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范文一：高斯定理的简密推导
科技信息
高校理科研究
高斯定理的简密推导
淮阴工学院数理学院
高本领
［摘要］本文通过对静电场中高斯定理的简密（简单而严密）推导，能够使学生轻松地掌握该定理的证明，这有助于提高课堂效率，提高学生化繁为简的能力。［关键词］高斯定理简密
促进作用高斯定理是大学物理教学中非常重要的内容之一，每位老师在讲授该段内容时总要向学生介绍该定理的证明过程，有些证明虽严密但显得过于复杂，而又有些证明虽简单但又不太严谨。本文报告自己教学中在普通本科生基础课上对此定理的推导过程，以供新形势下教育教学改革交流之用。下面是具体的推导过程：
一、先讨论一个静止点电荷＋ｑ情况
（3）任意闭合面不包围点电荷
只有与闭合面相切（图中的虚线）的锥体中的电场线才通过如图2，
1S ，因任一条电场线总进出闭合曲面，正负通量相互抵消，所以：φe (S1)=
S'
矣E ·dS =0。
→
→
总之，对单个点电荷而言：若任何闭合曲面包围此电荷，则通量为q ；若不包围它，通量便为零。0
二、任意带电系统
任意带电系统的电场可看成是点电荷电场的叠加，由场强叠加原理：
E =∑E i
i=1→
n
→
图1图2
（1）闭合球面包围点电荷如图1，以点电荷为中心，取任意长度r 为半径作一闭合球面S 包
则穿过球面S 的电通量：围点电荷q ，
Φe (S)=E ·dS =
S
通过任意闭合曲面S 的电通量为：Φe =E ·dS =
S
矣
→→
S
q
矣∑E ·dS =∑矣E ·dS =∑Φ=∑→
→
→
→
i
i
ei
i
i
S
i
i
矣
→→
S
q
r ·dS =
→→
S
q dS=q 4πr =q 2
000
三、高斯定理
在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数ε0。
表达式为:E ·dS =∑q i 。
S
→
→
（2）任意闭合曲面包围点电荷如图1，一任意闭合曲面S 1包围点电荷q ，若此曲面上到达点电荷的最近距离为r 1，最远距离为r 2；设想以点电荷q 为中心，分别作半径为r 10、r 20的球面S 1、S 2，这里的r 10、r 20满足r 10≤r 1、r 20≥r 2。则由（1）知，穿过闭合球面S 1、S 2的电通量相等，为：φe (S1)=φe (S2)=E ·dS =q 。
ε0
S'
→
→
矣
矣
由于闭合曲面S 1在闭合球面S 1、S 2之间，穿过闭合曲面S 1的电场
穿过闭线条数应等于从S 1面穿入而从S 2面穿出的电场线数目。因此，合曲面S 1的电通量为：φe (S1)=E ·dS =q 。
S'
→
→
小结总之，对高斯定理进行了简单严密的推导，推导过程既避免了使用立体角等大一学生感觉较繁难的知识，又保证了推导的严密；实践证明，在课堂讲解时通过作半径不同的两同心球面，对学生掌握理解高斯定理起到了很好的促进作用。
参考文献［1］赵凯华，陈熙谋《. 电磁学·上》. 高等教育出版社，1985.6.
