论文：算术平均数的意义

范文一：论文：算术平均数的意义

算术平均数的意义

教学目标

知识与技能:使学生巩固统计的知识;知道算术平均数的意义;会正

确计算算术平均数。

过程与方法:培养学生观察分析的能力，培养学生认真、耐心、细致

的学习态度和学习习惯。

情感态度与价值观:通过小组合作讨论，培养学生合作学习的意识和

能力，实例的引入，体验数学来源于生活，又服务于生

活，唤起学生学数学的兴趣。

重点、掌握算术平均数的意义，即需要学生形成概念。在掌握概念的前

提下，能准确的用来描述一组数据。

难点、算术平均数的计算和在统计图中的直观表示.

教学手段

遵循以教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则，采用

引导猜想、启发创新等教学方法。利用多媒体教学信息容量大、操作

简单、形象生动、反馈及时，直观的展示教学内容。教学方法:讨论、启发法等

教学过程

一、情境引入

我们在初一学习过数据的收集与表示，我们的生活离不开数据，科学

实验更离不开数据。数据的收集与表示，只是前期工作，更重要的是对数据的分析与处理，只有对数据进行正确的分析与处理，得出结论，才能帮助我们解决实际问题，指导我们的实践。这一章，我们将要学习的就是数据的整理与初步处理。

让学生观察课本127页的“2001年北京每日气温图”和“2001年新加坡每日气温图”，从中看出:两地的最高气温和最低气温各是多少;北京气温四季分明，新加坡一年四季温差不大等等。怎样来比较两地气温的变化呢,这一章我们将共同探讨如何选取合适的指标概括一组数据的各种特征，比较两组数据的变化幅度。

数据是我们思考分析解决问题的基础，当我们收集到一组数据，怎样表达和概括这一组数据,如何选取合适的指标作为这组数据的代表呢,平均数是其中一种常用的指标。这节课我们学习第一节算术平均数与加权平均数的第一部分内容算术平均数的意义。

二、新课探究

1、请你来帮忙

下表是我2005年7-12月电话费统计表，请你帮我算一算:平均每月花费了多少元电话费,

2005年7-12月电话费用统计表

学生利用已有的知识解决问题。

通过上面的计算，你能总结出求平均数的方法吗,

月份 7 8 9 10 11 12 电话费(元) 75.80 45.00 76.30 65.90 55.90 45.90

概念:

x，x，？，12n一般地，对于n个数?，我们把，叫做这nx,x,x12nn个数的算术平均数，简称平均数.

设计意图:设置这个引例是由于小学里已经学习过平均数，所以由计算平均数出发，设置低起点的问题有利于激发学生的学习兴趣。能让不同程度的学生都积极作出反应，调动学生的参与热情。

2、知识巩固

例1 植树节到了，某单位组织职工开展植树竞赛，图中反映的是植树量与人数之间的关系。请根据图中的信息计算:

(1) 总共植树多少棵,

(2) 平均每人植树多少棵,

植树人数统计图教师帮助学生

人回忆数据的表示方 10 数

8 法，然后学生通过

条形图获取必要的 4

2 信息，进而求解。

棵数 1 2 3 4 5 6

思考:你发现植树总量、植树量的平均数和人数三者之间的数量关系了吗,

(植树总量=植树量的平均数*人数)

设计意图:这样的设计，旨在把枯燥的数学知识与实际生活联系起来，引发起学生的学习兴趣，点燃他们求知欲望的火花，从而进入最佳的学习状态，为主动探究新知识聚集动力。

3、能力提升

要想求某些有关平均数的问题，需要从题目中获取必要的信息，请同学们，看下面的例题。

例2 丁丁所在的初二(1)班共有40人，

如图是该校初二年级各班学生人数分布情况。

(1)请计算该校初二年级每班平均人数;

(2)请计算各班学生人数，并绘制条形统计图。

某校初二年级各班人数统计图(5)班(1)班 504618% 44人20% 45 40(4)班数(2)班403634 17% 23% 35(3)班 3022% 25 20 某校初二年级 15 各班人数分布图 10

0(1)班(2)班(3)班(4)班(5)班班级学生先独立思考，完成例题，然后小组交流讨论。

观察与思考:在你所画的条形统计图中画出一条代表平均人数40的

水平线，观察水平线上方超出部分之和与下方不足部分之和在数量上有什么关系,

(超出部分的数量和与不足部分的数量和相等。)

设计意图:学习例2，通过演示，操作，提问等手段，让学生积极动手，动口，把平均数在统计图中形象直观的表示出来，正确理解平均数表示一组数据的“平均水平”，使学生对所学的知识有一个完整而深刻的印象。

三、巩固深化，拓展思维

练习一

某省统计数据显示，2005年1-6月平均每月进出口总额为82.445亿美元。下图是根据该省2005年上半年每月的进出口总额情况绘制的。不计算出口总额，你能将缺少的一点补在虚线恰当的位置吗,

