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范文一：数理方程-分离变量法
第八章 分离变量法
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??2u 2?u =a 0 ?t ?x ? u (0, t ) =0, u (l , t ) =0t >0? ??u (x , 0) u (x , 0) =?(x ), =ψ(x ) 0≤x ≤l ??t ? 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数 分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。 分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。 叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。 特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。 （2）物理上 由叠加原理作保证。 例：有界弦的自由振动 1. 求两端固定的弦的自由振动的规律 2??2u 2?u =a 0 ?t ?x ? u (0, t ) =0, u (l , t ) =0t >0? ??u (x , 0) u (x , 0) =?(x ), =ψ(x ) 0≤x ≤l ??t ? 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令u (x , t ) =X (x ) T (t ) 这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。 第二步：代入方程 （偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量） X (x ) T ''(t ) =a 2X (x ) ''T (t ) 变形得 X ''(x ) T ''(t ) == -λ X (x ) a 2T (t ) 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。由于x, t 是相互 独立的变量，上式必然等于同一常数。 方程左边为关于x 的函数，方程右边为关于t 的函数，只有当左右两边都等于常数的时候才成立 令其为-λ（得到的两个常微分方程形式比较标准） X (x ) ''+λX (x ) =0 T ''(t ) +a 2λT (t ) =0 得到两个常微分方程 第三步：代入边界条件 得到：X (0) T (t ) =0 X (l ) T (t ) =0，由于是t>0得值，T (t ) 是一个范围内不固定的值， 所以X (0) =0 X (l ) =0 常微分方程含λ，λ未知，需要对λ进行讨论 X (x ) ''+λX (x ) =0，X (0) =0 X (l ) =0 特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程子一定条件下的求解问题。 特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 第四步：确定特征值并得到它的特征函数 分情况讨论： 1）λ<0时, 特征方程为r="" +λ="0," 特征根为：r="±-λ" 得通解为x="" (x="" )=""> -x 2 +Be - -x （A 、B 为待定系数） -x 把定解条件X (0) =0 X (l ) =0代入通解X (x ) =Ae 得到A+B=0 +Be - -x +Be - =0 -x 于是A=B=0?X (x ) =+Be - -x 即X (x ) =0 则u (x , t ) =X (x ) T (t ) =0，零解无意义 即λ<0时，定解问题无解。 2）λ="0时," x="" (x="" )="" ''+λx="" (x="" )="0" 有x="" (x="" )="Ax" +b="" a="B=0?X" (x="" )=""> -x +Be - -x 即X (x ) =0 则u (x , t ) =X (x ) T (t ) =0，零解无意义 3）λ>0时, X (x ) ''+λX (x ) =0 令λ=β2（β为非零实数） 特征方程为R +λ=0, 特征根为虚数：R =±-λi 通解为X (x ) =A cos βx +B sin βx （A 、B 为待定系数） 把定解条件X (0) =0，X (l ) =0代入通解X (x ) =A cos βx +B sin βx 2 X (0) =0得到A =0，即X (x ) =B sin βx X (a ) =0得到B sin βl =0 在B ≠0的情况下，有sin βl =0，即βn =为非零实数） 现在就完成了用分离变量法求解X （x ）的部分，得到特征值为λn =βn =(数为：X (x ) =B n sin 2 n π （n=1,2,3，…注意n ≠0，若n =0，则β=0，λ=0而βl n π2 ) ，所对应的特征函l n πx l n π2 ) 代入 l 下面求解关于t 的常微分方程 T ''(t ) +λT (t ) =0，将λn =( 2 n 2π2 T n ''(t ) +a T n (t ) =0，这种情况的通解与X (x ) ''+λX (x ) =0的λ>0的情况相同。 l 2'cos 即T n (t ) =C n n πat n πat 'sin +D n （ n=1,2,3，…） l l 至此X n (x ) 与T n (t ) 都求出来了，所以定解问题的n 个特解（这n 个特解均满足边界条件）为： u n (x , t ) =X n (x ) T n (t ) =(C n cos n πat n πat n π +D n sin ) sin x （ n=1,2,3，…） l l l 根据叠加原理，特解的叠加仍是方程的解，所以得到通解 u (x , t ) =∑u n (x , t ) ) i =1 n = ∑(C n cos i =1 n n πat n πat n π +D n sin ) sin x （ n=1,2,3，…） l l l ?u (x , 0) =ψ(x ) 求解） ?t 其中C n 、D n 为待定系数（利用初始条件u (x , 0) =?(x ), 第五步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数 u (x , t ) =∑(C n cos i =1 n n πat n πat n π +D n sin ) sin x l l l u (x , t ) t =0=u (x , 0) =∑C n sin i =1n n π x =?(x ) l =∑(- i =1n ?u (x , t ) ?t =∑ i =1n t =0 n πat n πat n πa n πat n π C n sin +c cos ) sin x t =0 l l l l l n πa n π D n sin x =ψ(x ) l l ?(x ) 与ψ(x ) 正是傅里叶正弦级数，C n 、D n 是傅里叶系数。 利用三角函数的正交性 l 1-cos(2n π/l ) n πl xdx =dx = ?0?0l 22 l n πm π1l n +m n -m sin x xdx =-[cosπ-cos x πx ]dx =0（m ≠n ） ?0l l 2?0l l l sin 2 l ∞m πn πm πl 得到：??(x ) sin xdx =?∑C n sin x xdx =C n 00l l l 2n =0 l 2l m π ?(x ) sin xdx ?0l l l 2l m π2l m π??ψ(x ) sin xdx =ψ(x ) sin xdx 同理，D n = n πa l 0l n πa ?0l 于是得到：C n = 回顾整个求解过程，可作出分离变量法流程图 2. 解的性质 u n (x , t ) =(C n cos 于x 的函数） n πat n πat n π +D n sin ) sin x ---------方程的特解（前面是关于t 的函数，后面是关l l l u n (x , t ) =(C n cos n πn πat n πat n π+D n sin ) sin x =A n cos(ωn t -θn ) sin x l l l l n πa D ，θn =n l C n 22 其中：A n =C n +D n ，ωn = 当x =x 0时，u n (x , t ) =A n sin 点的振动方程）。 n π x 0cos(ωn t -θn ) ---------弦上确定的一点以频率ωn 做振动（弦上某l n π x ----------某一时刻，特解为正弦函数的形式，所有点l 当t =t 0时，u n (x , t ) =A n cos(ωn t 0-θn ) sin 的位置，波动方程（驻波的方程），每个特解代表一个驻波，因此分离变量法又称为驻波法。 标准的驻波方程：y =2A cos 2πx λ ?cos ωt sin n π2 x 的（驻波）波长为λn =l （n=1,2,3，…） n l 频率：f n = ωn na = 2π2l na 2T ?l =a = 2l n ρ 波速：v n =f n λn = 3. 分离变量法概要： （1）作分离变量假设，代入方程和边界条件中得到固有值问题 （2）确定固有函数和固有值 （3）写出定解问题的特解 （4）将特解叠加无，给出通解 （5）用初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ） 4. 回顾整体思路： 2 ?u (x , 0) ?2u 2?u =ψ(x ) 定解问题2=a 初始条件u (x , 0) =?(x ), 边界条件u (0, t ) =0, u (l , t ) =0 2 ?t ?t ?x 2 ?2u 2?u =a 将假设u (x , t ) =X (x ) T (t ) 代入方程，此偏微分方程得到两个常微分方程?t 2?x 2 X (x ) ''+λX (x ) =0 T ''(t ) +a 2λT (t ) =0。 将边界条件u (0, t ) =0, u (l , t ) =0代入u (x , t ) =X (x ) T (t ) ，得到X (0) =0、X (l ) =0，求解已知定解条件的常微分方程X (x ) ''+λX (x ) =0的特征值为λn =βn =( n π2n π) ，特征方程X n (x ) =B n sin x ， l l n πat n πat 'cos 'sin +D n 求解T ''(t ) +a 2λT (t ) =0的特征函数T n (t ) =C n ，所以 l l n πat n πat n π'' +D n sin ) B n sin x 。 u n (x , t ) =X n (x ) T n (t ) =(C n cos l l l 2 根据叠加原理，特解的叠加是方程的通解，所以得到： u (x , t ) =∑u n (x , t ) ) i =1 n = ∑(C n cos i =1 n n πat n πat n π +D n sin ) sin x l l l ，将初始条件 u (x , 0) =?