酱驴肉我爱吃
范文一：圆的标准方程
第四章 圆与方程
错误！未找到引用源。4.1.1
圆的标准方程
三维目标：
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆
的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情
和兴趣。
教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程：
1、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：
2、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条
件
?r ①
化简可得：(x?a)?(y?b)?r ②
222
引导学生自己证明(x?a)2?(y?b)2
?r2为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为A(2,?3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,?7),M2(?1)是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点M(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的关系的判断方法：
22
（1）(x0?a)?(y0?b)>r2，点在圆外
22
（2）(x0?a)?(y0?b)=r2，点在圆上
22
（3）(x0?a)?(y0?b)<>
例（2）： ?ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,?3),C(2,?8),求它的外接圆的方程
师生共同分析：从圆的标准方程(x?a)?(y?b)?r 可知，要确定圆的标准方
2
2
2
程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.（学生自己运算解决）
例(3):已知圆心为C的圆l:x?y?1?0经过点A(1,1)和B(2,?2),且圆心在l:x?y?1?0上,求圆心为C的圆的标准方程.
师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,?2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。 （教师板书解题过程。）
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：
①、根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的
标准方程.
根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
练习：课本p127第1、3、4题 提炼小结：xkb1.com新课标第一网
1、 圆的标准方程。
2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
作业：课本p130习题4.1第2、3、4题
4.1.2圆的一般方程
三维目标：
知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方
程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方
程．能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现
及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励
学生创新，勇于探索。
2
2
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据
已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
教学难点：
教 具教学过程：
课题引入：
问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：
请同学们写出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取D??2a,E??2b,F?a?b?r得
x?y?Dx?Ey?F?0 ①
2
2
2
2
2
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
(x?
D2
)?(y?
2
E2
)?
2
D?E
4
22
?4F
② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是
表示圆？
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当D2?E2?4F?0时，表示以（--E2
D2
，
）为圆心,
12
D
2
?E
2
?4F
为半径的圆；
D2
（2）当D2?E2?4F?0时，方程只有实数解x??点（-D2
，y??
E2
，即只表示一个
，-
E2
）;
（3）当D2?E2?4F?0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示的曲线不一定是圆只有当D2?E2?4F?0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如
x?y?Dx?Ey?F?0的表示圆的方程称为圆的一般方程?x?1??y?4
2
2
2
2
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 知识应用与解题研究：
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
?1?4x2?4y2?4x?12y?9?0?2?4x
2
?4y?4x?12y?11?0
2
学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的
22
一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于?1?4x?4y?4x?12y?9?0来说，这
里的
D??1,E?3,F?
94
而不是D=-4,E=12,F=9.
例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而解：设所求的圆的方程为：x2?y2?Dx?Ey?F?0
∵A(0,0),B(1，1）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，
?F?0
?
即?D?E?F?2?0 ?4D?2E?F?20?0?
解此方程组，可得：D??8,E?6,F?0
∴所求圆的方程为：x2?y2?8x?6y?0r?
12
D
2
?E
2
?4F?5；?
D2
?4,?
F2
??3
得圆心坐标为（4，-3）.
或将x2?y2?8x?6y?0左边配方化为圆的标准方程，(x?4)2?(y?3)2?25,从而求出圆的半径r?5，圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： ①、根据提议，选择标准方程或一般方程；
②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上?x?1??y?4运动，
2
2
求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
?x?1?
2
?y?4。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条
2
件，求出点M的轨迹方程。 解
：
设
点
M
的
坐标
是
（
x,y
）
,点
A
的坐
标
是
x0,y0?.由于点B的坐标是?4，3?且M是线段AB的重点，所以
x?
x0?42
,y?
y0?32
,
①
于是有x0?2x?4,y0?2y?3
因为点A在圆?x?1??y?4上运动，所以点A的坐标满足方程?x?1??y?4,
2
2
2
2
即?x0?1??y02?4
2
?x0?1?
2
?y0?4 ②
2
把①代入②，得
2
?2x?4?1???2y?3??4,
2
22
3?3???
整理，得?x-???y???1
2?2???
?33?
所以，点M的轨迹是以??为圆心，半径长为1的圆
?22?
课堂练习：课堂练习p130第1、2、3题 小结 ：
1．对方程x?y?Dx?Ey?F?0的讨论(什么时候可以表示圆)
22
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹。
课后作业：p130习题4.1第2、3、6题
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、教学目标 1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 2、过程与方法
设直线l：ax?by?c?0，圆C：x2?y2?Dx?Ey?F?0，圆的半径为r，圆心
(?
