大波浪_
范文一：因式分解单元设计评价方案的思维导图
模块6 作业模板
作者姓名 学科 数学 年级 初一 主题单元名称 因式分解
因式分解单元设计评价方案的思维导图(说明:将单元评价方案的思维导图导出为jpeg文件粘贴在下面框内;如果提交到平
2013学员教师远程研修手册》。) 台，则需要使用图片导入的功能，具体操作见《
“因式分解主题单元之“探索因式分解的方法”的评价量规 评价标准描述 评价
评价指标 总分(权重) 好【1，0.8】 一般(0.8，0.6] 需要改进(0.6,0] 生评 师评 和评
语
1、因式分解的定1、因式分解的定1、因式分解的定义义回答全面但语义回答不够全面回答全面; 言略欠规范; 或语言不规范; (基本知识) 2、对新学习因式分2、对新学习因式2、对新学习因式 (10 分) 解方法回答正确、分解方法，有一个分解的判定方法，全面; 方面回答不全面有两个方面回答 或有误; 不全面或有误;
1、关于因式分解1、关于因式分解
的定义、因式分解的定义、因式分解1、关于因式分解的的方法等系列基的方法等系列基定义、因式分解的本问题的回答或本问题的回答或方法等系列基本问解答有1—2个出解答有3个以上出题的回答或解答全现错误，步骤比较现错误，有多个问部正确，而且步骤(基本问题) 规范; 题步骤不够规范; 规范; ( 20分) 2.选择、填空题错2、选择、填空题2、选择、填空题得一个; 错两个个以上; 到满分; 3.解答题步骤不够3、解答题步骤不3、解答题步骤规规范或解答出现规范或解答出现范，得到满分; 少许问题，每题平大量问题，每题平 均扣分在4分以均扣分在4分以
内; 上;
对因式分解的方1、对因式分解的判1、对因式分解的法问题进行的探定方法问题进行了方法问题进行了究不够充分，解答充分有效的探究，较充分的探究，解错误; 解答正确; 答有瑕疵; 3从知识、问题、(探索能力) 2、从知识、问题、3从知识、问题、思想方法三个方 (20分) 思想方法三个方面思想方法三个方面总结不够积极总结积极主动，三面总结比较积极主动甚至缺乏反方面内容总结全主动，三方面内容思，三方面内容总面; 总结比较全面; 结至少有两处不
够全面 积极参与合作探究比较积极地参与参与合作探究和和互动交流，在此合作探究和互动互动交流不积极(合作能力) 过程中，互相尊重，交流，在此过程主动，在此过程 (15 分) 既注意倾听和吸取中，互相尊重，在中，与他人互相独其他同学的观点。倾听和吸取其他立，不注意倾听和
又积极提出自己的同学的观点和积吸取其他同学的
思想观点，合作交极提出自己的思观点，发言不积极
流意识强、能体现想观点方面做得主动，合作交流意
团队精神; 不够充分;合作交识较弱、基本上不
流意识较强、基本能体现团队精神;
上能够体现团队
精神;
因式分解应用拼能够独立地制作因需别人的大力帮图制作耗费时间(动手操作能力) 式分解应用拼图，助才能够制作出超过10分钟(不 (15 分) 且制作时间不超过因式分解应用拼含)，不超过2010分钟(含) 图 分钟(含)
熟练应用因式分解基本应用因式分
(应用能力) 的方法解决问题，解的方法解决问不能单独应用因式分解的方法解决问题，学(20 分) 学习成果达到或超题，学习成果基本习成果没能达到预期目标;
过预期目标; 达到预期目标，
评价量规 (说明:将设计的针对主题单元中某一评价要素的评价量规粘贴在下面)
范文二：初三因式分解答案
因式分解
◆【课前热身】
1.已知(19x?31)(13x?17)?(13x?17)(11x?23)可因式分解成(ax?b)(8x?c)，其中a、b、c均为整数，则a?b?c的值是 （ ）
A．?12 B．?32 C．38 D．72
2.把多项式ax?ax?2a分解因式，下列结果正确的是 （ ）
A.a(x?2)(x?1) B. a(x?2)(x?1)
C.a(x?1)2 D. (ax?2)(ax?1)
3.下列式子中是完全平方式的是（ ）
A．a?ab?b B．a?2a?2 C．a?2b?b D．a?2a?1
4.分解因式：3x－27= ．
5. 2008?2009?2008 ＝
【参考答案】1. A 2. A 3. D 4. 3(x +3)（x -3） 5. -
因式分解的基本方法
1）提取公因式法：ma+mb+mc=m（a+b+c）；
2）运用公式法：a－b=（a+b）（a－b）；a±2ab+b=（a±b）； 22222222222222
3）分组分解法：①分组后直接提公因式；②分组后直接运用公式；
4）十字相乘法：x+（p+q）x+pq型式子和因式分解，即：x+（p+q）x+pq=x+px+qx+pq=（x+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+q）（x+p）；
5）求根公式法：在分解二次三项式ax+bx+c的因式时，可先用公式求方程ax+bx+c的两个根x1，x2，然后得ax+bx+c=a（x－x1）（x－x2）．
易错知识辨析
（1）注意因式分解与整式乘法的区别；
（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.