(x ), ?u (x , 0) =ψ(x ) 代入，求解待定系数C n 、D n （傅立叶展开）。 ?t x (10-x ) ，求弦做 1000 分离变量法的适用条件：任何二阶线性（齐次）偏微分方程 例一：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速度为零，初位移为ψ(x ) =微小横振动时的位移。 2 ??2u 4?u =100 ?t ?x ? u (0, t ) =0, u (10, t ) =0t >0? ?x (10-x ) ?u (x , 0) u (x , 0) =, =0?1000?t ? 解：设u (x , t ) =X (x ) T (t ) ，代入 X ''1T '' =4=-λ X 10T 4 得到：X (x ) ''+λX (x ) =0 T ''(t ) +10λT (t ) =0 u (0, t ) =X (0) T (t ) =0, u (10, t ) =X (10) T (t ) =0 ?X (x ) ''+λX (x ) =0, 0≤x ≤10 得到本征值问题：，? X (0) =0, X (10) =0? 经讨论λ=β2>0时，有非零解，X (x ) =A cos βx +B sin βx X (0) =A =0, X (10) =B sin 10β=0，βn = 2 n π ，n=1,2,3，… 10 n πn 2π2 x 得到特征值：λ=β= 得到特征方程：X n (x ) =B n sin 10100 于是：T ''(t ) +100n 2 'cos 10n πt +D n 'sin 10n πt π2T (t ) =0，其解为T n (t ) =C n u n (x , t ) =X n (x ) T n (t ) n π 'cos 10n πt +D n 'sin 10n πt ) x (C n 10 n πx =(C n cos 10n πt +D n sin 10n πt ) sin 10=B n sin u (x , t ) =∑u n (x , t ) ) =∑(C n cos 10n πt +D n sin 10n πt ) sin i =1 n =1 n ∞ n πx 10 将初始条件u (x , 0) = ∑C n sin 10n πt = n =1 ∞ x (10-x ) 1000 210x (10-x ) n π sin xdx 运用分部积分法求解 ?010100010 110n π x (10-x ) sin xdx = 5000?010 n 为偶数?2?0 =44(1-cos n π) =?4 n 为奇数5n π??5n 4π4C n = ?u (x , 0) ∞n πa n π =∑D n sin x =0，故D n =0. ?t l l n =1 所以u = ∑u n (x , t ) ) =∑ i =1 n =1 n ∞ (2n -1) π4 sin x cos 10(2n -1) πt 105(2n -1) 4π4 2 ??2u 2?u =a 0 ?t ?x ??u (l , t ) ? 例二：? u (0, t ) =0, =0t >0 ?x ? ?u (x , 0) =x 2-2lx , ?u (x , 0) =00≤x ≤l ??t ? 解：设u (x , t ) =X (x ) T (t ) ，代入 X ''1T '' =2=-λ X a T 得到：X (x ) ''+λX (x ) =0 T ''(t ) +a 2λT (t ) =0 u (0, t ) =X (0) T (t ) =0?u (l , t ) =0?x ? X (0) =0 ? ?u (l , t ) =X '(l ) T (t ) =0?x ?X '(l ) =0 ?X (x ) ''+λX (x ) =0, 0≤x ≤l 得到本征值问题：，? 'X (0) =0, X (l ) =0? 经讨论λ<0，x (x="" )=""> -x +Be - -x （A 、B 为待定系数） -x 把定解条件X (0) =0 X '(l ) =0代入通解X (x ) =Ae 得到A+B=0 +Be - -x A βe +B βe - =0 于是A=B=0即X (x ) =0 λ=0时, X (x ) ''+λX (x ) =0，有X (x ) =Ax +B ，A=B=0即X (x ) =0 λ=β2>0时，X (x ) ''+λX (x ) =0，X (x ) =A cos βx +B sin βx X (0) =0X '(l ) =0 所以βn = ? A =0 ?X '(x ) =B βcos βl =0 (2n -1) π n=1,2,3，… 2l 2 (2n -1) π(2n -1) 2π2 X (x ) =B sin x 写出特征值和特征函数λ=β=，n n 2 2l 4l (2n -1) 2π2 T n (t ) =0 T ''(t ) +a λT (t ) =0变为T n ''(t ) +a 4l 2 2 2 (2n -1) πa (2n -1) πa 'sin t +D n t ， 2l 2l (2n -1) πa (2n -1) πa (2n -1) π'cos 'sin t +D n t ) sin x 所以u n (x , t ) =X n (x ) T n (t ) =(C n 2l 2l 2l 'cos T n (t ) =C n 所以u = ∑u n (x , t ) ) =∑(C n cos i =1 i =12 n n (2n -1) πa (2n -1) πa (2n -1) πa t +D n sin t ) sin x 2l 2l 2l 由初始条件u (x , 0) =x -2lx , ?u (x , 0) =0确定C n 、D n 。 ?t u (x , 0) =∑C n sin l (2n -1) π x =x 2-2lx 2l 2(2n -1) π32l 22 C n =?(x -2lx ) sin xdx =-33 l 02l (2n -1) π ?u (x , 0) (2n -1) πa (2n -1) π=∑D n sin x =0，D n =0 ?t 2l 2l u =∑u n (x , t ) ) =- i =1 n 32l 2 π3 1(2n -1) πa (2n -1) π cos t sin x ∑3 2l 2l i =1(2n -1) n 附录1：二阶常系数微分方程：y ''+p y '+qy =0 特征方程：r +pr +q =0 根的三种情况 2 ?r 1≠r 2 ? ?r 1=r 2=r ? 得到常系数微分方程的通解： ?y =C 1e r 1x +C 2e r 2x 附录2：线性方程满足叠加原理。 线性齐次方程（只含未知量的一次项，无零次项）通解为所有线性无关特解的叠加；而线性非齐次方程通解为其特解与相应齐次方程（去掉零次项后的线性方程）通解的叠加。 ?rx rx ?y =C 1e +C 2xe ?y =e αx (C cos βx +C sin βx ) 12? 附录3：和差化积公式 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法 一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为R n 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem）即是求方程： Ax =λx , x ∈R n ， （1.1） 的非零解，其中λ∈C 为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解x λ∈R n ，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的x λ∈R n 称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为R n 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 T -1AT =D ， （1.2） 其中D =diag (λ1, λ2,..., λn ) 为实对角阵. 设T =[T 1 T 2 ... T n ]，T i 为矩阵T 的第i 列向量(1≤i ≤n ) ，则式（1.2）可写为如下形式 A [T 1 T 2 ... T n ]=[T 1 T 2 ... T n ]D ， 或 A T i =λi T i , 1≤i ≤n . （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 Ax =λx , x ∈R n ， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量T i ,1≤i ≤n ，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为R n 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量T i , 相应的特征值为 λi , 1≤i ≤n . 例1.1 设b ∈R n ，求解线性方程组 Ax =b . 解 由于向量组{T i ≤i ≤n }线性无关，故可做为R n 的一组基. 将x , b 按此组 基分别展开为x =∑x i T i ,b =∑b i T i ，则Ax =b 等价于 i =1 i =1 n n ∑x AT =∑b T ， i i i i i =1 i =1 n n 或 ∑x λT =∑b T ， i i i i i i =1 i =1 n n 比较上式两边T i 的系数可得 x i =λi -1b i , 1≤i ≤n ， x =(x 1 x 2 ... x n ) T便是原问题的解. 例1.2 设x 0∈R n , f (t ) =(x 1(t ), x 2(t ),..., x n (t )) T∈R n , t >0. 求解非齐次常微分方程组 dx dt =Ax +f (t ), x (0)=x 0， （1.4） 其中 dx dt ' ' =(x 1' (t ), x 2(t ),..., x n (t )) T, t >0. 解 类似于上例，将x , x 0, f (t ) 按基{T i ≤i ≤n }分别展开为 x =∑x i T i , x =∑x T , f (t ) =∑f i (t ) T i . i i i =1 i =1 i =1 n n n 则（1.4）等价于 ∑ i =1 n dx i (t ) dt T i =∑x i (t ) AT i +∑f i (t ) T i , x i (0)=x i 0, 1≤i ≤n ， i =1 i =1 n n 或 ∑ i =1 n dx i (t ) dt T i =∑(λi x i (t ) +f i (t )) T i , x i (0)=x i 0,1≤i ≤n ， i =1 n 比较上式两边T i 的系数可得 dx i (t ) dt （1.5） =λi x i (t ) +f i (t ), x i (0)=x i 0, 1≤i ≤n . （1.5）是n 个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解. 