硬不硬只有我知道
范文一：集合中的容斥原理
一. 容斥原理
(一) 两集合型的容斥原理题目
︱A∪B︱＝︱A︱＋︱B︱－︱A∩B︱
关键是分清题目中的条件I和条件II，然后直接套用公式：满足条件I的个数＋满足条件II的个数－两者都满足的个数=总个数－两者都不满足的个数
一的个数+二的个数－都含有的个数＝总数－都不含有的个数
1. 某大学某班学生总数为 32人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24人及格，若两次考试中，都及格的有 22 人，那么两次考试都没有及格的人数是多少
A.10 B.4 C.6 D.8
解: 应用公式 26+24-22=32-X
X=4
所以答案选B
2. 某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少
A.22 B.18 C.28 D.26
代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22
3. 某单位有青年员工 85人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12人，则既会骑车又会游泳的有多少人。
A.57 B.73 C.130 D.69
解: 应用公式： 68+62-X=85-12
X=57人
4. 一个俱乐部，会下象棋的有69人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的有12人，两种棋都会下的有30人，问这个俱乐部一共有多少人?
A.109人 B.115人 C.127人 D.139人
A【解析】69+58-30=x-12=>x=109
5. 电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问，两个频道都没有看过的有多少人?
A.4 B.15 C.17 D.28
B【解析】62+34-11=100-x=>x=15
6. 一个停车场有50辆汽车,其中红色轿车35辆,夏利轿车28辆,有8辆既不是红色轿车又不是夏利轿车,问停车场有红色夏利轿车多少辆?
A.14 B.21 C.15 D.22
B【解析】35+28-x=50-8=>x=21
(二) 三集合型的容斥原理题目
︱A∪B∪C︱＝︱A︱＋︱B︱＋︱C︱－︱A∩B︱－︱B∩C︱－︱C∩A︱＋︱A∩B∩C︱
A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC=总个数－三者都不满足的个数
1. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有（ ）。
A．22人 B．28人 C．30人 D．36人
【解析】A。设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52），则有：
A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）
B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）
A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）
A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）
根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋︱A∩B︱＋︱B∩C︱＋︱C∩A︱－︱A∩B∩C︱ ︱C∩A︱＝A＋B＋C－（︱A∪B∪C︱＋︱A∩B︱＋︱B∩C︱－︱A∩B∩C︱） ＝148－（100＋18＋16－12）＝26
所以，只喜欢看电影的人＝C－︱B∩C︱－︱C∩A︱＋︱A∩B∩C︱
＝52－16－26＋12
＝22
2. 外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有（ ）。
A．4人 B．5人 C．6人 D．7人
【解析】B。此题应该用文氏图法，将能教英语、日语、法语的教师分别设为不同的集合。先设所有集合的交集为2，依题意得文氏图（见下图）。
由图可得只能教法语的老师为：27－8－6－3－2－2－1＝5人。
3. 某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会
说英语；有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多（ ）。
A．1人 B．2人 C．3人 D．5人
【解析】C。如图所示：
上图的含义为只懂英语、法语和西班牙语的人数分别人2、1和2，共5人，而一种语言都不会说的人数为12－（2＋2＋1＋1＋1＋1＋2）＝2（人），5－2＝3（人）。
4. 如下图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290，且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36，问阴影部分的面积是多少？（ ）
A. 15 B. 16 C. 14 D. 18
【解析】B。本题属于三个集合，令阴影部分面积为x，直接套用三个集合公式可得：290＝64＋180＋160－24－70－36＋x，解之可得x＝16。
5. A、B、C三本书，至少读过其中一本的有20人，读过A书的有10人，读过B书的有12人，读过C书的有15人，读过A、B两书的有8人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有7人。三本书全读过的有多少人？（）
A.5 B.7 C.9 D.无法计算
选B
范文二：两个集合的容斥关系公式
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分）
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C
详细推理如下：
１、 等式右边改造 = ｛【（A+B - A∩B）+C - B∩C】 - C∩A ｝+ A∩B∩C
２、文氏图分块标记如右图图：１２４５构成Ａ，２３５６构成Ｂ，４５６７构成Ｃ
３、等式右边（）里指的是下图的１+２+３+４+５+６六部分：
那么A∪B∪C还缺部分７。
４、等式右边【】号里+Ｃ（４+５+６+７）后，相当于A∪B∪C多加了４+５+６三部分，
减去B∩C（即５+６两部分）后，还多加了部分４。
５、等式右边｛｝里减去C∩A （即４+５两部分）后，A∪B∪C又多减了部分５，
则加上A∩B∩C（即５）刚好是A∪B∪C。
编辑本段
容斥原理1
如果被计数的事物有A 、B 两类，那么，A 类B 类元素个数总和= 属于A 类元素个数+ 属于B 类元素个数
—既是A 类又是B 类的元素个数。
例1 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这
个班至少有一门得满分的同学有多少人？
分析 依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称
为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A 类又是B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为
“A类和B 类元素个数”的总和。
答案 15+12-4=23
试一试 电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人
两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？
100-(62+34-11)=15
编辑本段
容斥原理2
如果被计数的事物有A 、B 、C 三类，那么，A 类和B 类和C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数
+C类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数—既是A 类又是C 类的元素个数—既是B 类又是C 类的元素个数
+既是A 类又是B 类而且是C 类的元素个数。
例2 某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排
球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、
游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。 若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？ 解答
不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等分) ，共计34个
由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．
又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2， 同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4
由于这些相重点各不相同．所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点。沿这些刻度点把木棍锯成28段.
范文三：2015公务员考试行测两个与三个集合的容斥原理
中公教育 ? 给人改变未来的力量
2015公务员考试行测两个与三个集合的容斥原理
【容斥原理之两个集合的容斥原理】
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示:
公式:A?B=A+B-A?B
总数=两个圆内的-重合部分的
【例】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
解析:数学得满分人数?A，语文得满分人数?B，数学、语文都是满分人数?A?B，至少有一门得满分人数?A?B。A?B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
【容斥原理之三个集合的容斥原理】
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示，灰色部分A?B-A?B?C、B?C-A?B?C、C?A-A?B?C都被重复计算了1次，黑色部分A?B?C被重复计算了2次，因此总数A?B?C=A+B+C-(A?B-A?B?C)-(B?C-A?B?C)-(C?A-A?B?C)-2A?B?C=A+B+C-A?B-B?C-C?A+A?B?C。即得到:
公式:A?B?C=A+B+C-A?B-B?C-C?A+A?B?C
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中公教育 ? 给人改变未来的力量
总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的
【例】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问:三项都参加的有多少人?
解析:参加足球队?A，参加排球队?B，参加游泳队?C，足球、排球都参加的?A?B，足球、游泳都参加的?C?A，排球、游泳都参加的?B?C，三项都参加的?A?B?C。三项都参加的有A?B?C=A?B?C-A-B-C+A?B+B?C+C?A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
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范文四：2015安徽公务员考试行测两个与三个集合的容斥原理
【容斥原理之两个集合的容斥原理】
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示：
公式：A∪B=A+B-A∩B
总数=两个圆内的-重合部分的
【例】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
中公解析：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
【容斥原理之三个集合的容斥原理】
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数
A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：
公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
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总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的
【例】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人?
中公解析：参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有
A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
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范文五：三集合容斥原理
（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（ ）人。
A.20B.18C.17D.15
（广东2015）某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为（ ）。
A.75 B.82
C.88 D.95
（国家2015）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（ ）
A.310 B.360
C.390D.410
