跋涉千里向你道别
范文一：63节梯形的性质定理61梯形两腰中点连线定理梯形的两腰中点
6.3節 梯形的性質
定理 6.3-1 梯形兩腰中點連線定理
梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半。
DA
NM
BCE
圖6.3-1
已知,如圖6.3-1,梯形ABCD中,?,M為的中點,N為的中點。
求證,(1) ??
1(2) ( ) ,， 2
想法,利用三角形兩邊中點連線定理,三角形的兩中點連線必平行第三邊且等於
第三邊的一半。 證明,
敘述 理由 (1) 作,並延長交的延長線兩點可作一直線
於E點。 不平行的兩線必相交於一點 (2) 在?AND與?ENC中 如圖所示
?AND,?ENC 對頂角相等
,已知N為的中點
已知??ADN,?ECN , 內錯角相等 (3) ?AND ?ENC 由(2) , 根據三角形A.S.A.全等定理 (4) ,,由(3) , 全等三角形對應邊相等 且
由(4) ,(5) ?ABE中,N為AE的中點, , 已知M為AB中點
M為AB中點
由(5) , 三角形兩邊中點連線必平行 1(6) ? 且 , 2
第三邊且等於第三邊的一半 (7) ?? 所以
由(6) ?? ,已知 遞移律 (8) ,，,，
1(9) 所以( ) ,， 2全量等於分量之和 , (4) ,
1 由(6), , (8) ,，2
Q. E. D.
例題6.3-1,
如下圖,梯形ABCD中,?,為梯形中線,,8,,12,則
,,
想法,(1) 梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半
解,
敘述 理由
(1) ,(，)?2 已知梯形ABCD中,?,為梯形中線
,(8，12)?2,10 , 梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半
例題6.3-2,
若一梯形的中線長為10公分,且下底是上底的3倍,求下底與上底的差。 想法,(1) 梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半
解,
敘述 理由 (1) 假設上底為x公分、下底為3x公分 已知下底是上底的3倍 , 假設
(2) 10,( x，3x )?2 由(1) , 梯形的中線等於兩底和的一
半 , 已知梯形的中線長為10
x(3) ,5
由(2) 解一元一次方程式 (4) 下底與上底的差,下底,上底
由(1) 上底為x公分、下底為3x公分
,3x,x,2x,10
x, (3) ,5
(6) 所以下底與上底的差,10公分
由(4)
例題6.3-3,
如下圖,梯形ABCD中,E、F分別為、中點,G、H分別為、
中點,若,5,,9,求。
想法,(1) 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半 解,
敘述 理由
(1) 梯形ABCD中,為梯形中線 已知E、F分別為、中點 (2) ,(，)?2 由(1) , 梯形的兩腰中點連線等於兩底和
,(5，9)?2,7 的一半 , 已知,5,,9 (3) ? 由(1) , 梯形的兩腰中點連線必平行兩底 (4) 四邊形EFCB為梯形 由(3) ? , 一組對邊平行為梯形 (5) 梯形EFCB中,為梯形中線 已知G、H分別為、中點 (6) ,(，)?2 由(5) , 梯形的兩腰中點連線等於兩底和
,(7，9)?2,8 的一半 , 已知,9 ,(2) ,7 已證
例題6.3-4,
如下圖,梯形ABCD中,?,,10,,18,且E、F、G 將四
等分,H、I、J將四等分,求，，。
想法,(1) 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半 解,
敘述 理由 (1) F為中點、E為中點、 已知E、F、G將四等分
G為中點
已知H、I、J將四等分 (2) I為中點、H為中點、
J為中點 由(1) F為中點 , (2) I為中點 (3) 梯形ABCD中,為梯形中線 由(3) , 梯形的兩腰中點連線等於兩底和
的一半 , 已知,10,,18 (4) ,(，)?2
,(10，18)?2,14 由(3) , 梯形的兩腰中點連線必平行兩底 (5) ?? 由(5) ? , 一組對邊平行為梯形 (6) 四邊形ADIF為梯形 由(1) E為中點 , (2) H為中點 (7) 梯形ADIF中,為梯形中線 由(7) , 梯形的兩腰中點連線等於兩底和
