范文一：组合与二项式定理

第八章 排列、组合与二项式定理

(1)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有( )(85年(5)3分)

(A)96个 (B)78个 (C)72个 (D)64个

6103)(2)在(x,的展开式中,x的系数是( )(88年(5)3分)

6664 (A),27C (B)27C (C),9C (D)9C10101010

(3)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽5件,其中至少有2件次品的抽法有( )(88年(14)3分)

232332555 (A)CC种 (B)CC，CC种 (C)C,C种 (D)C,31973197319720019720014CC种 3197

由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有( )(89年(12)3分) (4)

(A)60个 (B)48个 (C)36个 (D)24个 (5)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同的排法共有( )(90年(13)3分)

(A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种

(7)从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要有甲型与乙行电视机各一台,则不同的取法共有( )(91年(9)3分)

(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种

25(8)在(x，3x，2)的展开式中x的系数为( )(92年(11)3分)

(A)160 (B)240 (C)360 (D)800

10033x，2)(9)由(展开式所得的x的多项式中,系数为有理数的共有( )(93年(15)3分)

(A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项 (10)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺

(17)3分) 年卡不同的分配方式有( )(93年

(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种 (11)有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有( )(94年(10)4分)

(A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种

3105(12)在(1,x)(1，x)的展开式中,x的系数是( )(95年(6)4分)

(A),297 (B),252 (C)297 (D)207

(13)用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( )(95年(13)5分)

(A)24个 (B)30个 (C)40个 (D)60个

(15)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有( )(98年(7)4分)

(A)90种 (B)180种 (C)270种 (D)540种

2342243)(16)若(2x，,a，ax，ax，ax，ax,则(a，a，a),(a，a)的值为( )0123402413(99年(8)4分)

(A)1 (B),1 (C)0 (D)2

(17)某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( )(99年(14)5分)

(A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种 (19)从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作(若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有( )(2002春季(6)5分 ) (A)280种 (B)240种 (C)180种 (D)96种

13n(20)对于二项式，四位同学作出了四种判断: (，x)x

?存在，展开式中有常数项;?对任意，展开式中没有常数项; n,Nn,N

xx?对任意，展开式中没有的一次项;?存在，展开式中有的一次项( n,Nn,N

上述判断中正确的是( )(2002春季(10理) )

(A)?与? (B)?与? (C)?与? (D)?与?

1263(21)在的展开式中，的系数和常数项依次是( )(2002春季(10文)) (，x)xx

(A)20，20 (B)15，20 (C)20，15 (D)15，15

665432(22)设(3x,1),ax，ax，ax，ax，ax，ax，a,则a，a，a，a，a，a，6543210654321a的值为__________. 0

(85年(9)4分)

135(23)求(2x展开式中的常数项为___________.(86年(15)4分) ，)2x

n3(24)在(1，x)的展开式中,x的系数等于x系数的7倍,则n,___________.(87年(11)4分) (25)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数有_____个.(87年(14)4分)

72726)已知(1,2x),a，ax，ax，……，ax,那么a，a，……，a,___________.(890127127年(16)4分)

23452(27)(x,1),(x,1)，(x,1),(x,1)，(x,1)的展开式中,x的系数等于_____.(90年(17)3分)

(8)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共________ 种.(用数字作答)(93年(21)3分)

75(29)在(3,x)的展开式中,x的系数是__________.(用数字作答)(94年(16)4分) (30)四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有_______种.(用数字作答)(95年(20)4分)

(31)正六边形的顶点和它的中心共7个点,以其中三个点为顶点的三角形共有________个.(用数字作答)(96年(17)4分)

9ax39(32)已知(的展开式中x的系数为,常数a的值为_______.(97年(16)4分) ,)4x2

10210(33)(x，2)(x,1)的展开式中x的系数为____________(用数字作答)(98年(17)4分)

(34)在一块并排10垄的田地种,选择2垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法有________(99年(16)4分) (35)圆周上有2n个等分点(n,1)，以其中三个点为顶点的直角三角形为 ((2001年(16)4分)

n1,,5(36)若在的展开式中，第4项是常数项，则n= .(2002上海春季(5)) x,,,x,,

范文二：组合与二项式定理

排列、组合与二项式定理

教学目标:

1、掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应 用问题 .

2、理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式,并能运用它们 解决一些简单的应用问题 .

3、掌握二项式定理及二项展开式的性质,并能运用它们计算和证明一些简单 的问题 .

教学重点:

解答排列与组合应用问题的总体思路及分类策略 .

教学难点:

分类讨论思想在解答排列与组合应用问题中的准确运用 .

