范文一：扭转变形

圆轴扭转变形计算及其工程意义

姓名：王晓东 指导老师：刘科元

作者单位:中国矿业大学银川学院机电系

摘要:圆轴本身的特点是容易绕自己的轴线旋转或在一个平面上滚动，因此轴的

特点在机械传动上发挥了很大的优势。根据工作中的需要，对轴的设计要求要有标准的尺度把握。而轴是用来旋转的，其旋转时定会有一定的变形，这变形就是扭转变形。

关键词: 扭转；扭矩和扭矩图；应力和变形；强度和刚度 引言：

圆轴运用在机床，运用在汽车上等不同的机械上，它的用途都依靠于一对力偶工作。这对力偶大小相同方向相反作用在轴的两端。它们所产生的扭转变形，并不是简简单单的，受力情况是复杂的。本篇小论是对扭转变形一小部分的分析。

（一）扭转

圆轴在工作时以转动的方式带动另一段的旋转，另一端阻挠带动给其反作用

力，瞬间两端产生一对大小相等方向相反且垂直于轴线的力偶。在这对力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动，产生扭转变形。

（二）扭转时的内力——扭矩、扭矩图

1、扭矩

作用在轴上的外力偶矩称为扭矩。常用T表示。轴受到力偶矩作用时，轴受到力作用，形状发生改变即扭转变形，如下图所示

在工程中，作用于轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给出工作中轴所传递的功率P和转速n。因此需要运用功率和转速来计算外力偶矩。

即

T=9550

P

Pn

的单位是千瓦(Kw)、n的单位是转／分(rmin)、T的单位是牛顿?米(N?m)

2．扭矩图

在实际生产中，同一根轴上安装多个相同或不同的齿轮来传递动力。这些齿轮之间的力偶矩旋转方向可能不同，因此会对轴产生不同形式的扭转。此时，需要对这根轴所受到的扭矩进行分析，方可做出适用于生产的轴。在分析一根轴上分扭矩时利用扭矩图能够方便有效地解决轴上扭矩随横截面位置变。

例 一传动轴的计算简图如下，作用于其上的外力偶之矩的大小分别是：

M

a

=2kN?m

，Mb=3.5kN?m，Mc=1kN?m，M

d

=0.5kN?m

转向如图。

解：首先画出扭矩直角坐标系，然后以轴的一段为固定端，从自由端考虑。以右手定则为准。D点，四指指向旋转方向，拇指垂直于四指。拇指背离固定端，为正，其扭矩图画在x轴上方为正，然后判断C点，C点扭矩为正，与D点扭矩相加为1.5kN?m。B点扭矩为负于C点扭矩相加为负。所以画在x轴下方。

通过对例题分析在此类问题上用右手定则来判断，即卷曲右手的四指与扭矩转向相同，大拇指与四指垂直（即垂直于横截面）若指向外正，指向里为负。

（三）应力和变形

应力是力偶矩作用在圆轴上产生的。应力即是切应力，力偶为倆个切向力。 实心轴和非薄壁轴受扭时，其横截面上的切应力并不是沿半径均匀分布的。因为切应变γp在圆轴横向半径上分布并不是处处相等。因此要确定切应力在横

截面的上变化规律。下面按照几何关系、物理关系以及静力学关系这三个方面来具体分析圆杆受扭矩时横截面上的应力。 1.应力

1.1几何方面

利用平面假设，即等值圆杆受扭时，其横截面上任意一根沿半径仍保持为直 线，只是绕圆心旋转了一个角度。

该图为从受扭的等直圆杆中取出的长为dx的一个微段（放大了的）。根据平面假设容易看出，当微段左右两个横截面的相对扭转角为dΦ时，半径为ρ的任意圆柱面上切应变为：

γ式中

dφdx

ρ

≈tan

γ

ρ

=

ρdφ

dx

=ρ(

dφdx

)

为扭转角φ沿杆件长度方向的变化率。按照平面假设，它在一定的横截

面处是一个常量。由此可知，等直圆杆受扭时，γp与ρ成线性关系。 1.2物理方面

根据剪切胡克定律τ=Gγ可知，只要等直圆轴受扭时切应力不超过材料的剪切比例极限，即所谓杆件在线性弹性范围内工作。

γ

ρ

=ρ

dφdx

τρ=Gγ

?dφ?

∴τρ=Gρ ?

?dx?

上述公式表明，受扭矩的等直圆杆在线性弹性范围工作时，横截面上的切应力在同一半径ρ的圆周上各点处大小相同，但它们随ρ作线性变化，同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处如图所示

至于这些切应力的方向，均垂直于各自所对应的半径。 1.3静力学方面

τρ=Gρ

?dφ?

此式虽然表达了等直圆杆受扭时横截面上切应力τ?，?dx?

dφdx

ρ

随ρ的未

变化规律，但因为尚未把与横截面上的扭矩Ｔ联系起来，所以在一般情况下

还不能利用此式来计算τρ的大小。为此需利用静力学关系：

T=

?(τρdA)ρ

这里，τρdA是作用在横截面上微面积dA范围内

的切应力所构成的切向力，它距圆心的距离为ρ将τρ=Gρ

dφdφ??GρdAρ=G ??A?dx?

dx

2

?dφ?

?代入上式中得：

?dx?