◆【典例精析】
例1 填空题：
（1）分解因式：2a（b+c）－3（b+c）=_______．
（2）分解因式：a－2a+a=______；
322222222
（3）分解因式：a－4b=________．
【答案】（1）2a（b+c）－3（b+c）=（2a－3）（b+c）
（2）a－2a+a=a（a－2a+1）=a（a－1）
（3）a－4b= a－（2b）=（a－2b）（a+2b）
【解析】 （1）提取公因式法是分解因式的常用方法之一，?当公因式是一个多项式时，可以直接提取．
（2）本题提公因式a后，原多项式变形为a（a－2a+1），这一步虽然是因式分解，但其中一个因式a－2a+1在有理数范围内仍然能再分解，即a－2a+1=（a－1），切记因式分解的最后结果必须使每一个因式在指定数的范围内都不能再分解．
（3）运用公式法分解因式，可以先把所给多项式转化成公式的形式，?再运用公式进行分解，以免由于误判，使分解的结果产生错误．
例2 选择题：
（1）若a，b，c是三角形三边的长，则代数式a+b－c－2ab的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．大于或等于零 D．小于或等于零
（2）把多项式4x+8x－1分解因式的结果是（ ）
A．（x
2222222222 22223222（x
B．（
） （
D．（2x+2
（
22222222 C．4（
【答案】（1）∵a+b－c－2ab=（a－2ab+b）－c=（a－b）－c
=（a－b+c）（a－b－c）， 又∵a，b，?c是三角形三边的长． ∴a+c>b，a ∴（a－b+c）（a－b－c）<> 即a+b－c－2ab<> （2）由求根公式法，可得方程4x+8x－1=0的两根是x1 22222x2 ，∴4x+8x－1=4（x （x =（2x+2 （ ，故选D． 【解析】（1）本题是确定代数式的取值范围与因式分解的综合题，?把所给多项式的部分因式进行因式分解，再结合“a，b，c是三角形的三边”，应满足三角形三边关系是解决这类问题的常用方法． （2）确定因式分解结果的选择题，其选择项的确定方法一般有两种，?一种是先把所给多项式进行分解，得到结果再确定选择项；二是把所给的每一个选择项，分别按照整式和乘法法则进行计算，再把所得积与所给的多项式进行比较，最终确定选择项． 例3（湖南长沙）因式分解：2a?4a? 【答案】2a?4a?2a(a?2) 【解析】本题考查了因式分解的基本方法----提公因式法.本题只要将原式的公因式2a提出即可. ◆【迎考精练】 22 一、选择题 1. （北京）把x3?2x2y?xy2分解因式，结果正确的是 （ ） 22 A.x?x?y??x?y? B.xx?2xy?y C.x?x?y? D.x?x?y? ??22 2. (四川内江) 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分 拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A．(a?b)?a?2ab?b B．(a?b)2?a2?2ab?b2 C．a2?b2?(a?b)(a?b) D．(a?2b)(a?b)?a2?ab?2b2 3. （四川眉山）下列因式分解错误的是( A．x2?y2?(x?y)(x?y) C．x2?xy?x(x?y) 2222 图甲 图乙 ) B．x2?6x?9?(x?3)2 D．x2?y2?(x?y)2 4. （广西南宁）把多项式2x?8x?8分解因式，结果正确的是（ ） A．?2x?4? 二、填空题 1.（广东省）分解因式2x?8x=__________． 2.（湖北黄石）因式分解a?4a?． 3.(湖北黄冈)分解因式：6a?54a=________． 332B．2?x?4? 2C．2?x?2? 2D．2?x?2? 23 4.（湖北恩施）分解因式：2a?8a?____________． 5.（四川内江）分解因式：?x3?2x2?x?_____________. 6.（四川泸州）分解因式：ax?ay? . 7.（四川宜宾）因式分解：2x?8? . 32 8.（浙江绍兴）因式分解：x3?xy2＝___________． 9.（浙江嘉兴）因式分解：(x?y)2?3(x?y)? 10.（浙江杭州）在实数范围内因式分解x?4= _____________． 11.（山东济宁）分解因式：ax?a? 42 12.（福建福州）分解因式：x?2x= . 13.（安徽）因式分解：a2?b2?2b?1? ． 三、解答题 1.（吉林省）在三个整式x2?2xy,y2?2xy,x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解 2 2．（湖北孝感） 已知：x? 1，y?1，求下列各式的值. （1）x?2xy?y；（3分） （2）x?y．（3分） 2222 x2?y2 3.（湖南湘西自治州）先化简再计算：?2x?y，其中x=3，y=2 x?y 4.（浙江衢州）给出三个整式a，b和2ab． (1) 当a=3，b=4时，求a+b+2ab的值； (2) 在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请 写出你所选的式子及因式分解的过程． 2222 5．(浙江温州)在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n—6n的值都是负数．于是小朋猜想：当n为任意正整数时，n-6n的值都是负数．小明的猜想正确吗?请简要说明你的理由． 22 6.（福建漳州）给出三个多项式：1211x?2x?1，x2?4x?1，x2?2x．请选择你最喜欢的两个多项222 式进行加法运算，并把结果因式分解． 7.（湖北十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值： （1）ab+ab （2）a+b 【参考答案】 选择题 1.D 2.C 3.D 4.C 填空题 1. 2x?x?2??x?2? 2. a(a?2)(a?2) 3. 6a?a?3??a?3? 4. 2a(a?2)(a?2) 5. -x(x+1) 6. a(x?y) 22222 2x?2）(x?2) 8. x（x+y）7. （（x-y） 9. (x?y)(x?y?3) 10. (x2?2)(x?2)(x?2) 11. a（x+1）（x-1） 12. x（x－２） 13. (a?b?1)(a?b?1) 解答题 1. 