教学过程:

一、训练与反馈:

1. 在某次数学测试中,记座号为 n (n = 1、 2、 3、 4)的同学的考试成绩为 f (n),若 f (n)∈{70, 85, 88, 90, 98, 100},且满足 f (1)

2. 四个不同的小球放入编号为 1、 2、 3、 4的四个小盒子里,恰有一个空盒的 放法有 种

3. 某仪表显示屏上一排有 7个小孔, 每个小孔可显示出 0或 1, 若每次显示其 中的三个孔,但相邻的两孔不同时显示,则这个显示屏可显示不同的信号种数是 .

4. 定义非空集合 A 的真子集的真子集为 A 的“孙集” ,则集合{1, 3, 5, 7, 9}的“孙集”的个数为 个 .

5. 某公园有甲、乙、丙三条大小不同的游艇,甲可坐 3人,乙可坐 2人,丙 只能坐 1人,现有 3个大人带 2个孩子租艇,但小孩不能单独坐艇,则不同的坐法 种数为 种 .

A. 21 B. 28 C. 33 D. 34

6. 对于二项式

n

x

x

?

?

?

?

?

+3

1()

*

N

n ∈,四位同学作出了四种判断:

(1)存在 *

N

n ∈,展开式中有常数项;

(2)对任意 *

N

n ∈,展开式中没有常数项;

(3)对任意 *

N

n ∈,展开式中没有 x 的一次项;

(2)存在 *

N

n ∈,展开式中有 x 的一次项 .

上述判断正确的是()

A. (1)与 (3) B. (2)与 (3) C. (2)与 (4) D. (4)与 (1)

二、典型例题:

例 1:(05年江苏) 四棱锥的 8条棱代表 8种不同的化工产品, 有公共点的两条 棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的, 没有公共顶点的两条棱所代表的化工产 品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4个仓库存放这 8种 化工产品,那么安全存放的不同方法种数为()

A . 96 B. 48

C . 24 D. 0

例 2:(05年海淀)已知 f 是集合 M ={a , b , c , d }到集合 N ={0, 1, 2}的映射, f (a) + f (b) + f (c) + f (d) = 4,则不同的映射有 个 .

例 3:(03年全国)如图一个地区分为 5个行政区域,现给地图着色,要求相 邻区域不得使用同一颜色, 现有 4种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有 ____种 . (以数字作答)

2

1 5

3

4

例 4:设 ) (x f 是定义在 R 上的函数,且 1

100) 1

() 1() 0() (x

n

f C x x n

f C x g n n n +-=

2221

)

1() () 1() 2()

1(x x n

n C x x n f C x n n n n n n -++-+-?-- ,

(1)若 1) (=x f ,求 ) (x g ; (2)若 x x f =) (,求 ) (x g .

选用例题 :

某中学拟于本学期在高一年级开设《矩阵与变换》 、 《信息安全与密码》 、 《开关 电路与布尔代数》等三门数学选修课,在计划任教高一的 10名数学教师中有 3人 只能任教《矩阵与变换》 ,有 2人只能任教《信息安全与密码》 ,另有 3个只能任教 《开关电路与布尔代数》 ,三门课程都能任教的只有 2人,现要从这 10名教师中选 出 9人,分别担任这三门课的任课教师,且每门课安排 3名教师任教,则不同的安 排方案有( )种 .

A . 8 B. 12 C. 14 D. 16

三、回顾与反思:

1、解排列组合的应用题,要注意四点 :(1)仔细审题,判断是组合问题还是排 列问题;要按元素的性质分类,按事件发生的过程分步; “先选之,再排队” . (2)深入分析,严密周祥,注意分清是乘还是加,既不少也不多,辩证思维,多角度分 析,全面考虑; (3)对于有附加条件的比较复杂的排列组合应用题,要周密分析, 设计出合理的方案, 把复杂问题分解成若干个简单的基本问题后应用加法或乘法原 理来解决; (4)在检查排列组合结果时,应着重检查所设计的解决问题的方案是否 完备,有无重复或遗漏;也可采用多种不同的方法求解,看看是否相同 . 在对排列 组合问题分类时,分类的标准应统一,否则易出现遗漏或重复 .

2、高考对二项式定理的考查,以二项式展开式及其通项公式内容为主,要有 目标意识和构造意识,要注意展开式的通项公式正、反两方面的应用,此类题也可 分两类:(1)直接运用通项公式求特殊项的系数或与系数有关的问题; (2)常用转化 思想化归为二项问题来处理 , 试题常用选择、填空的形式出现,有时解答题也会涉 及这些内容,常与数列、不等式等联系在一起,难度与课本习题相当 .

