建业0
范文一：数学解题技巧：导数
第十讲 导数
【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．
1
f '(x ) 是f (x ) =x 3+2x +1的导函数，则f '(-1) 的值是
3
2
[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
2
[解答过程] f '(x ) =x +2, ∴f '(-1) =(-1)+2=3.
故填3.
例2. 设函数f (x ) =x -a , 集合M={x |f (x ) <0},p={x |f="" '="" (x="" )="">0}, 若M P , 则实数a 的取值范围是
x -1
( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由x -a <0, ∴当a="">1时,1
x -1 x -a a -1?x -a ?x -1-(x -a ) y =, ∴y /= ==>0. ?22
x -1x -1??(x -1)(x -1)
/
∴a >1.
综上可得M P 时, ∴a >1. 考点2 曲线的切线
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的
切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题 例3. 已知函数
11
f (x ) =x 3+ax 2+bx 在区间[-11) ，，(13]，内各有一个极值点．
32
（I ）求a 2-4b 的最大值； （II ）当a 2-4b =8时，设函数y =函数y =
f (x ) 在点A (1，f (1)) 处的切线为l ，若l 在点A 处穿过
f (x ) 的图象（即动点在点A 附近沿曲线y =f (x ) 运动，经过点A 时，从l 的一侧
f (x ) 的表达式．
进入另一侧），求函数
思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I ）因为函数所以
11
f (x ) =x 3+ax 2+bx 在区间[-11) ，，(13]，内分别有一个极值点，
32
f '(x ) =x 2+ax +b =0在[-11) ，，(13]，内分别有一个实根，
设两实根为x 1，x 2（x 1
，则x 2-x 1=0
04，0
成立．故a 2-4b 的最大值是16． （II ）解法一：由
f '(1) =1+a +b 知f (x ) 在点(1，f (1)) 处的切线l 的方程是
21y -f (1) =f '(1)(x -1) ，即y =(1+a +b ) x --a ，
32
因为切线l 在点A (1，f (x )) 处空过y =所以g (x ) =
f (x ) 的图象，
21
f (x ) -[(1+a +b ) x --a ]在x =1两边附近的函数值异号，则
32
x =1不是g (x ) 的极值点．
而g (x )
1121
=x 3+ax 2+bx -(1+a +b ) x ++a ，且 3232
g '(x ) =x 2+ax +b -(1+a +b ) =x 2+ax -a -1=(x -1)(x +1+a ) ．
若1≠-1-a ，则x =1和x =-1-a 都是g (x ) 的极值点．
所以1=-1-a ，即a =-2，又由a 2-4b =8，得b =-1，故解法二：同解法一得g (x ) =
1
f (x ) =x 3-x 2-x ．
3
21
f (x ) -[(1+a +b ) x --a ]
32
13a 3
=(x -1)[x 2+(1+) x -(2+a )]． 322
因为切线l 在点A (1，f (1)) 处穿过y =f (x ) 的图象，所以g (x ) 在x =1两边附近的函数值
异号，于是存在m ． ，m 2（m 1<>
当m 1 ? ?3a ??3a ? x - 2+?，则 ?2??2? 当m 1 3a =0， 2 1 f (x ) =x 3-x 2-x ． 3 例4. 若曲线y =x 4的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直，则l 的方程为（ ） A ．4x -y -3=0 B ．x +4y -5=0 C ．4x -y +3=0 D ．x +4y +3=0 [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]与直线x +4y -8=0垂直的直线l 为4x -y +m =0，即y =x 4在某一点的导数为4，而y '=4x 3，所以y =x 4在(1，1) 处导数为4，此点的切线为4x -y -3=0. 故选A. 例5．过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +5=0相切的直线的方程为 ( ) 2 A. y =-3x 或y =1x B. y =-3x 或y =-1x C. y =-3x 或y =-1x D. y =3x 或y =1x 3333[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为y =kx , ∴kx -y =0. 又(x -2)2+(y +1)2=5, ∴圆心为(2, -1). 2 1 ∴y =x , 或y =-3x . 3 故选A. 1 3k 2+8k -3=0. ∴k =, k =-3. 3 解法2:由解法1知切点坐标为(1, -3), ?3, 1?, 由 ?22 ?22? 5??(x -2) +(y +1)?=?, ??x ?2??x ∴2(x -2) +2(y +1)y x /=0, x -2 ∴y x /=-. y +1 2 2 / / ∴k 1=y x / 13(, -) 22 =-3, k 2=y x / 31(, ) 22 1=. 3 1 ∴y =-3x , y =x . 3 故选A. 例6. 已知两抛物线C 1:y =x 2+2x , C 2:y =-x 2+a , a 取何值时C 1，C 2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对C 1:y =x 2+2x , C 2:y =-x 2+a 求导数. 解答过程：函数y =x 2+2x 的导数为y ' =2x +2，曲线C 1在点P(x 1, x 12+2x 1) 处的切线方程为y -(x 12+2x 1) =2(x 1+2)(x -x 1) ，即 y =2(x 1+1) x -x 12 ① 曲线C 1在点Q (x 2, -x 22+a ) 的切线方程是y -(-x 2+a ) =-2x 2(x -x 2) 即 y =-2x 2x +x 22+a ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得 2 x 1+1=-x 2, -x 12=x 22+1，消去x 2得方程，2x 1+2x 1+1+a =0 若△=4-4?2(1+a ) =0，即a =-1时，解得x 1=-1，此时点P 、Q 重合. 22∴当时a =-1，C 1和C 2有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为y =x -1 . 24考点3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解 的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法. 复习时，应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）; 5. 构造函数证明不等式. 典型例题 例7．函数f (x ) 的定义域为开区间(a , b ) ，导函数f '(x ) 在(a , b ) 内的图象如图所示，则函数f (x ) 在开区间(a , b ) 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 [考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见, 在区间(a ,0) 内的图象上有一个极小值点. 故选A. 例8 .设函数f (x ) =2x 3+3ax 2+3bx +8c 在x =1及x =2时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）若对于任意的x ∈[0，3]，都有 f (x ) 思路启迪：利用函数f (x ) =2x 3+3ax 2+3bx +8c 在x =1及x =2时取得极值构造方程组求a 、b 的值． 解答过程：（Ⅰ）因为函数 f '(x ) =6x 2+6ax +3b ， f (x ) 在x =1及x =2取得极值，则有f '(1) =0，f '(2)=0． ?6+6a +3b =0，即? 24+12a +3b =0．? 解得a =-3，b =4． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， f (x ) =2x 3-9x 2+12x +8c ， f '(x ) =6x 2-18x +12=6(x -1)(x -2) ． 当x ∈(01，) 时， f '(x ) >0； 当x ∈(12)，时，当x ∈(2，3) 时， f '(x ) <0； f="" '(x="" )="">0． f (x ) 取得极大值f (1) =5+8c ，又f (0)=8c ，f (3)=9+8c ． 所以，当x =1时，则当x ∈ 3]时，f (x ) 的最大值为f (3)=9+8c ． [0， 3]，有f (x ) 因为对于任意的x ∈所以 解得 9+8c c <-1或c>9， 因此c 的取值范围为(-∞，-1) (9，+∞) ． 例9. 函数y =-的值域是_____________. 思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。 2x +4≥0得，x ≥-2，即函数的定义域为解答过程：由?[-2, +∞) . ? ?x +3≥0112-， y ' =-= 22?2x +8 又2-=， 2+ ∴当x ≥-2时，y ' >0， ∴函数y =-在(-2, +∞) 上是增函数，而f (-2) =-1，∴y =-的值域是[-1, +∞) . 例10．已知函数f (x )=4x 3-3x 2cos θ+3cos θ，其中x ∈R , θ为参数，且0≤θ≤2π． 16（1）当时cos θ=0，判断函数f (x )是否有极值； （2）要使函数f (x ) 的极小值大于零，求参数θ的取值范围； （3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f (x )在区间(2a -1, a )内都是增函数，求实数a 的取值范围． [考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法. [解答过程]（Ⅰ）当cos θ=0时，f (x ) =4x 3，则f (x ) 在(-∞, +∞) 内是增函数，故无极值. （Ⅱ）f '(x ) =12x 2-6x cos θ，令f '(x ) =0，得x 1=0, x 2=cos θ. 2由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. ①当θ>时，随x 的变化f '(x ) 的符号及f (x ) 的变化情况如下表： 因此，函数f (x ) 在x =处取得极小值f() ，且f (cos ) =-1cos 3θ+3θ 222416. 要使f (cos θ) >0，必有-1cos θ(cos2θ-3) >0，可得0 6226②当时cos θ<0，随x 的变化，f="" '(x="" )="" 的符号及f="" (x="" )=""> 因此，函数f (x ) 在x =0处取得极小值f (0)，且f (0)=3cos θ. 16 若f (0)>0，则cos θ>0. 矛盾. 所以当cos θ<0时，f (x="" )=""> 综上，要使函数f (x ) 在(-∞, +∞) 内的极小值大于零，参数θ的取值范围为(π, π) ?(3π, 11π) . 62 2 6 （III ）解：由（II ）知，函数f (x ) 在区间(-∞, +∞) 与(cos θ, +∞) 内都是增函数。 2由题设，函数f (x ) 在(2a -1, a ) 内是增函数，则a 须满足不等式组 2a -1 或 2a -1 1 2a -1≥cos θ 2 由（II ），参数时θ∈(π, π) ?(3π, 11π) 时，0 26226恒成立，必有2a -1≤a . 综上，解得a ≤ 0≤a <> 所以a 的取值范围是(-∞,0) ?) . 例11．设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x ) 的单调区间. [考查目的]本题考查了函数的导数求法, 函数的极值的判定, 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]由已知得函数f (x ) 的定义域为(-1, +∞) ，且f ' (x ) =ax -1(a ≥-1), x +1（1）当-1≤a ≤0时，f ' (x ) <0, 函数f="" (x="" )="" 在(-1,="" +∞)="" 上单调递减，="" （2）当a="">0时，由f ' (x ) =0, 解得x =1. a f ' (x ) 、f (x ) 随x 的变化情况如下表 从上表可知 当x ∈(-1, 1) 时，f ' (x ) <0, 函数f="" (x="" )="" 在(-1,="" 1)=""> a a 当x ∈(1, +∞) 时，f ' (x ) >0, 函数f (x ) 在(1, +∞) 上单调递增. a a 综上所述：当-1≤a ≤0时，函数f (x ) 在(-1, +∞) 上单调递减. 当a >0时，函数f (x ) 在(-1, 1) 上单调递减，函数f (x ) 在(1, +∞) 上单调递增. a a 例12．已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx 在点x 0处取得极大值5，其导函数y =f '(x ) 的图象经过点(1,0) ，(2,0)，如图所示. 