+b a b

y a x C 的离心率为 23,曲线 b x y C -=2

2:被 x 轴

截得的线段长等于 a 。 (1)求 21, C C 的方程; (2)设 2C 与 y 轴的交点为 M ,过 O 的直线 l 与 2C 交于点 B A , ,直线 MB MA , 分别与 1C 相交于 E D , . (1)证明:ME MD ⊥; (2)是 否存在直线 l 使得 32:17:=??MDE MAB S S ?说明理由。

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6、 已知 B A , 为椭圆 ) 0(, 12222>>=+b a b y a x 和双曲线 22

22b

y a x -=1的公共顶点, Q P , 分别

为双曲线和椭圆上异于 B A , 的动点, 且 ) 1||, )(() (>∈+=+λλλR , 设 , AP BQ AQ BP , , 的斜率分别为 4321, , , k k k k 。 (1) 求证:0, 043214321=+++=+k k k k k k k k 。

(2)设 2/2, F F 分别为双曲线和椭圆的右焦点,若 2

4

2322212/2, //k k k k QF PF +++求 的值 .

7、 椭圆 ) 0(, 1:22221>>=+b a b

y a x C

, 以 1C 上的点及 1C 的左、 右焦点 12

, F F

为顶点的三角形周长为 1) 。等轴双曲线 2C 的顶点是 1C 的焦点, P 为 2C 上异于顶 点的任一点,直线 1PF 和 2PF 与 1C 的交点分别为 B A , 和 D C , 。 (1)求 21, C C 的标准方程; (2) 证明:121=?PF PF k k ; (3) 是否存在常数 λ, 使得 AB CD AB CD λ+=恒成立? 若存在,求 λ的值;若不存在,请说明理由 .

范文二：圆锥曲线轨迹方程

圆锥曲线轨迹方程 一、直接法

直接根据等量关系式建立方程.

2AB(20)(30),，，，PAPBx?,Pxy()，例1 已知点，动点满足，则点的轨迹是( ) P

,(圆 ,(椭圆 ,(双曲线 ,(抛物线 例1解析:由题知，， PBxy,,,(3)，PAxy,,,,(2)，

2222PAPBx?, 由，得，即， (2)(3),,,，,xxyxyx,，6

点轨迹为抛物线(故选,( ?P

二、定义法

运用有关曲线的定义求轨迹方程(

例2 在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程( BCACAB,24，，?ABC?ABC解:以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图1，为重心，则有MBCBCyx

2BMCM，,，,3926( 3

点的轨迹是以为焦点的椭圆， ?MBC，

22其中(( ca,,1213，?bac,,,5

22xy ?所求的重心的轨迹方程为( ?ABC，,,1(0)y 16925

注意:求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性. 三、转代法

此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.

2BC(30)(10),，，，例3 已知?ABC的顶点，顶点A在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程( ?ABCGyx,

,，，31x,0x,，,xx,，32， ?,,03Gxy()，Axy()，解:设，，由重心公式，得 ?,,00yyy,3( ?0,0,y,，,3,

22?Axy()， 又在抛物线上，( ? yx,?yx,0000

2 将?，?代入?，得， 3(32)(0)yxy,，,

42yxxy,，，,34(0) 即所求曲线方程是( 3

四、参数法

如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量(参数)，把x，y联系起来(

,,,,PP，例4 已知线段AA，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足AAa,2OllOPOP，

,,,OPOP?,4APAPM，求直线与的交点的轨迹方程(

,,AAAA 解:如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系( yx

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Ptt(0)(0)，, 设点，

4,,, 则由题意，得( P0，,,t,,

t4,, 由点斜式得直线的方程分别为yxayxa,，,,,()()，( APAP，ata

2222 两式相乘，消去，得( 44(0)xayay，,,t

这就是所求点M的轨迹方程(

评析:参数法求轨迹方程，关键有两点:一是选参，容易表示出动点;二是消参，消参的途径灵活多

变.

五、待定系数法

当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.