=

-5

) 2(y x

四、巩固练习:

1(05 北京,文 8)五个工程队承建某项工程的 5个不同的子项目,每个工程队承 建 1项,其中甲工程队不能承建 1号子项目,则不同的承建方案共有 ( )

A . 1444C C 种 B. 1444C A 种 C. 44C 种 D. 4

4A 种

2(05 福建,文 10)从 6人中选出 4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市 游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这 6人中甲、乙两人不 去巴黎游览,则不同的选择方案共有 ( ) A . 300种 B . 240种 C . 144种 D . 96种

3(05 湖北,文 9)把一同排 6张座位编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6的电影票全部分给 4个人,每人至少分 1张,至多分 2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的 分法种数是( )

A . 168 B . 96 C . 72 D . 144

4(05 湖南,理 9) 4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须 从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得 100分,答错得-100分;选乙题 答对得 90分,答错得-90分 . 若 4位同学的总分为 0,则这 4位同学不同得分情况 的种数是( )

A . 48 B . 36 C . 24 D. 18

5(05 全国Ⅰ,理 11)过三棱柱任意两个顶点的直线共 15条,其中异面直线有

A . 18对 B . 24对 C . 30对 D. 36对

6(05 浙江,理 14)从集合 {O , P , Q , R , S }与 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中各任限 2个元素排成一排 (字母和数字均不能重复 ) .每排中字母 O , Q 和数字 0至多只能出现一个的不同排法种数是 _________. (用数字作答 ) . 7(05 湖北,理 14) 5

)

212(+

+

x x

的展开式中整理后的常数项为 .

8(05 上海十校联考)若对任意实数 x , y 都有 5

5443232324150) 2() 2() 2() 2() 2(y

a y y x a y y x a y y x a y y x a y x a ++++++++++,则

=

+++++543210a a a a a a 。

9 (04南通二模)如图,在杨辉三角中,斜线 l 在上方,从 1开始箭头所示的数组成一个锯齿形 数列:1, 3, 3, 4, 6, 5, 10,?,记其前 n 项 和为 n S ,则 19S 等于( )

A . 129 B. 172 C . 228 D. 283

111

1

排列、组合与二项定理参考答案:

一、训练与反馈:

1. 15, 1546=C .

2. 144, 144333424=??A C C 3. 80, 802353=?C

4. 26, “孙集” 中包括 φ、 单元集、 二元集、 三元集等四种:2613

52515=+++C C C

5. D,分类:(1)只租甲、乙两艇 102235=C C 种; (2)甲、乙、丙三艇均租,先

安排大人坐丙艇:31

3=C 种;余下 4人有两种分布 a. 2, 2分布, 62224=C C 种; b.

3, 1分布, 23

312

=C C 种,故总数为 34) 26(310=++种 . 6. D ,通项公式 n r r n r x C T -+=41,当 k n 4=和 14-=k n (*N k ∈)时,展开式中 分别存在常数项和一次项 .

二、典型例题:

例 1:画图,按要求分步:

(1)先将安全的产品放一起有两种方法

(2)四组产品放在 4

个编号不同的仓库里有 2444

=A 种放法

所以安全存放共有:

48242=

?,选 B.

例 2:根据 a 、 b 、 c 、 d 对应的象为 2的个数来分类,可分三类:

第一类:没有元素的象为 2,其和又为 4,必然其象均为 1,这样的映射只有 1个 .

第二类:仅有一个元素的象是 2,其余三个元素的象必为 0, 1, 1,这样的映射

有 121

314

=?C C 个 . 第三类:二个元素的象是 2,另两个元素的象必为 0,这样的映射有 624=C 个 .

故其有 196121=++个 .

例 3:先排 1区,有 4种方法,再排 2区,有 3种方法。由于排 3区受未知区 域 4区的影响,排 4区又受 5区的影响,故 3, 5区先排,分类:如果 3, 5两区同 色,排 3, 5区有 2种排法,此时 4区有 2种排法;如果 3, 5两区不同色,排 3, 5两区有 2种排法,此时 4区只有 1种排法;故共有 72) 1222(34=?+???种 .

例 4:(1)略, 1) (=x g ,且 R x ∈, 0≠x , 1≠x .

(2)由 x x f =) (,所以 n

k n k

f =

) ((n k , , 2, 1, 0 =)

所以 2

22

1

11

0)

1(2)

1(1) 1(0) (---??

+-??

+-??

=n n n n n

n x x n

C x x n

C x x n

C x g

n

n

n x

n

n C ??