D2,?E2
)到直线的距离为d
，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当d?r时，直线l与圆C相离； （2）当d?r时，直线l与圆C相切； （3）当d?r时，直线l与圆C相交； 3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
4.2.2 圆与圆的位置关系
一、教学目标 1、知识与技能
（1）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系． 2、过程与方法
设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2相离； （2）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2外切；
（3）当|r1?r2|?l?r1?r2时，圆C1与圆C2相交； （4）当l?|r1?r2|时，圆C1与圆C2内切； （5）当l?|r1?r2|时，圆C1与圆C2内含； 3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点：
重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．
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4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、教学目标 1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； （3）会用“数形结合”的数学思想解决问题． 2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：
重点与难点：直线与圆的方程的应用．
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范文二：圆的标准方程
圆的标准方程
知识链接:
1.两点间的距离公式?
2.具有什么性质的点的轨迹称为圆?圆的定义?
平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径 .
学习过程:(自主探究 )
问题 1圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?
例 1:1写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径是 3; (2) 圆心在 C(3,4),半径是 5
(3)经过点 P(5, 1) ,圆心在点 C(8, -3) ;
2、写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1) (x -1) 2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2) 2= 9
(3) 222
() () x a y a ++=
例 2:写出圆心为 (2,3) A -半径长等于 5的圆的方程,
判断 12(5,7), (1) M M --是否在这个圆上。
问题 3点 M 0(x0,y 0) 在圆 (x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么?
例 3△ ABC 的三个顶点的坐标是 (5,1),(7,3), (2,8), A B C --求它的外接圆的方程
例 4已知圆心为 C 的圆经过点 (1,1)A 和 (2,2) B -, 且圆心在 :10l x y -+=上 , 求圆心为 C 的圆的标准
方程 .
注:比较例 3、例 4可得出 △ ABC 外接圆的标准方程的两种求法:
1. 根据题设条件,列出关于 a b r 、 、 的方程组,解方程组得到 a b r 、 、 得值,写出圆的标准方程 .
2. 根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程 .
达标检测
1、已知两点 P 1(4, 9) 和 P 2(6, 3) ,求以 P 1P 2为直径的圆的方程,试判断点 M(6, 9) 、 N(3, 3) 、 Q(5, 3)
是在圆上,在圆内,还是在圆外?
2、求圆心 C 在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点 A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。
3、从圆 x 2+y2=9外一点 P(3,2)向该圆引切线,求切线方程。
4、求以 C(1,3)为圆心 , 并且和直线 3x -4y -7=0 相切的圆的方程 .
C5. 求过点 A(3, 2) ,圆心在直线 y=2x上,且与直线 y=2x+5相切的圆的方程:
4.1.2圆的一般方程
知识链接 :圆的标准方程:222
() () x a y b r -+-= 圆心 (, ) a b ; 半径:r.
学习过程 :问题的导入:
问题 1: 方程 x 2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?方程 x 2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形?
问题 2:方程 x 2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆?
问题 3:什么是圆的一般方程?
问题 4:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
典型例题 :
例 1:求过三点 O(0,0)M1(1,1)M2(4,2)的圆的方程
例 2:已知:线段 AB 的端点 B 的坐标是(4, 3) ,端点 A 在(x+1)2+y2=4上运动,求线段 AB 的中点 M
的轨迹方程。
变式 :已知一曲线是与两个定点 O (0,0) , A(3,0)距离比为
12
的点的轨迹,求此曲线的方程并画出曲 线。
达标检测 1, 已知方程 x 2+y2+kx+(1-k)y+134
=0表示圆,则 k 的取值范围 ( ) A k>3 B 2-≤k C -2<><3 d="" k="">3或 k<-2>
方程 1x - )
A .一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆
3, 动圆 222(42) 24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是 .
4, 如果实数 , x y 满足等式 22(2) 3x y -+=,那么
x
y 的最大值是 ________。 5, 求下列各题的圆心坐标、半径长
(1) x 2+y2-6x=0
(2) x2+y2+2by=0
(3) x2+y2-2a x-2y+3a 2=0 6, 下列各方程各表示什么图形?
(1) x 2+y2=0
(2)x2+y2-2x+4y-6=0
(3) x2+y2+2a x-b 2=0
7, 已知圆 C :x2+y2-4x-5=0的弦 AB 的中点为 P(3,1)求直线 AB 的方程
4.2.1直线与圆的位置关系
知识链接
1、点和圆的位置关系有几种?