请同学们给出解 x i (t ),1≤i ≤n 的具体表达式. 2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题 在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间R n 和n 阶实对称矩阵A ，在这儿要用到线性空间C [0,l ]的某个子空间H 和该子空间上的二阶线性微分算子A . 一般地取 H ={X (x ) ∈C 2[0,l ]X (x ) 在x =0, l 满足齐次边界条件}. （1.6） 下面我们讨论二阶线性微分算子A =- d 2dx 2 的特征值问题. 先取边界条件为 X (0)=0, X (l ) =0，设X (x ) ∈H 是A 的特征函数，即X (x ) ≠0且满足 AX (x ) =λX (x ) . 此问题等价于X (x ) 是下面问题的非零解 ?X " (x ) +λX (x ) =0, 0 （1.7） ? X (0)=X (l ) =0 .? （1.7）便是二阶线性微分算子A =- d 2dx 2 的特征值问题，即要找出所有使得 该问题有非零解的λ. 下面求解特征值问题（1.7）. 首先证明要使（1.7）具有非零解，λ必须非负. 设X (x ) 是相应于λ的一个非零解，用X (x ) 乘（1.7）中的方程，并在[0, l ]上积分得 X " (x ) X (x ) +λX (x ) X (x ) =0， ? l X (x ) X (x ) dx +λ?X 2(x ) dx =0， l l " l X (x ) X ' (x ) l 0-?(X ' (x )) 2dx +λ?X 2(x ) dx =0. 由于X (0) =X (l ) =0，故有 λ?X 2(x ) dx =?(X ' (x )) 2dx ， l l λ=?(X ' (x )) 2dx l ? l X 2(x ) dx ≥0. （1.8） 当λ=0时，方程X " (x ) +λX (x ) =0的通解为X (x ) =c 1+c 2x . 利用边界条件 X (0) =X (l ) =0可得c 1=c 2=0，即X (x ) =0. 因此，λ=0不是特征值. 当λ>0时，方程X " (x ) +λX (x ) =0的通解为 X (x ) =C 1cos λx +C 2sin λx . （1.9） 利用边界条件X (0) =X (l ) =0确定常数C 1, C 2如下 0=C 1, 0=C 1cos l +C 2sin λl , 或 C 2sin λl =0. 由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故C 2不能为零. 故有 sin λl =0. >0，从而有 λl =n π ， n ≥1, λn =( n πl ) 2，n ≥1 . 将C 1, C 2, λn 代入到（1.8）中，并略去任意非零常数C 2得 X n (x ) =sin n πl x ， n ≥1 . 故特征值问题（1.7）的解为 n πn π λn =() 2 ， X n (x ) =sin x ，n ≥1 （1.10） l l 注1 特征值问题是分离变量法的理论基础. 上面已求出特征值问题（1.7） n π 的解为{ sin 在一定条件下区间[0 ,l ]的任一函x n ≥1 }. 在高等数学中知道， l 数可按特征函数系{ sin { sin n πl n πl x n ≥1 }展开为Fourier 级数. 换言之，特征函数系 x n ≥1 }是区间[0 ,l ]上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基， l 而且还是该空间上的一组正交基，即有?sin n πl x sin m πl xdx =0 , n ≠m . 特征函 数系{ sin n πl ，和定理1.1有x n ≥1 }的这两个根本性质：正交性和完备性（基） 限维空间R n 中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个. 另外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化. 如将边界条件变为X (0)=0, X '(l ) =0，则特征值和特征函数分别为 λn =( (2n +1) π2l ) 2, X n (x ) =sin (2n +1) π2l x , n ≥0. n πl x n ≥1 }类似 该特征函数系{ sin (2n +1) π2l x n ≥1 }也具有和特征函数系{ sin 的性质，既正交性和完备性. 此类问题的一般结果便是著名的Sturm —Liouville 定理，有兴趣的同学可参阅参考文献[1]-[4]. 将以上的结果以定理的形式给出. 定理1.2 [1], [4] 考虑二阶线性微分算子A =- d 2dx 2 的特征值问题 " ??X (x ) +λX (x ) =0 , 0 （1.11） ?(k ) (m ) ??X (0)=0, X (l ) =0 . 其中0≤k , m ≤1. 则该问题的特征值非负，且满足 0≤λ1<><...><λn><...> 相应的特征函数系{X n (x )}n ≥1在[0,l ]上是相互正交的. 且对于任一在区间[0,l ]上分段光滑的函数f (x ) ，可按特征函数系{X n (x )}n ≥1展开为如下的Fourier 级数 f (x ) =∑f n X n (x ) ， n =1∞ 其中Fourier 系数为 l f n = ?f (x ) X l 0 n (x ) dx , n ≥1. 2 X ?n (x ) dx 为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子A =- d 2dx 2 带有周期边界条件的 特征值问题. 在偏微分方程教材中，习惯上用Φ(θ) 表示周期函数，即考虑下面 二阶线性微分算子A =- d 2dx 2 的周期边值问题 ?Φ" (θ) +λΦ(θ) =0, -∞<><> （ 1.12） ? ?Φ(θ) = Φ(2π+θ), -∞<><> 可证（1.12）和以下问题等价 " ??Φ(θ) +λΦ(θ) =0, 0≤θ≤2π （1.13） ?' ' Φ(0)= Φ(2π), Φ(0)= Φ(2π). ?? Φ(θ) =c 1+c 2θ, 和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值λ≥0. 当λ=0时， 由周期边界条件可得c 2=0. 所以Φ0(θ) =1为特征函数. 当λ>0时，方程通解为 Φ(θ) =c 1cos λθ+c 2sin θ, 求导得 Φ' (θ) =-c +c . 由周期边界条件可得 ??c 1=c 1cos(2+c 2sin(2 ? ??c =-c +c π或 ??c 1[1-cos(2π-c 2sin(2=0 （1.14） ? ??c 1sin(2+c 2[1-cos(2=0. 由于要求非零解，故c 1, c 2不能同时为零. 因此，齐次方程组（1.14）的系数矩阵行列式必为零，即 1-cos(2π=0. 解之可得 λn =n 2，Φn (θ) =c n cos n θ+d n sin n θ. 此时对每个正特征值λn =n 2，特征函数有二个，既cos n θ，sin n θ. 总结所得结果为如下定理. 定理1.3 考虑二阶线性微分算子A =- d 2d θ 2 带有周期边界条件的特征值问题 ?Φ" (θ) +λΦ(θ) =0, 0≤θ≤2π? ?' ' ??Φ(0)= Φ(2π), Φ(0)= Φ(2π). 则该问题的特征值和特征函数分别为 λ0=0, Φ0(θ) =1; λn =n 2，Φn (θ) ={cosn θ,sin n θ}, n ≥1. §2?2 分离变量法 本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation of variables ）. 所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题. 对高维问题的处理放在其它章节中介绍. 以下多数例子均假定定解问题带有齐次边界条件. 否则, 可利用边界条件齐次化方法转化之. 我们以弦振动方程的一个定解问题为例介绍分离变量法. 2．2.1 弦振动方程定解问题 例2.1求解两端固定弦振动方程的混合问题 ?u tt -a 2u xx =f (x , t ), 0 ?u (0,t ) =0, u (l , t ) =0, t ≥0 (2.2) ?u (x , 0) =?(x ), u (x , 0) =ψ(x ), 0≤x ≤l . (2.3) t ? 解 分四步求解. 第一步 导出并求解特征值问题. 即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该定解问题的特征值问题并求解. 令u (x , t ) =X (x ) T (t ) ，并代入到齐次方程中得 T ' ' (t ) X (x ) -a 2X ' ' (x ) T (t ) =0, 或 X '' (x ) X (x ) =T '' (t ) a 2T (t ) . 上式左端是x 的函数而右端是t 的函数，要二者相等，只能等于同一常数. 令此常数为-λ，则有 X " (x ) X (x ) =-λ ， T " (t ) a 2T (t ) =-λ ， 上面的第一个方程为 X " (x ) +λX (x ) =0 . 利用齐次边界条件（2.2），并结合T (t ) ≠0得 X (0) =X (l ) =0 . 由此便得该定解问题的特征值问题为 ?X " (x ) +λX (x ) =0, 0 ? ?X (0)=X (l ) =0. 其解为 特征值：λn =( n πl X n (x ) =sin ) 2 , n ≥1 ;特征函数： n πl x , n ≥1 . 第二步 正交分解过程. 即将初值和自由项按特征函数系{X n (x ) }n ≥1展成Fourier 级数，并将u (x , t ) 也用特征函数{X n (x ) }n ≥1表出. ?(x ) =∑?n X n (x ) =∑?n sin n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ n πl n πl x , （2.4） ψ(x ) =∑ψn X n (x ) =∑ψn sin n =1 n =1 ∞ ∞ x , （2.5） n πl f (x , t ) =∑f n (t ) X n (x ) =∑f n (t ) sin n =1 n =1 ∞ ∞ x , （2.6） u (x , t ) =∑T n (t ) X n (x ) =∑T n (t ) sin n =1 n =1 n πl x （2.7） 这里?n ，ψn 和f n (t ) 分别为?(x ) ，ψ(x ) 和f (x , t ) 的Fourier 系数，具体表示如下 ?n = 2l ?2l l 0 ?(α)sin n π ψn = ? l l 0 ψ(α)sin l 0 l n πl d α, d α, n πl f n (t ) = 2 ? f (α, t )sin d α, 而T n (t ) 为待定函数. 第三步 待定系数法. 即先将f (x , t ) 和u (x , t ) 的Fourier 级数代入到（2.1）中，导出关于T n (t ) 满足的常微分方程. 