的一半,已知,10 ,(4) ,14已證 (8) ,(，)?2
,(10，14)?2,12 由(5) ? , 一組對邊平行為梯形 (9) 四邊形FICB為梯形 由(1) G為中點 , (2) J為中點 (10) 梯形FICB中,為梯形中線 由(10) , 梯形的兩腰中點連線等於兩底
和的一半 , 已知,18 , (4) ,14 (11) ,(，)?2
,(14，18)?2,16 由(8) , (4) , (11)
加法 (12) 所以，，
,12，14，16,42
例題6.3-5,
如下圖,梯形ABFE中,?,為其中線,且四邊形ABCD為平行四
邊形,已知,4,,8,求。
想法,(1) 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半
(2) 平行四邊形對邊等長
解,
敘述 理由
(1) ,(，)?2 已知梯形ABFE中,為梯形中線 ,
,(4，8)?2 梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半 ,
,6 已知,4,,8
(2) ?? 已知為梯形中線 , 梯形的兩腰中點
連線必平行兩底
(3) ? , ?
已知ABCD為平行四邊形,兩組對邊平行 (4) 四邊形ADHG為平行四邊形
由(2) ? , (3) ? 兩組對邊
平行為平行四邊形 (5) ,,6
由(4) 平行四邊形對邊等長 , (1) ,6 (6) ,，
全量等於分量之和 (7) ,,,6,4,2
由(6) 移項 , (5),6 , 已知,4
例題6.3-6,
已知,、分別為梯形ABCD與梯形BPQC的中線,若,,
求證,EGHF是平行四邊形。
想法,(1) 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半
(2) 一組對邊平行且相等為平行四邊形
證明,
理由 敘述
()(1) ,，?2 且 ? 已知梯形ABCD中,為梯形中線 ,
梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於
兩底和的一半 ()(2) ,，?2 且 ?
已知梯形BPQC中,為梯形中線 ,
梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於 (3) 四邊形EGHF中
兩底和的一半 (),，?2
() ,，?2, 如圖所示
(4) ?? 由(1) ,(，)?2 ,
已知,, (2) () ,，?2(5) 所以EGHF是平行四邊形
由(1) ? , (2) ? 遞移律
由(3) , , (4) ? ,
一組對邊平行且相等為平行四邊形
定理 6.3-2 等腰梯形底角定理
等腰梯形的兩底角相等。
JG
H
IN
圖6.3-2
已知,如圖6.3-2,梯形GHIJ中,?, ,
求證, ?GHI,?JIH
想法,利用等腰三角形兩底角相等的性質
證明,
敘述 理由 (1) 過點J作? 過一點可作一線平行另一線
(1)(2) 四邊形GHNJ為一平行四邊形 已知?,?
兩組對邊平行為平行四邊行(3) ,
由(2) , 平行四邊形對應邊相等 (4) ?JNI為等腰三角形
由(3) , 兩腰等長為等腰三角形 (5) ?JNI,?JIN ( 即?JNI,?JIH )
由(4) , 等腰三角形兩底角相等 (6) ?GHI,?JNI
由(1)平行線的同位角相等 ,
(7) 所以?GHI,?JIH
由(5) , (6) 遞移律
Q. E. D.
例題6.3-7, ( 等腰梯形對角互補 )
已知,四邊形ABCD為等腰梯形,?。
求證,(1) ?B，?D,180?
(2) ?A，?C,180?
想法,(1) 等腰梯形兩底角相等
(2) 平行線間同側內角互補
證明,
敘述 理由 (1) ?B,?C 已知四邊形ABCD為等腰梯形 , 兩底角相等 (2) ?A，?B,180? 已知 ? , 同側內角互補 (3) ?A，?C,180? 將(1) ?B,?C 代入 (2) ?A，?B,180? (4) ?C，?D,180? 已知 ? , 同側內角互補 (5) ?B，?D,180? 將(1) ?B,?C 代入 (4) ?C，?D,180?