求： （Ⅰ）x 0的值； （Ⅱ）a , b , c 的值. [考查目的]本小题考查了函数的导数, 函数的极值的判定, 闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用, 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在(-∞,1)上上f ' (x )>0, ,2)上f ' (x )<0，在(2, +∞)f="" '="" x="" )="">0，在(1 故f (x ) 在上递增，在(1,2)上递减， （-∞，1），（2，+∞）因此f (x )在x =1处取得极大值，所以x 0=1 （Ⅱ）f ' (x ) =3ax 2+2bx +c , ' 由f （ 1）=0，（f ' 2）＝0，（f ' 1）＝5， ?3a +2b +c =0, 得?12a +4b +c =0, ? ?a +b +c =5, ? 解得a =2, b =-9, c =12. 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）设f ' (x ) =m (x -1)(x -2) =mx 2-3mx +2m , 又f ' (x ) =3ax 2+2bx +c , 所以a =m , b =-3m , c =2m 3 2 f (x ) = m 332| x -mx +2mx , 32 由f (1) =5，即m -3m +2m =5, 得m =6, 32所以a =2, b =-9, c =12 例13．设x =3是函数f (x )=(x 2+ax +b )e 3-x (x ∈R )的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求f (x )的单调区间； 25?（Ⅱ）设a >0，g (x )=? a 2+?e x . 若存在ε1, ε2∈[0, 4]使得f (ε1)-g (ε2<1成立，求a> 4?? 围. [考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力. [解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2) x ＋b －a ]e 3x , － 由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 33＝0，即得b ＝－3－2a ， － 则 f `(x)＝[x 2＋(a －2) x －3－2a －a ]e 3 － －x ＝－[x 2＋(a －2) x －3－3a ]e 3x ＝－(x －3)(x ＋a+1) e 3x . － 令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2="">3＝x 1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f="" (x)为减函数；="" 在区间（3，―a="" ―1）上，f="" `(x)="">0，f (x)为增函数； 在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.="" 当a="">－4时，x 2<3＝x> 在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f="" (x)为减函数；="" 在区间（―a="" ―1，3）上，f="" `(x)="">0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f> （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a="" ＋13）e="" 1="">0，f (3)＝a ＋6， － 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]. 又g (x ) =(a 2+25) e x 在区间[0，4]上是增函数， 4 且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋25，（a 2＋25）e 4]， 4 4 由于（a 2＋25）－（a ＋6）＝a 2－a ＋1＝（a -1）2≥0，所以只须仅须 424（a 2＋25）－（a ＋6）<1且a>0，解得0 4 2 故a 的取值范围是（0，3）. 2例14 已知函数 1 f (x ) =ax 3-bx 2+(2-b ) x +1 3 在x =x 1处取得极大值，在x =x 2处取得极小值，且0 （2）若z =a +2b , 求z 的取值范围。 [解答过程]求函数（Ⅰ）由函数的两个根． 所以 <> f (x ) 的导数f '(x ) =ax 2-2bx +2-b ． f (x ) 在x =x 1处取得极大值，在x =x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f '(x ) =0 f '(x ) =a (x -x 1)(x -x 2) 当x ?f '(0)>0?2-b >0?? （Ⅱ）在题设下，0 ?f '(2)>0?4a -4b +2-b >0???2-b >0 ? 化简得?a -3b +2<> ?4a -5b +2>0? ，a -3b +2=0，4a -5b +2=0．此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：2-b =0 所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：A ?46? ?，B (2，，2) C (4，2) ． 77?? b z 在这三点的值依次为 所以z 的取值范围为 16 ，6，8． 7 ?16?． ，8?7?? 2 1 O B (2，2) ?46? A ??77? 2 C (4，2) 4 a 小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合． 考点4 导数的实际应用 建立函数模型, 利用 典型例题 例15. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. [解答过程]设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为 h = 18-12x =4. 5-3x (m)4 3?? 00；当10且a ≠1) 的单调区间_________. 16. 在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题 17. 已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x , 直线l :y =kx , 且l 与C 切于点(x 0, y 0)(x 0≠0) ，求直线l 的方程及切点坐标. 18. 求函数f(x)=p2x 2(1-x)p (p∈N +) ，在[0，1]内的最大值. 19. 证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20. 求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ; (2)y =. 1-x 21. 有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度. 22. 求和S n =12+22x +32x 2+?+n 2x n －1 ,(x ≠0, n ∈N *). 23. 设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 24. 设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值； (2)试判断x =1,x =2是函数f (x ) 的极大值还是极小值，并说明理由. 25. 已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e , 其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a . 26. 设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β(α0, 当x ∈(0,b ) 时，f ′(0)1或x 1, 则当x ＞1时，log a e ＞0,6x +5＞0,(3x －1)(x +2)＞0, ∴f ′(x ) ＞0, ∴函数f (x ) 在(1,+ 3 3 ∞) 上是增函数，x 1时，f ′(x ) 0, ∴f (x ) 在(－∞, －2) 上是增函数. 答案：(－∞, －2) 16. 解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x , 高为h ，那么h =AO +BO =R +R 2-x 2, 解得 x 2=h (2R －h ), 于是内接三角形的面积为 S =x ·h =(2Rh -h 2) ?h =(2Rh 3-h 4) , 从而S '=1(2Rh 3-h 4) (2Rh 3-h 4) ' 2 -1h 2(3R -2h ) =(2Rh 3-h 4) (6Rh 2-4h 3) =2(2R -h ) h 3. 1 1 令S ′=0,解得h =3R , 由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R ) 上列表如下： 2 2 由此表可知，当x =3R 时，等腰三角形面积最大. 答案：3R 2 三、17. 解：由l 过原点，知k =y 0(x 0≠0), 点(x 0, y 0) 在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, x 0 ∴y 0=x 02－3x 0+2,y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 x 0 又k =y 0, ∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2,2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=3. x 0 2 由x ≠0, 知x 0=3, 2 ∴y 0=(3) 3－3(3) 2+2·3=－3. ∴k =y 0=－1. 2 2 2 8 x 0 4 ∴l 方程y =－1x 切点(3，－3). 4 2 8 18. f ' (x ) =p 2x (1-x ) p -1[2-(2+p ) x ] , 令f ’(x)=0得，x=0，x=1，x=2 , 2+p 在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，f (2) =4(p ) p +2 . 2+p 2+p ∴ [f (x )]max =4(p ) 2+p . 2+p 19. 设双曲线上任一点P （x 0，y 0）, 2 k =y |=-a , x =x 02 x 0 2 ∴ 切线方程y -y =-a (x -x ) , 00x 0 令y=0，则x=2x0 令x=0，则y =2a . x 0 2 ∴ S =1|x ||y |=2a 2 . 2 20. 解：(1)注意到y ＞0, 两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+lne 2x =ln(x 2－2x +3)+2x, 1(x 2-2x +3) '2x -22(x 2-x +2) ∴?y '=2+2=2+2=2 y x -2x +3x -2x +3x -2x +3. 2(x 2-x +2) 2(x 2-x +2) 2 ∴y '=2?y =2?(x -2x +3) ?e 2x . x -2x +3x -2x +3=2(x 2-x +2) ?e 2x . (2)两端取对数，得 ln|y |=1(ln|x |－ln|1－x |), 3 两边解x 求导，得 111-111?y '=(-) =, y 3x 1-x 3x (1-x ) 1113x ∴y '=??y =. 3x (1-x ) 3x (1-x ) 1-x 21. 解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米, 则s =5－25-9t 2, 当下端移开1.4 m时，t 0=1?4=7, 3 15 -1 又s ′=－ (25－9t 2) 2·(－9·2t )=9t 2 1 125-9t 2 , 所以s ′(t 0)=9×7 15 ? 125-9?() 2 15 =0.875(m/s). 22. 解：(1)当x =1时，S n =12+22+32+?+n 2=1n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+? 6 n n +1 +nx n -1 =1-(n +1) x +nx , 两边同乘以x , 得 (1-x ) x +2x 2+3x 2+?+nx n =x -(n +1) x n +1 (1-x ) +nx n +2两边对x 求导，得 S n =12+22x 2+32x 2+?+n 2x n -1 2n 2n +12n +2 =1+x -(n +1) x +(2n +2n -1) x -n x . (1-x ) 23. 解：f ′(x )=3ax 2+1. 若a ＞0, f ′(x ) ＞0对x ∈(－∞,+∞) 恒成立，此时f (x ) 只有一个单调区间，矛盾. 若a =0,f ′(x )=1＞0, ∴x ∈(－∞,+∞), f (x ) 也只有一个单调区间，矛盾. 若a 0, 当x ∈(2,+ 3 3 ∞) 时，f ′(x ) a ＞e , ∴要证a b ＞b a , 只要证b ln a ＞a ln b , 设f (b )=b ln a －a ln b (b ＞e ), 则 f ′(b )=lna －a . ∵b ＞a ＞e , ∴ln a ＞1, 且a 0. ∴函数f (b )=b ln a －a ln b 在(e ,+∞) b b 上是增函数，∴f (b ) ＞f (a )=a ln a －a ln a =0,即b ln a －a ln b ＞0, ∴b ln a ＞a ln b , ∴a b ＞b a . 