弘淼0728
范文一：文科高考数学各类题型
2．设集合（A ）
（C ）， （B ） （D ） ，则 （ ）
3 f (x ) 与g (x ) 是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ) , g (x ) 满足f ' (x ) =g ' (x ) , 则
f (x ) 与g (x ) 满足（ ）
A f (x ) =2g (x ) Bf (x ) -g (x ) 为常数函数
C f (x ) =g (x ) =0 D f (x ) +g (x ) 为常数函数
4. 函数y =x 3+x 的递增区间是（ ）
A (-∞, 1) B (-1, 1) C (-∞, +∞) D (1, +∞)
3、若函数f (x +1) 的定义域为[-2，3]，则函数f (2x -1) 的定义域是 ；函数
1f (+2) 的定义域为 。 x
2．函数y =sin x 1+tan x ?tan ?的最小正周期为 ( ) ?
?x ?2?
A π B 2π C π3π D 22
2、某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ）
A、 B、
C 、 D、
3、空间有10个点，其中5点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可以确定不同平面的个数是（ ）
A 、206 B、205 C、111 D、110
9. （2009全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱
= b ︱=
答案 C
4．方程| x |+| y |=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是 （ ）
A ．2 B ．1 C ．4 D ． 2
（ ） 5．过点P （2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是
A ．x +y -5=0或x -y +1=0 B ．x -y +1=0
C ．3x -2y =0或x +y -5=0
7．圆ρ ＝2cos θ关于直线θ=D ．x -y +1=0或3x -2y =0 π(ρ ∈R ) 对称的圆的直角坐标方程是______． 4
23．极坐标方程ρ ＝化为普通方程是( ) ． 1＋cos θ
A ．y 2＝4(x －1)
C ．y 2＝2(x －1) B ．y 2＝4(1－x ) D ．y 2＝2(1－x )
1．下列四个数中，哪一个是数列{n (n +1) }中的一项 （ A ）
（A ）380 （B ）39 （C ）35 （D ）23
2．在等差数列{a n }中，公差d =1，a 4+a 17=8，则a 2+a 4+a 6+ +a 20的值为（B ）
（A ）40 （B ）45 （C ）50 （D ）55
5、（2010年全国卷）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a, 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2
10、如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =1，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．
(I) 证明： PA ∥平面EDB ；
(II) 证明：PB ⊥平面EFD ； (III) 求三棱锥P -DEF 的体积．
范文二：高考文科数学导数题型
高考文科数学试题分类——导数
2A
C
4、 (2012? 安徽)设定义在(0, +∞ )上的函数 f (x ) =ax++b(a >0) (导数与斜率 )
(Ⅱ )若曲线 y=f(x )在点(1, f (1) )处的切线方程为
y=,求 a , b 的值.
答案:f (1) =,∴ a++b=① f' (x ) =a﹣ ,∴ f′ (1) =a﹣ =② :a=2, b=﹣ 1
5、设
2
1
)
(
ax
e
x
f
x
+
=,其中 a 为正实数 . (Ⅰ )当
3
4
=
a 时,求 ()
f x 的极值点; (单调性、极值和最值) (Ⅱ )若 ()
f x 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围 .
解:对 )
(x
f 求导得 .
)
1(
1
)
(
2
2
2
ax
ax
ax
e
x
f x
+
-
+
=
'所以 ,
2
3
1
=
x 是极小值点 ,
2
1
2
=
x 是极大值点 .
(II ) , 0
) 1
(
4
4
42≤
-
=
-
=
?a
a
a
a 由此并结合 0
>
a ,知 . 1
0≤
6、设函数 f (x ) =sin x-cosx +x +1, 0﹤ x ﹤ 2π, 求函数 f(x)的单调区间与极值 .
解:令 '()
f x =0,从而 sin(x+
4
π
)=-
2
2
,得 x=π,或 x=
3
2
π.
7、 (2013安徽,文 20) 设函数 f (x ) =ax -(1+a 2) x 2,其中 a >0,区间 I ={x |f (x ) >0}.
(1)求 I 的长度 (注:区间 (α, β) 的长度定义为 (β-α) ;
(2)给定常数 k ∈ (0,1),当 1-k ≤ a ≤1+k 时,求 I 长度的最小值.
1、
2、
3、
解:(1)区间长度为 21a a +.(2)设 d (a ) =21a a +,则 d ′(a ) =2
22
11a a -(+)
,令 d ′(a ) =0,得 a =1. 由于 0
d (a ) 单调递减.因此当 1-k ≤ a ≤1+k 时, d (a ) 的最小值必定在 a =1-k 或 a =1+k 处取得.
而 232232
11211<>
d k k k k d k k k k -(-)--+(-)==(+)-++(+),故 d (1-k )
k k --+.
9、设函数 23() 1(1) f x a x x x =++--,其中 0a > (分类讨论)
(1) 讨论 () f x 在其定义域上的单调性; (2) 当 [0,1]x ∈时,求 () f x 取得最大值和最小值时的 x 的值
.
10、函数 f(x )=ax 3
+3x 2
+3x (a≠ 0). (1)讨论函数 f(x ) 的单调性; (分类讨论)
(2)若函数 f(x ) 在区间(1, 2)是增函数,求 a 的取值范围 .
解:(1)△ =36(1-a ) . (i )若 a ≥ 1,则 () 0f x '≥,且 () 0f x '=当且仅当 a=1, x =-1,故此时 f (x )在 R
上是增函数 . (ii )由于 a ≠ 0,故当 a<1时, ()="" 0f="" x="" '="">
有两个根:1211, x x a a
--=
=, 若 00, x >0时 , () 0f x '>,所以当 a>0时, f (x )在 区间(1, 2)是增函数 . 若 a<0时, f="" (x="" )在区间(1,2)是增函数当且仅当="" (1)0f="" '≥且="" (2)0f="">
8、
得 504a -
≤<. 综上,="" a="" 的取值范围是="">
[,0) (0,) 4
-+∞. 11、已知函数
() x f x e ax =-(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 () y f x =在点 A 处的切线斜率
为 1-. (Ⅰ)求 a 的值及函数
() f x 的极值; (Ⅱ)证明:当 0x >时, 2x x e
(Ⅲ)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 0x ,使得当 0(, ) x x ∈+∞时,恒有 x
x ce < (1)由="" ()="" x="" f="" x="" e="" ax="-,得" '="" ()="" x="" f="" x="" e="" a="-." 又="" '="" (0)11f="" a="-=-,得" 2a="." 所以="" ()="" 2x="" f="" x="" e="" x="-," '="" ()="" 2x="" f="" x="" e="-." 令="" '="" ()="" 0f="" x=",得" ln="" 2x="">
当 ln 2x <时, '="" ()="" 0f="" x=""><, ()="" f="" x="" 单调递减;当="" ln="" 2x="">时, ' () 0f x >, () f x 单调递增 .
所以当 ln 2x =时, () f x 有极小值,且极小值为 ln2(ln2) 2ln 22ln 4f e =-=-, () f x 无极大值 . (2) 令 2() x g x e x =-, 则 ' () 2x
g x e
x =-. 由 (1) 得, ' () () (ln2) 2ln 40g x f x f =≥=->, 即 ' () 0g x >.
所以 () g x 在 R 上单调递增,又 (0)10g =>,所以当 0x >时, () (0)0g x g >>,即 2x
x e <>
(3)对任意给定的正数 c ,取 01x c =
,由(2)知,当 0x >时, 2x
x e <. 所以当="" 0x="" x="">时, 21x e x x c
>>, 即 x
x ce <. 因此,对任意给定的正数="" c="" ,总存在="" 0x="" ,当="" 0(,="" )="" x="" x="" ∈+∞时,恒有="">
x ce <>
12、已知函数 ()3232f x x x ax =-++,曲线 () y f x =在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标 为 -2. (1)求 a ; (2)证明:当 1k <时,曲线 ()="" y="" f="" x="与直线" 2y="" kx="-只有一个交点。" (1)="" (x)="3-6x+a,(0)=a" a="1.(2)" ()3232f="" x="" x="" x="" x="">
范文三：上海历年文科高考数学重点题型
一、填空题
1．在平面直角坐标系中，从六个点：A (0, 0) 、B (2, 0) 、C (1, 1) 、D (0, 2) 、E (2, 2) 、 F (3, 3) 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是2．方程x 2+
2x -1=0
34
(结果用分数表示).
1x
的解可视为函数y =x +
2
的图像与函数y =的图像交点的横坐
标. 若方程x 4+ax -4=0的各个实根x 1, x 2, , x k (k ≤4) 所对应的点
1, 2, , k
(
x i ,
4x i
) （
i
=
）均在直线y =x 的同侧，则实数
a
的取值范围是
(-∞, -6) (6, +∞)
的解可视为函数y =x +
2
解：方程x 2+
2x -1=0
的图像与函数y =
4x
1x
的图像交点的横
4x
?x =2，
3
坐标，由此可知：方程x 4+ax -4=0可变为：x +a =，先算：方程x =
33
则x +a =2+a <2?a><-6或x +a="(-2)" +a="">-2?a >6
33
（文）11．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为
（0，1）、（4，2）、（2，6）.
如果P (x , y ) 是△ABC 围成的区
域（含边界）上的点，那么当w =xy 取到最大值时，点
P
的坐标是解：作图：由图可知点落在BC 边时，有BC:y=-2x+10， 则w =x ?(-2x +10) =-2x +10x =-2(x -
52
?5
?
, 5?时，w ?2?
2
52
) +
2
252
当x =时，即点P 坐标为
4 5 x x 3
值最大。
3. 若行列式
7 8 9
中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是__________________.
11. 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
5
11．【答案】7 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】因为只有2名女生，所以选出3
人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生
C 5
33
时有：
C 5
3
，概率为:：
C 7
=
27
2
，所以，均不少于1名的概率为：1－7
=
57。
12. 已知F 1、F
2
?P F 1F 2
p 为椭圆C 上的一点，
的面积为9，则b =
12．【答案】3
?|PF 1|+|PF 2|=2a ?
?|PF 1|?|PF 2|=18?222|PF 1|+|PF 2|=4c ?【解析】依题意，有，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有
b ＝3。
{a }13. 已知函数f (x ) =sin x +tan x
。项数为27的等差数列n f (a 1) +f (a 2) +... +f (a 27) =0f (a k ) =0.