矣
作者简介：高本领，男，博士，淮阴工学院数理学院。
（上接第461页）情况下，工学结合难以推行。
（2）展开工学结合的思路不够开阔。基于实习单位的接纳能力、方便学校管理、强调专业对口等问题的考虑，实习单位难以落实，这自然给工学结合的开展造成较大的困难。
（3）学生职业道德的缺失。许多学生没有吃苦耐劳、团结协作的精神，缺乏质量意识和效益观念，没有稳定的职业追求和良好的心态；工
攀比收入，诚信度低。显然，不利于长期稳定的实习基地作中急功近利。
的建立。
3.2对现有问题的思考（1）加强领导、齐抓共管。工学结合远非靠某一专业、某一部门努力能做好的，需要成立工学结合办公室，加强学校和企业的联系，架起系
（2）完善工学部与企业之间的桥梁，制定相关政策，在宏观上加以把握。
结合的相关制度。工学结合的实施有赖于相关制度的建立。（3）改革课
加强职业道德、法律基础知识的学习，培养学生的职业忠诚度，程体系。
责任感，在确保理论够用的前提下，加大实践课程的比例，培养学生职业技能，以适应社会和企业的需要。（4）改革人事制度。激励教师、企业专家积极参与教学计划修订、课程设置、教材开发与编写等方面的工作，提升专、兼职教师的业务能力。（5）充分考虑学校、企业和学生三方的利益。坚持互惠互利、优势互补、共同发展的原则，寻求一种使学校、企业和学生三方均感到受益的工学结合方式，保证校企之间长期稳定的联系。
４、结束
通过工学合作，学校办学方向更加明确，实训条件得以改善，双师型师资队伍逐渐形成，就业工作得以推动和发展。学生熟悉和了解今后的就业岗位和个人发景，学习积极性有所提高，为实现零距离就业奠定了基础，同时，在实习的过程中，学会了做人和处事。企业也有机会储备
当然，高素质的人才，降低了人才培养的成本，免去了人才难寻的困惑。
工学结合这项工作对于我们来说，非一朝一夕可以完成，需要我们在以后的工作中不断完善，更好地为学生的明天负责，为企业的发展服务。参考文献
［1］工学结合由来.http://baike.baidu.com/view/1307028.htm ［2］教育部. 关于全面提高高等职业教育教学质量的若干意见（教高［2006、16号］文件［Z ］.2006-12-13
［3］高学强. 关于高职院校在示范校建设中加强师资队伍建设的思］. 教育与职业，2008（15）考［J ［4］王朝晖，刘刚凤. 商务、旅游英语专业工学结合模式的实践和思考［J ］. 成都纺织高等专科学校学报，第25卷第1期
杨理连. 国家示范性高等职业院校建设内涵分析［J ］. 承德石油［5］
高等专科学校学报，第9卷第2期
［6］徐国庆. 实践导向职业教育课程研究［M ］. 上海：上海教育出版社，2005
范文二：高斯定理
1、库仑定律——静电场的最基本实验定律
F =
q 1q 2
?e 2
4πε0r
F 12
F 21
2、点电荷及点电荷系产生的电场强度
E 点
=
q 4πε0r
2
?r e
基本原理+叠加原理——解决复杂的问题
3、两种最常用的电场强度 1）无限长均匀带电直线的场强 方向垂直于直线，具有柱面对称性
λ
E =
2πε0r
2）无限大均匀带电平面产生的电场强度
σE
=
2ε0
E =
σ2ε0
σ>0
描述电场的两种方法： 1、解析法：E=E(x,y,z) 2、图像法——电场线法
σ
3. 电场线的性质：
1）电场线起于正电荷，终止于负电荷； 电荷是电场线的“源”和“尾” 2）（在无电荷的地方）电场线不会中断；
3）（在无电荷的地方）电场线不会相交；4）静电场线不闭合。 二、 电（E ）通量
1 、电（E ）通量的定义
穿过任一曲面的电场线的数目（代数和）称为通过这一
Φe 表示。曲面的电通量。用
Φ=N
1
Φe =E ?d S =
S
i
ε0（闭合曲面内）
∑q
q
2
out
q 1外
高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的电荷的代数和除以e0. 说明：1）闭合曲面的电通量只与面内包含的电荷有关， 2）高斯面上的场强却是由全部电荷产生的， 3) 高斯定理说明静电场是有源场。
高斯定理的用途之一：当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求出该电荷
0, inside and outside ?
∴E 组合柱面
=?
