范文一:例1一项工程,甲队单独做完要12天,乙队单独做完要10天
例1 一项工程,甲队单独做完要12天,乙队单独做完要10天,两队合做多少天就可以完成?
【分析1】把这项工程看作整体“1”,甲每天完成工程的
甲乙合做每天完成工程的11,乙队每天完成工程的,12101111,工程“1”里包含几个,就是两队合做完成这个工程的天数. 6060
【解法1】两队合做1天完成的工程?
1111+= 121060
两队合做多少天完成这项工程?
1÷115=5(天) 6011
11+) 1210 综合算式: 1÷(
=1÷115=5(天). 6011
【分析2】用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是60,所以可假设这项工程为60.那么甲队工作效率为60÷12=5,乙队工作效率为60÷10=6,甲乙合做效率为5+6=11.用总工作量60除以甲乙效率和11,即得两队合做完成这个工程的天数.
【解法2】假设这项工程总工作量为60.
60÷(60÷12+60÷10)
=60÷(5+6)=60÷11=55(天). 11
【分析3
】由题意可知,甲队每天的工作量,乙队
天就可完成,即天.两队合做1天的工作量由乙队独做需要
1+天,
即天.所以乙队10天完成的这项工程,两队合做要用10÷
=(天)完成.
【解法3】 10÷(1+10÷12)
=10÷(
1+)=10÷=(天).
【分析4】甲队12天的工作量,乙队10天即可完成,所以乙队1天的工作量,甲队要用
天完时,即天。那么甲乙两队合做1天的工作量,甲队要用1+=(天).所以乙队10天完成的这项工程,两队合做要用12÷ 【解法4】 12÷(1+12÷10) =(天).
=12÷(
1+)
=12÷=(天).
答:两队合做天就可以完成.
【评注】解法1是工程应用题的一般解法,易于理解.是较好的解法。解法2是利用求公倍数法解工程应用题,这种解法其实是假设解法,读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.
例2 一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出,经过9小时相遇,相遇后两车都继续以原速前进。已知货车又行了6小时到达乙站,问客车行完全程需要几小时?
(湖南省长沙市东区)
【分析1】把甲乙两站全程看作标准“1”.两车同行1
小时行完全程的,货车1小时可行
全程的
,即.那么客车1
小时可行全程的-=.全程“1
”里包含着多少个,就是客车行全程需要多少小时.
【解法1】 1
÷(-)
=1
÷
=(小时).
【分析2】货车行全程需9+6=15(小时),9和15的最小公倍数是45,所以两站全程可假设为45,那么两车同时行1小时可行45÷9=5,货车1小时可行45÷15=3,所以客车每小时可行5-3=2.甲乙两站全程45内包含多少个2,就是客车行全程需要多少小时.
【解法2】假设甲乙两站全程为45.
45÷[45÷9-45÷(9+6)]
=45÷[45÷9-45÷15]
=45÷
[5-3]=(小时).
【分析3】两车9小时行完的路程,货车要用9+6=15(小时)行完.而客车9小时行完的路程,货车只需6小时行完.那么货车1小时行完的路程,客车需要9÷6=1.5(小时).所以货车15小时的行程,客车需要1.5×15=22.5(小时).
【解法3】 9÷6×(9+6)
=9÷6×15=1.5×15=22.5(小时).
【分析4】两车同时行全程需9小时,货车行全程需要9+6=15(小时),那么客车行9小
时恰好行完全程的
间. ×6=
,所以客车每小时行全程的÷9=.由此可求客车行全程的时
【解法4】 1
÷(×6÷9)
=1
÷(÷9)
=1
÷
=(小时).
【分析5】把客车行完全程需要的时间看作“1”.货车行全程需9+6=15(小时),而货车6小时的行程和客车9小时的行程恰好相同,由此可求出客车9
小时行全程的
时的对应分率,由此可求客车行全程的时间. ×6=,即9小
【解法5】 9
÷(×6)
=9
÷(×6)=9÷=(小时).
答:客车行完全程需要小时.
【评注】比较以上五种解法,解法1是工程应用题的一般解法,思路简明清晰,易于理解和掌握;解法5是运用分数除法应用题的解法,更有益于理解工程应用题,且运算简便,这两种解法是本题的较好解法.
例3 一件工作,甲乙合做8天可以完成,甲独做12天可以完成.现在甲乙合做若干天后,余下的由乙继续做3天才完成.乙一共做了多少天?
(河南省南阳地区)
【分析1】
乙每天完成这件工作的,那么乙3
天完成了这件工作的,再求出甲乙合做的工作量
1-=,
里包含多少个,就是甲乙合做了几天,即乙先做了几天.再加上余下3天即得乙共做多少天.
【解法1】 [1-
()×3]÷+3
=[1-×3]÷+3
=[1-]÷+3
=÷+3=10(天)。
【分析2】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一等量关系列方程,先求乙先做了几天,再加上3天即得乙共做了多少天.
【解法2】设甲乙合做了x天.
+=1
=1-
x=7
7+3=10
【分析3】假设总工作量为24,那么甲乙效率和是24÷8=3,甲的效率是24÷12=2,所以乙的效率是3-2=1,它3天完成了1×3=3.因此,甲乙合做(24-3)÷3=7(天),即乙先做了7天,再加上3天即得乙共做的天数.
【解法3】假设工作总量为24.
[24-(24÷8-24÷12)×3]÷(24÷8)+3
=[24-(3-2)×3)÷3+3
=[24-3]÷3+3
=21÷3+3=10(天).
【分析4】假设甲乙合做了5天,那么比实际少完成1-×5-
(-)×
3=,
甲乙继续合做还要用÷=2(天).所以乙共做了5+2+3=10天.
【解法4】假设甲乙合做了5天.
[1-×5-
(-)×3]
÷+5+3
=[1-×
5-×3]÷+5+3
=÷+5+3=10(天).