差d ≠0, 若，则当k= 时， 。
13．【答案】14
【解析】
函数
f (x ) =sin x +tan x
在
显然又为奇函数，函数图象
关于原点对称，因为
所以
f (a k ) =0
f (a ) +1
a 1+a 27=a 2+a 26=???=2a 14f (2a 7) =
f (2a +)
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
f (1a ) =4
，所以当k =14时，
f (2a =) ???=6
.
14. 某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。
14．【答案】（3，3）
【解析】设发行站的位置为
(x , y )
，零售点到发行站的距离为
y -6+-
A （2
A 附近，代入附近的点的坐标进
行比较可知，在（3,3）处z 取得最小值。
?1 2 3 ??? n ?
234???1
345???2
???????????????
n -2n -1n ???n -3
n -1n 1???n -2
??1
?2?
?????n -1??中，
99
n
12. 在n 行m 列矩阵
a (i , j =1, 2???n , ) a +a 22+a 33+???+a
记位于第i 行第j 列的数为ij 。当n =9时，11
=
。 解析：
a 11+a 22+a 33+???+a 99=
1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
e 1=(2,1)
13. 在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，
它的一个焦点坐标为0) ，
e 2=(2,-1)
、
分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线Γ上的点P ，若
O P a =e b e 1+2
（a 、
b ∈R ），则a 、b 满足的一个等式是 4ab =1 。
e 1=(2,1)
解析：因为又c =
、
e 2=(2,-1)
y =±
12
x
是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，
5, ∴a =2, b =1
O P =ae 1+be 2
x
2
双曲线方程为4
∴
(2a +2b )
4
2
-y
2
=1
，
2
=(2a +2b , a -b ) ，
-(a -b ) =1
，化简得4ab =1
l 1:x +y -1=0
14. 将直线、
l 2:nx +y -n =0
1
、
l 3:x +ny -n =0
*
（n ∈N ，n ≥2）围成
的三角形面积记为
(n
,
S n
，则n →∞
lim S n =
2
。
)
n +1n +1解析：B 所以BO ⊥AC ，
n
1
S n
=2
?2?(
n n +1
2-
22
) =
n -12(n +1)
所以n →∞
lim S n =
12
二. 选择题（本大题满分16分）
12. 组合数C n r (n >r ≥1, n 、r ∈Z ) 恒等于 [答] ( D ) (A)
r +1n +1
C n -1.
r -1
-1
nrC (B) (n +1)(r +1) C n r -1. (C)
r -1
n -1
. (D)
n r
C n -1
r -1
.
14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a -
32
的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a
的值是 [答] ( B ) (A) 1. (B) 2. (C)
12
. (D)
54
.
15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点
C
、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该
圆的四等分点. 若点P (x , y ) 、点P '(x ', y ')满足x ≤x '且y ≥y '， 则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优 于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( D )
(A) AB . (B) . (C) CD . (D) DA .
18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”. 根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 [答]（ ）
（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4 . （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .
（C ）丙地：中位数为2，众数为3 . （D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3 . 18、【答案】D
【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D. 17. 若
x 0
x
是方程式 lg x +x =2的解，则0属于区间 [答]（ ）
BC
（A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）
构造函数
771
f (x ) =lg x +x -2, 由f (1. 75) =f () =lg -<>
444
解析：
x
f (2) =lg 2>0知0属于区间（1.75，2）
18. 若△A B C 的三个内角满足sin A :sin B :sin C =5:11:13，则△A B C
（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.
（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin A :sin B :sin C =5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13
5+11
2
2
cos c =
-13
2
由余弦定理得
2?5?11
<>
，所以角C 为钝角
三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2 小题满分5分，第3小题满分8分．
设P (a , b ) (b ≠0) 是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点(1, b ) 的直线. 记Q 是直线l
与抛物线
x
2
=2py (p ≠0)
的异于原点的交点. . 求点Q 的坐标；
x
2
2
（1）已知a =1,
b =2, p =2
（2）已知点P (a , b ) (ab ≠0) 在椭圆4线
4x
2
+y =1p =
12ab
上，
. 求证：点Q 落在双曲
-4y
2
=1
上；
p =
12ab
（3）已知动点P (a , b ) 满足ab ≠0，. 若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的
抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由
[解]（1）当a =1,
b =2,
p =2
时，
?x 2=4y , ?
y =2x ,
解方程组?
?x =8, ?
y =16,
得 ?
即点Q 的坐标为(8, 16).
1?2
?x =y , ?ab ??y =bx ,
1?
x =, ?
a ?
b ?y =,
a 得 ?
[证明]（2）由方程组
?1b ?
, ?
Q a a ? 即点的坐标为?
.
a
2
P
是椭圆上的点，即
2
4
+b
2
=1
，
2
?1?4 ?
a ??∴
?b ?
-4 ?
?a ?
2
=
4a
2
(1-b )=1
.
2
因此点
Q
落在双曲线
4x
2
-4y =1
上.
2
（3）设Q 所在抛物线的方程为 y =2q (x -c ) ，q ≠0.
?1b ?
, ?
Q ?a a ?
将
b
22
代入方程，得
a
?1?=2q -c ?
?a ?
，即
b
2
=2qa -2qca
2
.
当
qc =0
时，
b
2
=2qa
，此时点P 的轨迹落在抛物线上；
2
1??1
a -?qc =
2c ??2当时，
+b
2
=
14c
2
2
，此时点P 的轨迹落在圆上；
当qc >0且
qc ≠
12
1??
a -?
2c ??
1
+
b
2
q 2c
=1
时，
2
4c
2
，此时点P 的轨迹落在椭圆上；
1??
a -?
2c ??
1
-
b
2
当
qc <>
时，
4c
2
q ?? -?
2c ??
=1
，此时点P 的轨迹落在双曲线上.
C :
x
2
（文） 已知双曲线
2
-y
2
=1
.
（1）求双曲线C 的渐近线方程；
（2）已知点M 的坐标为(0, 1) . 设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点. 记λ=MP ?MQ . 求λ的取值范围；
(2, -1) 、(0, 1)
（3）已知点D 、E 、M 的坐标分别为(-2, -1) 、，P 为双曲线C 上在第一
象限内的点. 记l 为经过原点与点P 的直线，s 为△DEM 截直线l 所得线段的长. 试将s 表
示为直线l 的斜率k 的函数.
22
22
y -x =0, y +x =0
[解]（1）所求渐近线方程为.
（2）设P 的坐标为(x 0, y 0)，则Q 的坐标为(-x 0, -y 0). λ=MP ?MQ =(x 0, y 0-1)?(-x 0, -y 0-1)
=-
32x 0+2
2
=-
x 0≥
2
2x 0
-
2y 0
+1
.
,
∴ λ的取值范围是(-∞, -1]. （3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，
?2k ∈ 0,
2?l 则直线的斜率
?
???
.
21-k
2
1??
k ∈ 0, ?
2??由计算可得，当
?12
k ∈ ,
22?当∴
s
s (k ) =+k
2
时，
2k +1k +k
2
；
?
???
s (k ) =1+k
2
时，.
表示为直线l 的斜率k 的函数是
0
1222, .
2?2
1+k , ??1-k 2
s (k ) =?
2k +12?1+k ,
2??k +k
21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第 2小题满分7分，第3小题满分8分．
?a n +c , ?=?a n
, ??d
a n <3, a="" n="">
a n +1
已知以
a 1
为首项的数列{a n }满足：
d =3
（1）当a 1=1，c =1,
时，求数列{a n }的通项公式；
（2）当0
0
1m
d =3
时，试用a 1表示数列{a n }前100项的和S 100；
c =
1m
a 2-
1m
（3）当
1m
（m 是正整数），
1
1m
，正整数d ≥3m 时，求证：数列
,
a 3m +2-
，
a 6m +2-
m
，
a 9m +2-
成等比数列当且仅当d =3m .
n =3k -2, n =3k -1, n =3k ,
a n
（1）21. [解]（1）由题意得 （2）当0
?1, ?=?2, ?3, ?
(k ∈Z )
+
.
a 2=a 1+1
，
a 3=a 1+2
，
+2
a 4=a 1+3
，
a 5=
a 13
+1
，
a 6=
a 13
+2
，
a 7=
a 13
+3
，…，
a 3k -1=
a 13
k -1
+1
，
a 3k =
a 13
k -1
，
a 3k +1=
a 13
k -1
+3
，…
∴
S 100=a 1+
=a 1+
(a 2+a 3+a 4)++6)+
(a 5+a 6+a 7)+ +(a 98
+a 99+a 100
)
(3a 1(a 1
?a 1??a 1?
+6)+ +6?+ + +6?
31
?3??3?
11??
=a 1+a 1 3+1++ +?+6?3331
33??
1?1?
11-31?a 1+1982?3?
=
.
（3）当d =3m 时，
a 2=a 1+
1m 1m
；
a 13m
1m
a 3m =a 1+
3m -1m
=a 1-+3<>
∴
，
a 19m
a 3m +2=
+
；
a 6m =
a 13m
a 19m
-
1m
+3<>
a 13m
+3=a 6m +1
∴
，
a 6m +2=
2
+
1m
；
+1m
a 9m =
2
-
1m
+3<>
a 19m
2
+3=a 9m +1
∴
，
=
a 19m
a 9m +2=
a 127m
3
.
a 1
∴
a 2-
1m
=a 1
，
a 3m +2-
1m
=
a 13m
，
a 6m +2-
1m
2
，
a 9m +2-
1m
=
27m
3
.
综上所述，当d =3m 时，数列
13m
a 2-
1m
，
a 3m +2-
1m
，
a 6m +2-
1m
，
a 9m +2-
1m
是公比为
的等比数列.
a 3m +2=
a 1+3d
1??
∈ 0, ?
m ??
当d ≥3m +1时，
，
+3
a 1+3
a 6m +2=
a 1+3d
1??
+3∈ 3, 3+?
m ??
a 6m +3=
d d
，
1??
∈ 0, ?
m ??
，
a 1+3
a 9m +2=
d d
+3
+
3m -1m
1m 1m
1??
∈ 3-, 3?
m ??
.
1m
由于
a 3m +2-
<>
，
a 6m +2-
1m
>0
，
a 9m +2-
>0
，
1m
故数列
a 2-
，
a 3m +2-
1m
，
a 6m +2-
1m
，
a 9m +2-
不是等比数列.
1m
所以，数列
a 2-
1m
，
a 3m +2-
1m
，
a 6m +2-
1m
，
a 9m +2-
成等比数列当且仅当d =3m .