解：(x2?2xy)?x2?2x2?2xy?2x(x?y); 或(y2?2xy)?x2?(x?y)2; 或(x2?2xy)?(y2?2xy)?x2?y2?(x?y)(x?y); 或(y2?2xy)?(x2?2xy)?y2?x2?(y?x)(y?x). 2. 解：（1）原式＝ (x?y)＝ 11)2 ＝2＝ 12 （2）原式＝(x?y)(x?y)＝ [(?1)?(3?1)][(3?1)?(3?1)] ＝ 2＝3. 解：原式＝2(x?y)(x?y)?2x?y (x?y) ＝x＋y－2x＋y ＝－x＋2y 因为 x＝3，y＝2 所以原式＝－3＋4＝1 4. 解：(1) 当a=3，b=4时， a+b+2ab=(a?b)2=49． (2) 答案不唯一，式子写对给2分，因式分解正确给2分．例如， 22 若选a，b，则a-b=(a+b)(a-b)． 若选a，2ab，则a±2ab=a(a±2b)． 5. 答：不正确。 解法一：（利用反证说明）例如：当n=7时，n-6n=7>0 解法二：n-6n=n(n-6),当n-6n≥0 222222222 121x?2x?1?x2?4x?1=x2?6x=x(x?6)． 22 12122情况二：x?2x?1?x?2x=x?1=(x?1)(x?1)． 22 12122情况三：x?4x?1?x?2x=x?2x?1=(x?1)2 226. 解：情况一： 7. 解法①： （1）a2b?ab2?ab(a?b)?2?3?6 （2） ∵(a?b)2?a2?2ab?b2 ∴a2?b2?(a?b)2?2ab?32?2?2?5 解法②： a1?2a2?1a?b?3由题意得 ? 解得：? ?????b1?1?b2?2 ?ab?2 当a?2,b?1时，a2b?ab2?4?2?6,a2?b2?4?1?5 当a?1,b?2时，ab?ab?2?4?6,a?b?1?4?5 2222 【知识精读】 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因 式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； (1)提公因式法 如多项式am?bm?cm?m(a?b?c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． (2)运用公式法，即用 a2?b2?(a?b)(a?b), a2?2ab?b2?(a?b)2, a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)写出结果． (3)十字相乘法 对于二次项系数为l的二次三项式x?px?q, 寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则x2?px?q?(x?a)(x?b);对于一般的二次三项式ax?bx?c(a?0),寻找满足 a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则ax?bx?c?(a1x?c1)(a2x?c2). 222 (4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． 分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号. (5)求根公式法：如果ax2?bx?c?0(a?0),有两个根X1，X2，那么 ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2). 总结：因式分解的基本步骤 一提：对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。 二套：对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完全平方公式 或十字相乘法。 三分组：再考虑分组分解法 四查：检查：特别看看多项式因式是否分解彻底 【经典例题】 【例1】（2011银川）下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ） A、（x+3）(x－2)=x2+x－6 C、8a2b3=2a2·4b3 B、ax－ay－1=a（x－y）－1 D、x2－4=（x+2）（x－2） 【例2】（2012重庆）把－4a3b2+6a2b－2ab分解因式 【例3】（2010西安）把5（x－y）2－10（y－x）3分解因式 【例4】（2010长沙）把下列各式分解因式：（1）1－x2+4xy－4y2 －3x+6y 【例5】（2009贵阳）分解因式：x2－2xy+y2－2x+2y+1 【例6】（2013大庆）已知ab=-3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值． （2）x2－4xy+4y2 【例7】（20112昆明）若4x2?kx?25是完全平方式，求k的值. 【例8】（2010福州）求证：对于任意自然数n，3n?2?2n?3?3n?2n?1一定是10的倍数. 【例9】（2010台北）将m2x2?2mx?35分解因式 【例10】（2009北京）分解因式a3?7a?6 【课堂练习】 1．（2010拉萨）下列变形属于分解因式的是（ ） A．2x2－4x+1=2x（x－2）+1 B．m（a+b+c）=ma+mb+mc C．x2－y2=（x+y）（x－y） D．（m－n）（b+a）=（b+a）（m－n） 2．（2012上海）分解因式mx+my+mz=（ ） A．m（x+y）+mz B．m（x+y+z） C．m（x+y－z） D．m3abc 3．（2010广州）20052－2005一定能被（ ）整除 A．2 008 B．2 004 C．2 006 D．2 009 4．（2012海口）观察下列各式，其中可以直接用提公因式法分解因式的有（ ） （1）abx－cdy （2）3x2y+6y2x （3）4a3－3a2+2a－1 （4）（x－3）2+（3x－9） （5）a2（x+y）（x－y）+12（y－x） （6）－m2n（x－y）n+mn2（x－y）n+1 A．（1）（3）（5） B．（2）（4）（5） C．（2）（4）（5）（6） D．