健力宝
范文一：含参量积分一致收敛及其应用
1
1 引言
无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广:将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.
广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要.
1. 含参量的广义积分
和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式:无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。
1.1无穷限广义积分的定义
f(x,y)定义1:设为定义在(I为某区间，有界或无界)的二元函，D,,a,，,，I
，,数，形如的积分称为含参变量的广义积分。 yf(x,y)dx,a
从定义形式决定研究内容:
广义积分是否存在-----收敛性问题
与一元函数广义积分相区别的是:由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。
1.1.2 含参量广义积分的收敛和一致收敛。
，,f(x,y)定义2:设定义在，若对某个，广义积分，y,ID,,a,，,，If(x,y)dx00,a
，,，,I在点收敛，则称含参量广义积分在点收敛;若在中每yyf(x,y)dxf(x,y)dx00,,cc
，,I一点都收敛，称含参量广义积分在上收敛. f(x,y)dx,a
,,,“”定义:
，,y,II在上收敛是指:对每个，,,,0,，A(,,y),a，使当 f(x,y)dx0,a
,A,时，， A,A,Af(x,y)dx,,0,A
2
，,(或者)。 f(x,y)dx,,,A
注意: A~,,y0
，,由收敛性定义，若在I上收敛，则可定义上的函数 If(x,y)dx,c
，,I(y)=。 f(x,y)dx,a
I(y)I(y) 自然提出:此时的性质如何?能否保证具有较好的性质。事实上，
I(y)研究发现:正是由于定义中与的依赖关系，使得不能具有较好的性质。yA(,,y)0
I(y)换句话说:为保证具有可供利用的分析性质，必须改进收敛性，这就形成关于参量的一致收敛性。 y
,A,y,I定义3:若，使当时，，对一切,,,0,，A(,),aA,A,Af(x,y)dx,,00,A
，,I成立，称在上关于一致收敛. yf(x,y)dx,a
类似以前学过的相似内容，我们先给出一致收敛性的判断定理，然后分析性质的研究.
1.1.3 一致收敛性的判别法
F(x)定理1 (Weistrass判别法)设存在定义于上的函数，使，,a,，,
，,，,fxyFxxyDaI(,)(),(,)[,),,,,，,，，且收敛，则在J上一致F(x)dxf(x,y)dx,,aa收敛。
f(x,y),g(x,y)定理2 (Abel判别法)设定义在D上且满足:
，, 1)在I上关于一致收敛。 yf(x,y)dx,a
g(x,y),Igxy,(,) 2)关于单调，即对每个固定为的单调函数。 yxx
g(x,y)gxyLxyD(,), (,),,,，L 3)在D上一致有界，即，使。
，,f(x,y)g(x,y)dx则关于y一致收敛。 ,a
f(x,y),g(x,y)定理3 (Dirichlet判别法)设定义在D上且满足:
A，K,0 1)关于一致有界，即，使,A,a,f(x,y)dxy,a
A都成立。 fxydxKAayI(,),,,,,,,a
3
g(x,y)yI, 2)对固定的，关于单调。 x
g(x,y),,yI, 3)limg(x,y),0关于一致成立:即，当时，,,,0,，A,ax,A00x,，,
yI,关于一致成立。
，,yI,f(x,y)g(x,y)dx则关于一致收敛。 ,a
注:上述两个定理的证明和广义积分的收敛性的证明类似， 其出发点都是积分第二中值定理:
,,,AyA(),f(x,y)g(x,y)dx,g(A,y)f(x,y)dx，g(A,y)f(x,y)dx ,,,AAy,()
三、一致收敛性判别举例。
根据一致收敛判别定理，在讨论一致收敛性问题时，通常按如下顺序进行:首先考虑能否用Werstrass判别法，其次，考虑用Abel和Dirichlet判别法，再次，考虑用Dini判别法，最后，考虑非一致收敛性。但是，上述只是解决此类问题的一般规律。事实上，各类判别法所适用的对象都有相应的结构特点，因此，在熟练掌握了各判别法的实质后，可根据题目结构特点，选用相应的判别法。
，,,x,例1:讨论在i)ii) 内一致收敛性。 ,,,,，,,[,)(0)esinxdx，，0,，,00,0
,,x,,x0esinx,e 解、i)当时，由于 ，故，利用Werstrass判别法可得 ，,,,，,[,)0
，,,x,关于一致收敛。 ,,,，,[,)esinxdx0,0
,,,，,(0,)ii)、当时，可以考虑非一致收敛性。事实上:取 An,，2,,n4
21,,,sinx,,x,[A,A]AA,，,,，则，，因而 ,nnnnn,2A2n
,,AA222,nn,,,A,,,,,xx1n,exdxedxeAAe,,,,sin() nn,,AAnn224
，,,x,,,，,(0,)故，关于非一致收敛。 esinxdx,0
，,sinx,x,例2、证明在上一致收敛。 ，,0,，,edx,0x
证明:典型的Abel判别法所处理对象。由于
,，,Asinx1dx收敛(广义积分的Dirichlet判别法:即,0,sinxdx,2)，因此，,,0Axx
,,xe关于一致收敛。又:是关于的单调函数且一致有界，故，由Abel判别法可知,x
,,，,[0,)该积分关于一致收敛。
4
1.1.4一致收敛积分的性质
，,，,y,[c,d]设对每一个收敛，记， f(x,y)dxI(y),f(x,y)dx,y,[c,d],,aa
anu(y),f(x,y)dx,n,1,2？任取严格单调递增数列，满足，记，,,a,a,a,，,ann0n,a,1n
,，,f(x,y)dx,u(y)则。 ,n,an1,
,，,y,[c,d]u(y)引理1:若关于一致收敛，则关 f(x,y)dx,n,an,1y,[c,d]于一致收敛。
，,fxyCacd(,)[,;,],,y,[c,d]连续性定理: 设，若关于一致收敛，则f(x,y)dx,a
，,。 I(y),f(x,y)dx,C[c,d],a
,
u(y)证明:一致收敛且连续，由函数项级数的连续性定理，u(x,y),nnn,1
Iyuy()(),连续。 ,n
，,f(x,y),C[a,,,c,d]y,[c,d]可积性: 设，若关于一致收敛，则f(x,y)dx,ad，,，,d。 dyf(x,y)dx,dxf(x,y)dy,,,,caac
证明:利用函数项级数的积分换序定理，则
?dd+
dyfxydxuydy(,)[()]= ?n蝌 cac1n=
d
=uydy() ?nòc
dan =((,))fxydxdy?蝌ca-1n
ad，,dn,dxfdy,dxfdy 。 ,,,,,acac,n1
注:这仍然是一个积分换序定理。
d,，,当时，有下述结论:
，,y,[c,C](,C,c)设，关于一致收敛，f(x,y)dx，，f,C,a,，,，,c,，,,a
，,，,,[a,A](,A,a)关于一致收敛，且和 dxf(x,y)dyfxydy(,)x,,,,cac
，,,，,，,，,，,dyf(x,y)dx中有一个存在，则dyfdx,dxfdy。 ,,,,,,caacca
5
，,y,[c,d]可微性: 设，且关于一致收敛，,，f,f,Ca,，,，[c,d]f(x,y)dxy,a
，,，,y,[c,d][c,d]关于一致收敛，则在可微，且fxydx(,)I(y),f(x,y)dxy,,aa
，,,。 I(y),f(x,y)dxy,a
含参量反常积分的一致收敛的Cauchy准则
fxy(,)定义6.1(含参量反常积分)设函数定义在无界区域
Rxyaxbcy,,,,,，,(,),xab,,上，若对每一个固定的，反常积分 ,,,,
，, (1) fxydy(,),c
Ix()ab,都收敛，则它的值是在上取值的函数，当记这个函数为时，则有 x,,
6
，,， (2) Ixfxydyxab()(,),,,,,,,c
称(1)式为定义在上的含参量的无穷限反常积分 ab,x,,
Ix())与函数对任给的正数，总存在某一实数，，定义6.2若含参量反常积分(1Nc,,
使得当时，对一切xab,,，都有 MN,,,
M fxydyIx(,)(),,,,c
即
，,fxydy(,),, ,M
Ix()则称含参量反常积分(1)在ab,上一致收敛与，或简单地说含参量积分(1)在,,
ab,上一致收敛 ,,
定理6.1 ab,(一致收敛的Cauchy准则)含参量反常积分(1)在上一致收敛的充要,,
条件是:对任给正数xab,,，总存在某一实数Mc,，使得当AAM,时，对一切，,,,1,2
都有
A2 fxydy(,),,,A1例6.1证明含参量反常积分
，,sinxydy (3) ,0y
(0,)，,,,，,在上一致收敛(其中,,0)，但在内不一致收敛 ,,
证明 做变量代换uxy,，得
，,，,sinsinxyu,dydu (4) ,,0Axyu
，,sinu'AM,duM其中A,0.由于收敛，故对任给正数，总存在正数，使当，就,,0u
有
，,sinu,,du ',Au
7
M取，则当时，对一切x,,,0，由(4)式有 AM,,,A,
，,sinxy,,dy， ,Ay
所以(3)式在x,,,0上一致收敛.
,(0,)，,现证明(4)在内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明:存在某一正数，0
Mc(),使对任何实数，总相应地存在某个AM,及某个，使得 xab,,,,
，,fxydy(,),, 0,A
，,sinux(0),由于非正常积分收敛，故对任何和M，总存在某个，使得 du,0,0u
，,，,sinsinuu,,,， dudu0,,Mx0uu
即
，,，,，,sinsinsinuuu (5) ,,,，,,dudu00,,,Mx00uuu
，,1sinu现令，由(4)及不等式(5)的左端就有 ,,du0,02u
，,，,sinsinxyu,,,,,,,dydu2 000,,MMxyu
所以(3)在内不一致收敛 (0,)，,
7、Cauchy收敛准则在在证明相关定理中的应用 7.1 Cauchy收敛准则在证明牛顿—莱布尼茨公式中的运用
,fx()Fx()Fxfx,xab,,ab,定理7.1 若函数在 上连续，且存在原函数，即，,，，，，,,,,
bfxdxFbFa()()(),,则上可积，且 (1) fab在,,,,a
T,,,,0，,,0证 由定积分定义，任给，要证,当时，有
8
n
，下证满足要求的存在性，事实上，对于的任ab,,fxFbFa,,,,,,,,，，，，，，，，,ii，，i,1
Fx()一分割Taxxxb,,,,,,,,,，在每个小区间xx,上对用拉格朗日中值定理，,,,,01nii,1分别，,,,,,,(,),1,2,,,in使得 ixx,1ii
nnn
(2) ,，，FbFaFFFxfx()()()()()(),,,,,,,,,,,,iixx,1，，iiii,,,11iini
fxab(),在上连续，从而一致连续， 因为,,
,,,,,,,,,，,0,0?对上述，当xxab,,,且xx,时，有 ,,,,
,,,,. fxfx,,，，，，ba,
,,,xT,ixx,,,,,,,于是当时，任取，便有，这就证得 ,,iii,1iinn
fxFbFaffx,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，,,iiiii，，，，ii,,11
nn,,,,,,,,ffxx. ,,,，，，，,,iiiiba,ii,,11
f所以ab,在上可积，且有公式(1)成立。 ,,
7.2 Cauchy收敛准则在一致连续性定理中证明的运用
fx()fx()ab,ab,定理7.2一致连续性定理:若函数在区间上连续，则在区间上一,,,,
致连续。
fx()ab,xab,,,,0证明 由在上的连续性，任给，对每一点，都存在，使,,0,,,,x
,xUx,;,得当时，有 ，，x
,,fxfx,, ，，，，2
,,,,,xHab,考虑开区间集合，显然是的一个开覆盖,由有限覆盖HUxxab,,,,,,,,,,,,2,,,,
,,,,,,iab,定理，存在H的一个有限子集.覆盖了. HUxik,1,2,,,,,,,,,,,i,,2,,,,
9
,,,,i,,,,,,xxabxxx,,,,,,,,Hmin0,,,,记.对任何必属于中某个开区,,,2,,
,,,,ii,,xUx;,间，设即，此时有 xx,,i,,i22,,
,,,iii,,,,,,. xxxxxx,,,，,,，,，,,,iii222
,,,,,,,故，有fxfx，同时有和 fxfxfxfx,,,,,,，，，，，，，，，，，，ii222
,,,fxfx,,,f由此得，所以在上一致连续. ab,，，，，,,
参考文献
10
范文二：含参量积分的一条定理及其应用
含参量积分的一条定理及其应用 第25卷第5期
2009年1O月
大学数学
COLLEGEMATHEMATICS
Vo1.25,?.5
Oct.2009
含参量积分的一条定理及其应用
姬春秋,张国铭
(牡丹江师范学院数学系,黑龙江牡丹江157012)
[摘要]给出了含参量积分的一条定理,借助其完善了积分交换顺序定理的证明,并且通过一个具体的
例子刻画了这条定理的应用.