设点 P(x0, y 0) ,圆 (x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心 (a,b)到 P(x0, y 0) 的距离为 d, 则
点在圆内 (x0 -a) 2+(y0 -b) 2
点在圆上 (x0 -a) 2+(y0 -b) 2 =r2 d=r,
点在圆外 (x0 -a) 2+(y0 -b) 2>r 2 d>r.
问题 :一艘轮船在沿直线返回港口的途中 , 接到气象台的台风预报 :台风中心位于轮船正西 70KM 处 , 受影
响的范围是半径为 30KM 的圆形区域 . 已知港口位于台风中心正北 40KM 处 , 如果轮船不改变航线 , 那么这艘轮船是否会受到台风的影响 ?
五 、 学习过程
问题 1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类?
问题 2.直线与圆的位置关系有哪几种呢?
问题 3.在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?
221:360240, ; , .
l x y C x y y l +-=+--=例 已知直线 和圆心为 的圆 试判断直线 与圆的位置 关系 如果相交 求它们交点的坐标
问题 4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗?
222(3, 3) 4210. M l x y y l --++-=例 已知过点 的直线 被圆 所截得的弦长为 求直线 的方程
达标检测
1、从点 P(x.3)向圆(x+2)2+(y+2)2
=1作切线,则切线长度的最小值是( ) A. 4 B. C.5 D. 5.5
2、 M(3.0)是圆 x 2+y2-8x-2y+10=0内一点,则过点 M 最长的弦所在的直线方程是 ( )
A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0
3、直线 l: sin cos 1x y αα+=与圆 x 2+y2=1的关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
4、设点 P(3,2)是圆 (x-2)2+(y-1)2=4内部一点,则以 P 为中点的弦所在的直线方程是 _______
5. 已知直线 y=x +1与圆 224x y +=相交于 A , B 两点,求弦长 |AB |的值
圆与圆的位置关系
知识链接
1. 直线与圆的位置关系 :
相离、相交、相切
2. 判断直线与圆的位置关系有哪些方法?
(1)根据圆心到直线的距离;
(2)根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数;
3. 圆与圆的位置关系有哪几种? (作图说明 )
如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系,我们将进一步探究 .
学习过程
问题 1:圆与圆的位置关系
两个大小不等的圆,其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种,在平面几何中,这些位置
关系是如何判定的?
问题 2:判断圆和圆的位置关系的方法
(1)几何法
(2)代数法
问题 3:已知两圆 C 1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C 2:x2+y2
+D2x+E2y+F2=0, 用上述方法判断两个圆
位置关系的操作步骤如何?
2
例 1、已知圆 C 1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆 C 2:x 2+y2-4x-4y-2=0, 试判断圆 C 1与圆 C 2的位置关 系 .
达标测试
1、判断下列两圆的位置关系:
(1)(x+2)2+(y-2)2=1与 (x-2)2+(y-5)2=16
(2)x2+y2+6x-7=0与 x 2+y2+6y-27=0
2、 x 2+y2=m与圆 x 2+y2+6x-8y-11=0相交,求实数 m 的范围
3、已知以(-4,3)为圆心的圆与 x 2+y2=1相切,求圆 C 的方程 .
4、求过点 A(0,6) 且与圆 x 2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。
5、求与点 A(1,2)的距离为 1,且与点 B(3,1)的距离为 2的直线共有 条。
4.2.3直线与圆的方程的应用
知识链接 :
1, 回忆各种直线方程的形式,说清其特点及不足。
2,圆的标准方程是:(x-a)2+(y-b)2=r2圆心(a,b); 半径:r.
3,你能说出直线与圆的位置关系吗?
五、学习过程
问题的导入:
问题 1: 你能举几个关于直线与圆的方程的应用的例子吗?
直线与圆的方程的应用是非常广泛的,下面我们看几个例子
典型例题
1.标准方程问题:
例 1:圆 (x-2)2+(y+3)2=4上的点到 x-y+2=0的最远距离 最近的距离 。
2. 轨迹问题:例 2:过点 A(4,0)作直线 L 交圆 O:x2+y2=4于 B,C 两点 , 求线段 BC 的中点 P 的轨迹方程
3. 弦长问题:例 3: 直线 L 经过点 (5,5),且和圆 x 2+y2
=25相交,截得的弦长为 54, 求直线 L 的方 程。
4. 对称问题:例 4:求圆 ()()22114x y -++=关于点 ()2,2对称的圆的方程 .
