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范文一：换个“角度”求椭圆弦长
换个“角度”求椭圆弦长
i一22数学数学2009年第1期
换个"角度''求椭圆弦长
068350河北省丰宁满族自治县实验中学刘志新 求椭圆的弦长问题,是椭圆中的一个基本问 题,看上去似乎简单,做起来才深感麻烦.一旦 椭圆方程或弦所在直线方程比较复杂时,将直线 方程代入椭圆方程后,再通过应用韦达定理和距 离公式等等去求出其解,其过程更加烦琐,学生 往往因此而导致错误或半途而废.为了解决这一 问题,本文试图将常用的弦长公式向"倾斜角"上 推进,以便减少运算量,速解弦长.
设倾斜角为的直线f与椭圆+=
1(n>b>0)交于,B两点,当0?时, 设直线!方程为Y=z+m(记=tan). f生一.一1
联立{n2'62
=+7_n,
消去得(b十a2)+2akmx+a2m一
n262:0.
?=4a4后m.一4(b.+0.)(0m.一a2b.) =
4ab(6一m+a2k).
由常用弦长公式知
AB=.????(1)
我们发现判别式A=4a.b(6-m一n)
含有m,怎么样使m与倾斜角取得联系呢?不
妨过椭圆的中心.作弦AB的垂华,令点.到弦 B的距离为d,不难得出d=,从而有
m=d2(1+尼.)=cos2OCOS???????.(2),J 注意到b2+.22:,
所以?=4a2b2.?.(3)
由(1),(2),(3)得
IABI=2n6—via2--c2cos20--d2 .
??
(4)凸一
CCOS
不难验证,g0=三时,(4)仍然成立.
通过E述的探究分析,我们得到椭圆的一个 弦长公式:
命题:倾斜角为的直线2与椭圆x2+若=1(a>b>0)交于A,B两点,c为半焦距,
椭圆中心与直线l的距离为d,记,()=a2一 cCOS0,则弦长lABl=2abf(o)' 推论:倾斜角为0的直线f过椭圆+=aD' 1(a>b>0)交于,B两点,且过焦点(此时 d=csin),弦长JBI=2口6—v/f而(O)-一d~= 2ab
f(O)'
例1(2008年海南,宁夏(文)试题)过椭圆 譬+yg:l的右焦点作一条斜率为2的直线与 椭圆交于,B两点,0为坐标原点,则AOAB 的面积为一.
解:设直线AB的倾斜角为,由题意知0= ,
b=2,c=1.
因为tan0=2,解得sin0=,COS20=
1
,
所以d:C2Sin20:i4 ,1][1d:.又
,():.2一c2c.s:5一c.s0:24 ,
由推龋lABl=焉=,
SAOAB一.[ABId=昙.
例2(2007年浙江(文)试题)直线Y=+ 6与椭圆十=1交于,B两点,i~AAOB 的面积为S.
(I)略;
(?)当lABl=2,S=1时,求直线AB的方 程.
解:(1I)设直线AB:Y=+m的倾斜角 为0,由题意知a=2,b=l,c=,/3,
2009年第1期数学教学i一23 ,()=8一CCOS0=4—3cos0. 又因为.到AB的距离d=网2S:l,由公 土.
4x/3'...'.'-''...'.''3..''''c....o.'...s'..2....—0— 4—3COS20
=
三,所以=
又因为m2=(1十七)==兰,所
以m:士.
故直线AB的方程是:
=-5-+或=一或=
.
一
蚪或===一'
'''0
例3(2008年安徽(文)试题)设椭圆C:n. 2
+=1>b>0)其相应于焦点F(2,0)的 准线方程为=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知过点(一2,0)倾斜角为的直线交 ~iNC::t=A,B两点,求证:IABI=; (3)过点(-2,0)作两条互相垂直的直线分 别交椭圆C于A,B和D,E,求fABI+fDEf 的最小值.nn
解:(1)椭圆的方程为等+:1.
(2)设直线AB的倾斜角为0,由题意知a: 2,b=2,c=2,f(o)=a2一c.COS20=8—
4cos20.
由推论得,IABI=2ab2=
.
(上接第1—9页)
经历了从形到数,从特殊到一般的转化,学 生对这个性质的理解是水到渠成,而且,对这个 性质与众不同的对称特点印象深刻,于是可以很 自然地称之为数列的对称性.数列的对称性揭示 了数列内在的规律,显示了数学的简洁美. 到这里,学生很顺利地完成了等差数列重要 性质的构建.但学生对数轴上等距离点的探究 还意犹未尽.确实,看似简单的数轴中,还有许多 (3)由于D上AB,由(2)可得
IABI=,IDEI=,
IABl+lDEI
442.4,/2,-4--
2,COS20'2一sin0
12,//2
2+sin0COS20
l2
=———————————一? 2+{sin22
4^
当=7V或=时
,lA日I+lDEl取得最
小值.