证法二：要证a b ＞b a , 只要证b ln a ＞a ln b (e e ) ，则f ′ x ∴f (a ) ＞f (b ), 即ln a >ln b , ∴a b ＞b a . a b 26. 解：(1)f (α)= 2 -8a +16-a , f (β)= 2 -8a +16+a , f (α)=f (β)=4, (2)设φ(x )=2x 2－ax －2, 则当α0, 最小值f (α) 0， 故f （x ）在（－∞，－1）上是增函数，f （x ）在（1，+∞）上是增函数. 若x ∈（－1，1），则f '（x ）0且a ≠1) 的单调区间_________. 16. 在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题 17. 已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x , 直线l :y =kx , 且l 与C 切于点(x 0, y 0)(x 0≠0) ，求直线l 的方程及切点坐标. 18. 求函数f(x)=p2x 2(1-x)p (p∈N +) ，在[0，1]内的最大值. 19. 证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20. 求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ; (2)y =x . 1-x 21. 有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度. － 22. 求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n 1 ,(x ≠0, n ∈N *). 23. 设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 24. 设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值； (2)试判断x =1,x =2是函数f (x ) 的极大值还是极小值，并说明理由. 25. 已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e , 其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a . 26. 设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β(α0, 当x ∈(0,b ) 时， x f ′(0)1或x 1, 则当x ＞1时，log a e ＞0,6x +5＞0,(3x －1)(x +2)＞0, ∴f ′(x ) ＞0, ∴函数f (x ) 在(1,+∞) 上是增函数，x 1时，f ′(x ) 0, ∴f (x ) 在(－∞, －2) 上是增函数. 答案：(－∞, －2) 16. 解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x , 高为h ，那么 x 2=h (2R －h ), 于是内接三角形的面积为 S =x ·h =(2Rh -h 2) ?h =(2Rh 3-h 4) , 从而S '=1(2Rh 3-h 4) -2(2Rh 3-h 4) ' 2 -1h 2(3R -2h ) =(2Rh 3-h 4) 2(6Rh 2-4h 3) =2(2R -h ) h 3. 1 h =AO +BO =R +R 2-x 2, 解得 1 令S ′=0,解得h =3R , 由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R ) 上列表如下： 2 2由此表可知，当x =3R 时，等腰三角形面积最大. 答案：3R 2 三、17. 解：由l 过原点，知k =y 0(x 0≠0), 点(x 0, y 0) 在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, x 0 ∴y 0=x 02－3x 0+2,y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 x 0 又k =y 0, ∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2,2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=3. x 02 由x ≠0, 知x 0=3, 2 2∴y 0=(3) 3－3(3) 2+2·3=－3. ∴k =y 0=－1. 228x 04 ∴l 方程y =－1x 切点(3，－3). 428 18. f ' (x ) =p 2x (1-x ) p -1[2-(2+p ) x ] , 2 , 2+p 在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，f (2) =4(p ) p +2 2+p 2+p ∴[f (x )]max =4(p ) 2+p . 2+p 令f ’(x)=0得，x=0，x=1，x=. 19. 设双曲线上任一点P （x 0，y 0）, a 2 , k =y |x =x =-0x 02 ∴切线方程y -y 0=-a 2 x 02(x -x 0) , 令y=0，则x=2x0 2令x=0，则y =2a . x 0 ∴S =1|x ||y |=2a 2 . 2 20. 解：(1)注意到y ＞0, 两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+lne 2x =ln(x 2－2x +3)+2x, 1(x 2-2x +3) '2x -22(x 2-x +2) '∴?y =2+2=2+2=2y x -2x +3x -2x +3x -2x +3. ∴y '=2(x 2-x +2) 2(x 2-x +2) ?y =?(x 2-2x +3) ?e 2x . 22x -2x +3x -2x +3 =2(x 2-x +2) ?e 2x . (2)两端取对数，得 ln|y |=1(ln|x |－ln|1－x |), 3 两边解x 求导，得 111-111?y '=(-) =, y 3x 1-x 3x (1-x ) 111x 3∴y '=??y =. 3x (1-x ) 3x (1-x ) 1-x 21. 解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米, 则s =5－25-9t 2, 当下端移开1.4 m时，t 0=1?4=7, 315 -1又s ′=－ (25－9t 2) 2·(－9·2t )=9t 211 25-9t 2, 所以s ′(t 0)=9×7 15?1 25-9?(72) 15=0.875(m/s). n n +122. 解：(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=1n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1 =1-(n +1) x +nx , 两边同6(1-x ) 2 乘以x , 得 x +2x 2+3x 2+…+nx n =x -(n +1) x n +1 2+nx n +2两边对x 求导，得 (1-x ) S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1 2n 2n +12n +2=1+x -(n +1) x +(2n +2n -1) x -n x . (1-x ) 23. 解：f ′(x )=3ax 2+1. 若a ＞0, f ′(x ) ＞0对x ∈(－∞,+∞) 恒成立，此时f (x ) 只有一个单调区间，矛盾. 若a =0,f ′(x )=1＞0, ∴x ∈(－∞,+∞), f (x ) 也只有一个单调区间，矛盾. 若a 0, 当x ∈(2,+∞) 时，f ′(x ) a ＞e , ∴要证a b ＞b a , 只要证b ln a ＞a ln b , 设f (b )=b ln a －a ln b (b ＞e ), 则 f ′(b )=lna －a . ∵b ＞a ＞e , ∴ln a ＞1, 且a 0. ∴函数f (b )=b ln a －a ln b 在(e ,+∞) 上是增函数，∴f (b ) ＞f (a )=a ln a b b －a ln a =0,即b ln a －a ln b ＞0, ∴b ln a ＞a ln b , ∴a b ＞b a . 证法二：要证a b ＞b a , 只要证b ln a ＞a ln b (e f (b ), 即ln a >ln b , ∴a b ＞b a . a b , 设f (x )=ln x (x ＞e ) ，则f ′(x )=1-ln x 0, 最小值f (α) ＜0, ∵|f (α) ·f (β)|=4,∴当且仅当f (β)=－f (α)=2时，f (β) －f (α)=|f (β)|+|f (α)|取最小值4，此时a =0,f (β)=2. 导数高考考查范围： 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。 考点一：导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 考点二：曲线的切线 1、关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. 2、关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. 典型例题1： 考点三：导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题： 1、求函数的解析式; 2、求函数的值域; 3、解决单调性问题; 4、求函数的极值（最值）; 5、构造函数证明不等式. 考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力，求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法。 考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力。 考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力. 典型例题2： 考点四：导数的实际应用 建立函数模型,利用函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。 典型例题3： 导数实际应用不仅考查了函数的导数、函数的极值的判定、闭区间上二次函数的最值、函数与方程的转化等基础知识的综合应用,还会考查应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力。 第十讲 导数题的解题总结 【命题趋向】 导数命题趋势: 综观 2007年全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特 点: (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围) , 和求斜率(切线方程结合函数求最值) 问题 . (2)求极值 , 函数单调性 , 应用题 , 与三角函数或向量结合 . 分值在 12---17分之间,一般为 1个选择题或 1个填空题, 1个解答题 . 【考点透视】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌 握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导 法则,会求某些简单函数的导数. 3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系; 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最 小值. 【例题解析】 考点 1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景, 掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义, 理 解导函数的概念 . 例 1. (2007年 北京卷) () f x '是 3 1() 213 f x x x = ++的导函数,则 (1) f '-的值是 . [考查目的 ] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力 . [解答过程 ] ()2 2 () 2, (1) 123. f x x f ''=+∴-=-+= 故填 3. 例 2. ( 2006年湖南卷)设函数 () 1 x a f x x -=-, 集合 M={|() 0}x f x <,p=' {|()="" 0}x="" f="" x="">, 若 M P, 则实 数 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞ ,1) B.(0,1) C.(1,+∞ ) D. [1,+∞ ) [考查目的 ]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力 . [解答过程 ]由 0, ,1; , 1. 1 x a x a a x x -<><-当 a="">1时 当 a<> ()()() / /2211, 0. 11111. x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得 M P 时 , 1. a ∴> 考点 2 曲线的切线 (1)关于曲线在某一点的切线 求曲线 y=f(x)在某一点 P (x,y )的切线,即求出函数 y=f(x)在 P 点的导数就是曲线在该点的 切线的斜率 . (2)关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线 . 