midst ?-λ/2πε0r ,
σe
E 无限大平面=
2ε0
σe >0场强方向指离平面;
σe
<>
范文三：高斯定理
高斯定理
第四讲
定理；3、掌握高斯定理的应用。重点和难点重点：高斯定理及其应用；难点：电通量的概念，应用高斯定理求场强。主要教学方法
学时2学时讲授法，ppt演示教学目的和教学要求1、掌握电通量的概念；2、掌握高斯
第四节高斯定理
定义了电场强度，计算了部分带电体的电场的分布，那么电场具有什么样的性质是我们应该深入研究的。高斯定理从一个侧面描述了电场的性质，它是以库仑定律和静电力的叠加原理为基础导出的一个通量定理。下面首先引入电通量的概念。1、通量
量，则通过dS 的流量为：
dφ=VdScosθ=dS（θ为V 与n 的夹角）
积分可求得通过任意有限曲面S 的流量。在流体力学中，我们引入了流量（即通过任意曲面的通量）的概念；在速度矢量场中，取面元dS，以表示其法向的单位矢
通量的概念可以推广到任意矢量场，因此我们可以引入电场
均匀电场对非垂直有向面元的电通量（θ为与的夹角）对任意曲面S 的电通量为:
对闭合曲面S 的电通量为：
注：立体角的概念：
面元dS 对一点所张的立体角为:
闭合面S 对其内任一点所张的立体角等于以该点为球心的球面所张的立体角。
即：
2、高斯定理
理，或叫通量定理，是静电场的基本方程之一。是描述电场强度对任意闭合曲面的通量等于什么的基本定
定理内容：静电场的电场强度对任意闭合曲面的通量等面内所包含的电量的代数和除以ε0。
数学表示：
证明：（板书推导）
3、高斯定理的应用一------求对称电荷分布的场强分布
球对称的电场分布；面对称的电场分布；轴对称的电场分布利用高斯定理的解题步骤
１、对称分析；
２、选择合适的高斯面；要求面上场强处处相等或分片相等或与面垂直，以便将E 提到积分号外；要求场强与面的法线的夹角处处相等或分片相等，以便将cosθ提到积分号外；要求高斯面应是简单的几何面，以便计算面积；求高斯定理等式左端的通量；求高斯定理等式右端的面内总电荷；
３、利用高斯定理求电场分布。
要牢记的基本公式：点电荷的场强公式；带电棒的场强公式带点环轴线上的场强公式；带电圆面轴线上的场强公式；无限大带点面的场强公式、无限大带点板的场强公式；球面、球体、求壳的场强公式；无限长带电线、柱面、柱体、柱壳的场强公式；带点面、球体、柱体内挖洞后的场强的计算方法（异性电荷叠加法）等。
高斯定理从力的观点描述了静电场的性质，但不能体现场的有心性。从静电场的有心性可以导出静电场的另一个重要定理静电场的环路定理，该定理从另一个侧面描述了静电场的性质，是静电场的又一个场方程，他和高斯定理一起完整的描述了静电场。
例1：求无限大均匀带电平面的场强分布（P19[例1]）。例2：求均匀带电球面的场强分布（P21[例2]）。
例3：求均匀带电球体的场强分布（P22[例3]）。
<回到本讲开头>>>
范文四：高斯定理
§4 高斯定理
一、电力线
1、引入目的：形象化、直观性地描写电场，作为一种辅助工具。 2、引入方法：电场是矢量场，引入电力线要反映场的两个方面电场中人为地作出许多曲线，作法如下：
（1）反映电场方向——曲线上每点切向与该点场方向一致；
（2）反映电场大小——用所画电力线的疏密程度表示，电力线数密度与该点场的大小成正比
E ∝
?N ?S ⊥
大小方向
，在
?N ?S ⊥
其中表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数——电力线数密度，参见
图1-15。
ΔS
?N ?S
E
ΔS
θ E
n
?N ?S ⊥
?N ?S cos θ
(a) 垂直时： (b) 非垂直时：
图1-15
=
在SI 制中，比例系数取1，则E =
确地有：dN =E ?d s =E cos θds 。
?N ?S ⊥
，即?N =E ??S =E cos θ?S 。更精
例：点电荷Q 均匀辐射N 条电力线，各向同性，半径为r 的球面上电力线数密度为
N 4πr
2
；而场强E =
Q 4πε0r
2
，两者一致，且N =
Q
ε0
，球面立体角d Ω中
占有（d ΩN ）条。
4π
3、电力线的普遍性质
(1) 电力线起自正电荷（或来自无穷远处）、止于负电荷（或伸向无穷远处），
不会在没有电荷的地方中断——不中断；
(2) 对于正、负电荷等量的体系，正电荷发出的电力线全部集中到负电荷上
去——不多余；
(3) 无电荷空间任两条电力线不相交——不相交（否则，场则不唯一）； (4) 电力线不能是自我闭合线——不闭合。 4、说明
(1) 电力线非客观存在，是人为引入的辅助工具； (2) 电力线可用实验演示；
(3) 展示几种带电体电力线的分布（图略）。 二、电通量
静电场是用E 描述的矢量场。一般地，研究矢量场时常引入矢量的通量概念，如：流体力学中的流量v ??s =v ?s cos θ等，静电场中虽无什么在流，但可藉此研究静电场。
1、定义电通量ΦE
在电场中通过一曲面元?s 的电通量?ΦE 定义为：
?Φ
E
=E ?s c o s θ=E ??s (=?N )
式中?s =?s n 。因θ可锐角、钝角，故?ΦE 可正、可负。
对于非无限小的曲面，有
ΦE =
E ?d s
?E cos ds
S
=
?