[关键词]含参量积分;定理;应用
[中图分类号]O172[文献标识码]c[文章编号]1672—1454(2009)05—0170—03 1引言
几乎所有的数学分析教科书中,都有如下的关于积分交换顺序的结论: 若f(x,)在矩形区域D—a,6]×[c,]上连续,则
rbrdrdrb
IdxIf(z,)dy=IdIf(x,)dx.
文[1]在证明这一结论时,引入了二元函数
r"
H(u,)一If(x,Y)dx,
J.
并且断言,H(u,)在D—a,6]×Ec,d3~连续.事实上,H(u,)在D上的连续性并不显然.为了完善
文Eli的证明,我们将文1-23的有关内容搬过来,作为本文的第二部分.
2定理及其证明
定理1[2设厂(x,y)在矩形区域D一[.,6]×[c,]上连续,H(",)一I"厂(x,y),则H(u,y)在 D上连续.
证任取U.Ea,6],Y.EEc,],因为f(u,)在D—a,6]×[c,]上连续,所以f(u,)在D上有 界,If(u,)I?M,并且一致连续:任给e>0,存在>0,对任意EEa,6],YEEc,],只要lY—Y.l
<,就有
If(u,)一,(",.)I<?
令—min(,),则当E[n,6],yE[c,d3,I"一.I<,ly一I<时,有
IH(u一H(u…Y)I一If(x,y)dx--f(x,Y.)dxII,)一.,.)一l,I,.IlJ口?nI —
j.『.厂cz,dz+f(x,y)dx+j_:.厂cz,.dJ
[收稿日期]2007—04—27
[基金项目]黑龙江省教育厅(2OO8)科学研究项目(11533076);黑龙江省普通高等学校精品课程(黑教高[20O6]244号)
第5期姬春秋,等:合参量积分的一条定理及其应用l7l
?f(x,y)-厂(x,yo))dxl+1cf
?j.:.?,cz,一厂cz,.tdz+lj.:.厂c,dzl
<志.(6一n)+M.南一s.
即H(u,)在点(.,Y.)连续.由点(,Y.)的任意性知,H(u,)在D一[n,6]×c,d]上连续. 3应用
例l[.设f(x,)是定义在区域O??1,O??1上的二元连续函数,f(o,O):0,且在点(0,O)
处f(x,)可微,求极限
fd,f(f,")dId,f(,")df—lim___——-.(1)
—o1一e一
解(1)式右端的分子为
df(t,u)du=(c,d)d.
令
F(z,,)一j,(,,")d"一j-:厂(,,)d+厂(,)d.
由于f(x,)是区域[o,1]×[o,1]上的二元连续函数,应用定理1知,If(t,u)du是一个关于
z,f的连
续函数.因此,F(x,,)是关于z,t的二元连续函数,于是 -r(,c,",d)d一:.Fcz,d—cz,
是一个定义在[o,1]上含参量z的正常积分,且J()在[0,1]上连续,(o)一0.今(z,,):一
厂(t,z)
也是一个关于,t的二元连续函数,故J(z)在[O,1]上可导,且 c一(j.:Fc,d)一.r:Fc,出+Fc,z?2.
注意到
Fc,?2z一(J'二,厂cz2,",d)'2一(-r:厂c2,,d).2一.,
我们有
(z)一一I厂(,)dt.
因为e一1,z(x--~O),所以1一e._,?(x--~O).对(1)式用等价无穷小代换后再用
洛必达法
贝U(LHosptia1)法贝0,有
r2
im一m.(2)
一
.+寺一一.+z
因为二元函数f(x,)在D上连续,所以其关于每个单变量皆连续,故可对(2)式的分子
应用积分中值
定理,有
r2
If(t,.z)d,一厂(,x)x.(0<:<:z.).(3) 把(3)代入(2),得
172大学数学第25卷
I:,lim!型.
一0+
已知f(x,)在点(O,0)处可微,应用全微分的定义,有
厂(,z)一f(0,0)+(O,0)+(O,0)z十o(~/+z)
一(0,o)+(0,0)+o(~/+z),
于是
-
fx(O,0)?+(0,.)+.
而
f(.,.)?』一I(.,.)l?王3C<f(.,.)『?譬一l(.,.)l?z, Z一!Z!Z
,
偿
又
.<
华一<孵一?,
故
lim(o,0).三一0,lim?一0.一0一Iz—O+
最终,得到
一(0,o),—fy(O,O)=of
.17.一0+,
(O.0)
注文[3]关于例1的解答,结果有误.
[参考文献]
Eli华东师范大学数学系.数学分析(下册,第三版)EM].北京:高等教育出版社,2001.
[2]廖可人,李正元.数学分析(第三册)[M].北京:高等教育出版社,1986. [3]陈文灯,黄先开,曹显兵,施明存,殷先军.考研数学轻巧手册[M].北京:世界图书出版社,2006
ATheoremofIntegralDependingonaParameterandItsApplication
)IChun,qiu,ZHANGGuo—ruing
(DepartmentofMathematics,MudanjiangTeachersCollege,Mudanjiang,Heilongjiang15
7012,China)
Abstract:Theauthorsprovideatheoremofintegraldependingonaparameter,andgiveanappl
icationofit
Keywords:integraldependingonaparameter;theorem;application
范文三：含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用
班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012年11月5日
含参量积分的分析性质及其应用
1. 含参量正常积分的分析性质及应用
1.1含参量正常积分的连续性
定理1 若二元函数f (x , y ) 在矩形区域R =[a , b ]?[c , d ]上连续, 则函数
?(x )=?f (x , y ) dy 在[a,b]上连续.
c
d
例1 设f (x , y ) =sgn(x -y ) （这个函数在x=y时不连续）, 试证由含量积分F (y ) =
?
1
f (x , y ) dx 所确定的函数在(+∞, -∞) 上连续.
解 因为0≤x ≤1, 所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.
则F (y ) =?dx =1. 当0≤y ≤1时01
1,x>y
则F (y ) =?(-1) dx +?dx =1-2y .
y
y
1
1, y<>
当y>1时, f(x,y)=-1,则F (y ) =?(-1) dx =-1, 即≤y<>
01
又因lim =1=F (0), lim F (y ) =-1=F (1). F(y)在y=0与y=1处均连续, 因而F(y)
y →0
y →1
在(-∞, +∞) 上连续.
例2 求下列极限：（1）lim
α→0-1
?
1
x +a dx ; (2)lim ?x 2cos αxdx .
α→00
22
2
解 （1）因为二元函数x 2+α2在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续, 则由
连续性定理得?
1
-1
x 2+a 2dx 在[-1,1]上连续. 则
1
α→0-1
lim ?x 2+a 2dx =?lim x 2+a 2dx =?x dx =1.
-1α→0
-1
11
, ] 上连续, 由连续22222ππ822
性定理得, 函数?x cos axdx 在[-, ]上连续. 则lim ?x cos axdx =?x 2dx =.
00α→00223
（2）因为二元函数x 2cos ax 在矩形域R =[0, 2]?[-
ππ
例3 研究函数F (x ) =?正的连续函数.
1
yf (x )
的连续性, 其中f （x ）在闭区间[0,1]上是
x 2+y 2
解 对任意y 0>0, 取δ>0, 使y 0-δ>0, 于是被积函数
yf (x )
在22
x +y
R =[0, 1]?[y 0-δ, y 0+δ]上连续, 根据含参量正常积分的连续性定理, 则F （y ）在区间[y 0-δ, y 0+δ]上连续, 由y 0的任意性知,F （y ）在(0, +∞) 上连续. 又因
F (-y ) =?
1yf (x ) -yf (x )
=-?0x 2+y 2, 则F （y ）在(-∞, 0) 上连续. 当y=0处0x 2+y 21
F (y 0) =0. 由于f (x ) 为[0,1]上的正值连续函数, 则存在最小值m>0.
F (y ) =?
1
1m yf (x ) my 1
lim F (y ) ≥π>0, 但 , 从而≥-dx =m 2222+?0y →04y x +y x +y
F(y)在y=0处不连续, 所以F （y ）在(-∞, +∞) (0, +∞) 上连续, 在y=0处不连续.
定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|c (x ) ≤y ≤d (x ), a ≤x ≤b }上连续, 其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数, 则函数 F(x,y)= ?上连续.
1+α
d (x ) c (x )
f (x , y ) dy 在[a,b]
lim 例4 求α
→0?α
dx 22. 1+x +α
dx 1
α, 1+α, . 由于都是α和x 的连续函数, 22α1+x 2+α21+x +α
1dx π
=由定理2知I (α) 在α=0处连续, 所以lim I (α) =I (0) =?.
01+x 2α→04
解 记I (α) ?
1+α
例5 证明函数F (y ) =?e -(x -y ) dx 在(-∞, +∞) 上连续.
-∞
2
证明 对?y ∈(-∞, +∞) , 令x-y=t,可推得
F (y ) =?e -(x -y ) dx =?e -t dt =?e -t dt +?e -t dt =?e -t dt +
-y
-y
+∞
2
+∞
2
2
+∞
2
2
2
.
对于含多量正常积分?e -t dt , 由连续性定理可得?e -t dt 在(-∞, +∞) 上连续, 则
-y
-y
2
2
F (y ) =?e -(x -y ) dx 在(-∞, +∞) 上连续.