T=

?ρ

A

dA

该式中积分表示的是，整个横截面积A范围内每个微面积dA乘以它到圆心的距离平方之总和。因此它是横截面积的一个几何性质，称之为横截面积的极惯性矩。 常用Iρ来表示即：

Iρ=

?ρ

A

2

dA

将此式代入T=G

dφdx

?ρ

A

2

dA

中，得

d?dx

=

TGI

ρ

这样就把将

dφdx

与横截面上的扭矩T联系起来了

dφdx

=

TGI

ρ

代入

τ

ρ

=Gγ

ρ

?dφ?=Gρ ?

?dx?

τ

ρ

=

TρIρ

横截面周边处的切应力，也就是横截面上的最大切应力τ截面半径）

τmax=

TRIρ

max

，所以此时ρ=R（横

为了简便，常把上式中的

Iρ以

R

W表示，从而有

p

τ

这里W

=

max

=

T

W

p

p

Iρ称为抗扭截面系数。它是横截面的一个几何性质，其单位常量是

R

4

mm

3

或m。

2.及惯性矩Ip和Wp抗扭截面系数

及惯性矩Ip=

?

ρ

2

A

dA此积分尽与横截面积的几何量有关，Iρ是从微小薄圆

环积起的。图中薄圆环面积，dA=2πρdρ。因为dρ非常小，所以微环面积可近似取为2πρdρ。因此对于实心圆截有：

d

Iρ=

?

2

2π

ρ

3

dρ=

π

W32

4

p

=

I

ρ

p

=

I

d2

p

=

π

3

16

对于外直径为D，内直径为d的空心圆截面有：

D

Iρ=

2

d2

2π

ρ

3

dρ=

π(D-d

4

4

32

)

W

p

=

I

D

p

=

π(D-d

4

4

2

16D

)=πD(1-α)

3

4

16

注意上述α=

dD

44

,且该公式适用于求圆轴表面最大切应力。若求圆轴横截面上某

πd32

4

一点即r

，但是W

p

=πd

4

32r

。

圆轴发生扭转变形时，，变形状态是通过扭转角φ来描述。 前面以求得扭转角φ沿杆长变化率为横截面的相对扭转角φ可如下计算：

φ=?dφ=

l

dφdx

=

TG

Iρ

，其中dφ代表相距dx的两

?

l

TG

Iρ

由上式积分公式得若

TG

Iρ

为常量，得φ=

TlG

Iρ

，φ的单位为rad。由于φ与GIρ

成反比，即GIρ越大则φ越小。GIρ称为扭转刚度。在工作的时侯若GIρ越大，就说这根材料的刚性越好，在工作时不易变形。

（四）强度及刚度

1.强度

圆轴受到扭矩作用时，发生传动。在传动时，轴必受到力的作用，有力必有破坏作用。因此作用在转轴上的扭矩不能超过轴上最弱点所拥有的极限强度。即不超过材料许用切应力[τ]。最弱点所能够承受的极限强度为最大切应力τ此工作中的所施加的最大切应力τ 对于等截面杆而言，τ=

TR

max

因

'

max

≤τ

max

，所以τ

max

为[τ]。

I

，因为及惯性矩Ip是一根轴的几何性质，是一

p

个不变的常量。因此，R越大，τ越大。所以轴上最弱点必在该轴的横截面边缘处。故一根轴的强度条件为：

W

maxp

≤[τ]

在静载荷作用在下，同一种材料在纯剪切应力的状态下的强度与单向拉伸应力状态下的强度之间存在着一定的关系。因而许用切应力的值[τ]与许用拉应力

[σ]之间存在一定的关系，例如塑性材料，[τ]=0.5[σ]~0.6[σ]

2.刚度条件

强度条件涉及到材料的抗扭强度，但当其变形扭转角度超过材料变化范围，必给工作带来影响。因此需要求出极限值。从而有刚度条件：

G

max

I

?

180

p

π

≤[θ]

T

单位为牛?米(N?m)、G单位为帕斯卡(Pa)、Ip单位为米4max

(m)

4

（五）总结

扭转变形在圆轴设计时是非常必要的。因为涉及到轴材料选取，轴形状的设计。此篇扭转变形小论为圆轴设计只提供了一小部分计算公式，但是这部分公式在机械设计时是不可忽略的一部分。扭转使一根轴发生了偏离轴中心的变形，轴中心位置变化必须使其在应力、强度、刚度上都是标准化的。无论怎么变化，其应力、强度、刚度都在其变化范围之内。在实际工作中，扭转变形变化是微量的，但这种微变会发生质的变化。因此，圆轴的扭转在机械设计中占有重要的意义。

参考文献

【1】《工程力学》（第二版），西南交通大学应用力学与工程系编，高等教育出

版社，2009（1）。

【2】《工程力学》，韩江水、屈均利主编，中国矿业大学出版社，2009（1）。

范文二：扭转变形

第四章 扭转变形

一、授课学时：4学时

二、重点与难点：重点：圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度，圆轴扭转变形时

的刚度和变形（相对扭转角）计算。

难点：扭转剪应力推导过程（共分三步）

重点处理：通过例子，关键理解τmax 是指整个轴上的T max 面上的最外边缘点（等截面）；对?T 变截面可用τmax = W ?p ??；严格区分刚度和扭转角的区别 ??max

N 的推导过程，和薄壁圆筒横截面上τ的推导，让学生思考可A 难点处理：结合、对比σ=

能采用的方法，然后在讲解。

三、主要内容：

1、 扭矩和扭矩图

扭转变形 受力特点：杆件的两端作用着大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆件轴线的

力偶

变形特点：杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动

N 外力偶矩的计算 M =9549?(N . m ) n

扭矩计算仍采用截面法，符号规定：

若按右手螺旋法则把T 表示为矢量

当矢量方向与截面外法线方向一致时，T 为正；反之为负

任一截面的扭矩等于其一侧所有外力偶矩的代数和

T =

2、薄壁圆筒的扭转

∑M i 一侧

试验前后比较现象：

结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度 γ 。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。

A τ?d A ?r 0=T

∴ τ?r 0?A d A =τ?r 0?2π r 0?t =T ??