（文）已知数列{a n }：a 1=1，a 2=2，a 3=r ，a n +3=a n +2（n 是正整数），与数列
{b n }：b 1
=1
，b 2=0，b 3=-1，b 4=0，b n +4=b n （n 是正整数）. 记
.
T n =b 1a 1+b 2a 2+b 3a 3+ +b n a n
（1）若a 1+a 2+a 3+ +a 12=64，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，T 12n =-4n ； （3）已知r
r
>0
T 12m +12
，且存在正整数m ，使得在T 12m +1, T 12m +2, ，中有4项为100. 求
的值，并指出哪4项为100.
[解]（1） a 1+a 2+a 3+ +a 12
=1+2+r +3+4+(r +2) +5+6+(r +4) +7+8+(r +6)
=
48+4r
. ，∴r =4.
48+4r =64
+
[证明]（2）用数学归纳法证明：当n ∈Z 时，T 12n =-4n .
① 当n
=1时，T 12=a 1-a 3+a 5-a 7+a 9-a 11=-4=k
，等式成立.
② 假设n
时等式成立，即T 12k =-4k ，
时，
那么当n
=k +1
T 12(k +1) =T +a 12k +1-a 12k +3+a 12k +5-a 12k +7+a 12k +9-a 12k +11
12k
=-4k +(8k +1) -(8k +r ) +(8k +4) -(8k +5) +(8k +r +4) -(8k +8) =
-4k -4=-4(k +1)
，等式也成立.
+
根据①和②可以断定：当n ∈Z 时，T 12n =-4n .
[解]（3）T 12m =-4m (m
≥1).
=4m +1； =-4m +1-r
当n =12m +1, 12m +2时，T n 当n =12m +3, 12m +4时，T n 当n =12m +5, 12m +6时，T n
；
=4m +5-r
；
当n =12m +7, 12m +8时，T n =-4m -r ； 当n =12m +9, 12m +10时，T n =4m +4；
当n =12m +11, 12m +12时，T n =-4m -4. 4m
+1是奇数，-4m +1-r
，-
4m -r
，-
4m -4
均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100. ∴ 4m
+5-r =4m +4=100
，解得m
=24
，r =1，
此时T 293, T 294, T 297, T 298为100.
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为
设过点A
l 的方向向量
v
e =(1,k )
。
（1） 求双曲线C 的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2） 若过原点的直线a //l ，且a 与l
K 的值；
C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l
2
2
（3）
22．【解】（1）设双曲线C 的方程为x -2y =λ(λ>0)
∴λ+
λ
2
=3
x
2
，解额λ=2双曲线C 的方程为2
-y =1
2
（2
）直线l :kx -y +=0，直线a :kx -y =0
=
2
k =±
，解得
（3）【证法一】设过原点且平行于l 的直线b :kx -y =0
d =
则直线l 与b
的距离
k >
2时，d >
当
又双曲线C 的渐近线为x
=0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴ 双曲线C 的右支在直线b 的右下方， ∴ 双曲线C 右支上的任意点到直线l 。
故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 【证法二】假设双曲线C 右支上存在点
?=22
x 0-2y 0=2?则
Q (x 0, y 0)
到直线l ，
(1)(2)
由（1）得
y 0=kx 0+±
设t =±
k >
当
2时，t =+
>0；
t =+=2
2
>0
2
将
y 0=kx 0+t
2
2
代入（2）得
(1-2k ) x 0-4ktx 0-2(t +1) =0
2
k >t >0
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
<0, -4kt=""><0, -2(t="" +1)=""><>
2
∴1-2k
∴ 方程(*) 不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 已知
{a n }
是公差为d 的等差数列，
{b n }
是公比为q 的等比数列
（1）若 （2）若
a n =3n +1
n
*
a +a m +1=a k
，是否存在m , n ∈N ，有m ？请说明理由；
b n =aq
（a 、q 为常数，且aq ≠0）对任意m 存在k ，有
b m ?b m +1=b k
，试求a 、q 满足
的充要条件； （3）若
a n =2n +1, b n =3
n
试确定所有的p, 使数列
{b n }
中存在某个连续p 项的和式数列中
{a n }
的一项，请证明. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
a m +a m +1=a k ,
4
23．【解】（1）由
得6m +6+3k +1，
k -2m =
整理后，可得
,
3
m 、k ∈N ，∴k -2m 为整数
∴不存在n 、k ∈N ，使等式成立。
*
b ?b =b k , ∴a ?q =aq
（2）当m =1时，则12
23k
∴a =q
k -3
,
即a =q ，其中c 是大于等于-2的整数
c
c
反之当显然
a =q
b =q
时，其中c 是大于等于-2的整数，则n
m +c
n +c
，
b m ?b m +1=q
?q
m +1+c
=q
2m +1+2c
=b k
，其中k =2m +1+c
∴a 、q 满足的充要条件是a =q ，其中c 是大于等于-2的整数
c
（3）设
b m +1+b m +2+ +b m +p =a k
当p 为偶数时，(*) 式左边为偶数，右边为奇数，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当p 为偶数时，(*) 式不成立。
3
m +1
(1-3)
p
由
(*)
式得
1-3
=2k +1
，整理得
3
m +1
(3-1) =4k +2
p
当p =1时，符合题意。 当p ≥3，p 为奇数时，
3-1=(1+2) -1
1
1
2
p
p
2
p
p
=C p +C p ?2+C p ?2+ +C p ?2-1=C p ?2+C p ?2+ +C p ?2=2(C p +C p ?2+ +C p ?2
1
2
p
1
1
2
2
p
p
p -1
)
222p p -2
=2?2(C p +C p ?2+ +C p ?2)+p ???
∴ 由3
m +1
(3-1) =4k +2
p
，得
3
m +1
222p p -2
?2(C p +C p ?2+ +C p ?2=2k +1)+p ???
∴当p 为奇数时，此时，一定有m 和k 使上式一定成立。
∴当p 为奇数时，命题都成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
19. （本题满分12分）
0
π
2，化简：
已知
π??2x ?lg co s x ?tan x +1-2sin +lg s x -? 2?4????
??-lg (1+sin 2x )??
2
解析：原式=lg(sinx +cos x ) +lg(cosx +sin x ) -lg(sinx +cos x ) =0．
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
若实数x 、y 、m 满足
x -m
，则称x 比y 接近m .
2
（1）若x -1比3接近0，求x 的取值范围；
2233
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a b +a b 比a +
b 接近2a ；
D {x x ≠k π, k ∈Z , x ∈R }
（3）已知函数f (x ) 的定义域. 任取x ∈D ，f (x ) 等于1+sin x
和1-sin x 中接近0的那个值. 写出函数f (x ) 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. 解析：(1) x ∈(-2,2) ；
(2) 对任意两个不相等的正数a 、b
，有a 因为
|a b +ab -22
2
2
b +ab >
22
a
2
3
+b >23
-|a +b -233
=-(a +b )(a -b ) <>
，
所以|a
2
b +ab -22
<|a +b="">
，即a b +ab 比a +b 接近22233
；
(3)
?1+sin x ,
f (x ) =?
?1-sin x ,
x ∈(2k π-π, 2k π) x ∈(2k π, 2k π+π)
=1-|sin x |,x ≠k π
, k ∈Z ，
π2
f (x ) 是偶函数，f (x ) 是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x ) 的最小值为0，
函数f (x ) 在区间单调递增，在区间单调递减，k ∈Z ．
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
x
22
[k π-
π2
, k π) (k π, k π+]
已知椭圆Γ的方程为a 点.
+
y b
22
=1(a >b >0)
，A (0,b ) 、B (0,-b ) 和Q (a , 0) 为Γ的三个顶
1 A M =(A Q +A B )
2（1）若点M 满足，求点M 的坐标；
（2）设直线
k 1?k 2=-
b a
22
l 1:y =k 1x +p
l :y =k 2x
交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线2于点E . 若
，证明：E 为C D 的中点；
（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过P Q 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点
P 1
、
P 2
满足
P P 1+P P 2=P Q P P 1+P P 2=P Q
P 1
P 2
？令a =10，b =5，点P 的坐标
，求点
P 1
是（-8，-1），若椭圆Γ上的点
M (
a 2, -b 2)
、满足
P P 1+P P 2=P Q
、
P 2
的坐标.
解析：(1) ；
?y =k 1x +p ?2
2
?x y
22222222?2+2=1
b (2) 由方程组?a ，消y 得方程(a k 1+b ) x +2a k 1px +a (p -b ) =0
，
因为直线
l 1:y =k 1x +p
2
2
2
交椭圆Γ于C 、D 两点，
2
所以?>0，即
a k 1+b -p >0
，
设C (x 1, y 1) 、D (x 2, y 2) ，CD 中点坐标为(x 0, y 0) ，
?x 1+x 2a k p =-2212
?x 0=
2a k 1+b ?
?2
b p ?
y =k 1x 0+p =22
2?0
a k 1+b ?则
?y =k 1x +p
?
y =k 2x
由方程组?
2
，
，消y 得方程(k 2-k 1) x =p ，
2
?a k p p
=-2212=x 0
?x =
k 2-k 1a k 1+b ??22
b p b ?
y =k 2x =22=y 0k 2=-2
2?a k +b a k 1
1
又因为，所以?
，
故E 为CD 的中点；
(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由
P P 1+P P 2=P Q
k 1=-
b
22
知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率
12
a k 2
，从而得直线l 的方程．
F (1,-
12
)
，直线OF 的斜率
k 2=-
，直线l 的斜率
k 1=-
b
2
2
a k 2
=
12
，
1?y =x -1??2?22
?x +y =1?
解方程组?10025
，消y ：x -2x -48=0，解得P 1(-6, -4) 、P 2(8,3)．
2
范文四：高考数学导数题型归纳(文科)
文科导数题型
1. 基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 0) ('
=x f 得到两个根;
第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题
2. 不等式恒成立常见处理方法有三种:
第一种:分离变量求最值 -----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)="" -----(已知谁的范围就把谁作为主元)="">
例 1:设函数 () y f x =在区间 D 上的导数为 () f x ', () f x '在区间 D 上的导数为 () g x , 若在区间 D 上,
() 0g x <恒成立,则称函数 ()="" y="" f="" x="在区间" d="" 上为“凸函数”="" ,已知实数="" m="" 是常数,="">
3
2
3() 12
6
2
x
m x x f x =-
-
(1)若 () y f x =在区间 []0, 3上为“凸函数” ,求 m 的取值范围;
(2)若对满足 2m ≤的任何一个实数 m ,函数 () f x 在区间 (), a b 上都为“凸函数” ,求 b a -的最大值 .