答:乙一共做了10天.
【评注】解法1和解法2是较好的解法.解法1是工程应用题的一般解法,虽思路较繁,但容易想到.
例4 如图是表示甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需天数的条形图.请计算:甲、乙两队合做4天后,剩下的工程由丙队做,丙队还要做几天才能完成任务?
(广东省深圳市)
【分析1】先求出甲、乙两队合做 4天完成了工程的几分之几,再求剩下的工程,
再除以丙队每天的工作量,即得丙队还要做的天数.
【解法1】甲、乙合做4天完成的工程?
剩下的工程有多少?
1-=
丙队还要几天完成?
(天)
综合算式:
[1-]÷
=[1-÷4]÷
=[1-]÷
=(天).
【分析2】先求出甲、乙合做4天的工作量由丙队独做需要几天,再用丙独做全工程用的15天减去这个天数,即得丙队还要做的天数.
【解法2】甲、乙合做4天完成多少?
=
甲、乙合做的工程由丙独做需几天?
÷=11(天)
剩下的工程丙队还要几天完成?
15-11=4(天)
综合算式: 15-÷
=15-×4÷
=15-÷
=15-11=4(天).
【分析3】把丙队独做全工程需用天数看作“1”.先求出甲、乙合做后剩下的工程,即丙队还要做天数的对应分率,最后求出剩下工程丙队还需几天完.
【解法3】甲、乙合做了工程的几分之几?
还剩下全工程的几分之几?
1-=
丙队完成剩下的工程还需几天?
15×=4(天)
综合算式: 15×
[1-]
=15×[1-]
=15×=4(天).
【分析4】根据“剩下工程=总工程-甲乙合做的工程”这一等量关系,列方程解.
【解法4】设丙队还要x天完成.
=1-
=1-
x=
x=4 ÷
答:丙队还要做4天才能完成任务.
【评注】比较以上四种解法,解法1和解法3是较好的解法.解法1是解工程应用题的一般方法,容易理解.解法3是运用分数乘法应用题的解法,比解法1的思路更直接.另外,本题还可用最小公倍法和正比例来解,读者可试解一下.
例5 一项工程,甲、乙两队合做20天完成.已知甲、乙两队工作效率的比是4∶5.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天?
(福建省福州市)
【分析1
】甲乙两队的工作效率和是,又知甲乙工作效率的比是4∶5,由此运用按比例分配的方法,分别求出甲、乙两队的工作效率.再用总工作量“1”分别除以甲乙的独做效率,即得甲乙独做全工程的天数.
【解法1】甲队每天完成多少工程?
乙队每天完成多少工程?
甲队独做全工程需几天?
1
÷=45(天)
乙队独做全工程需几天?
1
÷=36(天)
综合算式:甲队:1÷()=1
÷=45(天)
乙队:1
÷()=1÷=36(天).
【分析2】因为“工作量÷工作效率=工作时间”,工作时间一定,所以工作量和工作效率成正比例.即甲乙两队工作量的比是4∶5,所以甲20
天完成了全工程的,乙队20
天完成了全工程的.由此可分别求出甲、乙独做全工程各需多少天.
【解法2】甲队独做全工程需要多少天?
20÷=20×=45(天)
乙队独做全工程需要多少天?
20÷=20×=36(天)
【分析3】由分析2可知,甲乙完成工作量的比是4∶5.因为他们的工作效率一定,所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式,求出两队的独做时间.
【解法3】设甲队独做需x天完.
20∶4=x∶(4+5)
4x=20×9
x=20×9÷4
x=45
设乙队独做全工程需要y天.
20∶5=y∶(4+5)
5y=20×9
y=20×9÷5
y=36
答:略.
【评注】解法1是解工程应用题的一般方法,易于理解,但思路较曲折.解法2是运用分数除法应用题的方法来解的,思路简单明白,运算也较简便,是本题的较好解法.解法3虽与解法2的思路、方法都不同,但两者的数量关系是相同的.
例6 修一段公路,甲队单独修需要16小时完工.甲乙两队合修4小时后,剩下的
由乙队又用小时修完.这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工?
(黑龙江省哈尔滨市南岗区)
【分析1】乙队先后共修了4+=小时.先求乙队共修了这段路的几分之几,再求乙队的工作效率,最后看这段公路“1”里包含几个乙队的工作效率,即乙队独修需几小时.
【解法1】乙队共修了全长的几分之几?
1-×4=
乙队先后共修了几小时?
4+=(小时)
乙队每小时修全长的几分之几?
乙队独修全长需几小时?
1
÷=14(小时)
综合算式: 1÷[(1-×4)÷(
4+)]
=1÷[(1-
)÷]
=1÷
[]
=1
÷=14(小时).
【分析2】把乙队独修全长需要的时间看作“1”.由分析1可知,
乙队先后共修了
小时,修了全长的,根据分数除法的意义求出乙队独修全长需要几小时.
【解法2】 (4+)÷(1-×4)
=÷=14(小时).
【分析3】根据“甲队修路+乙队修路=全路长”这一等量关系列方程解.
【解法3】设乙队独修需x小时完.
×4+×(4+)=1
×=1-
x=1
÷
x=14
答:这段公路由乙队独修需14小时完工.
【评注】比较以上三种解法,解法2的思路最简捷,运算最简便,是本题的最佳解法.
例7 一项工程甲队单独做要15天才能完成,乙队单独做12天才能完成,如果甲队先做3天后,剩余的工作两队同时去做,还要多少天可以完成?
(四川省成都市)
【分析1】先求出甲队先完成了工程的几分之几,那么即可求出剩下的工程,再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和,即得甲、乙队合做还要多少天完.
【解法1】甲队先做了多少?
×3=
剩余的工作有多少?
1-=
两队合做还要多少天完?
÷()
=(天)
综合算式: (1-×3
)÷()
=(1-
)÷
=÷=(天).