S
其中，任意曲面S 的法向有两种取法，对于不闭合的曲面，其法向n 取何方向无关紧要。
对于闭合曲面，其电通量定义为：
ΦE =
E cos θds =E ?d s
S
S
并规定：取闭合曲面S 的外法向矢为正，则电力线穿出S 处，θ<90，?φe 为正（出正）；进入s="" 处，θ="">90，?ΦE 为负（入负）。
2、点电荷场中电通量示例
E =
q 4πε0r
2
? r （使用库仑定律）
(1)面元d s 的电通量d ΦE
d s 对应的立体角为
：d Ω=
ds cos θr
2
=
ds ⊥r
2
，如图1-16(a)所示，
故
d ΦE
=E ?d s =
q
qds cos θ
?n ds =22
4πε0r 4πε0r =
q 4πε0
d Ω
?q r
=
ds ⊥
2
4πε0r
(2) 任意曲面
s
的电通量ΦE
划分S 成为许多面元ds ，则
ΦE
=?E ?d s =
d Ω?4πε
q
=
q 4πε0
其中，?Ω为S 对q 点所张开的立体角，如图1-16(b)所示。
d s =ds n
图1-16(a)
图1-16(b)
(3) 任意闭合曲面s 的电通量ΦE
虽然E 为矢量，但E 的通量ΦE 为标量，可代数和。以闭合面外法向为正参考，则
ΦE
=E ?d s =
S
d s
?q
q ?
d Ω=?ε0 S
4πε0
?0?
q
与r 无关。具体解释如图1-17，其中
① 当q 在S 内：处处θ≥0, d Ω>0, ② 当q 在S 外：θ1
π
2
d Ω=4π，故ΦE =
s
。
⊥
，θ2>
π
2
且d Ω1=
ds 1r 1
2
⊥
=-
ds 2r 2
2
=-d Ω2，
d Ω=0，故Φ
s
E
=0。
n 1
?1r
?2r
n 2
图1-17(a)
?2r
?1r
θ1
s
[说明]
图1-17(b)
(1) 电场对任曲面的ΦE 在数值上等于通过该曲面电力线的条数。例如，图1-18 (a)中，q 共发出
q
ε0
条力线，通过立方体表面Φ=
1
8ε0
?
q
条；图1-18(b)中，
半球面的ΦE 可用圆面的ΦE 代之。
(a) (b)
图1-18
(2) 如图1-19，q 在S 内，ΦE 的有效性相当于只一次穿过闭合面；q 在S 外，电力线与S 面相交偶数次，穿进、穿出相消。
q
(a) (b)
图1-19
三、高斯定理
1、单个点电荷情况
上述在一个点电荷的电场中已证得
ΦE
?q ?(q 在s 内)
0=E ?d s =? S
?0(q 在s 外) ?