∴ τ=T T =2π r 02 t 2A 0 t

3、剪应力互等定理：

在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平

面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。

τ=τ'

4、圆轴扭转变形的剪应力分布和变形计算

圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不

变，半径保持为直线；且相邻两截面间距离不变。

d φ dx

d φ b 物理关系 τρ=Gγρ=Gρ dx a 变形几何关系 γρ=ρ

c 静力关系 T =?A ρτρdA =?ρ2G A d φd φ=G dx dx ?A ρ2dA

R πR 4πD 4T 22= τρ= ρ I p =?ρdA =2π?ρd ρ=A 0232I p

τmax =

I p

R T T R =I p W t 其中W t =，称为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。

5、扭转强度和刚度分析

为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力[τ]，即 τmax =T ≤[τ] W t

根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度

计算问题。

圆轴扭转时的刚度条件

为了消除长度的影响，用d φ/dx 表示扭转变形的程度，令

?=T d φT ?max =max ≤[?] =dx GI p GI p

距离为l 的两个横截面之间的相对扭转角为

φ=d φ=l ?T ?l GI p dx

对于阶梯轴（各段的极惯性矩不同）或轴上有几个外力偶作用时，应分段计算每段的饿扭转角，然后求代数和，即为两端面间的扭转角

φ=φ1+φ2+ =∑i =1n T i l i GI pi

例1 阶梯圆轴AB 两端固定（如图所示），受外力偶矩m=4.5kN m 作用，若d1=70mm, d2=55mm, l 1=1m, l 2=1.5m, 材料的G=80GPa,[τ]=60MPa，[θ]=1.5 , 试进行强度和刚度校核。

解: (1)

m x = 0 mA + mB – m =0

(2) 变形几何关系 ΦAB =ΦAC +ΦCB =0∑

(3) 物理关系 ΦAC = T 1l 1m l T l m l =A 1ΦCB =22=-B 2 GI p 1GI p 1GI p 2GI p 2m l m l A 1-B 2=0代入几何关系 GI p 1GI p 2

（4）与平衡方程联立解得支反力矩为

ml 1I p 2ml 2I p 1m A ==3. 58kN ?m m B ==0. 92kN ?m l 1I p 2+l 2I p 1l 1I p 2+l 2I p 1

(5) 强度校核 分段计算最大剪应力

T 13. 58?103

AC 段 τ1max ===53. 2MPa π?703W t 1 16 T 20. 92?103

CB 段 τ2max ===28. 1MPa 3π?55W t 2 16

轴的最大应力为 τmax =53. 2MPa <>

（6）刚度校核 分段计算单位长度扭转角

AC 段 I p14πd 1π?704===2. 36?106mm 4

3232

T 180?1=1?GI p 1π

πd 24π?554

CB 段 I p2===8. 98?105mm 4

3232

?2=T 2180?GI p 2π=

-0. 92?180 =-0. 73/m 9-780?10?8. 98?10?π

轴的单位长度扭转角最大值

?max =1. 08 /m <[θ]=1. 5="">

故该轴满足强度刚度条件

6、圆柱密圈螺旋弹簧的应力和变形

τmax = ?4c -10. 615?8PD 8PD =k +?33πd c ?πd ?4c -4D 弹簧指数 d k =

4c -10. 615+ 曲度系数 4c -4c

弹簧的变形

弹簧的变形是指弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，沿轴线方向的缩短量（或伸长量），用λ表示

在弹性范围内，压力P 与变形λ成正比。

W =1P λ 2

128P 2D 2

2u ==ρ 2G G π2d 8

U=udV V τ2?