再利用初值条件（2.3）得出T n (t ) 满足的初始条件. 假设(2.7)中的级数可逐项求导，并将（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得 ∑T n =1 ∞ " n (t ) X n (x ) -a 2 ∑T (t ) X n n =1∞ n ∞ " n (x ) =∑f n (t ) X n (x ) , n =1 ∞ ∞ ∑T n =1∞ ∞ " n (t ) X n (x ) -a 2 ∑T (t )(-λ n =1 n X n (x )) =∑f n (t ) X n (x ) , n =1 ∑(T (t ) +a λn T n (t )) X n (x ) =∑f n (t ) X n (x ) . （2.8） " n 2 n =1 n =1 ∞ 由于Fourier 展式是唯一的，比较（2.8）两端X n (x ) 系数得 T n (t ) +a λn T n (t ) =f n (t ), n ≥1. （2.9） " 2 在（2.7）中令t =0并结合（2.4）得 ?(x ) =∑T n (0)X n (x ) =∑?n X n (x ) （2.10） n =0 n =0 ∞ ∞ 比较（2.10）两端X n (x ) 系数得 T n (0)=?n , n ≥1. （2.11） 类似地可得 T n ' (0)=ψn , n ≥1. （2.12） 结合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出关于T n (t ) (n ≥1) 满足的二阶常系数非齐次方程初始值问题 " 2??T n (t ) +a λn T n (t ) =f n (t ), t >0 ? （2.13） ' ??T n (0)=?n , T n (0)=ψn . 第四步 求解关于T n (t ) 的定解问题（2.13），并将其结果代入到（2.7）中即可. 为简单起见，我们设f n (t ) =0, n ≥1. 将λn 代入到（2.13）中可得方程的通解为 T n (t ) =c n cos n πa l t +d n sin n πa l t ， 利用初始条件确定常数c n , d n 如下 ?n =T n (0)=c n , ψn =T ' (0)=d n n πa l . 故有 ψn l n πa sin t . l n πa l 最后将上式代入到（2.7）中便得定解问题（2.1）—（2.3）的解为 T n (t ) =?n cos ∞ n πa t + u (x , t ) =∑ n =1 2 l ?2 l 0 ?(α)sin l n πl αd α cos n πa l l t sin n πl l x x (2.14) +∑ ∞ ?0 n =1n πa ψ(α)sin n πl αd αsin n πa t sin n π 注1 利用分离变量法求解（2.1）—（2.3），需要假设在（2.7）中可通过无穷求和号∑逐项求导. 而通过∑号求导要对无穷级数加某些条件，在这里就不做专门讨论了. 今后遇到此类问题，我们均假设一切运算是可行的，即对求解过程只作形式上的推导而不考虑对问题应加什么条件. 通常称这样得出的解为形式解. 验证形式解是否为真解的问题，属于偏微分方程正则性理论的范围. 一般地讲，偏微分方程定解问题的解大多数是以无穷级数或含参变量积分形式给出的. 对这两类函数可微性的研究需要较深的数学知识，也有一定的难度，有兴趣的同学可查阅参考文献[1]和[2]. 我们约定：本书只求定解问题的形式解. 注2 当f (x , t ) =0时，由（2.14）可以看出：两端固定弦振动的解是许多简单振动u n (x , t ) =T n (t ) sin n πl x 的叠加，当x =x k = kl n (1≤k ≤n -1) 时，对任意的时 刻t ，u n (x k , t ) =0，即u n (x , t ) 在振动的过程中有(n +1) 个点永远保持不动，所以称这样的振动为驻波, 而x k 称为该驻波的节点. 显然当x = 2k +12n l (1≤k ≤n -1) 时 sin x =1，在这些点上振幅最大，称这些点为驻波的腹点. 因此，求特征函数实 际上就是求由偏微分方程及边界条件所构定的系统所固有的一切驻波. 利用由 系统本身所确定的简单振动来表示一些复杂的振动，便是分类变量法求解波动问题的物理解释. 注3 例2.1的求解方法也叫特征函数法（eigenfunction method），现已成为固定模式，也具有普适性. 初学者似乎会感到有些繁琐，但随着进一步的学习，同学们就会熟练掌握这一方法. 特征函数法的关键之处是求解偏微分方程定解问题相应的特征值问题，而基本思想就是笛卡尔（Descartes ）坐标系的思想. 如在三维空间R 中，每个向量可由基{i , j , k }的线性组合表出，两个向量 3 α=a 1i +b 1j +c 1k , β=a 2i +b 2j +c 2k 相等当且仅当在基{i , j , k }下两个向量的坐标相等. 既a 1=a 2 , b 1=b 2 , c 1=c 2. 与此相类似，在例2.1求解中也是比较方程或初始条件两边X n (x ) 的系数而得到（2.13）. 与三维空间R 3相比较，例2.1中特征函数系{ sin n πl x n ≥1 }相当于R 3 中的基{i , j , k }，而{ Tn (t ) n ≥1 }也就相当于上面的{a 1, b 1, c 1}，即定解问题的解 关于基函数{ sin n πl x n ≥1 }的坐标. 因此，在具有可数基的无穷维空间中，特 征函数法也称为待定系数法. 例2.2 设有一均匀细弦，其线密度为ρ. 若x =0端为自由端，x =l 端固定. 初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为sin ωt . 求此弦的振动. 解 所求定解问题为 ?u tt -a 2u xx =ρ-1 sinωt , 0 u (0,t ) =0, u (l , t ) =0, t ≥0 ?x （2.15） ?u (x , 0) =0, u (x , 0) =0, 0≤x ≤l . t ? 利用特征函数法求解该问题. 情形1 非共振问题，即ω2≠a 2λn , n ≥0. 该定解问题的特征值问题为 ?X " (x ) +λX (x ) =0, 0 (2.16) ?' ??X (0)=0, X (l ) =0. 其解为 λn =( (2n +1) π2l ) 2 ， X n (x ) =cos (2n +1) π2l x ，n ≥0 将ρ-1sin ωt 按特征函数{X n (x ) }n ≥0展开成Fourier 级数得 1 ρ f n (t ) = 2l sin ωt =∑f n (t ) X n (x ) , （2.17) n =1 ∞ ? l 0 1 ρ sin ωt sin 2n +12l παd α= 4(2n +1) πρ sin ωt =f n sin ωt . 令 u (x , t ) =∑T n (t ) X n (x ) （2.18） n =0∞ 完全类似例2.1的求解过程可得，对于任意n ≥0, T n (t ) 满足下面问题 " 2 ??T n (t ) +a λn T n (t ) =f n sin ωt , t >0 ? （2.19） ' T (0)=0, T (0)=0. ?n ?n 初值问题(2.19)中齐次方程的通解为 T n (t ) =c 1cos +c 2sin ， 而非齐次方程的一个特解为 T n (t ) = f n a λn -ω 2 2 sin ωt . 因此，（2.19）的通解为 T n (t ) =c 1cos +c 2sin + f n a 2λn -ω2 sin ωt . （2.20） 由初始条件可确定出 c 1=0, c 2= 最后将所得到的T n (t ) 代入到（2.18）中便得（2.15）的解. 情形2 共振问题，即存在某个n ≥0, 使得ω2=a 2λn . 不妨假设ω2=a 2λ0. 此时，在情形1中求解所得到的{ Tn (t ) n ≥1 }不变. 当 n =0时，要求解以下问题 " 2??T 0(t ) +ωT 0(t ) =f 0sin ωt , t >0 （2.21） ?' ??T 0(0)=0, T 0(0)=0. （2.21）中齐次方程通解为 T 0(t ) =c 1cos ωt +c 2sin ωt . 为求得非齐次方程的一个特解，要将（2.21）中方程的自由項换为f 0e i ωt ，而求 以下问题的一个特解 T 0" (t ) +ω2T 0(t ) =f 0e i ωt . 令T (t ) =Ate i ωt 并代入到上面非齐次方程中可得 A =- T (t ) = f 0t 2ωsin ωt -i f 0t 2ω f 0i 2ω ，故有 cos ωt ， 取其虚部便得（2.21）中方程的一个特解为 T 0(t ) =Im(T (t )) =- f 0t 2ω cos ωt . f 0t 2ω 结合以上所得结果便可得到（2.21）中方程的通解为 T 0(t ) =c 1cos ωt +c 2sin ωt - cos ωt ， 由初始条件确定出 c 1=0, c 2= f 0 2ω2f f t T 0(t ) =02sin ωt -0cos ωt . 2ω2ω ，由此可得 将T n (t ) 代入到（2.18）中便得在共振条件下（2.15）的解为 u (x , t ) =∑T n (t ) X n (x ) n =0∞ =T 0(t ) X 0(x ) +∑T n (t ) X n (x ) n =1 ∞ π 2l x +∑T n (t ) X n (x ) n =1∞ =( f 02ω2 sin ωt - f 0t 2ω cos ωt ) cos =u 1(x , t ) +u 2(x , t ) . 可以证明: u 2(x , t ) 是有界的. 而在u 1(x , t ) 的表达式中取 t k = u 1(x , t ) 中的基本波函数cos 2k π ω ，则 π 2l x 的振幅T 0(t k ) 当k 逐渐变大时将趋于无穷大，最终 要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率ω 等于系统的第一固有频率数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率ω很接近或等于系统的某个固 有频率时，系统都会有共振现象发生，即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂. 2．2.2 热传导方程定解问题 例2.3 求解下面热方程定解问题 ?u t =a 2u xx , 0 ?u (0,t ) =u 0, u x (l , t ) =sin ωt , t ≥0 （2.22） ?u (x , 0) =0, 0≤x ≤l . ? 解 利用特征函数法求解(2.22). 首先将边界条件齐次化, 取w (x , t ) =u 0+x sin ωt ，并令v =u -w ，则（2.22）转化为 ?v t -a 2v xx =-ωx cos ωt , 0 ?v (0,t ) =0, v x (l , t ) =0, t ≥0 （2.23） ?v (x , 0) =-u , 0≤x ≤l . 0? 