例4(2007年全国卷(I))已知椭圆X2+警 =
1的左,右焦点分别为F1,F2.过的直线 交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于, 两点,且AC上BD,垂足为P. (I)略.
(?)求四边形ABCD的面积的最小值. 解:(?)设直线AB的倾斜角为0,由题意知 a=43,b=,,/2,C=1, 所以,()=a一ccos0=3一COS0. 由推IBDI=而2ab2=.
~=f-AC上BD,IACI=, 因此四边形ABCD的面积
s=丢[ACIIBD]
.—
24
一
'
所以当=71"或=30T日寸】=.
规律有待发现.数列的学习对学生来说不再抽 象与神秘,而是具体与形象的,探究的过程也让 学生体会了发现的快乐,充满了情趣. 通过问题的解决与探究过程,引导学生思考 和探索,使新知识成为学生"跳一跳能够自己摘 到的果子".
参考文献
?叶尧城.高中数学课程标准教师读本.华 中师范大学出版社.2003.10.
范文二：椭圆弦长问题
x2
1.已知斜率为1的直线L过椭圆+y2=1 4
的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。
x2y22、已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的一个顶点为A
(2,0).直线ab与椭圆C交于不同的两点M,N. y=k(x-1）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△AMN
k的值. x2y233.（12分）设椭圆C: 2+2=1 (a>b>0)过点(0,4)，离心率为. ab5
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为
4的直线被C所截线段的中点坐标. 5
4.（本小题满分13分）
x2y2
如图，F1,F2分别是椭圆C：2+2=1（a>b>）ab
的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另
一个交点，∠F1AF2=60°.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a, b 的值.
x2y25、已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，ab
PF1=λ， ∠F1PF2=60?，设PF2
⑴求椭圆离心率e和λ的关系式；
⑵设Q是离心率最小的椭圆上的动点，若PQ
的最大值为，求椭圆的方程．
1.答案1.8 5
?a=2?x2y2?c2.答案 ：解：（1
）由题意得?解得b=.所以椭圆C的方程为+=1. =42a?2?a=b2+c2
?
?y=k(x-1)?2222（2）由?x2y2得(1+2k)x-4kx+2k-4=0. =1?+?42
设点M,N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，
4k22k2-4，x1x2=. x1+x2=221+2k1+2k
所以
.
由因为点A(2,0)到直线y=k(x-1的距离d=， ）
1
=所以△AMN的面积为S=|MN|?d=. 由，解得2k=±1.
3.答案：(36,-) 25
x2y2
+=1【解析】（I）4.答案：弦长公式或余弦定理10075
∠F1AF2=60ο?a=2c?e=c1= a2
（Ⅱ）设BF2=m；则BF1=2a-m
在?BF1F2中，BF1=BF2+F1F2-2BF2?F1F2?cos120 222ο
?(2a-m)2=m2+a2+am?m=3a 5
113S=?F2F1?AB?sin60ο??a?(a+a)= ?
AF1B面积225?a=10,c=5,b=
范文三：已知椭圆( ) - 19、已知椭圆( )的离心率,它被直线截得的弦长是,求椭圆
2惠安一中高 二,下,数学每周一练,理2, fxgxx()(),，，曲线在点处的切线方程为， 7.设函数ygx,()(1,(1))gyx,，21
命题者: 黄超平 审核人:林集伟 则曲线在点处切线的斜率为 ( ) yfx,()(1,(1))f
一、选择题(请将答案填入右下方表格中) 11A( B( C( D( ,,42 422 ,1(已知函数f (x ) = a x ，c,且=2 , 则a的值为 ( ) f(1)lnx8(函数的最大值为( ) y,A.1 B. C.,1 D. 0 2x 102,13eA( B( C( D( eey,x2(由直线 和曲线所围成的曲边梯形，若将区间4等分，则曲边梯形面积x,1,y,0,x,03的近似值(取每个区间的右端点)是( ) 32 f(x),x，bx，cx，d9(如图所示的是函数的大致图象，
22125111110x，x则等于 ( ) A( B( C( D( 12192562706482416 A( B( C( D( 3333 3(函数y,xlnx的单调递减区间是 ( ) ,1,1,13(e,，,)(,,,e)(0,e) A( B( C( D((e,，,) y,3x,x10.已知曲线:及点P(2,2)，则过点可向曲线引切线， PSS
23其切线条数为 ( ) 4(点P在曲线上移动，设点P处切线倾斜角为α，则α的取值范围是( ) y,x,x，3 A.0 B.1 C.2 D.3
,,3, 二、填空题(答案直接填在题后空格上) A([0,] B([0,)?[,π) 11(曲线y,lnxMe(,1)在点处的切线方程为_______________( 224
3,,3,'2'' C([,π) D((,] f(x)f(x),3x，2xf(2)f(5),12.已知函数f(x)的导函数为,且满足,则 . 424 ,4xy,x，2cosx5(函数在[0，]上取得最大值时，的值为 ( ) 24,(x,2)dx,13( . 2,0,,,3A( 0 B( C( D( 14(函数yfx,()在定义域内可导，其图 (,3),6322 /yfx,()象如图，记yfx,()的导函数为， 6(如果函数y=f(x)的图象如图所示， /fx()0,则不等式的解集为_____________( 那么导函数y=的图象可能是 ( ) f,(x)
322 fxxmxnxm()3,，，，15. 已知函数在x,,1时有极值0，则_______________( m，n,
3x a16(若函数 f(x)=()在[1，+?)上的最大值为,则的值为 ( a,023x，a
选择题答案填入下表