+∞
2
1.2含参量正常积分的可微性
定理3 若函数f (x , y )与其偏导数上连续, 则?(x )=?
d c
?
f (x , y )都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]?x
d ?d d
f (x , y ) dy . f (x , y ) dy 在[a,b]上可微, 且?f (x , y ) dy =?c c dx ?x
定理4 设f (x , y ), f x (x , y )在R=[a,b]*[p,q]上连续,c (x ),d (x )为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数, 则函数F (x )=?且F ' (x ) =?
d (x ) c (x )
d (x ) c (x )
f (x , y ) dy 在[a,b]上可微,
f x (x , y ) dy +f (x , d (x )) d ' (x ) -f (x , c (x )) c ' (x ).
定理5 若函数f (x , y )及f x (x , y )都在[a,b;c,d]上连续, 同时在[c,d]上
a ' (y ) 及b ' (y ) 皆存在, 并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c≤y ≤d), 则
F ' (y ) =
b (y ) d b (y ) ' '
f (x , y ) dx =f (x , y ) dx +f [b (y ), y ]b (y ) -f [a (y ), y ]a (y ) . y ?a (y )
dy ?a (y )
证明 考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数, 由于
F (y ) =?
b (y 0)
a (y 0)
f (x , y ) dx +?
b (y )
b (y o )
f (x , y ) dx -?
a (y )
a (y 0)
f (x , y ) dx =F 1(y ) +F 2(y ) -F 3(y ) .
现在分别考虑F i (y )(i =1, 2, 3) 在点y 0处得导数. 由定理5可得
F 1' (y 0) =?
由于F 2(y 0) =0, 所以
b (y 0)
a (y 0)
f y (x , y 0) dx .
F 2' ; (y 0) =lim
y →y o
b (y ) f (x , y ) F 2(y ) -F 2(y o ) F (y )
=lim 2=lim ?.
b (y ) y →y y →y 000y -y 0y -y 0y -y 0
应用积分中值定理F 2' (y 0) =lim
b (y ) -b (y 0)
?f (ξ, y ) . 这里ξ在b (y ) 和b (y 0) 之间.
y →y 0y -y 0
再注意到f (x , y )的连续性及b(y)的可微性, 于是得到
F 2' (y 0) =b ' (y 0) f [b (y 0), y 0].
同样可以证明
F 3' (y 0) =a ' (y 0) f [a (y 0), y 0]
于是定理得证.
sin yx
dx , 求F ' (y ) .
y x
解 应用定理5有
y 2
例6 设F (y ) =?
F (y ) =?
'
y 2
y
sin y 3sin y 2
cos yxdx +2y ?2-1?
y y
y 2
y
sin yx
=
y
2sin y 3sin y 2
+-
y y
3sin y 3-2sin y 2
=.
y
例7 设f (x ) 在x =0的某个邻域U 上连续, 验证当x ∈U 时, 函数
n -1x 1
(x -t ) f (t ) dt （1） ?(x ) = ?0(n -1)!
的n 阶导数存在, 且?(n ) (x ) =f (x ).
解 由于（1）中被积函数F (x , t ) =(x -t ) n -1f (t ) 及其偏导数F x (x , t ) 在U 上连续, 于是由定理4可得
?' (x ) =
x 11n -2n -1
(n -1)(x -t ) f (t ) dt +(x -x ) f (x ) ?0(n -1)! (n -1)!
x 1
(x -t ) n -2f (t ) dt . =?(n -2)! 0
同理
?' ' (x ) =
x 11n -3n -1(n -2)(x -t ) dt +(x -x ) f (x ) ?0(n -2)! (n -1)!
x 1
(x -t ) n -3f (t ) dt . =?(n -3)! 0
如此继续下去, 求得k 阶导数为
?(k ) (x ) =
x 1n -k -1
(x -t ) f (t ) dt .
(n -k -1)! ?0
特别当k =n -1时有
?(n -1) (x ) =?f (t ) dt ,
x
于是?(n ) (x ) =f (x ).
例8 计算积分I =?ln(1+2x ) . .
1
1+x
解 考虑含参量积分
?(α) =?
ln(1+αx )
. 201+x
1
ln(1+αx )
显然?(0) =0, ?(1) =I , 且函数在R=[0,1]?[0,1]上满足定理3的条件,
1+x 2
于是
?' (α) =?
因为
x
dx . .
0(1+x 2)(1+αx )
1
x 1α+x α
=(2-), 22
(1+x )(1+αx ) 1+α1+x 1+αx
所以
1111αx α(dx +dx -dx ) 2?22??0001+αx 1+α1+x 1+x
11
=12[αarctan x 1 ln(1+x 2) 10+0-ln(1+αx ) 0]
21+α
?' (α) =
=因此
1
1π1
[α?+ln 2-ln(1+α)]. 2
421+α
1
1π1
[α+ln 2-ln(1+α)]d α 2
21+α4
π1
=ln(1+α2) 1 +ln 2arctan α100-?(1)
82
=πln 2+πln 2-?(1)
88
'
??0(α) d α=?0
=πln 2-?(1) .
4
另一方面
'
??(α) d α=?(1) -?(0) =?(1), 01
所以
I =?(1) =
π
8
ln 2.
1.3含参量正常积分的可积性
定理6 若f (x , y )在矩形区域R=[a , b ]×[c , d ]上连续, 则?(x )和ψ(x )分别在
[a , b ]和[c , d ]上可积. 其中?(x )=?c f (x , y )dy,x ∈[a , b ], ψ(x )=?a f (x , y )dy.
这就是说：在f (x , y )连续性假设下, 同时存在求积顺序不同的积分：
b
d b
?
a
?d f (x , y )dy ?dx 与????c ?
b a
?
d
c
?b f (x , y )dx ?dy , 简便记为
????a ?
?
b
a
dx ?f (x , y )dy 与
c
d
?
d
c
dy ?f (x , y )dx , 前者表示f (x , y )先对y 求积然后对x 求积, 后者则表示先对x 求由可积性的定理进一步指出, 在f (x , y )连续性假设下, 累次积分与求积顺序
积再对y 求积. 它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.
无关, 即若f (x , y )在矩形区域R=[a , b ]×[c , d ]上连续, 则
?
b
b
a
dx ?f (x , y )dy =?dy ?f (x , y )dx .
c
c
a
d d b
定理7 若f (x , y )在矩形区域R=[a , b ]×[c , d ]上连续,g (x )在[a , b ]上可积, 则作为y 的函数?f (x , y )g (x )dx 在[c , d ]上连续, 且
a
?
b
a
g (x )dx ?f (x , y )dy =?dy ?f (x , y )g (x )dx .
cc
c
a
d d b
注意 推论中闭区间[c , d ]可以换成开区间或无穷区间, 因为可积性定理是由连续性推得的, 连续性是局部性质.
例9 求I=?解 由?
b
y
1
x b -x a
（b>a>0）. ln x
b 1b y y y ??x dy dx =, 因为在dx x dy ()f x , y =x ??0??a ?0?a
?1
a
x b -x a
得I=x dy =
ln x
矩形区域[0, 1]?[a , b ]上连续, 由定理可得I=?dy ?x y dx =?
a
b 1
1
dy =ln1+b . a 1+y 1+a
b 22
例10 试求累次积分?dx ?00
么与定理的结果不符.
22
解：?1dx ?1x -y 2=
11
x 2-y 2
x
2
+y
22
与?dy ?
11
x 2-y 2
x
2
+y
dx , 并指出它们为什
x
2
+y 2
?1x 2+y 2?1?11dy d x 2+y 2
=-?y dy ?dx ???2
?0??00x +y 202220222
x +y x +y ??????
1
(
)?
?dx
??
11
=????
π1dy 1?=11arctan 1-arctan 0==. +?yd 2dx ?022?00x 2+y 2041+x x +y ??
1
?dy ?x
1
x 2-y 2
2
+y 2
dx =-?dy ?200
1
1
y 2-x 2
2
y
+x
, 由22
?
1
dx ?
1
x 2-y 2
x
2
+y 2
=2
π
, 同理可得4
?dy ?y
11
y 2-x 2
2
+x 2
2
=
ππ22
, 所以1dy 1x -y dx =–.
?0?0x 2+y 2244≠
即dx
?0?0
1
1
x 2-y 2
x
2
+y
22
?dy ?x
11
x 2-y 2
2
+y
22
dx , 这与定理不符.
因为lim
x 2-y 2
(x , y )→(0, 0)
x
2
+y
22
=lim
x 2+y 2-2y 2
(x , y )→(0, 0)
x
2
+y 2
2
2?1?2y =lim ?2-? 不存在, 222(x , y )→(0, 0)x +y 2
x +y ????
所以f (x , y )=
x 2-y 2
x
2
+y
22
在点(0, 0)处极限不存在, 即在矩形区域[0, 1]?[0, 1]上不连
续, 不满足定理的条件.
b a
?1?x -x
例11 应用积分号下的积分法求积分, ?sin ln ?dx (b >a >0).
0x ln x ??
1
b a
b x b -x a ?1?x -x y
解 令g (x )=sin ln ?, ?x dy =.
a ln x ?x ?ln x
g (x )=0, lim g (x )=0, g (0)=0, g (1)=0, 所以g (x )在[0, 1]上连续. 因为lim +
x →0
x →1
11?b 1?x b -x a ???1?所以?sin ln ?dx =?g (x )=???sin ln ?x y dy ?dx .
000
?x ?ln x ?a ?x ??
1
?1?
令f (x , y )sin ln ?x y , 0
?x ?
x =0.
则f (x , y )在矩形区域[0, 1]?[a , b ]上连续, 由定理可知
?b ?1?y ?sin ln ?x dy ?dx ?0??a
?x ???
1
b
=
?1?y
dy sin ln ?x dx ?a ?0
?x ?
b
1
=
?
b
a
dy ?e -(y +1)sin tdt
+∞
t
=
?1+1+y =arctan (1+b )-arctan (1+a ).
a
2
1
2. 含参量反常积分的分析性质及应用
2.1含参量反常积分的连续性
定理8 设f (x , y ) 在I ?[c , +∞）上连续, 若含参量反常积分
φ(x ) =?f (x , y ) dy
c
在I 上一致连续, 则Φ（x ）在I 上连续.
+∞
推论 f (x , y ) 在I
?[c , +∞）上连续, 若Φ(x ) =?f (x , y ) dy 在I 上內闭一致
c
+∞
收敛, 则Φ（x ）在I 上连续.
这个定理也表明, 在一致收敛的条件下, 极限运算与积分运算可以交换：
lim f (x , y ) dy =?f (x o , y ) dy =?lim f (x , y ) dy
c c c x →x x →x ?0o
+∞
+∞
+∞
例12 证明⑴?x e dy ⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛; ⑵ 在[0,b]上不一
+∞
-xy
致收敛.
证明 ⑴? x∈(a , b ) ,y ∈[0, +∞) , 有0≤
+∞
-xy
xe
-xy
≤be
-ay
, 而?+∞be -xy dy
收敛（a>0）, 由M 判别法, 知反常积分?x e dy 在[a,b]（a>0）上一致收敛.
⑵因Φ（x ）=?x e -xy dy x =0，
0+∞
≤x ≤b .