++

因为 1

1

!

) (! ) 1(! ) 1(!

) (! !

--=---=

-?

=

r n r n C r n r n r n r n n r

C n

r

所以 =) (x g +-+-+-+------3

3212211

101) 1() 1() 1(0n n n n n n x x C x x C x x C n n n x C 11--+

]) 1() 1([1

11211

101-------++-+-=n n n n n n n x C x x C x C x x x x x n =+-=-1]) 1[(

其中 R x ∈, 0≠x , 1≠x .

选用例题:

由于教师的差异性与特殊性,可从“多面手”的任课的情况进行分类: (1) “多面手”仅 1人任课,则有 2种排法;

(2) “多面手” 2人均任课,则对《信息安全与密码》的任课教师再分类: a. 教《信息安全与密码》仅有 1人,则有 2种排法;

b. 教《信息安全与密码》有 2人,则其它课程缺 1人,有 121

612=?C C 种排法;

故不同排法种数为 16) 122(2=++种 . 四、巩固练习:

1、 B ;

2、 B ;解析一:分类计数 . (1)不选甲、乙,则 24441==A N . (2)只选甲,则

72

3

31

33

42==A C C N . (3)只 选 乙 , 则 723

313

343==A C C N . (4)选 甲 、 乙 , 则

72

2

223244==A A C N . 所 以 2404321=+++=N N N N N . 解 析 二 :间 接 法 .

240

3

53

54

6=--=A A A N

3、 D ; 6张电影票全部分给 4个人,每人至少 1张,至多 2张,则必有两人分 得 2张,由于两张票必须具有连续的编号,故这两人共 6种分法:

12, 34; 12, 45; 12, 56; 23, 45; 23, 56; 34, 56.

那么不同的分法种数是 1442

2221624=???A A C C 种 .

4、 B ; 分类计数, (1)都选甲, 则两人正确, 241C N =; (2)都选乙, 则两人正确,

2

4

2C N =; (3)若 两 人 选 甲 、 两 人 选 乙 , 并 且 1对 1错 ,

)) (2(! 42

22

43A C N ?==.

则 36! 42424321=++=++=C C N N N N .

5、 D ;一条底面棱有 5条直线与其异面;侧面中与底面相交 的棱有 4条直线与其异面; 侧面中的对角线有 5条直线与其异面; 而每条直线都数两遍,共有

36

2

6

53465=?+?+?对 .

6、 8424; 问 题分 为两 类 :一 类是 字 母 O 、 Q 和 数字 0出 现 一个 ,则 有

4

4

1

92

31

22

91

3) (A C C C C C ??+??种;另一类是三者均不出现,则有 442923A C C ??种 . 故共有

8424

) (4

42

92

31

92

31

22

91

3=??+?+A C C C C C C C 种 .

7、

2

2

63;

8、 243-;赋值法,令 12=+y x , 1=y ,可得正确答案为 243-.

9、 ) () () (2

1111124142313

0219C C C C C C C S +++++++= 2

12252402C C C C ++++=

3

4

21225243402C C C C C C -+++++=

3

4

31302C C C -+=

283

=

范文三：组合与二项式定理

www.jsyedu.cn 一切为了孩子，以德治教，育人为本 第十章 排列、组合与二项式定理

1111(若x?A则?A，就称A是伙伴关系集合，集合M={,1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，x32

具有伙伴关系的集合的个数为: 85 A(15 B(16 C(2 D(2

111(解答:具有伙伴关系的元素组有,1，1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均23

1234可组成非空伙伴关系集合，个数为C+ C+ C+ C=15 选A 4444

评析:考察“开放、探索”能力，将集合与排列组合问题结合起来的综合题型。难点在如何找出伙伴关系

11元素组，1自成一组，-1也自成一组，与3成一组，与2成一组; 难点二转换为组合问题;难点三32

0是非空集去掉C个集合。 4

2(某公司的员工开展义务献血活动，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人，从四种血型的人中各选1人去献血，则不同的选法种数为( ) A(1200 B(600 C(300 D(120

1111n,C,C,C,C,12002(A【思路分析】:，故选A. 10583

【命题分析】:考查排列、组合的计算.

3(“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如98765)，若把所有五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第55个数为 .

