狂欢48863251
范文一：线性空间的性质
学号:20115034038
学年论文,本科,
学 院 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2011 级 姓 名 魏 云 论文题目 线性空间的性质 指导教师 韩英波 职称 副教授
成 绩
2013年3月16日
学年论文成绩评定表
评 语
学院意见:____________________ 成 绩:
指导教师(签名): 学院院长(签名):
201 年 月 日 201 年 月 日
目 录
摘要……………………………………………………………………………………1 关键字…………………………………………………………………………………1 Abstract………………………………………………………………………………1 Key words……………………………………………………………………………1 前言……………………………………………………………………………………1 1 线性空间的概念……………………………………………………………………2 2 线性空间的相关理论………………………………………………………………3
2.1 线性空间的一些简单性质……………………………………………………3
2.2 向量的线性关系………………………………………………………………3
2.3 基、维数、坐标………………………………………………………………6 3 两个特殊的子空间…………………………………………………………………7
3.1 欧几里得空间的定义与性质…………………………………………………7
3.2 酉空间的介绍…………………………………………………………………8 4 线性空间的同构……………………………………………………………………8
4.1 同构映射与线性空间同构的定义……………………………………………8
4.2 同构映射的性质………………………………………………………………9 参考文献………………………………………………………………………………10
线性空间的性质
摘要:本文首先介绍了与线性空间相关的一系列基本概念,然后归纳总结了线
性空间的一些相关性质,包括线性空间的维数、基及坐标,同构映射以及性质等,
还包括了向量的线性关系,同时介绍了一些特殊的线性空间,以及它们的简单性
质.
关键词:线性空间,基,维数,同构
The properties of linear vector space
Abstract: In thesis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and judgments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties. Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism
前言:线性空间是线性代数最基本的数学概念之一，是线性代数的主要研究对象，
它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代
矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，线性空间的理论和方法在自然科学和
工程技术领域中都有广泛的应用.下面我们主要研究线性空间及、向量的线性关
系、基、维数、坐标、特殊的线性空间以及线性空间的同构问题.
1. 线性空间的概念
1
定义:设V是非空集合，F是某一个数域:V上定义了一个加法运算(也就是说，给出了一个对应法则，按照这个法则，V中任意两个元素与，在V中都有一个,,
确定的元素与只对应，称为与的和，记法=+)，同时也定义了一个用F,,,,,,
上的数乘以V中元素，乘积保持为V中元素的数乘运算(也就是说，给出了这样一个对应法则，对于F上的任意一个数与V中任意一个元素，按照这个法则，,,
V中总有一个确定的元素与之对应，称为乘的数乘积，记法= )有关,,,,,,这两个运算还满足以下八条运算律:
设 ,,,,,,,,,,,VF
(1) ,,,,，,，;
(2) ()();,,,,,,，，,，，
(3) V中存在零元素，记它为0，对任何V中元素,，都有,+0=,成立; (4) 对V中的任何元素,,,,,，V中一定还存在的负元素，记为-，使得+(-)=0;
,,(5) 1=;
(6) ,,,,,,()();,
(7) ();,,,,,,,，,，
(8),,,,,,,().，,，
这时便称V是数域F上的一个线性空间.
注:实数域R上的线性空间称为是线性空间;复数域C上的线性空间称为复线性空间.
2
2线性空间的相关理论
2.1线性空间的一些简单性质
(1)零元素唯一;
(2)的负元素唯一; ,
kk,,,,,,000或(3);
(4)-(-)=; ,,
(5) ,,,,,()()();kkk,,,
(6) kkk();,,,,,,,
(7) ,,,,,,,,,,V,V,+=.存在唯一的使得
2.2向量的线性关系
2.2.1线性组合与线性表示
,,,,？kk,,？(1)设是线性空间V中的向量组，F,称 ,1n1n
kkk,,,，，？ 1122nn
,,,,？为的一个线性组合; 1n
(2)零向量可由任一向量组线性表示; (3)一个向量组中的每一个向量都可由这个向量组线性表示;
,,,,,,？,,,又可由,,？(4)如果向量可由线性表示，而每个线性表示，则1nin1
3
可由线性表示. ,,,,？1n
2.2.2线性相关与线性无关
(1)设 是线性空间V中的向量组，若有F中不全为0的数，使,,,,？kk,,？1n1n得
=0， kkk,,,，，？1122nn
则称线性相关;否则，称线性无关，即若 ,,,,？,,,,？1n1n
=0， kkk,,,，，？1122nn
则. kkk,,,,...012n
(2)若中有一零向量，则此向量必线性相关. ,,,,？1n
(3)单个零向量线性相关，一个非零向量线性无关.
n(4)F的m个向量,,,(,,...,)'(1,...,)aaaim线性相关的充要条件是其次线性方iiini12
()a,,,,？程AX=0有非零解，其中A=即r(A)<>
A,0关当且仅当.
(5)将一个线性相关(无关)的向量组任意添加(减少)若干个非零向量所得的新向量组仍线性相关(无关).
(6)将线性无关的r维向量组中的每个向量均延长相同个数的分量而得到的n维向量组仍线性无关.
,,,,？,,,,？,,,,？,,(7)线性无关，则不能由线性表示的充要条件是，线1r1r1r
4
性无关.