在x=0处不连续, 而xe -xy 在0≤ x≤ b,0≤y ≤ +∞ 內连续, 由连续性定理知
?
+∞
x e dy 在0≤ x≤ b上不一致连续.
-xy
例13 回答对极限求解？ 解
lim ?
x →
+∞
+
2xy e -xy dy 能否施行极限与积分运算顺序的变换来
2
lim ?2xye
x →
+∞
-xy
2
+
dy =lim ?
x →
o +
+∞
e
-xy d
2
xy
2
=lim +[-e -xy ]=lim +1=1.
x →0x →00
2
+∞
而
?lim 2xye
x →
+∞
-xy
2
+
dy =?
+∞
0dy =0运算顺序不能交换, 是因为
?2xye
+∞
-xy
2
dy 在[0,b]
（b>0）上不一致收敛, 故不满足含参量反常积分连续性条件.
定理9 如果函数f (x , u ) 在[a,+∞）×[α, β]上连续, 而且积分?在[α, β]上一致收敛, 那么由Φ（x ）=上连续.
证明 由于
+∞
+∞
a
f (x , u ) dx
?
+∞
a
f (x , u ) dx 所确定的函数Φ在[α, β]
?
+∞
a
f (x , u ) dx 在[α, β]上一致连续, 故对任意ε>0,存在A 0>a,使
得不等式︱?f (x , u ) dx ︱<ε对[α, β]中所有的u="" 成立.="" 因为函数f="" (x="" ,="" u="" )="" 在[α,="">
A 3
上连续, ?f (x , u ) dx 是[α, β]中的连续函数, 因而对任意u 0∈[α, β],任意ε>0,A
+∞
存在δ>0 , 当u ∈[α, β]且u -u 0<δ>
︱?
A 0
a
f (x , u ) dx -?A f (x , u 0
a
ε) dx ︱<>
3
于是当u ∈[α, β]且︱u -u 0︱<δ时,>
?(u )
-
?(u 0)
-
︱=︱
?
+∞
a
f (x , u ) dx
+
-︱
?
+∞
a
f (x , u 0) dx
︱︱
≤
?
+∞
A 0
a
f (x , u ) dx
?
A 0
a
f (x , u 0) dx
︱
?A
+∞
f (x , u ) dx +
εεε
︱?f (x , u 0) dx ︱<>
333A
这就证明了?在u 0处是连续的. 由于u 0是[α, β]中的任意点, 所以?在[α, β]上连续.
这个定理也可以写成：
lim ?
u →
+∞
u 0
a
f (x , u ) dx ?
+∞
a
f (x , u 0) dx =?(lim f (x , u )) dx a u →u 0
+∞
即在积分一致收敛的条件下, 极限号与积分号可以交换.
例14 讨论函数?(α) =+∞arctan x dx 的连续性区间.
?
x
(2+x )
3
解 先看函数?(α) 的定义域是什么, 即上述积分在什么范围内收敛. 在x=0附近, arctan x dx ~11. 所以当α<2时,>
?0α3α-1
arctan x
x (2+x )
2
x x
α
(2+x )
3
dx 收敛.
πx 当x →+∞时, arctan ～dx 3
1
x (2+x )
2
x
, 所以积分?α+3
+∞
arctan x
1
x
α
(2+x )
3
dx 当α>-2时收敛.
由此得知?(α) 的定义域是（-2,2）. 我们只需证明?在任意[a,b]?（-2,2）上连续. 根据定理9只要证明上面的积分在[a,b]上一致收敛.
c c x 当x ∈(0, 1) 时, 设a ≤b<2,这时存在常数c 使得arctan=""><1,≤≤dx a="" -1a="" 3b="">
x (2+x ) x x
故由比较判别法, 积分-2
+∞
?
1
arctan x
x (2+x )
π1
2
a 3
dx 在（+∞,b]一致收敛. 当x ∈[1,+∞）时, 设
arctan x
x
(2+x )
dx ≤
x
≤
π1
2
. 而a+3>1,故有比较判别法, 积分
+∞
x
?
arctan x
1
x
α
(2+x )
3
dx 在[a,+∞）上一致收敛, 把积分合在一起, 即知?0
arctan x
x
(2+x )
3
dx 在
[a,b]?（-2,2）上一致收敛, 故?在（-2,2）上连续.
注意 与级数的情形一样, 积分的一致收敛只是保证?连续的一个充分不必要条件. 但在f 非负的条件下, 积分的一致收敛便是?连续的必要条件. 2.2含参量反常积分的可微性
定理10 设f (x , y ) 与f x (x , y ) 在区域I ?[c , +∞)上连续. 若
Φ(x ) =?
+∞
c
f (x , y ) dy 在I 上收敛, ?
+∞c
+∞
c
f x (x , y ) dy 在I 上一致收敛, 则Φ(x ) 在I 上可
微, 且Φ' (x ) =?
f x (x , y ) dy .
+∞0
例15 求积分?e -x
+∞
-cos xy
dx . x 2
x
xy
解 记J(y)= ?e -x -cos dx , 有参量反常积分可微性定理推得J ' (y ) = 20
?
+∞
e
-x
sin xy
dx =arctan x
y , 而J (0) =0, 所以?e -x
+∞
1-cos xy y
J (y ) dx = =J ' (t ) dt , 2?0x
I =
?
y
1
arctan tdt =y arctan y -ln(1+y 2) .
2
+∞
2
例16 对F (x ) =?x 3e -x y dy 能否运用积分与求导运算顺序变换求解.
逻辑推理 验证函数F (x ) =?x 3e -x y dy 是否满足可微性定理条件, 若不满
+∞
2
足条件, 则不能变换顺序. 1,x ≠0,
解 由于?因而?
+∞0
+∞0
+∞2?3-x 2y
(x e ) dy =?(3x 2-2x 4y ) e -x y dy x =0.
0?x
?3-x 2y
(x e ) dy 在[0, 1]上不一致收敛, 故不能运用含参量反常积分可微性定?x
+∞
2
理. 实际上, 因F (x ) =?x 3e -x y dy =x , x ∈(-∞, +∞), 则f ' (x ) =1, 而
+∞?3-x 2y 24-x 2y
(x e ) dy =(3x -2x y ) e dy ?0?x ?0
在x =0处为零. 故积分与求导运算不能交换顺序.
+∞
定理11（积分号下求导定理） 设f (x , y ) 与f x (x , y ) 在I ?[c , +∞)上连续. 若Φ(x ) =?
+∞c
f (x , y ) dy 在I 上收敛, 而?
+∞c
+∞
c
f x (x , y ) dy 在I 上内闭一致收敛, 则Φ(x )
在I 上可微, 且Φ' (x ) =?
f x (x , y ) dy .
证明 设｛C n ｝(C o =c )为一递增且趋于+∞的数列, 记
u n (x ) =?
c n
c n -1
f (x , y ) dy ,n=1,2···,
且有I (x ) =∑u n (x ) . 由正常积分的连续性定理得u n (x ) （n=1,2···, ）在[a , b ]上
∞n =1
可微, 且u n ' (x ) =
?
c n
c n -1
f (x , y ) dy ,n=1,2···, 由已知条件?
+∞c
+∞
c
f x (x , y ) dy 在[a , b ]上一
致收敛, 又因若含参变量反常积分?
∞n =1
f (x , y ) dy 关于x ∈[a , b ]一致收敛, 则函数项
级数∑u n ' (x ) 关于x ∈[a , b ]一致收敛. 从而函数项级数
∑u
n =1
∞
n
' (x ) =∑
n =1
∞
?
c n
c n -1
f x (x , y ) dy =
?
+∞
c
f x (x , y ) dy
也在[a , b ]上一致收敛, 根据函数项级数的逐项求导定理, 即得I (x ) 在[a , b ]上可微, 且
I ' (x ) =∑u n ' (x ) =
n =1∞
?
+∞
c
f x (x , y ) dy .
上述定理的结果也可记成
d
dx
?
+∞
c
f (x , y ) dy =?
+∞
c
?
f (x , y ) dy . ?x
定理12 如果函数f 和
?f +∞
都在[a , +∞)?[α, β]上连续, 积分??f (x , u ) 在
a ?u ?u
+∞
[α, β]上一致收敛, 那么?(u ) =?a
?' (u ) =?
+∞a
f (x , u ) dx 在[α, β]上可微, 而且
?f (x , u )
dx , α≤u ≤β. ?u
n a
证明 对于任意正整数n >a , 令?n (x ) =?f (x , u ) dx . 又因为若函数f 及其偏导数
b ?f
都在闭矩形I =[a , b ]?[α, β]上连续, 那么函数?(x ) =?f (x , u ) dx 在[α, β]a ?u
b
上可微, 而且d ?(x ) =?(?f (x , u )) dx . 所以?n 在[α, β]上有连续的导函数
a
du ?u
?' n (u ) =?
n
a
?f (x , u )
. ?u
由于?
+∞
a
?f (x , u )
?' (u ) }在[α, β]上一致收敛, . 在[α, β]上一致收敛, 所以函数列{
?u
且因{?n }在[α, β]上收敛于?, 故?在[α, β]上连续可微, 且
?' (u ) =?
+∞a
?f (x , u )
, α≤u ≤β ?u
2
2
成立.
例17 利用对参数的微分法, 计算微分?
+∞
e -ax -e -bx
, a ﹥0,b ﹥0. 2
x
解 把a 看作参数, 记上面的积分为I (a ), 那么I ' (a ) =-?e -ax dx . 为了说明微
+∞
2
分运算和积分运算的交换是允许的, 我们把a 限制在区间[δ, +∞)中, 这里δ是任意一个正数. 于是e -ax ≤e -δx 2. 由于?e -δx dx . 收敛, 故由Weierstrass 判别法
2
+∞
2
知道, 积分
?
+∞
e -ax dx . 对a ∈[δ, +∞)中一致收敛, 故由上述定理可知上面的运算成
2
立. 由于δ﹥0是任意的, 故I ' (a ) =-
I ' (a ) =
?
+∞
e
-ax 2
dx . 在(0, +∞)中成立. 计算得
-, 2a
所以I (a ) =-a +c . 由于I (b ) =0, c =b , 故最后得I (a ) =(-a ). 2.3含参量反常积分的可积性
定理13设f (x , y ) 在[a,b]
?[c, +∞)上连续, 若Φ(x ) =?
+∞
b
+∞
c
f (x , y ) dy 在[a,b]
上一致收敛, 则Φ(x ) 在[a,b]上可积, 且
?dx ?
a
b +∞
c
f (x , y ) dy =?dy ?f (x , y ) dx .
c
a
+∞a
定理14 设f (x , y ) 在[a,b]?[c, +∞)上连续, 若（1）?在[c, +∞)上内闭一致收敛, ?积分?dx ?
a +∞
+∞
f (x , y ) dx 关于y
+∞
c
（2）f (x , y ) dy 关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；
+∞a
c
f (x , y ) dy 与?dy ?
c
+∞
f (x , y ) 中有一个收敛. 则
+∞
+∞
c
a
?
b
-xy
+∞
a
dx ?
x
+∞
c
-bx
f (x , y ) dy =?dy ?
出发, 计算积分
f (x , y ) dx .