AD,2A(20),，B(20)，例5、 已知，，三点不在一条直线上，且，，， ,,,

1AEABAD,，()( 2

(1)求点轨迹方程; E

(2)过A作直线交以AB，为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距 MN，MNy

4离为，且直线与点的轨迹相切，求椭圆方程( EMN5

1Dxy(222),，Exy()，AEABAD,，() 解:(1)设，由知为中点，易知( EBD2

22AD,2 又，则( (222)(2)4xy,，，,

22 即E点轨迹方程为; xyy，,,1(0)

MxyNxy()()，，，()xy， (2)设，中点( 112200

22xyykx,，(2) 由题意设椭圆方程为，直线方程为( MN，,122aa,4

?直线与E点的轨迹相切， MN

2k3?,1 ，解得( k,,23k，1

322224(2)x， 将代入椭圆方程并整理，得， 4(3)41630axaxaa,，，,,y,,32xx，a12?x,,, ， 0222(3)a,

24a42x,,a,8 又由题意知，即，解得( ,0252(3)5a,

22xy 故所求的椭圆方程为( ，,184

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范文三：圆锥曲线轨迹方程

圆锥曲线轨迹方程 一、直接法

直接根据等量关系式建立方程.

,,,,,,,,2例1 已知点，动点满足，则点的轨迹是( ) PAPBx?,AB(20)(30),，，，Pxy()，P

,(圆 ,(椭圆 ,(双曲线 ,(抛物线

,,,,,,,,例1解析:由题知，， PBxy,,,(3)，PAxy,,,,(2)，

,,,,,,,,2222 由，得，即， PAPBx?,(2)(3),,,，,xxyxyx,，6

点轨迹为抛物线(故选,( ?P

二、定义法

运用有关曲线的定义求轨迹方程(

BCACAB,24，，?ABC?ABC例2 在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程(

BCBC解:以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图1，为重心，则有xyM

2( BMCM，,，,39263

BC， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， ?M

22ca,,1213，其中(?bac,,,5(

22xy?ABC 所求的重心的轨迹方程为( ，,,1(0)y? 16925

注意:求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.

三、转代法

此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.

2?ABCG例3 已知?ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程( BC(30)(10),，，，yx,A

,，，31x,0x,，,xx,，32， ?,0,3?解:设Gxy()，，Axy()，，由重心公式，得 ,,00yyy,3( ?0,0,y,，,3,

22?Axy()， 又在抛物线上，( ? yx,?yx,0000

2 将?，?代入?，得3(32)(0)yxy,，,，

42 即所求曲线方程是( yxxy,，，,34(0)3

四、参数法

如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量(参数)，把x，y联系起来(

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,PP，AAa,2OllOPOP，OPOP?,4,例4 已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直AA

,,线与的交点的轨迹方程( APAPM

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解:如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系( ,,xyAAAA

设点， Ptt(0)(0)，,

4,,,P0， 则由题意，得( ,,t,,

t4,,APAP， 由点斜式得直线的方程分别为( yxayxa,，,,,()()，ata

2222 两式相乘，消去，得( t44(0)xayay，,,

这就是所求点M的轨迹方程(

评析:参数法求轨迹方程，关键有两点:一是选参，容易表示出动点;二是消参，消参的途径灵活多变.

五、待定系数法

当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.

,,,,例5、 已知,，,，,三点不在一条直线上，且，，， A(20),，B(20)，AD,2

,,,,,,,,,,,,1( AEABAD,，()2

(1)求点轨迹方程; E

AB，MN，MN(2)过作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距 yA

4MN离为，且直线与点的轨迹相切，求椭圆方程( E5

,,,,,,,,,,,,1)设，由知为中点，易知( 解:(1Exy()，Dxy(222),，EBDAEABAD,，()2

,,,,22 又，则( (222)(2)4xy,，，,AD,2

22 即点轨迹方程为; xyy，,,1(0)E

(2)设，中点( MxyNxy()()，，，()xy，112200

22xyMN 由题意设椭圆方程为，直线方程为ykx,，(2)( ，,122aa,4

MN 直线与点的轨迹相切， ?E

2k3k,, ，解得( ?,123k，1

322224y,,(2)x， 将代入椭圆方程并整理，得， 4(3)41630axaxaa,，，,,32xx，a12?x,,, ， 0222(3)a,

2a442,a,8 又由题意知，即，解得( x,,022(3)5a,5

22xy 故所求的椭圆方程为( ，,184

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圆锥曲线之轨迹方程的求法

【基础练习】

1(到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )

2222 A( B( C( D( yx,||yx,xy，,0yx,

22222(已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是( ) Pxy(,)(1)(1)(3)(3)4xyxy,，,,，，，,

A(椭圆 B(双曲线 C(两条射线 D(以上都不对

93(设定点、，动点满足条件，则点P的轨迹( ) PPFPFaa，,，,(0)F(0,3),F(0,3)1212a

A(椭圆 B(线段 C. 不存在 D(椭圆或线段 4(动点P与定点、的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为______________. A(1,0),B(1,0)P,1