解 :由函数 4
3
2
3() 12
6
2
x
m x x f x =
-
-
得 3
2
() 33
2
x
m x f x x '=
-
- 2
() 3g x x m x ∴=--
(1) () y f x = 在区间 []0, 3上为“凸函数” , 则 2
() 30g x x m x ∴=--< 在区间="" [0,3]上恒成立="" 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于="" m="" ax="" ()="" 0g="" x="">
(0) 030
2(3)09330
g m g m <>??
<>
() 330g x x m x ∴=--=-<恒成立 ,="" 当="" 03x=""><≤时 ,="">
() 30g x x m x =--<>
等价于 2
33x m x x
x
->=-
的最大值(03x <>
而 3() h x x x
=-
(03x <≤)是增函数,则 m="" ax="" ()="" (3)2h="" x="" h="=" 2m="" ∴="">
(2)∵当 2m ≤时 () f x 在区间 (), a b 上都为“凸函数”
则等价于当 2m ≤时 2
() 30g x x m x =--<>
变更主元法:
再等价于 2
() 30F m m x x =-+>在 2m ≤恒成立(视为关于 m 的一次函数最值问题)
2
2
(2) 023011(2) 0230F x x x F x x ?->--+>??
???--+>??? 2b a ∴-=
例 2:设函数 ) , 10(323
1) (2
2
3
R b a b x a ax
x x f ∈<>
=
(Ⅰ)求函数 f (x )的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的 ],2, 1[++∈a a x 不等式 () f x a '≤恒成立,求 a 的取值范围 . (二次函数区间最值的例子)
解:(Ⅰ) ()()22
() 433f x x ax a x a x a '=-+-=---
01a
令 , 0) (>
'x f 得 ) (x f 的单调递增区间为 (, 3) a a
令 , 0) (<'x f 得 ) (x f 的单调递减区间为 (, ) (3, ) a a -∞+∞和
∴当 x=a时, )
(x f 极小值
=; 4
33
b a
+-
当 3x a =时, ) (x f 极大值
b =
(Ⅱ)由 |) (x f '|≤ a ,得:对任意的 ],2, 1[++∈a a x 22
43a x ax a a -≤-+≤恒成立①
则等价于 () g x 这个二次函数 m ax m in () () g x a g x a ≤??≥-? 22
() 43g x x ax a =-+的对称轴 2x a =
01, a < 12a="" a="" a="" a="" +="">+=(放缩法)
即定义域在对称轴的右边, () g x 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问 题。
2
2
() 43[1, 2]g x x ax a a a =-+++在 上是增函数 .
x a =
]1,
2a a ++
∴
m ax m in () (2) 21. () (1) 44.
g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+
于是,对任意 ]2, 1[++∈a a x ,不等式①恒成立, ?(2) 44, 41. (1) 215
g a a a a g a a a
+=-+≤?≤≤?
+=-+≥-?解 得
又 , 10
4<>
第三种:构造函数求最值
题型特征:) () (x g x f >恒成立 0) () () (>-=?x g x f x h 恒成立;从而转化为第一、二种题型 例 3:已知函数 32() f x x a x =+图象上一点 (1,) P b 处的切线斜率为 3-,
3
2
6() (1) 3
(0) 2
t g x x x t x t -=+
-++>
(Ⅰ)求 , a b 的值; (Ⅱ)当 [1, 4]x ∈-时,求 () f x 的值域;
(Ⅲ)当 [1,4]x ∈时,不等式 () () f x g x ≤恒成立,求实数 t 的取值范围。
解:(Ⅰ) /
2
() 32f x x ax =+∴ /
(1)31f b a
?=-?=+?, 解得 3
2a b =-??=-?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, () f x 在 [1, 0]-上单调递增,在 [0,2]上单调递减,在 [2,4]上单调递减 又 (1) 4, (0)0, (2)4, (4)16f f f f -=-==-= ∴ () f x 的值域是 [4,16]- (Ⅲ)令 2
() () () (1) 3
[1,4]2
t h x f x g x x t x x =-=-
++-∈
思路 1:要使 () () f x g x ≤恒成立,只需 () 0h x ≤,即 2
(2) 26t x x x -≥-分离变量 思路 2:二次函数区间最值
3. 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法 1:转化为 0) (0) ('
'
≤≥x f x f 或 在给定区间上恒成立, 回归基础题型
解法 2:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间 的子集;
做题时一定要看清楚“在 (, ) m n 上是减函数”与“函数的单调减区间是 (, ) a b ” ,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集
例 4:已知 R a ∈,函数 x a x
a x x f ) 14(2
112
1) (2
3
++++
=
.
(Ⅰ)如果函数 ) () (x f x g '=是偶函数,求 ) (x f 的极大值和极小值;
(Ⅱ)如果函数 ) (x f 是 ) , (∞+-∞上的单调函数,求 a 的取值范围.
解:) 14() 1(41) (2
++++=
'a x a x
x f .
(Ⅰ)∵ () f x '是偶函数,∴ 1-=a . 此时 x x x f 312
1) (3
-=
, 34
1) (2
-=
'x
x f ,
令 0) (='x f ,解得:32±=x . 列表如下:
可知:() f x 的极大值为 34) 32(=-f , () f x 的极小值为 34) 32(-=f . (Ⅱ)∵函数 ) (x f 是 ) , (∞+-∞上的单调函数,
∴ 2
1() (1) (41) 04
f x x a x a '=
++++≥,在给定区间 R 上恒成立判别式法
则 2
2
1(1) 4(41) 204
a a a a ?=+-?
?+=-≤, 解得:02a ≤≤.
综上, a 的取值范围是 }20{≤≤a a . 例 5:已知函数 3
2
11() (2) (1) (0). 32
f x x a x a x a =
+
-+-≥
(I )求 () f x 的单调区间;
(II )若 () f x 在 [0, 1]上单调递增,求 a 的取值范围。子集思想
解:(
I ) 2
() (2) 1(1)(1). f x x a x a x x a '=+-+-=++-
2
0, () (1) 0, a f x x '==+≥当 时 恒 成 立
当且仅当 1x =-时取“ =”号, () (, ) f x -∞+∞在 单调递增。
12120, () 0, 1, 1, , a f x x x a x x '>==-=-<当 时="" 由="" 得="">
单调增区间:(, 1), (1, ) a -∞--+∞,单调减区间:(1, 1) a --
(II )当 () [0,1], f x 在 上 单 调 递 增 则 []0,1是上述增区间的子集:
0a =时, () (, ) f x -∞+∞在 单调递增 符合题意
[]()0,11, a ?-+∞, 10a ∴-≤ 1a
∴≤
综上, a 的取值范围是 [0, 1]。 4. 根的个数问题
题 1函数 () f x 与 () g x (或与 x 轴)的交点 ----即方程根的个数问题
解题步骤
第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减 再增”还是“先减后增再减” ;
第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ;主要看极大值和极小值与 0的关系; 第三步:解不等式(组)即可; 例 6:已知函数 2
3
2
) 1(31) (x k x
x f +-
=
, kx x g -=
3
1) (,且 ) (x f 在区间 ) , 2(+∞上为增函数.
(1) 求实数 k 的取值范围;
(2) 若函数 ) (x f 与 ) (x g 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. 根的个数知道,部分根可求或已知。
解:(1)由题意 x k x x f ) 1() (2
+-=' ∵ ) (x f 在区间 ) , 2(+∞上为增函数,
∴ 0) 1() (2
>+-='x k x x f 在区间 ) , 2(+∞上恒成立(分离变量法)
即 x k <+1恒成立,又 2="">x ,∴ 21≤+k ,故 1≤k ∴ k 的取值范围为 1≤k (2)设 3
12
) 1(3
) () () (2
3
-
++-
=
-=kx x
k x
x g x f x h ,
) 1)(() 1() (2
--=++-='x k x k x k x
x h
令 0) (='x h 得 k x =或 1=x 由(1)知 1≤k ,
①当 1=k 时, 0) 1() (2
≥-='x x h , ) (x h 在 R 上递增,显然不合题意?
②当 1
由于
02
1<-k ,欲使="" )="" (x="" f="" 与="" )="" (x="" g="" 的图象有三个不同的交点,即方程="" 0)="" (="x" h="">
03
12
6
2
3
>-
+
-
k
k
,即 0) 22)(1(2
<---k>
k ∴ ???>--<>
2k k k ,解得 31-
<>
综上,所求 k 的取值范围为 31-<>
例 7:已知函数 3
2
1() 22
f x a x x x c =+
-+
(1)若 1x =-是 () f x 的极值点且 () f x 的图像过原点,求 () f x 的极值; (2)若 2
1() 2
g x b x x d =
-+,在(1)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 () g x 的图像与函数 () f x 的
图像恒有含 1x =-的三个不同交点?若存在,求出实数 b 的取值范围;否则说明理由。 解:(1)∵ () f x 的图像过原点,
则 (0)00f c =?= 2
() 32f x a x x '=+-,
又∵ 1x =-是 () f x 的极值点,则 (1) 31201f a a '-=--=?=-
2
() 32(32)(1) 0f x x x x x '∴=+-=-+=
3() (1) 2
f x f =-=
极 大 值 222() () 3
7
f x f ==-
极 小 值
(2)设函数 () g x 的图像与函数 () f x 的图像恒存在含 1x =-的三个不同交点, 等价于 () () f x g x =有含 1x =-的三个根,即:1(1) (1) (1) 2
f g d b -=-?=-
-
3
2
2
1112(1) 2
2
2
x x x b x x b ∴+
-=--
-整理得:
即:3
2
11(1) (1) 02
2
x b x x b ---+-=恒有含 1x =-的三个不等实根
(计算难点来了:) 3
2
11() (1) (1) 02
2
h x x b x x b =-
--+
-=有含 1x =-的根,
则 () h x 必可分解为 (1)() 0x +=二 次 式 ,故用添项配凑法因式分解,
3
x 2
2
x x +-2
11(1) (1) 02
2
b x x b -
--+
-=
2
2
11(1) (1) (1) 022x x b x x b ??+-
++--=????
2
2
1
(1) (1) 2(1) 02x x b x x b ??+-
++--=?
? 十字相乘法分解:[]()2
1(1) (1) (1) 102
x x b x b x +-
+--+=
211(1) (1) (1) 022x x b x b ??