3、76542

44C=5C=15【思路分析】:4在首位，有1个;5在首位，有个;6在首位，有个;7 56

4C=35在首位，有个.所以第55个数是76542. 7

【命题分析】:考察排列组合与分类讨论

aaaaaaaaaaaaaaaa4、一个七位号码，如果前面三位数码与或相同(可能三者都一样)，1234565671234567

a,a..a0,1,2...9则称此号码为“可记忆的”，如果可取的数码为中的任一个，则不同的“可记忆的”的127

号码共有 个。

3aaaaaaaaa4、(分析:的取法有，与它相同则另一数有10种取法，同样，其中重复情况10123456567

3只有“1111111”等10种，?有，本题考查排列组的知识) 10,10，2,10,19990

,5(在某次数学考试中，学号为i(i=1，2，3，4)的同学的考试成绩f(i) ,85，87，90，93，100,且满足f(1)< f(2)="">< f(4)，则这四位同学的考试成绩所有情况种数为(="" )="">

A、5 B、10 C、15 D、30

5、C

6(平面上有9个红点,5个黄点,其中有2个红点和2个黄点在同一条直线上,其余再无三点共线,以这些点为顶点作三角形,其中三个顶点颜色不完全相同的三角形有_________个.

6.246

x1n()7(在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 . ,32x

4401nCCC,C,,,,C7(7 【思路分析】:第5项二项式系数为且中只有最大，故. ?n,8nnnnn

r8,,r41x18,8,rrrrrr3T,C(,)(),C(,1)()x，令8,r=0，得. r,6188，r322x3

1662T,C(,1)(),7?. 782

【命题分析】:考查二项式定理及应用.

4(tan,,2，cot,),8(在的展开式中，不含的项是_______________。

8( 70

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www.jsyedu.cn 一切为了孩子，以德治教，育人为本

2n，1(10，3)IFF(F，I)9、设()的整数部分和小数部分分别为和，则的值为 ( ) n,Nnnnnn

nA、1 B、2 C、4 D、与有关的数

2n，12n，112n32n,232n，12n，19、， ,,(10，3),(10,3),2C(10),3，C(10),3，...，C(10),32n，12n，12n，1 2n，12n，12n，12n，1(10，3),(10,3)(10,3),(0,1)得为整数，而 ?，F,(10,3)n

2n，12n，12n，12n，1 ?，故选A项) F，I,(10，3)F,(F，I),(10,3),(10，3),(10,9),1nnnnn

33n10(若(x,)展开式中的各项系数之和为,32，那么展开式的常数项为 x

1323210、90 n,5，常数项为:r=2,C(x)?(,),90 5x3

x1n()-11(若二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ( ) 32x

A(-7 B(7 C(-28 D(28 11、B

x1x1rrr8-8-C()()()-【思路分析】:由已知得n=8，因此的展开式中的常数项为:,83322xx

4-84rrr-83，?，即r=6，?常数项为7 80-=rCx2(1)-83

【命题分析】:考察二项式展开式公式及二项式系数

1x812((,)的展开式中常数项是 32x

A(7 B(,7 C(,28 D(28

r,x,rr8r3(，x12(解答:T=(,1)C r+1824rr,88 r,r3 =(,1)C2 ?x8

4 令8, 得r=6 r,03

?T=7 选A 7

评析:考察考生二项式定理知识及其运用。

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范文四：二项式定理与多项式定理

《高中数学研究性学习案例》

分组问题 二项式定理 多项式定理

1．固定分组问题

例1 将12本不同的书分给甲、乙、丙、丁4位学生，求分别满足下列条件的分配方法各有多少种： （1）4位学生每人3本；

（2）甲、乙各得4本，丙、丁各得2本；

（3）甲得5本，乙得4本，丙得2本，丁得1本．

3

解 （1）先从12本书中选取3本分给甲，有C12种方法；

当甲分得3本书后，从剩下的9本书中选取3本分给乙，有

3

种方法；类似可得,丙、丁的分法分别有C63、C33种,由乘法C9

3333原理得所求分法共有C12=C9C6C3

12!

(3!)4

=369600种；

（2）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为

224

C2=C12C84C4

12!

=207900； 4!?4!?2!?2!

（3）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为

154

=C32C1C12C7

12!

=83160． 5!?4!?2!?1!

在例1中是将不同的书分给不同的学生，并且指定了每人分得的本数，我们称之为固定分组问题．我们将这个问题总结成如下一般定理：

定理1 将n个不同的元素分成带有编号从1，2，?，r

A2， ，Ar，A2有n2个元素，的r个组：使得A1有n1个元素，?，A1，

Ar

有nr个元素，n1+n2+ +nr

=n，则不同的分组方法共有

n!

种．

n1!?n2!? ?nr!