【分析2】把两队合做全工程的时间看作“1”.先求出两队做全工程需要多少天,再求剩余的工程是全工程的几分之几,最后求出两队还要多少天完成.
【解法2】甲乙合做全工程需要几天?
1
÷()=(天)
两队要合做全工程的几分之几?
1-×3=
两队还要多少天可以完成?
×=(天)
综合算式: 1
÷()×(1-×3)
=1
÷×
=×=(天).
【分析3】根据“甲队先做的工作量+两队合做的工作量=工作总量”列方程解.
【解法3】设两队还要x天完成.
×3+()x=1
x=(1-
)÷
x=
【分析4】剩余的工作由甲独做要用15-3=12(天).把剩余的工作看作定量,那么所需的时间和工作效率成反比例.由此列方程解.
【解法4】设两队合做还要x天完.
×(15-3)=
()x
×12=x
x=
x=
答:剩余的工作两队还要天可以完成.
【评注】以上四种解法各有特点.解法1是一般解法,最容易想到,运算较简便,是较好的解法.解法2是分数应用题的解法,思路更直接.解法3和解法4都是方程解法,但等量关系不同.读者可灵活选用.
例8 仓库有45吨化肥,甲汽车单独运10小时完成,乙汽车单独运15小时完成.用甲乙两辆汽车同时运,多少小时可以运完?
(江苏省江都县)
【分析1】先求两车每小时各运多少吨,再求两车每小时共运多少吨,最后用总吨数除以两车每小时运的,即得两车同运所需时间.
【解法1】甲车每小时运多少吨?
45÷10=4.5(吨)
乙车每小时运多少吨?
45÷15=3(吨)
两车每小时运多少吨?
4.5+3=7.5(吨)
两车同时运需几小时运完?
45÷7.5=6(小时)
综合算式: 45+(45÷10+45÷15)
=45÷(4.5+3)
=45÷7.5=6(小时)。
【分析 2】先求出两车每小时共运总吨数的几分之.几?再求两车每小时共运多少吨,再看总吨数里包含几个这样的吨数,就是两队合运需几小时.
【解法2】两车每小时运货的几分之几?
两车每小时运货多少吨?
45×=7.5(吨)
两车合运几小时完成?
45÷7.5=6(小时)
综合算式: 45÷[45×()]
=45÷[45÷]
=45÷7.5=6(小时).
【分析3
】甲车每小时运化肥的
,乙车每小时运化肥的,两车每小时运化肥的(
时完成. )=.把化肥总吨数看作“1”,“1
”里包含几个,就是两车同运几小
【解法3】1
÷()=1÷=6(小时).
【分析4】根据“甲车运肥+乙车运肥=化肥总量”这一等量关系列方程解.
【解法4】设两车同运x小时完.
x+x=1
()x=1
x=1
÷
x=6
或
()x=1
x=1
÷(
x=6 )
答:两车同时运6小时可以完成.
【评注】比较以上四种解法,解法3的思路最简捷,运算最简便,是本题的最佳解法.
例9 甲乙两地相距630千米,客车和货车同时从两地出发,相向而行.客车行完全程需14小时,货车行完全程需21小时.两车相遇时各行了多少千米?
(上海市徐汇区)
【分析1】先求客车和货车的速度各多少,再求两车的相遇时间,最后用两车的速度分别乘以相遇时间,即得每车各行多少千米.
【解法1】客车每小时行多少千米?
630÷14=45(千米)
货车每小时行多少千米?
630÷21=30(千米)
两车几小时相遇?
630÷(45+30)=(小时)
相遇时客车行多少千米?
45×=378(千米)
相遇时货车行多少千米?
30×=252(千米)
综合算式:
客车: 630÷14×[630÷(630÷14+630÷21)]
=45×[630÷(45+30)]
=45×=378(千米)
货车: 630-378=252(千米)
【分析2】先求出甲车的速度,再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间,然后用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米.最后再求货车的行程.
【解法2】客车每小时行多少千米?
630÷14=45(千米)
两车几小时相遇?
1÷
()=(小时)
客车行了多少千米?
45×=378(千米)
货车行多少千米?
630-378=252(千米)
综合算式:
客车:(630÷14)×[1÷()]
=45×[1÷]=45×=378(千米)
货车:630-378=252(千米)
【分析3】 因为“路程÷速度=时间”,时间一定,所以客车和货车的路程比等于
速度比即
∶=3∶2.由此可运用按比例分配的方法分别求出两车各行了多少千米.
【解法3】客车与货车所行路程的比?
∶=3∶2
客车行了多少千米?
630×=378(千米)
货车行了多少千米?
630×=252(千米)
综合算式:客车:630×=378(千米)
货车:630×
答:略. =252(千米).
【评注】比较以上三种解法,解法1最繁,但其思维难度小,也最容易想到.解法3的思路简单明白,运算最简便,是本题最佳解法.如果由分析3继续分析,运用分数应用题解法也可求出两车各行多少千米.
例10 一项工程,甲单独做40天完成,乙单独做30天完成,二人合做若干天后,甲临时调走,乙继续完成这项工程,一共用27天.求乙单独工作了多少天?
(黑龙江省哈尔滨市)
【分析1】把全工程看作“1”.先求出乙共完成的工程,再求出甲完成的工程,然后再除以甲的工作效率即得甲做了几天,即甲乙合做的天数.最后用27天减去甲乙合做的天数,即得乙单独做了多少天.
【解法1】 乙共完成工程的几分之几?
×27=
甲完成了工程的几分之几?
1-=
甲乙合做了多少天?
÷=4(天)
乙单独做了多少天?
27-4=23(天)
综合算式: 27-(
1-×27)÷
=27-÷
=27-4=23(天).
【分析2】假设甲没有被调走,那么甲乙合做27
天要超过全工程的()×27-1=.