+-++-=????
3
2
11(1) (1) 02
2
x b x x b ∴-
--+-=恒有含 1x =-的三个不等实根
?2
11(1) (1) 02
2
x b x b -++
-=有两个不等于 -1的不等实根。
2
211(1) 4(1) 042
11(1) (1) (1) 022
b b b b ??=+-?->????
?-+++-≠??(, 1) (1, 3) (3,) b ?∈-∞-?-?+∞ 题 2:切线的条数问题 ----以切点 0x 为未知数的方程的根的个数
例 8:已知函数 3
2
() f x ax bx cx =++在点 0x 处取得极小值-4,使其导数 '() 0f x >的 x 的取值范围为
(1,3) ,求:(1) () f x 的解析式; (2)若过点 (1, ) P m -可作曲线 () y f x =的三条切线,求实数 m 的取值范
围.
(1)由题意得:2
'() 323(1)(3), (0) f x ax bx c a x x a =++=--< ∴在="" (,1)="" -∞上="" '()="" 0f="" x=""><;在 (1,3)="" 上="" '()="" 0f="" x="">;在 (3,) +∞上 '() 0f x < 因此="" ()="" f="" x="" 在="" 01x="处取得极小值">
∴ 4a b c ++=-①, '(1)320f a b c =++=②, '(3)2760f a b c =++=③
由①②③联立得:1
69a b c =-??=??=-?
,∴ 32
() 69f x x x x =-+-
(2)设切点 Q (, ()) t f t , ,
() ()() y f t f t x t -=-
2
3
2
(3129)() (69) y t t x t t t t =-+--+-+-2
2
2
(3129) (3129) (69) t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 2
2
(3129) (26) t t x t t t =-+-+- 过点 (1, ) m - 2
3
2
(3129)(1) 26m t t t t =-+--+- 3
2
() 221290g t t t t m =--+-=
令 22
'() 66126(2) 0g t t t t t =--=--=, 求得:1, 2t t =-=,方程 () 0g t =有三个根。
需:(1) 0(2) 0g g ->?????--+-<>
16
11m m -?
故:1116m -<;因此所求实数 m="" 的范围为:(11,16)="">
题 3:已知 () f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数 =0的根的个数 解法:根分布或判别式法 例 9:已知函数 3
2
11() (3) (6) , 32
f x x m x m x x R =
-
+++∈(m 为常数)
(1)当 4m =时,求函数 () f x 的单调区间;
(2)若函数 () y f x =在区间 (1,) +∞上有两个极值点,求实数 m 的取值范围。 解:函数的定义域为 R (Ⅰ)当 4m =时, 3
2
17() 103
2
f x x x x =
-
+
() f x '=x 2
-7x +10,令 () 0f x '> , 解得 5, x >或 2x <>
令 () 0f x '< ,="" 解得="" 25x="">
可知函数 f (x ) 的单调递增区间为 (, 2) -∞和(5,+∞) ,单调递减区间为 ()2, 5.
(Ⅱ) () f x '2
(3) 6x m x m =-+++
要使函数 () y f x =在 (1,) +∞有两个极值点 , () f x '?2
(3) 0
x m x m =-++=的根在 (1,) +∞根分布问题:则 2(3) 4(6) 0; (1)1(3) 60; 31. 2
m m f m m m ?
??=+-+>?
'=-+++>??+?>?, 解得 m >3
例 10. 已知函数 2
3
2
13
) (x x a x f +
=, ) 0, (≠∈a R a (1)求 ) (x f 的单调区间;
(2)令 () g x 4
1()() 4
x f x x R =
+∈有且仅有 3个极值点,求 a 的取值范围.
解:(1) ) 1() (2
'
+=+=ax x x ax
x f
当 0>a 时,令 0) ('
>x f 解得 01>-
x 或 ,令 0) ('
x a
,
所以 ) (x f 的递增区间为 ) , 0() 1, (+∞-
-∞ a
,递减区间为 ) 0, 1(a -
.
当 0
-, ,递减区间为 ) , 1() 0, (+∞-
-∞a
.
(2) 4
3
2
113
) 4
2
(g a x x x x =
+
+
有且仅有 3个极值点
?2
2
3
(1() ) ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有 3个根,则 0x =或 2
10x ax ++=, 2a <>
方程 210x ax ++=有两个非零实根,所以 2
40, a ?=->
2a ∴<-或 2a="">
而当 2a <-或 2a="">时可证函数 () y g x =有且仅有 3个极值点 其它例题:
1. (最值问题与主元变更法的例子) . 已知定义在 R 上的函数 3
2
() 2f x ax ax b =-+) (0>a 在区间 []2,1-上
的最大值是 5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数 () f x 的解析式;
(Ⅱ)若 ]1, 1[-∈t 时, 0(≤+'tx x f ) 恒成立,求实数 x 的取值范围 . 解:(Ⅰ) 3
2
'
2
() 2, () 34(34) f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=- 令 '
() f x =0,得 []1240, 2,13
x x ==
?-
因为
因此 ) 0(f 必为最大值 , ∴ 50=) (f 因此 5=b , (2) 165, (1)5, (1)(2) f a f a f f -=-+=-+∴>- , 即 11516) 2(-=+-=-a f ,∴ 1=a ,∴ . 52(2
3+-=x x x f )
(Ⅱ)∵ x x x f 43) (2
-=',∴ 0(≤+'tx x f ) 等价于 0432≤+-tx x x ,
令 x x xt t g 43) (2
-+=,则问题就是 0) (g ≤t 在 ]1, 1[-∈t 上恒成立时,求实数 x 的取值范围,
为此只需 ???≤≤-0) 10
) 1((g g ,即 ???≤-≤-0
05322x x x x ,
解得 10≤≤x ,所以所求实数 x 的取值范围是 [0, 1]. 2. (根分布与线性规划例子) (1)已知函数 3
2
2() 3
f x x a x b x c =
+++
(Ⅰ ) 若函数 () f x 在 1=x 时有极值且在函数图象上的点 (0,1) 处的切线与直线 30x y +=平行 , 求 ) (x f 的解析式;
(Ⅱ ) 当 () f x 在 (0,
1) x ∈取得极大值且在 (1,
2) x ∈取得极小值时 , 设点 (2,
1) M b a -+所在平面区
域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3的两部分 , 求直线 L 的方程 .
解: (Ⅰ ). 由 2
() 22f x x a x b '=++, 函数 () f x 在 1=x 时有极值 ,
∴ 220a b ++=
∵ (0) 1f = ∴ 1c = 又∵ () f x 在 (0,1) 处的切线与直线 30x y +=平行 , ∴ (0)3f b '==- 故 12
a =
∴ 3
2
21() 3132
f x x x x =
+
-+
(Ⅱ ) 解法一 : 由 2
() 22f x x ax b '=++ 及 () f x 在 (0,
1) x ∈取得极大值且在 (1,
2) x ∈取得极小值 ,
∴ (0) 0(1)0(2) 0f f f '>??'? 即 0220480b a b a b >??
++?
令 (,
) M x y , 则 2
1
x b y a =-??
=+? ∴ 12a y b x =-??=+? ∴ 20
220460
x y x y x +>??++?
故点 M 所在平面区域 S 为如图△ ABC,
易得 (2, 0) A -, (2, 1) B --, (2,2) C -, (0,1) D -, 3(0,) 2
E -
, 2A B C S ?=
同时 DE 为△ ABC 的中位线 , 13
D E C A B E D S S ?=四 边 形
∴ 所求一条直线 L 的方程为 :0x =
另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3的两部分 , 设直线 L 方程为 y kx =, 它与 AC,BC 分别交于 F 、 G, 则 0k >, 1S =四 边 形 D E G F
由 220y kx y x =??++=?
得点 F 的横坐标为 : 221F x k =-+
由 460
y kx y x =??++=? 得点 G 的横坐标为 : 641
G x k =-
+
∴ O G E O F D S S S ??=-四 边 形 D E G F 613112
2
2
2141
21
k k =?
?
-
?
+?=+即 2
16250k k +-=
解得 :12
k =
或 58
k =-
(舍去 ) 故这时直线方程为 :12
y x =
综上 , 所求直线方程为 : 0x =或 12y x =
(Ⅱ ) 解法二 : 由 2
() 22f x x ax b '=++ 及 () f x 在 (0,
1) x ∈取得极大值且在 (1,2) x ∈取得极小值
,
11
∴ (0) 0(1)0(2) 0f f f '>??'? 即 0220480b a b a b >??
++?
令 (,
) M x y , 则 2
1x b y a =-??
=+?
∴ 12a y b x =-??=+? ∴ 20
220460
x y x y x +>??++?
故点 M 所在平面区域 S 为如图△ ABC,
易得 (2, 0) A -, (2, 1) B --, (2,2) C -, (0,1) D -, 3(0,) 2
E -
, 2A B C S ?=
同时 DE 为△ ABC 的中位线 , 13
D E C A B E D S S ?=四 边 形 ∴所求一条直线 L 的方程为 : 0x = 另一种情况由于直线 BO 方程为 : 12
y x =, 设直线 BO 与 AC 交于 H ,
由 12
220y x y x ?
=???++=?
得直线 L 与 AC 交点为 : 1(1, ) 2
H --
∵ 2A B C S ?=, 11122
2
2
D E C S ?=
?
?=
, 11222
2
1112
2
H A B O A O H S S S ???=-=
??-
??
=
A B
∴ 所求直线方程为 : 0x = 或 12
y x =
3. (根的个数问题)已知函数 3
2
f (x ) ax b x (c3a 2b )x d (a0) =++--+>的图象如图所示。 (Ⅰ)求 c d 、 的值;
(Ⅱ) 若函数 () f x 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 3x y 110+-=, 求函 数 () f x 的解析式;
(Ⅲ)若 0x 5, =方程 f (x ) 8a =有三个不同的根,求实数 a 的取值范围。 解:由题知:2
f (x ) 3ax 2b x+c-3a-2b '=+
(Ⅰ)由图可知 函数 () f x 的图像过点 (0,3) ,且 ()1f '0=
得 332c 320d a b a b =??++--=???
??==03
c d
(Ⅱ)依题意 ()2f '3=-且 (2)5f =
124323
846435a b a b a b a b +--=-??
+--+=?