例18 等式?e dy =a
-ax
-?
+∞
e -ax -e -bx （b>a>0）.
x
解 因为e -xy 在[0,+∞)?[ a,b]上连续, 且xy ≥ax, 则有0
?
+∞
e -ax dx =-
1-ax e a
+∞0
=
1+∞
收敛, 由M 判别法可推断含参量反常积分?e -ax dx 在
0a
[ a,b]（a>0）上一致收敛. 由可积性定理知I(y )=
?
+∞
e -xy dx 在[ a,b]上可积. 且
+∞
?
+∞
dx ?e dy =?a
-xy 1
+∞
b +∞
+∞b ?1?e -ax -e -bx =b -xy
?dy ?e dx =??-e -xy ?dy =a 0a x ?y ?0
3
?
b
a
b 1
dy =ln .
a y
例19 对?dy ?(2y -2xy 3) e -xy dx 能否运用积分顺序交换来求解？
00解：令u=xy 2, 则
?dy ?
1+∞
(2y -2xy ) e
3
-xy 3
2dx =?ue -u
0y
1
[+∞0
dy =
?0dy =0
1
而
?
则
1
(2y -2xy 3) e -xy dy =
2
111x 1-u 2-xy 22-u
(1-xy ) e dxy =(1-u ) e du =ue x ?0x ?0x
[x
=e -x .
?
+∞
dx ?(2y -2xy 3) e -xy dy =?e -x dx =1. 0
3
1
3
+∞
所以积分运算顺序不能变换. 原因是?+∞(2y -2xy 3) e -xy
dx 在[0,1]上不一致收敛, 故
不满足参量反常积分可积性定理条件.
范文四：含参量广义积分的应用研究
学科分类号 0701
本科生毕业论文
题目: 含参量广义积分的应用研究
The research on the application
of Parameter Improper Integral
学生姓名: 吴军胜
学 号: 1009402016
系 别: 数学与应用数学
专 业: 数学与应用数学
指导教师: 何郁波 副教授
起止日期: 2013.12—2014.05
2014 年 5 月 10 日
怀化学院本科毕业论文诚信声明
作者郑重声明:所呈交的本科毕业论文,是在指导老师的指导下,独立进行研究所取得的成果,成果不存在知识产权争议.除文中已经注明引用的内容外,论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果.对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明.本声明的法律结果由作者承担.
本科毕业论文作者签名:
年 月 日
目 录
摘 要 .........................................................................................................................................I
关键词 .........................................................................................................................................I
Abstract ........................................................................................................................................I
Key words ....................................................................................................................................I
1 前言 ..................................................................................................................................... 1
2 含参变量积分 ..................................................................................................................... 3
2.1 含参变量积分的相关定理 ....................................................................................... 3
2.2 含参量广义积分的定义 ........................................................................................... 4
2.3 含参量反常积分的一致收敛性及其判别法 ........................................................... 4
2.4 Cauchy收敛准则在证明牛顿—莱布尼茨公式中的运用...................................... 9
2.5 Cauchy收敛准则在一致连续性定理中证明的运用............................................ 10
3 含参变量广义积分的相关应用 ....................................................................................... 11
3.1 利用含参变量广义积分求函数的极限 ................................................................. 11
利用含参变量广义积分计算定积分 ..................................................................... 12 3.2
3.3 利用含参变量广义积分求隐函数的导数 ............................................................. 13
3.4 利用欧拉公式求解定积分 ..................................................................................... 14
3.5 函数与函数在概率论与数理统计中的应用 ................................................. 15 ,B
4 结束语 ............................................................................................................................... 17
参考文献 .................................................................................................................................. 18
致 谢 ...................................................................................................................................... 19
附录A ....................................................................................................................................... 20
含参量广义积分的应用研究
摘 要
本文先介绍了含参量积分的定义及其相关的定理～再从含参量反常积分的定义及含
参量反常积分的一致收敛的定义出发,归纳了含参量反常积分的一致收敛性.在讨论定
积分的相关性质的同时对其相关定理做了一些简单的论证,给出了几个重要的判定含参
变量的广义积分收敛与一致收敛的判别方法,并用相关的例题演示了判别法的具体运用.
论文最后分别从研究函数的极限和计算定积分与欧拉公式求解定积分以及函数与,,
函数在数理统计中的运用等方面例证了含参变量广义积分的应用.
关键词
含参变量积分,收敛,一致收敛,含参变量积分的应用
The research on the application of
Parameter Improper Integral
Abstract
This thesis introduces the definition of Parameter Improper Integral and its relevant theorems. Then, starting from the definition of Parameter Improper Integral and its uniform convergence, it sums up the uniform convergence of Parameter Improper Integral. During the period of analyzing the related properties of definite integral, and I provided some important discriminated method about the uniform convergence of the Parameter Improper Integral, as well as makes use of the relevant examples to illustrate the application of it. Finally, the application of Parameter Improper Integral was illustrated from the following aspects: the research on the limit of function, algorithm of definite integral, to solving the definite integral by Euler’s formula ,and the application of gamma function and beta function in mathematical statistics.
Key words
Integral with variable; convergence; uniform convergence; application of integrals with parameters
I
1 前言
积分学,包括不定积分和定积分的概念和应用,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法.微积分在大学数学专业一般被称作数学分析(mathematical analysis),是一门较为完整的数学基础学科.其中含参量广义积分是构造新函数的的一种重要工具,就是用积分形式表示函数,比如欧拉积分等,在数理方程和概率论中经常出现这样的函数.因此含参量广义积分及其性质具有重要意义,在有限区间上的连续函数的含参量积分具有很好的分析性质,并且极限与积分,求导与积分,积分与积分都可以交换顺序.但是对于含参量广义积分救援比起复杂得多,这就需要光一积分和被积函数具有比连续更好的性质,及一致收敛性,在一致收敛意义下,极限与积分、求导与积分、积分和积分都可以交换顺序.因此含参量广义积分的一致收敛性尤为重要,而我们一般熟悉的方法主要有-判别法、阿,贝尔判别法和狄利克雷判别法,显然这些判别法都是有限的很多含参量广义积分是否一致收敛很难方便确定.因此含参量广义积分主要用于函数的收敛性判别以及特殊积分的计算.
无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制;积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在许多实际问题中往往需要突破这些限制,这两个约束条件限制了定积分的应用,因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此,就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题,而将这两个约束条件取消,就得到了定积分的两种形式的推广;将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学,作为数学的一类基本命题,它是高等数学中的一个重要概念,它的出现为物理学解决了许多计算上的难题,也为其他科学的发展起到了促进作用,应用十分广泛.但是,反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题,由于反常积分的重要性,所以,对反常敛散性的探讨,也就显得十分必要了.在一致收敛意义下,极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要. 而我们一般熟悉的方法主要有M-判别法、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法,显然这些判别法都是有限的很多含参量广义积分是否一致收敛很难方便确定.因此含参量广义积分主要用于函数的收敛性判别以及特殊积分的计算.函数项级数判别法在数学、生活、科技领域应用广泛,人们对其研究也取得了一定的成果.在数学、生活、科技领域都有应用,人们对其研究也取得了一定的成果.1982年谢胜利在《长江大学学报(社会科学版)》发表含参变量广义积分与瑕积分一致收敛的一个判别法; 2003年王秀红在《烟台师范学院学报(自然科学版)》发表含参变量广义积分一致收敛的Heine定理,2007年钱学明在《绵阳师范学院学报》发表利用拉
1
普拉斯变换求解含参变量的广义积分等等,他们从不同的方面对含参量广义积分做出了研究,使之研究更加全面,不仅丰富了理论意义,还具有很高的应用价值.
本文先介绍了含参量积分的定义和参量积分的相关定理～再从含参量反常积分的定义及含参量反常积分的一致收敛的定义出发,归纳了含参量反常积分的一致收敛性.在讨论定积分的相关性质的同时对其相关定理做了一些简单的论证,给出了几个重要的判定含参变量的广义积分收敛与一致收敛的判别方法,并用相关的例题演示了判别法的具体运用.论文最后分别从研究函数的极限和计算定积分与欧拉公式求解定积分以及函,数与函数在数理统计中的运用等方面例证了含参变量广义积分的应用. ,
2
2 含参变量积分
[1]定义1 设函数在矩形区域上有定义,当取上任一个固 xf(x,y)[a,b][a,b]，[c,d]定值时,在上可积,则 xf(x,y)[c,d]00
d f(x,y)dy0,c
就确定一个数,当在变动时,这样的积分就定义了一个函数 x[,]ab
d , (1) Ixfxydy()(,),,c
称此积分为含参变量积分.
，,dx()除(1)外,以下两种表示形式的积分(),也是含 fxydx(,)xab,[,]fxydy(,),,0cx()参变量积分.
2.1 含参变量积分的相关定理
定理1 (连续性) 若二元函数在矩形区域上连续,则函数 fxy(,)[,][,]abcd，
dIxfxydy()(,), ,c在上连续. [,]ab
定理2 (连续性) 设二元函数在区域 fxy(,)
Gxycxydxaxb,,,,,,|()(), ，，,,
上连续,其中为上的连续函数,则函数 [,]abcxdx(),()
dx() Fxfxydy()(,),,cx()在上连续. [,]ab
,fxy(,)定理3(可微性) 若函数与其偏导数都在矩形区域 fxy(,),x
上连续,则函数 Rabcd,，[,][,]
dI(x),f(x,y)dy,c 在[,]ab上可微,且
ddd,(,)(,)fxydyfxydy,,,ccdxx,.
fxy(,)定理4(可微性) 设fxy(,)和在[,][,]abcd，上连续,则 x
dIxfxydy()(,), ,c
[,]ab在上有连续的导函数,且
3
d, , Ixfxydy()(,),x,c
,,定理5(可微性) 设函数,都在上连续,又和 fxy(,)cx()dx()fxy(,)[,][,]abcd，x
在存在,且当时,有,,则 [,]abxab,[,]ccx,()dxd(),
dx() Fxfxydy()(,),,cx()
在上可导,且 [,]ab
dx(), ,,,Fxfxydyfxdxdxfxcxcx()(,),()(),()(),，,，，，，x,cx()
定理6 (可积性) 若在矩形区域上连续,则和分别 Ix()Jx()fxy(,)Rabcd,，[,][,]在和上可积. [,]ab[,]cd
d定理7 设在上连续,且,则 Ixfxydy()(,),fxy(,)[,][,]abcd，,c
bdb. Ixdxdyfxydx()(,),,,,aca
2.2 含参量广义积分的定义
[1]定义2 设函数在无界区域上有定义,若对每一个固定 fxy(,)Rabc,，，,[,][,]
,反常积分 的x,[,]ab
，,f(x,y)dy,c (2)
都收敛,则它的值是在上取值的函数,当记这个函数为时,则有 x[,]abIx()
，,Ixfxydy()(,), , (3) xab,[,],c
称(2)式为定义在上的含参变量反常积分. [,]ab
与一元函数广义积分相区别的是;由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值,而
是一个函数,这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中,不仅要有收敛性而且还必须讨
论收敛性与参量之关系,由此形成一致收敛性.
