嗫?暁雲?
范文一：点位误差
其中主对角线元素
Q x i x i , Q y i y i
就是待定点坐标
x i 和y i 的协因数（或称权倒数）， Q x i y i 和Q y i x i 则是它们的相关协因数
Q x i x j
、
（或称相关权倒数），在相应协因数（权倒数）连线的两侧，而横坐标
Q x i y j
、
Q y i x j
、
Q y i y j
（i ≠j ）则是i 点和j 点的纵
x i 和y i 与x j 和y j 之间的互协因数，它们位于主对角线元素连线的两侧，并成对称关系。
当平差问题中只有一个待定点时，即k =1, t =2时
Q X ?X ?=(B PB )
计算方法参见间接平差一章。
（2）条件平差法计算
T -1
?Q xx =??Q yx
Q xy ?Q yy ??
(6-2-4)
?，?和已知点的坐标计算待定点最或然坐标，当平面控制网按条件平差时，首先求出观测值的平差值L 由平差值L 因此说，
待定点最或然坐标是观测值的平差值的函数。
故欲求待定点最或然坐标的协因数（权倒数），需按照条件平差法中求平差值函数的权倒数的方法进行计算。
设待定点P 的最或然坐标为x P 和y P ，计算x P 和y P 使用的已知点坐标为式
????
x 0和y 0（认为没有误差），则应有以下函数
?) ??P =x 0+x (L x
?) ??P =y 0+y (L y ?
(6-2-5)
对(6-2-5)求微分，得其权函数式为
??dx p =f T x d L ???dy p =f T y d L ??
按协因数传播律得
(6-2-6)
?Q xx =f x Q L ?L ?f x
?T
Q yy =f y Q L ?L ?f y ?
T ?Q xy =f x Q L ?L ?f y ?
T
-1-1T -1-1Q =P -P A N AP ???aa
顾及观测值的平差值L 的协因数阵L L ，则
-1-1
Q xx =f x Q L f x -f x P -1A T N aa AP -1f x ??L ?f x =f x P
?T T T -1-1T -1-1
Q yy =f y Q L f =f P f -f P A N AP f ?L ?y y y y aa y ?
T T T -1-1
Q xy =f x Q L f y -f x P -1A T N aa AP -1f y ??L ?f y =f x P ?
T T T
(6-2-7)
式中，P 是观测值的权逆阵，
-1
N aa 是条件平差的法方程系数阵。
例[6-1] 如图6-4所示的平面控制网，A 、B 为已知点，其坐标见表6-1，C 、D 、E 是待定点，C 、D 点近似坐标见表6-1，同精度观测了9个角度，观测值见表6-2，采用条件平差法进行平差，列出的条件方程如下，
范文二：点位误差
§6-2 点位误差
1学时
一、点位误差的计算
1.利用纵、横坐标协因数计算点位误差
待定点的纵、横坐标的方差是按下式计算的：
σx2=σ
1?2
=σ0Qxx?px?
?
2212σy=σ0=σ0Qyy?
py?? (6-2-1)
20
根据(6-1-4)式可求得点位方差：
22
σ2P=σ0(Qxx+Qyy)=σ0(
进而可求得点位中误差
11
+)PxPy
σP=σ0Qxx+Qyy=σ0
(6-2-2)
11+PxPy
从式(6-2-2)中可以看出，若想求得点位中误差σ
P
，要解决两个问题，一个是方差因
2
QQσyσ0子（或中误差0）；另一个就是P点的坐标未知数x和的协因数xx和yy。下面
就针对这两个问题的解决方法简要说明：
2．
Qxx,Qyy
的计算问题
按条件平差和间接平差两种平差方法介绍。
（1）间接平差法计算
当控制网中有k个待定点，并以这k个待定点的坐标作为未知数（未知数个数为
?=(xt=2k），即X1
y1x2y2 xkQX?X?
yk)，按间接平差法进行平差时，法方程
T
系数阵的逆阵就是未知数的协因数阵，即
-1T-1
QX?X?=Nbb=(BPB)
?Qxx
?11?Qyx?11?Qx2x1?
=?Qyx
21? ?
?Qxx?k1Q??ykx1
QQQQQQ
x1y1y1y1
QQQQQQ
x1x2y1x2
QQQQQQ
x1y2y1y2
Q Q Q Q Q Q
x1xky1xk
x2y1y2y1
xky1yky1
x2x2y2x2 xkx2ykx2
x2y2y2y2 xky2yky2
x2xky2xk xkxkykxk
x1yk??Q
y1yk?
?Q
x2yk?
?Q
y2yk? ?
?Q
xkyk?
?Q
ykyk??
(6-2-3)
Q
其中主对角线元素和而
Qxixi,Qyiyi
就是待定点坐标
Qxi和yi的协因数
（或称权倒数）， xiyi
Qyixi
则是它们的相关协因数（或称相关权倒数），在相应协因数（权倒数）连线的两侧，、
QxixjQxiyj
、
Qyixj
、
Qyiyj
x（i≠j）则是i点和j点的纵横坐标i和yi与xj和yj之
间的互协因数，它们位于主对角线元素连线的两侧，并成对称关系。
当平差问题中只有一个待定点时，即k=1,t=2时
QX?X?
?Qxx
=(BPB)=?
?Qyx
T
-1
Qxy?Qyy??
(6-2-4)
计算方法参见间接平差一章。
（2）条件平差法计算
?，由平差值L?和已知点的坐当平面控制网按条件平差时，首先求出观测值的平差值L
标计算待定点最或然坐标，因此说，待定点最或然坐标是观测值的平差值的函数。
故欲求待定点最或然坐标的协因数（权倒数），需按照条件平差法中求平差值函数的权倒数的方法进行计算。
?x设待定点P的最或然坐标为P和
为没有误差），则应有以下函数式
xy?P，??yxy计算P和P使用的已知点坐标为0和0（认
?)??P=x0+x(Lx
?)??P=y0+y(Ly?
(6-2-5)
对(6-2-5)求微分，得其权函数式为
??dxp=fTxdL???dyp=fTydL??
按协因数传播律得
(6-2-6)
?Qxx=fxQL?L?fx?T
Qyy=fyQLf?L?y?