证明 先从n个不同的元素中选取n1个分给A1，这一步有Cnn种方法；再从剩下的n-n1个元素中选取n2个分给A2，这

1

一步有Cnn-n种方法；如此继续下去，最后剩下的n r个元素分

21

给A r，有Cnn种方法，由乘法原理得这样的固定分组方法共有

rr

n2nrn1

CnCn-n1?Cnr=

n!

种．证毕．

n1!n2! nr!

我们将定理1的分配问题简称为（n；n1，n2， ，nr）固定分组问题．

2．不尽相异元素的全排列 多项式定理

n!固定分组数有多种组合学意义，除了表示固定

n1!?n2!? ?nr!

分组的方法数外，它还有以下两种表示意义：

n!

（1）不尽相异元素的全排列种数

n1!?n2!? ?nr!

有r类元素，其中第k类元素有nk个（k=1，2，?，r），同类元素不加区分，不同类元素互不相同，n1+n2+ +nr

=n。

则这r类n个不尽相异元素的全排列种数等于固定分组数

n!

。．

n1!n2! nr!

例2 （06年高考江苏卷（理））今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列有 种

不同的方法（用数字作答）．

解 9个球排成一列要占9个位置，从9个位置中选取2个放红球，有C92种方法；再从其余7个位置中选取3个放黄球，有C73种方法；最后在剩下的4个位置上全放白球，有C44种方法，由乘法原理得所求的排列方法共有

9!

=1260种． CCC=

2!?3!?4!

29

37

44

n!

评注：对于固定分组数，除了表示固定分组的

n1!?n2!? ?nr!

方法数外，它还表示r类共n个（不尽相异）元素的全排列数，其中第k类元素有nk个（k=1，2，?，r），同类元素不加区分，n1

+n2+ +nr=n．

n!（2）多项式定理的系数

n1!?n2!? ?nr!

nnnn

（x1+x2+ +xr）在的展开式中，项x1x2 xr的系数等于

1

2

r

n!n

（a+b）固定分组数。例如在的展开式中，项

n1!n2! nr!

ambn-m的系数为

n!

=Cnm，这正是我们所熟悉的二项式系

m!(n-m)!

数。有如下的多项式定理：

多项式定理 设n是正整数，则对一切实数 x1 ，x2，……，xr 有

n!

（x1+x2+ +xr）=∑n1+n2+ +nr=nn1!n2! nr!

n

n2

x1n1x2 xrnr （*）

其中求和是对满足方程 n1+n2+??nr = n 的一切非负整数n1，n2，??，nt 来求。因为r元方程n1+n2+??nr = n

n

（x1+x2+ +xr）的非负整数共有Cn+r-1组，所以在的展开式

n

中共有Cn+r-1个不同的项。

多项式定理是对二项式定理的推广，在多项式定理中令r = 2 就得到了二项式定理 。

432

xyzw与项例3 写出(x+y+z+w)的展开式中项

10

n

x3y3z2w2的系数．

10432

(x+y+z+w)xyzw解 先求项的系数．是10个括号

的连乘积，将这10个括号看成10个元素，从中先取出4个括号作为第一组，在每个括号中都取x；再从剩下的6个括号中取出3个作为第二组，在每个括号中都取y；再从剩下的3个括号中取出2个作为第三组，在每个括号中都取z；最后的剩下的1个括号作为第四组，从中取w．这样取出的4个x，3个y，2个z，1个w的连乘积就是项x4y3z2w，由定理1知，上述取法就是（10；4，3，2，1）固定分组问题，

432

于是在展开10个括号的连乘积时，项xyzw有

10!

=12600个同类项，所以此项的系数是12600．同理可

4!?3!?2!?1!

3322x得项yzw的系数是

10!

=25200．

3!?3!?2!?2!

例4 （94年全国高考题）有甲、乙、丙三项不同的任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从10人中选取4人担任这三项工作，有多少种不同的分配方法？

4

解：从10人中选取4人，有C10对于取定的4人，种方法，

让他们担任这三项工作，为（4；2，1，1）固定分组问题，

4

?故所求分配方法共有C10

4!

=2520种． 2!?1!?1!

注：一般地，设有A1、A2、?，Ar共r项不同的工作，工作Ai需ni个人承担（i=1, 2, ,r)，n1+n2+ +nr

=n，现从m个人

中选取n个人做这r项工作（m≥n），则不同的分配工作方法

n共有Cm?

n!

种．

n1!n2! nr!