典型例题 例 3. (2007年湖南文)已知函数 32 11() 32 f x x ax bx =++在区间 [11) -, , (13], 内各有一个 极值点. (I )求 24a b -的最大值; (II )当 248a b -=时,设函数 () y f x =在点 (1(1))A f , 处的切线为 l ,若 l 在点 A 处穿过 函数 () y f x =的图象(即动点在点 A 附近沿曲线 () y f x =运动,经过点 A 时,从 l 的一侧 进入另一侧) ,求函数 () f x 的表达式. 思路启迪 :用求导来求得 切线斜率 . 解答过程:(I )因为函数 32 11() 32 f x x ax bx = ++在区间 [11) -, , (13], 内分别有一个极值 点,所以 2 () f x x ax b '=++0=在 [11) -, , (13], 内分别有一个实根, 设两实根为 12x x , (12x x <> ,则 21x x -=2104x x <-≤> 04<, 20416a="" b=""><-≤ ,且当=""> x =-, 23x =,即 2a =-, 3b =-时等号 成立.故 2 4a b -的最大值是 16. (II )解法一:由 (1)1f a b '=++知 () f x 在点 (1(1))f , 处的切线 l 的方程是 (1)(1)(1) y f f x '-=-,即 21 (1) 32 y a b x a =++- -, 因为切线 l 在点 (1()) A f x , 处空过 () y f x =的图象, 所以 21 () () [(1) ]32 g x f x a b x a =-++- -在 1x =两边附近的函数值异号,则 1x =不是 () g x 的极值点. 而 () g x 321121 (1) 3232 x ax bx a b x a = ++-++++,且 22() (1) 1(1)(1) g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++. 若 11a ≠--,则 1x =和 1x a =--都是 () g x 的极值点. 所以 11a =--,即 2a =-,又由 248a b -=,得 1b =-,故 3 21() 3 f x x x x =--. 解法二:同解法一得 21() () [(1) ]32 g x f x a b x a =-++- - 2133 (1)[(1) (2)]322 a x x x a =-++-+. 因为切线 l 在点 (1(1))A f , 处穿过 () y f x =的图象,所以 () g x 在 1x =两边附近的函数值 异号,于是存在 12m m , (121m m <)> 当 11m x <时, ()="" 0g="" x=""><,当 21x="" m=""><时, ()="" 0g="" x="">; 或当 11m x <时, ()="" 0g="" x="">,当 21x m <时, ()="" 0g="" x=""><. 设="" 233()="" 1222a="" a="" h="" x="" x="" x=""> ??? =++ -+ ? ????? ,则 当 11m x <时, ()="" 0h="" x="">,当 21x m <时, ()="" 0h="" x="">; 或当 11m x <时, ()="" 0h="" x=""><,当 21x="" m=""><时, ()="" 0h="" x=""><. 由="" (1)0h="知" 1x="是" ()="" h="" x="" 的一个极值点,则=""> a h =?++ =, 所以 2a =-,又由 2 48a b -=,得 1b =-,故 3 21() 3 f x x x x = --. 例 4. (2006年安徽卷) 若曲线 4y x =的一条切线 l 与直线 480x y +-=垂直, 则 l 的方程为 ( ) A . 430x y --= B . 450x y +-= C . 430x y -+= D . 430x y ++= [考查目的 ]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力 . [解答过程 ]与直线 480x y +-=垂直的直线 l 为 40x y m -+=, 即 4y x =在某一点的导数为 4, 而 34y x '=,所以 4y x =在 (1, 1) 处导数为 4,此点的切线为 430x y --=. 故选 A. 例 5. ( 2006年重庆卷 ) 过坐标原点且与 x 2+y 2 -4x +2y +2 5=0相切的直线的方程为 ( ) A. y =-3x 或 y =3 1x B. y =-3x 或 y =-3 1x C. y =-3x 或 y =-3 1x D. y =3x 或 y =3 1x [考查目的 ]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力 . [解答过程 ]解法 1:设切线的方程为 , 0. y kx kx y =∴-= 又 ()()()22521, 2, 1. 2 x y -++=∴-圆心为 21 3830. , 3. 3 k k k k +-=∴==- 1 , 3. 3 y x y x ∴==-或 故选 A. 解法 2:由解法 1知切点坐标为 1331(, ), , , 2 222??- ??? 由 ()()/ / 2 2 // / / 113231(, ) (, ) 22 22 5(2) 1, 22(2) 210, 2 . 1 13, . 3 1 3, . 3 x x x x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -????-++= ?????∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-= 故选 A. 例 6. 已知两抛物线 a x y C x x y C +-=+=2221:, 2:, a 取何值时 1C , 2C 有且只有一条公切线, 求出此时公切线的方程 . 思路启迪 :先对 a x y C x x y C +-=+=2221:, 2:求导数 . 解答过程:函数 x x y 22+=的导数为 22' +=x y ,曲线 1C 在点 P(12112, x x x +) 处的切线方程为 ) )(2(2) 2(1112 1x x x x x y -+=+-,即 211) 1(2x x x y -+= ① 曲线 1C 在点 Q ) , (222a x x +-的切线方程是 ) (2) (222x x x a x y --=+--即 a x x x y ++-=2222 ② 若直线 l 是过点 P 点和 Q 点的公切线,则①式和②式都是 l 的方程,故得 1, 1222121+=--=+x x x x ,消去 2x 得方程, 012212 1=+++a x x 若△ =0) 1(244=+?-a ,即 2 1-=a 时,解得 2 11-=x ,此时点 P 、 Q 重合 . ∴当时 2 1-=a , 1C 和 2C 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为 14 y x =- . 考点 3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数, 导数是研究函数性质的重要而 有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我 们解决求函数的极值、 最值提供了一种简明易行的方法, 进而与不等式的证明, 讨论方程解 的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法 . 复习时,应高度重视以下问题 : 1.. 求函数的解析式 ; 2. 求函数的值域 ; 3.解决单调性问题 ; 4.求函数的极值(最值) ; 5. 构造函数证明不等式 . 典型例题 例 7. (2006年天津卷)函数 ) (x f 的定义域为开区间 ) , (b a ,导函数 ) (x f '在 ) , (b a 内的图象如 图所示,则函数 ) (x f 在开区间 ) , (b a 内有极小值点( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 [考查目的 ]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识 的应用能力 . [解答过程 ]由图象可见 , 在区间 (,0) a 内的图象上有一个极小值点 . 故选 A. 例 8 . (2007年全国一)设函数 32() 2338f x x ax bx c =+++在 1x =及 2x =时取得极值. (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 [03]x ∈, ,都有 2() f x c <成立,求 c=""> 思路启迪 :利用 函数 32() 2338f x x ax bx c =+++在 1x =及 2x =时取得极值构造方程组求 a 、 b 的值. 解答过程:(Ⅰ) 2 () 663f x x ax b '=++, 因为函数 () f x 在 1x =及 2x =取得极值,则有 (1)0f '=, (2)0f '=. 即 6630241230a b a b ++=?? ++=?, . 解得 3a =-, 4b =. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 32() 29128f x x x x c =-++, 2() 618126(1)(2) f x x x x x '=-+=--. 当 (01) x ∈, 时, () 0f x '>; 当 (12) x ∈, 时, () 0f x '<; 当="" (23)="" x="" ∈,="" 时,="" ()="" 0f="" x="" '="">. 所以,当 1x =时, () f x 取得极大值 (1)58f c =+,又 (0)8f c =, (3)98f c =+. 则当 []03x ∈ , 时, () f x 的最大值为 (3)98f c =+. 因为对于任意的 []03x ∈ , ,有 2() f x c <恒成立, 所以="" 298c="" c=""><> 解得 1c <-或 9c="">, 因此 c 的取值范围为 (1) (9) -∞-+∞ , , . 例 9. 函数 y x x =+-+243的值域是 _____________. 思路启迪 :求函数的值域, 是中学数学中的难点, 一般可以通过图象观察或利用不等式性质 求解, 也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法 求解较为容易。 解答过程:由 24030 x x +≥+≥?? ?得, x ≥-2,即函数的定义域为 [, ) -+∞2. y x x x x x x ' = +-+= +-++?+12412323242243 , 又 234282324 x x x x x +-+= ++++, ∴当 x ≥-2时, y ' >0, ∴函数 y x x =+-+243在 (, ) -+∞2上是增函数,而 f () -=-21, ∴=+-+y x x 243 的值域是 [, ) -+∞1. 例 10. (2006年天津卷)已知函数 ()θθcos 16 3cos 3423+-=x x x f ,其中 θ, R x ∈为参数,且 πθ20≤≤. (1)当时 0cos =θ,判断函数 ()x f 是否有极值; (2)要使函数 () f x 的极小值大于零,求参数 θ的取值范围; (3) 若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 θ,函数 ()x f 在区间 ()a a , 12-内都是增函数, 求实数 a 的取值范围. [考查目的 ]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、 解不等式等基础 知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法 . [解答过程 ](Ⅰ)当 cos 0θ=时, 3() 4f x x =,则 () f x 在 (, ) -∞+∞内是增函数,故无极值 . (Ⅱ) 2'() 126cos f x x x θ=-,令 '() 0f x =,得 12cos 0, 2 x x θ==. 由(Ⅰ) ,只需分下面两种情况讨论 . ①当 cos 0θ>时,随 x 的变化 '() f x 的符号及 () f x 的变化情况如下表: 因此,函数 () f x 在 cos 2x =处取得极小值 cos f() 2,且 3cos 13() cos 2416f θθθ=-+. 要使 cos () 02f θ>,必有 213cos (cos) 044θθ-->,可得 0cos θ<> 由于 0cos θ≤,故 311 6 2 2 6 ππππθθ<或> ②当时 cos 0θ<,随 x="" 的变化,="" '()="" f="" x="" 的符号及="" ()="" f="" x=""> 因此,函数 () 0f x x =在 处取得极小值 (0)f ,且 3(0)cos . 16 f θ= 若 (0)0f >,则 cos 0θ>. 矛盾 . 所以当 cos 0θ<时, ()="" f="" x="" 的极小值不会大于零=""> 综上, 要使函数 () f x 在 (, ) -∞+∞内的极小值大于零, 参数 θ的取值范围为 311(, ) (, ) 62 2 6 ππππ?. (III )解:由(II )知,函数 () f x 在区间 (, ) -∞+∞与 cos (, ) 2 θ+∞内都是增函数。 由题设,函数 () (21, ) f x a a -在 内是增函数,则 a 须满足不等式组 210 a a a -<≤> 211 21cos 2 a a a θ -<> 由(II ) ,参数时 311(, ) (, ) 62 2 6 ππππθ∈?时, 0cos θ<. 