5. 实际应用问题
例 5:下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图 . 这个圆的圆拱跨度 AB =20cm , 拱高 OP =4m , 建造时每间隔
4m 需要用一根支柱支撑,求支柱 A 2P 2的高度 (精确到
6. 用代数法证明几何问题
例 6
. 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半 .
达标检测
1,求直线 l :2x-y-2=0 被圆 C:(x-3)2+y2=9 所截得的弦长
2,圆 (x-1)2+(y-1)2=4关于直线 L:x-2y-2=0对称的圆的方程
3,赵州桥的跨度是 37.4m, 圆拱高约 7.2m, 求拱圆的方程
4,某圆拱桥的水面跨度 20m ,拱高 4m 。现有一船,宽 10m ,水面以上高 3m ,这条船能否从桥下通过?
4,等边△ ABC 中, D,E 分别在边 BC,AC 上,且∣ BD ∣ =
31∣ BC ∣ , ∣ CE ∣ =3
1∣ CA ∣ ,AD,BE 相交于点 P, 求证:AP ⊥ CP
圆的习题课
知识链接 :
1、圆的标准方程 :222) () (r b y a x =-+-
2、圆的一般方程:x 2+y2+Dx+Ey+F=0
3、点和圆的位置关系:
设圆 C ∶ 222) () (r b x a x =-+-,点 M 到圆心的距离为 d ,则有:
(1)d>r 点 M 在圆外; (2)d=r点 M 在圆上; (3)d
r 点 M 在圆内.
4、直线和圆的位置关系:如果⊙ O 的半径为 r ,圆心 O 到直线 l 的距离为 d ,则有
(1)直线 l 与⊙ O 相交 <=>d
五、学习过程
典型题精炼:1. 如何判断点与圆的位置关系?
例题 1:已知点 P(-2, 4)和圆 C 226490x y x y ++-+=, 试判断点 P 和圆 C 的位置关系 .
练习:点 P(-4, 3)和圆 22
24x y +=的位置关系是( )
A. P在圆内 B. P在圆外 C. P在圆上 D. 以上都不对
2. 如何判断直线与圆的位置关系?
例题 2:当 a(a >0)取何值时 , 直线 x+y-2a+1=0与圆 x 2+y2- 2ax+2y+a2-a+1=0 相切,相离,相交?
练习:圆 和 3x-4y=9的位置关系是( )
A . 相切 B. 相离 C. 直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心
3、直线与圆的交点弦长:
例题 3:已知圆的方程是 x 2+y2 =2,它截直线 y= x+1所得的弦长是 4、如何判断圆与圆的位置关系?
例题 4:圆 C 1: x2+y2- 6y=0和圆 C 2: x2+y2- 8x+12=0的位置关系如何?
2cos , 2sin x y θθ=??=?
5、求圆的方程的常用方法:
例 5:(1). 一个圆经过点 P ( 2,-1 ), 和直线 x- y =1相切,并且圆心在直线 y=- 2x 上,求这个圆的方程 .
(2). 已知两点 A ( 4 , 9 ) 和 B ( 6 , 3 )两点 , 求以 AB 为直径的圆的方程 .
练习: (1). 圆 C 的圆心为 ( 2 , -1 ) ,且截直线 y = x- 1 所得弦长为 22 , 求圆 C 的方程 .
6、求圆的切线的常见形式:
例 6: (1). 求过点 P( -3 , 2 ),与圆 x 2+y2=13相切的直线方程 .
(2). 求过点 P( -5 , 9 ),与圆 (x+1)2+ (y-2) 2=13相切的直线方程 .
(3). 设圆的方程 x 2+y2=13,它与斜率为 3
2 的直线 l 相切 , 求直线 l 的方程 .
7、求最值问题:已知实数 x , y 满足方程 x 2+y 2-4x +1=0.
(1) 求
x
y 的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最小值; (3)求 x 2+y2的最大值和最小值 .