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1
1132()()满足且19((选做题)已知函数a,c,d,Rf(0),0,f'(1),0fx,ax,x，cx，d惠安一中高二,下,数学每周一练,理2, 34
班级___________座号__________姓名________________成绩________________ 在上恒成立。(1)求的值; f'(x),0a,c,dR
31b2()(2)若，解不等式; f'(x)，h(x),0hx,x,bx，,三、解答题: 42423m(3)是否存在实数，使函数在区间上有最小值,5,若存在，g(x),f'(x),mx[m,m，2]xx17(某厂生产产品件的总成本(万元)，已知产品单价P(万元)与成反比，生cxx()1200,，75m请求出实数的值，若不存在，请说明理由( 产100件这样的产品单价为50万元，问产量定为多少件时总利润最大,
1,x18(已知函数为大于零的常数( f(x),lnx，,其中aax
(1)求f(x)的单调性区间;
f(x)在区间[1,，,) (2)若函数内单调递增，求a的取值范围;
1f(x),lnx， (3)时，解不等式:( a,24
2
范文四：椭圆的弦长中点弦
椭圆弦长中点弦问题
x 2y 261．已知椭圆2+2（a ＞b ＞0）的离心率e =，焦距是22． a b 3
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y =kx +2(k ≠0) 与椭圆交于C 、D 两点, CD =
62，求k 的值． 5
6x 2y 2
2．椭圆C:2+2=1(a >b >0) 的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离3a b
为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线y=x+1与椭圆C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离．
x 2y 263．已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的离心率为，椭圆C 上任意一点到椭圆两焦点a b 3
的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l :y =x -2与椭圆C 交于M , N 两点，O 是原点，求?OMN 的面积．
x 2y 234．已知椭圆2+2=1(a >b >0) 经过点A （0，4），离心率为； a b 5
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为
5．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F （-, 0, 且过点）4的直线被C 所截线段的中点坐标． 5D （2, 0）.
（1）求该椭圆的标准方程；
1（2）设点A （，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.
226．已知椭圆5x +9y=45，椭圆的右焦点为F ，
（1）求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长．
（2）求以M （1，1）为中点的椭圆的弦所在的直线方程．
（3）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于A ，B ，求弦AB 的中点P 的轨迹方程． 12
范文五：19、已知椭圆( )的离心率,它被直线截得的弦长是,求椭圆的方程
22 yxx,,，,,4(1)(01)yxx,,,,,2(1)(01) D．
命题者:林进伟 审核人:林集伟 22 C．xyFF,,1(a,0,b,0)9、如图，和分别是双曲线的两个焦点，和A一、选择题（请将答案填入右下方表格中） 1222ab
22xy,,1(a,0,b,0)231、设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且?OFBO221ab
（ ） FAB是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) 2
12 A． 5y,,2xy,,x B． C． D．y,,2xy,,x A．351，3 B． C． D． 22 2
2、椭圆的两个焦点和中心将长轴四等分，则短轴的一个端点与两焦点连线的夹角为( ) 210、已知抛物线y=－x+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ） ,,,2 Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. , 22 A.3 B.4 C.3 D.4 3432 22xy222二、填空题(答案直接填在题后空格上) 3、双曲线r,,,1(x,3)，y,r(r,0)的渐近线与圆相切，则( ) 63o11、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双
6 A． B．2 Ｃ．3 D．6 3曲线C的离心率为2 24、过M(-2,4)作直线与抛物线y=8x只有一个公共点，这样的直线有( )条 22xy12、椭圆FF，,1的左、右焦点分别为与，过中心作直线与椭圆交于、两点，若ABO A．1 B．2 C．3 D．4 124520
22,ABF的面积为，则直线的方程是_________________ y,,2xAB20xy25、椭圆 ，,1FFPF 的焦点为 和 ，点P在椭圆上，如果线段 的中点在 y轴上，121123213、设yx,4FAFBFC，，,0为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则FABC，，那么 是 的（ ） PFPF12
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 FAFBFC，，,___6___________ 6、已知FF、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取MMFMF,,0121222214已知抛物线y,4x,过P(4,0)的直线与抛物线交于A(x,y),B(x,y)两点y，y,则的取121122值范围是( )