解得 1, 6a b ==- 所以 32
() 693f x x x x =-++
12
(Ⅲ)依题意 32
() (32) 3f x ax bx a b x =+-++ (0) a >
()x f '2
3232ax bx a b =+--由 ()5f '09b a =?=-
①
若方程 () 8f x a =有三个不同的根,当且仅当 满足 (5)8(1)f a f < ②="" 由①="" ②得="">
a a a a -++?
所以 当
1311
a <时,方程 ()="" 8f="" x="" a="">
4. (根的个数问题)已知函数 32
1() 1() 3
f x x a x x a R =
--+∈
(1)若函数 () f x 在 12, x x x x ==处取得极值,且 122x x -=,求 a 的值及 () f x 的单调区间; (2)若 12
a
,讨论曲线 () f x 与 2
15() (21) (21) 2
6
g x x a x x =
-++
-≤≤的交点个数.
解:(1) 2
() 21f' x x ax =-- 12122, 1x x a x x ∴+=?=-
122x x ∴-=
=
= 0a ∴=
22
() 211f x x ax x '=--=-
令 () 0f x '>得 1, 1x x <->或 令 () 0f x '<得 11x="">
∴ () f x 的单调递增区间为 (, 1) -∞-, (1,) +∞,单调递减区间为 (1,1) - (2)由题 () () f x g x =得 32
2
1151(21) 3
2
6
x a x x x a x --+=-++
即
3
2
111() 203
2
6x a x a x -+
++
=
令 3
2
111() () 2(21) 3
2
6
x x a x a x x ?=-+
++-≤≤
2
() (21) 2(2)(1) x x a x a x a x ?'∴=-++=--
令 () 0x ?'=得 2x a =或 1x =
12
a
当 22a ≤-即 1a ≤-时
13
此时, 9802
a --
>, 0a <>
当 22a ≥-即 11a -
时,
2
21(32) 03
6
a a -+
> , ∴当 9802
a --
>即 9116
a -<-时 ,="">
当 98002
a a --≤≤, 且 即 9016
a -≤≤时,有两个交点;
当 102
a <时,>
a --
<>
综上可知,当 916
a <-或>
a <>
当 9016
a -
≤≤时,有两个交点.
5. (简 单 切 线 问 题 ) 已 知 函 数 2
3) (a
x x f =
图 象 上 斜 率 为 3的 两 条 切 线 间 的 距 离 为
5
2, 函 数
2
3() () 3b x g x f x a
=-+.
(Ⅰ) 若函数 ) (x g 在 1=x 处有极值,求 ) (x g 的解析式;
(Ⅱ) 若函数 ) (x g 在区间 ]1, 1[-上为增函数, 且 ) (42
x g mb b ≥+-在区间 ]1, 1[-上都成立, 求实数 m 的 取值范围.
范文五：2015高考文科数学题型汇总
（今年第一道简答题会是三角函数和解三角形的题目，立体几何的第二问会是动点问题的出现）
一：解三角形 利用正弦余弦定理 及三角恒等公式变形 和基本不等式会求出最值
1. ?ABC 的三个内角为A , B , C ，求当A 为何值时，
c o s A +2c o B +C
2
取得最大值，并求出这个个最大值.
2. 在?ABC 中，A , B , C 所对的边分别是a , b , c 且cos A =13
（1）求sin 2
B +C
2
+cos 2A 的值； （2）若a =3，求bc 的最大值.
3：已知在?ABC 中, 内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 向
量m =(1, 1-sin A )
, n
=(cos A , 1) 且m ⊥n .
（1）求∠A ；
（2）设b +c =3a , 求sin ?B +
π?
?
6??
的值.
三角函数中的图像性质 会求 值域（部分定义域） 单调，对称图像移动等
1．已知函数
f (x ) =cos(2x -
π
3
) +2sin(x -
π
4
) sin(x +
π
4
) .
(1) 求函数f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (2) 求函数f (x ) 在区间??-π?12, π?
2??
上的值域.
二：数列篇
1：等差数列的性质 （易出选择题）
◆ S2n－1=（2n －1）an {an}的前n 项和为S n ,{b n}
a n S 2n -1
的前n 项和为T n , 则b =
n
T 2n -1
◆下标成等差数列且公差为m 的项ak ，ak+m，ak+2m，?组成的数列仍为等差数列，公差 md.
设A=a1+a2+a3+?+an，B=an+1+an+2+an+3+?+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+?+a3n，则A 、B 、C 成等差数列. ◆几个结论
(1)已知
a m =n , a n =m , 则 a m +n =0 (2)已知S m =n , S n =m , 则S m +n =-(m +n ) (3)已知S m =S n 则S m +n = 0 。
１
．设
{a n }
是等差数列，且
a 1-a 4-a 8-a 12+a 15=2，求a 3+a 13及S15值。
求数列的通项公式的4种方法
方法一： 由递推关系式求通项公式 累加法 【例1】在数列{a n }中, a 1=2, a n +1=a n +3n +2 求a n .
解:由已知得a n +1-a n =3n +2
令“n ”=1, 2, , n -1, 分别代入上式得:
a 2-a 1=3?1+2, a 3-a 2=3?2+2, a 4-a 3=3?3+2,
??
a n -a n -1=3?(n -1) +2
将以上这n -1个等式左右分别相加得：
(a 2-a 1) +(a 3-a 2) + +(a n -a n -1) =3?1+2+3?2+2+ +3?(n -1) +2
即a n -a 1=3?[1+2+ +n -1]+2(n -1)
即a n -2=3?
(n -1) ?n
2
+2n -2 即a 3n 2+n
n =2
例：数列{a n }中, a 1=1, a n =a n -1+2n -1, n ≥2
则其通项公式为
方法二：累乘法
例 在数列{a n }中, a 1=2, a n +1
n +1=n
a n 求通项a n . 解:∵a +1
1=2, a n n +1=
n
a n ∴a n +1n +1
a =n
n ∴
a 2=2, a 3=3, , a n n a = 11a 22a n -1n -1
以上n -1个等式左右两边分别相乘得
a n
a =n , 1
∴a n =2n 并且当n =1时, a 1=2也适合上式. ∴a n =2n
例：已知数列{a n }的首项a 1=1并且对于所有n ≥2,
例：设各项均为正数的数列{a n }的前
n 项和S n 满足S 1>1且6S n =(a n +1)(a n +2)
n ∈N *, 求{a n }的通项公式.
n ∈N *都有a 1a 2 a n =n 2, 求这个数列的通项公式
方法三：构造法
递推式为a n +1=pa n +q (p , q 为常数)
对于递推式为a n +1=pa n +q (p , q 为常数) 的数列, 可采用:设 a n +1+c =p (a n +c ) 即a n +1=
pa n +pc -c (c 为常数) , 把这个式子对比已知式子有
pc -c =q 从而确定出c =
q
p -1
, 得出等比数列{a n +c }, 进而求出通项.
例数列{a n }中, a 1=1, 对于n >1(n ∈N *) 有
a n =3a n -1+2, 求a n .
方法四 公式法： 已知S n 求a n
已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n 时, 要注意运用 要分
n =1与n ≥2两种情况分别进行计算, 然后验证两种情况
可否用统一的式子表示, 若不能, 就用分段函数表示. a n 和
S 即a ?S
(n =1) n 的关系, n =?1?S n
-S n -1(n ≥2)
例已知下列各数列{a n }的前n 项和S n 的公式, 求{a n }的通项公式.
S n =2n 2-3n
解：a 1=S 1=-1, 当n ≥2时, a n =S n -S n -1
=(2n 2-3n ) -[2(n -1) 2-3(n -1)]=4n -5, 由于a 1也
适合此等式, 因此a n =4n -5. 设数列{a n }满足a 1+3a 2+32
a 3
+ +3n -1a n =
n
3
, 求数列{a n }的通项.
求和的几种种方法
（一）数列求和的常用方法有:公式法, 错位相减法, 拆项求和法, 裂项相消法, 倒序相加法等. （1）等差数列前n 项和公式:
S (a ) n =
n 1+a n 2=na n (n -1)
1+2
d 特别地, 1+2+3+ +n =
n (n +1)
2
; 1+3+5+ +(2n -1) =n 2.
（2）等比数列前n 项和公式:
?a 1(1-q n )
S =?
??1-q , (q ≠1) a n S n =1-a n q 1-(q ≠1) .
?na 1
, (q =1) q
【典例剖析】
求和:S n =1+2x + +nx
n -1
(x ≠0, x ≠1) .
分析:这是一个等差数列{n }与一个等比数列{x n -1
}的对应
项相乘构成的新数列求和问题, 这样的数列求和可让S n 乘
q (q 为等比数列的公比), 然后两式相减得出S n . 此法称为
“错位相减法”.
解: ∵S n =1+2x + +nx
n -1
①
∴ xS n =x +2x 2
+ +nx n
② 令
①-②得:(1-x ) S n =1+x +x 2+ +x
n -1
-nx n
=1-x n 1-(1+n ) x n +nx n +11-x -nx n
=1-x
∴S (1+n ) x n +nx n +1
n =
1-(1-x ) 2
.
变式练习：求和:S 1352n -n =2+4+8+ +12
n .
“裂项相消法”求和. 已知数列{a n }:1,
11, , , 1+21+2+3
1
, 求它的前n 项和
1+2+3+ +n
分析：先看通项a n =然后将
12
=
1+2+3+ +n n (n +1)
112
分裂成2(-) 求和.
n n +1n (n +1)
211=2(-)
n (n +1) n n +1
解：∵a n =
∴S n =a 1+a 2+ +a n =2[(1-) +(-) +
1
21123
1112n
. +(-)]=2(1-) =
n n +1n +1n +1
变式练习：已知数列{a n }, {b n }满足a n b n =1, 并且 a n =n 2+3n +2, 则{b n }的前10项之和等于（ ）
已知数列{a n }中, a 1=
公比为c 的等比数列{a n }的首项a 1=1, 且满足
11, a n +1=a n +, 求a n . 24n 2-1
n （n 11n 22－n 12n 21）2
附：χ＝
＋＋＋＋1:．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
n （n 11n 22－n 12n 21）22
χ＝＝
n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2
100×（60×10－20×10）2100
＝≈4.762. 2170×30×80×20
由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1) ，(a 1，a 2，b 2) ，(a 1，a 2，b 3) ，(a 1，b 1，b 2) ，(a 1，b 1，b 3) ，(a 1，b 2，b 3) ，(a 2，b 1，b 2) ，(a 2，b 1，b 3) ，(a 2，b 2，b 3) ，(b 1，b 2，b 3)}，
其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1，2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3.
Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．
用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2) ，(a 1，b 1，b 3) ，(a 1，b 2，b 3) ，(a 2，b 1，b 2) ，(a 2，b 1，b 3) ，(a 2，b 2，b 3) ，(b 1，b 2，b 3)}．
7
事件A 由7个基本事件组成，因而P (A ) ＝10
2：20名学生某次数学考试成绩(单位：分) 的频率分布
2
1
(a n -1+a n -2) (n ∈N *且n ≥3) . 2
（1）求c 的值; （2）求数列{na n }的前n 项和S n . a n =
设数列{a n }的前n 项和为S n ,
(1)求频率分布直方图中a 的值； (2)分别求出成绩落在[50，60) 与[60，70) 中的学生人数； (3)从成绩在[50，70) 的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70) 中的概率．
:2．解：(1)据直方图知组距为10，由 (2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a ) ×10＝1，
1
解得a ＝0.005.
200
(2)成绩落在[50，60) 中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.
成绩落在[60，70) 中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.
(3)记成绩落在[50，60) 中的2人为A 1，A 2，成绩落在[60，70) 中的3人为B 1，B 2，B 3，则从成绩在[50，70) 的学生中任选2人的基本事件共有10个，即(A 1，A 2) ，(A 1，B 1) ，(A 1，B 2) ，(A 1，B 3) ，(A 2，B 1) ，(A 2，B 2) ，(A 2，B 3) ，(B 1，B 2) ，(B 1，B 3) ，(B 2，B 3) ．
其中2人的成绩都在[60，70) 中的基本事件有3个，即(B 1，B 2) ，(B 1，B 3) ，(B 2，B 3) ．
3
故所求概率为P ＝.
10
a 1=1, a n +1=2S n (n ∈N *)
（1）求数列{a n }的通项a n ; （2）求数列{na n }的前n 项和T n .
三：概率篇（此章节较简单，回归直线，独立性检验，统计，概率结合出题）
1：某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级
生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，
求至多有1人喜欢甜品的概率．
四：立体几何
1如右图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，D 是BC 上的一点，且AD ⊥C 1D .
(1) 求证：A 1B ∥平面AC 1D ；
(2)在棱CC 1上是否存在一点P ，使直线PB 1⊥平面AC 1D ？若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由．
(2)E 是BC 的中点，在PC 上求一点F ，使得PG ∥面DEF .
(1)证明：连结BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，所以三角形ABD 为正三角形，又因为点G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD ；
因为面P AD ⊥底面ABCD ，且面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，
所以BG ⊥面P AD .
(2)解：当点F 为PC 的中点时，PG ∥面DEF . 连结GC 交DE 于点H
因为E 、G 分别为菱形ABCD 的边BC 、AD 的中点，所以四边形DGEC 为平行四边形
所以点H 为DE 的中点，又点F 为PC 的中点 所以FH 为三角形PGC 的中位线，所以PG ∥FH 因为FH ?面DEF ，PG ?面DEF 所以PG ∥面DEF .
综上：当点F 为PC 的中点时，PG ∥面DEF .
五：解析篇（直线与圆锥曲线结合 利用设而不求的方法，利用韦达定理做题）
1：已知双曲线2x 2-y 2=2，求以M （2，1） 为中点的双曲线的弦所在的直线方程. 解： 设以M （2，1）为中点的弦的两端点
，则x 1+x 2=4，y 1+y 2=2 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
∵点A , B 在双曲线上 ∴??
(1)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ，∴CC 1⊥AD . 又AD ⊥C 1D ，CC 1∩C 1D ＝C 1， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1，∴AD ⊥BC ， ∴D 是BC 的中点．
连接A 1C 设与AC 1相交于点E ，则点E 为A 1C 的中点．连接DE ，则在△A 1BC 中，
∵D 、E 分别是BC 、A 1C 的中点， ∴A 1B ∥DE ，
又DE 在平面AC 1D 内，A 1B 不在平面AC 1D 内， ∴A 1B ∥平面AC 1D .
(2)解：存在这样的点P ，且点P 为CC 1的中点．下面给出证明：
由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，故B 1P ⊥AD .
设PB 1与C 1D 相交于点Q ，由于△DC 1C ≌△PB 1C 1，故∠QB 1C 1＝∠CC 1D ，
因为∠QC 1B 1＝∠CDC 1，
从而△QC 1B 1∽△CDC 1，所以∠C 1QB 1＝∠DCC 1＝90°，所以B 1P ⊥C 1D .
因为AD ∩C 1D ＝D ，所以B 1P ⊥平面AC 1D .
2：如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，侧面P AD 是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD ，点G 为AD 的中点．
?2x 12-y 12=2??2x 2-y 2=2
2
2
两式相减得：
2(x 1+x 2)(x 1-x 2) -(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0
∴（8x 1-x 2）-（2y 1-y 2）=0
∴y 1-y 2=4，即弦AB 的斜率k =4.
x 1-x 2
∴弦AB 所在的直线方程为y -1=（ 4x -2）即：4x -y -7=0.
点评： 用代点相减法，可求给出中点的弦的斜率, 也可求过某定点的弦的中点的轨迹方程. 变式练习：求过点（0，2）的直线被椭圆x 2+2y 2=2所截得的弦的中点的轨迹方程.
2：. (本小题共l2分) 椭圆有两顶
(1)求证：BG ⊥面P AD ；
点A(-1，0) 、B(1，0)
，过其焦点
F(0，1) 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．（Ⅰ）当|CD | =
直线l 的方程；
（Ⅱ）当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP ?OQ 为定值. 解析：本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力 （Ⅰ）因椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为
y 2x 2
a 2+b
2=1(a >b >0) ，由已知得b =1，c =1，所以a =2，则椭圆方程为x 2
+y 222
=1．直线l 垂直于x 轴时
与题意不符．设直线
l
的方程为y =kx +1，联立
?2
??
x 2+y =1, 得(k 2+2) x 2
+2kx -1=0，?2 ?
y =kx +1, 设
C (x 1, y 1)
，
D (x 2, y 2)
，
则
?4k 2=4k 2+(+2k ) =8，+(
x 2k 1+x 2=-k 2
+2，x -11x 2=k 2+2
，
|CD |==．
由已知得
=k = 所以直线l
的方程为y =+
1或y =+1．……6
分
（Ⅱ）直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为
y =kx +1（k ≠0且k ≠±1），所以P 点的坐标为
(-
1
k
, 0) ．设C (x 1, y 1) ，D (x 2, y 2) ，由（Ⅰ）知x 1+x 2=-
2k k 2+2，x 1
1x 2
=-k 2+2，直线AC 的方程为：y =y 1x (x +1) ，直线BD 的方程为：y =y 2
(x -1) ，
1+1x 2-1
?
?y y 1
方法一：联立方程?
=?
x +1(x +1), 1y 设Q (x ?0, y 0) ，解
2
??
y =x 1
(x -1), 2+1+
y 1(x 2-1)
y 2(x 1+1) y 2(x 1+1) +y 1(x 2-1)
得x 0=1-
y (x =12-1) y 2(x 1+1) -y 1(x 2-1) ，
y 2(x 1+1)
不
妨
设
x 1>x 2
，则
x k 2+x 11
+) x (+1
k 1+
0=
((k
2
+x 1
1+) x
(-
1
k 1+
=
2kx 1x 2+(x 1+x 2) +k (x 2-x 1) k (x 1+x 2) +(x 1-
x 2) +2
-2k 2=
2-k
2-
=
=-k 因此
Q 点的坐标为
(-k , y 0) ，又P (-1>1
)
k ,0) ，
∴OP ?OQ =(-k ) ?(-1
k
) +0=1．故OP ?OQ 为定值．………12分
?
??y =y 1(方法二：联立方程
?
x 1x +1), 1+?消去y 得
y =y 2??
x (x -1), 2+1x +1x -1=y 2(x 1+1)
y x ，因为-1
x +1y 所以
2x -1
与
y 异1
号
．
2
(x +1(x +-x x 11x -1) 2=y 2
++x +x y 2=-2x ?(x -1) =
(1-x )(1-x )
1(x -1) 22
1+
-2k =
2+
-1
2=(k -11--2k -1k +1
) 2又
k 2+2+k 2
+22
2
2(1-k )(1+k )
x 2y 2
y 21y 2=k x 1x 2+k (x 1+x 2) +1=k 2
+2
=-2(1+k ) 2k -1k 2+2?
k +1∴k +1k -1
与y x +1k +1
1y 2异号，x -1与k -1同号，∴x +1k +1
x -1=
k -1
，解得x =-k ． 因此Q 点的坐标为(-k , y 1
0) ，又P (-k
, 0，) ∴OP ?OQ =(-k ) ?(-1
k
) +0=1．故O P ?O Q
为定值．…12分
2
2
1．设椭圆C ：x y
a 2+b
2=1(a >b >0) 的左、右焦点
分别为F 1, F 2，上顶点为
A ，过点A 与AF 2垂直的直线
x uuu u r uuu r
交轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2+F 2Q =0
，若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x -y -3=0相切.
过定点M (0, 2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点
G 在点M ，H 之间）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 1的斜率k
>0，在x 轴上是否存在点
P (m , 0)，使得以PG ，PH
为邻边的平行四
边形是菱形. 如果存在，求出m 的取值范围，
如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）若实数λ满足MG
=λMH ，求λ的取值范围.
uuu F u r uuu r 解：（Ⅰ）因为21F 2+F 2Q =0
，所以F 1为F 2Q 中点. 设Q 的坐标为(-3c , 0)，
因为
AQ ⊥AF 22
2，所以b =3c ?c =3c ，
a 2=4c ?c =4c 2，且过A , Q , F 2三点的圆的圆心为
F 1(-c , 0)，半径为2c . ?? 2分因为该圆与直线l 相
切，所以|-c -3|
2=2c . 解得c =
1，所以a =
2，b =
故所求椭圆方程为
4+3
=1. ?? 4分 （Ⅱ）设l 1的方程为
y =kx +2（k >0）
， 由
ì???y =kx +2, í?22 得(3+4k 2) x 2+16kx +?x 4=0. ???4
+y 3=1设G (x 1, y 1) ，H (x 2, y 2) ，则
x 1+x 2=-
16k
3+4k
2
. ??5分
所以
uu PG u r +uuu PH r
=(x 1-m , y 1) +(x 2-m , y 2) =(x 1+x 2-2m , y 1+y 2) .