要使不等式="" 121cos=""> a θ-≥关于参数 θ 恒成立,必有 21a -≥a ≤. 综上,解得 0a ≤1a <> 所以 a 的取值范围是 (,0) -∞?. 例 11. (2006年山东卷 ) 设函数 f (x )=ax -(a +1)ln(x +1),其中 a ≥-1,求 f (x ) 的单调区间 . [考查目的 ]本题考查了函数的导数求法 , 函数的极值的判定 , 考查了应用数形结合的数学思想 分析问题解决问题的能力 [解答过程 ]由已知得函数 () f x 的定义域为 (1, ) -+∞,且 ' 1() (1), 1 ax f x a x -=≥-+ (1)当 10a -≤≤时, ' () 0, f x <函数 ()="" f="" x="" 在="" (1,="" )="" -+∞上单调递减,="" (2)当="" 0a="">时,由 ' () 0, f x =解得 1. x a = ' 、 随 x 的变化情况如下表 从上表可知 当 1(1, ) x a ∈-时, ' () 0, f x <函数 ()="" f="" x="" 在="" 1(1,="" )=""> -上单调递减 . 当 1(, ) x a ∈+∞时, ' () 0, f x >函数 () f x 在 1(, ) a +∞上单调递增 . 综上所述:当 10a -≤≤时,函数 () f x 在 (1, ) -+∞上单调递减 . 当 0a >时,函数 () f x 在 1(1, ) a -上单调递减,函数 () f x 在 1(, ) a +∞上单调递增 . 例 12. (2006年北京卷)已知函数 32() f x ax bx cx =++在点 0x 处取得 极大值 5,其导函数 '() y f x =的图象经过点 (1,0), (2,0),如图所示 . 求: (Ⅰ) 0x 的值; (Ⅱ) , , a b c 的值 . [考查目的 ]本小题考查了函数的导数 , 函数的极值的判定 , 闭区间上二次函数的最值 , 函数与 方程的转化等基础知识的综合应用 , 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能 力 [解答过程 ]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在 (),1-∞上 ()' 0f x >,在 ()1,2上 ()' 0f x <,在> 2, +∞上 ()' 0f x >, 故 () f x 在 ∞∞(-, 1),(2, +) 上递增,在 (1,2)上递减, 因此 ()f x 在 1x =处取得极大值,所以 01x = (Ⅱ) ' 2() 32, f x ax bx c =++ 由 ' ' ' f f f (1) =0,(2)=0,(1)=5, 得 320, 1240, 5, a b c a b c a b c ++=??++=? ?++=? 解得 2, 9, 12. a b c ==-= 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设 ' 2() (1)(2) 32, f x m x x mx mx m =--=-+ 又 ' 2() 32, f x ax bx c =++ 所以 3, , 23 2 m a b m c m ==-= 32| 3() 2, 32 m f x x mx mx = -+ 由 (1)5f =, 即 325, 3 2 m m m -+=得 6, m = 所以 2, 9, 12a b c ==-= 例 13. (2006年湖北卷)设 3=x 是函数 ()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点 . (Ⅰ)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 ()x f 的单调区间; (Ⅱ)设 0>a , ()x e a x g ?? ? ? ?+=4252. 若存在 []4, 0, 21∈εε使得 ()()121<-εεg f="" 成立,求="" a=""> 围 . [考查目的 ]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决 问题的能力 . [解答过程 ](Ⅰ) f `(x)=-[x 2+(a -2) x +b -a ]e 3- x , 由 f `(3)=0,得 -[32+(a -2)3+b -a ]e 3- 3=0,即得 b =-3-2a , 则 f `(x)=[x 2+(a -2) x -3-2a -a ]e 3 -x =-[x 2+(a -2) x -3-3a ]e 3- x =-(x -3)(x +a+1) e 3- x . 令 f `(x)=0,得 x 1=3或 x 2=-a -1,由于 x =3是极值点, 所以 x+a+1≠ 0, 那么 a ≠-4. 当 a <-4时, x="" 2="">3=x 1,则 在区间(-∞, 3)上, f `(x)<0, f="" (x)为减函数;="" 在区间(3,―="" a="" ―="" 1)上,="" f="" `(x)="">0, f (x)为增函数; 在区间(― a ― 1,+∞)上, f `(x)<0, f="" (x)为减函数="" .="" 当="" a="">-4时, x 2<3=x> 在区间(-∞,― a ― 1)上, f `(x)<0, f="" (x)为减函数;="" 在区间(―="" a="" ―="" 1,="" 3)上,="" f="" `(x)="">0, f (x)为增函数; 在区间(3,+∞)上, f `(x)<0, f="" (x)为减函数=""> (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a >0时, f (x)在区间(0, 3)上的单调递增,在区间(3, 4)上单调 递减,那么 f (x)在区间 [0, 4]上的值域是 [min(f (0), f (4) ), f (3)], 而 f (0)=-(2a +3) e 3<0, f="" (4)="(2a" +13)="" e=""> 1>0, f (3)=a +6, 那么 f (x)在区间 [0, 4]上的值域是 [-(2a +3) e 3, a +6]. 又 225() () 4 x g x a e =+在区间 [0, 4]上是增函数, 且它在区间 [0, 4]上的值域是 [a 2+4 25, (a 2+4 25) e 4], 由于(a 2+4 25)-(a +6)=a 2-a +41=(2 1-a ) 2≥ 0,所以只须仅须 (a 2+4 25)-(a +6) <1且 a="">0,解得 0 3. 故 a 的取值范围是(0, 2 3) . 例 14 (2007年全国二) 已知函数 3 21() (2) 13 f x ax bx b x = -+-+ 在 1x x =处取得极大值,在 2x x =处取得极小值,且 12012x x <. (1)证明="" 0a="">; (2)若 z =a +2b , 求 z 的取值范围。 [解答过程 ]求函数 () f x 的导数 2 () 22f x ax bx b '=-+-. (Ⅰ)由函数 () f x 在 1x x =处取得极大值,在 2x x =处取得极小值,知 12x x , 是 () 0f x '=的两个根. 所以 12() ()() f x a x x x x '=-- 当 1x x <时, ()="" f="" x="" 为增函数,="" ()="" 0f="" x="" '="">,由 10x x -<, 20x="" x=""><得 0a="">. (Ⅱ)在题设下, 12012x x <等价于 (0)0(1)0(2)0f="" f="" f="" '="">??'? 即 202204420b a b b a b b ->?? -+-?. 化简得 20 3204520b a b a b ->?? -+? . 此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线:203204520b a b a b -=-+=-+=, , . 所围成的 ABC △ 的内部,其三个顶点分别为:46(22) (42) 77A B C ?? ??? , ,, , . z 在这三点的值依次为 16687 , , . 所以 z 的取值范围为 1687?? ??? , . 小结:本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合. 考点 4 导数的实际应用 建立函数模型 , 利用 典型例题 例 15. (2007年重庆文) 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该 长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? [考查目的 ]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决 实际问题的能力 . [解答过程 ]设长方体的宽为 x (m ) ,则长为 2x (m),高为 ??? ??-=-=230(m) 35. 441218 故长方体的体积为 ). 2 3 0() (m69) 35. 4(2) (3322 b a 2 1 2 4 O 4677A ?? ??? (42) C , (22) B , 从而 ). 1(18) 35. 4(1818) (2x x x x x x V -=--=' 令 V ′(x )=0,解得 x =0(舍去)或 x =1,因此 x =1. 当 0 3 2 时, V ′(x )<0, 故在="" x="1处" v="" (x="" )取得极大值,并且这个极大值就是="" v="" (x="" )的最大值。="" 从而最大体积="" v="V" ′(x="" )="9×12-6×13(m" 3)="" ,此时长方体的长为="" 2="" m,高为="" 1.5="" m.="" 答:当长方体的长为="" 2="" m时,宽为="" 1="" m,高为="" 1.5="" m时,体积最大,最大体积为="" 3="" m3。="" 例="" 16.="" (2006年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗="" 油量="" y="" (升)关于行驶速度="" x="" (千米=""> 313 8(0120). 12800080 y x x x = -+<≤已知甲、乙两地相距 100千米="" .="" (i="" )当汽车以="" 40千米="" 时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?="" (ii=""> [考查目的 ]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决 实际问题的能力 . [解答过程 ](I )当 40x =时,汽车从甲地到乙地行驶了 1002.540 =小时, 要耗没 313 ( 40408) 2.517.512800080 ?-?+?=(升) . 答:当汽车以 40千米 /小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5升。 (II )当速度为 x 千米 /小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 100x 小时,设耗油量为 () h x 升,依 题意得 3213100180015 () (8). (0120), 1280008012804 h x x x x x x x =-+=+-<> 33 22 80080'() (0120). 640640x x h x x x x -=-=<≤ 令="" '()="" 0,="" h="" x="得" 80.="" x=""> 当 (0,80)x ∈时, '() 0, () h x h x <是减函数;当 (80,120)x="" ∈时,="" '()="" 0,="" ()="" h="" x="" h="" x="">是增函数 . 当 80x =时, () h x 取到极小值 (80)11.25. h = 因为 () h x 在 (0,120]上只有一个极值,所以它是最小值 . 答:当汽车以 80千米 /小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25升 . 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1. y=e sin x cos(sinx ) ,则 y ′ (0)等于 ( ) A.0 B.1 C. -1 D.2 2. 经过原点且与曲线 y =5 9++x x 相切的方程是 ( ) A. x +y =0或 25 x +y =0 B. x -y =0或 25 x +y =0 C. x +y =0或 25 x -y =0 D. x -y =0或 25 x -y =0 3. 设 f (x ) 可导,且 f ′ (0)=0,又 x x f x ) (lim 0 '→=-1, 则 f (0)( ) A. 可能不是 f (x ) 的极值 B. 一定是 f (x ) 的极值 C. 一定是 f (x ) 的极小值 D. 等于 0 4. 设函数 f n (x )=n 2x 2(1-x ) n (n 为正整数 ) ,则 f n (x ) 在[0,1]上的最大值为 ( ) A.0 B.1 C. n n ) 221(+- D. 1) 2 (4++n n n 5、 函数 y=(x2-1) 3+1在 x=-1处 ( ) A 、 有极大值 B 、无极值 C 、有极小值 D 、无法确定极值情况 6.f(x)=ax3+3x2+2, f ’ (-1)=4,则 a=( ) A 、 3 10 B 、 3 13 C 、 316 D 、 3 19 7. 过抛物线 y=x 2 上的点 M (4 1, 21)的切线的倾斜角是 ( ) A 、 300 B 、 450 C 、 600 D 、 900 8. 函数 f(x)=x3-6bx+3b在(0, 1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是 ( ) A 、 (0, 1) B 、 (-∞, 1) C 、 (0, +∞) D 、 (0, 2 1) 9. 