这部分工程就是甲留下完成的,因此求出甲完成工程的需要几天,就是乙单独又做了几天.
【解法2】甲乙的效率和是多少?
=
甲乙合做27天完成工程的几分之几?
×27=
超过全工程的几分之几?
-1=
乙单独工作了多少天?
÷=23(天)
综合算式: [
()×27-1]÷
=[×27-1]
÷
=[-1]
÷
=÷=23(天).
【分析3】 根据“甲乙合做的工作量+乙单独做的工作量=总工作量”列方程解.
【解法 3】设乙单独工作了x天.
()×(27-x)
+x=1
×
27-x+x=1
( x=23 -)
x=×27-1
【分析4】 甲乙合做全工程需要1
÷()=(天),那么实际多用27-
=(天).
这是因为甲应完成的工作由乙天完成,由此可求若甲不调走,
甲还应做
(天),所以乙独做的时间为+=23(天).
【解法4】 甲乙合做全工程需几天?
1
÷()=(天)
全工程延长了几天?
27-=(天)
乙天的工作量甲需几天完?
乙单独做了几天? (天)
+=23(天).
【分析5】假设乙独做27
天完成全工程,那么比它实际每天多做全工程的
.这是因为把甲完成的工作量平均分了27等份,每份恰是.因此把
每份工作量乘以27即得甲完成的工作量,
再除以甲的工作效率
由此可求乙独做了多少天. ,即得甲乙合做天数,
【解法5】 27-
()×27÷
=27-×27×40
=27-4=23(天).
答:乙单独工作了23天.
【评注】比较以上五种解法,解法1、解法2、解法5各有特点,是本题的较好解法.读者可根据实际情况,选择合适的方法.
范文二:例1 一项工程,甲队单独做完要12天,乙队单独做完要10 …
例1 一项工程,甲队单独做完要12天,乙队单独做完要10天,两队合做多少天就可以完成,
11 【分析1】把这项工程看作整体“1”,甲每天完成工程的,乙队每天完成工程的,1210
1111,工程“1”里包含几个,就是两队合做完成这个工程的天数. 甲乙合做每天完成工程的6060
【解法1】两队合做1天完成的工程,
1111 ,= 601012
两队合做多少天完成这项工程,
115 1?=(天) 56011
11 综合算式: 1?(+) 1210
115 =1?=(天). 56011
【分析2】用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是60,所以可假设这项工程为60.那么甲队工作效率为60?12=5,乙队工作效率为60?10=6,甲乙合做效率为5+6=11.用总工作量60除以甲乙效率和11,即得两队合做完成这个工程的天数.
【解法2】假设这项工程总工作量为60.
60?(60?12+60?10)
5 =60?(5+6)=60?11=(天). 511
【分析3】由题意可知,甲队每天的工作量,乙队天就可完成,即天.两队合做1天的
天,即天.所以乙队10天完成的这项工程,两队合做要用10?工作量由乙队独做需要1+
=(天)完成.
【解法3】 10?(1+10?12)
=10?(1+)=10?=(天).
【分析4】甲队12天的工作量,乙队10天即可完成,所以乙队1天的工作量,甲队要用天完时,即天。那么甲乙两队合做1天的工作量,甲队要用1+=(天).所以乙队10天完成的这项工程,两队合做要用12?=(天).
【解法4】 12?(1+12?10)
=12?(1+)
=12?=(天).
答:两队合做天就可以完成.
【评注】解法1是工程应用题的一般解法,易于理解.是较好的解法。解法2是利用求公倍数法解工程应用题,这种解法其实是假设解法,读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.
例2 一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出,经过9小时相遇,相遇后两车都继续以原速前进。已知货车又行了6小时到达乙站,问客车行完全程需要几小时,
(湖南省长沙市东区)
【分析1】把甲乙两站全程看作标准“1”.两车同行1小时行完全程的,货车1小时可行全程的,即.那么客车1小时可行全程的-=.全程“1”里包含着多少个,就是客车行全程需要多少小时.
【解法1】 1?(-)
=1?=(小时).
【分析2】货车行全程需9+6=15(小时),9和15的最小公倍数是45,所以两站全程可假设为45,那么两车同时行1小时可行45?9=5,货车1小时可行45?15=3,所以客车每小时可行5-3=2.甲乙两站全程45内包含多少个2,就是客车行全程需要多少小时.
【解法2】假设甲乙两站全程为45.
45?[45?9-45?(9+6)]
=45?[45?9-45?15]
=45?[5-3]=(小时).
【分析3】两车9小时行完的路程,货车要用9+6=15(小时)行完.而客车9小时行完的路程,货车只需6小时行完.那么货车1小时行完的路程,客车需要9?6=1.5(小时).所以货车15小时的行程,客车需要1.5×15=22.5(小时).
【解法3】 9?6×(9+6)
=9?6×15=1.5×15=22.5(小时).
【分析4】两车同时行全程需9小时,货车行全程需要9+6=15(小时),那么客车行9小时恰好行完全程的×6=,所以客车每小时行全程的?9=.由此可求客车行全程的时间.
【解法4】 1?(×6?9)
=1?(?9)
=1?=(小时).
【分析5】把客车行完全程需要的时间看作“1”.货车行全程需9+6=15(小时),而货车6小时的行程和客车9小时的行程恰好相同,由此可求出客车9小时行全程的×6=,即9小时的对应分率,由此可求客车行全程的时间.
【解法5】 9?(×6)
=9?(×6)=9?=(小时).
答:客车行完全程需要小时.
【评注】比较以上五种解法,解法1是工程应用题的一般解法,思路简明清晰,易于理解和掌握;解法5是运用分数除法应用题的解法,更有益于理解工程应用题,且运算简便,这两种解法是本题的较好解法.