范文三：圆的标准方程
《圆的标准方程》
教学设计
人教版高二上学期数学必修2
《圆的标准方程》教学设计
课标依据
本节是普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》第四章第一节的内容。本章将学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆、圆与圆的位置关系，体会数形结合的思想。圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及直线方程内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，它与直线的位置关系及应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定基础。可以说本节在教材中起到了承上启下的作用。
学情分析
学生在初中已经对圆的概念以及圆的性质有所了解，而在前一章直线的方程中又学习了建立平面直角坐标系求直线的方程，这为本节课的学习 做好的铺垫。但学生接触解析几何的时间不长，学习的程度较浅，故在学习本节内容也会遇到一定的困难。
设计思路
本节以生活中常见的实例—圆作为研究对象，因为已经有了前面直线的相关知识做铺垫，因此学生在探究过程中不会遇到太大的障碍，在合作探究的基础上基本能完成导学案。本节主要采取的是启发式教学和问题—探究式的教学方法。 教学目标
1、知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
（2）会用待定系数法求圆的标准方程。
2、过程与方法
（1）培养学生用坐标法研究几何问题的能力
（2）使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解。
3、情感态度与价值观目标
（1）培养学生主动探究知识、合作交流的意识；
（2）在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
教学重难点及突破方法
教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；
(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程。
突破方法：(1)通过设问，突破难点，并详细讲解；
(2)多多练习、讲解。
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。运用圆的
标准方程解决一些简单的实际问题。
突破方法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题。
教法学法
本节课主要采取启发式教学以及问题—探究式的教学方法。学生在高一的学习过程中已经具备一定的探究问题和解决问题的能力，通过不断地提问、启发、师生共同探讨，让学生积极主动地思考和解决问题，提高学生分析归纳总结的能力。
教具
多媒体、黑板、粉笔、尺规
课时安排
1课时
教学过程
一、 创设情境、导入新课
圆在我们的日常生活中几乎无处不在，那么同学们是否能举出几个生活中的圆的例子吗？
学生回答：车轮，圆形拱桥等等
教师回答：回答得非常好。那么这节课我们一起来学习圆的相关知识，教师在黑板上板书课题：圆的标准方程。
二、 探究新知、讲解新课
在上一章我们知道在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示。那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
初中我们学过的圆的定义：“平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”。
定点就是圆心，定长就是半径。圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。
那么下面我们就一起来探讨以A(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程。
让学生推导该圆的方程，教师引导。
首先我们建立一个直角坐标系，设M(x,y)为这个圆上任意一点，那
么点M满足的条件是
P={M||MA|=r}
由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件
?r ①
化简可得：
(x?a)2?(y?b)2?r2 ②
引导学生理解：若点M（x，y）在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适合方程②；反之，若点M（x，y）的坐标适合方程①，这说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A的圆上.方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
思考：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
教师引导学生观察方程，分析、归纳出方程的特征。
方程特征：（1）二元二次方程，x,y的系数均为1；
（2）含有a,b,r三个参数；
（3）已知方程可以找出圆心和半径。
采用设问的方式引导学生理解：当圆心在原点即A（0，0）时，方程为x2?y2?r2。
详细推导过程如下：
因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 代入圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2得：x2?y2?r2
三、 巩固新知、例题讲解
例1、求下列圆的圆心和半径：（学生观察，回答）
(1)(x?1)2+(y-1)2=1；
(2)x2+(y?5)2=8；
(3)(x?1)2+(y?3)2=m2
练习1、写出下列各圆的标准方程（学生提问演板）
（1）圆心在原点，半径是2；
（2）经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
（3）以O（0，0）,A(5,12)为直径的圆
探究深入
例2、写出圆心为A（2,3），半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,?7),M2(?5,?1)是否在圆上。
解：圆心是A（2,3），半径长等于5的圆的标准方程是(x?2)2?(y?3)2?25，把点M1(5,?7)的坐标代入方程(x?2)2?(y?3)2?25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M1在这个圆上；把点M2的坐标代入方程(x?2)2?(y?3)2?25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以点M2不在这个圆上。
思考：那么点M2在哪里？（提问学生）
思考:在初中平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？
在直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆C：?x?a???y?b??r2 如何判断点M在圆外、圆上、圆内？ 22
?x0?a?
上; 2??y0?b??r2时,点M在圆C外; ?x0?a???y0?b??r2时,点M在圆C222
?x0?a?2??y0?b??r2时,点M在圆C内.由此可知点M2在圆内
2
例3、三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆方程。
分析：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆。因此可以先设外接圆的标准方程为?x?a???y?b??r2，再分别将A，B，C三个点的坐标代入圆的方程可以解得a,b,r的值。
变式 已知圆心为C的圆经过点A(6, 0)和B(1, 5)，且圆心C在直线l上2x －22
7y +8=0，求圆心为C的圆的标准方程．
四、 当堂自测、讲练结合
1、圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为（ ）
A．x2?(y?4)2?25
C．(x?4)2?y2?25 B．x2?(y?4)2?25 D．(x?4)2?y2?25
2、已知圆的方程为(x?2)2?(y?3)2?4，则点P(3,2)（ ）
A．是圆心
C．在圆内 B．在圆上 D．在圆外
3、圆C:(x?2)2?(y?1)2?3的圆心坐标是（ ）
A．(2,1)
C．(?2,1) B．(2,?1) D．(?2,?1)
4、方程y?9?x2表示的曲线是（ ）
A．一条射线
C．两条射线 B．一个圆 D．半个圆
5、写出下列各圆的方程:
(1) 以A(2,5),B(0,-1)为直径的圆.