(8) 可由线性表示，则表示法唯一的充要条件是线性无关. ,,,,？,,,,？,1r1r
n,2(9) ()线性相关的充要条件是其中某向量是其余向量的线性组合. ,,,,？1n
mn，(10)设，则对A施行初等行变换不改变A的列向量线性关系. AF,
2.2.3向量组的等价
(1)和是线性空间V中的两个向量组，若的每个向量都可由线性表示，,,,,,,,,中的每个向量都可由线性表出，即与可以相互线性表出，就说与等价. ,,,,,,,(2)向量组的等价关系具有反身性、传递性和对称性.
):线性无关，并且可由向量(3)(Steinitz替换定理)设向量组(,,,,,,？,12r
组():,,,,？线性表示，则 ,,1s
is,;(i)
,,,,,,？(ii)必要时对()中的向量重新编号，使得用替换 ,,12r,,,,？,,,,,,,,,？？所得的向量组与()等价. ,,1r11rrs，
,,,,,,？,,,,？,,,,,,？推论1 若向量组可由线性表示且m>s，则线性相12m1s12m关.
推论 2 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.
2.2.4极大线性无关组
5
(1)向量组中的部分向量称为一个极大线性无关组(简称为极,,,,？,,,,？1n1r
大无关组)，如果
(i)线性无关; ,,,,？1r
(ii)中的任一向量都可由线性表示. ,,,,？,,,,？1n1r
(2)每一个不全由零向量组成的向量组都有极大无关组.
(3)等价向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别地，一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.
(4)一个向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. (5)秩为r的向量组中的任何r个线性无关的向量为其一极大无关组，并且任何两个极大无关组都等价.
(6)两个向量组等价必等秩，但反之不真.
(7)设两个向量组,,,,？与,,,,？的秩都为r，并且,,,,？可由,,,,？线1s1t1s1t性表示，则这两个向量组等价.
2.3基、维数、坐标
,,,,,,？定义:数域F上的线性空间V中的向量组称为V的一个基，如果 12n
,,,,,,？(1)线性无关; 12n
,,,V,,,,,,,？(2)，可由线性表示. 12n
V的一个基所含向量的个数称为V的维数，记为dim V. 注:(1)线性空间V的一个基实际上就是V中全体向量的一个极大无关组.
6
(2)基向量是有序的，如果调换基中向量的次序，就会得到V中的另一个基. (3)若找到V中的一个基，则称V为有限维的;否则，称为无限维的.
,,,V定义:设V是数域F上的n维线性空间，为V的一个基，对有 ,,,,,,？12n
,,,,,，，，kkk？,1122nn
称()为在下的坐标，其中 kkk,,,？,,,,,,,？12n12n
. kFin,,,1,...,i
坐标有时也可以写成列向量的形式.
3.两个特殊的线性空间
3.1 欧几里得空间的定义与性质.
3.1.1定义:设V是实数域R上的线性空间，对于V中任二向量x与y，按某规则定义一个实数，用(x,y)表示.则称该实数为x与y的内积，它满足下列四个条件:
(1) 交换律 (x,y)=(y,x);
(2) 分配律 (x,y+z)=(x,y)+(x,z);
,,kR(3) 其次性 (kx,y)=k(x,y),
(4) 非负性 (x,x)0,当且仅当x=0时才有，(x,x)=0. ,
则称V为欧几里得空间，简称欧式空间或实内积空间.
3.1.2基本性质,
(1)(x,ky)=k(x,y);
7
(2)(x,0)=(0,x)=0;
nnn
(3) (,)(,),,,,xyxy,,,,iiiiijij,,,11,1ijij
3.2酉空间介绍
定义:设V是负数域C上的线性空间，对于V中任意两个向量x,y，按照规则有一
复数(x,y)与之对应，并称其为内积，它满足下列四个条件 (1) 交换律 (x,y)=这里是(x,y)的共轭复数; (,)yx(,)yx
(2) 分配律 (x,y+z)=(x,y)+(x,z);
,,kC(3) 其次性 (kx,y)=k(x,y), ; (4) 非负性 (x,x)0,当且仅当x=0时才有，实数(x,x)=0. ,
则称V为一酉空间(或酉交空间，复内积空间). 4.线性空间的同构
4.1同构映射与线性空间同构的定义
VV,定义1 设V,是数域F上的两个线性空间，若V到有一个双射满足 11(1) ,,,,,,,()()();，,,
(2),,,,()(),kk,
V,,,,其中为V中的任意向量，k为F中的任意数，则称为V到的一个同构映射. 1
VVVV,若V与之间有一个同构映射，则称V与同构，记为. 111
VV,,,,,,V定义:设V与都是欧式空间，若V与存在同构映射，并且有 11
8
((),())(,),,,,,,,,
则称欧式空间V与同构. V1
注:若为由V与V的同构映射，则称V有一个自同构. ,
4.2同构映射的性质
设为V到的一个同构映射，则 V,1
(1) ,,,,,(0)0,()();,,,,
(2) ,,,,,,,,()()...();kkkkk，，，,，，？112211rrrr
线性相关的充要条件是线性相关. (3)V中的向量组,,,,,,？,,,,(),...,()12r1r
,1V(4)是到V的一个同构映射; ,1
V(5)数域F上的两个有限维线性空间V，同构的充要条件是它们的维数相同; 1(6)若,,:,:VVVV,,都是同构映射，则 11212
,,:VV, 212
也是同构映射，并且
,,,111 ();,,,,, 2112
(7)同构的线性空间具有反身性、对称性和传递性，因而数域F上的任意两个n
维线性空间都同构;
VVVV(8)与是两个有限维欧式空间，则与同构当且仅当 1212
9
dim=dim. VV12
参考文献:
[1] 杨茂信,陈璞华,庚镜波 .《线性代数(第三版)》[M].华南理工出版社，1987. [2] 刘慧,袁文燕,姜冬青 .《矩阵论及应用》(研究生应用数学丛书)[M].北京:
化学化工出版社，2003.