【例题精选】

一、直接法求曲线方程

根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了。

AB,ABCBCm,,2,例1(已知中，，试求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. AAC

二定义法

若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

22例1(?C:内部一点与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P，求点P的轨迹方程. (3)16xy，，,A(3,0)

11F(,0)例2(设动点Pxyx(,)(0),到定点的距离比它到y轴的距离大。记点P的轨迹为曲线C求点P的轨迹方程; 22

三代入法

有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。 22例1、已知定点A ( 3, 0 )，P是圆x + y = 1上的动点，?AOP的平分线交AP于M，

求M点的轨迹。

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针对练习

2 26(动圆M过定点P(,4，0)，且与圆C:x+ y,8x = 0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。

、、、

27(已知抛物线= x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有 y

BP?PA =1?2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程(

19.(本题满分14分)

22 已知点C(1，0)，点A、B是?O: x+y=9上任意两个不同的点，

AC,BC,0且满足，设P为弦AB的中点。

(1)求点P的轨迹T的方程;

(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离,若存在，求出这样的点的

坐标;若不存在，说明理由(

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范文四：圆锥曲线轨迹方程

圆锥曲线轨迹方程

一、直接法

直接根据等量关系式建立方程 .

例 1 已知点 (20) (30) A B -,,

, ,动点 () P x y , 满足 2PA PB x = ·,则点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

例 1解析:由题知 (2) PA x y =--- , , (3) PB x y =-- ,

, 由 2PA

PB x = ·,得 22(2)(3) x x y x ---+=,即 26y x =+, P ∴ 点轨迹为抛物线.故选D.

二、定义法

运用有关曲线的定义求轨迹方程.

例 2 在 ABC △ 中, 24BC AC AB =, , 上的两条中线长度之和为 39,求 ABC △ 的重心的轨迹方程. 解:以线段 BC 所在直线为 x 轴,线段 BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,如图 1, M 为重心,则有

239263

BM CM +=?=. M ∴ 点的轨迹是以 B C , 为焦点的椭圆,

其中 1213c a ==,

. 5b =∴ .

∴ 所求 ABC △ 的重心的轨迹方程为 22

1(0) 16925

x y y +=≠. 注意:求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性 .

三、转代法

此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题 . 例 3 已知△ ABC 的顶点 (30) (10) B C -,, , , 顶点 A 在抛物线 2y x =上运动, 求 ABC △ 的重心 G 的轨迹方程.

解:设 () G x y , , 00() A x y , ,由重心公式,得 003133x x y y -++?=????=??

, 00323x x y y =+??=?, ① ∴ . ② 又 00() A x y , ∵ 在抛物线 2y x =上, 200y x =∴ . ③

将①,②代入③,得 23(32) (0) y x y =+≠,

即所求曲线方程是 2434(0) 3

y x x y =++≠. 四、参数法

如果不易直接找出动点的坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数) ,把 x , y 联系起来.

例 4 已知线段 2AA a '=,直线 l 垂直平分 AA '于 O ,在 l 上取两点 P P ', ,使有向线段 OP

OP ' , 满足 4OP OP '= ·,求直线 AP 与 A P ''的交点 M 的轨迹方程.

解:如图 2,以线段 AA '所在直线为 x 轴,以线段 AA '的中垂线为 y 轴建立直角坐标系.

设点 (0)(0) P t t ≠, ,

则由题意,得 40P t ??' ???

. 由点斜式得直线 AP A P '', 的方程分别为 4() () t y x a y x a a ta

=+=--, . 两式相乘,消去 t ,得 222244(0) x a y a y +=≠. 这就是所求点 M 的轨迹方程.

评析:参数法求轨迹方程,关键有两点:一是选参,容易表示出动点;二是消参,消参的途径灵活多 变 .

五、待定系数法

当曲线的形状已知时,一般可用待定系数法解决 .

例 5、 已知 A , B , D 三点不在一条直线上,且 (20) A -,

, (20) B , , 2AD = , 1() 2

AE AB AD =+ . (1)求 E 点轨迹方程;

(2)过 A 作直线交以 A B , 为焦点的椭圆于 M N , 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距 离为

45

,且直线 MN 与 E 点的轨迹相切,求椭圆方程. 解:(1)设 () E x y , ,由 1() 2

AE AB AD =+ 知 E 为 BD 中点,易知 (222) D x y -, . 又 2AD = ,则 22(222) (2) 4x y -++=. 即 E 点轨迹方程为 221(0) x y y +=≠;

(2)设 1122() () M x y N x y , , , ,中点 00() x y , .