T?Qxy=fxQL?L?fy?
T
-1-1T-1-1Q=P-PANAP???aa
顾及观测值的平差值L的协因数阵LL，则
-1-1
Qxx=fxQLfx-fxP-1ATNaaAP-1fx??L?fx=fxP
?TTT-1-1T-1-1
Qyy=fyQLf=fPf-fPANAPf?L?yyyyaay?
TTT-1-1
Qxy=fxQLfy-fxP-1ATNaaAP-1fy??L?fy=fxP?
T
T
T
(6-2-7)
式中，P
-1
是观测值的权逆阵，
Naa是条件平差的法方程系数阵。
例[6-1] 如图6-4所示的平面控制网，A、B为已知点，其坐标见表6-1，C、D、E是待定点，C、D点近似坐标见表6-1，同精度观测了9个角度，观测值见表6-2，采用条件平差法进行平差，列出的条件方程如下，
2个图形条件，以B点为极的1个极条件
v1+v3+v4+v5+v7+0.1''=0 v3+v6+v7+v9+1.7''=0
-0.04v1-1.31v2+0.22v4-1.45v5-0.20v6-2.02v7
0.56v8+-1.02v9-2.2''=0
试计算D点坐标的协因数
表6-1
点名
Qxx、Qyy、Qxy
。
x(m)
y(m)
A B 4948.25 19634.25 2147.51 2147.51
C D
26943.25 14383.25
表6-2
19530.51 28071.51
角号 1 2 3
观测值 角号 4 5 6
观测值 角号 7 8 9
观测值
38?19'14.7'' 59?52'40.5'' 34?15'12.6'' 31?20'52.0'' 47?12'10.0'' 72?32'17.0'' 28?52'30.8'' 70?59'26.8'' 44?20'01.3''
解：（1）条件方程系数阵
?101110100? ? ?A= 001001101?
? -0.04-1.3100.22-1.45-0.20-2.020.56-1.02????
（2）法方程系数阵和逆阵为
Naa
?5.0?0.279-0.0830.069?5.0-3.29?
-1 ?=2.04.0-3.24Naa= -0.0830.3730.100?
-3.29-3.249.343? 0.0690.1000.166??? ??
（3）列权函数式
由B点推算D的坐标可用下式
xD=xB+?xBD=SBDcosαBD=SAByD=yB+?yBD=SBDsinαBD=SAB
由此得权函数式为
?+L?)?sin(LsinL671?-L?)cos(αBA-L45
sinLsinL79
??)?sinL1sin(L6+L7?-L?)sin(αBA-L45
sinLsinL
7
9
dxD=-0.32v1+1.26v4+1.26v5+0.05v6+0.51v7+0.26v9
dyD=1.59v1+0.25v4+0.25v5-0.25v6-2.531v7-1.29v9
则
fxT=(-0.32001.261.260.050.5100.26)fyT=(1.59000.250.25-0.25-2.5310-1.29)
（4）计算协因数 将上述数据代入得
T-1
Qxx=fxQL?L?fx=fxfx-fxANaaAfx=3.608-1.736=1.872
T
T
T
T
T
T
T-1Qyy=fyQL?L?fy=fyfy-fyANaaAfy=10.781-60691=4.090T-1Qxy=fxQL)=-0.922?L?fy=fxfy-fxANaaAfy=-1.517-(-0.595
T
T
T
3.
σ0的确定
σ0的确定，分两种情况，一是在平差计算时，用式TPVr计算，但是由于子样的
容量（即观测值的个数以及观测次数）有限，因此不论用何种方法平差，用式得的数值只是单位权中误差
TPVr
求
σ0的估值；另一种情况是在控制网设计阶段，σ0的确定，只
能采用先验值，就是使用经验值或按相应《规范》规定的相应等级的误差值（例如，四等平面控制网，测角中误差为±2.5''，此时可取
4．点位误差实用计算公式 以上两种情况得到的都是
σ0=±2.5''）；
?0(或m0)σ0的估值，习惯上用σ表示，所以实用上只能得到
待定点纵、横坐标的方差估值以及相应的点位方差的估值，即
22
?x?0σ=σQxx??
?22
?y?0
σ=σQyy??
和
(6-2-9) 则点位中误差为
(6-2-8)
?2?2σP=σ0(Qxx+Qyy)
Qxx+Qyy
?P=σ?σ
?（有时也用M表示，即M=σ
P）。
二、任意方向
?上的位差
如图6-5，在P点有任意一方向，与x轴 的夹角为 ?， P点的点位真误差 PP在方向上的投影值为
??=PP???，在 轴和 y轴上的投影为 x和 y。则 ??与 x和
?y
的关系为
x
??=PP+PP=?xcos?+?ysin?
根据协因数传播律得
Q??=Qxxcos2?+Qyysin2?+2Qxysin?cos?
( 6-2-10 )
=Qxxcos2?+Qyysin2?+Qxysin2?
Q??
即为求方向?上的位差时的协因数（权倒数）。
因此，方向?的位差为
σ2?=σ02Q??=σ02(Qxxcos2?+Qyysin2?+Qxysin2?)
式(6-2-11)即计算P点在给定方向?上的位差的公式。
其实用公式为
22???0σ=σ(Qxxcos2?+Qyysin2?+Qxysin2?)
(6-2-11)
(6-2-12)
'''同理，对于任意坐标系xoy，P点在给定方向?上的位差计算实用公式为
22???0σ(Qx'x'cos2?'+Qy'y'sin2?'+Qx'y'sin2?')'=σ
(6-2-13)
对于特殊方向AP方向和垂直于AP的方向组成的坐标系（如图6-2示），P点在给定方向?上的位差计算实用公式应为
22???0σ=σ(Qsscos2?''+Quusin2?''+Qsusin2?'')