[3] 张肇炽 主编.《线性代数及其应用》(高等学校教材)[M].西北工业大学出
版社，1992.
[4] 王卿文 .《线性代数核心思想及应用》(大学数学科学丛书)[M].科学出版
社，2012.
[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 ，王萼芳,石生明 修订.《高
等代数(第三版)》(高等学校教材)[M].高等教育出版社，2003.
.《矩阵论》(高等学校教材)[M].西北工业大学出版社，1989. [6] 程云鹏
10
范文二：有限维赋范线性空间的性质
有 限 维 赋 范 空 间 的 性 质 线 性
董 艳
()成都电子机械高等专科学校 四川 成都 610031
摘 要 :对于有限维赋范线性空间 ,它有一些性质是一般赋范线性空间所不具有的 , 在许多《泛函分析》的教材中 ,没有将其性质加以完整 、系统地总结 。本文对有限维赋范线 性空间的性质进行了详细的讨论与证明 。
关键词 :有限维 赋范线性空间 范数 性质
Abstract : As fo r t he p roperties of a finite dimentio nal no r med linear space , it has so me p roperties w hich are not included by so me no r mal dimentio nal no r med linear space 。In many boo ks abo ut t hat , t he p roperties are not summed up co mpletely and systematically 。This pa2 per discusses and p roves t ho ro ughly abo ut t he p roperties of a finite dimentio nal no r med linear
space 。
Key words : A finite dimentio nal no r med linear space no r med number p ropert y
+ 中图分类号 :O177 . 3 9
1 1 n n 2 2 对于有限维赋范线性空间 , 它有一些性质是 2 2 | ) ( Σ ξ ) ) ( Σ ξ| | Φ ‖x ‖Φ C|C i i 1 4 3 i = 1 i = 1 一般赋范线性空间所不具有的 。本文将给出有限 由这两个不等式得维赋范线性空间的有关性质及其证明 。 CC 34 Φ ‖x ‖ Φ ‖x ‖性质 1 设 X 是 n 维赋范线性空间 , { e, e, 1 1 2 CC 1 2′, e} 是 X 的一个基 , 则存在正数 M 和 M , 使 n 故 ‖?‖与 ‖?‖ 等价 。1 n 推论 2 任何 n 维赋范线性空间 X 必与 n 维 Σξ对一切 x = e?X , 有不等式 ii i = 1 n 1 n 欧氏空间 R 同构且同胚 。 2 2 ′( )( Σξ) 1 M ‖x ‖Φ | | Φ M ‖x ‖ i i = 1 推论 3 任何两个维数相同的有限维赋范线
而且映射 性空间都是拓扑同构的 。 n 证明 设 X , Y 是两个 n 维赋范线性空间 。(ξξξ) ΣξT : ,, ,| ?e n ii1 2 i = 1 n 由性质 1 , 存在 T : R ?X 是拓扑映射 ; 存在 T : 1 2 n 是 n 维欧几里得空间 R 到 X 的拓扑映射 。 - 1 n T: X ?Y 是拓扑 R ?Y 是拓扑映射 。故 T 12 推论 1 有限维赋范线性空间上的任何两个 映射 。即 X 与 Y 拓扑同构 。 范数都是等价的 。 ( 推论 4 有限维赋范线性空间是巴拿赫 B a2 证明 设 ‖?‖与 ‖?‖是上的两个范数 , 由 1 ) n ach空间 。因此 , 任一赋范线性空间的有限维子
性质 1 , 对于 ‖?‖, 存在正数 C, C, 使得 1 2 空间是闭子空间 。 1 1 n n 2 2 2 2 ( Σξ) ( Σξ)) C| | Φ ‖x ‖Φ C| | 2 i 1 i 证明 设{ x } 是 n 维赋范线性空间 X 中的 i = 1 i = 1 m
n 对于 ‖?‖, 存在正数 C, C, 使得 : 1 3 4 基本列 , T : R ?X 是性质 1 中给出的映射 , 由
2006 年第 1 期 董艳 :有限维赋范线性空间的性质 38
1 n n n n 2 2 ( ) ΣξξΣ ξ( Σ)ΣT ‖Φ| ||| Te‖Φ A | | Φ A 1‖1知 , 对任意 x = e?X , 有 ii x i i i i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 1 1 1 n n n 2 22 2 1 2 - 1 - 1 2 ) ( Σξ( Σξ)| | = A n | | ( Σξη) ‖T x - T y ‖= | - | Φ‖x - y ‖ i i i i ′ i = 1 i = 1 i = 1 M
于是得( )2
1 由该式知 , 存在 C> 0 , 使得 : n ‖x ‖ T ‖Φ A‖2 x m′ - 1 - 1 ( ) ‖T x - T x ‖Φ ‖x 2x ‖ Π m , k ?N m k mk 从而T 是有界线性算子 。 - 1 n n 所以{ T x } 是 R 中的基本列 , 由 R 的完备 m 推论 6 有限维赋范线性空间上的线性泛函 n ξ性知 , ??R , 使得 是连续的 。