由题意设椭圆方程为 22

2214

x y a a +=-,直线 MN 方程为 (2) y k x =+. ∵ 直线 MN 与 E 点的轨迹相切,

1=

,解得 k =

将 y =(2) x +代入椭圆方程并整理,得 222244(3) 41630a x a x a a -++-=, 2

120222(3) x x a x a +==--∴ , 又由题意知 045

x =-,即 2242(3) 5a a =-,解得 28a =. 故所求的椭圆方程为 22

184

x y +=.

范文五：圆锥曲线-轨迹方程

圆锥曲线 轨迹方程

一知识要点

求轨迹的一般方法:

1.直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表 述成含 x,y 的等式, 就得到轨迹方程, 这种方法称之为直接法。 用直接法求动点轨迹一般有 建系 , 设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补” 。 2.定义法:运用解析几何中一些常用定义 (例如圆锥曲线的定义) , 可从曲线定义出发直接 写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。

3. 代入法:动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点 P(x,y)却随另一动点 Q(x’ , y ’ ) 的运动而有规律的运动,且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得,则可先将 x ’ ,y ’ 表示 为 x,y 的式子,再代入 Q 的轨迹方程,然而整理得 P 的轨迹方程,代入法也称相关点法。 4. 参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、 纵坐标之间的关系, 则可借助中间 变量(参数) ,使 x,y 之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方 程。

5. 交轨法:求两动曲线交点轨迹时, 可由方程直接消去参数, 例如求两动直线的交点时常用 此法, 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系, 然后消去参数得到轨迹方程。 可以说是参 数法的一种变种。 6. 几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质, 发现动点运动规律和动点满足的 条件,然后得出动点的轨迹方程。

7. 待定系数法:求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法。

8. 点差法:求圆锥曲线中点弦轨迹问题时, 常把两个端点设为 ) , (), , (2211y x B y x A 并代入圆 锥曲线方程,然后作差求出曲线的轨迹方程。 二复习要点

1.直接法是基本方法;定义法要充分联想定义、灵活运用定义;代入法要设法找到关系式 x ’ =f(x,y), y’ =g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参;交轨法 要选择参数建立两曲线方程再直接消参;几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

2.要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后,要注意挖去或补上一些 点等。

3求轨迹方程的方法很多,最常见的是直接法、定义法、代入法和待定系数法。要在平时的 训练中慢慢体会这些方法的应用。

三.巩固练习

1与两点 ) 0, 3(), 0, 3(-距离的平方和等于 38的点的轨迹方程是 ( ) () A 1022=-y x () B 1022=+y x () C 382

2

=+y

x

() D 382

2

=-y

x

2.与圆 2

2

40x y x +-=外切,又与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是

( )

() A 2

8y x =

() B 2

8(0) y x x =>和 0y =

() C 28y x =(0) x > () D 2

8(0) y x x =>和 0(0) y x =< 3.="" 双曲线经过原点="" ,="" 一个焦点是="" (4,0),实轴长为="" 2,="" 则双曲线中心的轨迹方程是="" (="">

A.(x-2)2+y2=1 B.(x-2)2+y2=9 C.(x-2)2+y2=1或 (x-2)2+y2=9 D.(x-2)2+y2=1(x≥ 2)

4. 过椭圆 4x 2+9y2=36内一点 P(1,0)引动弦 AB, 则 AB 的中点 M 的轨迹方程是 ( ) A.4x 2+9y2-4x=0 B.4x 2+9y2+4x=0 C.4x 2+9y2-4y=0 D.4x 2+9y2+4y=0

5. 已知点 P 是直线 2x-y+3=0上的一个动点 , 定点 M(-1,2),Q是线段 PM 延长线上的一点 , 且 |PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是 ( )

A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 6已知点 ) 0, 2(-A 、 ) 0, 3(B ,动点 2

) , (x PB PA y x P =?满足 ,则点 P 的轨迹是( )

() A 圆

() B 椭圆

() C 双曲线 () D 抛物线

7. 若 0|3|) 1() 3(2

2

=+---++y x y x ,则点 ) , (y x M 的轨迹是( )

() A 圆

() B 椭圆

() C 双曲线

() D 抛物线

8已知椭圆

116

252

2

=+y

x

的右焦点为 F , Q 、 P 分别为椭圆上和椭圆外一点, 且点 Q 分 FP 的比为 2:1,则点 P 的轨迹方程为 ( )

() A 14875)

6(2

2

=+

-y

x ()

B 148

75)

6(2

2

=+

+y

x ()