利用分离变量法可得（2.23）的特征值问题为 ?X " (x ) +λX (x ) =0, 0 ? ?X (0)=0, X '(l ) =0. 特征值和特征函数分别为 λn =( (2n +1) π2l ) 2 n ≥0 , x n ≥0 . X n (x ) =sin (2n +1) π2l 将f (x , t ) =-ωx cos ωt ，?(x ) =-u 0按特征函数{X n (x ) }n ≥0展成Fourier 级数得 -ωx cos ωt =∑f n (t ) X n (x ) ， (2.24) n =0∞ f n (t ) = 2l ? l 0 (-1) ωαcos ωt sin (2n +1) π2l d α=f n cos ωt , 其中 f n = 8ωl (-1) n +1(1+2n ) π ∞ 22 . -u 0=∑?n X n ， (2.25) n =0 其中 ?n = 2l ? l 0 (-u 0)sin (2n +1) π2l d α= -4u 0(1+2n ) π . 令 v (x , t ) =∑T n (x ) X n (x ), (2.26) n =0∞ 并将（2.26）代入到（2.23）中的方程得 ∑∞ ∞ T ' " n (t ) X n (x ) -a 2 n t ) X n (x ) =n =0∑T (n =0 ∑∞ f n cos ωtX n (x ) , n =0 ∑∞ ∞ (T ' n (t ) +a 2 λn T n (t )) X n (x ) =(x ) . n =0 ∑f n cos ωtX n n =0 在（2.26）中令t =0并结合（2.25）得 ∞ ∞ ?(x ) =∑T n (0)X n (x ) =n =0 ∑?n X n (x ) . n =0 比较上面两式中特征函数X n (x ) 的系数便得 ' 2 ???T n (t ) +a λn T n (t ) =f n cos ωt , t >0?(0)=? ?T n n . （2.27）是一阶常系数常微分方程初值问题. 齐次方程通解为 T n (t ) =Ce -a 2 λn t . 令T n (t ) =A cos ωt +B sin ωt ，并利用待定系数法求特解可得 T a 2λn f n n n (t ) = ω2+a 4 λ 2 cos ωt + ωf n ω2 +a 4 λ 2sin ωt , n 故有 2 T -a 2λn t n (t ) =Ce + a λn f n ω2+a 4 λ 2cos ωt + ωf n n ω2 +a 4 λ 2sin ωt n 在上式中代t =0得 ?a 2λn f n n =C + ω2+a 4λ2 , n C =?a 2λn f n n - ω2+a 4 λ 2 . n 最后将(2.28)代入到(2.26)中便得(2.23)的解为 ∞ v (x , t ) =∑T n (t ) sin (2n +1) π . n =02l x 故（2.21）的解为 u (x , t ) =v (x , t ) +w (x , t ) =v (x , t ) +u 0+x sin ωt 2.27） 2.28） （（ 其中T n (t ) 由（2.28）给出. 2．2.3 平面上位势方程边值问题 考虑矩形域上Poisson 方程边值问题 ?u xx +u yy =f (x , y ), a ?u (a , y ) =g 1(y ), u (b , y ) =g 2(y ), c ≤y ≤d （2.29） ?u (x , c ) =f (x ), u (x , d ) =f (x ), a ≤x ≤b . 12? 我们假设f 1(x ) =f 2(x ) =0或g 1(y ) =g 2(y ) =0. 否则，利用边界条件齐次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件. 当然，也可以利用叠加原理将（2.29）分解为二个问题，其中一个关于x 具有齐次边界条件，而另一个关于y 具有齐次边界条件. 例2.4 求解Dirichlet 问题 ?u xx +u yy =0, 0 ?u (0,y ) =0, u (2,y ) =0, 0≤y ≤1 （2.30） ?u (x , 0) =1, u (x ,1) =x (x -1), 0≤x ≤2. ? 解 令u (x , y ) =X (x ) Y (y ) 并将其代入到（2.29）中齐次方程得 X " (x ) Y (y ) +X (x ) Y " (y ) =0, X " (x ) X (x ) =- Y " (y ) Y (y ) =-λ, ?X " (x ) +λX (x ) =0, 0 ? （2.31） ?X (0)=0, X (2)=0. Y " (y ) -λY (y ) =0 （2.32） （2.31）便是（2.30）的特征值问题，其解为 n πn π λn =() 2， X n (x ) =sin x ， n ≥1. 2 2 将λn 代入到（2.32）中得 Y " (y ) -λn Y (y ) =0 ， （2.33） n π 该方程有两个线性无关解e 2 y ，e - n π2 y . 由于sh n π2 y ，ch n π2 y 也是（2.33）的解 且线性无关，故（2.33）通解为 Y n (y ) =c n sh n π2 ∞ y +d n ch n π2 y . 令 u (x , y ) =∑X n (x ) Y n (y ) =∑(c n sh n =1 n =1 ∞ n π2 y +d n ch n π2 y ) sin n π2 x (2.34) 则u (x , y ) 满足（2.30）中方程和关于x 的齐次边界条件. 利用关于y 的边界条件可如下确定c n ，d n ， 1= ∑d n sin n =1 ∞ n π2 x , d n = 2 2? 20 1?sin ∞ n π2 αd α= n π2 2n π （2.35） (1-(-1) n ) . n π2) sin n π2x , x (x -1) =∑(c n sh n =1 +d n ch c n sh n π2 +d n ch n π2 = 2?0 2 2 α(α-1) sin n π2 αd α= 16(-1) n -16-4n 2π2(-1) n n 3π3 , c n = 16(-1) -16-4n π(-1) 2 . （2.36） -(1-(-1) n ) n πn πn π n 3π3sh sh 22 ∞ n 22n ch n π 故（2.30）解为 u (x , y ) =∑(c n sh n =1 n π2 y +d n ch n π2 y ) sin n π2 x , （2.37） 其中c n ，d n 由（2.36）和（2.35）确定. 对于圆域，扇形域和圆环域上的Poisson 方程边值问题，求解方法和矩形域 上的定解问题无本质区别，只是在此时要利用极坐标. 同学们自己可验证：令x =ρcos θ，y =ρsin θ作自变量变换，则有 u xx +u yy =u ρρ+ 1u ρ+ 1u θθ. ρρ 2 令u (ρ, θ) =R (ρ) Φ(θ) ，将其代入到极坐标下的Laplace 方程中得 R " (ρ) Φ(θ) + 1 R ' (ρ) Φ(θ) + 1 R (ρ) Φ" (θ) =0, ρρ 2 (R " (ρ) + 1 ρ R ' (ρ)) Φ(θ) + 1 ρ2 R (ρ) Φ" (θ) =0, Φ(θ) Φ(θ) " R " (ρ) +=- 1 1 ρ R ' (ρ) =-λ, ρ 2 R (ρ) 故有 Φ" (θ) +λΦ(θ) =0, （2.38） ρ2R " (ρ) +ρR ' (ρ) -λR (ρ) =0. （2.39） 方程（2.38）结合一定的边界条件便得相应定解问题的特征值问题, 而 （2.39）是欧拉（Euler ）方程. 对（2.39）作自变量变换ρ=e s 可得 ρ=e s ， s =ln ρ, dR d ρ =dR ds ds d ρ =R s ' 1 ρ , d 2R ds 2dR d 2s '' 1' 1=() +=R -R . ss s 22222 d ρds d ρds d ρρρ d 2R 将以上各式代入到（2.39）得 R ss '' -λR =0 . （2.40） 例2.5 求下面扇形域上Dirichlet 问题 ?u xx +u yy =0, x >0, y >0, x 2+y 2<> ?u (x , 0) =0, 0≤x ≤2 ? （2.41） ?u (0,y ) =0, 0≤y ≤2 ?u (x , y ) =xy , x 2+y 2=4. ? 的有界解. 解 令x =ρcos θ，y =ρsin θ作自变量变换，（2.41）转化为 11π? u +u +u =0, 0<><,><><2> 2 ? π? ?u (ρ, 0) =0, u (ρ, ) =0, 0≤ρ≤2 （2.42） 2? π? u (2,θ) =2sin 2θ, 0≤θ≤. ?2? 令u (ρ, θ) =R (ρ) Φ(θ) 代入到（2.42）中的方程，并结合边界条件可得 ?Φ" (θ) +λΦ(θ) =0, 0<><π> ? （2.43） ?Φ(0)=0, Φ(π/2) =0. ρ2R " (ρ) +ρR ' (ρ) -λR (ρ) =0. （2.44） （2.43）便是（2.42）的特征值问题. 求解特征值问题（2.43）可得 n π2 λn =() =4n 2 ， Φn (θ) =sin 2n θ ， n ≥1. π/2将λn 代入到（2.44）中，并令ρ=e s 作自变量变换可得 R " ss -4n 2R =0, R n (ρ) =c n e 2ns +d n e -2ns =c n ρ2n +d n ρ-2n . 由于是求（2.42）的有界解，故有R (0) <∞，即d n="0."> R n (ρ) =c n ρ2n . 上面求出的u n (ρ, θ) =R n (ρ) Φn (θ) 对每个n ≥1都满足（2.42）中的方程和齐次边界条件，由叠加原理得 u (ρ, θ) =∑R n (ρ) Φn (θ) =∑c n ρ2n sin 2n θ, （2.45） n =1 n =1 ∞ ∞ 也满足（2.42）中的方程和齐次边界条件. 为使（2.42）中的非齐次边界条件 u (2,θ) =2sin θ得以满足，在（2.45）中令ρ=2得 2sin 2θ=∑c n 22n sin 2n θ， （2.46） n =1 ∞ 比较上式两边特征函数Φn (θ) =sin 2n θ的系数得 c 1= 12 ， c n =0 (n ≠1) . 将c 1，c n (n ≠1) 代入到（2.45）中便得（2.42）的解为 u (ρ, θ) = 12 ρ2sin 2θ . 例2.6 求解圆域上Dirichlet 问题 11?u +u +u θθ=0, 0<> ρρ2 ? （2.47） ?u (a , θ) =?(θ), 0≤θ≤2π. ? 解 圆域上的函数u (ρ, θ) 相当于关于变量θ具有周期2π. 令 u (ρ, θ) =R (ρ) Φ(θ) 并代入到（2.46）中的方程可得 ?Φ" (θ) +λΦ(θ) =0 ? （2.48） ?Φ(θ) = Φ(2π+θ). ρ2R " (ρ) +ρR ' (ρ) -λR (ρ) =0. （2.49） （2.48）是定解问题（2.47）的特征值问题. 由定理1.3知（2.48）的解为 Φn θ() =c n c o n θs +d n λn =n 2, s n θi n n ≥, . 