- 1 ξξ( ‖x - T‖Φ C‖T x - ‖Π m ,X 是有限维赋范线性空间 , M 是 X 性质 5 m 1 m
) k ?N 的真子空间 , 则 ? x ?X , 使得 ‖x ‖= 1 , 且 d0 0
( x , M ) = 1 。 ξ( ) 从而 ‖x - T‖?0 m ??。因此 X 是 m 0
证明 设 X 中单位球面为 S = { x | ‖x ‖=( ) 巴拿赫 B a n ach 空间 。又因为度量空间的完备
1 子空间是闭子集 , 所以任一赋范线性空间的有限 1} 。对ε = 1 - , 由 R iesz 引理 , ? x ?S , 使得 n n n 维子空间是闭子空间 。( ε) d x , M >, 故有 n n 性质 2 赋范线性空间 X 是有限维的 Ζ X ( ) 1 = ‖x ‖= ‖x - 0 ‖Ε d x , M = i nf n n 0 x ?M 中任一有界集都是列紧的 。
1 性质 3 有限维赋范线性空间是局部列紧( )x - x ‖> 1 - ?1 n ??‖n n 的。( ) 即 l i m d x , M = 1 n n ?? X 是有限维赋范线性空间 , 并设 X 证明 设 由 di m X < +="" s="" 列紧="" ,="" 又="" s="" 是闭的="" ,="" 故="" s="" n="" 的维数是="" n="" ,="" t="" :="" r="" 是性质="" 1="" 中给出的映射="" 。="" 是紧集="" ,="" 于是设="" a="" 是="" x="" 中任意有限子集="" ,="" 即="" :="" ?="" m=""> 0 , 对 Π x( k ? { x } < {="" x="" }="" ,="" 使得="" x="" ?n="" n="" 0="" n="" k="" k="" ,="" ‖x="" ‖φ="" m="" ,="" 由性质="" 1="" ,="" ?="" c=""> 0 , 使得 2 ) ? 1 1 - 1 ‖T x ‖Φ ‖x ‖Φ M ( )A ?Π 由距离的连续性 , 有 x CC 22( ) ( ) d x , M = l i m d x , M = 1- 1 0 n - 1 n k k ?? T A因此 , T A 是 R 中的有界集 , 从而
性质 6 设 X 是 n 维赋范线性空间 , 则 X 中 n - 1 R 中的列紧集 , T 是连续的 , 故 T ( T A ) 是 是
点列{ x } 依范数收敛于 x 当且仅当{ x } 弱收敛n 0 n X 中的列紧集 。
于x 。 0 推论 5 有限维赋范线性空间的闭单位球是
证明 设{ e, e, , e} 是 X 的基底 , 往证 : 1 2 n 紧集 。 w 性质 4 有限维赋范线性空间上的线性算子 若x x , 则 ‖x - x ‖?0 。 n 0 n 0 是有界线性算子 。 ( ) 设 f 是 X 上任一连续线性泛函 , 令 f e= i
证明 设 X 是 n 维赋范线性空间 , T 是从 X) ( n。对 Π x ?X ,ci = 1 , 2 , i
到 X 的线性算子 。取 X 的基{ e, e,, e} , 对 n 1 2 ξξξ( ) ξx =e+ e+ + e, f x = c+ 1 1 2 2 nn 1 1 n ξξ+c, c+ nn 2 2 Σξ每个 x ?X , 有 x = e。由性质 1 知 ? m,′ m , ii i = 1 ( )( )( m m ξξ) 设 x = {,m , ξ(ξ,} , x = , m 1 2 n 0 1 使得 1 1 ξ) , 于是ξ, n 2 n n 2 2 2 2 ( Σξ) ( Σξ)m′| | Φ ‖x ‖Φ m | | n i i i = 1 i = 1 ( )m ( ) Σ (ξξ) | f x - x | = | c- | ?0 m 0 i i i n i = 1 Σξ 因为 T 是 线 性 算 子 , 所 以 有 T = x i, c) 对应 , 故取 f = ( 0 , ( i = 1 因 f 与 c, c, n i i 1 2
( m ) ( ) Te, 令 A = m a x ‖Te‖, 则有 i i , 0) , 则得 ξ - ξ ( ) , i , 0 , 1 , 0 , ?0 m ?? i 1 Φ i Φ n i
成都 电 子 机 械 高 等 专 科 学 校 学 报 年第 1 期2006 CHEN GDU EL EC TROM ECHAN ICAL COLL E GE 总第 34 期 2006 年 3 月 39
n , n , 再由 X 与 R 同构且同胚 , 故 ‖x 的 。= 1 , 2 , n
性质 9 若 G 是 X 的一个有限维线性子空 - x ‖?0 。 0 ( ) ( 间 ,那么对任一 x ?X , f y = ‖x - y ‖y ? 0 0 性质 7 有限维赋范线性空间是自反的。) G有最小值 。 证明 设 X 是 n 维赋范线性空间 , { e, e, 1 2 ( ) 证明 如果 x ?G , 那么 f x = 0 是函数 0 0 ′X, e} 是其一组基底 , 作 e?如下′ n if 的最小值 , 假设 x | G , 考虑某个元素 y ?G , 0 1
并且设 r = ‖x - y ‖。考虑集合 A = { y ?G| f 0 0 , i ?j ′( ) ee= ij ( ) y Φ r} , 若 y ?A , 那么 1 , i = j