''
(6-2-14)
从上几式可以看出，当平差完成后，单位权方差为常量，因此，
2
??σ
QQ?0Qσ以及P点上的xx、yy、xy均
的大小取决于方向?（?或?）。
'''
三、位差的极大值E和极小值F
1．位差的极大值和极小值的概念
式(6-2-12)、(6-2-13)和(6-2-14)是求某一方向上的位差的不同表达方式，从本质上并
??'''，带入相应的公式，就可以算出对应的位差σ没有什么区别，只要给出一个?（?或?）
2
22????(σ'、σ'')
222
??????(σσ'''???'、σ'')0?~360?，因为（或）在范围内有无穷多个，因此，位差
22
??MAX(σMIN(σ?)?)也有无穷多个，其中，应存在一个极大值和一个极小值。
又因为位差题等价于求
2．求
22
???0σ=σQ??
2
?0σ，当平差问题确定之后是定值，因此，求位差极值的问
Q??
的极值问题。 的极值
Q??
（1）极值方向值要求使得
?0的确定
Q??
的极值，只需要将式（6-2-10）对?求一阶导数，并令其等于零，即可求出
Q??
取得极值的方向值
?0，其过程如下：
d
(Qxxcos2?+Qyysin2?+Qxysin2?)?=?0=0
由 d?
可得
-2Qxxcos?0sin?0+2Qyycos?0sin?0+2Qxycos2?0=0-(Qxx-Qyy)sin2?0+2Qxycos2?0=0
即 由此可得
tg2?0=
(6-2-15)
又因为
2Qxy(Qxx-Qyy)
tg2?0=tg(2?0+180?)
所以(6-2-15)有两个根，一个是向值为
2?0，另一个是2?0+180?。即，使Q??取得极值的方
?0和?0+90?，其中一个为极大值方向，另一个为极小值方向。
（2）极大值方向?E和极小值方向?F的确定 公式变换
?0和?0+90?是使Q??取得极值的两个方向值，但是还要确定哪一个是极
大方向值?E，哪一个是极小方向值?F。
将三角公式
cos2?0=
1+cos2?01-cos2?0
,sin2?0=22，
sin22?0=
112
,cos2?=0
1+ctg22?01+tg22?0
带入（6-2-10）式并顾及(6-2-15)式，得
Q??=(Qxx
=
1+cos2?01-cos2?0
+Qyy+Qxysin2?0)22
1
(Qxx+Qyy)+(Qxx-Qyy)cos2?0+2Qxysin2?02
2Qxy1
=(Qxx+Qyy+cos2?0+2Qxysin2?0)2tg2?0
[]
=
1
(Qxx+Qyy)+2(ctg22?0+1)Qxysin2?02 (6-2-16)
{}
在式(6-2-16)中，根据测量平差的特点，第一项
(Qxx+Qyy)
Q??
恒大于零，第二项中的值取得极大值，当第二项中
有可能大于零，也可能小于零；当第二项中的值大于零时，的值小于零时，
Q??
取得极小值。
?E所在象限的确定
当第二项
(ctg22?0+1)Qxysin2?0>0
，
Q??
取得极大值，相应的
?0就是?E。因
2
(ctg2?0+1)恒为正值，所以，第二项为正值时的前提条件是： 为
Qxysin2?0
大于零，即
。
Qxy
和
sin2?0的值同号，也就是说Qxy>0,sin2?0>0或
Qxy<><>
当
Qxy>0,sin2?0>0
的情况下，
0?<><><><>
sin2?0=sin(2?0+360?)=sin2(?0+180?)，所以说对于在?0和?0+180?， 其正弦
值大于零，因此， ?E在第一、第三象限。
当
Qxy<><>
的情况下，
180?<><><><>
同理，可得出：?E在第二、第四象限。
?F所在象限的确定
当第二项
(ctg22?0+1)Qxysin2?0<>
，
Q??
取得极小值，相应的
?0就是?F。第
二项为负值时的前提条件是：
Qxysin2?0
小于零，即
。
Qxy
和
sin2?0的值异号，也就是说Qxy>0,sin2?0<>
Qxy<0,sin2?0>0
当
Qxy>0,sin2?0<>
的情况下，
180?<><><><>
也就是 其
正弦值小于零，因此，可得出： ?F在第二、第四象限。
当
Qxy<0,sin2?0>0
的情况下，
0?<><><><>
可得出： ?F在第一、第三象限。
综上所述，确定极大值方向?E和极小值方向?F的方法如下： 当当
Qxy>0Qxy<>
时，?E在第一、第三象限；?F在第二、第四象限； 时，?E在第二、第四象限；?F在第一、第三象限；
从以上分析的结果可以看出，能使使
Q??
取得极大值的两个方向相差180°，同样，能
Q??
取得极小值的两个方向也相差180°，而且极大值方向和极小值方向总是正交。
（3）极大值E和极小值F的计算
2
???σEF一般方法 当和求出后，分别代入式（6-2-12），则可求出位差?的极大值E
和极小值F，即
2?0E2=σ(Qxxcos2?E+Qyysin2?E+Qxysin2?E)2?0F2=σ(Qxxcos2?F+Qyysin2?F+Qxysin2?F)
(6-2-17) （6-2-18）
简便公式 另外，还可以对上式进行变换，导出计算E和F的简便公式。 由三角公式知
sin2?0=±
由(6-2-15)知
1+ctg22?0
ctg22?0=
(Qxx-Qyy)2
4Q
2xy
，1+ctg22?0=
(Qxx-Qyy)2+4Q2xy
4Q2xy
sin2?0=±
得
2Qxy
(Qxx-Qyy)2+4Q2xy
(6-2-19)
1+ctg22?0=
结合
1
sin22?0，并将(6-2-19)带入(6-2-16)，进行整理可得 Q??=
1
(Qxx+Qyy)±(Qxx-Qyy)2+4Q2xy2
{}
令
则
H=(Qxx-Qyy)2+4Q2xy
(6-2-20)
Q??=
1
{(Qxx+Qyy)±H}2
(6-2-21)
式(6-2-21)中H恒大于零，因此，当H前取正号时，得极小值，于是计算极大值E和极小值F可用下式
Q??
取得极大值，取负号时，
Q??
取
12
?0(Qxx+Qyy+H)E2=σ2 12
?0(Qxx+Qyy-H)F2=σ2
??例[6-2] 已知某平面控制网中待定点坐标平差参数x、y的协因数为
(6-2-22)
(6-2-23)
?1.236-0.314?
QX=?X??-0.3141.192?
??
?dm?
?