函数 y=x3 -3x+3在 [2 5, 23-]上的最小值是 ( ) A 、 889 B 、 1 C 、 8 33 D 、 5 10、若 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 f(0)=0为函数的极值,则 ( ) A 、 c ≠ 0 B 、当 a>0时, f(0)为极大值 C 、 b=0 D 、当 a<0时,> 11、已知函数 y=2x3+ax2+36x-24在 x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是 ( ) A 、 (2, 3) B 、 (3, +∞) C 、 (2, +∞) D 、 (-∞, 3) 12、方程 6x 5-15x 4+10x3 +1=0的实数解的集合中 ( ) A 、至少有 2个元素 B 、至少有 3个元素 C 、至多有 1个元素 D 、恰好有 5个元素 二、填空题 13. 若 f ′ (x 0)=2,k x f k x f k 2) () (lim 000 --→ =_________. 14. 设 f (x )=x (x +1)(x +2)… (x +n ), 则 f ′ (0)=_________. 15. 函数 f (x )=loga (3x 2+5x -2)(a >0且 a ≠ 1) 的单调区间 _________. 16. 在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为 _________时它的面积最大 . 三、解答题 17. 已知曲线 C :y =x 3-3x 2+2x , 直线 l :y =kx , 且 l 与 C 切于点 (x 0, y 0)(x 0≠ 0) ,求直线 l 的方程及 切点坐标 . 18. 求函数 f(x)=p2x 2(1-x)p (p∈ N +) ,在 [0, 1]内的最大值 . 19. 证明双曲线 xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数 . 20. 求函数的导数 (1)y =(x 2-2x +3)e 2x ; (2)y =1x x -. 21. 有一个长度为 5 m的梯子贴靠在笔直的墙上, 假设其下端沿地板以 3 m/s 的速度离开墙 脚滑动,求当其下端离开墙脚 1.4 m时,梯子上端下滑的速度 . 22. 求和 S n =12+22x +32x 2+… +n 2x n - 1 ,(x ≠ 0, n ∈ N *). 23. 设 f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求其单调区间 . 24. 设 x =1与 x =2是函数 f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点 . (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)试判断 x =1,x =2是函数 f (x ) 的极大值还是极小值,并说明理由 . 25. 已知 a 、 b 为实数,且 b >a >e , 其中 e 为自然对数的底,求证:a b >b a . 26. 设关于 x 的方程 2x 2-ax -2=0的两根为 α、 β(α<β), 函数="" f="" (x="" )=""> 42+-x a x . (1)求 f (α) ·f (β) 的值; (2)证明 f (x ) 是[α, β]上的增函数; (3)当 a 为何值时, f (x ) 在区间[α, β]上的最大值与最小值之差最小? 【参考答案】 一、 1. 解析:y ′ =e sin x [cos x cos(sinx ) -cos x sin(sinx ) ], y ′ (0)=e 0(1-0)=1. 答案:B 2. 解析:设切点为 (x 0, y 0), 则切线的斜率为 k =0 0x y , 另一方面, y ′ =(59++x x ) ′ =2 ) 5(4 +-x , 故 y ′ (x 0)=k , 即 ) 5(9) 5(4 000002 0++==+-x x x x y x 或 x 02+18x 0+45=0得 x 0(1)=-3, y 0(2)=-15, 对 应 有 y 0(1)=3,y 0(2)=5 35 15915=+-+-, 因此得两个切点 A (-3, 3) 或 B (-15, 5 3), 从而得 y ′ (A )= ) 53(4 +-- =-1 及 y ′ (B )= 251) 515(42 - =+-- , 由于切线过原点,故得切线:l A :y =-x 或 l B :y =-25 x . 答案:A 3. 解析:由 x f x ) 0(lim 0 '→=-1, 故存在含有 0的区间 (a , b ) 使当 x ∈ (a , b ), x ≠ 0时 x f ) 0('<0, 于是当="" x="" ∈="" (a=""> 时 f ′ (0)>0, 当 x ∈ (0,b ) 时, f ′ (0)<0, 这样="" f="" (x="" )="" 在="" (a="" ,0)="" 上单增,在="" (0,b="" )="" 上单减="" .=""> 4. 解析:∵ f ′ n (x )=2xn 2(1-x ) n -n 3x 2(1-x ) n -1 =n 2x (1-x ) n -1[2(1-x ) -nx ], 令 f ′ n (x )=0,得 x 1=0,x 2=1,x 3=n +22, 易知 f n (x ) 在 x =n +22时取得最大值,最大值 f n (n +22)=n 2(n +22) 2(1- n +22) n =4·(n +22) n +1 . 答案:D 5、 B 6、 A 7、 B 8、 D 9、 B 10、 C 11、 B 12、 C 二、 13. 解析:根据导数的定义:f ′ (x 0)=k x f k x f k ---+→) ()]([(lim 000 (这时 k x -=?) . 1) (2 1) () (lim 21] ) () (21[lim 2) () (lim 0000000000-='-=----=---?-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案:-1 14. 解析:设 g (x )=(x +1)(x +2)…… (x +n ), 则 f (x )=xg (x ), 于是 f ′ (x )=g (x )+xg ′ (x ), f ′ (0)=g (0)+0·g ′ (0)=g (0)=1·2·… n =n ! 答案:n ! 15. 解析:函数的定义域是 x >3 1或 x <-2, f="" ′="" (x="" )=""> 2 53log 2-+x x e a .(3x 2+5x -2) ′ =) 2)(13(log ) 56(+-?+x x e x a , ①若 a >1, 则当 x >3 1时, log a e >0,6x +5>0,(3x -1)(x +2)>0, ∴ f ′ (x ) >0, ∴函数 f (x ) 在 (3 1,+∞ ) 上是增函数, x <-2时, f="" ′="" (x="" )=""><0. ∴函数="" f="" (x="" )="" 在="" (-∞="" ,="" -2)="" 上是减函数=""> ②若 03 1时, f ′ (x ) <0, ∴="" f="" (x="" )="" 在=""> 1,+∞ ) 上是减函数,当 x <> f ′ (x ) >0, ∴ f (x ) 在 (-∞ , -2) 上是增函数 . 答案:(-∞ , -2) 16. 解析:设圆内接等腰三角形的底边长为 2x , 高为 h ,那么 h =AO +BO =R +22x R -, 解得 x 2=h (2R -h ), 于是内接三角形的面积为 S =x ·h =, ) 2() 2(432h Rh h h Rh -=?- 从而 ) 2() 2(2 14321 43'--='-h Rh h Rh S 323 221 43) 2() 23() 46() 2(21h h R h R h h Rh h Rh --=--=-. 令 S ′ =0,解得 h =2 3R , 由于不考虑不存在的情况,所在区间 (0,2R ) 上列表如下: 由此表可知,当 x =2 3R 时,等腰三角形面积最大 . 答案:2 3R 三、 17. 解:由 l 过原点,知 k =0 0x y (x 0≠ 0), 点 (x 0, y 0) 在曲线 C 上, y 0=x 03-3x 02+2x 0, ∴ 0 0x y =x 02-3x 0+2,y ′ =3x 2-6x +2,k =3x 02-6x 0+2 又 k =0 0x y , ∴ 3x 02-6x 0+2=x 02-3x 0+2,2x 02-3x 0=0,∴ x 0=0或 x 0=2 3. 由 x ≠ 0, 知 x 0=23, ∴ y 0=(2 3) 3-3(2 3) 2+2·2 3=-8 3. ∴ k =0 0x y =-4 1. ∴ l 方程 y =-4 1x 切点 (2 3,-8 3). 18. ]x ) p 2(2[) x 1(x p ) x (' f 1 p 2+--=- , 令 f ’ (x)=0得, x=0, x=1, x=p 22+ , 在 [0, 1]上, f(0)=0, f(1)=0, 2p ) p 2p (4) p 22(f ++=+ . ∴ p 2max ) p 2p (4)]x (f [++= . 19. 设双曲线上任一点 P (x 0, y 0) , 2 2x x x a |y k 0- === , ∴ 切线方程 ) x x (x a y y 02 20-- =- , 令 y=0,则 x=2x0 令 x=0,则 0 2 x a 2y = . ∴ 2a 2|y ||x |2 1S == . 20. 解:(1)注意到 y >0, 两端取对数,得 ln y =ln(x 2-2x +3)+lne 2x =ln(x 2-2x +3)+2x, . ) 2(2. ) 32(32) 2(232) 2(2. 32) 2(223222232) 32(1222222222 2222x x e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y ?+-=?+-?+-+-=?+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='?∴ (2)两端取对数,得 ln|y |=3 1(ln|x |-ln|1-x |), 两边解 x 求导,得 . 1) 1(31) 1(131, ) 1(131) 111(3113x x x x y x x y x x x x y y --=?-?='∴-=---='? 21. 解:设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米 , 则 s =5-2925t -, 当下端移开 1.4 m时, t 0=15 73 41=?, 又 s ′ =-2 1 (25-9t 2) 21 -·(-9·2t )=9t 2 9251t -, 所以 s ′ (t 0)=9×2) 15 7( 925115 7 ?-? =0.875(m/s). 22. 解:(1)当 x =1时, S n =12+22+32+… +n 2=6 1n (n +1)(2n +1),当 x ≠ 1时, 1+2x +3x 2+… +nx n -1 =2 1 ) 1() 1(1x nx x n n n -++-+, 两边同乘以 x , 得 x +2x 2+3x 2+… +nx n =2 2 1) 1() 1(x nx x n x n n -++-++两边对 x 求导,得 S n =12+22x 2+32x 2+… +n 2x n -1 =3 2 2122) 1() 122() 1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++. 23. 解:f ′ (x )=3ax 2+1. 若 a >0, f ′ (x ) >0对 x ∈ (-∞ ,+∞ ) 恒成立,此时 f (x ) 只有一个单调区间,矛盾 . 若 a =0,f ′ (x )=1>0, ∴ x ∈ (-∞ ,+∞ ), f (x ) 也只有一个单调区间,矛盾 . 若 a <0, ∵="" f="" ′="" (x="" )="3a" (x=""> | |1a ) ·(x - | |31a ), 此时 f (x ) 恰有三个单调区间 . ∴ a <0且单调减区间为 (-∞="" ,=""> |1a ) 和 ( | |31a ,+∞ ) , 单调增区间为 (- | |31a , | |31a ). 24. 解:f ′ (x )=x a +2bx +1, (1) 由极值点的必要条件可知:f ′ (1)=f ′ (2)=0,即 a +2b +1=0,且 2 a +4b +1=0, 解方程组可得 a =-3 2, b =-6 1, ∴ f (x )=-3 2ln x -6 1x 2+x, (2)f ′ (x )=-3 2x -1-3 1x +1,当 x ∈ (0,1)时, f ′ (x ) <0, 当="" x="" ∈="" (1,2)时,="" f="" ′="" (x="" )="">0, 当 x ∈ (2,+∞ ) 时, f ′ (x ) <0, 故在="" x="1处函数" f="" (x="" )="" 取得极小值=""> 5, 在 x =2处函数取得极大值 3 4-3 2ln2. 25. 证法一:∵ b >a >e , ∴要证 a b >b a , 只要证 b ln a >a ln b , 设 f (b )=b ln a -a ln b (b >e ), 则 f ′ (b )=lna -b a . ∵ b >a >e , ∴ ln a >1, 且 b a <1, ∴="" f="" ′="" (b="" )="">0. ∴函数 f (b )=b ln a -a ln b 在 (e ,+∞ ) 上 是增函数,∴ f (b ) >f (a )=a ln a -a ln a =0,即 b ln a -a ln b >0, ∴ b ln a >a ln b , ∴ a b >b a . 