例3 一件工作,甲乙合做8天可以完成,甲独做12天可以完成.现在甲乙合做若干天后,余下的由乙继续做3天才完成.乙一共做了多少天,
(河南省南阳地区)
【分析1】乙每天完成这件工作的,那么乙3天完成了这件工作的,再求出甲乙合做的工作量1-=,里包含多少个,就是甲乙合做了几天,即乙先做了几天.再加上余下3天即得乙共做多少天.
【解法1】 [1-()×3]?+3
=[1-×3]?+3
=[1-]?+3
=?+3=10(天)。
【分析2】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一
等量关系列方程,先求乙先做了几天,再加上3天即得乙共做了多少天.
【解法2】设甲乙合做了x天.
+=1
=1-
x=7
7+3=10
【分析3】假设总工作量为24,那么甲乙效率和是24?8=3,甲的效率是24?12=2,
所以乙的效率是3-2=1,它3天完成了1×3=3.因此,甲乙合做(24-3)?3=7(天),
即乙先做了7天,再加上3天即得乙共做的天数.
【解法3】假设工作总量为24.
[24-(24?8-24?12)×3]?(24?8)+3
=[24-(3-2)×3)?3+3
=[24-3]?3+3
=21?3+3=10(天).
【分析4】假设甲乙合做了5天,那么比实际少完成1-×5-(-)×3=,甲乙继续合做还要用?=2(天).所以乙共做了5+2+3=10天.
【解法4】假设甲乙合做了5天.
[1-×5-(-)×3]?+5+3
=[1-×5-×3]?+5+3
=?+5+3=10(天).
答:乙一共做了10天.
【评注】解法1和解法2是较好的解法.解法1是工程应用题的一般解法,虽思路较繁,但容易想到.
例4 如图是表示甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需天数的条形图.请计算:甲、乙两队合做4天后,剩下的工程由丙队做,丙队还要做几天才能完成任务,
(广东省深圳市)
【分析1】先求出甲、乙两队合做 4天完成了工程的几分之几,再求剩下的工程,再除以丙队每天的工作量,即得丙队还要做的天数.
【解法1】甲、乙合做4天完成的工程,
剩下的工程有多少,
1-=
丙队还要几天完成,
(天)
综合算式: [1-]?
=[1-?4]?
=[1-]?
=(天).
【分析2】先求出甲、乙合做4天的工作量由丙队独做需要几天,再用丙独做全工
程用的15天减去这个天数,即得丙队还要做的天数.
【解法2】甲、乙合做4天完成多少,
=
甲、乙合做的工程由丙独做需几天,
?=11(天)
剩下的工程丙队还要几天完成,
15-11=4(天)
综合算式: 15-?
=15-×4?
=15-?
=15-11=4(天).
【分析3】把丙队独做全工程需用天数看作“1”.先求出甲、乙合做后剩下的工程,
即丙队还要做天数的对应分率,最后求出剩下工程丙队还需几天完.
【解法3】甲、乙合做了工程的几分之几,
还剩下全工程的几分之几,
1-=
丙队完成剩下的工程还需几天,
15×=4(天)
综合算式: 15×[1-]
=15×[1-]
=15×=4(天).
【分析4】根据“剩下工程=总工程-甲乙合做的工程”这一等量关系,列方程解.
【解法4】设丙队还要x天完成.
=1-
=1-
x=?
x=4
答:丙队还要做4天才能完成任务.
【评注】比较以上四种解法,解法1和解法3是较好的解法.解法1是解工程应用题的一般方法,容易理解.解法3是运用分数乘法应用题的解法,比解法1的思路更直接.另外,本题还可用最小公倍法和正比例来解,读者可试解一下.
例5 一项工程,甲、乙两队合做20天完成.已知甲、乙两队工作效率的比是4?5.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天,
(福建省福州市)
【分析1】甲乙两队的工作效率和是,又知甲乙工作效率的比是4?5,由此运用按比例分配的方法,分别求出甲、乙两队的工作效率.再用总工作量“1”分别除以甲乙的独做效率,即得甲乙独做全工程的天数.
【解法1】甲队每天完成多少工程,
乙队每天完成多少工程,
甲队独做全工程需几天,
1?=45(天)
乙队独做全工程需几天,
1?=36(天)
综合算式:甲队:1?()=1?=45(天)
乙队:1?()=1?=36(天).
【分析2】因为“工作量?工作效率=工作时间”,工作时间一定,所以工作量和工作效率成正比例.即甲乙两队工作量的比是4?5,所以甲20天完成了全工程的,乙队20天完成了全工程的.由此可分别求出甲、乙独做全工程各需多少天.
【解法2】甲队独做全工程需要多少天,
20?=20×=45(天)
乙队独做全工程需要多少天,
20?=20×=36(天)
【分析3】由分析2可知,甲乙完成工作量的比是4?5.因为他们的工作效率一定,所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式,求出两队的独做时间.
【解法3】设甲队独做需x天完.
20?4=x?(4+5)
4x=20×9
x=20×9?4
x=45
设乙队独做全工程需要y天.
20?5=y?(4+5)
5y=20×9
y=20×9?5
y=36
答:略.
【评注】解法1是解工程应用题的一般方法,易于理解,但思路较曲折.解法2是运用分数除法应用题的方法来解的,思路简单明白,运算也较简便,是本题的较好解法.解法3虽与解法2的思路、方法都不同,但两者的数量关系是相同的.
例6 修一段公路,甲队单独修需要16小时完工.甲乙两队合修4小时后,剩下的由乙队又用小时修完.这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工,
(黑龙江省哈尔滨市南岗区)
【分析1】乙队先后共修了4+=小时.先求乙队共修了这段路的几分之几,再求乙队的工作效率,最后看这段公路“1”里包含几个乙队的工作效率,即乙队独修需几小时.
【解法1】乙队共修了全长的几分之几,
1-×4=
乙队先后共修了几小时,
4+=(小时)
乙队每小时修全长的几分之几,
乙队独修全长需几小时,
1?=14(小时)
综合算式: 1?[(1-×4)?(4+)]
=1?[(1-)?]