C 1144225)

6(2

2

=+

+y

x ()

D 11444225)

32(2

2

=+

+y

x

9.已知点 (, ) P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动,则点 (, ) Q x y xy +的轨迹是 ( )

() A 圆

() B 抛物线

() C 椭 圆 () D 双曲线

10P 是椭圆

5

9

2

2

y

x

+

=1上的动点,过 P 作椭圆长轴的垂线,垂足为 M ,则 PM 中点的轨迹

方程为: ( ) A 、

15

942

2

=+

y

x

B 、

15

49

2

2

=+

y

x

C 、

120

9

2

2

=+

y

x

D 、

5

36

2

2

y

x

+

=1

11、已知 M (-2, 0) , N (2, 0) , |PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是: ( ) A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支

12、若一动圆与两圆 x 2+y2=1, x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为: ( )

()

A 2

2

19

4

x

y

+

= ()

B 2

2

19

4

y

x

+

= ()

C 2

2

19

4

x

y

-

= ()

D 2

2

19

4

y

x

-

=

13.抛物线 x y 42

=经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 ( )

() A 12

-=x y

() B ) 1(22

-=x y () C 2

12

-

=x y

() D 122

-=x y

14.已知椭圆

2

2

19

4

x

y

+

=的左、右顶点分别为 1A 和 2A ,垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆

的两个交点分别为 1P 和 2P ,其中 1P 的纵坐标为正数,则直线 11A P 与 22A P 的交点 M 的 轨迹方程 ( )

()

A 2

2

19

4

x

y

+

= ()

B 2

2

19

4

y

x

+

= ()

C 2

2

19

4

x

y

-

= ()

D 2

2

19

4

y

x

-

=

15. 双曲线

2

2

14

3

x

y

-

=关于直线 20x y -+=对称的曲线方程是 16.倾斜角为

4

π的直线交椭圆

14

2

2

=+y

x

于 B A , 两点,则线段 AB 中点的轨迹方程是

17.P 在以 F 1,F 2为焦点的双曲线

19

16

2

=-

y x

上运动 , 则 ΔF 1F 2P 的重心 G 的轨迹方程

是 .

18. 已知圆的方程为 x 2+y2=4,动抛物线过点 A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线 , 则抛物线的焦 点的轨迹方程是 .

19(05重庆卷 ) 已知 ??

?

??-0, 21A , B 是圆 F :42122

=+??? ??-y x (F 为圆心 ) 上一动点, 线段 AB

的垂直平分线交 BF 于 P ,则动点 P 的轨迹方程为

20.点 M 与点 (4,0) F 的距离比它到直线 :50l x +=的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是 21. 一动圆与圆 221x y +=外切, 而与圆 22

680x y x +-+=内切, 则动圆圆心的轨迹方程

是 22.已知椭圆

13

4

2

2

=+

y

x

的两个焦点分别是

F 1, F 2, P 是这个椭圆上的一个动点,延长 F 1P

到 Q ,使得|PQ |=|F 2P |,求 Q 的轨迹方程是 23、经过抛物线 y 2=4x的焦点的弦中点轨迹方程是 24、 倾斜角为

4

π的直线交椭圆

4

2

x

+y2=1于 A 、 B 两点, 则线段 AB 中点的轨迹方程是 。

25动圆 22

:(1) 1C x y -+=,过原点 O 作圆的任一弦,求弦的中点的轨迹方程.

26线段 AB 的两端点分别在两互相垂直的直线上滑动,且 ||2A B a =,求 AB 的中 点 P 的轨迹方程(直接法)

27(07北京文) (本小题共 14分)如图,矩形 A B C D 的两条对角 线相交于点 (20) M , , A B 边所在直线的方程为 360x y --=点

(11) T -, 在 A D 边所在直线上.

(I )求 A D 边所在直线的方程; (II )求矩形 A B C D 外接圆的方程;

(III )若动圆 P 过点 (20) N -, ,且与矩形 A B C D 的外接圆外切, 求动圆 P 的圆心的轨迹方程.

28(06上海) 、 (本题共有 3个小题,第 1小题满分 4分,第 2小题满分 6分,第 3小题满 分 6分。 )

已知在平面直角坐标系 xO y 中的一个椭圆, 它的中心在原点,

左焦点为 (0) F , 右顶点

为 (2,0) D , 设点 11,

2A ??

??

?

. (1)求该椭圆的标准方程;

(2) 若 P 是椭圆上的动点, 求线段 P A 中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 , B C ,求 A B C ?面积的 最大值。

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