2.3 含参量反常积分的一致收敛性及其判别法
[1]Ix()定义3 若含参量反常积分(2)与函数对任给的正数,总存在某一实数, ,
MN,Nc,xab,,,使得当时,对一切,都有 ,,
M fxydyIx(,)(),,,,c
即
，,fxydy(,),, ,M
ab,ab,Ix()则称含参量反常积分(2)在上一致收敛与,或简单地说含参量积分(2)在上 ,,,,
一致收敛
ab,定理8(一致收敛的Cauchy准则) 含参量反常积分(3)在上一致收敛的充要条 ,,
4
Mc,件是;对任给正数,总存在某一实数,使得当时,对一切,都有 xab,,AAM,,,,1,2
A2 fxydy(,),,,A11,,例1 证明含参量反常积分
，,sinxy (4) dy,0y
,,0,,，,在上一致收敛(其中),但在内不一致收敛 (0,)，,,,
证明 做变量代换,得 uxy,
，,，,sinsinxyu (5) ,dydu,,0Axyu
，,sinu'duA,0其中.由于收敛,故对任给正数,总存在正数,使当,就有 ,AM,M,0u
，,sinu,,du, ',Au
Mx,,,0AM,,取,则当时,对一切,由(5)式有 ,A,
，,sinxy,,dy, ,Ayx,,,0所以(4)式在上一致收敛.
,(0,)，,现证明(4)在内不一致收敛.由一致收敛定义,只要证明;存在某一正数, 0
AM,xab,,使对任何实数,总相应地存在某个及某个,使得 Mc(),,,
，,fxydy(,),, 0,A
，,sinux(0),du,由于非正常积分收敛,故对任何和,总存在某个,使得 M0,0u
，,，,sinsinuu , ,,,dudu0,,Mx0uu
即
，,，,，,sinsinsinuuu,,,，,,dudu (6) 00,,,Mx00uuu
，,1sinu现令,由(5)及不等式(6)的左端就有 ,,du0,02u
，,，,sinsinxyu,,,,,,,dydu2 000,,MMxyu
5
所以(4)在内不一致收敛. (0,)，,
6,,例2 证明
，,sin2x,x, edx,0，,x
对上一致收敛. ,,0,bb,0，，,,
,,x,,x证明 因为e对单调,且(一致有界),因此,根据阿贝耳定 ,,,,,0,0xxe,1，，
，,sin2x理,要证明该积分在0,b上一致收敛,只需证明积分 对一致收敛即 dx,,0,b,,,,,0，,x可.由
A1(1)一致有界. ,,,,,AxdxA0,sin21cos21,02
1111,xx,，,()0(2)因子对于单调,且(当),因而对 ,,0,，,x,x，,，xx
,,0,b,(当). x,，,,,
，,sin2xDirichletdx,,0,b因此,由判别法, 对一致收敛. ,,,0，,x
，,y,I 设定义在,若对某个,广义积分在 定义4，f(x,y)D,,a,，,，If(x,y)dx00,a
，,，,yy点收敛,则称含参量广义积分在点收敛,若在中每一点 f(x,y)dxf(x,y)dxI00,,cc
，,都收敛,称含参量广义积分在上收敛. fxydx(,)I,a
a,，,M魏尔斯特拉斯判别法 设存在定义于上的函数,使 Fx()，,
fxyFxaxbcy(,)(),,,,,,,，,. ，,，,a,，,且f(x,y)dxFxdx()收敛,则在上一致收敛. ，,,,aa
D 阿贝耳判别法 设定义在上且满足; fxygxy(,),(,)
，,Ifxydx(,)(1)在上关于一致收敛. y,a
gxy(,)x(2)关于单调,即对每个固定为的单调函数. yIgxy,,(,)x
g(x,y)DgxyLxyD(,), (,),,,(3)在上一致有界,即,使.则 ，L
，,fxygxydx(,)(,) ,a
关于一致收敛. y
Dfxygxy(,),(,) 狄利克雷判别法 设定义在上且满足;
6
AA，,K0(1)关于一致有界,即, 使fxydxKAayI(,),,,,,, ,,Aafxydx,(,)y,,aa
都成立.
(2)对固定的,关于单调. gxy(,)yI,x
lim(,)0gxy,(3)关于一致成立;即,当时,关 gxy(,),,x,A,,，,,0,AayI,00x,，,
于一致成立.则 yI,
，,fxygxydx(,)(,) ,a
关于一致收敛. yI,
注 上述两个定理的证明和广义积分的收敛性的证明类似,其出发点都是积分第二
中值定理
,,AyA,(),. fxygxydxgAyfxydxgAyfxydx(,)(,)(,)(,)(,)(,),，,,,AAy(),
根据一致收敛判别定理,在讨论一致收敛性问题时,通常按如下顺序进行;首先考虑
能否用魏尔斯特拉斯判别法,其次,考虑用阿贝耳和狄利克雷判别法,再次,考虑用狄利 M
克雷判别法,最后,考虑非一致收敛性.但是,上述只是解决此类问题的一般规律.事实上,各
因此,在熟练掌握了各判别法的实质后,可根 类判别法所适用的对象都有相应的结构特点,
据题目结构特点,选用相应的判别法.
例3 讨论
，,,,xexdxsin ,0
0,，,,,,,，,,[,)(0)在(1); (2)内一致收敛性. ，，00
,,,，,[,)解 (1)当时,由于 0
,,x,,x0exesin,, 故利用魏尔斯特拉斯判别法可得 M
，,,x,exdxsin ,0
,,,，,[,)关于一致收敛. 0
,1,AA,，,,(2)当,,，,(0,)时,可以考虑非一致收敛性.若, ,nnn,A2n
,则 An,，2,,n4
2,xxAA,,sin,[,], nn2
因而
7
,,AA222,nn,,,A,,1,,,xxn, . exdxedxeAAe,,,,sin()nn,,AAnn224
故
，,,,x exdxsin,0
关于非一致收敛. ,,，,(0,)
例4 证明
，,sinx,,x edx,0x
0,，,在上一致收敛. ，,
1证明 该积分是典型的阿贝耳判别法所处理对象.令,显 fxxgxx()sin,(),0,,,x
，,，,，,sinx然单调趋于0,且有界,因此dx关于一致收敛.又 ,gx()fxydxxdx(,)sin,,,,0a0x,,xe是关于的单调函数且一致有界,故由阿贝耳判别法可知原积分关于一致 x,,，,[0,)
收敛.
6,,例5 证明
，,sin2x,x,edx ,0，,x
b,0,,0,b对上一致收敛(). ,,
,,x,,xe,,,,,0,0x证明 因为对单调,且 (一致有界),因此,根据阿贝 xe,1，，
，,sin2x0,bdx,,0,b耳定理,要证明该积分在上一致收敛,只需证明积分 对一致收 ,,,,,0，,x敛即可.由
A1,,,,,AxdxA0,sin21cos21(1)一致有界. ,02
,1111xx,，,0(2)因子对于单调,且(当),因而对 ,,0x，,,,，x，,xx
,,0,b,(当). x,，,,,
，,sin2xDirichletdx,,0,b因此,由判别法, 对一致收敛. ,,,0，,x
,，,fxydx(,)ycd,[,]uy()ycd,[,]引理9 若关于一致收敛,则关于一致收敛. ,n,a1n,
fxyCacd(,),,,,，定理10(连续性) 设上连续,若含参量反常积分 ,,,,
8
，, Ixfxydx()(,),,a关于一致收敛,则在上连续. ab,ycd,[,]Ix(),,
证明 由定理4,对任意递增趋于的数列()函数项级数 AAc,，,,,n1
,,An，1 IXfxydyux()(,)(),,,,n,An11nn,,
在上一致收敛.又由于在上连续,故每个都在上连续. ab,ab,acd,,,，ux()fxy(,),,,,,,,,n
根据函数项级数的连续定理,函数连续. Iyuy()(),,n
，,定理11(可积性) fxydx(,)设,若关于一致收敛,则 fxyCacd(,)[,,,],,ycd,[,],add，,，,. dyfxydxdxfxydy(,)(,),,,,,caac
证明 利用函数项级数的积分换序定理,则
,,dd,d，， dyfxydxuydy(,)(),u()ydy,,,nn,,,,,,caccn11,n，，,
an,,ddax ,fxydxdy,,((,))fxydxdy，，,,,,,,,cca,1xa1,,
add，,n . ,,dxfdydxfdy,,,,,acacn,1
，,d,，,fCac,，,，，,,,fxydx(,)当时,则设,关于一致收敛个环节 ycC,[,]，，,,,a
，,fxydy(,)改革,关于一致收敛,且 (),,CcxaAAa,,,[,](),c
，,,dxfxydy(,) ,,ac
和
，,,dyfxydx(,) ,,ca
，,，,，,，,dyfdxdxfdy,中有一个存在,则. ,,,,caac
，,ffCacd,,[,],，,，fxydx(,)ycd,[,]定理12(可微性) 设,且关于一致收 ，,y,a
，,，,Iyfxydx()(,),fxydx(,)[,]cdycd,[,]敛,关于一致收敛,则在可微,且 y,,aa
，,,Iyfxydx()(,),. y,a2.4 Cauchy收敛准则在证明牛顿—莱布尼茨公式中的运用
7,,ab,fx()Fx()定理13 若函数在 上连续,且存在原函数,即 ,,
9
,,, Fxfx,xab,,，，，，,,则上可积,且 fab在,,,
bfxdxFbFa()()(),,. (7) ,a
,,0，,,0证明 由定积分定义,任给,要证,当时,有 T,,
n
, fxFbFa,,,,,,，，，，，，，，,ii，，i,1
下证满足要求的存在性,事实上,对于ab,的任一分割,在每个 Taxxxb,,,,,,,,,,,,,,01n
xx,小区间上对用拉格朗日中值定理,分别使得 ，,,,,,,(,),1,2,,,inFx(),,ii,1ixx,1ii
nnn (8) ,，，FbFaFFFxfx()()()()()(),,,,,,,,,,,,iixx,1，，iiii,,,11iini
,,,因为fxab(),在xxab,,,上连续,从而一致连续,所以对上述,当且 ,,,，,0,0,,,,
,,,xx,,,时,有
,,,,fxfx,,. ，，，，ba,
,,,xT,ixx,,,,,,,于是当时,任取,便有,这就证得 ,,iii,1ii
nn
fxFbFaffx,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，,,iiiii，，，，ii,,11
nn,. ,,,,,,,ffxx,,,，，，，,,iiiiba,ii,,11
ab,所以f在上可积,且有公式(7)成立. ,,
2.5 Cauchy收敛准则在一致连续性定理中证明的运用
ab,ab,定理14 一致连续性定理;若函数在区间上连续,则在区间上fx()fx(),,,,
一
致连续.