（2）（3）（4）（5）（6） 5、（2012廊坊）分解下列因式： （1）56x3yz－14x2y2z+21xy2z2 （2）（m－n）2+2n（m－n） （3）m（a－b+c）－n（a+c－b）+p（c－b+a） （4）a（a－x）（a－y）+b（x－a）（y－a） 6.、证明(求值)： （1）．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值． （2）．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数 ． （3）．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)． （4）．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值． （5）．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值． （6)．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积． (7)．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小． 【课后作业】 1．若x2（x+1）+y（xy+y）=（x+1）·B，则B=_______． 2．已知a－2=b+c，则代数式a（a－b－c）－b（a－b－c）－c（a－b－c）=______ 3．（2009南充）利用分解因式计算：1 297的5%，减去897的5%，差是多少？ 4．（2010西宁）利用因式分解计算： （1）2 0042－4×2 004; （2）39×37－13×34 （3）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21 （4）20 062 006×2 008－20 082 008×2 006 n?4n2?2?25．（2012武汉）计算：2?2n?3 6．计算：2－22－23－…－218－219+220 7．（2012济南）已知2x－y=1，xy=2，求2x4y3－x3y4的值． 3 8．（2010天津）已知：x3+x2+x+1=0，求1+x+x2+x3+x4+x5+…+x2007的值． 第二章因式分解 知识点1：分解因式的定义 1．分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。 如： 判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： ①x 2-9+8x =(x +3)(x -3) +8（ ） ② 9x 2-4y 2=(9x +4y )(9x -4y ) （ ） ③ (x +3)(x -3) =x 2-9 （ ） ④x 2y -2xy 2+xy =xy (x -2y ) （ ） 知识点2：公因式 公因式： 定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 公因式的确定： （1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号） （2）系数：取系数的最大公约数； （3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式； 例如： 错误！未指定书签。．多项式 -3ab +6abx -9aby 的公因式是_________ 错误！未指定书签。．多项式-8a 3b 2c +16a 2b 3A ．-4a b 2c B ．-8ab 3 -24ab c 2 分解因式时，应提取的公因式是（ ） D ．24a 3b 3c C ．2ab 3 3. x (m +n ) 2-y (n +m ) 4+(m +n ) 3的公因式是__________ 知识点3：用提公因式法分解因式 提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化 成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例如： 1. 可以直接提公因式的类型：（1）9a b -6a b +12a b =________________； （2）a n +1 322443 -a n -1 +a =____________ 4 5 n （3）x (a -b ) -y (a -b ) +(a -b ) =_____________ ?2x +y =3 （4）不解方程组?，求代数式(的值 2x +y ) (2x -3yx ) +3(2x +y ) 5x -3y =-2? 2 2. 式子的第一项为负号的类型： （1）①-4x y +6x y -8x y =_______________ ②-4(m +n ) -8(m +n ) +12(m +n ) =_______ 3 4 2 2 2 2 3 3 （2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时） 如： -8x 2+18y 2 练习： 1．多项式:-6ab +18abx +24aby 的一个因式是-6ab , 那么另一个因式是( ) A .. -1-3x +4y B .. 1+3x -4y C -1-3x -4y D.. 1-3x -4y 2. 分解因式－5(y－x) 3－10y(y－x) 3 3. 公因式只相差符号的类型： 公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。（若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如 (x -y ) -(y -x ) =（y -x ）（-y -x ）=（y -x ）（y -x -1） 例：( 1)（b －a ）2+a（a －b ）+b（b －a ） ( 2)（a+b－c ）（a －b+c）+（b －a+c）·（b －a －c ） 322 （3）a (a -b ) +2a (b --a ) 2a b (b -a ) 6 5 6 5 5 练习： 1．把多项式m 2(a -2)+m (2-a ) 分解因式等于（ ） (A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 2．