=1?[]
=1?=14(小时).
【分析2】把乙队独修全长需要的时间看作“1”.由分析1可知,乙队先后共修了
小时,修了全长的,根据分数除法的意义求出乙队独修全长需要几小时.
【解法2】 (4+)?(1-×4)
=?=14(小时).
【分析3】根据“甲队修路+乙队修路=全路长”这一等量关系列方程解.
【解法3】设乙队独修需x小时完.
×4+×(4+)=1
×=1-
x=1?
x=14
答:这段公路由乙队独修需14小时完工.
【评注】比较以上三种解法,解法2的思路最简捷,运算最简便,是本题的最佳解法.
例7 一项工程甲队单独做要15天才能完成,乙队单独做12天才能完成,如果甲队先做3天后,剩余的工作两队同时去做,还要多少天可以完成,
(四川省成都市)
【分析1】先求出甲队先完成了工程的几分之几,那么即可求出剩下的工程,再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和,即得甲、乙队合做还要多少天完.
【解法1】甲队先做了多少,
×3=
剩余的工作有多少,
= 1-
两队合做还要多少天完,
?()=(天)
综合算式: (1-×3)?()
=(1-)?
=?=(天).
【分析2】把两队合做全工程的时间看作“1”.先求出两队做全工程需要多少天,
再求剩余的工程是全工程的几分之几,最后求出两队还要多少天完成.
【解法2】甲乙合做全工程需要几天,
1?()=(天)
两队要合做全工程的几分之几,
1-×3=
两队还要多少天可以完成,
×=(天)
综合算式: 1?()×(1-×3)
=1?×
=×=(天).
【分析3】根据“甲队先做的工作量+两队合做的工作量=工作总量”列方程解.
【解法3】设两队还要x天完成.
×3+()x=1
x=(1-)?
x=
【分析4】剩余的工作由甲独做要用15-3=12(天).把剩余的工作看作定量,那么
所需的时间和工作效率成反比例.由此列方程解.
【解法4】设两队合做还要x天完.
×(15-3)=()x
×12=x
x=
x=
答:剩余的工作两队还要天可以完成.
【评注】以上四种解法各有特点.解法1是一般解法,最容易想到,运算较简便,是较好的解法.解法2是分数应用题的解法,思路更直接.解法3和解法4都是方程解法,但等量关系不同.读者可灵活选用.
例8 仓库有45吨化肥,甲汽车单独运10小时完成,乙汽车单独运15小时完成.用甲乙两辆汽车同时运,多少小时可以运完,
(江苏省江都县)
【分析1】先求两车每小时各运多少吨,再求两车每小时共运多少吨,最后用总吨数除以两车每小时运的,即得两车同运所需时间.
【解法1】甲车每小时运多少吨,
45?10=4.5(吨)
乙车每小时运多少吨,
45?15=3(吨)
两车每小时运多少吨,
4.5+3=7.5(吨)
两车同时运需几小时运完,
45?7.5=6(小时)
综合算式: 45+(45?10+45?15)
=45?(4.5+3)
=45?7.5=6(小时)。
【分析 2】先求出两车每小时共运总吨数的几分之.几,再求两车每小时共运多少吨,再看总吨数里包含几个这样的吨数,就是两队合运需几小时.
【解法2】两车每小时运货的几分之几,
两车每小时运货多少吨,
45×=7.5(吨)
两车合运几小时完成,
45?7.5=6(小时)
综合算式: 45?[45×()]
=45?[45?]
=45?7.5=6(小时).
【分析3】甲车每小时运化肥的,乙车每小时运化肥的,两车每小时运化肥的()=.把化肥总吨数看作“1”,“1”里包含几个,就是两车同运几小时完成.
【解法3】1?()=1?=6(小时).
【分析4】根据“甲车运肥+乙车运肥=化肥总量”这一等量关系列方程解.
【解法4】设两车同运x小时完.
x+x=1
()x=1
x=1?
x=6
或 ()x=1
x=1?()
x=6
答:两车同时运6小时可以完成.
【评注】比较以上四种解法,解法3的思路最简捷,运算最简便,是本题的最佳解法.
例9 甲乙两地相距630千米,客车和货车同时从两地出发,相向而行.客车行完全程需14小时,货车行完全程需21小时.两车相遇时各行了多少千米,
(上海市徐汇区)
【分析1】先求客车和货车的速度各多少,再求两车的相遇时间,最后用两车的速度分别乘以相遇时间,即得每车各行多少千米.
【解法1】客车每小时行多少千米,
630?14=45(千米)
货车每小时行多少千米,
630?21=30(千米)
两车几小时相遇,
630?(45+30)=(小时)
相遇时客车行多少千米,
45×=378(千米)
相遇时货车行多少千米,
30×=252(千米)
综合算式:
客车: 630?14×[630?(630?14+630?21)]
=45×[630?(45+30)]
=45×=378(千米)
货车: 630-378=252(千米)
【分析2】先求出甲车的速度,再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间,然后
用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米.最后再求货车的行程.
【解法2】客车每小时行多少千米,
630?14=45(千米)
两车几小时相遇,
1?()=(小时)
客车行了多少千米,
45×=378(千米)
货车行多少千米,
630-378=252(千米)
综合算式:
客车:(630?14)×[1?()]
=45×[1?]=45×=378(千米)
货车:630-378=252(千米)
【分析3】 因为“路程?速度=时间”,时间一定,所以客车和货车的路程比等于速度比即?=3?2.由此可运用按比例分配的方法分别求出两车各行了多少千米.
【解法3】客车与货车所行路程的比,
?=3?2
客车行了多少千米,
630×=378(千米)
货车行了多少千米,
630×=252(千米)
综合算式:客车:630×=378(千米)
货车:630×=252(千米).
答:略.