例5 （07年全国高考理2（必修+选修Ⅱ））从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有

（A）40种 （B）60种 （C）100

种 （D）120种

解 从5人中选取4人，有C54种方法；对于选定的4人，让他们参加这3天的公益活动，为（4；2，1，1）固定分组问

11

题，由定理1及乘法原理得所求选派方法共有C54C42C2C1=60

种．故选B．

例6 （06年高考天津卷（理））将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子

里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 A．10种 B．20种 C．36种 D．52种 解 放球方法即分组方法．满足条件的放球方法可分成两类：①（4；1，3）固定分组问题；②（4；2，2）固定分组问题，它们分别有有

4!

+4!=4+6=101!?3!2!?2!

4!

，4!种放球方法，故所求放球方法共1!?3!2!?2!

种．故选A．

评注：对于类似例3这样的不能直接按固定分组解决的问题，如果能够按各个组（盒子）允许放的元素（球数）将问题分成互不相交的若干类，使得每一类都是固定分组问题，则可按固定分组分别计算这些类再相加即可．

例7 （07年全国高考1（文））甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有

（A）36 种 （B）48 种 （C）96 种 （D）192种

解 因每人都是从4门课程中选课，故甲、乙、丙3人的选课方法分别有C42、C43、C43种，由乘法原理得所求选修方案共有C42C43C43=96种．故选C.

例8（08年湖北理6题）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的

方案种数为

A.540 B.300 C.180 D.150 解：用“捆绑法”可得所求结果为

3C53 ！

122

C5C33 ！=60+90=150 2

选D。

范文五：二项式定理(习题含答案)

二项式定理

一、 求展开式中特定项 1

、在30

的展开式中，x的幂指数是整数的共有（） A．4项 B．5项 C．6项 D．7项 【答案】C

r

【解析】Tr?1?C30?

x?

30?r

15?r?1?r6

??，r?0,1,2......30，若要是幂指数是????C30?x?x?

r

5

整数，所以r?0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C．

1

3、若(x2?3)5展开式中的常数项为．（用数字作答）

x

【答案】10

【解】由题意得，令x?1，可得展示式中各项的系数的和为32，所以2n?32，解得n?5，所以(x2?

15r10?5r2

，当r?2时，常数项为C5?10， )展开式的通项为Tr?1?C5x3

x

4

、二项式)8的展开式中的常数项为． 【答案】112

【解析】由二项式通项可得，Tr?1?C(x)

r8

8?r

?r

rrr

(?)?(?2)C8x（r=0,1,,8）,显然x

2x

当r?2时，T3?112，故二项式展开式中的常数项为112.

1

)(1?3x)4的展开式中常数项等于________． x

【答案】14．

1r

2【解析】因为(2?)(1?3x)4中(1?3x)4的展开式通项为Cr4(?3x)，当第一项取时，

x

1

2?，此时的展开式中常数为；当第一项取时，C1C0?144(?3x)??12，此时的展开

x

式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．

5、(2?6、设a?

?

?

??2x?，则sinx?1?2cosdx?x2?2的展开式中常数项是． ???2???

6

??

【答案】??332 332a?

?

?

?2

?sinx?1?2cos?

??x?

?dx??

0?sinx?cosx?dx?(?cosx?sinx)0?2，2?

(

66

?的展开式的通项为

r

Tr?1?C66?r(rr

?(?1)r?26?rC6?x3?r，所以所求常数项为35

??332． T?(?1)3?26?3C6?2?(?1)5?26?5C6

二、 求特定项系数或系数和

7

、(x)8的展开式中x6y2项的系数是（）

A．56 B．?56 C．28 D．?28

【答案】A

r8?r2

【解析】由通式C8令r?2，则展开式中x6y2项的系数是C8 x(?2y)r，(?2)2?56．

8、在x（1+x）的展开式中，含x项的系数是． 【答案】15

rr2

【解】?1?x?的通项Tr?1?C6x，令r?2可得C6?15．则x?1?x?中x3的系数为15.

6

6

63

9、在(1?x)6?(2?x)的展开式中含x3的项的系数是． 【答案】-55

32【解析】(1?x)6?(2?x)的展开式中x3项由2C6(?x)3和（-x）?C6(?x)2两部分组成，32所以x3的项的系数为-2C6?C6??55． e10、已知n??1