多项式x (y -3) -x (3-y ) 的分解因式结果（ ） A ．(y -3)(x +x ) B．(y -3)(x -x ) C．x (y -3)(1+x ) D．x (y -3)(1-x ) 3．分解因式： （1）m (x -y ) +n (y -x ) =(x -y )(________) 3 3 2 3 （2）－6(x－y) 4－3y(y－x) 5 知识点4公式法分解因式 ． 公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的 方法叫做公式法。 一、平方差公式分解因式法 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。 即a 2-b 2=(a+b)(a-b) 例如： 1、判断能否用平方差公式的类型 ．（1）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ） (A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 2 （2）．下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ） A ． x 2+y 2 B ．-x 2-y 2 C ．x 2-xy 2 D ．1-y 2 2、直接用平方差的类型 （1） 16x 2-9y 2 （2）-25x 2+1 （3）x 4-1 3、整体的类型： （1）(m +n ) 2-n 2 （2）-(x +y ) 2+(2x -3y ) 2 4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型 (1)m—4m= ．(2)a 3-a = ． 练习：将下列各式分解因式 3 （1）(x 2+1)-4x 2 (2)100x2－81y 2； 2 (3)9(a－b) 2－(x－y) 2； （4）a -a （5）-x +9x （6）(m -n ) -(m -n ) （7）(2x -y ) -4(2x -y ) 二、完全平方式分解因式法 完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 即 a 2+2ab+b2=(a+b)2 ; a 2-2ab+b2=(a-b)2 特点：（1）多项式是三项式； （2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式； 3 533 （3）另一项是这两数或两式乘积的2倍. 1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解 如：下列多项式能分解因式的是（ ） A ．x 2-y B．x 2+y 2 C．x 2+y 2+y D．x 2-6x +9 2、关于求式子中的未知数的问题 如：1．若多项式x 2+kx +16是完全平方式，则k 的值为（ ） A ．—4 B ．4 C ．±8 D ．±4 2．若9x 2-6x +k 是关于x 的完全平方式，则k= 3. 若x 2+2(m -3) x +49是关于x 的完全平方式则m=__________ 3、直接用完全平方公式分解因式的类型 (1)x 2 +8x +16 ； (2)-4x 2 +12xy -9y 2 ； (3) x 2 4 +xy +y 2 ； (4) 49 m + 2 43 m n +n 2 4、整体用完全平方式的类型 (1)(x－2) 2＋12(x－2) ＋36； （2） 9+6(a +b ) +(a +b ) 2 5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型 (1)-4x3+16x2-16x ； (2) （3）已知：ab =1, x -y =2，求3abx 练习：分解因式 （1）x -4x +4 （2） a x +16ax +64 （3） a -8a b +16b （4）(x +y ) -14(x +y ) +49 （5）9+6(a +b ) +(a +b ) 2 2 2 12 ax 2y 2+2axy+2a +3aby 2 -6xyab 的值 2224224 12322 3x -12x y +12xy （7）2x +2x + （6）2 知识点5、十字相乘法分解因式 ．十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b） =x 2+(a +b ) x +ab ，用来把某些多项式分 解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。 如:分解因式： ① x 2-7x +10 ② 2x 2-5x -3 (3) a +6ab +5 b 2 2 (4) x 2 +5x +6 (5) x 2 -5x +6 (6) x 2 -5x -6 练习： (1) x 2+7x +12 (2) x 2-8x +12 (3) x 2-x -12 (5) y2+23y +22 (6) x 2-8x -20 (7) x 2+9x y-36 y2 知识点6、分组的方法分解因式 如(1)3 4 m +4m -5-20m 422 (2) -4x +y +4x -1 练习： （1）9a 2 -4b 2 +4bc -c 2 （2）x 3 +3x 2 -4x -12 （4）9x 2 -y 2 -4y -4 （5）xy 2 -2xy +2y -4 (4) x 2+4x -12 (4) x 2+5x -6 3）x 2 +2x -6y -9y 2 （ 小结 因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。 “一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式或立方和、立方差公式，三项的用完全和平方、差平方公式）；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以上考虑分组分解法。 