俺是一朵云
范文一：复数的乘法除法
临朐中学高二数学选修1-2第三章
【预习导学】
1． 复数的加减法的几何意义是什么？
2. 复数代数形式的乘法运算
（1）. 复数的乘法法则：
（2）复数的除法法则：
【前置测评】
?2i ?1. 复数 ?等于（ ） A．4i ?1+i?
2. 设复数z 满足
A ．-2+i 2B ．-4i C ．2i D ．-2i 1+2i =i ，则z =（ ） z B ．-2-i
3C ．2-i D ．2+i ?1??+3. 复数 22i ?的值是（ ） A.-i B.i C.-1 D.1
??
4、 计算
（1）(1+4i ) +(7-2i ) （2）(5-2i ) +(-1+4i ) -(2-3i ) （3）(3-2i ) -[(-4+3i ) -(5+i )]
5、已知复数z 与(z +2)2-8i 都是纯虚数，求z .
【探究1】观察下列计算，思考复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 计算 （1）(1+4i ) ?(7-2i ) （2）(7-2i ) ?(1+4i )
（3）[(3-2i ) ?(-4+3i )]?(5+i ) （4）(3-2i ) ?[(-4+3i ) ?(5+i )]
结论：
【探究2】 复数乘法的法则
2(1+4i ) ?(1-4i ) (1-4i ) ?(7-2i ) ?(1+4i ) (3+2i ) 1、计算（1） （2）（3）
2、已知复数Z ，若(2+3i ) Z ≥8，试求Z 的值。
结论:共轭复数：两复数a +bi 与a -bi 叫做互为共轭复数，当b ≠0时，它们叫做共轭虚数。注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数3-2i , -4+3i ,5+i , -5-2i ,7,2i 。
【探究3】
=，试写出复数的除法
法则 (其中c -di 叫做实数化因子)
练习3．计算 (1) (3-2i ) ÷(2+3i ) (2) (1+2i ) ÷(-3+2i )
3-2i
(1+2i ) 23-i (1+i ) 2-1(3) (4)
例1：计算计算（1）
巩固练习：设w =-13+i ，求证： 22(-1+i )(2+i )i 3 （2）i +i +i +i +i （3
2345（1）1+w +w 2=0； （2）w 3=1.
小结：几个特殊结论：规定i 0(1)i 的周期性：i 4n +1= i 4n +2=i 4n +3= i 4n (2)如果ω=-+1
2i ，则ωω2=，ω3= 2
1+ω+ω2=ω2=，ω+
(3) (1-i ) 2(1+i ) 2
例2、已知z -z =
跟踪练习 ：
1. 已知z =1+i , a , b ∈R
（1）若ω=z 2+3z -4, 求
2i ，求z 2+i 1=，|ω| ω
z 2+az +b =1-i ，求a , b 的值。 （2）若2z -z +1
2. 若z 1=a +2i , z 2=3-4i ，且
z 1为纯虚数，求实数a 的取值。 z 2
【检测反馈】
1．(2010·湖南文，16) 复数2等于( ) 1－i
D ．－1－i A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i
2．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( )
A ．－3 B ．3 C ．－3i D ．3i
1－i 3．当z ＝z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 2
4＋3i 4．复数的实部是( )A ．－2 B ．2 C ．3 D．4 1＋2i
5．若复数(1＋bi )(2＋i ) 是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数) ，则b ＝( )
A ．－2 11B ．－2 C. 2 D ．2
1－z 6．设复数z 满足＝i ，则|1＋z |＝( ) 1＋z
A ．0 B ．1 C. 2 D ．2
7．已知3－3i ＝z ·(－23i ) ，那么复数z 在复平面内对应的点应位于( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
1－i 8．复数z ＝ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( ) 1＋i
A ．1 B ．－1 C．i D．－i
【总结反思】
范文二：复数的除法
复数的除法
陆 庭
一、教材分析:
本课知识点不多，在学生掌握了复数乘法的基础上导出复数的除法学生容易理解。因此，本节课以学生自主学习为主，教师总结学生探索到的解决复数除法的各种方法。
二、教学目标:
1.知识与技能:掌握复数除法的运算法则，并能熟练地进行除法的运算;
2.过程与方法:掌握复数除法的运算法则，让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法;
3.情感、态度、价值观:通过学习复数除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
三、教学重点、难点分析:学生自主学习过程中存在的疑惑
四、教学过程:
(一)前置性学习任务
1、回顾复数乘法的运算法则，求满足下列条件的复数z:
(3-i)z=4+2i
42，i 2、计算 3,i
22， 3、计算
32,
2，i 4、对比3，计算 3,i
(二)阅读教材，结合(一)归纳复数除法的运算法则
(三)各学习小组组内交流，小组组长总结复数除法的运算法则及遇到的疑惑，留在课上与其他小组做交流。
(四)课堂交流、探究
1、前置作业展示(实物投影展示)
2、小组对课本上两种方法的理解交流:解法一(待定系数法—将除法转化为乘法—理解转化思想);解法二(分母实数化—类比分母有理化)
3、各小组寻找、探讨、交流其他解决复数除法的方法
4、让学生提出解复数除法需要注意的意见和建议，各小组点评。
5、例题讲解:
已知，，求z2izz55izz,,，,,，，11212
6、学生自主编题、出题，小组展示题目，各小组交换解答，出题小组点评，并解释出题原因及考查何项相关知识点。
7、课堂小结:学生和教师一起总结本节课所学相关知识点。
范文三：复数的除法
第三章 实数系的扩充与复数
3.2.3 复数的除法
一. 教学内容:
复数除法的运算法则
补充:共轭复数的性质以及复数的模的性质
二. 重点、难点:搞清复数的运算法则，与共轭复数的性质，能够对复数进行运算.