例題6.3-8,
已知四邊形ABCD為等腰梯形,?,若?B,60?,則,
(1) ?C,, (2) ?D,,
想法,(1) 等腰梯形兩底角相等
(2) 等腰梯形對角互補
解,
敘述 理由 (1) ?C,?B,60? 已知四邊形ABCD為等腰梯形 , 等腰梯形兩底角相等
, 已知?B,60?
(2) ?D，?B,180?
已知四邊形ABCD為等腰梯形 , 等腰梯形對角互補 (3) ?D,180?,?B
由(2) 移項 , 已知?B,60?
,180?,60?
,120?
例題6.3-9, ( 等腰梯形兩對角線相等 )
已知,四邊形ABCD為等腰梯形,?。
求證,,
想法,(1) 等腰梯形兩腰等長且兩底角相等
(2) 三角形全等定理
證明,
敘述 理由
(1) 連接A點與C點、
連接B點與D點,
如右圖所示 如上圖所示
已知四邊形ABCD為等腰梯形 , 兩腰等長 (2) 在?ABC與?DCB中 已知四邊形ABCD為等腰梯形 , 兩底角相等
, 共同邊
?ABC,?DCB 由(2) , 根據S.A.S.三角形全等定理
,
由(3) , 全等三角形對應邊相等 (3) ?ABC ?DCB
(4) ,
例題6.3-10,
與為兩對角線,若 已知四邊形ABCD為等腰梯形,?,
,10,則,,
想法,(1) 等腰梯形兩對角線相等
解,
敘述 理由
與為兩對角線 (1) ,,10 已知四邊形ABCD為等腰梯形,
, 等腰梯形兩對角線相等 , 已知,10
例題6.3-11,
已知,等腰梯形ABCD中,?,對角線、交於O點,
求證,(1) (2) ,,
想法,(1) 三角形全等定理
(2) 等腰梯形兩腰等長且兩底角相等
證明,
敘述 理由
(1) 在?ABC與?DCB中 如圖所示
, 已知四邊形ABCD為等腰梯形 , 兩腰等長
?ABC,?DCB 已知四邊形ABCD為等腰梯形 , 兩底角相等
, 共同邊
(2) ?ABC ?DCB 由(1) , 根據S.A.S.三角形全等定理 (3) ?BAC,?CDB 由(2) , 全等三角形對應角相等 (4) 在?AOB與?DOC中 如圖所示
?BAC,?CDB 由(3) 已證
?AOB,?DOC 對頂角相等
, 已知四邊形ABCD為等腰梯形 , 兩腰等長 (5) ?AOB ?DOC 由(4) , 根據A.A.S.三角形全等定理
(6) , ,,由(5) , 全等三角形對應邊相等
例題6.3-12,
等腰梯形ABCD中,?,?C,74?,?ABD,21?,若,9,求,
(1) ?CBD (2) ?CDB (3) 。
想法,(1) 等腰梯形兩底角及兩腰相等
(2) 兩底角相等的三角形為等腰三角形
解,
敘述 理由 (1) ?ABC,?C,74? 已知ABCD為等腰梯形 , 兩底角相等 (2) ?ABC,?CBD，?ABD 全量等於分量之和
(3) ?CBD,?ABC,?ABD 由(2) 移項 , (1) ?ABC,74? ,
,74?,21?,53? 已知?ABD,21?
(4) ?ADB,?CBD,53? 已知? , 內錯角相等 ,
(3) ?CBD,53?
(5) ?BCD中
如圖所示
?CDB，?CBD，?C,180?
三角形內角和180?
(6) ?CDB,180?,?CBD,?C
由(5) 移項 , (3) ?CBD,53? ,
,180?,53?,74?
已知?C,74?
,53?