,,0ab,xab,,,,0证明 由fx()在上的连续性,任给,对每一点,都存在,使得 ,,,,x
,xUx;,,当时,有 ，，x
,,,,fxfx，，，，, 2
,,,,,xab,HUxxab,,考虑开区间集合,显然是的一个开覆盖,由有限覆盖定 ,,H,,,,,,,,2,,,,
10
,,,,,,,,,ii理,存在H的一个有限子集.覆盖了.记. ab,HUxik,1,2,,min0,,,,,,,,,,,,,,i,,22,,,,,,
,,,,i,,,,,,xxabxxx,,,,,,,,对任何必属于中某个开区间,设,即 H,,xUx;,i,,2,,
,i,,此时有 xx,,i2
,,,iii,,,,,,. xxxxxx,,,，,,，,，,,,iii222
,,fxfx故,有,,,同时有 ，，，，2
,,,,,fxfx,,和fxfx,, ，，，，，，，，ii22
,,,ab,由此得,所以在上一致连续 fxfx,,,f,,，，，，
.
3 含参变量广义积分的相关应用
含参量积分是一类重要的工具,其在研究函数的极限,计算定积分和重积分,求解微分
方程,利用欧拉公式求解定积分等方面有重要的作用. 3.1 利用含参变量广义积分求函数的极限
6,,y定理15 设为包含的某个区间.若; I0
，,fxydx(,)yy,(1)对一致收敛;当时; yI,0,0
,a,)，,aA,(2)在上内闭一致收敛于函数[即;于上(当 fxy(,),,Aafxyx,(,)(),,,,,yy,时)]; 0
，,,()xdx(3)收敛. ,a
，,，,，,则. lim(,)lim(,)()fxydxfxydxxdx,,,,,,aaayyyy,,00
DxyaxyI,,,，,,(,):,[特别～若在区域上连续～则条件(2)自然满足～且fxy(,),,
,()(,)xfxy,.] 0
4,,例6 求极限
，,sin2x,x,limedx . ,，00a,，,x
解 因为被积函数
sin2x,,x,,fxe(,) ，x,
11
sin2x在上连续,且在上可积,故只需证明原积分 0,，,fx(,0),0,0,,，,,,x,,，,x
，,sin2x,x,对一致收敛即可,证明过程见例5,故, edx,,,，0,,,,0，,x
，,，,sin2sin2xx, 原式= dxdx=(2)=,,00xx22
3.2 利用含参变量广义积分计算定积分
11,,例7 计算
，,sinsinbxax,px, . Iepba,,,0,，，,0x
bsinsinbxax,解 因为,所以 ,cosxydy,ax
，,sinsinbxax,,pxIe,,0x
，,b,px cos,exydydx，，,,a0
，,，,,px . cos,dxexydy,,00
，,px,,,pxpxedx由于及反常积分收敛,根据魏尔斯特拉斯判别法,含参 exyecos,M,0
量反常积分
，,px,exydxcos ,0
,pxab,0,,，,，ab在上一直收敛.由于在上连续,根据含参变量积分的可 exycos,,，,,,
，,，,px,I,dxexydycos积性交换积分的顺序,积分的值不变.于是 ,,00
bb，,p,pxIdyexydxdy,,cos22,,,0aa，py
ba arctanarctan,,pp
11,,例8 计算
，,2x,,rerxdx,cos. ，，,0
，,222,,xxx,rerxecos,edx解 由于对任意实数成立及反常积分收敛,所以积分 ,0
，,2x,,rerxdx,cos, ，，,0
r,,,，,,在上收敛,所以积分 ，，
，,2x,,rerxdx,cos ，，,0
12
在上收敛.考察含参量反常积分 r,,,，,,，，
，,，,22xx,,,,rerxdxxerxdx(cos)sin,,,，，r,,00.
，,222,,xxx,x,0,,xerxxesin由于对一切,成立及反常积分收敛,根据 r,,,，,,xedx，，,0魏尔斯特拉斯判别法,含参量反常积分 M
，,，,22xx,,, ,rerxdxxerxdx(cos)sin,,,，，r,,00
在上一致收敛. ,,，,,，，
综合可得;
，,A22,,xx, ,rxerxdxxerxdxsinlimsin ,,,,，，,,00A,,
A，,A22211r,,,,,xxx,,,limsincoscoserxrerxdxerxdx,,,,00,,A0222,,
r,,,r，，2
于是有
2rlnlnrc,,，, ，，4
2r,4 . ,rce,，，
，,2,,x,,0,c,rerxdx,cos,c0,从而,又由可得,所以,因此到 ,，，，，，，,022
2r,,4re, ,，，2
3.3 利用含参变量广义积分求隐函数的导数
FxyFxy(,)(,),对于方程(或)所确定的隐函数,若(或 yfx,()Fxy(,)Fxy(,)0,12
Fxy(,)Fxy(,),)有连续的导数,则隐函数yfx,()也有连续的导数.并且它的导数可按如 12
下方法求出;将方程中的看成是由方程所确定的隐函数,从而原方程成为恒等式,在等 y
式两端同时求导,便可求得隐函数导数的线性方程,解之即可求出隐函数的导数.
yx，1dy6,,t3yfx,()例9 是由方程所确定的隐函数,求其导数( 2dttdt,,,y,10dx
解 对上述方程两端求导得
1y，xdd3t,,,,2dttdt,,,,,,,10y,,,,,dxdx( 则由含参变量积分可微性有
13
yx，1,,,,y，1，，ty,1333,,, 2212100dtyytdtxx，,，,,,,，,,,，，，，，，，，,,y,10xx,,
即
yy，,11，，，，3,,( 22,,,,yyx所以
3x,( ,yyy，,11，，，，22,又由题知
yx，111t4,,2t, ln24y,10
1(1)(1)4yy，,,,,x22ln2所以,则, 4
3x,y,, 14ln2,x4所以
dy4,( dxxln2,3.4 利用欧拉公式求解定积分
1q,1p,1BetaBpqxxdxpq,1,0,0,,,,(1)称为函数或第一类欧拉积分,它的等，，，，,0
价形式
有;
,2121pq,,2Bpqd,2cossin.,,,, ，，,0
，,sx1,,Gamma,,,Sxedxs,0(2)称为函数或第二类积分.它的等价形式有; ，，,0
，,21sx,,,,sxedx2. ，，,0
(3)函数与函数之间的关系 ,,
,,pq，，，，,,,,pqpq,,0,0，，,，pq，，
注 其他性质及推导式见附录. A
1,,例10 计算
4，,xdx;2,0，1x，，
14
xt1解 令,则,代入原积分可得 t,xdxdt,,,21，x1,t1,t，，
141，,1x53,,,44 ,,,,dxttdt1,，，,,2,,0044,,，1x，，
53,,,,,,,,,,11344,,,,,,,, ,,,,,,,,,2444，，,,,,
1,, (余元公式) ,,,,422sin4
2,,例11 计算
，,，,44xx2,, . edxxedx,,,00
4tx,解 令,则
31，,，,，,，,,,441xxtt,,,,244edxxedxtedttedt,, ,,,,000016
1131,,,,,,,,,,,, ,,,,,16441682,,,,sin4
3.5 函数与函数在概率论与数理统计中的应用 ,B
将函数与函数及其关系应用于解概率题,可以使复杂的解题过程简单易懂,下述,,
例题简单的展现出它们的妙用之处.
2,,2Xxn EX例12 设,求 ，，，，
n21,,nx,,，,，,1,,2,,22xxedx,,,,EXxfxdx,解 ，，，，,,0,,n,,,,,2,,
n21,,nx,,令,t，,22t,,,2tedt,,,,,,,22 ，，,0n,,,,,2,,
15
nn21,,2,,22n，，,,，,11，,2n,,22,,,t ,,，1 tedt ,，，,,,0nn2,,,,,,,,,,,,22,,,,
2nn,, =,,, =n,,n22,,,,,,,2,,
，,2,11x,,,例13 证明概率积分 edx,,02
111222证明 令,则,dxydy, xy,yx,2
所以
1，,，,,21xy,,2 edxeydy, ,,002
11,,,,,,,,222,,
，,2x,lim1edx,此概率积分可以推广成一般的积分极限问题,如证明; ,0n,,
21tx,,1，,，,21,,xtnedxtedt,证明 ,,00n
111,,,,,t (因连续) ,,,,，,,,,,111n，，，，，，,,,,nnn,,,,
11,,2例14 设与相互独立,分别是自由度为n与的分布的随机变量,试求 ,,,,
,
n,的密度函数 ,,
m
,2n解 由自由度为的分布的密度函数(见附录A),由此宜求得的密度为 ,,n
nxn,,n,122nxex,0，，,nn,,,2 f,2,,,,,2n,,,
,00x,,
,的密度为 m
16
mxm,,m,122mxex,0，，,mm,,,2 f,2,,,,,2m,,,
,00x,,
再由商分布的公式得
，, fyxfyxxdx,,，，，，,,,,
nxymxnm，,,,nm11,,2222 ,, xnxyenxedx，，，，nm,0nm,,,,2222,,,,,,22,,,,
nm，xnym，，，nmn22,,,11，,nm222, yxedx ，mn,0nm,,,,22,,,,,,22,,,,
，，xnymt，,令,则有
nmmn，nt2221，,,,,,nmt22fyyenymdx,,,， ，，，，,,,mn，,0nym，mm,,,,,,22,,,,,,22,,,,
mn，,,nmn，,1,nmt,,22，,,1yt2,,,,222 ,,,,,nmedt ,,,0mn，nmmn，2,,,,,,,,nym，，，,,,,,,,,,2222,,,,,,
mn，,,,nm,,1mn，2,,,,22,,,,,nm ,,nmmn，2,,,,,,,,,,,,,,,,,222,,,,,,
mn，,,n,1,nm,,2y2,,22,,,,nm mn，nm,,,,2nym，,,，，,,,,22,,,,
nm,此密度函数成为参数为的分布,记作Fnm(,),它是数理统计中常用的分布之F,一,无论是数学分析中,还是在概率统计中,运用函数与函数,解题的关键是经换元或,,
变形,使其具有函数与函数的定义形式,然后再应用它们的性质及相互之间的关系. ,,
4 结束语
本文主要是将含参量广义积分在数学分析及概率论与数理统计中的应用做一个归
17
纳与总结,较全面地归纳和总结了:含变量积分的相关定义及定理、含参变量积分收敛 与一致收敛的判别方法以及含参变量积分的相关应用.
当然,本文仍然存在许多的不足,尤其是在一些相关定理的证明过程上,不是很详细,而且例题的数量也不是很充分,列举的有些例题的证明方法比较单一,所以从整体部分来看本文不是很完善,还需要补充一些特殊例题的特殊方法的证明,
本文达到了预期的目的,使我对数学学分析的认识更深入了一些,从理论和实践上都得到了较大的提高,丰富了自己的知识面,学到了以前没能深入了解的东西.并且从毕业论文修改过程中,学到了很多经验,并且提高了自己分析问题的能力.