n ‖y ‖Φ ‖x - y ‖+ ‖x ‖Φ r + ‖x ‖ 0 0 0 ′ Σξ( )ξ任取 x ?X , x = e, 则 eX = , 可以 jj i i j = 1 δδ记= r + ‖x ‖, 令 B = { y ?G||| y ‖Φ} , 0 ′ ′ ′ ′ X 的一组基 。事实上 , 设 证明{ e, e,, e} 是 n 1 2 有 A < b="" ,="" 而="" b="" 是="" g="" 中的有界闭集="" ,="" 从而是紧的="" 。="" n="" ′)(="" σαe="0" ,="" 则="" 由于函数="" f="" 在="" b="" 上连续="" ,="" 存在="" y="" ,="" 使得="" f="" y="" 0="" 0="" iij="1" 是="" f="" 在="" b="" 上而且显然也是在="" g="" 上的最小值="" 。′="" ′="" ′="" α)="" (="" )="" α(ααee="=" 0="" +="" e+="" e+="" nn="" j="" j="" 1="" 1="" 2="" 2="">
( )j = 1 , 2 , , n
′ ′ ′ 故{ e, e, , e} 是线性无关的 。其次 , 对 1 2 n
′′参考文献 ( ) αΠ x ?X, 令= xe, 则对 Π x ?X , i i
n n n ′′Σξ( )x = e, 有 xx ΣξαΣα( ) = = ex = ii ii iii = 1 i = 1 i = 1 [ 1 ]孙家宸 , 许凤 , 侯学章. 实变函数论与泛函 n ′ ( Σα) ( )分析. 长春 :东北师范大学出版社.ex ii i = 1 n [ 2 ]夏道行 , 吴卓人 , 严绍宗等. 实变函数论与 ′′所以 , x = Σαe, 故 X是 n 维的 。同理可证 iii = 1 泛函分析. 北京 :高等教育出版社. ′′( ) X也是 n 维的 , 因此 X 自反 。[ 3 ]王日爽. 泛函分析与最优化理论. 北京 :北 推论 7 有限维赋范线性空间的共轭空间必 京航空航天大学出版社.
是有限维的。 [ 4 ]张恭庆 , 林源渠. 泛函分析讲义. 北京 :北
性质 8 有限维赋范线性空间都是可分的。京大学出版社.
证明 容易验证 n 维欧氏空间是可分空间 。
这只须验证坐标为有理数的点所组成的可数集在
空间中稠密 , 因此 , 有限维赋范线性空间都是可分本文作者为信息与计算科学系讲师 ()上接第 20 页
经过反复测试 ,模块功能正常 ,各项指标均达到预 2000 先规定要求 ,工作稳定可靠 ,可在现场使用 。通过 宋万杰 ,罗丰 ,吴顺君编著. CPL D 技术及 3 样机的测试结果 ,证明该任意波形发生器达到了 其应用M . 西安电子科技大学出版社 ,1998 预期的设计结果 ,其性能指标明显优于传统的函
4 To m Shanle y , Do n Anderso n . PC I S YS2 数发生器 。
T EM A RCH I T EC TU R E FOU R T H ED I TON ,
2000
卢毅编著. V HDL 与数字电路设计M . 参考文献 5
科学出版社 ,2001
1 A Technical Tuto rial o n Di gital Signal
本文作者赵茂林为电气与电子工程系助教 、硕士 Synt hesis , Analog Devices Inc ,1999
邱世卉为电气与电子工程系副教授 、硕士 2 Altera Di gital Library 2000 , Altera Inc ,
范文三：实线性空间强有效性的性质
实线性空间强有效性的性质 【摘要】在实线性空间中引进序有界线性泛函和强有效性，通过
序有界基泛函研究强有效性的一些性质.
【关键词】实线性空间;序有界;基泛函;强有效性
【基金项目】国家自然科学基金资助项目(11061023);江西省自然科学基金资助项目2010gzs0176);博士启动金(ea200907383);南昌航空大学研究生科技创新基金(yc2010020)
cheng和fu1,
并且讨论了强有效性和其他有效性之间的关系.武育楠等2,和王其林,3,hausdorff局部凸拓扑向量空间中在锥—类凸和广义锥次似凸假设下研究了集值映射向量优化问题的强有效性，获得了包括其标量化在内的一些结论.徐义红,4-6,
理得到了集值映射向量优化问题的强有效性的kuhntucker与lagrange最优性条件的充分和必要条件,余丽7,类凸假设下利用凸集分离定理得到了强有效解的lagrange
8,
弧连通锥凸时强有效解的最优性条件.尚无人在只有线性结构没有拓扑结构的实线性空间中对强有效性问题进行研究.
本文将强有效的概念推广到没有拓扑只有线性结构的实线性空间中，并在实线性空间中定义序有界线性泛函，通过序有界基泛函来
研究强有效性，得到强有效性的一些性质.这些性质是今后在实线性空间中进一步研究强有效性的关键工具，具有十分重要的作用.
1.基本概念
假设x为实线性空间，x′为x的代数对偶空间，c是x的非平凡凸锥.设ax为任一非空子集，a的正对偶和严格正对偶分别定义为a+={l?x′:〈l,a〉?0,a?a}和a+s={l?x′:〈l,a〉>0,a?a,{0x}}.
定义1.19, 称锥cone(a)={x?x:λ?0,a?a,x=λa}为a的生成锥.