(7) ?CDB,?CBD,53? 由(3) , (6) 遞移律 (8) ?BCD為等腰三角形 由(7) , 兩底角相等為等腰三角形定理 (9) ,,9 由(8) , 等腰三角形兩腰等長 ,
已知,9
(10) ,,9
已知ABCD為等腰梯形 , 兩腰等長
, (9) ,9
習題 6.3
習題6.3-1,
如下圖,梯形ABCD中,,19,,11,求中線的長。
習題6.3-2,
已知一梯形的下底比上底長18公分,且中線長為20公分,求,
(1)上底的長
(2)下底的長
習題6.3-3,
如下圖,梯形ABCD中,E、G、P四等分,F、H、Q四等分,已知
,31,,59,求，，，，。
習題6.3-4,
如下圖,梯形ABCD中,E、G、P四等分,F、H、Q四等分,
已知,5,,8,求。
習題6.3-5,
如下圖,梯形ABFE中,?,為其中線,且四邊形ABCD為平行四
邊形,已知,5,,11,求。
習題6.3-6,
已知、分別為梯形ABCD與梯形BPQC的中線,若,,
,10,則,,
習題6.3-7
已知,如下圖,梯形ABCD中,為其中線,?
求證, ,
AD
EFI
BGHC
習題6.3-8 ( 梯形的中線平分其對角線 )
已知,如下圖,梯形ABCD中,為其中線,及為其對角線。
求證,且 , ,
AD
GH
FE
BC
習題6.3-9 ( 過梯形兩對角線中點的直線,必平分兩腰 )
已知,梯形ABCD中,E為對角線的中點,F為對角線的中點。
求證,且 , ,
AD
GH
FE
BC
習題6.3-10,
已知四邊形ABCD為等腰梯形,?,若?B,50?,則,
(1) ?C,, (2) ?D,,
習題6.3-11,
與為兩對角線,若 已知四邊形ABCD為等腰梯形,?,
,5,則,,
習題6.3-12,
等腰梯形ABCD中,?,?C,80?,?ABD,30?,若,6,求,
(1) ?CBD (2) ?CDB (3) 。
范文二：5、等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等
等腰三角形相关的性质
5、等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等。
如图?ABC中,AB=AC，D为BC边的中点，DE，DF分别为D点到腰
AB，AC的高，求证DE=DF。
分析:要证DE=DF只需要证?BED??CFD (AAS)
6、等腰三角形底边上一动点到两腰的距离和等于一底角到一腰的距离。
A如图?ABC中,AB=AC，D为BC边的动点，DE，DF分别为D点到腰
AB，AC的高，BH为过B点到腰AC的高，求证DE+DF=BH。
分析:通过作辅助线的方法构造图形，使DE和DF通过等量代换的方式
组合到一条直线上再与BH进行比较。
证明:过D作DG?AC，
??ABC中,AB=AC
??ABC=?ACB
?BH?AC DF?AC
H ?BH?DF GEF 又?DG?AC BH?AC BCD ?四边形DFHG为矩形，
A ?DF=GH ?DGB=90??GDB=?ACB=?ABC
在?BDE和?DBG中
?DEB=?BGD=90?
BD=DB
?EBD=?GDB
??BED??DGB (AAS)
?DE=BG
H ?DE+DF= BG+GH=BH GEF ?DE+DF= BH BCD
7、等腰三角形底边延长线上一动点到两腰的距离差等于一底角到一腰的距离。 如图?ABC中,AB=AC，P为BC边的动点，P在底边CB的延长线上，PE，PF分别为P到两腰AB，AC延长线上的高，BD为过B点到腰AC延长线上的高，求证PF-PE=BD
分析:通过作辅助线的方法构造图形， F使PE和PF通过等量代换的方式组合到一条直线上
D再与BD进行比较。
证明:过B作BG?CF。 A
?BD?AC GF?AC BG?CF
?四边形FGBD为矩形 G
?GF=BD P1 2 4 又??ABC中,AB=AC BC3
??1=?2 (如图) E
??1=?2=?3
??2+?DBC=90?