(2) 以A(-1,-3),B(5,5)为直径的圆.
五、本课小结
1．圆的方程的推导步骤。
2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径。
3．由不同的已知条件求解圆的标准方程。
4. 求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法。
5. 数型结合的数学思想
六、作业布置
步步高学案导学相关练习
七、板书设计
教学反思
本节课我认为达到了自己的预设效果，上课比较轻松，学生也很投入。学生通过独立思考，相互讨论，交流合作，大致能完成老师提出的问题，他们也体会到了思考带给他们的快乐，同时也品尝到了成功的喜悦。教学不仅应向学生传授知识，而更重要的在于让学生参与获得知识的活动。教师应使学生在解决问题的过程中积极思考，使其在动手、动口，动脑的过程中懂得如何学习数学，体会数学知识的来龙去脉，从而培养其主动获取数学知识的能力。而本节课我觉得自己完成了教学目标，也突破了教学重难点，达到预期效果。
范文四：圆的标准方程ZY
圆的标准方程
教学目标
1、正确掌握圆的定义、标准方程及其推导过程；
2、会根据已给圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程以及由标准方程求出圆心坐标、半径，由不同的已知条件求得圆的标准方程。
3、应用圆的标准方程解决简单的实际问题
重点难点
重点：圆的标准方程的求解及应用
难点：根据不同已知条件求圆的标准方程
教学方法
讲授法、练习法
教学过程
引入：之前我们已经学过直线方程的概念，直线斜率及直线方程的常见表达式，我们知道了关于x，y的二元一次方程都表示一条直线，那么曲线方程会有怎样的表达式呢？这节课让我们一起来学习最常见的曲线----圆的方程 新课：
圆的标准方程
同学们在初中就已经对圆有了初步的认识，请哪位同学回答一下什么是圆？（请12号同学回答）
那么，用规范化的数学语言描述就是：平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆。我们通常称定点为圆心，定长就是圆的半径。圆心和半径确定圆的位置和大小。
如果已知了圆心和半径这个圆就确定下来了，我们就能够用方程来刻画圆。 首先，建立直角坐标系，为了方便描述圆的方程我们将坐标原点放在圆心的位置，根据定义任取圆上一点（x,y）到原点的距离为定制设为r，由距离公式得 根号x^2+y^2=r 化简得：x^2+y^2=r^2
例题1：已知圆心在原点的圆，半径为3，求圆的方程。
如果圆的圆心不在原点，又该怎么求解圆的方程？
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为O(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设P(x,y)为这个圆上任意一点，那么点P满足的条件是M={P||PA|=r}, 由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件
根号（x-a）^2+(y-b)^2=r 两边平方得：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2
范文五：圆的标准方程
第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
一、教学目标
重点 : 圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握.
难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.
知识点:会求圆的标准方程 .
能力点:根据不同的已知条件求圆的标准方程 .
教育点:尝试用代数方法解决几何问题探究过程,体会数形结合、待定系数法的思想方法,增强学生 学习数学的兴趣,并激发学生学习数学的自信心 .
自主探究点:点与圆的位置关系的判断方法 .
考试点:会求圆的标准方程 .
易错易混点:不同的已知条件,如何恰当的求圆的标准方程 .
拓展点:如何根据不同的条件,灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程.
二、引入新课 圆在我们的生活中无处不在,日出东方,车行天下,这些都是圆的具体表现形式.那么车轮为何设 计为圆形,而不是其他的形状?
师生活动:若是方形,走起来颠簸,不舒服;不是圆形,转不起来 . 正是圆,可以让车轮上的每一点到 轴心的距离相等,才保证了轮子转起来而不颠簸 .
【 设计意图 】从身边的实例引入,激发学生学习兴趣,也为复习圆的定义做好铺垫 .
问题 1:什么是圆?
问题 2:在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,一点和倾斜角也可以确定一条直线,那么在什么条 件下可以确定一个圆?
【 设计意图 】使学生在已有知识的基础上,结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心(定位)和半 径(定形) .