定义1.210, 设ax为任一非空子集,a的代数内部和相对代数内部分别定义为cor(a)={x?a:x′?x,λ′>0,λ?,0,λ′,,x+λx′?a}.
icr(a)={x?a:x′?l(a),λ′>0，λ?,0,λ′,,
x+λx′?a}.
若锥c满足c?(-c)={0}，则c为点锥.
定义1.39, 称凸锥{0}?c的凸子集b为c的一个基是指x?c,{0}，都存在λ>0,b?b，使得x=λb且表示唯一.
定义1.411, 设ax为任一非空子集，a的代数闭包和向量闭包分别定义为
lin(a)=a?{x?a:a?a,,a,x)a}.
vcl(a)={b?x:x?x,λ′>0,λ?,0,λ′,,b+λx?a}.
容易得出alin(a)vcl(a).
若a分别满足a=lin(a)和a=vcl(a)，则称a分别为代数闭集和向量闭集.因此若a是向量闭，则a也是代数闭.在拓扑线性空间x中，则a的拓扑内部、相对内部、拓扑闭包分别记为int(a)，ri(a)，cl(a)，故vcl(a)cl(a).于是若a是拓扑闭集，则一定是向量闭集.对于拓扑内部非空的凸集来说，其拓扑闭包、向量闭包和代数闭包都是一致.
定义1.512, 设c为x的序凸锥,若a?b,称集合{x:a?x?b}为x上由a和b关于序锥c的序区间.记为,a,b,.
定义1.612, 设c为x的序凸锥,称a为x的非空子集为序有界的,若存在a,b?x且a?cb,有aa,b,.
定义1.7 设x为实线性空间，定义xx中序区间映成有界的实数集的线性泛函的全体所组成的集合，称为x的序有界对偶空间.
显然有:(1)xx′;
(2)若f?x′且f为单调的，则一定有f?xx
(3)若ax，类似地有(a+)={l?x:〈l,a〉?0,a?a}为a的序有界正对偶,(a+s)={l?x
:〈l,a〉>0,a?a,{0x}}为a的序有界严格正对偶;
0?x′,{0 (4)若b为实线性空间x的凸锥c的基,那么存在f
x′}，使得b?b，都有〈f0,b〉=1，且f0为x上单调线性泛函，故f0?x
(5)称bst={f?x′:t>0,s.t.f,b〉?t,b?b}为锥c的基泛函.显然有bst.当b为凸锥c的序有界基时,类似地可以定义序有界基泛函为(bst)={f?x:t>0,s.t.f,b〉?t,b?b}.(bst)bstc+sc+(bst).
2.主要结果
在本节中假设x为实线性空间，ax，c为x中相对代数内部非空的向量闭凸点锥，b为c的基.
下面在实线性空间中引进强有效性.
定义2.1 假设x为实线性空间，c为x中相对代数内部非空的向量闭凸点锥，b为c的基，a为x中的非空子集.称x0?a为集合a关于锥c的强有效点是指若对于任意的f?x
凸吸收集u和凸平衡吸收集v，使得〈f,k?(u-cone(v+b))〉有界.其中k=vclcone(a-x0),.
记ge(a,c)为a关于锥c的强有效点的全体.
注2.1 由上定义可得若x0?ge(a,c)，则对任意的f?x
u和凸平衡吸收集v，使得〈f,cone
(a-x0)?(u-cone(v+b))〉有界.
设x为实线性空间，a为x中的非空子集，f?x′ 引理2.1
,{0x′}.若{〈f,a〉}为有界集，则{〈f,vcla〉}为有界集.
证明 假设{〈f,vcla〉}为无界集,则对于任意的n?n都存在xn?vcla，使得〈f,xn〉>n.由向量闭包的定义知对于xn?vcla，yn?x,mn>n，有xn+1[]m
nyn?a.记zn=xn+1[]mnyn，故zn?a.由{〈f,a〉}为有界集知〈f,zn〉为一有界数.而另一方面知〈f,zn〉=〈f,x
n+1[]mnyn〉>n+1[]mn〈f,yn〉，而由n?n的任意性知〈f,zn〉为无界数，这与前面证明的〈f,zn〉为一有界数矛盾.故假设不成立，于是{〈f,vcla〉}为有界集.
定理2.1 设x为实线性空间，a为x中的非空子集，c为x中相对代数内部非空的向量闭凸点锥，b为c序有界基，则(1)ge(a+c,c)
ge(a,c);(2)x0?ge(a,c)，f?(bst)存在凸吸收集u0和凸平衡吸收集v0，使得〈f,vcl(cone(a+c-x0))?(u0-cone(v0+b))〉有界.
证明 (1)令x0?ge(a+c,c)，由强有效点的定义知f?x
u和凸平衡吸收集v，使得〈f,vclcone(a+c-x0),?,u-cone(v+b),〉有界.由于0?c，于是(a-x0)(a+c-x0)，进一步vcl(cone(a-x0))vcl(cone(a+c-x0)).从而对于上述的f存在上述的u
和v使得〈f,vclcone(a-x0),?,u-cone(v+b),〉有界.即x0?ge(a,c)，故ge(a+c,c)ge(a,c).
(2)假设结论不成立，则x′?ge(a,c),f0?(bst)
u和任意的凸平衡吸收集v有
〈f0,vcl(cone(a+c-x′))?(u-cone(v+b))〉.(1)
无界.