?4+?DBC=90?
??3=?4
在?BGP和?BEP中
?BGP=?BEP
PB=PB
?3=?4
??BGP??BEP (ASA)
?PE=PG(也可以利用?3=?4 角平分线上的点到两边的距离相等，直接证明
PE=PG)
?PF-PE= PF-PG=GF=BD
?PF-PE=BD
范文三：用反证法证明等腰三角形的两腰相等
这就是著名的斯坦纳--莱默斯定理。1840年,莱默斯[C.L.Lehmus]
在给斯图姆[C.Sturm]的一封信中提出的，他请求给出一个纯几何的证明，斯图姆向许多数学家提到此问题。首先回答的是瑞士大几何学家斯坦纳[J.Steiner]。后来该定理就以“斯坦纳--莱默斯定理”命名而闻名于世。在1965年的一篇报道中提到该定理约有60多种证法。下面给出两种证法.
己知 在?ABC中，BE,CF是?
B，?C的平分线，BE=CF。求
证:AB=AC.
证法一 设AB?AC，不妨设
AB>AC，这样?ACB>?ABC， 从而
?BCF=?FCE=?ACB/2>?ABC/2=
?CBE=?EBF。
在?BCF和?CBE中，因为
BC=BC， BE=CF，?BCF>?CBE.
所以 BF>CE。 (1)
作平行四边形BEGF，则?EBF=?FGE，EG=BF，FG=BE=CF，连CG，
故?FCG为等腰三角形，所以?FCG=?FGC。
因为?FCE>?FGE，所以?ECG<?EGC。
故得 CE>EG=BF. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB?AC不成立，于是必有AB=AC。
证法二 在?ABC中，假设?B??C，则可在CF上取一点F'，使?F'BE=?ECF'，这有CF?CF'。
延长BF'交AC于A',则由?BA'E=?CA'F',有ΔA'BE?ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'?BE/CF=1.
那么在?A'BC中，由A'B?A'C，得:
?A'CB??A'BC，即?C?(?B+?C)/2，故?B??C。
再由假设?B??C，即有?B=?C。
所以?ABC为等腰三角形。
范文四：()2已知一梯形两腰中点的连接线段长是10公尺
?????
姓名___________
( ) 1. 若梯形的中線長10公分，高8公分，則梯形的面積是多少平方公分__________ 43C ( ) 2. 已知一梯形兩腰中點的連接線段長是10公尺，且高是5公尺，則梯形的面積是多少平方
公尺？____________
( ) 3. 已知梯形的上底與高相等，下底是上底的3倍，且面積是18，設上底長為x，何者正確
Ａ) 2 ? x ? 4 (Ｂ) 48 (
( ) 4. 如下圖(一)，￣AD // BC￣，若￣AD＝8，￣BC＝13，￣AB＝6，￣CD＝5，且?D＝104?，則?A＝？
( ) 5. 如下圖(二)，梯形ABCD中，￣AD // BC￣，若 AB￣＝￣CD＝13，￣AD＝8，且
BC￣＝18，則ABCD的面積為何？_____________
圖(一) 圖(二) 圖(三) ( ) 6. 一梯形兩底長的比為1：3，若高為5，且面積為40，則梯形兩底的差是多少？________
?7. 如上圖(三)，ABCD是矩形 ， CG // EF￣，若?GCB＝30?， 則?FEB ＝_____________
( ) 8. 如右圖，L // L // L // L，且相鄰兩條平行線的距離為1，若正方形 1234
ABCD的四個頂點分別在四條直線上，則正方形的面積為何？
( ) 9. 下面哪一個可以判別四邊形ABCD是平行四邊形？
￣￣(A)?A＝?C (B) AB＝CD
￣￣(C) 對角線 AC 和 BD 互相垂直
￣￣(D) 對角線 AC 和 BD 互相平分
( ) 10. 下列敘述何者錯誤？