q 4πε0r
2
3
3
2 1
2
4
S
1
q
S
且注意其中已运用了库仑定律（如E =
2、多个点电荷情况
?）。 r
现结合场强叠加原理，给出多个点电荷存在时场中任意闭面S 的电通量结果——高斯定理。
设空间有一组点电荷q 1、q 2、 q i 、 、q n ，则任一点的场为
E =
n
∑
i =1
E i （场叠加原理）
又令一任意形状的闭曲面S 包围电荷q 1、q 2、.... 、q i ，而另外q i +1、... 、q n 电荷在S 之外。则
ΦE
=E ?d s =
S
S
(E 1+E 2+... +E n ) ?d s
=
S
(E 1+E 2+... +E i ) ?d s +
S
(E i +1+... +E n ) ?d s
=
1
ε0
(q 1+q 2+... q i ) =
1
ε0
∑q
(s 内)
i
即分立电荷时，有
3、电荷连续分布情况
若S 内的电荷非分立分布，而是连续体分布，作变换∑q i →
?ρ
v
dv ，则有
其中S 与V 对应。
上述即高斯定理的数学表述，它表明：通过任一闭合曲面S 的电通量ΦE 等于该闭合曲面所围所有电荷电量的代数和∑q i (或?ρdv ) 除以ε0，与闭合曲面外的电荷无关。此处的闭合面S 称为高斯面。
4、高斯定理的几点认识与说明
(1)
高斯定理所述是矢量场E
之闭面通量，其结果可用闭面内电量代数和表述。
静电场的电力线是有头有尾的，发于正、止于负电荷。
(2)
高斯定理给出了场E
与场源q 间的一种联系，这种联系非直接。
由高斯定理ΦE
1
q =E ?d s =q 内知，内与E 之间是积分关系，非直接的；
s
ε0
而ΦE 与q 内是直接的关系。若q 内=0，则ΦE =0，但不意味着S 面上处处E =0。
q 内仅指S 内电荷电量的代数和（可正、可负），而E 则指空间所有电荷激
发场之合贡献，S 面上的E 随点而异，E 当然在S 面上取值，且与面元d s 间夹
角关系十分重要。
封闭面S 之外的电荷分布并不影响封闭面的ΦE ，但这不意味S 外的电荷分
布不影响S 面上各点的场E 的大小、方向；同样，q 内一定的电荷在S 内的分布
情况也不影响ΦE ，但不是说S 内电荷分布变化时不影响S 上各点E 的大小、方
向，例：
S
S
S
q
q
S
q
q
(a) s 相同，q 在s 外移位（分布变）， (b) s 相同，q 在s 内移位（分布变），
虽Φ不变，但s 上各点E
变。
虽Φ不变，但s 上E
变。
图1-20
(3) 高斯定理积分形式是对一个区域而言（S ，V ），仅反映该区域整体面貌，是粗糙地提供信息。一般地，不能用此求得每个场点的场强，仅当电荷分布乃至场分布具有某种对称性时，才能仅用此求得场。但求不出时切不可误作该定理不成立（因为完全确定矢量场需要通量、环流两方面性质）。
(4) 高斯定理是从库仑定律导出的，主要反映平方比律，即f ∝
1r
2
。若库仑
定律不服从平方反比律，则得不出高斯定理。因而，证明此定理正确与否，即是证明库仑定律正确性的一种间接方法，此法精度比库仑扭称法高得多。
(5) 认为高斯定理与库仑定律完全等价或从高斯定理出发可导出库仑定律的看法是欠妥的，这因为此定理并未反映静电场是有心力场这一特性。在静电范围，库仑定律比高斯定理包含更多信息。 四、高斯定理的应用
1、应用高斯定理说明电力线的性质。 (1) 说明电力线的起点和终点。 (2) 说明电力线的疏密与
E
的大小关系。电力线管两截面?s 1, ?s 2处通量相
等：E 1?s 1=E 2?s 2。
2、解题示例
(1) 电荷分布乃至场E 分布具有一定对称性时，可用此定理解答。 (2) 解题步骤
① 分析场的对称性，明确E
的方向；
与S 的各部分平
② 设计（取）通过场点的高斯面（简单几何面），使E
行，或垂直，或夹恒角； ③ 计算ΦE =
E ?d s
；
④ 计算q 内；
⑤ 应用定理求E 的大小，结合方向得出E 。
(3) 典型问题：已知电荷分布ρ=ρ(x , y , z ), 求E =E (x , y , z ) 。 例1：求均匀带电q ，半径为R 的球壳内、外之场。
电荷球面均匀分布：σ=
图1-21(a)
q 4πR
2
dS
r
Gs 面
d E
，如图1-21(a)分析对称性，则
ΦE
?q , (场点P 在壳外)
?02
=E ?d s =E ?4πr =?
S
?0, (场点P 在壳内) ?
所以
q ?
?, (r >R ) r ?2
E =?4πε0r
?0(r
场强大小分布如图1-21 (b)所示。P 点在壳外时相当于在球心O 点置q 点电荷之场。
图1-21(b)
例2：均匀带正电q ，半径为R 的球体内、外之场。 电荷均匀体分布，ρ=
q 43
=
3
平方反比
3q 4πR
3
。同于例1分析场的球对称性，取高斯
πR
面为球面，则
?
P 点在球内：???
?P 点在球外：??