将λn 代入到（2.49）中可得(要利用自然边界条件u (0,θ) <> R 0(ρ) =c 0, R n (ρ) =c n ρn ，n ≥1 利用叠加原理可得（2.47）的如下形式解 u (ρ, θ) =c 0+∑ρn (c n cos n θ+d n sin n θ) . （2.50） n =1∞ 根据边界条件u (a , θ) =?(θ) 得 ?(θ) =c 0+∑a n (c n cos n θ+d n sin n θ) , n =1∞ 其中 c 0=c n =d n = 2π?1a n 1 2π0 ?(τ) d τ, π? 2π02π0 ?(τ) cos n τd τ, ?(τ) sin n τd τ. 1a n π ? 将以上各式代入到（2.50）中便得（2.47）的解为 u (ρ, θ) = + 12π ? 2π ?(τ) d τ+∑() ( n n =1 ∞ ρ a 1 π ? 2π ?(τ) cos n τd τcos n θ 1 π ? 2π 0∞ ?(τ) sin n τd τsin n θ) . （2.51） ∞ 注4 利用等式∑c n cos n (θ-τ) =Re(∑c n e in (θ-τ) ) 可将（2.51）化为如下形 n =1 n =1 式 u (ρ, θ) = 2π?1 2π0 2 (a 2-ρ2) ?(τ) a +ρ-2a ρcos(θ-τ) 2 τ, （2.52） 式（2.52）称为圆域上调和函数的Poisson 公式. 在后面学习中还将用其它方法 导出它. 注5 在例2.5和例2.6中，如果方程中自由项f (ρ, θ) 不为零，若f (ρ, θ) 特殊，可用函数代换将自由项化为零而转化齐次方程. 对于一般的f (ρ, θ) ，要利用特征函数方法求解. 注6 上面例2.3—例2.6几个定解问题的求解思想和主要过程，是伟大的数学家和物理学家Fourier 给出的，详细内容见参考文献[5]. 在这部著名论著中，Fourier 首次利用偏微分方程来研究热问题，并系统地介绍了分离变量法的基本思想和主要步骤. 结合本节所举例子，请同学们小结一下在本章所学过的特征值问题，二阶常系数非齐次常微分方程和欧拉方程的求解方法. 习 题 二 1. 设有如下定解问题 ?u tt -a 2u xx =f (x , t ), 0 ?u (0,t ) =0, u x (l , t ) =0, t ≥0 ?u (x , 0) =?(x ), u (x , 0) =ψ(x ), 0≤x ≤l . t ? 利用分离变量法导出该定解问题的特征值问题并求解. 2. 求解下列特征值问题 " ??X (x ) +λX (x ) =0, 0 （1） ?' ' ??X (0)=X (l ) =0. ?X " (x ) +λX (x ) =0, -1 X (-1) =0, X (1)=0? ?X " (x ) +λX (x ) =0, 0 （3） ? X '(0)=0, X (l ) =0. ? ?X " (x ) +λX (x ) =0, 0 （4） ? ?X (0)=X (2l ), X '(0)=X '(2l ). 3 考虑下面特征值问题 ?X " (x ) +λX (x ) =0, 0 ? ?X (0)=0, X '(l ) +X (l ) =0. * （1）证明一切特征值λ>0. （2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的. （3）求出所有的特征值和相应的特征函数. 4． 设p (x ), q (x ) 在区间[0,l ]一阶连续可导且p (x ) >0, q (x ) ≥0. 考虑如下特征值问题 d ?d -[p (x ) X (x )]+q (x ) X (x ) =λX (x ), 0 （1）证明一切特征值λ≥0. （2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的. 5．求解下列弦振动方程的定解问题 ?u tt -a 2u xx =0, 0 ??u tt -a 2u xx =0, 0 ?u tt -u xx +4u =0, 0 ?u tt -u xx -4u =2sin 2x , 0 ?u tt -a 2u xx =2, 0 6．求解下列热传导方程的定解问题 x ?2u -a u =cos , 0 65 ??u t -a 2u xx =2u , 0 （2） ?u (0,t ) =0, u (1,t ) =0, t ≥0 ?x ?u (x , 0) =sin πx , 0 ??u t -a 2u xx +b 2u =0, 0 （3） ?u (0,t ) =0, u (l , t ) =0, t ≥0 ??u (x , 0) =?(x ), 0≤x ≤l . ?u t -a 2u xx =xt , 0 （4） ??u x (0,t ) =0, u x (l , t ) =0, t ≥0 ??u (x , 0) =1, 0≤x ≤l . 7. 求解下面位势方程定解问题 ?u xx +u yy =x , 0 （1） ??u y (x , 0) =0, u y (x , b ) =0, 0≤x ≤a ??u (0,y ) =0, u (a , y ) =Ay , 0≤y ≤b . ?u xx +u yy =0, y >0, x >y , x 2+y 2<> （2） ???u (x , 0) =0, 0≤x ≤2, u (x , x ) =0, 0≤x ≤???u (x , y ) =x +y , x 2+y 2=4. （3） ??22 ?u xx +u yy =0, x +y <> ??u (x , y ) =1+x , x 2+y 2=4. ?u xx +u yy =xy , 1 （4） ?<> ??u (x , y ) =0, x 2+y 2=1 ???u (x , y ) =x +y , x 2+y 2=4. 8* 设?(x ) 在区间[0,l ]的Fourier 展开式为 ∞ ?(x ) =∑c sin k πx k , k =1l n 其部分和为S k πx n (x ) =∑c k sin 求解或证明以下结果. k =1l , （1）设?(x ) ∈C [0,l ]，求?l 0[?(x ) -S n (x )]2dx . （2）证明下面贝塞尔（Bessel ）不等式 ∑∞ c 22l 2 k ≤ k =1l ?0?(x ) dx . （3）设?(x ) ∈C 2[0,l ]，?(x ) 的二阶导数的Fourier 展开式为 66 6.1）6.2）（ （ ?''(x ) =∑d n sin n =1∞n πx l , 如果 ?(0)=?(l ) =0，利用分部积分法证明 d n =An 2c n , n ≥1, （6.3） 其中A 为正常数. （4）利用（6.2）和（6.3）证明（6.1）中的三角级数在区间[0,l ]上一致收敛，并且可以逐項求导. 9 考虑如下定解问题 ?u t =a 2u xx , 0 （1） 给出该定解问题的物理解释. （2） 当经过充分长的时间后，导热杆上的温度分布u (x , t ) 如何？ （3） 求极限lim u (x , t ) . t →+∞ 10 考虑如下定解问题 ?u t =a 2u xx , 0 （1）给出该定解问题的物理解释. （2）求极限lim u (x , t ) . t →+∞ 11 考虑下面定解问题 ?u tt -u xx +2u t +u =0, 0 ?u (x , 0) =x , u (x , 0) =0, 0≤x ≤π. t ?* （1）解释该定解问题方程中各项的物理意义. （2）推导出问题的特征值问题并求解. （3）写出该问题解的待定表示式并求出表达式中第一特征函数的系数. 12 考虑下面定解问题 ?u tt -u xx =f (x , t ), 0 （1）写出该定解问题的特征值和特征函数 λn , X n (x ), n ≥0. （2）如果?(x ) =0, ψ(x ) = 0，而f (x , t ) =sin t ，求解该定解问题. （3）如果f (x , t ) =0，证明 ?τ>0，下面等式 67 ?l 02 （12.2） [u (x , τ) +u (x , τ)]dx =?[ψ2(x ) +?x (x )]dx ，02t 2x l 成立，解释该等式的物理意义. （4）证明（12.1）的解是唯一的. 68 数学物理方程中的分离变量法 分离变量法是数学物理方程中求解有限域上的初边值问题的主要方法。本文首先给出了分离变量法的思想，进一步讨论了不同类型的初边值问题的求解。通过举例说明加深了我们对分离变量法的理解。 分离变量法数学物理方程初边值问题一、引言 数学物理方程是研究物理学以及其他自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程的学科，它是具有广泛应用背景的一门数学基础理论课程，不论从事基础研究，还是工程技术开发工作都离不开它。客观世界的复杂性，导致描述关系的数学方程的复杂性，使这些偏微分方程都含有较多的自变量，其求解相当复杂。如何简化求解方法，成为求解数理方程的一个重要方面。分离变量法就是一种求解偏微分方程的普遍的重要方法。该方法可将偏微分方程分离为常微分方程使得一些偏微分方程变得可解。先求数学物理方程通解的办法只适用于极少数的某些定解问题，而分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的有限域上的初边值问题\[1-2\]。文中所用记号和术语均来自\[3\]. 二、分离变量法求解数学物理方程的思想 分离变量法的提出是受“驻波”问题的启示，“驻波”是振动现象中的一种常见形式。描述“驻波”的偏微分方程，可表示为变量分离状态的形式。虽然我们是从驻波引出解题的线索，其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的关系。简单说来，分离变量法就是利用方程与边界条件的线性性质和齐次性质，首先把偏微分方程分离为常微分方程，找到满足方程和边界条件的特解，然后将这些特解线性叠加，使其满足初始条件，方程则解出。 三、分离变量法求解数学物理方程的应用 （一）求解带有齐次边界条件的齐次方程的初边值问题(举例说明) 研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题： （二）分离变量法求解带有齐次边界条件的非齐次方程的初边值问题 首先根据叠加原理将初边值问题分解为两个初边值问题，一个是带有非齐次初始条件的齐次方程的初边值问题，求解方法见3.1。另外一个是带有齐次初始条件的非齐次方程的初边值问题，该初边值问题的求解利用齐次化原理，同样可以转化为带有非齐次初始条件的齐次方程的初边值问题。 （三）求解带有非齐次边界条件的初边值问题 如果边界条件是非齐次的，首先将边界条件齐次化。就是选取一个与未知函 第二章 分离变量法 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 考虑矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题, 设薄板上下两面绝热，板的两边 ( x = 0, x = a ) 始终保持零度，另外两边 ( y = 0, x = b) 的温度 分别为 f ( x ) 和 g ( x )，求板内稳恒状态下的温 度分布。