128P 2D 2

U =?udV =V G π2d 8?2π0d θ?d /20ρd ρ?3n πD 04P 2D 3n ds = Gd 4

8PD 3n P Gd 4

= 其中 C =U=Wλ= 43C Gd 8D n

7、矩形截面杆的扭转

整个截面上的最大剪应力，发生在矩形截面长边的中点

式中 τm a x =T αhb 2α为与比值h/b有关的系数，其值可从表4-1中查得

' 短边中点的剪应力τmax 是短边各点的剪应力的极值。

' =γτmax τmax

式中 γ为与比值h/b有关的系数，其值可从表4-1中查得

杆两端相对扭转角φ

φ=Tl Tl = （4-24） G βhb 3GI t

3 式中 l 为杆的长度 I t =βhb 可称为截面的极惯性矩 G I t 为杆件的抗扭刚度

β为与比值h/b有关的系数，

8、薄壁杆件的自由扭转

（1）开口薄壁杆件的自由扭转 τi =3T i Tt i = h i t i 2I t

从上式看出，当t i 为最大值时，剪应力τi 也最大。所以，整个截面上最大剪应力发生在厚度最大的狭长的长边中点处，其值为 =τm a x Tt max I t

（2）闭口薄壁杆件的自由扭转

横截面上任意点处的剪应力与壁厚的乘积为一常数C=τt ，称为剪力流

=τm a x C t min =T 2ωt min

例2、 尺寸相同的开口和闭口圆环形薄壁杆件，如图所示。试比较两者的最大剪应力

和扭转角。

解：（1）对环形开口薄壁杆件可以把它展开拉直成狭长矩形，，按狭长矩形（h =πdt ）计算。最大剪应力和扭转角为

τ1max =3Tt i 3T T 3T = ?==1233GI t G πdt h i t i πdt

2 （2） 对环形闭口薄壁杆件， 其截面中线围成的面积ω=πd /4，，中线长度

s =πd 。最大剪应力和扭转角为

Ts T T τ2max = ?2== 2ωt 4G ω2t G πd 3t

（1） 比较两者最大剪应力和变形

τ1max 3d ?13d 2

==2 τ2max 2t ?24t

由于薄壁杆件杆件的厚度t 远小于平均直径d ，所以开口薄壁杆件的应力和变形远大于同样情况下的闭口薄壁杆件的应力和变形。

范文三：扭转变形是双盘起盘的关键

作者：辛集学子

温州刘师傅自称文化低、不懂理论。可他在qq视频上给我演示了一段短视频，他指出8点（腕部）以前上翘那段扭转变形是实现双盘的保证 。区区几分钟，叫我茅塞顿开，多年不得要领的难题有了答案，这不正是双盘鹰起盘的关键吗？联系到保定jpc老师大概八、九年前说的双盘“骨架粗点、蒙面紧点、重量大点、对称点”这些都是为了帮助容易实现这一扭转的。再联系到lcy老师说的倪志辛老师的草原鹰、鹞子容易双盘，他举得其他几个风筝实例也是很近似的结构。放过双盘鹰的估计也都有这个体会。由于出现于不同的年代，（记得倪的年代要早八、九年）现在的温州刘氏盘鹰比它更具有易扭转变形的特点。最近学习了上海飞盘老师的“盘鹰奥秘”，他指出：对于双盘鹰来说主要是利用盘鹰倾斜时产生的引角差所带来的升力差，加上快速收线的动作，使其产生旋转的初始动力，初始动力越大越容易产生盘旋。而刘氏风筝这种腕部结构正的是在放飞时容易扭转产生大的初始动力。所以他轻松双盘，就在情理之中

黄的部分是直的刚性好，不易变形。变形集中到红圈那儿，效果好

范文四：第10讲——圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转

材 料 力 学 讲 义

第10讲 教学方案

——圆轴扭转时的变形和刚度条件

非圆截面杆的扭转

基 本 圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变形 内 容

教 1、掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。 学 2、掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。 目 3、了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。 的 4、了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。

重

点 本节重点:圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算～刚度条件的建、 立及相关计算。

难 本节难点:对圆轴变形程度的理解。

点

1

第 十 讲 ?4-6 圆轴扭转时的变形和刚度条件

扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式(4-10)

Tdx d,,GIp

所以

lTTl(rad) (4-17) ,d,dx,,,,,l0GIGIpp

GIGI式中称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。越大，则扭转角越小。 ,pp

Td,,让，为单位长度相对扭角，则有(rad/m) ,,,dxGIp

T扭转的刚度条件: (rad/m) (4-18) ,,,,,,maxGIP

T180或 (?/m) (4-19) ,,,,，,,maxGI,P

n,500N,300例4-3 如图4-13的传动轴，r/min，马力，马力，N,500N,200312

,,G,80,,马力，已知MPa，?/m，GPa。求:确定AB和BC段直径。 ,,70,,1

解: 1)计算外力偶矩

N1m,7024,7024(N?m) An

N2m,7024,2809.6(N?m) Bn

N3m,7024,4214.4(N?m) Cn

T作扭矩图，如图4-13b所示。

d2)计算直径

AB段:由强度条件，

2

材 料 力 学 讲 义

T16T ,,,,,,,max3Wd,t1

16T16，702433 (mm) ,,,80d16,,,,,，70，10由刚度条件

,T180 ,,,,，,,4d,,1G32

32T，18032，7024，18044d,,,84.6 (mm) 1292,,,G[]80，10，，1

取 mm d,84.61

BC段:同理，由扭转强度条件得 mm d,672

由扭转刚度条件得 mm d,74.52

取mm d,74.52

例4-4 如图4-14所示等直圆杆，已知m,10KN?m，试绘扭矩图。 0

解:设两端约束扭转力偶为， mmAB

,m,0(1)由静力平衡方程得 x

m,m，m,m,0 A00B

(a) m,mAB

此题属于一次超静定。

(2)由变形协调方程(可解除B端约束)，用变形叠加法有

3

第 十 讲

,,,,,，,,0 (b) BBBB123

(3)物理方程

mam2am3a,,，,,,00B，， (c) ,,,,,,BBB123GIGIGIppp

由式(c)，(b)得

m,am,2am,3a00B ,，,,0GIGIGIppp

即

,m，2m,3m,0 00B

并考虑到(a)，结果

m0mm,, AB3

假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c所示。

?4-7 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算

,,,5螺旋弹簧如图4-15a所示。当螺旋角时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面

内1(弹簧丝横截面上的应力

如图4-15b以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面1Q4P,,,,上剪力由引起的剪应力，而且认为均匀分布于横截面上(图4-15c);若将Q12A,dT16T8PD,T簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由引起的最大剪应力(图4-15d) ,,,233,,Wdd1tT,PD，扭矩。，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。Q,P2