(A)正方形既是菱形也是長方形
(B)菱形和正方形的面積皆等於對角線乘積的一半
(C)菱形和長方形的對角線都有垂直、平分的性質
(D)正方形和長方形的兩雙對邊都互相平行
1. 若等腰梯形的底角是45?，腰長是52，且較長的底是20，則梯形的面積是 。 2. 如下圖(四)，梯形ABCD中，￣DA//CB￣，P、Q、R四等分 AB￣又￣DA//SP￣//TQ￣//MR￣//CB￣，若 AD￣＝7，BC￣，則 SP￣＋￣TQ＋￣MR ＝ 。 ＝25
圖(四) 圖(五) 圖(六)
3. 如下圖(五)，梯形ABCD中，￣AD // BC￣，若 AD￣＝2，￣BC＝7，￣AB＝3，￣CD＝4，則梯形的高是。 4. 如上圖(六)，平行四邊形ABCD中，￣AE＝3.2，￣AD＝9.1，若 EF￣ 將平行四邊形ABCD分成兩個
等面積的梯形，則 BF￣＝ 。
5. 如下圖(七)，梯形ABCD中，￣AD // BC￣，且 AB￣ 是梯形的高，若 AD￣＝70，￣AB＝60，￣CD＝100，
則 BC￣＝ 。
6. 如下圖(八)，菱形ABCD中，對角線 AC￣ 交 BD￣ 於O，若 AO￣＝4，BE￣＝ DF￣＝1，BD￣＝10，則四
數學(四) C－12－1
邊形AECF面積＝ 。
圖(七) 圖(八) 圖(九) 圖(十) 7. 如上圖(九)，ABCD為一矩形，￣AC＝16，?CBO＝20?，￣CH?BD￣於H，￣CH＝3，則：
(1) ?AOB＝；(2) BO￣＝ ；(3) ABCD之面積＝ 。
8. 如上圖(十)，ABCD為一正方形，沿 EF￣ 摺疊後，A落在A'上，B落在B'上，若?1＝56?，則
=。 ?EFB'
三、計算題：每題10分，共20分
1. 如右圖，?ABC 中，E、F、G 將 AB￣ 四等分，M、N、O 將 AC￣ 四等分，
若 BC￣＝10，則 EM￣＋￣FN＋￣GO ＝？
解：
2. 如右圖，梯形ABCD中，￣CD // AB￣，￣AC?￣BC，若￣AD＝￣BC＝15，￣AB＝25，
求梯形ABCD的面積。
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數學(四) C－12－2
范文五：6、将梯形两腰AD和BC延长相
6、将梯形两腰AD和BC延长相交于M点，若AD=3.3cm,BC=2cm DM=2.1cm,则CM= .
(二)中位线定理:
三角形中位线:
梯形中位线:
定理证明的其它方法:
(1)连结一条对角线 (2)过上底一端作一腰平行线 (3)过一腰中点作另一腰平等线(
1、已知:在梯形ABCD中AD?BC，对角线AC?BD，EF为梯形的中位线 ?DBC=30?
求证:EF=AC(
2、已知:在?ABC中，AG?BC于G，E、F、H分别为AB、BC、CA的中点(
求证:四边形EFGH为等腰梯形(
3、已知:在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AF为?BAC的平分线，交BD于E，BC于F(
求证:OE=FC(
4、已知:梯形ABCD中AD BC，E为AB中点，且AD，BC=DC
求证:DE?EC，DE平分?ADC，CE平分?BCD(
【练习】
一、填空题:
1.已知图a中AC?EF?GH?DB(AB、CD交于O，AO=OF=FH=HB=AC=2.5cm，则HG= (
2.已知图b，?ABC中AB=AC，AD?BC，M为AD中点，DF?CE，AC=9cm，则AE= (
3.已知图c，在梯形ABCD中AD?EF?BC，AE=EB，EM?DC且EM=3.5cm，则DF= (
4.已知图d，?ABC是等边三角形，AF?AB，EF?DC，AE=3.5cm，则AD= (
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