问题 3:直线可以用一个方程表示,圆也可以用一个方程来表示吗?
【 设计意图 】使学生在已有知识和经验的基础上,探索新知,引出本课题.
三、探究新知
问题 4:已知圆的圆心坐标为 (, ) A a b ,半径为 r (其中 a 、 b 、 r
是常数, 0r ) ,如何确定圆的方程?
方程的一般步骤.
(1)建立适当的直角坐标系,用 (x , y ) 表示曲线上任意点 M (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)|};
(3)用坐标表示条件 P(M),列出方程 f (x , y )=0;
(4)化方程 f (x , y )=0为最简形式;
(5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程.
师生活动:师生共同完成圆的标准方程推导
(1)建系设点:由学生在黑板上板演,并问有无不同建立坐标系的方法.教师指出:这两种建立坐标 系的方法都对,原点在圆心这是特殊情况,现在仅就一般情况推导.因为 C 是定点,可设 (, ) C a b 、半 径 r ,且设圆上任一点 M 坐标为 (, ) x y .
(2)写点集:根据定义,圆就是集合 P={M||MC|=r}.
(3
r =.
(4)化简方程:将上式两边平方得:222) () (r b y a x =-+-.
方程 222() () x a y b r -+-=就是圆心是 (, ) C a b 、半径是 r 的圆的方程.我们把它叫做圆的标准 方程.
【 设计意图 】让学生掌握圆的标准方程的推导方法 , 有学生自己化简得出结论便于学生理解记忆. 四、理解新知
圆的标准方程:222) () (r b y a x =-+-,其中圆心为 (, ) A a b ,半径为 r .
特别地,当圆心为原点 O(0,0),圆的标准方程为 222
x y r +=
强调:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小, 从而确定了圆, 所以, 只要 , , a b r 三个量确定了且 0r >, 圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件.注意,确定 , , a b r ,可以根 据条件,利用待定系数法来解决.
【 设计意图 】便于学生理解掌握圆的标准方程,为准确地运用新知,作必要的铺垫.
基础检测:
1. 说出下列圆的方程:
(1) 圆心在原点 , 半径为 3
(2) 圆心在点 C (3, -4), 半径为 7
(3)经过点 P (5,1),圆心在点 C (8,-3)
2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径:
(1) (x + 7)2 + ( y - 4)2 = 36
(2) (x - a) 2 + y 2 = m2 (0≠m )
(3) x 2 + y 2 - 4x + 10y + 28 = 0
【 设计意图 】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标 , 半径长的关系. 五、运用新知
例 1 写出圆心为 ) 3, 2(-A , 半径长等于 5的圆的方程,并判断点 ) 1, (), 7, 5(21---M M 是否在这个圆 上.
分析:判断圆心是否在圆上,可以从计算点到圆心的距离入手.
解:圆心是 (2,3) A -,半径长等于 5的圆的标准方程是
22(2) (3) 25x y -++=
把点 1(5,7), M -的坐标代人方程 22(2) (3) 25x y -++=,左右两边相等,点 1(5,7) M -的坐标适合圆 的方程,所以点 1(5,7) M -
在这个圆上;把点 2(1) M -的坐标代人方程 22(2) (3) 25x y -++=,
左右两边不相等,点 2(1) M -
的坐标不适合圆的方程,所以点 2(1) M - 不在这个圆上.
【 设计意图 】 通过对圆的标准方程的直接应用, 培养学生分析问题、 解决问题的能力和良好的解题习惯. 探究:怎样判断点 ) , (00y x M 在圆 222) () (r b y a x =-+-上?圆内?还是圆外?
(1
r >?222() () x a y b r -+->?点在圆外
(2
r =?222() () x a y b r -+-=?点在圆上
(3
r
变式训练:
1. 点 ) 5, (m P 与圆 2522=+y x 的位置关系( )
A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆上或圆外
2. 求经过点 P(5, 1) ,圆心在点 C(8, -3) 的圆的标准方程.
3. 求圆心为 ) 1, 2(-且与直线 0543=+-y x 相切的圆的标准方程.
【 设计意图 】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程.
例 2 ABC ?的三个顶点的坐标是 ) 8, 2(), 3, 7(), 1, 5(--C B A ,求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角形有唯一的外接圆.从圆的标准方程 222) () (r b y a x =-+- 可知, 要确定圆的标准方程, 可用待定系数法确定 r b a , , 三个参数. 还可以先 求圆心(是线段 AB 和线段 BC 的中垂线的交点) ,然后求半径,代入圆的标准方程.