值范围________________________221 ,32 A．[,1)(0,)(0,](0,1) B． C． D． 22215、已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值27、设抛物线3y=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的7是_______ Sy,BCF2 准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=（ ） ,,BFM 2S,ACF16、如图，定点M(x,y)是抛物线上y=x上的一点，动弦ME、MF分00B 4241别交x轴于A、B两点，且MA=MB。则直线EF的斜率为O A A．x B． C． D． ____5372,1/2y______ E 0
F22 8、与xyx，,,,4(02)轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ） y
22 A．yxx,,,,,4(1)(01)yxx,,,,4(1)(01) B．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
_____________________________________________________
2 x2(02)，，,y117、在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同2xx，取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论； Fl12的交点P和Q。（?）求k的取值范围； （?）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。 lly
（?）当且仅当（?）设椭圆与18、解：（?）两点到抛物线的准线的距离相等， FlFAFBAB,,,,、OPOQ，x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量
?抛物线的准线是xyy,,00，yy，轴的平行线，，依题意不同时为0 AB与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。 1212
22?上述条件等价于 yyxxxxxx,,,,，,,0，，，，12121212解：（?）由已知条件，直线ykx,，2的方程为， l
?xx, 1221x,,222?上述条件等价于xx，,0 代入椭圆方程得12，，，,kxkx2210，，,(2)1kx ? 整理得 ,,22,,,即当且仅当xx，,0时，经过抛物线的焦点。 Fl12
（?）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为yxb,，2AB、lbly122,,222k,,k,,,,，,,,84420kkk，解得或． 11,,2222xx、，所以满足方程 ,,yxm,,，20xxm，,,1222
1,,,,22 得 xx，,,即12,,，??，，的取值范围为 k,,,,4,,,,22,,,,11 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即 ,,，80mm,AB、432（?）设PxyQxy()()，，，，则， OPOQxxyy，,，，()，11221212设的中点的坐标为，则 xy，ABN，，00
42k1111由方程?，xx，,, ? 12， xxx,，,,yxmm,,，,，2，，0120012，k21628
115519又 由 ? yykxx，,，，()22，得，于是 ，,,，mbbm,，,,Nl,121216416163232
9,,而ABAB(20)(01)(21)，，，，，,, 即得，，,在轴上截距的取值范围为 ly,,32,,所以OPOQ，AB2与共线等价于， xxyy，,,，2()1212x2选做：已知A,B 分别为曲线C： y+=1（y0,a>0）与x轴 ,2a2将??代入上式，解得的左、右两个交点，直线k,x过点B,且与轴垂直，S为上 ll 2异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标； 22由（?）知k,k,,或，故没有符合题意的常数 k（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否22存在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说 明理由。
(?)当曲线C为半圆时， AB如图，由点T为圆弧的三等分点得a,1,
?BOT=60?或120?. 2 18、 设yx,2，两点在抛物线上，是的垂直平分线。 Axy，Bxy，ABl，，，，(1)当?BOT=60?时, ?SAE=30?. 1122
,,,,又AB=2,故在?SAE中,有 SBABst,,:,？tan30,(,);,,
23 (2)当?BOT=120?时,同理可求得点S的坐标为S(1,)或S(1,23)(1,23),综上, 3 (?)假设存在,使得O,M,S三点共线. aa(0), 由于点M在以SB为直线的圆上,故. BTOS, 显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为. ykxa,，()
2,x2，,y1, 222224222由得(1)20，，，,,akxakxaka a, ,ykxa,，(),
222 aka,设点Txyxa？,,, (,),(),TTT22，ak1
22 aak,2ak故x,,从而. ykxa,，,()TTT2222，ak1 1，ak
22 aakak,2亦即T(,). 222211，，akak
22 ,22akakBaBT(,0),((,))？, 222211，，akak
xa,,由saakOSaak(,2),(,2).？,得 ,ykxa,，(),
2222 ,，24akak2222由BTOS,,,0,可得即 ,，,240akakBTOS,212，ak
kaa,,？,0,0,2
经检验,当a,2时,O,M,S三点共线. 故存在a,2,使得O,M,S三点共线.
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