=(x 1+
x 2-2m , k (x 1+x 2) +4 )，
GH =(x 2-x 1, y 2-y 1) =(x 2-x 1, k (x 2-x 1)) .
由于菱形对角线互相垂直，则
(PG +PH ) ?GH =0. ?6分
所以
(x 2-x 1)[(x 1+x 2) -2m ]+ k (x 2-x 1)[k (x 1+x 2) +4]=0
. 故
(x 2-x 1)[(x 1+x 2) -2m + k 2
(x 1+x 2) +4k ]=0
.
因为k
>0，所以x 2-x 1 0. 所以
(x -2m + k 2
1+x 2) (x 1+x 2) +4k =0
即(1+
k 2
)(x 1+x 2) +4k -2m =0. 所以
(1+k 2)(-16k
3+4k 2) +4k -2m =0
解得m
=-
2k
3+4k
2
. 即m =-
23. 因为k >0，
k
+4k
所以-
6
≤m <0. 故存在满足题意的点p="">
的取值范围是
0). ??? 8分 （Ⅲ）①当直线l 1斜率存在时，设直线l 1方程为
22
y =kx +2，代入椭圆方程
x y 4+3
=1 得(3+4k
2
) x 2
+16kx +4=0. 由?>0，得
k 2
>1
4
. ?? 9分
设G (x 1, y 1) ，H (x 2, y 2) ，则x 1+
x 16k 2=-
3+4k 2
，
x x 4
12=3+4k
2
. 又MG =λMH ，
所以(x 1, y 1-2) =λ(x 2, y 2-2) . 所以x 1=λx 2. ?? 10分
所以x 1
+x +λ) x x 2
2=(12，1x 2=λx 2. 所以
(
x 1+x 21+λ) 2=x 2x x 2=12λ
. 所以
(-16k 24
64(1+λ) 2
2)
=2. 整理得
3=
(1+λ) 2λ
λk
2+411分因为k 2
>14<>
<>
，所以3
k 2
+4. 即. 4
(1+λ)
2
λ
<16 所以.=""><>
1
λ
+2
16解得
7-λ<7+><>
1，所以7-λ<1. ???="">
②又当直线l 1斜率不存在时，直线l 1的方程为x =0，此
时G
，H (0,
，MG =(0,
2) ，
MH =(0,
2) ，MG =
，所以
λ=7-
所以7-
λ<1，即所求λ的取值范围是[7- 1).="" ??="">
六、；导数篇（以自然对数为主求导，求参数的值，极值点 最值，两个函数的交点和不等式求参数的范围）
1．(12分) 设f (x ) ＝－11
3x 3＋2
x 2＋2ax .
(1)若f (x ) 在2
3)
上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
(2)当0
16
3
f (x ) 在该区间上的最大值．
解：(1)由f ′(x ) ＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －1
2
) 2
＋1
4
＋2a ， 当x ∈(2
3，＋∞) 时，
f ′(x ) 的最大值为f ′(22
3) ＝9＋2a ，
292a >0，得a >－1
9
， 所以，当a >－1
9时，f (x ) 在23)
上存在单调递增
区间． (2)令f ′(x ) ＝0，得两根 x －1＋8a 1＝
12，x 1＋1＋8a
2＝2
. 所以f (x ) 在(－∞，x 1) ，(x 2，＋∞) 上单调递减，在(x 1，x 2) 上单调递增．
当0
2
＋6a <0，即f>
所以f (x ) 在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －4016
33得a
＝1，x 2＝2，
从而f (x ) 在[1,4]上的最大值为f (2)＝10
32．已知函数f (x ) ＝(a －1
2)
x 2＋ln x (a ∈R ) ．
(1)当a ＝1时，求函数f (x ) 在区间[1，e]上的最大值和最
[
小值；
(2)若f (x ) ＞0有解，求a 的取值范围． 解：(1)由题意知f (x ) 的定义域为(0，＋∞) ． 当a ＝1时，f (x ) ＝11
2x 2＋ln x ，f ′(x ) ＝x ＋x ，
所以f (x ) 在区间[1，e]上是增函数，
f (x ) 在区间[1，e]上的最大值为f (e)＝1
2e 2＋1，最小值为
f (1)12
(2)f ′(x ) ＝(2a －1) x ＋1
x
，
当a 12f ′(x )>0，f (1)＝a 120，显然f (x ) ＞0有解．
当a <12时，由f ′(x="" )="" ＝(2a="" －1)="" x="" ＋1x="">
得x ＝1
11－2a . 当x ∈??
0， 1－2a ?
?
时，f ′(x )>0；
当x ∈?
?
1
1－2a ??
时，f ′(x )<0，故f (x="" )="" 在x="">
11－2a 处取得最大值f ??
1－2a ＝－12－12－2a ) ．
若使f (x )>0有解，只需－12－1
2－2a )>0，
解得a >1212e a 1
2
此时a 的取值范围为111
22e ，2)
.
综上所述，a 的取值范围是(11
22e ，＋∞)
. 3：已知函数f (x ) ＝x －a ln x ，g (x ) ＝－1＋a
x
，(a ∈R ) ． (1)若a ＝1，求函数f (x ) 的极值；
(2)设函数h (x ) ＝f (x ) －g (x ) ，求函数h (x ) 的单调区间； (3)若在[1，e ](e ＝2.718?) 上存在一点x 0，使得f (x 0)
解：(1)f (x ) 的定义域为(0，＋∞) ．
当a ＝1时，f (x ) ＝x －ln x ，f ′(x ) ＝1－1x －1x ＝x ，
(2)h (x ) ＝x ＋
1＋a
x
－a ln x ， h ′(x ) ＝11＋a a x 2
－ax －(1＋a )
x x ＝x
＝
(x ＋1)[x －(1＋a )]
x
①当a ＋1>0时，即a >－1时，在(0,1＋a ) 上， h ′(x )<0，在(1＋a ，＋∞)="" 上，h="" ′(x="" )="">0
所以h (x ) 在(0,1＋a ) 上单调递减，在(1＋a ，＋∞) 上单调递增．
②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞) 上h ′(x )>0 所以，函数h (x ) 在(0，＋∞) 上单调递增
(3)在[1，e ]上存在一点x 0，使得f (x 0)
x
a ln x 在[1，e ]上的最小值小于零 由(2)可知
①当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，h (x ) 在[1，e ]上单调递减 所以h (x ) 的最小值为h (e ) ，由h (e ) ＝e ＋1＋a
e
－a <0 可得a="">e 2＋1
e －1
因为e 2＋1e －1>e －1，所以a >e 2＋1e －1
②当1＋a ≤1，即a ≤0时，h (x ) 在[1，e ]上单调递增 所以h (x ) 最小值为h (1)，由h (1)＝1＋1＋a <0 可得a=""><>
③当1<1＋a>
因为0
此时，h (1＋a )<0不成立．综上讨论可得所求a>
是：(－∞，－2) ∪?e ＋1
?e －1，＋∞??
. :4：．已知f (x ) ＝a ln (x －1) ，g (x ) ＝x 2＋bx ，F (x ) ＝f (x ＋1) －g (x ) ，其中a ，b ∈R .
(1)若y ＝f (x ) 与y ＝g (x ) 的图象在交点(2，k ) 处的切线互相垂直，求a ，b 的值；
(2)若x ＝2是函数F (x ) 的一个极值点，x 0和1是F (x ) 的两个零点，且x 0∈(n ，n ＋1) ，n ∈N *，求n 的值；
(3)当b ＝a －2时，若x 1，x 2是F (x ) 的两个极值点，当|x 1－x 2|＞1时，求证：|F (x 1) －F (x 2)|>3－4ln 2.
解：(1)f ′(x ) ＝
a
x －1
，g ′(x ) ＝2x ＋b ， 由题知??f (2)＝g (2)?0＝4＋2b
?f ′(2)·g ′(2)＝－1 ，即??a (4＋b )＝－1
，
?a ＝－1
2解得?
?b ＝－2
∴φ′(a ) 在(－∞，－4) 上是增函数，φ′(a )<>
.
＝ln 2－1<>
从而φ(a ) 在(－∞，－4) 上是减函数， ∴φ(a )>φ(－4) ＝3－4 ln 2， 所以|F (x 1) －F (x 2)|>3－4ln 2.
a
(2)F (x ) ＝f (x ＋1) －g (x ) ＝a ln x －(x 2＋bx ) ，F ′(x ) ＝2x
x －b ，
?a －4－b ＝0?F ′(2)＝0
由题知?，即?2
?F (1)＝0?1＋b ＝0
注：选择填空中：集合，算法，线性规划，向量，立体几何
解得a ＝6，b
球的知识点等较为简单，时间大概40分钟完成
五个简答题中：前三道题 20分钟完成，后两道题每题20分钟，
三选一中，建议做参数方程，较为简单，可把参数，极坐标的方程都化为普通方程去做题较为简单，不等式证明的第二问有时不太好想思路。
恭祝考试顺利
＝－1.
∴F (x ) ＝6ln x －(x 2－x ) ，
－(2x ＋3)(x －2)6
F ′(x ) ＝－2x ＋1
x x ∵x >0，由F ′(x )>0，解得0
∴F (x ) 在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞) 单调递减， 故F (x ) 至多有两个零点，其中x 1∈(0,2)，x 2∈(2，＋∞) 又F (2)＞F (1)＝0，F (3)＝6(ln 3－1)>0， F (4)＝6(ln 4－2)<0，∴x 0∈(3,4)，故n="" ＝3="" (3)当b="" ＝a="" －2时，f="" (x="" )="" ＝a="" ln="" x="" －[x="" 2＋(a="" －2)="" x="" ]，="" －(2x="" ＋a="" )(x="">
F ′(x ) ＝－2x －(a －2) ＝，
x x
由题知F ′(x ) ＝0在(0，＋∞) 上有两个不同根x 1，x 2，a
则a <0且a ≠－2，此时f="" ′(x="" )="">
2
|
a a 2
－1>1，则＋a ＋1>1，a 2＋4a >0 24
|
a 又∵a <0，∴a><>
则F (x ) 与F ′(x ) 随x 的变化情况如下表： ∴|F (x 1) －F (x 2)|＝F (x 2) －F (x 1) ，
2
a 1
设φ(a ) ＝a ln (－2) ＋－1，
4a 1
则φ′(a ) ＝ln (－2) ＋a ＋1，
2
1111
φ″(a ) ＝＋，∵a <>
a 2a 411
∴φ″(a ) ＝，
a 2
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