4

材 料 力 学 讲 义 所以在簧丝横截面内侧A点有

8PDd8PD,,,,, (4-20) ,，,，,1k,,max1233,,2Ddd,,

dk,1，其中 (4-21) 2D

d01当，略去剪应力所引起的误差，可用近似式 ,,,,501D10

8PD,, (4-22) max3,d

d对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还D要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。

密圈弹簧丝的强度条件是

,, ,,, (4-23) max

式中:,,—弹簧丝材料的许用剪应力 ,

2. 弹簧的变形

,设弹簧在轴向压力(或拉力)作用下，轴线方向的总缩短(或伸长)量为，这是弹簧的整

1W,P,体的压缩(或拉伸)变形。如图4-16a、b，外力对弹簧做功。簧丝横截面上，距圆心2,为的任意点的扭转剪应力为

5

第 十 讲

1,PD,,T16PD2, (a) ,,,,44I,,ddP

32如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是

2222,,128PD, (b) ,,u28,2GGd弹簧的变形能应为

(c) U,udV,V

dV,dA,dsS,,D,n此处，其中，弹簧丝总长为，n为弹簧有效圈数。 dA,2,,,d,

于是积分式(c)得

22223d128PD4PDn,2U,Dn,2d, (d) ,,,,284,0GdGd,

1U,W,P,由，则得到 2

338PDn64PRn (4-24) ,,,44GdGd

4GdDR,式中是弹簧圈的平均半径。若引入记号 c,328Dn则式(4-24)可写成

P,, (4-25) c

,,代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见与成反比，越大则越小。 ccc

R,59.5mmd,14mm例4-5 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径，簧丝直径，有效圈

n,5G,80GPaP,3数。。弹簧工作时受KN，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力(略max

去弹簧曲率的影响)

解:由变形公式求最大压缩量

33,3364PRn64，2.5，10(59.5，10)，5,3,,, ,54，10m,54.8mm49,34Gd80，10(14，10)

6

材 料 力 学 讲 义

考虑剪切力时

3,3d8PD148，2.5，10，2，59.5，10, ,(1，),(1，) max3,332D4，59.5,d,(14，10)

,1.059，276,292MPa

'd1,,276MPa 不考虑剪力影响时，相差5.9% 。由于 ，还应考虑曲率影,11.8,maxD10

响，此处从略。

?4-7 非圆截面杆的扭转问题

工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如图4-17a。

杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”(图4-17b)。扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下(图14-7c):

1)边缘各点的剪应力与周边相切，沿周边方向形成剪流。 ,

,2)发生在矩形长边中点处，大小为: max

7

第 十 讲

T2 ， W,,hb (4-26) ,,maxkWk

次大剪应力发生在短边中点，大小为

,,v,1max

四个角点处剪应力,,0。

Tl3)杆件两端相对扭转角 ， ,,,GIk

2I,,hb (4-27) k

h其中系数与有关，可查表(见有关参考书)。 ,,,,vb

注意到:对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。

h1,10,,,,,当时，截面成为狭长矩形，此时，若以3b

表示狭长矩形的短边长度，则式(4-26)化为

T,,,max,W,k (4-28) ,Tl,,,,GIk,

1123W,h,I,h,其中，，此时长边kk33

上应力趋于均匀，如图4-17d所示。

在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束(如支承处，加

载面处等)。此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横

截面上除扭转剪应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示:

(1)对薄壁截面(如型钢)将引起较大的正应力。有关内容可参“开口

薄壁杆件约束扭转”专题;

(2)对实心截面杆件(如矩形，椭圆形)正应力一般很小可以略去，仍

按自由扭转处理。

8

材 料 力 学 讲 义

例4-6 某柴油机曲轴的曲柄截面?—?可以认为是矩形的，如图4-18。在实用计算中，

其扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。若，，已知曲柄所受扭矩 b,22mmh,102mm

为T,281N,m，试求这一矩形截面上的最大剪应力。

解:由截面?—?的尺寸求得

h102,,4.64 b22

查表，并利用插入法，求出

a,0.287

于是得

T281,,,,19.8MPamax22,3,3ahb，，0.287，102，1022，10

9

第 十 讲

10

范文五：谐波齿轮传动中柔轮扭转变形产生的回差分析

谐波齿轮传动中柔轮扭转变形产生的回差分析

潘 锋 ,董海军 ,孙 敬

()西北工业大学 机电学院 ,西安 710072

潘 锋

摘 要 :柔轮扭转变形是影响谐波齿轮传动系统回差的主要因素之一 ,先行理论计算公式仅计及柔

轮的薄壁圆筒部分的弹性扭转变形产生回差的影响 ,因此存在较大的误差 。笔者基于弹性力学理

论 ,综合考虑薄壁圆筒和圆盘部分的弹性变形 ,导出了柔轮弹性扭转变形产生的回差的理论计算公

式 ,并通过实例用 AN SYS模拟仿真 ,验证了理论计算公式的准确性 。研究表明 :柔轮圆盘部分的弹

性变形对系统回差的影响不容忽视 ,且随着柔轮筒体径长比日益增大的发展趋势 ,影响程序将越来

越大 。

关 键 词 :谐波齿轮 ;柔轮 ;回差 ;弹性变形

中图分类号 : TH132. 43文献标识码 : A( ) 文章编号 : 1003 28728 2009 06 20811 203

Ana lysis of Backla sh from Flexspline Torsiona l

D eforma tion in Harm on ic Gear ing

Pan Feng, Dong H a ijun, Sun J ing

( ) Schoo l of M echa tron ic s, No rthwe ste rn Po lytechn ica l U n ive rsity, X i′an 710072