即求解定解问题: uxx + uyy = 0 (0 (*) (1) u ( x , 0 ) = f ( x ) , u ( x , b ) = g ( x ) , (2) u ( 0, y ) = u ( a , y ) = 0. (3) 解： 变量分离形式的试探解 u ( x , y ) = X ( x )Y ( y ) 代入方程变量分离得两个常微分方程: X ′′( x ) + λ X ( x ) = 0 Y ′′ ( y ) ? λY ( y ) = 0 (4) (5) 由边界条件(3)得: X ( 0) = 0 X ( a ) = 0 考虑固有值问题 (边值问题): X ′′( x ) + λ X ( x ) = 0 X ( 0) = 0 X ( a ) = 0 (4) 由上一节结果知当 该问题才有非零解: nπ λn = 2 a 2 2 ( n = 1,2,3, ) 时, nπx nπx 或 X n ( x ) = sin X n ( x ) = C2 sin a a 将 nπ λn = 2 a 2 2 代入方程(2)得其通解为 nπ y a Yn ( y ) = a n e + bn e ? nπ y a ( n = 1,2,3, ) 于是定解问题(*)的解可表示为: u ( x , y ) = ∑ ( an e n =1 ∞ nπ y a + bn e nπ ? y a nπ )sin x a 又由边界条件（2）知 2 a nπ ? a n + bn = ∫ f ( x ) sin xdx, ? a 0 a ? ? nπ nπ b b ? 2 a nπ ?a e a + b e a = g ( x ) sin xdx. n n ∫0 ? a a ? 由上两式解出 an , bn 代入 u ( x, y ) 即得定解问题的解。 uxx + uyy = 0 (0 作业1： u( x,0) = e ,u( x,b) = x , x 2 u ( 0, y ) = u ( a , y ) = 0. 作业2： 在矩形域 0 ≤ x ≤ a, 2 2 0 ≤ y ≤ b 内求Laplace方程 2 ?u ?u ? u= 2 + 2 =0 ?x ?y 的解，使其满足边界条件 ?u x =0 = 0, u x =a = Ay; ? ? uy = 0, u y = 0. ? y =0 y =b ? 考虑半径为 r0 圆形薄板稳恒状态时的温度 分布问题, 设薄板上下两面绝热，圆周边 界的温度已知为 f (θ ) (0 ≤ θ ≤ 2π ) ，且 f (0) = f (2π ) 求板内稳恒状态下的温度分布。即求解定 解问题: ? ? u 1 ?u 1 ? u （1） + 2 = 0 (0 2 2 解： 变量分离形式的试探解 u ( r ,θ ) = R ( r )Φ (θ ) 1 1 代入方程得: R′′Φ + R′Φ + 2 RΦ ′′ = 0 r r 分离变量，令其比值为常数 λ ，得: Φ′′ r R′′ + rR′ =? =λ Φ R 2 由此可得两个常微分方程: r R′′ + rR′ ? λ R = 0 2 (3) (4) Φ ′′ + λΦ = 0 Φ (θ + 2π ) = Φ (θ ) 由于 u ( r , θ ) 是单值函数，所以u ( r ,θ + 2π ) = u ( r ,θ ) , 即 根据物理意义，圆内各点温度应该是有界的，因而 | u (0,θ ) | 因此我们得到两个常微分方程的定解问题： ? Φ′′ + λΦ = 0, ? ?Φ (θ + 2π ) = Φ (θ ). ? r R′′ + rR′ ? λ R = 0, ? ? | R (0) | 2 （5） （6） 附录: 欧拉方程（齐次）：x y + a1 xy + a 2 y = 0 2 ' ' ' 令x = e t ? dy 1 dy = , ? 则： ? dx x dt ? 2 d y 1 dy 1 d 2 y ? =? 2 + 2 2. 2 ? dx x dt x dt ? 代入得常系 数微分方程： d y dy + ( a1 ? 1) + a2 y = 0 2 dt dt 2 对于问题（5），讨论 λ ： １） λ Φ (θ ) = Ae ? λθ + Be ? ? λθ A 和 B 为任意常数，这样的函数不满足周期性 条件，故 λ 2） λ = 0 方程的通解为 Φ 0 (θ ) = A0θ + B0 B0 A0和B0 为任意常数，只有当 A0＝0 时 Φ 0 才满足 周期性条件，此时（5）的解为 Φ 0 (θ ) = 将 λ = 0 代入问题（6）的方程，得它的通解为： R0 ( r ) = C0 ln r + D0 , C0 , D0为任意常数 ∵ | R0 (0) | 这样，我们就得到方程（1）的一个解为 1 u0 ( r,θ ) = R0 ( r )Φ 0 (θ ) = B0 D0 = a0 2 3） λ > 0 方程的通解为 Φ (θ ) = A cos λθ + B sin λθ A 和 B 为任意常数，要满足周期为 2π ，则 λ = n (n = 1, 2, ) 2 于是 Φ n (θ ) = An cos nθ + Bn sin nθ 将 λ = n 2 代入问题（6）的方程，得欧拉方程： r R′′ + rR′ ? n R = 0 它的通解为： 2 2 Rn ( r ) = Cn r + Dn r . n ?n ∵ | Rn (0) | ∴ Rn ( r ) = Cn r (n=1,2, n ). 因此 λ = n 2 (n = 1, 2, 列特解 ) 时，得到方程（1）的一系 n un ( r,θ ) = Rn ( r )Φ n (θ ) = ( an cos nθ + bn sin nθ ) r 运用叠加原理，得到方程（1）的满足单值性和有界 性的级数解 1 n u( r,θ ) = a0 + ∑ ( an cos nθ + bn sin nθ ) r 2 n =1 ∞ 为了确定系数 an , bn，利用边界条件（2）得 1 n u( r0 ,θ ) = a0 + ∑ ( an cos nθ + bn sin nθ ) r0 = f (θ ) 2 n =1 1 ? an＝ n ? π r0 ? 其中 ? ? bn＝ 1 n ? π r0 ? ∞ ∫ ∫ 2π 0 2π f (? ) cos n? d? (n=0,1,2, f (? )sin n? d? (n=1,2, ). ), 0 至此，定解问题 （1）－（2）得到解决。 将 an , bn 代入得 u ( r,θ ) = 1 π ∫ 2π 0 ?r? 1 [ + ∑ (? ? cos n(θ ? ? )] f (? )d? (r ∞ n 作下面的恒等变换 ∞ 1 ∞ n 1 + ∑ k cos n(θ ? ? ) = {1 + ∑ [( kei (θ ?? ) ) n + ( ke ? i (θ ?? ) ) n ]} 2 n =1 2 n =1 kei (θ ?? ) ke ? i (θ ?? ) 1 + = {1 + } ? i (θ ?? ) i (θ ?? ) 2 1 ? ke 1 ? ke 1 1? k2 = 2 1 ? ke ? i (θ ?? ) ? kei (θ ?? ) + k 2 ∞ 1 ∞ n 1 i (θ ?? ) n ? i (θ ?? ) n ) + ( ke ) ]} + ∑ k cos n(θ ? ? ) = {1 + ∑ [( ke 2 n =1 2 n =1 1 kei (θ ?? ) ke ? i (θ ?? ) = {1 + } + i (θ ?? ) ? i (θ ?? ) 2 1 ? ke 1 ? ke 1 1? k2 = ? 2 i (θ ?? ) ? i (θ ?? ) +k 2 1 ? ke ? ke 1 1? k2 = ? ( | k | 1 ∴ u ( r ,θ ) = 2π ∫ 2π 0 r ?r f (? ) 2 2 d? (r 2 0 2 这个公式称为圆域内的泊松公式。 作业3：求解下述定解问题 ? ? u 1 ?u 1 ? u （1） + 2 = 0 (0 ?r （2） ?u |r = r = 2sin 2θ . ? 0 2 2 第三章 热传导方程的分离变量法 Mathematical Method in Physics 西北师范大学物理与电子工程学院 豆福全 第 1 页 共 12 页 第三章 热传导方程的分离变量法 第三章 热传导方程的分离变量法 引 言 上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究，它的研究包括从方程的导出到应用行波法。本章我们对抛物型方程以热传导方程为代表进行研究。 , 复习: 定量化数理方程的导出步骤() 物理模型数学模型,,,,, ? 建坐标系 ? 选物理量 u ? 找物理规律 ? 写表达式 本章，我们先对热传导进行推导。 3.1 热传导方程 3.1.1热传导方程的导出 1. 物理模型 截面积为,均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求热量的流动。 2.相关概念和定律 ?相关概念 ?热传导:由于温度分布不均匀产生的热传递现象。 设热量: 面积: 体积: QSV 时间: 密度: 温度:T， t, Q,?比热:单位物质，温度升高一度所需热量 C,VT ?热流密度:单位时间流过单位面积的热量(Fourier实验定律) Qu,,，:导热率 ,q,,,tSn, Q?热源强度:单位时间，单位体积放出的热量(热源密度) f,tV ?用到的物理学规律 ? Fourier实验定律(热传导定律):当物体内存在温度差时，会产生热量 2 第三章 热传导方程的分离变量法 ,的流动。热流强度(热流密度)与温度的下降成正比。即。 qqu,,,,:热导系数(热导率)，不同物质不同，。对均匀杆是常 ,,,,,xu,,，，数。负号表示温度下降的方向。 ,u,u,u分量形式: ，， ,,q,,,q,,q,,yxz,y,x,z ,u一维问题: ,q,,,n ?热量守恒(质量)定律:物体内部温度升高所吸收的热量(浓度增加 所需要的质量)，等于流入物体内部的净热量(质量)与物体内部的热源所 产生的热量(质量)之和。 3分析 研究的问题: 热流流动是由温差造成,设为温度. u 已知:，，,常数 ,C 是一维问题 uuxt,,，， 4研究建立方程 取轴与细杆重合，表示在点时刻的温度。 uxt,xxt，， 考虑任一段在时间热量情况 ,x,t ,u?流入面: x,QAt,,,,1,xx ,u?流出面: xx，,,QAt,,,,2,x，,xx ?热源产生:设有热源其密度为，杆内热源在段产生的热量为 fxt,,x，， QfxtAxt,,,, ，，3 ?段温度要升高所吸收的热量 Q,x,u ,,,，,,CAxuxttuxt,,,，，QCAxu,,,,, ，，，，，， ? 根据能量守恒定律 流入段总热量与段中热源产生的热量 ,x,x 3 第三章 热传导方程的分离变量法 QQQQ,,，123 即 CAxuxttuxt,,，,,,,,,，,,,，,,,uxxtuxtAtfAxt,,，，，，，，，，，，，，xx，，，， 1两边同除以 Axt,, uxttuxt,,，,,uxxtuxt，,,,,，，，，，，，，xx ,,C,,，f,t,x当，时， Cuuf,,,,，,,,,x0,,t0txx ,F， 其中， D,,uDuf,，ftxx,CC, ，二维热传导方程为 同理 uDuuf,，, ，，txxyy 三维热传导方程为 uDuuuf,，，, ，，txxyyzz 或 uDuf,,,t 2或 uauf,,,t 3.1.2定解条件 ?