?0=±1''秒?，并求得σ其单位为?, 试用两种方法求E、F。
解：1. 极值方向的计算与确定
2
tg2?0=
所以
2Qxy(Qxx-Qyy)
=
2?(-0.314)
=-14.27273
0.044
2?0=94?00';274?00'?0=47?00';137?00'
因为
Qxy<>
，所以极大值E在第二、四象限，极小值F在第一、三象限，所以有
?E=137?00'或317?00'?F=47?00'或227?00'
2. 极大值E、极小值F的计算
方法一 将?E和?F分别代入式（6-2-17）、（6-2-18）得
222
'E=1?(1.236cos137?00+1.192sin137?00'-0.314sin(2?137?00'))=1.529
F2=1?(1.236cos247?00'+1.192sin247?00'-0.314sin(2?47?00'))=0.899 E=±1.24dmF=±0.95dm
方法二 用公式（6-2-22）、（6-2-23）进行计算得
Qxx-Qyy=1.236-1.192=0.044,Qxx+Qyy=1.236+1.192=2.428
H=(Qxx-Qyy)2+4Q2xy=0.6295
12
E2=σ0(Qxx+Qyy+H)=1.528
212
F2=σ0(Qxx+Qyy-H)=0.899
2
E=±1.24dm
F=±0.95dm
四、以位差的极大值E和极小值F表示任意方向上的位差 1．直角坐标系EPF及其任意方向ψ上位差协因数表达式
在以上的讨论中，求任意方向上的位差公式(6-2-11)或(6-2-12)中的?，实质上是
xoy在前面我们曾阐述，对于任意直角坐标
Qx'x'cos2?'+Qy'y'sin2?'+Qx'y'sin2?')
又因为极大值
E
和极小值F在相互
正交的两个方向上，因而，可将其构成一个直角坐标系，如图6-5所示。
?
360o-?E
设ψ为任意方向与极大值方向的夹角（以方向为起始方向，顺时针量至任意方向的水平角）仿照任意方向
?上位差的推导过程，有
?ψ=?Ecosψ+?Fsinψ
式中 图６-６
顾
?E=?xcos?E+?ysin?E??
?
?F=?xcos?F+?ysin?F??
及
cos?F=cos(90?+?E)=-sin?E,sin?F=sin(90?+?E)=cos?E，则有：
?E=?xcos?E+?ysin?E??
?
?F=-?xsin?E+?ycos?E?? (6-2-24)
根据误差传播定律，在此坐标系中的任意方向上位差的协因数（权倒数）的表达式为
Qψψ=QEEcos2ψ+QFFsin2ψ+QEFsin2ψ
(6-2-25)
其中
QEE=Qxxcos2?E+Qyysin2?E+Qxysin2?EQFFQEF
??22
=Qxxsin?E+Qyycos?E-Qxysin2?E?
?
22
=-Qxxcos?Esin?E+Qyycos?Esin?E+Qxy(cos?E-sin?E)?
?
1?=-(Qxx-Qyy)sin2?E+Qxycos2?E
?2? (6-2-26)
2Qxysin2?E
tg2?E==
cos2?E(Qxx-Qyy)
由式(6-2-15)
知 对照式(6-2-26)有
2Qxycos2?E=(Qxx-Qyy)sin2?E
1
QEF=-(Qxx-Qyy)sin2?E+Qxycos2?E=0
2
所以
(6-2-27) (6-2-28)
Qψψ=QEEcos2ψ+QFFsin2ψ
2．任意方向ψ上位差表达式 任意方向ψ上的位差计算式为
222?ψ?0?0σ=σQψψ=σ(QEEcos2ψ+QFFsin2ψ)2σψ=E2cos2ψ+F2sin2ψ
(6-2-29) (6-2-30)
或
例[6-3] 数据同例6-2 ，试求坐标方位角α=150?方向上的位差。 解： 方法一 用公式(6-2-12)计算 将?=α=150?代入式(6-2-12)得
2
???02(Qxxcos2?+Qyysin2?+Qxysin2?)σ=σ
=1.236cos2150?+1.192sin2150?-0.314sin300?=1.496
所以
??=1.22dmσ
方法二 用公式(6-2-30)计算
因为 ψ=α-?E=150?-137?=13? 所以
22
??σ=σψ=E2cos2ψ+F2sin2ψ=1.528cos213?+0.899sin213?=1.496
范文三：表征点位误差的方法及实例
※
※
※※※※※※※※※
※ 2014届学生 ※
毕业论文材料 ※※
（一） ※※※※※※※※※
毕业 论文 任务书
课题名称 姓 名 学 号 院 系 专 业 指导教师
表征点位误差的方法及实例
刘理通 1002602-23 市政与测绘工程学院
测绘工程 曹元志（讲师）
2014 年 1 月 5 日
一、设计（论文）的教学目的：
1．毕业论文写作是对学生在校期间专业学习成果的综合性的全面考察。 2．撰写毕业论文有利于培养和提高学生理论研究水平，增强学生分析和解决具体问题的能力。
3．撰写毕业论文有利于培养和提高学生写作及表达能力，有利于计算机应用、英语写作、文献查询等基本技能的训练。
4．撰写毕业论文有利于提高学生的阅读能力，加强学生整理、分析、组织相关数据和资料以及制表绘图的能力。
5．撰写毕业论文有利于学生树立理论联系实际，实事求是的工作作风，培养踏踏实实的工作态度。
二、设计（论文）的主要内容： 1.点位误差的表述方法 2.误差曲线的意义和绘制方法 3.误差椭圆在表示点位误差中的作用 4.相对误差椭圆表示两待定点之间精度的方法 5.工程实例。
三、设计（论文）的基本要求： 1. 专业知识要求
在毕业设计工作中，能综合运用学科的理论知识和技能来分析和解决工程实际问题，通过学习、研究和实践，熟悉各种相关测绘仪器、设备以及各种软件的使用。熟悉整个工作的设计流程和技术路线，掌握数据处理的过程和方法。 2. 能力培养要求
依据毕业设计的课题任务，进行复杂水准网平差方案的设计并进行实地测量布网；提高设计中理论分析、具备撰写技术文件和独立分析、解决问题的能力 3. 综合素质要求
通过毕业设计树立正确的设计思想，培养严肃认真的科学态度和严谨求实的科学作风，遵守纪律，并具有善于与他人合作的协作精神和对工作高度负责的
敬业精神。培养正确的设计思想及理论联系实际的工作作风和严谨的科学态度
四、进度安排：
五、主要参考文献：
[1] 归庆明,张建军;附有条件的参数平差模型的有偏估计[J];测绘工程;2000
年01期
[2] 张正禄.工程测量学研究发展方向[J]. 现代测绘，2003，26（3）：3-6. [3] 彭广亮,徐爱功,焦朋. 控制网数据处理及优化设计[J]. 辽宁工程技术大
学学报. 2005(S1) [4] 宋以胜.最小二乘平差的非线形解法及其几何意义[J]. 工程兵工程学院
学报。1994,4(7)：86-90. [5] 徐正扬. 附合导线的精度分析[J]. 测绘学报，1982，04：004.