【评注】比较以上三种解法,解法1最繁,但其思维难度小,也最容易想到.解法3的思路简单明白,运算最简便,是本题最佳解法.如果由分析3继续分析,运用分数应用题解法也可求出两车各行多少千米.
例10 一项工程,甲单独做40天完成,乙单独做30天完成,二人合做若干天后,甲临时调走,乙继续完成这项工程,一共用27天.求乙单独工作了多少天,
(黑龙江省哈尔滨市)
【分析1】把全工程看作“1”.先求出乙共完成的工程,再求出甲完成的工程,然后再除以甲的工作效率即得甲做了几天,即甲乙合做的天数.最后用27天减去甲乙合做的天数,即得乙单独做了多少天.
【解法1】 乙共完成工程的几分之几,
×27=
甲完成了工程的几分之几,
1-=
甲乙合做了多少天,
?=4(天)
乙单独做了多少天,
27-4=23(天)
综合算式: 27-(1-×27)?
=27-?
=27-4=23(天).
【分析2】假设甲没有被调走,那么甲乙合做27天要超过全工程的()
×27-1=.这部分工程就是甲留下完成的,因此求出甲完成工程的需要几天,就是
乙单独又做了几天.
【解法2】甲乙的效率和是多少,
=
甲乙合做27天完成工程的几分之几,
×27=
超过全工程的几分之几,
-1=
乙单独工作了多少天,
?=23(天)
综合算式: [()×27-1]?
=[×27-1]?
=[-1]?
=?=23(天).
【分析3】 根据“甲乙合做的工作量+乙单独做的工作量=总工作量”列方程解.
【解法 3】设乙单独工作了x天.
()×(27-x)+x=1
×27-x+x=1
(-)x=×27-1
x=23
【分析4】 甲乙合做全工程需要1?()=(天),那么实际多用27-=(天).这是因为甲应完成的工作由乙天完成,由此可求若甲不调走,甲还应做(天),所以乙独做的时间为+=23(天).
【解法4】 甲乙合做全工程需几天,
1?()=(天)
全工程延长了几天,
27-=(天)
乙天的工作量甲需几天完,
(天)
乙单独做了几天,
+=23(天).
【分析5】假设乙独做27天完成全工程,那么比它实际每天多做全工程的
.这是因为把甲完成的工作量平均分了27等份,每份恰是.因此把每份工作量乘以27即得甲完成的工作量,再除以甲的工作效率,即得甲乙合做天数,由此可求乙独做了多少天.
【解法5】 27-()×27?
=27-×27×40
=27-4=23(天).
答:乙单独工作了23天.
【评注】比较以上五种解法,解法1、解法2、解法5各有特点,是本题的较好解法.读者可根据实际情况,选择合适的方法.
范文三:1、一项工程,甲乙两队合做12天完成,甲队单独做20天
111、一项工程,甲乙两队合做12天完成,甲队单独做20天完成,如果让乙 7、一项工程,甲队单独做4天完成它的 ,乙队单独做5天完成它的 。56队单独做,多少天可以完成,
甲乙两队合做,多少天可以完成,
112、一项工程,甲队单独做 天完成,乙队单独做 天完成。甲乙两队合做,238、做一批零件,甲独做要12小时,乙独做要15小时,如果甲每小时比乙多少天可以完成, 多做3个零件,这批零件共有多少个,
3、一项工程,甲乙两队合修12天完成,甲、乙两队工作效率的比是3:2。
1 9、李云看一本科技书,第一天看了24页,第二天看了全书的 ,两天5甲、乙两队每天各完成这项工程的几分之几,
1 共看书全书的 。第二天看了多少页, 3
4、一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成,甲先做这项
13工程的 ,再由甲乙两队合做,还要多少天可以完成, 10、把4.2米长的绳子截成两段,使第一段正好是第二段的 ,应在多少64
米处截断。
2 5、一项工程,甲队单独做20天完成,乙队的工效是甲的 。甲乙两队合3
111、甲乙两根同样长的钢管,如果甲管截去 接到乙管上,这时乙管的长3做,多少天可以完成,
是9米,原来乙管长多少米,
6、一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成。甲乙两队合
11做,完成任务时甲队完成这项工程的几分之几, 12、一根电线,剪去它的 后又接上3米,这时电线比原来长 ,这根510
电线原来长多少米,
范文四:1、一项工程,甲队单独做需x小时完成,乙单独做需y小时完成
2006——2007学年度第一学期
十一册数学综合练习卷 一、口算(另卷,6分)
二、动脑填一填。(每小题1分,共12分)
、一项工程,甲队单独做需x小时完成,乙单独做需y小时完成。甲乙两队合做,1小时1
可完成这项工程的( )。
2、加工400个零件,经检验有2个废品,合格率为( ),。
2( )、有80个鸡蛋,卖去它的相当于卖去( )个,还剩。 35( )
4、根据右图信息,可以知道一桶油重( )千克。
5、王师傅本月的应纳税所得额是640元,如果按3%的税率缴纳个人所得税( )元。 6、一个钟,分针长40厘米,一小时分针的尖端走动了( )厘米,分针所扫过的地方有( )平方厘米
7、有大小两个圆,大圆的半径是5厘米,小圆半径是4厘米,小圆面积是大圆面积的( )。
( )8、0.25,,( ),,( )?16。 8
9、5吨煤,8天烧完,平均每天烧( )吨,每天烧的是这堆煤的( )。 10、要画一个周长是18.84厘米的圆,圆规两脚之间的距离应是( )厘米。
171711、吨比吨多( )%,吨比吨少( )%。 82510
12、圆的周长扩大3倍,面积扩大( )倍,周长扩大( )倍。 三、我能一锤定音。(5分)
1、男生人数比女生人数多,那么女生人数比男生人数少。 ( )
52、把5吨煤平均分成6份,每份相当于1吨的。 ( ) 6
3、甲、乙两个班的出勤率都是98%,那么甲、乙两班今天出勤人数相同。 ( ) 4、圆、长方形、三角形都是轴对称图形。 ( )
115、一种商品先降价,再提价,现价与原价相等。 ( ) 55
1