设计意图:此题是为了让学生巩固平均数的直观表示，更好地理解一组数据与平均数的关系。

呼应章头，再看北京、新加坡两地气温图，发现一组数据是相对于平均数而上下波动，其变化幅度的衡量标准就是平均数。

练习二

王敏是班内的优秀学生，她的历次数学成绩是96，98，95，93分，但最近一次的成绩只有45分，原因是她感冒发烧抱病参加了考试。试问她的平均成绩是多少,这样评价王敏的数学水平合理吗,

设计意图:通过讨论，发现平均数不能很好反映这组数据，某些特殊数据对平均数有很大影响。为了公平起见，日常生活中经常见到在计算平均数时，去掉一个最高值和一个最低值的情况。让学生举出自己熟悉的例子，体会数学与生活的联系。

四、合作小结

(1) 本节课你学习了哪些知识?

(2) 本节课你的表现如何? 你的同伴呢?

(3) 在日常生活中你接触到哪些与平均数有关的事情，说出来和大家交流一下。

设计意图:小结的目的是为了使学生对所学的知识及时巩固，条理化、清晰化，而由学生讨论后小结，就能使学生由被动变为主动，充分调动了学生的积极性。教师在这个过程中主要起听众的作用，负责将学生未讲出

的知识点及时补充。

五、课外拓展与作业

调查一下我班同学家一年以来各月的用水量(或用电量)

(1)计算各个月每个家庭的用水量的平均数。

(2)哪几个月用水量多一些，你能说说其中的道理吗,

(3)进一步调查或查找相关的资料，看看你们的统计结果与已有资料是否一致。

范文二：浅谈算术平均数的作用

浅谈算术平均数的作用

{均衩'5闻

1—Ij一提到算术平均数,无论是否搞统计工作.大家都十分熟

悉,因此似乎感到对算术平均数投有什么问题可探讨了.正是

针对这种情况,引起了我们的思考,如何认识算术平均数的作

用?在什么条件下应用算术平

均数?它与已有某些方法以及

几何平均数有什么关系为了

回答这些问题,我们拟写了这篇短文,仅供统计理论工作者和实践工作者参考.

一

,算术平均数对整体具有代表性对于给定顺序的观测数据

J,2,…….z,通常认为算术

平均数最具有代表性,或者说用 ?

口白雪梅赵松山

算术平均数去估计这个数据列F24 从整体上讲犯的错误最小.算术平均数的这种作

用,取决于算术平均数的一个有用的性质.设为 St".与的偏差,则容易证明全部偏差为零. 三=三(薯一j)=三一三x=2一-一=0

f=【【-一t1:【

这一性质说明算术平均数具有代表性.即实测数据对平均数来说有时偏大有时偏小,但平均而言偏差为零.当然,算术平均数的真正代表性还在于这些偏差的绝对值的太小.偏差的绝对值越小, 表明算术平均数的代表性越好.比如有两个数据列 {置}和I{.(i=l,2,…).当;时,如果z数据

列的标准差小于数据列的标准差,则说明i 对数据列的代表性好于对数据列的代表性. 因此,算术平均数的代表性如何,对于截面序列要看数据的差异情况,如果截面数据的差异比较大.并且存在极端数据.则这时算术平均数的代表性就要受到影响.对于时间序列,要看数据是否平稳.如果时序数据是非平稳的或非趋势平稳的,则这时算术平均数的代表性就要下降.

针对算术平均数易受数据列中某些极端值影响,从而降低算术平均数的代表性这个问题,常采用的解决方法有两种,一种是剔陈极端值,另一种是增大数据列的长度,减弱极端值对算术平均数的影响程度.从而增加算术平均数的代表性另外数据的测量尺度也对算术平均数的代表性有影响,如果数 l2

据是用定序尺度测量的,这时算

术平均数的代表性就差.严格

地讲,此时是不能求算术平均数

的,因为定序数据不能进行加减

运算所以在体育比赛中,评委

绐运动员评分,先去掉一个最高

分和最低分,再求总分或平均

分,并以平均分的高低对运动员

排序,这是不台理的,原因是评

委打分实质是等级数据,无法反

映等级之间的差异程度,比如5

分与4分可能相差很小,而3分

与2分可能相差很大,这样不考

虑实际差异计算出的平均数就

失去了实际意义.这种做法相

当普遍,但是计算出的算术平均

数却缺乏科学性,更很难说代表

性如何.这是一个被人们所忽视的问题

二,算术平均数在某些情况下可替代几何平均数我们说算术平均数替代几何平均数是有前提条件的.或者说在某些特殊情况下进行的,那么这个条件是什么呢?让我们首先看一下算术平均数与几何平均数的关系,即:

音r?(:')当且仅当2-I一='

时,则土三32=(//-?-i)言.这就告诉我们用算术平均数替代几何平均数的前提条件是数据列分布非常集中,即方差非常小时.可以用算术平均数近似表示几何平均数.