[6] 高士纯;附有限制条件的间接分组平差模型与公式[J];武汉测绘科技大学
学报;1996年01期
[7] 王晓光;谢振红;;导线间接平差法[J];吉林建筑工程学院学报;2007年01期[8] 梁永成，曲建光. 相对点位中误差及其在工程测量中的作用[J]. 测绘工
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报（自然科学版）,2005，34（1）:35-39.
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04期
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学前沿技术论坛摘要集[C];2008年
[15] 张正禄等.工程测量学[M]．出版地：武汉大学出版社，2005：35-40. [16] 武汉大学测绘学院测量平差学科组. 误差理论与测量平差基础[M]. 出
版地：武汉大学出版社，2003：1-171.
[17] 刘星;郭彩立;赵建云;;现代测量平差理论的进展[A];重庆市测绘学会第
三届优秀论文评选获奖论文暨2005-2006年度学术交流会论文选编[C];2008年
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范文四：线路导线点位中误差的估算
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,
,
b
线 线点位中 路导 误差的 L / 估算 / 2 卑
徐岩张平 庞英梁元 立 自 丽 v 宝
( 黑 主 程理询 司 ' ; 道嘘 监 咨公 ) ; 政饼 ) 囊
( 摘要) 本文推 出了应用于道路平面控制测量中导线点位中误差的估算公式.以 此模型可以计算导线中任一点的点位中误差.并给出了算例
关 词曼 ±差墨 寻 I 键 :塑 堡 盐 i 1
,
目前的道舡 程中.不论是勘测还是施工. 其平面控制都是以导线为主.并且布设
的都是单一导线. 很少布设成导线网.在内 业计算时. 大多采用简易平差方法计算各导 线点的坐标.对导线的精度评定也是用坐标方位角闭合差和相对闭合差做为限差要求 但在导线点为施工和勘测设计放线时,由于近几年采用坐标放样法.因此.虽然规程中 没有规定导线点点位中误差.但知道点位中误差.对施工放样以及二次定测时放样中桩 点都有好处. 所以. 有必要在 计算导线点位坐标时, 计算出 点位中误差 如果导线内业 平差计算采用的是严密平差方法.可以用验唇单位权中误差和导线点 坐标的协因数来计算导线点点位中误差.但对于简易平差来说.计算导线点点位中误差 就比 较困难 为此, 本文试图推出一个适合于简易平差的导线点点位中误差的估算公 式. 供工程技术人员来参考.
l 符号的确定及误差公式推导
设有一条附
C
D
附合导线中.A,B,C,D为已知 点;Q点为 导线中任意—个待定点; 导线全 长为 S i; k 其中Q点至A,B n 两已知点长度为 s Sk ; :i 平差后 Q点坐标为从A.B n 两点推算坐标的加权平均值 ;由 A, B两点推 出 Q点的坐标分别为 (xy) .. . 和 ( 22 推算权为 P=1s和P =1s 则 Q点坐标 ( ) xy) ,; l /l 2 / y 为: x = 1 ± : p !! 2 = ±
.
P 1+p2
'
P1 2 +p
各推算坐 标改正数为:
~ X -XI —
P
l2: ) + ( 毛x p一 i
一 )
t 一 p p y l2 一) t 十 (
:Y— : y-
Pl +p
% =x x —
PI j +p
∽一 ) Y
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·
5 6·
森 林 工 程
第 l 卷 4
设导线全长闭合差为 e ,￡ , 则:
X一 ; 1
Y一 ; = 干 l . 了 7
Q点点位中误差为:
Ⅲ
=±
因此 :
=
;l = ~ l y
可 ; =±
;M 师 =
订
其中. , 分别为单位权中误差.其计算方法如下
=
=
Pl 2 P
J
p +P I 2
I pj + 2 '
:
』
】
:鱼 ±
P+ 2 I p
: ! :.
I ) + 一
则:
M一
,
臃
= ±
罕 ·
上式即为估算导线任意点点位中误差公式. 2 算例 设某一附合导线如图2其已知数见图2 , 中
计算得
=
.
一
01 . 5m;
= +0 1 4m;
= ± 02 . 0m; S=7 0m 4
应用本文公式算出 各点点位中误差见下表.