由注2.1和引理2.1可得〈f0,cone(a+c-x′)?,u-cone(v+b),〉无界.由于u,v为任意的，特别地取v=u，于是
〈f0,cone(a+c-x′)?,u-cone(u+b),〉.(2)
无界.
由x′?ge(a,c)知对于上述的f0?(bst)在凸吸收集u及凸平衡吸收集v，使得〈f0,cone(a-x′)?,u-cone(v+b),〉有界.特别地取u–u?v，则
〈f0,cone(a-x′)?,ucone(u—b),〉有界.(3)
令〈|f0|,x〉=|〈f0,x〉|，x?x,则|f0|为x上的半范，且由拓扑线性空间知识可得在x上存在由该半范生成的唯一的拓扑t|f0|(x,t|f0|
且ω={f-10(εu0):ε>0，u0为r中开单位
球}为它的一个零元邻域基.在(2)式中令u=un，而un=f-101[]nu0，其中n?n.于是un?ω.故n?n，m
n?〈f0,cone(a+c-x′)?,un-cone(un+b),〉，使得mn>n.则xn?{,cone(a+c-x′),?,un-
cone(un+b),}使得〈f0,xn〉?mn.于是{〈f0,xn〉}趋于+?的数列.故存在λn?0,an?a,cn?c,
u′n?un,u″n?un,μn?0,bn?b，使得
xn=λn(an+cn-x′)=u′n-μn(u″n+bn).(4)
于是
〈f0,xn〉=〈f0,u′n〉-μ〈f0,u″n〉-μn〈f0,bn〉.(5)
由于u′n?un,u″n?un，对于由|f0|引进的拓扑以及n的任意性知u′n，u″n均为趋于0x.故〈f0,u′
n〉,〈f0,u″n〉均趋于0.由于b为c序有界基以及f?x可得〈f0,bn〉有界，于是由(5)式知{μn}为无界实数集.
由cn?c=cone(b)知，b′n?b，ρn?0,使得c
n=ρnb′n.由(4)式可得λn(an-x′)=u′n-μ
n(u″n+bn)-λnρnb′n.(6)
当μn=0时，由(6)式可得
λn(an-x′)=u′n-λnρnb′n?un[?内容]
范文四：线性空间证明题库Lecture02
LECTURE 2
De?ntion.A subset W of a vector space V is a subspace if
(1)W is non-empty
(2)For every v ˉ, w ˉ∈W and a, b ∈F , a v ˉ+b w ˉ∈W .
Expressions like a v ˉ+b w ˉ, or more generally
k
i =1a i v ˉ+i
are called So a non-empty subset of V is a subspace if it is closed under linear combinations. Much of today’sclass will focus on properties of subsets and subspaces detected by various conditions on linear combinations.
Theorem. If W is a subspace of V , then W is a vector space over F with operations coming from those of V .
In particular, since all of those axioms are satis?edfor V , then they are for W . We only have to check closure!
Examples:
De?ntion.Let F n ={(a 1,... , a n ) |a i ∈F }with coordinate-wise addition and scalar multiplication.
This gives us a few examples. Let W ?F n be those points which are zero except in the ?rstcoordinate:
W ={(a, 0,... , 0) }?F n .
Then W is a subspace, since
a ·(α,0,... , 0) +b ·(β,0,... , 0) =(aα+bβ,0,... , 0) ∈W.
If F =R , then W ={(a 1,... , a n ) |a i ≥0}is not a subspace. It’sclosed under addition, but not scalar multiplication.
We have a number of ways to build new subspaces from old.
Proposition. If W i for i ∈I is a collection of subspaces of V , then W =W i ={w ˉ∈V |w ˉ∈W i ?i ∈I }
i ∈I
is a subspace.
Proof. Let v ˉ, w ˉ∈W . Then for all i ∈I , v ˉ, w ˉ∈W i , by de?nition.Since each W i is a subspace, we then learn that for all a, b ∈F ,
a v ˉ+b w ˉ∈W i ,
and hence a v ˉ+b w ˉ∈W .
Thought question:Why is this never empty?
The union is a little trickier.
Proposition. W 1∪W 2is a subspace i?W 1?W 2or W 2?W 1.
1
2LECTURE 2
Proof. ?is obvious. We need to show the other, so assume that we can ?ndw ˉ1∈W 1?W 2and w ˉ2∈W 2?W 1. Then if W 1∪W 2is a subspace, then w ˉ1+w ˉ2∈W 1∪W 2. This means it’sin one of them, and without loss of generality, we may assume it’sin W 1. But this means
w 2=(w ˉ1+w ˉ2) ?w ˉ1∈W 1,
a contradiction.
Example to keep in mind:R 2with W 1=x -axis and W 2=y -axis.
Instead of the union, we consider the smallest subspace containing the union. De?ntion.If W 1and W 2are subspaces of V , then the sum is
W 1+W 2={a w ˉ1+b w ˉ2|w ˉi ∈W i }.
In other words, we consider all linear combinations of elements of W 1and W 2. Clearly if W is any subspace that contains W 1and W 2, then W contains W 1+W 2. On the other hand, it’salso closed under linear combinations and non-empty, so this is a subspace.
Special attention is given to the case where W 1∩W 2={ˉ0}.
De?ntion.If W 1∩W 2={ˉ0}, then we say the sum of W 1and W 2is the (internal)and we write it W 1⊕W 2.
So what’sso special about direct sums?