课后练习： 分解因式单元练习 一、选择题（每题4分，共40分） 1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） （A ）2(a -b )=2a -2b （B ）m 2-1=(m +1)(m -1) （C ）x 2-2x +1=x (x -2)+1 （D ）a (a -b )(b +1)=(a 2-ab )(b +1) 2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )， （A ）－8a 2bc （B ） 2a2b 2c 3 （C ）－4abc （D ） 24a3b 3c 3 3．下列因式分解中，正确的是（ ） （A ）3m 2-6m =m (3m -6) （B ）a 2b +ab +a =a (ab +b ) （C ）-x 2+2xy -y 2=-(x -y ) （D ）x 2+y 2=(x +y ) 2 2 4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ） （A ）a 2+4 （B ）a 2-2 （C ）-a 2+4 （D ）-a 2-4 5．把－6(x－y) 3－3y(y－x) 3分解因式，结果是( )． （A ）－3(x－y) (2＋y ) （C ）3(x－y) (y＋2) 3 3 （B ） －(x－y) (6－3y) 3 3 （D ） 3(x－y) (y－2) 6．下列各式变形正确的是（ ） （A ）-a -b =-(a -b ) （B ）b -a =-(a -b ) （C ）(-a -b )=-(a +b ) （D ）(b -a )=-(a -b ) 2 2 2 2 7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )． 1 （A ）4x －1 （B ）4x ＋4x －1 （C ）x －xy ＋y D．x －x ＋ 2 2 2 2 2 2 8．因式分解4＋a 2－4a 正确的是( )． （A ）(2－a) 2 （B ）4(1－a) ＋a 2 （C ） (2－a)(2－a) （D ） (2＋a) 2 9．若4x 2-mx +9是完全平方式，则m 的值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）12 （D ）±12 10．已知a +b =-3，ab =2，则(a -b )2的值是（ ）。 （A ）1 （B ）4 （C ）16 （D ）9 二、填空题（每题4分，共20分） 1．4a 2b +10ab 分解因式时，应提取的公因式是2．am +bm =m ( 2 )；-x -1=-()；a -b +c =a -(). 3．多项式x 2-9与x 2+6x +9的公因式是4．利用因式分解计算：2012-1992=5．如果a 2＋ma ＋121是一个完全平方式，那么m ＝________或_______。 三、解答题: 1．将下列各式因式分解:（每题5分，共40分） (1) -14abc -7ab +49ab 2c ； (3)100x2－81y 2； (5)(x－2) 2＋12(x－2) ＋36； （7）3x 3-12x 2y +12xy 2 （8）(x 2+1)-4x 2 2 (2)a(x＋y) ＋(a－b)(x＋y) ； (4)9(a－b) 2－(x－y) 2； (6)m (x -y )-x +y 2 2. （满分10分）已知：a+b=3,x-y=1,求a 2+2ab+b2-x+y的值. 3．（满分10分）已知a －b ＝2005，ab ＝20082005 ，求a 2b －ab 2 的值。 二．选择题： 1．下列由左到右的变形中，是因式分解的是（ ）． A 、ax ＋bx ＋c ＝x (a +b )+c B、(a +1)(a -1)=a 2-1 C 、x 2 -4x +4=(x -4)2 D、m 2 -2m +1=(m -1)2 2．下列4个由左边到右边的变形中, 是分解因式的有（ ）个。①(a +3)(a -3)=a 2-9 ②m 2-4=(m +2)(m -2) ③a 2-b 2+1=(a +b )(a -b )+1 ④2πR +2πr =2π(R +r ) A 、1个 B、2个 C、3个 D、4个 3. 下列由左边到右边的变形中, 不是分解因式的是（ ）。 A 、a (x +y )=ax +ay B、10x 2-5x =5x (2x -1) C 、y 2 -4y +4=(y -2)2 D、t 2-16+3t =(t +4)(t -4)+3t 4．下列等式中, 从左到右的变形是乘法运算的是（ ）. A 、a 2-1=(a +1)(a -1) B、(x -2)2 =x 2 -4x +4 C 、2x －6y ＝2(x -3y ) D、ax 2+bx =x (ax +b ) 5、下列分解因式中, 正确的是（ ）． A 、x 2+y 2=(x +y )(x -y ) B、x 2-y 2=(x +y )(x -y ) C 、-x 2+y 2=(-x +y )(-x -y ) D、-x 2-y 2=-(x +y )(x -y ) 6．下列多项式中, 有（ ）个是完全平方式. ①x 2-x +1②9a 2b 2-3ab +1 ③1m 2+3mn +9n 2 ④x 6-10x 3 -25 A 、1个 B4、2个 C、3个 D4 、4个 7．某多项式分解因式结果为(x +2y )(x -2y )，那么这个多项式是（ A 、4x 2-y 2 B、x 2-4y 2 C、4x 2+y 2 D、x 2+4y 2 8．下列各式中, 能运用平方差分式分解因式的是（ ）. A 、-1+x 2 B、x 2+y 2 C、-x 2-4 D、-(-a )2-b 2 9．若x 2-8x +m 是完全平方式, 则m 的值为（ ）． A 、4 B、8 C、16 D、32 10．下列各式中, 是完全平方式的是（ ）． ． ） 1 A 、x 2+xy +y 2 B、、9a 2-6a +4 D、x 2+6xy +3y 2 x +xy +y 4 11．下列多项式能因式分解的是（ ）． A 、x 2-y B、x 2+y 2 C、x 2+y 2+y D、x 2-6x +9 12．下列分解因式正确的是（ ）。 A ．4x 2-9y 2=(4x +9y )(4x -9y ) B．x -2xy +4y =(x -2y ) C ．x 2-y 2=(x +y )(x -y ) D．-3a 2+5b 2a =-a (3a +5b 2) 13．下列各组多项式中, 没有公因式的一组是（ ）． A 、5a －5b 和a －b B、ax ＋y 和x ＋ay C 、a 2+2ab +b 2和a +b D、a 2-ab 和a 2-b 2 14．