3 结论
通过算例可看出,此种计算方法很简便. 虽然不是十分严密
的计算公式, 但基本上 反映出 各待定点 点位中误差 这种计算方法. 在道路工程中还是比 较适用的
范文五：点位误差计算
?6-2 点位误差
1学时
一、点位误差的计算
1.利用纵、横坐标协因数计算点位误差
待定点的纵、横坐标的方差是按下式计算的:
1,222,,,,,Qx00xx,p,x,1222,,,,,,Qyyy00p,y, (6-2-1)
根据(6-1-4)式可求得点位方差:
11222,,(),(),Q，Q,，P0xxyy0PPxy
进而可求得点位中误差
11QQ,,,，,,，Pxxyy00PPxy
(6-2-2)
,P从式(6-2-2)中可以看出，若想求得点位中误差，要解决两个问题，一个是方差因
2QQ,,yyyxxx00P子(或中误差);另一个就是点的坐标未知数和的协因数和。下面就针对这两个问题的解决方法简要说明:
Q,Qxxyy2( 的计算问题
按条件平差和间接平差两种平差方法介绍。
(1)间接平差法计算
kk当控制网中有个待定点，并以这个待定点的坐标作为未知数(未知数个数为
T?，，Xxyxy？xy,t,2k1122kk)，即，按间接平差法进行平差时，法方程
Q??XX系数阵的逆阵就是未知数的协因数阵，即
QQQQ？QQ，，xxxyxxxyxxxykk1111121211,,QQQQQQ？,,yxyyyxyyyxyykk1111121211,,QQQQ？QQ,,xxxyxxxyxxxykk2121222222,,,T,11QQQQ？QQQ,N,(BPB),??XXbb,yxyyyxyyyxyy,kk2121222222,,？？？？？？？,,QQQQ？QQ,,xxxyxxxyxxxykkkkkkkk1122,,QQQQ？QQ,,yxyyyxyyyxyykkkkkkkk1122，，
(6-2-3)
Q,QQxyxxyyxyiiiiiiii其中主对角线元素就是待定点坐标和的协因数(或称权倒数)， Qyxii和则是它们的相关协因数(或称相关权倒数)，在相应协因数(权倒数)连线的两侧，QQQQxyxyxxxyyxyyi,jjjjijijijijiii而、、、()则是点和点的纵横坐标和与和之间的互协因数，它们位于主对角线元素连线的两侧，并成对称关系。
k,1,t,2当平差问题中只有一个待定点时，即时
QQ，，xxxyT,1QBPB,(),??,,XXQQyxyy，， (6-2-4) 计算方法参见间接平差一章。
(2)条件平差法计算
??LL当平面控制网按条件平差时，首先求出观测值的平差值，由平差值和已知点的坐标计算待定点最或然坐标，因此说，待定点最或然坐标是观测值的平差值的函数。
故欲求待定点最或然坐标的协因数(权倒数)，需按照条件平差法中求平差值函数的权倒数的方法进行计算。
xy????xyxy00PPPPP设待定点的最或然坐标为和，计算和使用的已知点坐标为和(认为没有误差)，则应有以下函数式
?,?x,x，x(L)P0,??y,y，y(L)P0, (6-2-5)
对(6-2-5)求微分，得其权函数式为
T?,dx,fdLx,p,T?dy,fdLy,p, (6-2-6)
按协因数传播律得
T,Q,fQf??xxxxLL,TQfQf,,??yyyyLLT,QfQf,??xyxyLL,
T,1,1,1,1Q,P,PANAP???aaLLL顾及观测值的平差值的协因数阵，则
TTT,1,1T,1,1,QfQffPffPANAPf,,,??xxxxxxxaaxLL,TTT,1,1T,1,1QfQffPffPANAPf,,,,??yyyyyyyaayLLTTT,1,1T,1,1,QfQffPffPANAPf,,,??xyxyxyxaayLL,
(6-2-7)
,1NaaP式中，是观测值的权逆阵，是条件平差的法方程系数阵。
A、BC、D、E例[6-1] 如图6-4所示的平面控制网，为已知点，其坐标见表6-1，
C、D是待定点，点近似坐标见表6-1，同精度观测了9个角度，观测值见表6-2，采用条
件平差法进行平差，列出的条件方程如下，
B2个图形条件，以点为极的1个极条件
,,v，v，v，v，v，0.1,013457
,,v，v，v，v，1.7,03679
,0.04v,1.31v，0.22v,1.45v,0.20v,2.02v124567,,0.56v，,1.02v,2.2,089
Q、Q、QxxyyxyD试计算点坐标的协因数。
表6-1
点名 x(m)y(m)
4948.252147.51A
19634.252147.51B
C26943.2519530.51
14383.2528071.51D
表6-2
角号 观测值 角号 观测值 角号 观测值 1 4 7 ,,,,,,,,,38:1914.731:2052.028:5230.8 2 5 8 ,,,,,,,,,59:5240.547:1210.070:5926.8 3 6 9 ,,,,,,,,,34:1512.672:3217.044:2001.3
解:(1)条件方程系数阵
,,101110100,,
,,
A,001001101,,
,,
,,,,,0.04,1.3100.22,1.45,0.20,2.020.56,1.02,, (2)法方程系数阵和逆阵为
,,,,0.2790.0830.0695.05.0,3.29,,1,,,,0.0830.3730.100,2.04.0,3.24,,NNaaaa,,,,0.0690.1000.166,3.29,3.249.343,,,, (3)列权函数式
BD由点推算的坐标可用下式
???sin(L，L)sinL671??,,x,x，,x,Scos,Scos(,L,L)DBBDBDBDABBA45??sinLsinL79???sin(L，L)sinL671??y,y，,y,Ssin,,Ssin(,,L,L)DBBDBDBDABBA45??sinLsinL79 由此得权函数式为
dx,,0.32v，1.26v，1.26v，0.05v，0.51v，0.26vD145679dy,1.59v，0.25v，0.25v,0.25v,2.531v,1.29vD145679
Tf,,0.32001.261.260.050.5100.26，，xT，，f,1.59000.250.25,0.25,2.5310,1.29y则 (4)计算协因数
将上述数据代入得
TTTT,1Q,fQf,ff,fANAf,3.608,1.736,1.872??xxxxxxxaaxLL
TTTT,1Q,fQf,ff,fANAf,10.781,60691,4.090??yyyyyyyaayLL