三.教学过程
1.关于 的值
即:互为共轭复数的两个复数的积，等于其中一个复数的模的平方。
这样，在实数集内不能分解的因式到复数集内仍可分解。 2 复数的除法法则
两个复数相除，把商式的分子，分母同乘以分母的共轭复数，并把结果化简后，实部、
虚部分离，即把商式分母实数化的过程。
3.关于共轭复数的运算性质:
4.. 关于复数的模的性质:
四.【典型例题】
例1.
解:
注:求一个复数的平方根，只需利用平方根的定义，以及复数相等的条件，即可把问题转化为已知的问题。
例2.
分析:只需把z,1，i代入关于z的表达式，即可经过复数的乘除加减运算，得到复数ω，进一步根据模的定义，求出|ω|。
注意:由于ω的表达式中关于z的运算除了乘除运算外，还包含加减运算，因此无法运用模的运算性质求值。
解:
例3.
解:可直接利用复数模的运算性质，以简化运算。
例6.
分析: 的方程，再根据方程的类型判断动点轨迹或联想到前述定理:
进一步利用共轭的性质化简，变形，也可得到z的方程，进而判断动点轨迹。
解法一:
解法二:
注:解法一是求轨迹方程的基本方法，采取了化虚为实的手法;而解法二则应利用复数
共轭的性质，采用了一定的变形技巧，得到了动点轨迹的复数形式的方程，也不失为一种较
好的方法。
例4.
分析:
程的几何意义上分析问题。
证法一:
证法二:
【五】课后小结:搞清复数除法的运算法则，能够求复数的共轭复数，能够进行运算.
六.课后作业.
七.板书设计
八【模拟试题】
一. 选择题:
1. " "是" "的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
2. 设 ，则 ( )
A. B.
C. D.
3. 计算 的结果为( )
A. B. C. 1 D.
4. 若 ，则z对应的点的轨迹是( )
A. 圆 B. 两点 C. 线段 D. 直线
5. 复数 ，且 ，则 是( )
A. 实数 B. 纯虚数 C. 非纯虚数 D. 复数
二. 填空题:
6. 计算: ___________
7. 计算: _________
8. 的模等于_________
9. 在复数集内分解因式: ____________
10. 若 ，且 ，则 ____________
三. 解答题:
11. 若复数z满足 ，且 为纯虚数，求z。
12. 若复数z满足 ，求证:
13. 若复数z满足 ，求 的最大、最小值。
范文四：复数的除法
复数的除法
【自主学习】掌握复数除法法则,能运用除法法则进行除法运算
【重点】 :复数除法法则。 【难点】 :进行除法运算
【自主学习】
1、如果存在一个复数 Z ',使 ____________则 Z '叫做 Z 的倒数,记做 _____
2、用待定系数法推导倒数:设 z bi a z 1
, 求 += 设 yi x z +=1
则
所以:=Z 1
________________
3、复数除法运算法则:
=+÷+) () (di c bi a
【自我检测】 1.计算:
(1) i i
472++=
(2) i i
--42=
(3) i i
-12=
(4) i 21
=
(5) i 1
=
(6) i +11
=
2. 复数 32322323i
i
i i +--=-+
(A ) 0 (B ) 2 (C ) -2i (D)2
【合作探究】
1、已知 ()=+=+-a i a i i 则 , 3113
( )
A – I B -5i C -2-3i D 2-3i
2、设 a 是实数,且 211i
i a
+++是实数,则 a 等于(
) A 21 B 1 C 23
D 2
3、 ()()
221111i
i i i -++=+- ( ) (A ) i (B ) i - (C ) 1 (D ) 1-
4、 ()等于 i
i i i 21213163++--++- ( ) A 0 B 1 C -1 D i
5、已知复数 z
满足(3i ) z =3i ,则 z =( )
A
. 322
B. 344
C. 322
D.344
【反思与总结】
【达标检测】
1. 复数 31i i
--等于( ) . A . i 21+ B. 12i - C. 2i + D. 2i -
2. i 是虚数单位, i
i -25=( ) A i 21+ B i 21-- C i 21- D i 21+-3.