初始条件 uxx,0,,，，，， ? 边界条件提法有三种 ?第一类边界条件:直接给出物理量在边界上的数值(边界上各点 的温度)。 ， utt0,,,ultt,,,，，，，，，，，12 uxtt,,,uxtt,,, ， ，，，，，，，，12x,xl,0 ?第二类边界条件:研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数 值。 ,u,u ， ,vt,vt，，，，12,x,x,,x0xl 或 4 第三章 热传导方程的分离变量法 ， uxtvt,,uvt,，，，，，，x1x1,x0,x0 已知通过细杆端点的热量，特殊情形 如 绝 vt,0ult,0,，，，，x 热条件。 物理意义:把细杆端点处的截面用一种定点绝热的物质包 xl, 裹起来，使得在端点处，既无热量流出去，又无热量流进来。 xl, ? 第三类边界条件:物理量与外法向导数的线性组合。 已知杆端与某种介质接触，它们之间按热传导中的牛顿实 xl, 验定律进行热交换，相应的边界条件为， ,,ultultt,,，,，，，，，，x :热导系数 ，:热交换系数 , 介质通过边界按 冷却定律散热:单位时间通过单位面积表 面和外界交换的热量与介质表面温度u和外界温度之差成正 u边界 比。 ,u设比例系数为，则 a,,,,auu，，边界,n边界 ,，,,,,uuut，，n 如在处， ,，,,,ultultt,,xl,，，，，，，x 3 .2 混合问题的分离变量解 3.2.1定解问题 有界杆的热传导现象 2,uauxlt,, ,, ～ , 000txx, utultt0,0,00, ～ , , ，，，，, ,,uxxxl,00, ,, ，，，，, 其中,x 为已知函数。 ，， 分析: 求解: 第一步:分离变量 ?.设热导方程具有如下分离变量解(特解)uxtXxTt,, ，，，，，， 5 第三章 热传导方程的分离变量法 '''1TX?.将其代入泛定方程有，其中是常数。于是有 ,,,,,2aTX '''2， Xx，,,0TaT，,,0? 由边界条件有 当，则， ut0,0,X00,，，，， 当，则 ult,0,Xl,0，，，， 即本征值问题 '',Xx，,,0, ,XXl000, ～ ,，，，，,, 第二步:求解本征值问题 上章已经证明只有当时，证本征值问题有非零解。 ,,0 ?. XxAxBx,，sincos,,，， X00,,，，,?. 由 ,,, ～ ,BAl0sin0,Xl,0，，,, 22n,？ ， ,n,,,,1,2,3,,2l 2n,,,即特征值是， n,,,,1,2,3,,,,,nl,, n,? .本征函数是 ,sinXxx，，nl 第三步:求特解，并叠加出一般解 22nan,,,,,,'2'又由，，得 TT0TaT，,,0,，,,,,,,nll,,,, 2'Tt，，na,,, ,,,,Ttl，，,, 2na,,,dTdtln ,,，，,,l,,两边积分 6 第三章 热传导方程的分离变量法 22na,,,,t,,na,,,l,, lnTtC,,TCe,,，,,1nnl,, 其中是积分常数。于是 Cn 2na,,,,t,,n,l,, ， n,,,,1,2,3,,sin,,uxtXxTtCex，，，，，，nnnnl 2na,,,,,t,,n,l,,故一般解 ,sin,uxtCex，，,nl1n, 第四步:确定叠加系数 ,n,，有 由初始条件sin,uxtx,,,Cxx,，，，，，，,nl1n, m,两端同乘以，逐次积分有 sinxl ,llmnm,,, sinsinsin,xxdxCxxdx,，，,n,,00lll1n, 0 ,nm,,lnm,,,2, ,sinsinCxxdx,l,,,nxn,,,0llCdxnmsin ,1n,,n,,,,0l,,n,1, 2n,,1cosx,lll ,,C,Cdx,nn,0221n, l2n, ,,Cxxdxsin,，，n,0ll于是 2na,,,,,t,,n,l,,,sin,， n,,,,1,2,3,uxtCexdx，，,nl1n, l2n, ,Cxxdxsin,，，n,0ll 分析解答 由初始温度,x引起的温度分布uxt,可看作是由各个瞬间热源引起的温 ，，，，度分布的叠加。 7 第三章 热传导方程的分离变量法 3.3 初值问题的付氏解法 引言: 上节求解混合问题时，空间坐标变动区间为。如考虑无界杆的热传导， 0,lx,,如何, 将等在上展成Fourier级数，再让区间无限扩大。 fxt,,ll,,ll,，，,,,,结果:在一定条件下，Fourier级数变成一个积分形式，称为Fourier积分。 3.3.1 Fourier积分 设定义在内，且在任一有限区间上分段光滑，则可 fx,,,,,ll,fx，，，，，，,,展开成Fourier级数 ,anxnx,,,, cossin,，，fxab，，,nn,,2ll,,1n, l1n,,其中 ， ,afdcos,,，，n,,lll l1n,,， n,,,,0,1,2,,bfdsin,,，，n,,lll 则 ,lll111nnxnnx,,,,,,，， ,，,，,fxfdfdfdcoscossinsin,,,,,,，，，，，，，，,,,,,,lll,,,2lllllll1，，n, ,lll11nnxnnx,,,,,,，， ,，,，fdfdfdcoscossinsin,,,,,,，，，，，，,,,,,,lll,,,2llllll，，1n, ,ll11nnnn,,,,,,，， ,，,，fdfxxdcoscossinsin,,,,，，，，,,,,,ll,,2llllll，，1n, ,llnx,,,，，11 cos,，fdfd,,,,，，，，,,,ll,,2lll1n, ,,现设在上这时可积，即，则当时， fx,,,,l,,fxdx,有限值，，，，，，,, ,l1n,,, fxfxdlimcos,,,，，，，，，,,l,l,,ll1n, ,2,n,,证,,,,,,，，，，，则 ,,,,,,,,,,,,,12nnnn，1llll 8 第三章 热传导方程的分离变量法 上式写成 ,l1 fxfxd,,,,,,,,limcos，，，，，，,nn,,l,,,,n,1n, ,,1， cos,,,x,,,,,,,dfxdcos，，，，，，,,0,,, 它是关于的偶函数。 , ,,1？ 称为的Fourier积分 fx,,,,,,,fxdfxdcos，，，，，，，，,,,,,,,2 '可以证明:及的连续点处，的付氏积分收敛于它在 的函fxfxfx，，，，，，数值。 Fourier积分还可写为 , fxAxBxd,，,,,,,cossin，，，，，，，，，，,,, ,1其中 ， ,,,,,,Afdcos，，，，,,,,2 ,1。 ,,,,,,Bfdsin，，，，,,,2, 3.3.2热导方程的Cauchy问题 定解问题 2,uauxt0, ,,,,, ～ ,,txx ,,uxxx,0, ,,,,,，，，，,, 其中为已知函数。 ,x，， 分析:已知一无限长细杆在初始时刻的温度分布，求其以后的温度分布。 分离变量法求解: ',TaT，,,0,令，则有 ，为常数。 uxtTtXx,,,，，，，，，,''XX0，,,,, 2,,at有 Tte,，， ? 时，将随的增加而增加，所以不合理。 Ttt,,0，， 2''2? ，证，则 0,,,,uTaT，,,0,，,TuaT0 ''''2 XXXuX，,,，,,00 ? 当,,0时，， TT,XXCCx,,，u,0，，12 9 第三章 热传导方程的分离变量法 ，，为积分常数，必须 CCTC,0122 因为，会无界，所以 XxXC,x,,，，1 22,uat? 当时，，，，与 ABu,0xAuxBux,，cossinTe, ，无关，而恒等于。 xtu 22,uat uxtTXeAuxBux,cossin,,，，，,,u ，取所有实数，解的叠加只能积分。 u0,, ,22uat, uxteAuxBuxdu,cossin,，，，,,,,, ,而 uxxAuxBuxdu,0cossin,,，,，，，，,,,,, 由Fourier积分有 ,1 ,,,,,Auudcos，，，，,,,2, ,1 ,,,,,,Buudsin，，，，,,,,2 ,,221uat,？ uxteuuxuuxddt,，,,,,,,coscossinsin，，，,,，,,,,,,,,,2 ,,221uat,，， ,,,,euxdud,,cos，，，，,,,,,,,,，，2, 2b,,21,,ax4a而 ebxdxe,cos,0a2 2,,x，，,,22112,uat4at ,,,euxdue,cos，，,0,t2,, 2,,x，，,,124at uxted,,,,,，，，，,,,at2, 分析解答 解的物理意义:由初始温度引起的温度分布可看作由各个瞬 ,,uxt,，，，， 间点热源引起的温度分布的叠加。 说明: 2,,x，，,124at? 取ve, ,at2 在单位横截面积细杆上取点附近的一个小单元xx,，,,,，设在 x，， 10 第三章 热传导方程的分离变量法 任意区间外，函数，在由(常数)物理上:在初始时刻， ,x,0,xU,，，，，这个表示吸取了热量,使这一段温度为，此后温度在细杆上 UQCU,,,,,2 2,,x，，,,124at的分布由给出。 uxted,,,,,，，，，,,,at2, 22,,x,,x，，，，,,x，,x，,1Q1224at4at? 取上式为 Ued,,,ed,,x,x,,,2,at22Cat,,, ，将分布在整个一小段上的热量看作在极限情形只作用在 Q,,0 点，则在有瞬时点热源，强度为，这样的热源，在细杆上得到的 xxx,Q温度分布为: 2,,x，，,x，,Q124at ,limed,x,,2,2Cat,, 22,,,,xx，，，，,,x，,12244atat由积分中值定理 ede,,,x,,2, 其中，时，，则 xx,,,,，,,,,0,,0 22,,,xxx，，，，,,x，,12244atat ede,,,x,,2, 22,,,xxx，，，，,,x，,QQ112244atat ,,limede,x,,2C,,22Catat,,, 故所代表的温度分布是当初始时刻时，细杆在处受到强度为 x,,vt,0 QC,,的瞬时点热源的作用而产生的。 对原问题的解: ? 为在初始时刻要使细杆在x,,处只有温度，则在此近邻一小单 ,,，， 位上需吸收的热量，或在点有温度为 d,dQdCCd,,,,,,,,,,x,,，，，， 2,,x，，,124at的瞬时点热源，所产生的温度分布为,,,de，在细杆的所 dQ，，at2, 有点上，初始温度的总作用，就是由这些个别单位的作用 ,,，， 11 第三章 热传导方程的分离变量法 2,,x，，,,124at uxted,,,,,，，，，,,,at2, 由初始温度引起的的温度分布可看作由各个瞬时点热源所 ,,uxt,，，，，引起的温度分布的。 观察的曲线 v ? 对任何时刻沿整个轴对积分有 ,,,,Cv,tx，， 2,,x，，,,,2CC,,2,a4at ,,,,,,edxedxC,,x,,,,,,,a,2at,,2at 初始时刻 处温度为的瞬时点热源，热量沿杆分布的总和始终不 ,C, 变，细杆上热量的总和不随时间变化。 12 转载请注明出处范文大全网 » 数理方程-分离变量法范文二：数学物理方程-第二章分离变量法
范文三：数学物理方程中的分离变量法
范文四：分离变量法(二维拉普拉斯方程)
范文五：第三章热传导方程的分离变量法