TTTT,1Q,fQf,ff,fANAf,,1.517,(,0.595),,0.922??xyxyxyxaayLL ,03.的确定
T,VPVr0的确定，分两种情况，一是在平差计算时，用式计算，但是由于子样的
TVPVr容量(即观测值的个数以及观测次数)有限，因此不论用何种方法平差，用式求
,,00得的数值只是单位权中误差的估值;另一种情况是在控制网设计阶段，的确定，只能采用先验值，就是使用经验值或按相应《规范》规定的相应等级的误差值(例如，四等平面
,,,,,2.5,,0,2.5控制网，测角中误差为，此时可取);
4(点位误差实用计算公式
?,(或m),000以上两种情况得到的都是的估值，习惯上用表示，所以实用上只能得到待定点纵、横坐标的方差估值以及相应的点位方差的估值，即
22,,,??,Q,xxx0,22??,,Q,,yyy0, (6-2-8)
和
22??,,,(Q，Q)P0xxyy
(6-2-9)
??,,,Q，Q?M,,P0xxyyPM则点位中误差为(有时也用表示，即)。
,二、任意方向上的位差
,x,PPPP点有任意一方向，与轴 的夹角为， 点的点位真误差在方如图6-5，在
,,,,,,,PP,,,,yxyy,xx向上的投影值为，在轴和轴上的投影为和。则与和的
关系为
,,,,,,,,,PP，PP,,cos,，,sin,,xy 根据协因数传播律得
22,,,,Q,Qcos，Qsin，2Qsincosxxyyxy,,
22,Qcos,，Qsin,，Qsin2,xxyyxy
( 6-2-10 ) Q,,,即为求方向上的位差时的协因数(权倒数)。
,因此，方向的位差为
22222,,,Q,,(Qcos,，Qsin,，Qsin2,),,,xxyyxy00 (6-2-11)
,P式(6-2-11)即计算点在给定方向上的位差的公式。
其实用公式为
2222??,,,(Qcos,，Qsin,，Qsin2,),xxyyxy0 (6-2-12)
,,,xoy,P同理，对于任意坐标系，点在给定方向上的位差计算实用公式为
2222,,,??,,(Qcos,Qsin,Qsin2,),，，,,,,,,,,xxyyxy0 (6-2-13)
APAPP对于特殊方向方向和垂直于的方向组成的坐标系(如图6-2示)，点在给定,,,方向上的位差计算实用公式应为
2222,,,,,,??,,(Qcos,Qsin,Qsin2,),，，,ssuusu0 (6-2-14)
QQ?Q,yyxyxx0P从上几式可以看出，当平差完成后，单位权方差以及点上的、、均为
2?,,,,,,,,常量，因此，的大小取决于方向(或)。
EF三、位差的极大值和极小值
1(位差的极大值和极小值的概念
式(6-2-12)、(6-2-13)和(6-2-14)是求某一方向上的位差的不同表达方式，从本质上并
,,,,,,没有什么区别，只要给出一个(或)，带入相应的公式，就可以算出对应的位差
222???,(,、,),,,,,,,,,,,,0:~360:，因为(或)在范围内有无穷多个，因此，位差2222???,(,、,)?MAX(,),,,,,,,也有无穷多个，其中，应存在一个极大值和一个极小值
2?MIN(,),。
222??,,,Q?,,,,00又因为位差，当平差问题确定之后是定值，因此，求位差极值的问
Q,,题等价于求的极值问题。
Q,,2(求的极值
,0(1)极值方向值的确定
Q,,,要求的极值，只需要将式(6-2-10)对求一阶导数，并令其等于零，即可求出Q,,,0使得取得极值的方向值，其过程如下:
d22(Qcos,，Qsin,，Qsin2,),0xxyyxy,,,0d,由
,2Qcos,sin,，2Qcos,sin,，2Qcos2,,0xx00yy00xy0可得
,(Q,Q)sin2,，2Qcos2,,0xxyy0xy0即
由此可得
2Qxytg2,,0(Q,Q)xxyy
(6-2-15)
tg2,,tg(2,，180:)00又因为
Q2,，180:2,,,00所以(6-2-15)有两个根，一个是，另一个是。即，使取得极值的方向,,，90:00值为和，其中一个为极大值方向，另一个为极小值方向。
,,EF(2)极大值方向和极小值方向的确定
Q,,，90:,,00公式变换 和是使取得极值的两个方向值，但是还要确定哪一个是极
,,EF大方向值，哪一个是极小方向值。
将三角公式
1cos21cos2，,,,2200cos,sin,,,,0022，
1122,,sin2,,cos2,00221，ctg2,1，tg2,00
带入(6-2-10)式并顾及(6-2-15)式，得
,,1，cos21,cos200Q,(Q，Q，Qsin2,),,xxyyxy022
1,,,(Q，Q)，(Q,Q)cos2,，2Qsin2,xxyyxxyy0xy02
2Q1xy,(Q，Q，cos2,，2Qsin2,)xxyy0xy02tg2,0
12,,,(Q，Q)，2(ctg2,，1)Qsin2,xxyy0xy02 (6-2-16)
(Q，Q)xxyy在式(6-2-16)中，根据测量平差的特点，第一项恒大于零，第二项中的值
Q,,有可能大于零，也可能小于零;当第二项中的值大于零时，取得极大值，当第二项中
Q,,的值小于零时，取得极小值。
,E所在象限的确定
2Q(ctg2,，1)Qsin2,,0,,,,0xy00E 当第二项，取得极大值，相应的就是。因2(ctg2,，1)0为恒为正值，所以，第二项为正值时的前提条件是:
Qsin2,QQ,0,sin2,,0sin2,xy0xyxy00大于零，即和的值同号，也就是说或
Q,0,sin2,,0xy0。
Q,0,sin2,,00:,2,,180:0:,,,90:xy000当的情况下，，也就是;又因为
sin2,,sin(2,，360:),sin2(,，180:),,，180:00000，所以说对于在和， 其正弦值
,E大于零，因此， 在第一、第三象限。
Q,0,sin2,,0180:,2,,360:90:,,,180:xy000当的情况下，，也就是;同
,E理，可得出:在第二、第四象限。
,F所在象限的确定
2Q(ctg2,，1)Qsin2,,0,,,,0xy00F 当第二项，取得极小值，相应的就是。第二项为负值时的前提条件是:
Qsin2,QQ,0,sin2,,0sin2,xy0xyxy00小于零，即和的值异号，也就是说或Q,0,sin2,,0xy0。
Q,0,sin2,,0180:,2,,360:90:,,,180:xy000当的情况下，，也就是; 其
,F正弦值小于零，因此，可得出: 在第二、第四象限。