Proposition. Every element in W 1⊕W 2can be uniquely written as w ˉ1+w ˉ2. Proof. Assume w ˉ1+w ˉ2=v ˉ1+v ˉ2, where the subscript indicates the subspace from which the element is drawn. Then rearranging, we see
w ˉ1?v ˉ1=v ˉ2?w ˉ2.
The left-hand side is in W 1, while the right-hand side is in W 2, so both are in the intersection. This means both are ˉ0, and hence w ˉi =v ˉi .
Our notion of sums therefore includes two distinct notions:
(1)being able to write elements as linear combinations
(2)being able to do so uniquely.
The former is related to span, the latter to linear independence.
De?ntion.Let X ?V . Then the span of X is the collection of all linear combi-nations of elements of X :
Span (X ) = X ={a 1x ˉ1+···+a n x ˉn |x ˉi ∈X, n ≥0}.
If X is empty, then X ={ˉ0}.
The following is immediate.
Proposition. The set X is a subspace of V .
Examples:For any V , V =V . If X =W ∪U , then X =W +U .
Just as before, if W is a subspace of V and W contains X , then X ?W . Thus X is the smallest subspace containing X , and the elements of X provide convenient names for every element of their span.
ˉ∈ X , then Proposition. If w
{w ˉ}∪X = X .
LECTURE 23
Proof. One inclusion is obvious. For the other, since w ˉ∈ X , we know we can write it as a linear combination of elements of X . Thus if we have a linear combination of elements of X and w ˉ, then we can substitute for w ˉand get a linear combination with just elements of X .
This helps us greatly in cutting out redundant elements:anything we can name using a smaller set of elements is extraneous.
De?ntion.A spanning set is a set X such that X =V .
In general, these can be very big. One of the goals of much of linear algebra is to give a very compact spanning set for an arbitrary vector space.
The corresponding small notion is linear independence.
De?ntion.A set X is linearly independent if
a 1v ˉ1+···+a n v ˉn =ˉ0
implies a 1=···=a n =0for any v ˉi ∈X .
If X is not linearly independent, then it is linearly dependent.
We again see only ˉ0showing up. We can restate this de?nitionas “ˉ0has a unique presentation as a linear combination of elements of X .
Theorem. If X is linearly independent and
a 1v ˉ1+... a n v ˉn =b 1w ˉ1+···+b m w ˉm ,
where all vectors are from X and all coe?cientsare non-zero, then n =m and up to reordering, a i =b i and v ˉi =w ˉi for all i .
Proof. Order the v ˉs and w ˉs so that v ˉ1=w ˉ1,... , v ˉt =w ˉt . Moving all terms to one side then gives
(a 1?b 1)ˉv 1+···+(a t ?b t )ˉv t +a t +1v ˉt +1+···?(b t +1w ˉt +1+... ) =ˉ0.
Since X is assumed to be linearly independent, we learn that a t +1=···=a n =0and b t +1=···=0, and by our assumption on the non-zeroness of the coe?cients,this forces t =n =m . Moreover, we learn that a i =b i for all i .
Thus knowing that ˉ0has a unique presentation as a linear combination ensures that everything in the span does so. We can use span more directly to test for linear independence.
Proposition. A set X is linearly independent if and only if for all v ˉ∈X , v ˉ∈ X ?{v ˉ} .
Proof. We show the negative of this. X is linearly dependent if there is a linear dependence relation
a 1v ˉ1+···+a n v ˉn =ˉ0,
with some coe?cient(saya 1) not equal to zero. Solving for v ˉ1then expresses v ˉ1as an element of the span of the remaining vectors.
Thus if a set is linearly independent, then we can add any vector not in the span of it to it and still have a linearly independent set. On the other hand, if we add in a vector in the span, then the set becomes linearly dependent.
范文五：请教一道关于线性空间模长的证明题。
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0考元题目如下，主要是第二问的证明:
好题,好资料.我已抄写下来.
回 1楼(xjsh) 的帖子别抄完题就走了哈。记得把答案留下来啊
第(1)问,直接按欧氏空间的定义,逐条验证,那个是内积.第(2)问,正在考虑中.
第(2)问,我已证出,转换,各种交代较长.我已写出,再过几天才能制出电子版.
(2)的系数,可以改进为1/2 .
回 4楼(xjsh) 的帖子哎呀。现在等着急用呢。能否先把证明过程写出来。我自己先琢磨，不懂的地方再请教你哈。
回 6楼(ddsmile) 的帖子对(2)我先提示一个大概.(1)在此内积下,矩阵的模是其所有元素的平方和的开方,把矩阵写成由列向量的表示,对列向量模给一种记号.(2)算||P+Q|| >=||P|| +||Q|| ,,用到Tr(PQ)>=0;(3)将Q写成由列向量的表示,将P写成由行向量的表示,用分块法计算出PQ,PQ的元素是两个向量的内积表示,套(1)步,写出||PQ||,放大不等式,用到一下两个纯向量内积的柯西不等式,然后就明确了.
回 7楼(xjsh) 的帖子我已经写出来第二问了。你检查一下，有没有什么问题。好费劲啊。汗。。。。
给你提供附件，你好好编辑一下，然后给出正确答案哈。
把PQ的元素是用两个向量的内积表示,平方求和,对向量内积用柯西不等式,||PQ||<=||P||||Q||<=1/2(||P|| +||Q|| ),
见附件 见附件,主要部分,
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