证法二:要证 a b >b a , 只要证 b ln a >a ln b (e x ln (x >e ) ,则 f ′ (x )=2 ln 1x x -<0, ∴函数="" f="" (x="" )="" 在="" (e="" ,+∞="" )="" 上是减函数,又∵="" e=""> ∴ f (a ) >f (b ), 即 b b a a ln ln >, ∴ a b >b a . 26. 解:(1)f (α)= a a -+-1682 , f (β)= a a ++-1682 , f (α)=f (β)=4, (2)设 φ(x )=2x 2-ax -2, 则当 α 2 222222) 1() 4(2) 1(4) 1() 1)(4() 1() 4() (+--+= +'+--+'-='x a x x x x x a x x a x x f 0) 1() (2) 1() 22(22 2222>+-=++-- =x x x ax x ?. ∴函数 f (x ) 在 (α, β) 上是增函数 . (3)函数 f (x ) 在[α, β]上最大值 f (β) >0, 最小值 f (α) <> ∵ |f (α) ·f (β)|=4,∴当且仅当 f (β)=-f (α)=2时, f (β) -f (α)=|f (β)|+|f (α)|取最小值 4, 此时 a =0,f (β)=2. 第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】 导数命题趋势: 综观 2007年全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特 点: (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围) , 和求斜率(切线方程结合函数求最值) 问题 . (2)求极值 , 函数单调性 , 应用题 , 与三角函数或向量结合 . 分值在 12---17分之间,一般为 1个选择题或 1个填空题, 1个解答题 . 【考点透视】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌 握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导 法则,会求某些简单函数的导数. 3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系; 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最 小值. 【例题解析】 考点 1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景, 掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义, 理 解导函数的概念 . 例 1. (2007年 北京卷) () f x '是 3 1() 213 f x x x = ++的导函数,则 (1) f '-的值是 . [考查目的 ] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力 . [解答过程 ] ()2 2 () 2, (1) 123. f x x f ''=+∴-=-+= 故填 3. 例 2. ( 2006年湖南卷)设函数 () 1 x a f x x -=-, 集合 M={|() 0}x f x <,p=' {|()="" 0}x="" f="" x="">, 若 M P, 则实 数 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞ ,1) B.(0,1) C.(1,+∞ ) D. [1,+∞ ) [考查目的 ]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力 . [解答过程 ]由 0, ,1; , 1. 1 x a x a a x x -<><-当 a="">1时 当 a<> ()()() / /11, 0. 11111. x x a x a x a a y y x x x x a ------??= ∴===> ?--??--∴> 综上可得 M P 时 , 1. a ∴> 考点 2 曲线的切线 (1)关于曲线在某一点的切线 求曲线 y=f(x)在某一点 P (x,y )的切线,即求出函数 y=f(x)在 P 点的导数就是曲线在该点的 切线的斜率 . (2)关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线 . 典型例题 例 3. (2007年湖南文)已知函数 32 11() 32 f x x ax bx =++在区间 [11) -, , (13], 内各有一个 极值点. (I )求 24a b -的最大值; (II )当 248a b -=时,设函数 () y f x =在点 (1(1))A f , 处的切线为 l ,若 l 在点 A 处穿过 函数 () y f x =的图象(即动点在点 A 附近沿曲线 () y f x =运动,经过点 A 时,从 l 的一侧 进入另一侧) ,求函数 () f x 的表达式. 思路启迪 :用求导来求得 切线斜率 . 解答过程:(I )因为函数 32 11() 32 f x x ax bx = ++在区间 [11) -, , (13], 内分别有一个极值 点,所以 2() f x x ax b '=++0=在 [11) -, , (13], 内分别有一个实根, 设两实根为 12x x , (12x x <> ,则 21x x -= 2104x x <-≤> 04, 20416a b <-≤ ,且当="" 11x=""> 23x =,即 2a =-, 3b =-时等号 成立.故 2 4a b -的最大值是 16. (II )解法一:由 (1)1f a b '=++知 () f x 在点 (1(1))f , 处的切线 l 的方程是 (1)(1)(1) y f f x '-=-,即 21 (1) 32 y a b x a =++- -, 因为切线 l 在点 (1()) A f x , 处空过 () y f x =的图象, 所以 21 () () [(1) ]32 g x f x a b x a =-++- -在 1x =两边附近的函数值异号,则 1x =不是 () g x 的极值点. 而 () g x 321121 (1) 3232 x ax bx a b x a = ++-++++,且 22() (1) 1(1)(1) g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++. 若 11a ≠--,则 1x =和 1x a =--都是 () g x 的极值点. 所以 11a =--,即 2a =-,又由 2 48a b -=,得 1b =-,故 3 21() 3 f x x x x = --. 解法二:同解法一得 21() () [(1) ]32 g x f x a b x a =-++- - 2133 (1)[(1) (2)]322 a x x x a =-++-+. 因为切线 l 在点 (1(1))A f , 处穿过 () y f x =的图象,所以 () g x 在 1x =两边附近的函数值 异号,于是存在 12m m , (121m m <)> 当 11m x <时, ()="" 0g="" x=""><,当 21x="" m=""><时, ()="" 0g="" x="">; 或当 11m x <时, ()="" 0g="" x="">,当 21x m <时, ()="" 0g="" x=""><. 设="" 233()="" 1222a="" a="" h="" x="" x="" x=""> ??? =++ -+ ? ????? ,则 当 11m x <时, ()="" 0h="" x="">,当 21x m <时, ()="" 0h="" x="">; 或当 11m x <时, ()="" 0h="" x=""><,当 21x="" m=""><时, ()="" 0h="" x=""><. 由="" (1)0h="知" 1x="是" ()="" h="" x="" 的一个极值点,则=""> a h =?++ =, 所以 2a =-,又由 2 48a b -=,得 1b =-,故 3 21() 3 f x x x x = --. 例 4. (2006年安徽卷) 若曲线 4y x =的一条切线 l 与直线 480x y +-=垂直, 则 l 的方程为 ( ) A . 430x y --= B . 450x y +-= C . 430x y -+= D . 430x y ++= [考查目的 ]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力 . [解答过程 ]与直线 480x y +-=垂直的直线 l 为 40x y m -+=, 即 4y x =在某一点的导数为 4, 而 34y x '=,所以 4y x =在 (1, 1) 处导数为 4,此点的切线为 430x y --=. 故选 A. 例 5. ( 2006年重庆卷 ) 过坐标原点且与 x 2+y 2 -4x +2y +2 5=0相切的直线的方程为 ( ) A. y =-3x 或 y =3 1x B. y =-3x 或 y =-3 1x C. y =-3x 或 y =-3 1x D. y =3x 或 y =3 1x [考查目的 ]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力 . [解答过程 ]解法 1:设切线的方程为 , 0. y kx kx y =∴-= 又 ()()()22521, 2, 1. 2 x y -++=∴-圆心为 21 3830. , 3. 3 k k k k +-=∴==- 1 , 3. 3 y x y x ∴==-或 故选 A. 解法 2:由解法 1知切点坐标为 1331(, ), , , 2 222??- ??? 由 ()()/ /22// / / 113231(, ) (, ) 22 22 5(2) 1, 22(2) 210, 2 . 1 13, . 3 1 3, . 3 x x x x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -????-++= ?????∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-= 故选 A. 例 6. 已知两抛物线 a x y C x x y C +-=+=2221:, 2:, a 取何值时 1C , 2C 有且只有一条公切线, 求出此时公切线的方程 . 思路启迪 :先对 a x y C x x y C +-=+=2221:, 2:求导数 . 解答过程:函数 x x y 22+=的导数为 22' +=x y ,曲线 1C 在点 P(12112, x x x +) 处的切线方程为 ) )(2(2) 2(11121x x x x x y -+=+-,即 2 11) 1(2x x x y -+= ① 曲线 1C 在点 Q ) , (222a x x +-的切线方程是 ) (2) (222x x x a x y --=+--即 a x x x y ++-=2222 ② 若直线 l 是过点 P 点和 Q 点的公切线,则①式和②式都是 l 的方程,故得 1, 1222121+=--=+x x x x ,消去 2x 得方程, 012212 1=+++a x x 若△ =0) 1(244=+?-a ,即 2 1-=a 时,解得 2 11-=x ,此时点 P 、 Q 重合 . ∴当时 2 1-=a , 1C 和 2C 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为 14 y x =- . 考点 3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数, 导数是研究函数性质的重要而 有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我 们解决求函数的极值、 最值提供了一种简明易行的方法, 进而与不等式的证明, 讨论方程解 的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法 . 复习时,应高度重视以下问题 : 1.. 求函数的解析式 ; 2. 求函数的值域 ; 3.解决单调性问题 ; 4.求函数的极值(最值) ; 5. 构造函数证明不等式 . 典型例题 例 7. (2006年天津卷)函数 ) (x f 的定义域为开区间 ) , (b a ,导函数 ) (x f '在 ) , (b a 内的图象如 图所示,则函数 ) (x f 在开区间 ) , (b a 内有极小值点( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 [考查目的 ]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力 . [解答过程 ]由图象可见 , 在区间 (,0) a 内的图象上有一个极小值点 . 故选 A. 例 8 . (2007年全国一)设函数 32() 2338f x x ax bx c =+++在 1x =及 2x =时取得极值. (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 [03]x ∈, ,都有 2() f x c <成立,求 c=""> 思路启迪 :利用 函数 32() 2338f x x ax bx c =+++在 1x =及 2x =时取得极值构造方程组求 a 、 b 的值. 解答过程:(Ⅰ) 2() 663f x x ax b '=++, 因为函数 () f x 在 1x =及 2x =取得极值,则有 (1)0f '=, (2)0f '=. 即 6630241230a b a b ++=??++=? , . 解得 3a =-, 4b =. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 32() 29128f x x x x c =-++, 2() 618126(1)(2) f x x x x x '=-+=--. 