Q,0,sin2,,00:,2,,180:0:,,,90:xy000当的情况下，，也就是;同理，
,F可得出: 在第一、第三象限。
,,EF综上所述，确定极大值方向和极小值方向的方法如下:
Q,0,,xyEF当时，在第一、第三象限;在第二、第四象限;
Q,0,,xyEF当时，在第二、第四象限;在第一、第三象限;
Q,,从以上分析的结果可以看出，能使取得极大值的两个方向相差180?，同样，能Q,,使取得极小值的两个方向也相差180?，而且极大值方向和极小值方向总是正交。
EF(3)极大值和极小值的计算
2,,?,,EFE一般方法 当和求出后，分别代入式(6-2-12)，则可求出位差的极大值
F和极小值，即
2222?E,,(Qcos,，Qsin,，Qsin2,)0xxEyyExyE (6-2-17)
2222?F,,(Qcos,，Qsin,，Qsin2,)0xxFyyFxyF
(6-2-18)
EF简便公式 另外，还可以对上式进行变换，导出计算和的简便公式。 由三角公式知
1,sin2,,021，ctg2,0
由(6-2-15)知
222(Q,Q)(Q,Q)，4Qxyxxyyxxyy22ctg2,1，ctg2,,，,00224Q4Qxyxy
2Qxy,sin2,,022(Q,Q)，4Qxyxxyy得 (6-2-19)
12,12，ctg,02sin2,0结合，并将(6-2-19)带入(6-2-16)，进行整理可得
122,,Q,(Q，Q),(Q,Q)，4Qxy,,xxyyxxyy2
令
22H,(Q,Q)，4Qxyxxyy
(6-2-20)
则
1,,Q,(Q，Q),H,,xxyy2 (6-2-21)
QQ,,,,HH式(6-2-21)中恒大于零，因此，当前取正号时，取得极大值，取负号时，取
EF得极小值，于是计算极大值和极小值可用下式
122?E,,(Q，Q，H)xxyy02 (6-2-22)
122?F,,(Q，Q,H)xxyy02 (6-2-23)
??x、y例[6-2] 已知某平面控制网中待定点坐标平差参数的协因数为
1.236,0.314，，,Q??,,XX,0.3141.192，，
2dm,,,,,,?,,,1秒0,,EF其单位为，并求得, 试用两种方法求、。
解:1. 极值方向的计算与确定
Q22，(,0.314)xytg2,,,,,14.272730QQ(,)0.044xxyy
所以
,,,2,94:00;274:000
,,,,47:00;137:000
Q,0xyEF因为，所以极大值在第二、四象限，极小值在第一、三象限，所以有
,,,,137:00或317:00E
,,,,47:00或227:00F
EF2. 极大值、极小值的计算
,,EF方法一 将和分别代入式(6-2-17)、(6-2-18)得
222,,,E,1，(1.236cos137:00，1.192sin137:00,0.314sin(2，137:00)),1.529 222,,,F,1，(1.236cos47:00，1.192sin47:00,0.314sin(2，47:00)),0.899 E,,1.24dm
F,,0.95dm
方法二 用公式(6-2-22)、(6-2-23)进行计算得
Q,Q,1.236,1.192,0.044,Q，Q,1.236，1.192,2.428xxyyxxyy
22H,(Q,Q)，4Q,0.6295xyxxyy
122,E,(Q，Q，H),1.528xxyy02
122F,,(Q，Q,H),0.899xxyy02 E,,1.24dm
F,,0.95dm
EF四、以位差的极大值和极小值表示任意方向上的位差
,EPF1(直角坐标系及其任意方向上位差协因数表达式
,xoy在以上的讨论中，求任意方向上的位差公式(6-2-11)或(6-2-12)中的，实质上是
x坐标系中的方位角，它是以坐标轴为起算方向的。在前面我们曾阐述，对于任意直角坐标,,,xoy系，都有形如
2222,,,??,,(Qcos,Qsin,Qsin2,),，，,,,,,,xxyyxy0,,
的计算任意方向上位差的表达式。
E
EF又因为极大值和极小值在相互
正交的两个方向上，因而，可将其构成一,E 个直角坐标系，如图6-5所示。 ψ ,
,E,360o- 设为任意方向
与极大值方向的夹角F(以方向为起始方
,向，顺时针量至任意方向的水平角)仿照任意方向上位差的推导过程，有
,,,cos,，,sin,,EF
式中
,,,,,，,cossin,ExEyE,图,-, ,cos,sin,,,,，,,FxFyF,
顾及
cos,,cos(90:，,),,sin,,sin,,sin(90:，,),cos,FEEFEE，则有:
,,,,,，,cossin,ExEyE,,sin,cos,,,,,，,,FxEyE, (6-2-24)
根据误差传播定律，在此坐标系中的任意方向上位差的协因数(权倒数)的表达式为
22Q,Qcos,，Qsin,，Qsin2,,,EEFFEF
(6-2-25)
其中
22,,,,Q,Qcos，Qsin，Qsin2EExxEyyExyE,22,,,Q,Qsin，Qcos,Qsin2,FFxxEyyExyE,22,,,,,,,QQcossinQcossinQ(cossin),,，，,EFxxEEyyEExyEE,
1,(QQ)sin2,Qcos2,,,,，xxyyExyE,2, (6-2-26)
由式(6-2-15)
2Q,sin2xyE,tg2,,Ecos2,(Q,Q)Exxyy
2Qcos2,,(Q,Q)sin2,xyExxyyE知
对照式(6-2-26)有
1Q,,(Q,Q)sin2,，Qcos2,,0EFxxyyExyE2 (6-2-27)
22Q,Qcos,，Qsin,,,EEFF所以 (6-2-28)
,2(任意方向上位差表达式
,任意方向上的位差计算式为
22222???,,,Q,,(Qcos,，Qsin,),,,EEFF00 (6-2-29)
22222,,Ecos,，Fsin,,或 (6-2-30)
,,150:例[6-3] 数据同例6-2 ，试求坐标方位角方向上的位差。
解: 方法一 用公式(6-2-12)计算
,,,,150:将代入式(6-2-12)得
2222??,(cos，sin，sin2),,Q,Q,Q,0xxyyxy,
22,1.236cos150:，1.192sin150:,0.314sin300:,1.496
?,,1.22dm,所以
方法二 用公式(6-2-30)计算
,,,,,,150:,137:,13:E因为
所以
22222222?,,,,Ecos,，Fsin,,1.528cos13:，0.899sin13:,1.496,,