6

13ndx，那么（x?）展开式中含x2项的系数为．

xx

6

【答案】135

e

【解析】根据题意，n??1

3n1e6

（x?）dx?lnx|1?6，则中，由二项式定理的通项公式

xx

rn?rrr6?r

Tr?1?Cnab，可设含x2项的项是Tr?1?C6x(?3)r，可知r?2，所以系数为2

． C6?9?135

11、已知?1?x??a0?a1?1?x??a2?1?x??L?a10?1?x?，则a8等于（）

A．－5 B．5 C．90 D．180

101082

a(1?x)?(?2?1?x)C(?2)?45?4?180.选Ｄ． 810【答案】D因为，所以等于

10210

12、

在二项式1n

x)的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n?________；2

展开式中的第4项＝_______． 【答案】8，?7x．

(n?r)(2n?r)1r21r1rr33

?x?Cn(?)x【解析】由二项式定理展开通项公式Tr?1?C(?)x，由题

22

rn

193

19

(16?3)131

??7x3．意得，当且仅当n?4时，C取最大值，∴n?8，第4项为C(?)x3

2

rn38

13、如果(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，那么a0?a1???a7的值等于（） （A）－1 （B）－2 （C）0 （D）2 【答案】A

【解析】令x?1，代入二项式(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，得(1?

7

2?)a0?a1?a2??

x?令?代入二项式(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，a?1?0，7，

得(1?0)7?a0?1，所以1?a1?a2???a7??1，即a1?a2???a7??2，故选A． 14、（

﹣2）7展开式中所有项的系数的和为

【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16

、在1

3)n(n?N*)的展开式中，所有项的系数和为?32，则的系数等于．

x1

的项就是x

【答案】?270

【解析】当x?1时，?-2???32，解得n?5，那么含

n

?1?13

??C52?????3??270，所以系数是-270. ??x?x?

17、设k?

2

?

?

(sinx?cosx)dx，若(1?kx)8?a0?a1x?a2x2???a8x8，则

．a1?a2?a3????a8? ?【答案】0.

【

?

解

?

析】由

k??(sinx?cosx)dx?(?cosx?sinx)

?(?cos??sin?)?(?cos0?sin0)?2，

令x?1得：(1?2?1)8?a0?a1?a2???a8，即a0?a1?a2???a8?1 再令x?0得：(1?2?0)8?a0?a1?0?a2?0???a8?0，即a0?1 所以a1?a2?a3?????a8?0

18、设（5x﹣）的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为 . 【答案】150

解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．

再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得 4n﹣2n=240，即 22n﹣2n﹣240=0. 解得 2n=16，或 2n=﹣15（舍去），∴n=4. （5x﹣5？令4﹣

4﹣r

n

）的展开式的通项公式为 Tr+1=．

n

？（5x）？（﹣1）？

4﹣rr

=（﹣1）？

r

？

=1，解得 r=2，∴展开式中x的系数为 （﹣1）？

r

？5

4﹣r

=1×6×25=150，

19、设(1?x)8?a0?a1x???a7x7?a8x8，则a1???a7?a8?． 【答案】255

【解析】a1???a7?a8??a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?a8， 所以令x??1，得到28?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?a8， 所以?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?a8?28-a0?256?1?255 三、 求参数问题

20

、若的展开式中第四项为常数项，则n?（） A．4B．5C．6D．7

【答案】B

【解析】根据二项式展开公式有第四项为T4?C(x)为常数，则必有

3n

n?3

n

(

12x

)?C2x

3

3n

?3

n?52

，第四项

n?5

?0，即n?5，所以正确选项为B. 2

21、二项式(x?1)n(n?N*)的展开式中x2的系数为15，则n? （ ） A、5 B、 6 C、8 D、10 【答案】B

k

【解析】二项式(x?1)n(n?N*)的展开式中的通项为Tk?1?Cn?xn?k，令n?k?2，得n?22k?n?2，所以x2的系数为Cn?Cn?

n(n?1)

?15，解得n?6；故选B． 2

22、(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．【答案】2

333rr4?r

【解析】∵Tr+1=C4∴当4?r?3，即r?1时，T2=C1ax，4ax?4ax?8x,?a?2．

23、若?1?x??1?ax?的展开式中x2的系数为10，则实数a?（） A

1B．?或1 C．2或? D

．B．

【解析】由题意得(1?ax)4的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式

rrrTr?1?C4ax，

221∴C4a?C4a?10?a?1或?，故选B．

4

5

353

53

24、设(1?x)?(1?x)2?(1?x)3?????(1?x)n

?a0?a1x?22ax?n?n??，a?当x

a0?a?an?254时，n等于（） 1a?????2

A．5B．6C．7D．8

【答案】C． 【解析】令x?1，

2(2n?1)

?2n?1?2?254?n?1?8?n?7，故选C． 则可得2?2?2?????2?

2?1

2

3

n

四、 其他相关问题

25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7

【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵2015=20162012+…+故2015

2015

20152015

=？2016，

2015

﹣？2016+

2014

？2016﹣

2013

？

？2016﹣

除以8的余数为﹣=﹣1，即2015

2015

除以8的余数为7，

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