参考文献
[1] 华东师范大学数学系,数学分析(下册) [M].北京;高等教育出版社,2001.;172—194( [2] 华东师范大学数学系(数学分析(下册)[M].第三版,北京;高等教育出版社,2001.;173,190( [3] 舒阳春,高等数学中的若干问题解析[M],北京;科学出版社,2005.;100,107( [4] 钱吉林,数学分析题解精粹[M], 武汉;崇文书局,2003.;326,349(
[5] 陈守信,考研数学分析总复习[M],北京;高等教育出版社,1993.;257,277(
[6] 裴礼文,数学分析中的典型问题与方法[M],北京;机械工业出版社,2011.7.;765,813( [7] 陈文灯,黄先开,考研数学复习指南(理工类)[M],北京;世界图书出版公司,2010.;76,77( [8] 董立华,叶盼盼.关于含参量广义积分一致收敛性的讨论[N](枣庄学院学
报,2008.10(2008105-0051-050)(
[9] 孙建安(一类含参变量积分的表示形式[J](吕潍师专学报,2000,19(5)(
[10] 倪伟平(用含参变量积分解决积分计算的数学模式[J](枣庄师专学报,2000,17(2);32,33( [11] 魏宗舒等编.概率论与数理统计[M].北京;高等教育出版社,1983;233,234
18
致 谢
在此我要感谢我的论文指导老师何郁波老师,他的严禁细微和一丝不苟的学习工作态度是我学习的榜样,他的循循善诱对我的论文的完成给予了无限的启迪.在我刚开始写这篇论文的时候不知道如何下手,何老师不厌其烦的给予我帮助,这是我这篇文章能顺利完成关键,同时还要感谢在身边支持我的陈端杰同学和其他朋友们,是他们在我思路堵塞的情况下给予了我帮助,才使这篇论文进行的如此顺利.
19
附录A 数学分析
函数的性质; ,
,pq,1,函数在其定义域上连续且有任意阶连续偏导数; pq,,0,0，，
2,对称性;, ,,,pqqp,,，，，，
3,递推关系式;
qp , ,，,,pqpq,1,,，,,pqpq1,,，，，，，，，，pq，pq，如果都是自然数,则 mn,
mn,,1!1!，，，， . ,,mn,，，mn，,1!，，
函数的性质; ,
s,01,在其定义域上连续,且有任意阶连续导数,
,，,,,ssss1,02,递推关系式; ，，，，
n如果是自然数,则
,，,nn1! ，，
,,,,,,,sspq1,0,0余元公式;. ，，，，sins,
概率论与数理统计
2X,分布的密度函数
xn,,1,122nxex,0，，,nn,,,2 f,2,,,,,2n,,,
,x00,,
20
范文五：含参量正常积分
?1 含参量正常积分
,(这个函数在时不连续), 1. 设f(x,y),sgn(x,y)x,y
1试证由含参量积分所确定的函数在上连续,并作函数的(,,,，,)F(y)F(y),f(x,y)dx,0
图象.
证: 由于,因此 x,[0,1]
1?)当时, y,1F(y),(,1)dx,,1,0
当时, . y,0F(y),1
y11?) 当时, . 0,y,1F(y),f(x,y)dx,f(x,y)dy，f(x,y)dy,1,2y,,,y00
1,,,,y,0,
,于是,显然在上连续. F(y)(,,,，,)F(y),1,2y,0,y,1,
,,1,1,y,，,,
2. 求下列极限
21222(1); (2) . limx，,dxlimxcos,xdx,,,01,,,,00
22解: (1)由于在上连续,据定理19.1 有 [,1,1]，[,1,1]f(x,,),x，,
1112222. limx，,dx,limx，,dx,xdx,1,,,,,,11,,,,100
2(2) 由于在上连续,据定理19.1 有 [0,2]，[,1,1]f(x,,),xcos,x
2228222=. limxcos,xdxlimxcos,xdx,xdx,,,,000,,0,,03
2x2,xy,3. 设,求. F(x)F(x),edy,x
解: 应用定理19.4,
22xx22225322,xy,x(x),x,x,,2,xxxy,. F(x),(,ye)dy，e,2x,e,2xe,e,yedy,,xx
4. 应用对参量的微分法,求下列积分:
,22222(1); ln(asinx，bcosx)dx,0
,2(2) . ln(1,2acosx，a)dx,0
解 (1)若a,0,则b,0,所以
,,,222222222== ln(asinx，bcosx)dxln(bcosx)dx,lnb，2ln(cosx)dx,,,000
b=, ln,2
同理,当时,则,从而 b,0a,0
,a22222= ln,ln(asinx，bcosx)dx,02
,22222下设,,令 a,0b,0I(b),ln(asinx，bcosx)dx,0
2,,2cosbx21,/22由定理19.3知:, dx,I(b),,dx,2222,00aa，bsin，cosbaxbx21，(tan)xb
,a222由于=ln ,I(0),ln(asinx)dx,02
因此
,ab,()lnIb,dt，,02a，t
a，bln,,2
22从而,当时 a，b,0
,a，b22222=ln. ,ln(asinx，bcosx)dx,02
,2(2)令 I(a),ln(1,2acosx，a)dx,0
222当时, 1,2acosx，a,1,2a，a,0,因而, (,)a,1ln(1,2acosx，a)
为连续函数,且具有连续导数,于是
2,,2a,2cosx,1a1/dx,， [1]dxI(a),22,,001,2acosx，aa,，12acosxa
2,a,111,,，,dx=0 22,0,2aaa1，a1，21，a
从而, I(a)恒等于常数,根据I(0),0知:I(a),0(a,1)
1(?)当a,1时,令,则b,1,于是有I(b),0, b,a
,121I(a),I(),ln(1,cosx，)dx2,0bbb
,,22,ln(b,2bcosx，1)dx,lnbdx ,,00
,,I(b),2lnb
,2,lna
(?)当时,有 a,1
, I(1),ln(2,2cosx)dx,0,0
同理 I(,1),0
,0,a,1综上所述,得知I(a), ,2,lna,a,1,
注: (1)可以由(2)推出.
5. 应用积分号下的积分法,求下列积分:
ba11x,x(1) sin(ln)dx(b,a,0);,0xlnx
ba11x,x(2) cos(ln)dx(b,a,0);,0xlnx
ba1x,xsin(ln)解 (1)令. g(x),xlnx因为,,补充定义,后,在[0,1]上连续, g(0),0g(1),0g(x)limg(x),0limg(x),0，,x,0x,1
babb11x,x1yyxdy,因此有 () ,[sin(ln)xdy]dxI,g(x)dx,,,,aa00lnxx
1,ysin(ln)x0,x,1,令f(x,y),, 则在上连续,据定理19.5有 f(x,y)[0,1]，[a,b]x,
,0x,0,
bb11b，,11(1)yy,t,y，t (令) [sin(ln)xdy]dx,dysin(ln)xdxx,e,dyesintdt,,,,,,0aa00axx
b1. ,dy,arctan(1，b),arctan(1，a)2,a1，(1，y)
ba,1x,xcos(ln)0,x,1,xlnx,,(2) 令g(x),b,ax,1则在上连续, g(x)[0,1],
,0x,0,,,
1b1b111yy因而有 ,[cos(ln)xdy]dx,dxxcos(ln)dyI,g(x)dx,,,,,0a0a0xx
1,yxcos(ln)0,x,1,,则在上连续,据定理19.5有 令f(x,y),f(x,y)[0,1]，[a,b]x,
,0x,0,
2b1b1b11b，2b，211yy ,dy,lnI,dxxcos(ln)dy,dycos(ln)xdx,,,,22,a0a0a2xx1，(1，y)a，2a，2
22221111x,yx,y6. 试求累次积分: 与;并指出它们为什么与定dxdydydx,,,,2222220000(x，y)(x，y)
理19.6的结果不符.
2211x,y解: dxdy,,22200(x，y)
21,12x,，dx()dy22222,0，，xy(xy)
1111,11y12 ,，,，,,dxdy2x(dy),,,2222222000，，，xy2xxyxy0
111,arctan. ,dx,x,,2041x，0
222211x,yx,y,类似的,累次积分不相等的原因是函数在区间域dydx,,222,,222004()(x，y)x，y
上有一点处不连续. ,,,,(0,0)0,1，0,1
1yfx(),7.研究函数的连续性,其中在闭区间上是正的连续函数. f(x),,0,1Fydx(),220，xy
解 对任一,取,使, y,0y,,,0,,000
,,于是,被积函数在,,,,上连续,则F(y)在上连续, 0,1，y,,,y，,y,,,y，,0000
特别在处连续.由于的任意性,这说明F(y)在(0,，,)上连续. yy00
11,yfxyfx()()又由于, ,,,,Fydxdx(),,222200，，xyxy所以,在上连续,以下考虑在处的连续性. F(y)(,,,0)y,0由于为上连续函数,则存在最小值, f(x),,0,1m,0
11yf(x)my1当时,有, F(y)dxdxmarctany,0,,,,,222200yxyxy，，
m从而有. lim(),,,0Fy，y,02
,于是在处不连续. 但F(0),0F(y)y,0
所以在上连续,在处不连续. F(y)(,,,0),(0,，,)y,08.设函数在闭区间上连续, f(x)[a,A]
x1证明: . (a,x,A)lim[f(t，h),f(t)]dt,f(x),f(a),ah,0h
x证: 令, (a,x,A)I(x),f(t)dt,a
,由微分学基本定理知,. I(x),f(x)(a,x,A)从而
xx，hax，h ,I(x，h),I(a，h)(a,x,A)f(t，h)dt,f(u)du,f(t)dt，f(t)dt,,,,aa，ha，ha由于, I(,),0
IxhIxIahIa()()()()，,，,,,则. ,I(x),I(a),f(x),f(a)(a,x,A)lim[],，h,0hh
xy9.设,其中为可微函数,求F(x,y). f(z)F(x,y),(x,yz)f(z)dzxxy,y
解: 据定理19.4知:
xyxx12Fxyfzdzyxxyfxyfxy (,),()，(,)(),()(,)xx,yyyy
xy2 ,f(z)dz，xy(1,y)f(xy)x,y
xx222, F(x,y)xf(xy)f()(x3xy)f(xy)xy(1y)f(xy),，，,，,xy2yy
xx222,. ,x(2,3y)f(xy)，f()，xy(1,y)f(xy)2yy
,,,d2222F(k),10.设,,其中(这两个积分0,k,1E(k),1,ksin,d,,,02201,ksin,
称为完全椭圆积分).
(1) 试求与的导数,并以与来表示它们; E(k)F(k)E(k)F(k)
1E(k),,,(2) 证明满足方程. E(k)E(k)，E(k)，,02k1,k
22,,,dk(1,sin)d2222,解: (1)由定理19.3 ,有 Ekk,d,d,(),1,sin,,,00dkdk
,,,2,sin11k22222,,,,, d,[1ksin,d,d,],,,0002222k1,sin,k1ksin,,1. ,[E(k),F(k)]k
,,,2sin,,ddd1k222,,,, F(k)()d,d,,,,0002232222dkdk,,(1,sin)1ksin1ksink,,,
,,111E(k)122,,. [d,d,],,F(k),,20022322kkk(1,k),,(1ksin)1ksin,,
111,,,,,(2)由(1)有 E(k),{[E(k),F(k)]},,[E(k),F(k)]，[E(k),F(k)]2kkk从而
1E(k)121E(k),,,,,E(k)，E(k)，,,[E(k),F(k)]，E(k),F(k)， 222kkk1,kk1,k
11111E(k)1E(k),,E(k)，F(k)，E(k),F(k),[,F(k)]， 222222kkkkkkk(1,k)1,k
1E(k)E(k),E(k),，,02222kk(1,k)1,k
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