A b stra c t: F lexsp line to rsiona l defo rm a tion is one of the m a in influenc ing fac to rs on back la sh in ha rmon ic gea ring. In fo rm e r theo re tic fo rm u la, on ly the flexib le to rsiona l defo rm a tion of th in2wa lled cylinde r of flexsp line wa s taken in2 to accoun t fo r the ca lcu la tion of back la sh, so the re is m uch mo re e rro r. The ca lcu la tion fo rm u la of back la sh re su l2 ting from to rsiona l defo rm a tion wa s p re sen ted in th is p ap e r by con side ring flexib le defo rm a tion of th in2wa lled cylin2 de r and d isk ba sed on the theo ry of e la stic ity, and it is comp a red w ith the AN SYS sim u la tion by examp le. The theo2 re tic fo rm u la is co rrec t. The re sea rch show s tha t the d isk′s e la stic defo rm a tion of flexsp line canno t be neglec ted in ca lcu la ting the flexsp line′s back la sh re su lting from e la stic defo rm a tion. W ith the inc rea sing of the flexsp line′s ra tio of rad iu s to length, it ha s becom e mo re and mo re influen tia l.

Key word s: ha rmon ic gea ring; flexsp line; back la sh; e la stic defo rm a tion

谐波齿轮传动具有结构紧凑 、传动比大 、承载能 :当输入轴开始反向回转后到输出 置的回差指的是

力高 、侧隙小甚至可以达到无侧隙传动 、同时啮合齿 轴亦跟着反向回 转 时 , 输出 轴在 转 角上 的滞 后 量 。 对数多 ,特别是可以向密封空间传递运动和动力等 在现代进给驱动及一些专用精密传动装置中 ,对于 许多独特的优点 。目前 ,谐波齿轮传动已被广泛应 提高运动精度 、减小回程误差的要求愈来愈高 。与 用于各个工业领域 。但是 ,由于谐波齿轮传动装置 一般齿轮传动的回差计算不同 ,由于谐波齿轮传动 的零部件制造和装配误差 、波发生器部件和支承中 中存在可产生可控变形的柔轮 ,因此研究柔轮弹性 的间隙 、柔轮及其他零件的弹性变形等 ,在传动过程 变形对谐波齿轮传动回差的影响就显得相当重要 。 中 ,输出轴的转角总会存在误差 。谐波齿轮传动装 文献 [ 1 ]在前苏联学者研究基础上 ,在谐波齿轮传 动回差计算中 ,柔轮扭转变形产生的影响进行了系收稿日期 : 2008 209 211 [ 1 ] 统的研究 。( ) 作者简介 :潘 锋 1981 - ,硕士研究生 ,研究方向为机械设计及理

但以往的研究中 ,均没有考虑柔轮中圆筒底部 () 论 , p anfeng1113 @163. com; 董海军 联系人 , 副教授 、博

() 士 , dongh j@ nwp u. edu. cn 分 简称圆盘 的弹性变形对整个柔轮结构的弹性

机 械 科 学 与 技 术第 28卷 812 扭转变形的影响 。本文以弹性力学理论为基础 ,通 过系统的分析及计算 ,导出了各类柔轮结构的弹性 扭转变形产生回差的计算公式 ,并通过实例用 AN 2

SYS模拟仿真 ,其模拟结果再与本文所得出的理论 计算公式的计算结果进行对比 ,通过误差分析来验 证理论计算公式的准确性 。分析验证结果表明 ,本 文导出的柔轮回差理论计算公式较准确 ,可作为设 计高精度谐波齿轮传动回差分析的理论依据 。 1 柔轮扭转变形产生回差的理论分析

圆柱形柔轮是谐波齿轮传动中最常用的一种 。 根据其与输出轴连接方式的不同分为 :整体式柔轮 、 端部采用螺钉与轴连接的柔轮结构 、齿式连接的柔 图 1 薄壁圆盘受力

轮结构 、径向销连接的柔轮结构和牙嵌式连接的柔

[ 1 ] 其沿环向的位移为 u 轮结构 。以下根据柔轮结构的不同 ,将柔轮分为 θ 2 τ两类 。 rr c00 1 1 )( 3 ( ) u= - θ 2 22G r r( ) 1 薄壁圆筒式结构的柔轮 齿式连接的柔轮ci

() τ式中 : u为沿环向的外边界位移 m ; 为在 r = r θ 结构 、径向销连接的柔轮结构 0 co2 () () 的圆角上作用分布剪力 N /m; r为半径变量 m ;和牙嵌式连接的柔轮结构属于此种结构形式 。 柔

r为圆环的外半径 (m ) ; r为圆环的内半径 (m ) 。 轮在载荷作用下的弹性扭转变形所引起的回 co ci [ 2 ] T 差值 ,可用现有的材料力学公式计算 ,即( ) τφ将 = 及 r = r代入式 3 中 , 再由 0 co 22δ π2r 2 T lΔ φ = 2= ( )1 = u/ r得薄壁圆盘弹性变形量的计算式为 GJθ co p