ΦE
ρq r 23
?==E ?4πr =?πr ρ, E =r ，(r
ε033ε04πε0R
11
4
2
ΦE =E ?4πr =
ε0
q , E =
q ?r
2
4πε0r
，(r >R ) 。
E ~ r曲线如图1-22。
0 R r
图1-22
[拓展]
(1) 例2也可在例1基础上，视为多层厚为dr 的球形面电荷分布的场进行叠 加求解。
(2) 可推广至ρ=ρ(r ) ，方法同上，只是q 内的计算稍繁。 例3：均匀带电线密度为λ的无限长细棒之场。
电荷均匀线分布。对称分析，取高斯面为圆柱面，如图1-23。 ΦE =E ?2πrl =
E =
l λ
ε0
λ
2πε0r
? r
该结果与前述积分法令l →∞的结果相一致（参见图1-11）。
dl
λ
r
P
d E
l
S
图1-23
例4：均匀面密度为σ的无限大平面薄板之场。
电荷均匀面分布，取平板上对称的两面元ds 上电荷dq 之场进行分析，如图
1-24(a)；取合适高斯面，如图1-24(b)所示 ，两侧场反向，大小与场点到板的距离无关。
ΦE =2E ?s =
σ?s ε0
E =
σ
2ε0
注意：考察分母中因子2的来源（与以后带电无限大导体平板情况比较不同）。
(a) (b)
图1-24
[拓宽知识]
(1) 半径为R 的均匀带电体密度为ρ
?R ρ?
?2ε0r
E =?
?r ρ??2ε0
2
dS
σ
0 r P dE
?s
E E
dS
(r >R )
(r
半径为R 的均匀带电面密度为σ的长圆柱面。
?σ?E =?ε0r
?0?
(r >R ) (r
(2) 厚度为2d 、均匀带电体密度为ρ1-25(a)。
?ρd ??2ε0
E =?
?ρx ?2ε?0
(板外)
(板内)
(3) 组合无限大均匀带电σ的平面，示例与说明见图1-25(b)、(c)。 (4) 均匀带电椭球体。
如图1-25(d)，椭球体内、外场点处的场不能由上述高斯定理求出，但不意味着该定理不成立。
+σ
σεo 2
P
+σ
(a) (b) ρ (d) 图
1-25
(c)
范文五：高斯定理
高斯散度定理
本文介绍的是微积分学中的一种向量分析。关于电磁学中与电通量有关的定理，详见“高斯定律”。
散度定理可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何上边的曲面；散度定理不可以用来计穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。
高斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于曲面内部区域的散度的三重积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出一个区域的流量。 高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。
目录
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1 定理 4 推论
6 二阶张量的高斯公式
定理
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z) 、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有
或
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cos α、cos β、cos γ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦
这两个公式叫做高斯公式。
用散度表示
高斯公式用散度表示为：
其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而
n 是向量A 在曲面Σ的外侧法向量上的投影。
用向量表示
令V 代表有一间单闭曲面S 为边界的体积，是定义在V 中和S 上连续可微的矢量场。如果是外法向矢量面元，则
推论
?
对于标量函数g 和向量场F 的积，应用高斯公式可得：
?
对于两个向量场
的向量积，应用高斯公式可得：
? 对于标量函数f 和非零常向量的积，应用高斯公式可得：
?
对于向量场F 和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：
例子
假设我们想要计算
其中S 是由
直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：
所定义的单位球，F 是向量场
由于函数和是奇函数，我们有：
因此：
二阶张量的高斯公式
二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，矢量和矢量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。
1 两个矢量 和
并排放在一起所形成的量
。
被称为矢量 和
的并矢或
并矢张量。要注意，一般来说，
2
的充分必要条件是
或
3 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。 4
分别线性地依赖于 和
。 5 二阶张量
和矢量 的缩并
6 特别是，当
时，
以及
。
对
和 都是的。
所以，一般说来，
。
和
下面举一个例子：用二阶张量及其与矢量的缩并来重新写
。
我们还用到二阶张量
7
8
定理： 设
的转置
（又可以记为
。
），定义如下：
仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于
。
是三维欧几里得空间中的一个有限区域
， 是它的边界曲面，
的某个开邻域上的
是
的
外法线方向上的单位矢量， 是定义在
是
的转置，则
连续的二阶张量场，
证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为
，则
接下来利用矢量场的高斯公式，可得
于是
至此证毕