当 (01) x ∈, 时, () 0f x '>; 当 (12) x ∈, 时, () 0f x '<; 当="" (23)="" x="" ∈,="" 时,="" ()="" 0f="" x="" '="">. 所以,当 1x =时, () f x 取得极大值 (1)58f c =+,又 (0)8f c =, (3)98f c =+. 则当 []03x ∈ , 时, () f x 的最大值为 (3)98f c =+. 因为对于任意的 []03x ∈ , ,有 2() f x c <恒成立, 所以="" 298c="" c=""><> 解得 1c <-或 9c="">, 因此 c 的取值范围为 (1) (9) -∞-+∞ , , . 例 9. 函数 y =-的值域是 _____________. 思路启迪 :求函数的值域, 是中学数学中的难点, 一般可以通过图象观察或利用不等式性质 求解, 也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法 求解较为容易。 解答过程:由 24030 x x +≥+≥?? ?得, x ≥-2,即函数的定义域为 [, ) -+∞2. y x x x x x x ' = +-+= +-++?+12412323242243 , 又 234282x x x +-+= ++, ∴当 x ≥-2时, y ' >0, ∴函数 y =-在 (, ) -+∞2上是增函数,而 f () -=-21, ∴=+-+y x x 243 的值域是 [, ) -+∞1. 例 10. (2006年天津卷)已知函数 ()θθcos 16 3cos 3423+-=x x x f ,其中 θ, R x ∈为参数,且 πθ20≤≤. (1)当时 0cos =θ,判断函数 ()x f 是否有极值; (2)要使函数 () f x 的极小值大于零,求参数 θ的取值范围; (3) 若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 θ,函数 ()x f 在区间 ()a a , 12-内都是增函数, 求实数 a 的取值范围. [考查目的 ]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、 解不等式等基础 知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法 . [解答过程 ](Ⅰ)当 cos 0θ=时, 3() 4f x x =,则 () f x 在 (, ) -∞+∞内是增函数,故无极值 . (Ⅱ) 2'() 126cos f x x x θ=-,令 '() 0f x =,得 12cos 0, 2 x x θ==. 由(Ⅰ) ,只需分下面两种情况讨论 . ①当 cos 0θ>时,随 x 的变化 '() f x 的符号及 () f x 的变化情况如下表: 因此,函数 () f x 在 2x =处取得极小值 f() 2,且 3cos 13() cos 2416f θθθ=-+. 要使 cos () 02f θ>,必有 213cos (cos) 044θθ-->,可得 0cos θ<> 由于 0cos θ≤≤,故 3116 2 2 6 ππππθθ<或> ②当时 cos 0θ<,随 x="" 的变化,="" '()="" f="" x="" 的符号及="" ()="" f="" x=""> 因此,函数 () 0f x x =在 处取得极小值 (0)f ,且 3(0)cos . 16 f θ= 若 (0)0f >,则 cos 0θ>. 矛盾 . 所以当 cos 0θ<时, ()="" f="" x="" 的极小值不会大于零=""> 综上, 要使函数 () f x 在 (, ) -∞+∞内的极小值大于零, 参数 θ的取值范围为 311(, ) (, ) 62 2 6 ππππ?. (III )解:由(II )知,函数 () f x 在区间 (, ) -∞+∞与 cos (, ) 2 θ+∞内都是增函数。 由题设,函数 () (21, ) f x a a -在 内是增函数,则 a 须满足不等式组 210 a a a -<≤> 211 21cos 2a a a θ -<-≥ 由(ii="" )="" ,参数时="" 311(,="" )="" (,="" )=""> 2 6 ππππθ∈?时, 0cos θ<. 要使不等式="" 121cos=""> a θ-≥关于参数 θ 恒成立,必有 21a -≥a . 综上,解得 0a ≤1a <> 所以 a 的取值范围是 (,0) -∞?. 例 11. (2006年山东卷 ) 设函数 f (x )=ax -(a +1)ln(x +1),其中 a ≥-1,求 f (x ) 的单调区间 . [考查目的 ]本题考查了函数的导数求法 , 函数的极值的判定 , 考查了应用数形结合的数学思想 分析问题解决问题的能力 [解答过程 ]由已知得函数 () f x 的定义域为 (1, ) -+∞,且 ' 1() (1), 1 ax f x a x -=≥-+ (1)当 10a -≤≤时, ' () 0, f x <函数 ()="" f="" x="" 在="" (1,="" )="" -+∞上单调递减,="" (2)当="" 0a="">时,由 ' () 0, f x =解得 1. x a = ' 、 随 x 的变化情况如下表 从上表可知 当 1(1, ) x a ∈-时, ' () 0, f x <函数 ()="" f="" x="" 在="" 1(1,="" )=""> -上单调递减 . 当 1(, ) x a ∈+∞时, ' () 0, f x >函数 () f x 在 1(, ) a +∞上单调递增 . 综上所述:当 10a -≤≤时,函数 () f x 在 (1, ) -+∞上单调递减 . 当 0a >时,函数 () f x 在 1(1, ) a -上单调递减,函数 () f x 在 1(, ) a +∞上单调递增 . 例 12. (2006年北京卷)已知函数 32() f x ax bx cx =++在点 0x 处取得 极大值 5,其导函数 '() y f x =的图象经过点 (1,0), (2,0),如图所示 . 求: (Ⅰ) 0x 的值; (Ⅱ) , , a b c 的值 . [考查目的 ]本小题考查了函数的导数 , 函数的极值的判定 , 闭区间上二次函数的最值 , 函数与 方程的转化等基础知识的综合应用 , 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能 力 [解答过程 ]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在 (),1-∞上 ()' 0f x >,在 ()1 ,2上 ()' 0f x <,在 ()2,="" +∞上="" ()'="" 0f="" x="">, 故 () f x 在 ∞∞(-, 1),(2, +) 上递增,在 (1,2)上递减, 因此 ()f x 在 1x =处取得极大值,所以 01x = (Ⅱ) ' 2() 32, f x ax bx c =++ 由 ' ' ' f f f (1) =0,(2)=0,(1)=5, 得 320, 1240, 5, a b c a b c a b c ++=??++=? ?++=? 解得 2, 9, 12. a b c ==-= 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设 ' 2() (1)(2) 32, f x m x x mx mx m =--=-+ 又 ' 2() 32, f x ax bx c =++ 所以 3, , 23 2 m a b m c m ==-= 32| 3() 2, 32 m f x x mx mx = -+ 由 (1)5f =, 即 325, 3 2 m m m -+=得 6, m = 所以 2, 9, 12a b c ==-= 例 13. (2006年湖北卷)设 3=x 是函数 ()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点 . (Ⅰ)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 ()x f 的单调区间; (Ⅱ)设 0>a , ()x e a x g ?? ? ? ?+=4252. 若存在 []4, 0, 21∈εε使得 ()()121<-εεg f="" 成立,求="" a=""> 围 . [考查目的 ]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决 问题的能力 . [解答过程 ](Ⅰ) f `(x)=-[x 2+(a -2) x +b -a ]e 3- x , 由 f `(3)=0,得 -[32+(a -2)3+b -a ]e 3- 3=0,即得 b =-3-2a , 则 f `(x)=[x 2+(a -2) x -3-2a -a ]e 3 -x =-[x 2+(a -2) x -3-3a ]e 3- x =-(x -3)(x +a+1) e 3- x . 令 f `(x)=0,得 x 1=3或 x 2=-a -1,由于 x =3是极值点, 所以 x+a+1≠ 0, 那么 a ≠-4. 当 a <-4时, x="" 2="">3=x 1,则 在区间(-∞, 3)上, f `(x)<0, f="" (x)为减函数;="" 在区间(3,―="" a="" ―="" 1)上,="" f="" `(x)="">0, f (x)为增函数; 在区间(― a ― 1,+∞)上, f `(x)<0, f="" (x)为减函数="" .="" 当="" a="">-4时, x 2<3=x> 在区间(-∞,― a ― 1)上, f `(x)<0, f="" (x)为减函数;="" 在区间(―="" a="" ―="" 1,="" 3)上,="" f="" `(x)="">0, f (x)为增函数; 在区间(3,+∞)上, f `(x)<0, f="" (x)为减函数=""> (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a >0时, f (x)在区间(0, 3)上的单调递增,在区间(3, 4)上单调 递减,那么 f (x)在区间 [0, 4]上的值域是 [min(f (0), f (4) ), f (3)], 而 f (0)=-(2a +3) e 3<0, f="" (4)="(2a" +13)="" e=""> 1>0, f (3)=a +6, 那么 f (x)在区间 [0, 4]上的值域是 [-(2a +3) e 3, a +6]. 又 225() () 4 x g x a e =+在区间 [0, 4]上是增函数, 且它在区间 [0, 4]上的值域是 [a 2+4 25, (a 2+4 25) e 4], 由于(a 2+4 25)-(a +6)=a 2-a +41=(2 1-a ) 2≥ 0,所以只须仅须 (a 2+4 25)-(a +6) <1且 a="">0,解得 0 3. 故 a 的取值范围是(0, 2 3) . 例 14 (2007年全国二) 已知函数 3 21() (2) 13 f x ax bx b x = -+-+ 在 1x x =处取得极大值,在 2x x =处取得极小值,且 12012x x <. (1)证明="" 0a="">; (2)若 z =a +2b , 求 z 的取值范围。 [解答过程 ]求函数 () f x 的导数 2 () 22f x ax bx b '=-+-. (Ⅰ)由函数 () f x 在 1x x =处取得极大值,在 2x x =处取得极小值,知 12x x , 是 () 0f x '=的两个根. 所以 12() ()() f x a x x x x '=-- 当 1x x <时, ()="" f="" x="" 为增函数,="" ()="" 0f="" x="" '="">,由 10x x -<, 20x="" x=""><得 0a="">. (Ⅱ)在题设下, 12012x x <等价于 (0)0(1)0(2)0f="" f="" f="" '="">??'? 即 202204420b a b b a b b ->?? -+-? . 化简得 20 3204520b a b a b ->?? -+? . 此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线:203204520b a b a b -=-+=-+=, , . 所围成的 ABC △ 的内部,其三个顶点分别为:46(22) (42) 77A B C ?? ??? , ,, , . z 在这三点的值依次为 16687 , . 所以 z 的取值范围为 1687?? ??? , . 小结:本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合. 考点 4 导数的实际应用 建立函数模型 , 利用 典型例题 例 15. (2007年重庆文) 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该 长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? [考查目的 ]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决 实际问题的能力 . [解答过程 ]设长方体的宽为 x (m ) ,则长为 2x (m),高为 ??? ??-=-=230(m) 35. 441218 故长方体的体积为 ). 2 3 0() (m69) 35. 4(2) (3322 从而 ). 1(18) 35. 4(1818) (2x x x x x x V -=--=' 令 V ′(x )=0,解得 x =0(舍去)或 x =1,因此 x =1. b a 2 1 2 4 O 4677A ?? ??? (42) C , (22) B ,范文三：如何掌握高中数学导数解题技巧？
范文四：高三数学专题：导数题的解题技巧总结
范文五：09年高考数学导数题的解题技巧