T 1 1 Δ式中 : 为柔轮在载荷作用下的弹性扭转变形所引 φ ( ) 4 = - 2 2 2 πδ4G rrci co ( ) φ( ) 起的回差值 rad;为柔轮扭转角 rad; l为柔

φ( ) 式中 : 为柔轮圆盘部分的弹性扭转角 rad。 2 () () 轮 圆筒长度 m ; T为加在圆盘上的扭矩 N?m ; G

综上所述 ,柔轮在载荷作用下的弹性扭转变形 为

4 3 Δ所引起的回差值为 ( ) 柔轮材料的切变模量 Pa ; J为柔 轮的 极 惯性 矩 (m) , J = 2π rδ, r 为薄壁圆筒的平均半径 ,δ为 p p m m 2 T l T 1 1 圆盘壁厚 。 (φφ) Δ ( )5 = 2 += + - 1 2 2 2 πδGJ2G p r r c i co ( ) 2 薄壁圆筒 +圆盘式结构的柔轮

整体式柔轮 、端部采用螺钉与轴连接的柔轮结 2 计算实例 构属于此种结构形式 ,其中端部采用螺钉与轴连接 [ 5 ] 以 B 3 2160 型柔轮 为例 ,如图 2 所示 ,柔轮的 的柔轮结构最为常见 。此种结构的柔轮在载荷作用 5 材料为 20C r2N i4 , 弹形模量为 211 ×10M Pa, 泊 松 下的弹性扭转变形引起的回差 ,等于薄壁圆筒弹性 比为 013。[ 1 , 3 ] 变形与薄壁圆盘弹性变形所引起的回差之和 。

对于薄壁圆筒部分的弹性扭转变形 ,其计算可

( ) 直接依据式 1 进行计算 ,即

T l φ( )= 2 1GJ p

φ( ) 式中 : 为柔轮圆筒部分的弹性扭转角 rad。 1

对于薄 壁 圆 盘 弹 性 变 形 , 其 计 算 可 依 据 文 献[ 4 ]的结论 ,即圆环在内边界上被固定 ,在圆环外边

τ界上作用分布剪力 , 如图 1所示 。 0

图 2 柔轮结构简图

第 6期 潘 锋等 :谐波齿轮传动中柔轮扭转变形产生的回差分析 813

δ 结构参数如下 : 壳体壁厚 = 116 mm , 齿圈处

厚度 δ= 2 mm ,壳体长度 L = 160 mm ,齿圈宽度 b 1 R

= 25 mm ,齿圈前沿宽度 b= 8 mm , 齿圈与壳体连 1

接处过渡圆角 R= R= 12 mm ,底部过渡圆角 R 1 2 3

= 315 mm ,内径 d = 160 mm ,杯底处内径 d= 80 mm。 1

( ) 1 理论计算

此型号的柔轮结构属于薄壁圆筒 +圆盘式结构

( )的柔轮 ,直接应用式 5进行求解即可 ,根据此种型号

[ 6 ] 的柔轮所能传递的载荷 ,取扭矩 T = 800 N ?m ,即

E 10 = 810769 ×10Pa G = ( γ)2 3 1 +

- 4 T l φ218389 ×10 rad = = 1 GJ p

图 4 切向变形云图 - 4 T 1 1 == 213092 ×10 φrad - 22 2 πδ4G rrc i co ( ) 3 数据对比与误差分析 - 4 Δ (φφ) = 2 += 101296 ×10 rad 1 2 将上述理论计算与 AN SYS模拟仿真的数据进行 由 上 述 计 算 可 知 , φ= 018134φ或 φ 2 1 2= 对比 ,并以 AN SYS模拟的仿真值为真值 ,对理论计算 (φφ) 014486 +, 即圆盘结构的弹性变形量对整个 1 2 值进行验证 ,计算其相应的误差 ,结果如表 1所示 。 柔轮结构弹性变形量的影响较大 ,不容忽视 。

( ) 2 AN SYS软件仿真模拟验证 以上述理论计表 1 弹性变形量对比与误差分析表 算的 B 3 2160型柔轮为例 ,按照相 圆盘部分 圆筒部分 柔轮结构的 应的尺寸建模 ,然后进行有限元网格划分 ,有限元网 弹性变形量 弹性变形量 总弹性变形量

- 4- 4- 4格划分结果如图 3所示 。 13092 ×10 218389 ×10 511481 ×10 2( ) 理论值 rad AN SYS仿 - 4- 4- 4211078 ×10 216225 ×10 417304 ×10 ( )真值 rad

误差915550% 812517% 818301%

由以上数据对比及误差分析可知 :