若多项式x 2+kx +16是完全平方式, 则k 的值为（ ）． A 、－4 B、4 C、±8 D、±4 15．下列各式中, 用提公因式法分解因式正确的是（ ）． A 、6(x -2)+x (2-x )=(x -2)(6+x ) B、x 3+x 2+x =x (x 2+x ) C 、(a -b )-2(b -a )=(a -b )(a -b +2) D、-2x 3+3x =-x (2x 2+3) 16．对16x 2+8x +1分解因式, 结果正确的是（ ）． A 、(16x +1) B、16(x -1) C、4(x +1) D、(4x +1) 二、填空题: 1. 多项式2a ＋6b －10c 的公因式是 ． ２．计算: (-2)+(-2)＝ ３．单项式4a 2b 3c 、8ab 2c 2、12abc 的公因式是． 4．等式(a +b )(a -b )=a 2-b 2等式a 2-b 2=(a +b )(a -b ) 从左到右的变形叫做 ． 5．分解因式：(m -n )-n =． 6．把下列各式分解因式, 要求直接写出答案: ① a (x -3)+2b (x -3)＝ ． ②a (x -y )+b (y -x )= ． ③25-16x 2＝ ． ④2x 3-8x = ． ⑤x 3-2x 2y +xy 2=． ⑥x 2+14x +49=． ⑦(m +n )-6(m +n )+9=⑧-24x 3-12x 2+28x ＝三．把下列各式分解因式： （1）3a (x -y )-(x -y ) （2）2x 3-8x （3）7x 2-63 （4）8a 3b 2-12ab 3c +ab （5）-3ma 3+6ma 2-12ma （6）x 2-2xy 2+y 3 （7）6(m -n )-12(n -m ) （8）(2a +b )(2a -3b )-3a (2a +b ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 101 1002 2 2 3 2 （9）7x 2-21x +14 （10）9(m +n )-(m -n ) （11）p 4-1 （12）3ax 2-3ay 4 （13）x (m +n )-y (n +m )+(m +n ) （14）3ax 2+6axy +3ay 2 （15）-x 2-4y 2+4xy （16）a 3-a 2 （17）(x +y )-14(x +y )+49 （18）(a 2+4)-16a 2 五．先分解因式，然后计算求值： 41 （1）9x 2+12xy +4y 2，其中，x =y =- 32 22 1?a +b ??a -b ? （2，其中a ＝-，b ＝2 ?- ? 8?2??2? 六、解答题： 2 2 2 1．已知正方形的面积是9x 2+6xy +y 2（x ＞0，y ＞0），利用分解因式写出表示该正方形的边长的代数。 2．两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么 ？ 11 3．已知x ＋y ＝1，求的值x +xy +y 。 22 ４．993-99能被100整除吗？请说明理由 ５．当x 取何值时，多项式x 2+2x +1取得最小值。 ６．已知：x +y =0. 2，x ＋3y ＝1，求3x 2+12xy +12y 2的值。 ７．已知：a ，b ，c 是三角形的三边，且满足(a +b +c )=3(a +b +c )．求证：这个三角形是等边三角形。 ８．求证：当n 为自然数时， (n +7)-(n -5)能被24整除． 2 2 2 2 2 2 2 2 三、解答题 1、把下列各式因式分解。 11 (1)x－2x (2)3y－6y ＋3y (3)a(x－2a) －a(x－2a) (4)(x－2) 2－x ＋2 (5)25m－10mn ＋n (6)12ab(x－y) －4ab(y－x) (7)(x－1) (3x－2) ＋(22 2 2 2 2332222 －3x) (8)a2＋5a ＋6 (9)x2－11x ＋24 (10)y2－12y －28 (11)x2＋4x －5 （4）(x 2+x ) 2-(x 2 +x ) -2 (1) 2x 3 -8x ; (2) x 4y 2-6x 2y 2+9y 2 . 32 (3) 3a +6a b -3a 2 c -6abc ; 4b 2 c 2 -( b 2+c 2 -a 2)2 . 4a n -1 b 2-16a n +1 (6) x 2 y 2 -y 4 -12xy 2 +36y 2 (5) ; x 2 -6xy +9y 2 -3x +9y +2. 1、(x +2)(x -4)-7; 2、(x 2-4x -12)(x 2 -4x +3) +56; (x -1)(x +(x 2-7x +6) x 2 3、2)(x -3)(x -6)+56 4、 ( -x -6) +56. 2 4 2 1、9m -25n ; 2、8a -4a -4; 4222 3、(x +y )-(x -y )4 ; 4、2ab -a b -1+c ; 2222 5、ab ( c 2+d 2 )+cd (a 2 +b 2 ); 6、3a 2 x -15a xy -42a y ; a 3 b -3a 2 7、 b +6ab -18b ; 8、4a -1+b 2 -4a 2 . 2 9、 (a -1)( a 2 +8a +15) -20. (1) x 4-10x 2+93 2 (2) 7(x +y ) -5(x +y ) -2(x +y ) 2 2 (3) (a +8a ) +22(a 2 +8a ) +120 2 (4) x +y 2-x 2y 2 -4xy -1 12 (4) (7) (5) (x -1)(x -2)(x -3)(x -4) -48 (6) a -b +2bc -c 2 2 2 32 (7) 2a -2a b +8b -8a (8) 3x +6x y -3x z -6xyz 3 2 2 222 (9) a -4ab +3b +2bc -c (10) x -y -z -2yz +1-2x 2 2 2 2222 (11) x -6xy +9y -10x +30y +25 (12) a -a b +ab -a +b -b 2 2 43 (13) x +3x +6x -4 (14) (a -b -c ) -4b c 2 2 2 2 2 2 (15) 2、用简便方法计算。 （1）9992＋999 （2）2022－542＋256×352 (3) 9871368 9871368 1997 1997 2 (x -y ) -4(x -y -1) 2 (16) x +4y 44 -1996?1998 9871368 (1) 998+9980+16 (2) 3、已知：x ＋y= 四、探究创新乐园 1、 若a －b=2,a－c= 1212 2 123?+264?+456? 9871368 +525? ,xy=1.求x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3的值。 , 求(b－c) 2＋3(b－c) ＋ 94 的值。 2、 求证：1111－1110－119=119×109 a +b 2 2 3、已知 a (a -1) -(a -b ) =-1 2 ，求 2 2 -ab 的值。 能被4整除。 4、设n 为整数，用因式分解说明 (2n +1) -25 5、在六位数abcdef 中，a=d, b=e, c=f, 求证这个六位数必能被7、11、13整除。 6、已知a, b, c 为三角形的三边，且满足a +b +c -ab -bc -ac =0，试说明该三角形 13 2 2 2 是等边三角形。 7、小明曾作出判断，当k 为正整数时，k -5k +4k 一定能被120整除，你认为小明的判断正确吗？说说你的理由。 8、补充题： 计算(22 + 42 + 62 +??+20002)﹣(12 + 32 + 52 +??+19992). 1、 已知2x -y = 2、 若x 、y 互为相反数，且(x +2) 2-(y +1) 2=4，求x 、y 的值 3、 已知a +b =2，求(a 2-b 2) 2-8(a 2+b 2) 的值 13 5 3 ，xy =2，求 2x 4y 3-x 3y 4的值。 14 因式分解 例1. 下列从左到右的变形，属于分解因式的是() 2A(B. xxxx，,,，,326axayaxy,，,,，11，，，，，， ,,,,11122C. D. 3331xxxx，,，xxx,,，,，，,,,,2yyy,,,, 例2. 分解下列因式: 12253243(1)(2) ,，,xxyxz2143521xyxyxy，,2 228849ab,( 3) (4) 81xy, 223,，,xx44,，,31212aaa(5) (6) 例3.分解下列因式 322336mnnm,,,(1)(2) aababa,,,，，，，，，，， 2222169abab,,，(3)(4) xx,，,，58516，，，，，，，， 例4(分解下列因式 22xx,,412xx，,263(1)(2) 22253xx,,376xx，,(3)(4) 2222(5)(6) 672xxyy,，121115xxyy,, 4例5. (1)某同学粗心大意，分解因式时，把等式x,?=2,中的两个字弄脏了，则式子中?,对应的一xx，，42x,,，，，，，， 组数字可以是() A(8,1 B.16,2 C.24,3 D.64,8 24225xx,,,，1414xxxx，,,，1414(2)在多项式???16;xx,，，，，，，，， 2,,，414xx?中，分解因式的结果中含有相同因式的是( ) ,(?? ,.?? ,.?? ,.?? 最优练习 1.下列各式从左到右的变形错误的是( ) 22yxxy,,,,,,,，ababA.B. ，，，，，， 33abba,,,,,，,,，mnmnC.D. ，，，，，， 2.下列各式从左至右的变形属于分解因式的是( ) 2A.B. mmmm,,,,,2332111,,，,aaa，，，，，，，，，，，， 222aaa,，,,，2312C. D. xxx，,,,111，，，，，， 3.下列多项式中能用完全平方公式分解的是() 22222?xx,，44631xx，，441xx,，;?;?;?;?xxyy，，4222 92016xxyy,， A.?? B.?? C.?? D.?? ,，ab4.观察下列各式?2a+b和a+b;?5和;?mab,3ab，，，，， 2222,,ab和;?和其中有公因式的是() xy,xy， A.?? B.?? C.?? D.?? 22nn，,115.若n为正整数，的值总可以被k整除，则k等于，， () A.11 B.22 C.11或22 D.11的倍数 6.下列因式分解错误的是() 2222xxx，，,，693A.B. xyxyxy,,，,，，，，，， 2222xyxy，,，C.D. xxyxxy，,，，，，， 3227.把代数式分解因式，结果正确的是() 363xxyxy,， 2232xxxyy,，A.xxyxy33，,B. ，，，，，， 22xxy3,3xxy,C.D. ，，，， 222516akabb，，8.是一个完全平方式，结果正确的是() ,40,20A.40 B.C.20 D. 2yyypyq,，,，，7129.已知，则p、q的值分别为() ，，，， A.3、4或4、3 B.-3、-4或-4、-3 C.3、-4或-4、3 D.-2、-6或-6、-2 2mnmnmnnmmnA,，,，,， 10.若 ,则A是() ，，，，，，，， 2222A. B. mmnn，，mmnn,， 2222C.mmnn,, D.mmnn，, 211. 若，则a=_______,b=____. xaxbxx，，,，,34，，，， 2xx,,21512.分解因式:=__________. 2532xx,,13. 分解因式:=________. 2214. 分解因式:=_________. 6525xxyy,, 4a,115. 分解因式:=______. 2216. 分解因式:=________. ,，,363xxyy 2323mnxymn,,17. 分解因式:=__________. ，， 2168,,，,xyxy18. 分解因式:=_________. ，，，， 219. 分解因式:=__________. axyyx,，,16，，，， 自由练习 将下列各式因式分解 3232525xx，(1) 2327y,32xxx，，，，，， 222421abab，，，，523yxxy,，,61232xx，， ，，，，，，，，，，，，，， 322222 84xyxy，,73103xxx,，，，，，，， 转载请注明出处范文大全网 » 因式分解单元设计评价方案的思范文三：初三数学因式分解
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