复数 等于( ) A . i B. i - C
i D
i
4. 设 1z i =+(i 是虚数单位) ,则 22z z
+=( ) A . 1i + B . 1i -+ C . 1i - D . 1i --5. 已知 1i
Z +=2+i,则复数 z=( ) (A ) -1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
6. 已知复数 12z i =-,那么 1z
=( ) (A
) 55i + (B
) 55
- (C ) 1255i + (D ) 1255i - 7. 已知 z 是纯虚数 , 21i
z +-是实数 , 那么 z 等于 (A ) 2i (B)i (C)-i (D)-2i 8. ) 对应的点位于(在复平面内,复数 ) 1(1i i
i +++ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
范文五：复数的除法
复数的除法
教学目标:
1(理解并掌握复数的除法定义及运算方法
2(运用复数除法运算发现复数运算中的一些规律
3(培养学生探索问题，归纳问题的能力。
教学重点难点:
复数除法运算法则
教学过程:
一(情景引入:
1(复习复数相等的定义
学生答:若两个复数满足，那么这两个复数相等 ZZ,ReRe,ImImzzzz,,121212
2(复习复数乘法的运算法则
学生答:abicdiacbdbcadi，，,,，， ，，，，，，，，
3(复习共轭复数乘积的特点
222ZZZ,,学生答:设abiabiab，,,,，，则有:，即 ZabiabR,，,(,)，，，，4(提出问题:在实数集R内我们定义了加、减、乘、除四则运算.在复数集C 中我们已经学过加、减、乘，请同学们结合实数的除法运算法则，利用类比的思想给复数的除法下一个定义.
二(学习新课:
1(复数除法的定义:
通过同学们的讨论，知道在实数集内，除法是乘法的逆运算.复数集是对实数集的一次扩充，复数集上的运算法则当然应该满足且适用于实数集.所以复数集上的除法也应该是乘法的逆运算，即复数除以复数a，bi(a,b,R)
且的商是指满足: c，di(c,d,Rc，di,0)
(c，di)(x，yi),a，bi
a，bi的复数x，yi(x,y,R)，记作，根据复数相等的定义得 c，di
cx,dy,a,， ,dx，cy,b,
解得
用心 爱心 专心
acbd，,x,22,cd，， ,bcad,,y,22cd，,
，，,abiacbdbcad所以 ,，， i2222，，，cdicdcd
2(“分母实数化”运算复数的除法:
由此我们可以看出两个复数的商仍然是一个复数，其运算的结果就是分母实
数化的结果，请同学们类比实数集中分数分母有理化的方法，给出两复数的商的
另外一种计算方法.