( ) 1 理论计算值均大于 AN SYS模拟仿真值 ,其

原因为 : 理 论 计 算 时 没 考 虑 柔 轮 筒 底 的“圆 角 ”效

应 ,而在有限元建模时考虑了柔轮筒底的“圆角 ”效 图 3 网格划分结果显示 应 ,增加了柔轮筒体的刚度 ;即理论计算所取的长度

l (柔轮圆筒部分 l = 01152 m ) 和圆盘外半径 r(柔 co 按照 理 论 计 算 时 施 加 的 外 载 荷 扭 矩 T =

)轮圆盘部分 = 0108 m 均大于 AN SYS模拟仿真 r co800 N ?m ,在 AN SYS模拟仿真中以下面的等效方式

( 时所 取 的 有 效 长 度 = 011395 m , = () l r 实现 ,将柔轮输出端 即圆盘内径边界处 固定 , 在 有效co有效其左侧啮合齿处施加等效的均部圆周力 ,然后计算 ) 010781 m ;且二者的误差小于 10 % , 因此 , 文中所 柔轮弹性变形量 ,其模拟仿真弹性变形量的输出结 进行的理论分析推导出的柔轮扭转变形计算公式是 (果如图 4所示 图中数值结果为柔轮外边界的切向 基本准确的 。 ) (位移 ,从固定端到圆盘与圆筒的交界处 即圆盘结 ( ) 2 将数值单位折算到角度单位分 ,则理论计

- 4 算柔轮的总弹性变形量为 11770 ′,而圆盘部分弹性 )φ构 的弹性变形量 = 211078 ×10 rad, 柔轮的 圆盘 - 4 变形量为 01794 ′,占柔轮总弹性变形量的 44186 % , φ总弹性变形量 = 417304 ×10 rad, 由此可以 柔轮总

且数值较大 ,所以对谐波齿轮传动回差进行分析时 , φ计算出柔轮圆筒部分的弹性变形量 = 216225 圆筒 - 4 影响较大 ,不容忽视 。 ×10rad 。

()下转第 818页

机 械 科 学 与 技 术第 28卷 818

[ 3 ] Yuan W H , Chen Z H. P rep a ra tion of hea t2resistan t a lum inum a l2 均匀 ,而减少变形的不均匀性是提高金属塑性的基

loy p ip e b lank s by m u lti2laye r sp ray depo sition [ J ]. Tran sa c t ion s 本途径之一 。因此 ,包覆拉深工艺可以提高板料的 ( ) of Non ferrou s M eta ls Soc ie ty of C h ina, 2000 , 10 4 : 460 , 塑性 ,这一点对于低塑性材料的冲压成形尤其重要 。 465

袁武 华. 多层喷 射沉 积制备 大 尺 寸 耐 热 铝 合 金 管 坯 的 研 究 [ 4 ] [ D ]. 长沙 :中南大学 , 2001

詹美燕. 喷射沉积材料压缩和轧制变形规律研究 [ D ]. 长沙 : [ 5 ] 湖南大学 , 2005

陶友瑞 ,吴安如. 耐热铝合金 FV S0812 板材冲压成形性能研究

( ) [ J ]. 塑性工程学报 , 2008 , 15 3 : 9 ,12 [ 6 ] 李硕本. 锻压手册 2冲压分册 [M ]. 北京 :机械工业出版社 , 2002

俞汉清. 金属塑性成形原理 [M ]. 北京 : 机械工业出版社 , 2002 [ 7 ]

[ 8 ]

()上接第 813页

3 结论

( ) 1 建立了谐波齿轮传动中柔轮扭转变形产生

的系统回差的理论计算公式 ,并通过 AN SYS模拟仿

真验证了所建立的理论计算公式的正确性 ,因而该

理论公式可作为设计高精度谐波齿轮传动回差分析

的重要理论依据 。

( ) 2 研究表明 ,在外载荷的作用下圆盘部分产

生的弹性变形量所占柔轮总弹 性变 形 量的 比例 较 4 结论 大 ,不容忽视 。且实际中随着柔轮筒体径长比日益

( ) 1 在 采 用 普 通 硬 模 无 法 拉 深 成 形 材 料 为增大的发展趋势 ,所推导出的理论计算公式将更加 FV S0812、板料的相对厚度为 0122 %的球面形零件 具有应用价值 。

的情况下 ,提出了一种新的拉深成形工艺 ,取名为包

覆拉深 ,采用该工艺成功拉深出球面形零件 。[参考文献 ]

( ) 2 在实验研究的基础上采用数值模拟的方法

对单层拉深及包覆拉深工艺进行了研究 ,通过与实 [ 1 ] 沈允文 ,叶庆泰. 谐波齿轮传动的理论与设计 [ M ]. 机械工业 出版社 , 1985 验结果的对比可知模拟的结果是符合实际情况的 。张新占. 材料力学 [M ]. 西北工业大学出版社 , 2005 [ 2 ] ( ) 3 模拟结果表明 : 包覆拉深工艺中 FV S0812徐芝纶. 弹性力学 [M ]. 高等教育出版社 , 1992 [ 3 ] 刘小明 ,俞进萍 ,谭道宏. 弹性力学题解 [ M ]. 华中科技大学出 板料受的压应力数目比单层拉 深 FV S0812 板料 所 [ 4 ] 版社 , 2003 受压应力多且数值大 ,而且变形均匀 ,因此可以提高 () 苏 M. H. 伊万诺夫著 , 沈允文等译. 谐波齿轮传动 [ M ]. 国

防工业出版社 , 1987 FV S0812 板 的 塑 性 , 也 即 不 容 易 产 生 破 裂 , 另 外[ 5 ] 中国机械设计大典编委会. 中国机械设计大典 4 [ M ]. 江西科 FV S0812板受到垂直于板面的压力 , 皱曲也不容易 技出版社 , 2002 [ 6 ] 产生 。总之 ,包覆拉深能有效防止破裂和皱曲的产

生 ,是一种适合于拉深成形低塑性材料的工艺 。

[参考文献 ]

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