四、认真去思考,对号入座。(将正确答案的序号填在括号里。)(5分)
1111、abc都是不为零的自然数,而且a>b>c,那么在、、中,最大的数是( ) abc
111A、 B、 C、 abc
2、甲乙两只篮子各装了35只苹果,现从甲篮中妈出5只苹果放到乙篮中,则乙篮子里的苹果比甲篮子里的多( )
1171A、 B、 C、 D、 4367
3、把一根木料锯成8段,锯下一段所用的时间是总时间的( )
111 B、 C、 A、789
4、长方形、正方形、圆的周长相等,面积最大的是( )
A、长方形 B、正方形 C、圆
5、如果a是b的40%,那么( )
A、b是a的150% B、b比a少60% C、b比a多150% D、b比a多60% 五、我是小小会计师。(共30分)
1、 解方程。(8分)
11332x+x=26 ?x= 5%x+x=105% 70%x+20=45× 53555
2、计算下面各题(能简算的要简算)。(18分)
521121 ?(5,3× ) ? ×(8 + ) 84×0.25 + ×16 732434
1341531111 ?( , ) +?, 48×(, + ) 84232455105
3、文字题。(4分)
(1)一个数的60%比32的60%多30,这数是多少,
2
213(2)一个数的 加上 的和是 ,这个数是多少, 324
五、操作题。(4分)
1、请任意画出一个你学过的轴对称图形, 2、画两条互相垂直的直线,标出交点O。
并标出其中的一条对称轴。 以O点为圆心画一个直径是3厘米的圆。
六、我会解决问题。(共38分)
1、按要求完成下面各题。
(1)五年级有学生200人,六年级学生的人数是五年级人数的98%,六年级学生人数相当
1于全校学生总人数的,全校有学生多少人,(3分) 6
要求全校有学生多少人,必须先求出 只列式不计算: (2)儿童床原价1180元,现降价50%出售,便宜了多少,(3分)
线段图: 只列式不计算:
2、解答下列各题。(32分)
(1)甲船每小时航行20千米,乙船每小时航行25千米,乙船的速度比甲船快百分之几,
7(2)某商场购进冬菇、木耳135千克,其中木耳的千克数相当于冬菇的。这商场购进冬8菇、木耳各多少千克,(用方程解答)
3
(3)小强骑自行车到离5275.2米的电影院看电影,自行车的轮胎直径是70厘米,如果每分钟转动120周,那么小强从家到电影院要多少分钟?
(4)李叔叔今年存入银行10万元,定期三年,年利率是2.52%,三年后到期,扣除20%的利息税,得到的利息能买价格是6000元的彩色电视吗,
(5)六年级(5)班,今天实到56人,事假1人,病假1人,求六年级(5)班今天的出勤率。
(6)现在离开学只有一个星期时间,学校要把960套课桌椅油漆一遍,甲工程队独做要12天,乙工程队独做要8天,如果两队合作,能在开学前完成任务吗,计算后说明。
(7)将一直径6米的圆形花坛向周围扩宽2米,花坛的面积比原来增加了多少平方米,
(8)某市的市内电话收费标准如下表所示:
通话时间 收费
3分钟以内(3分钟) 0.20元
3分钟以上,每增加1分钟(不满1分钟也算作0.10元 1分钟)
(1)打市内电话2分钟和5分钟分别收费多少元,
(2)打一次市内电话付费1.2元,这次电话最长打了多少分钟,
4
一、 口算。(十分钟完成 ,6分)
833?4= += 21%+5%= 8?=984
134121×= += ,= 125×8= 783432
7536?= ×= 8?64= 7?=471014
325256+= ×= ,= 13?26=3636714
9952×= ×= 99×5= 67%-24%=106310
756613?= ×= ×= 100?25=75641021
549364×= ?= ?= 667+34=81547714
91111255?= ?= ×= 1263-163= 121456106
221147312?= ?= ?= 98%-55%= 78154524
354767×= ,= ×= 15.7?3.14= 78714921
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439×= 66×10= 3?=0?875=13
11115155271,,= (,)×12= ×+×= 3,,= 2334767699
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范文五:一项工程,若甲队单独完成需3个月,详解
一项工程,若甲队单独完成需3个月,每月耗资12万元;若乙队单独完成需6个月,每月耗资5万元.
(1)若甲乙两队合作需几个月完成?耗资多少万元?
(2)因有特殊原因,这项工程要在4个月内完成,请设计一种方案,既能保证按时完成,又能最大限度的节约资金?(时间、费用按整月计算)考点:最优化问题;简单的工程问题.专题:工程问题;优化问题.分析:(1)把工作总量看作单位“1”,先分别求出甲、乙的工作效率,再求出合作的工作效率,最后用工作总量除以合作的工作效率,就是合作的工作时间;再根据甲、乙做此工程的耗资的钱数,求出合作时的耗资钱数;
.(1)解答:解:(1)1÷(1÷3+1÷6),
=1÷(1 3 +1 6 ),
=1÷1 2 ,
=2(月),
2×(12+5)=34(万元),
答:甲乙两队合作需2个月完成,耗资34万元.
(2)解答:想要最大限度节省资金,则必须尽量使用每月耗资较少的乙;即:让乙做足 4 个月,可以完成工程的 4/6 = 2/3 ,耗资 5×4 = 20 万元;剩余的 1-2/3 = 1/3 由甲来做,需要 (1/3)÷(1/3) = 1 个月,耗资 12×1 = 12 万元;所以,设计出来的方案为:这 4 个月时间一直让乙在做,其中 1 个月让甲一起做,共耗资 20+12 = 32 万
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