通过同学们的讨论，得出如下算法:
abiabicdiacbdbcadiacbdbcad，(，)(,)(，)，(,)，, i,,,，222222cdicdicdi，(，)(,)cdcdcd，，，
注:分母实数化的运算比较简便，也是复数除法的基本化简方法
三(例题解析:
例1(计算:
1,i1,i(1) (2) 1，i1，i
221,i1，i，，，，1,i1,i,,解: 解: 111，，,,iii111，,,,iii，，，，，，，，
22122,，,iii122，，iii,,,, 112，112，
,,i,i
n1,i,,注:(1)(2)的结论需牢记，在今后的运算中会遇到，如: ,,1，i,,
139，i(3) 2(2)，i
213934，，ii，，，，13913913939522736，，，,，,iiiiii解: ,,,,2222(2)4434343434，，，，，,，iiiiii，，，，
7525,i,,,3i 25
小结:
abiabR，,,1(两个复数的商也是一个复数，结果需要写为的形式 ，，2(复数除法的计算方法，通常为分母实数化
用心 爱心 专心
例2(已知复数满足，若， ZZZ,,115,2,，,,,，,,,,iZiZaiaRZ，，，，121121
求的取值范围。(04年上海高考) a
,，,151ii，，，，,，,，，，，1515546iiii解: 123，,,,,,,，iZi，，111122，，,iii，，，，
222 ZZaia,,,，,,，,，424423，，12
22,,,，,，,,,，,,,,44498701,7aaaa ，，，，
4例3(已知复数满足，求证:Z，是实数 ZZ,2Z
22证明:设，由，得: ZabiabR,，,,Z,1ab，,1，，
4abi,，，44 Zabiabiabiabia，,，，,，，,，，,,222Zabiab，，
4Z，所以是实数 Z
注:将Z设为abiabR，,,的形式，然后利用复数相等把复数问题转化为实数，，
问题，这是解决复数问题时，非常基本的解题思路。
4提问1:请同学们从Za，,2的角度去思考一下该题还有没有别的解法, Z
2zzz,,,4解法二: 因为
4,z z
4zzzzR，,，,,2Re z
注:利用共轭复数和复数模的关系，可以使复数运算更加简便
4ZZ，Z,2提问2:若把问题改为:已知复数满足:是实数，那么成立吗, Z
ZabiabR,，,,证明:设 ，，
4abi,，，4444ab,,,,则 Zabiabiabi，,，，,，，,，，,,,,,222222Zabiababab，，，，,,,,
4b22b,0ab，,4b,,0所以，即或 22ab，
2aZZ,2所以是实数，或者
用心 爱心 专心
思考:学生课后思考如何运用共轭复数和复数模的关系证明上诉结论。
提问3:如何更改的条件，使成立(复数虚数Z) ZZZ,2,,
9探索:已知虚数满足:是实数，则 Z，ZZ,?Z
1例4(设是虚数，，且 Zw,,1,2wz,，，，z
(1)求的值及Z的实部的取值范围 Z
1,z(2)设,，求证:为纯虚数 ,,1，z
2(3)求的最小值。 w,,
解:(1)设 ZabiabRb,，,,,,0，，
11abiab,,,,,则 Zabiabiabi，,，，,，，,，，,,,,,222222Zabiababab，，，，,,,,
14b22ab，,1所以b,,0，即，且Za，,2 22ab，Z
1,,Z,1所以，且 a,,,1,,2,,
ZabiabRb,，,,,,0 (2)既然已经设，则直接代入,，说明其实部为0， ，，
虚部不为0即可
2212,,,abbi，，11,,，,abiabi，，，，11,,,zabi, ,,,,22221112，，，，，，zabiaab1，，ab，，
,2bib,,,i 221aa，，
b,0,因为，所以为纯虚数
2(3)将用的式子来表示，再求其最小值 ab,w,,
22bbaa11,,,,2,waiaaa,,,,,，,，,，2222 ,,22aa，，11,,aa，，11，，，，
22,，,,，，,21213aa ，，11，，aa
212,,，,,,,,,,a1wa22131 因为，所以 ，，2，a1
用心 爱心 专心
1a,0当，即时，等号成立。 a，,1a，1
2从而的最小值为1 w,,
四(小结:
1(复数的除法是复数乘法的逆运算，将分母实数化是复数除法运算的基本方法 2(将Z设为的形式，是复数四则运算的常用方法 abiabR，,,，，
3(利用共轭复数和复数模的关系，可以使复数运算更加简便
本节课设计思路:
通过对实数除法定义引入复数除法的定义:复数的除法是乘法的逆运算。然后通过学生探索得到复数除法的化简方法:分母实数化。例1的目的是让学生初步掌握分母实数化解决复数的除法问题。例2是进一步的巩固学生对复数除法的运算，增加熟练程度。例3的目的是为了使学生掌握将Z设为abiabR，,,的，，形式的思想，熟悉带有参数的复数除法运算，并通过运算得出结论;方法二是利用共轭复数与复数模的关系，加深知识点之间的联系，构建知识网络。例4是一道高考题，起到衔接例3的作用，培养学生举一反三的能力。
本节课的设计疑惑:
1(例3的方法二可能使该节课的中心思想偏离，对此解法的讲解是否需要比较犹豫
1(对于例4(3)，综合性较强，正在犹豫是否需要去掉。
用心 爱心 专心