解法一:设所求圆的方程是 2
22) () (r b y a x =-+- (1)
因为 ) 8, 2(), 3, 7(), 1, 5(--C B A 都在圆上,所以它们的坐标都满足方程(1) .于是 ??
???=--+-=--+-=-+-222222222) 8() 2() 3() 7() 1() 5(r b a r b a r b a ?????=-==?532r b a 所以, ABC ?的外接圆的方程为 25) 3() 2(2
2=++-y x .
解法二:(师生共同完成)
因为 ) 3, 7(), 1, 5(-B A ,所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 ) 1, 6(-,直线 AB 的斜率 2-=AB k ,
因此线段 AB 的垂直平分线 1L 的方程是 ) 6(2
11-=+x y , 即 082=--y x ,
同理可得线段 BC 的垂直平分线 2L 的方程是 01=++y x
圆心 M 的坐标是方程组 ?
??=++=--01082y x y x
的解. 解此方程组,得 ???-==3
2y x ,
所以圆心 M 的坐标是 ) 3, 2(-.
圆心 M 的圆的半径长 5) 31() 25(||22=++-==AM r .
所以, ABC ?的外接圆的方程为 25) 3() 2(22=++-y x .
总结归纳:(教师启发,学生自己比较、归纳)比较例 2得出 ABC ?外接圆的标准方程的两种求法: 方法一:代数法—待定系数法;
方法二:几何法—数形结合.
【 设计意图 】结合例 2的理解,学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法,并比较两 种方法的优劣.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过点 ) 2, 2() 1, 1(-B A 和 , 且圆心 C 在直线上 01:=+-y x l , 求圆心为 C 的圆 的标准方程.
解法一:因为 (1,1)A , (2,2) B -,所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 31, 22??- ??
?,直线 AB 的斜率 21321AB k --==--. 因此线段 AB 的垂直平分线 m 的方程是 113232y x ??+=- ???
即 330x y --=. 圆心 C 的坐标是方程组 33010
x y x y --=??-+=?的解.
解此方程组,得 32x y =-??=-?
,所以圆心 C 的坐标是 ()3, 2-- 圆心为 C 的圆的半径长 5r AC ===.
所以圆心为 C 的圆的标准方程是 22(3) (2) 25x y +++=.
L
解法二:设所求圆的方程为 222() () x a y b r -+-=.
由题意得 222222(1) (1) (2) (2) 10a b r a b r a b ?-+-=?-+--=??-+=?
, 解得 23225a b r =-??=-??=?
所以所求圆的方程是 22(3) (2) 25x y +++=.
【 设计意图 】结合对例 2的理解,找两位同学分别用两种不同的方法到黑板上解该题,让学生体会根据 不同的条件,灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程,并比较两种方法的优劣,同时学生爬黑板 板书解题过程,以规范学生的解题步骤.
六、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答:
1.知识:(1)圆的标准方程的结构特点.
(2)点与圆的位置关系的判定 .
(3) 求圆的标准方程的方法:
①待定系数法;②几何法 .
2.思想:数形结合的思想.
教师总结 : 圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识,提醒学生 : 在学习新知时,也要经常复习 前面学过的内容 , “温故而知新” . 在应用中增强对知识的理解, 及时查缺补漏 , 从而更好地运用知识 , 解题 要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用.
【 设计意图 】加强对学生学习方法的指导.
七、布置作业
1. 阅读教材 P118-120;
2.书面作业
必做题: P124 习题 4.1 A 组 2, 3
选做题: P124 习题 4.1 B组 3
【 设计意图 】设计书面作业必做题,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯 . 书面作业的 布置,是为了让学生能够根据不同的条件,灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程;选做题是鼓励 学有余力的同学进一步加深本节内容的理解和探索圆的第二定义.
八、教后反思
1. 本教案的亮点是圆的标准方程的推导以,都是在学生已有的知识基础上得到,不是生硬的抛出,而是 水到渠成.例 2例 3采用一题多解,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精 神, 并且使学生的有效思维量加大, 随时对所学知识和方法产生有意注意, 能力与知识的形成相伴而行, 这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成 .
2. 由于各校的情况不同,建议教师在使用本教案时灵活掌握,但必须在公式的推导过程上下足功夫.
3. 本节课的弱项是课容量大,时间所限,在课堂上没有充分暴露学生的思维过程,感觉一节课下来比较 紧,学生理解不透彻.
九、板书设计