其次,对于一些相对指标进行综台时,当指标数据均很少时,也可以用算术平均数近似替代几何平均数.为了说明问题,我们举一个大家都十分熟悉的计算平均增长率的侧子.计算产值平均增长率是用几何平均数,设基年的产值为32o,逐年的增长率为rJ.r2,…,,第"年的产值为,因此:

=0?(1+,)从0到3-一共"年.设r为

平均增长率,因此有:

z=0(1+)

则有:

(1+r)=//(】)即:

r=[//(】r『)]一】

,',

作用

算恭蠹隧

浅谈

当很小时,(1)言可用1+L近似替lJ

代于是有:

1I口,

r—II(1+ri)一1?】+?ri一1==r, 1=】l_[I1;i1fl'=I

可见.本应用几何平均数计算的平均增长率此时就可用算术平均数去计算.但要求说明的是,当 (】+)的展开中第三项不可忽略时,就不宜使用算术平均数这又从另个方面告诉我们,像增长率这类相对胜指标.不应采用算术平均数.而要用几何平均数.然而.也并非所有的相对指标都宜采用几何平均数加以综台,要视具体综合的问题而定因此,要求我们首先把问题搞清楚.然后再选择适当的统计方法.

三,算术平均数可替代较复杂的综合评价方法对于多对象多指标的综台

评价方法有许多.我们在这里介

绍的是投影法并在此基础上导

出简单的综合评价方法.即算术平均数法,以此说明算术平均数法的作用以及与投影法的关系设对象集为N=l】,2,….

n},评价指标集为x=jxl,, …

,x1x表示对象i的第个指

标x.的取值,于是对象-可用 (,x,….)这个向量来描

述,并把这个向量视为P维欧氏空间Rp中的一个点-.为了对这 It个对象进行综台排序评价,不妨再引入两个虚设的对象,个是理想对象n+1,可用向量 (xl1x+1.2,xn+l)刻画,

其中xl=max,.(J=I,2,

=d.

(x一x0j)(】】

一

(Xii-XOI

(一x)(x+L—xq)

)

一

+】

为了简化计算并保证保序性可以先将算式

中常数项(即与i无关项)省略.然后再进行比例变

换,得到新的算式为;

…

,p).另一个是负理想对象0,可用向量(x0l,xo2.

.P)刻画,其中x0.】=min{x},(j=】,2,…,p), 为了叙述方便,理想点记为n+】,负理想记为0 投影法(ProjectionMethod)是由A-坎蒂蕾在距离排序法基础上提出的令a1为对象i在线段上的投影长度d,为对象t到.点的欧氏距离,即d,=I量 l

(xx.)]j.0.为oi与i}lf1.t】线段之间的夹角.a.的计算公式为:

式中:

一.+_l上二_L

?(x+!.一x.)

如果将原始指标数据按下

式转换.即:

(x一x)

一

"l】一x0j

则有z?[0,】,因此+l_

一

=l,于是综合排申计算公式

变为:

d:_L

PJ…

式中吐为对象i的综台排序

的评价值,可按d,的大小进行排

序评价而^是算术平均数,这

就告诉我们,可用算术平均数替

代复杂的投影评价法:

综上可见,关于算术平均数

的作用,应用条件等有关问题还

有待于在更高层次上进行思考,只有在不断深化认识白皇基础上,才能避免使用上的错误和混乱并进步拓宽它的应用领域.

(作者单位:东北财经大学)

参考文献:

?林少宫,李楚霖简明经济统计与量经济,上海人民出版硅】993

9张毛庭指标奄化库化的理{鲁和方法科学出版社.1999

一一

一U

一

范文三：算术平均数的意义

编写: 桂东二中郭胜华知识与技能：使学生巩固统计的知识；知道算术平均数的意义；会正

确计算算术平均数。

过程与方法：培养学生观察分析的能力，培养学生认真、耐心、细致

的学习态度和学习习惯。情感态度与价值观：通过实例引入，体验数学来源于生活，又服务于

生活，唤起学生学数学的兴趣。掌握算术平均数的意义，即需要学生形成概念。在掌握概念的前提下，能准确的用来描述一组数据。

算术平均数的计算和在统计图中的直观表示.

遵循以教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则，采用

引导猜想、启发创新等教学方法。利用多媒体教学信息容量大、操作

简单、形象生动、反馈及时，直观的展示教学内容。

我们在初一学习过数据的收集与表示，我们的生活离不开数据，科学

实验更离不开数据。数据的收集与表示，只是前期工作，更重要的是对数

据的分析与处理，只有对数据进行正确的分析与处理，得出结论，才能帮

助我们解决实际问题，指导我们的实践。这一章，我们将要学习的就是数

据的整理与初步处理。

让学生观察课本127页的“2001年北京每日气温图”和“2001年新

加坡每日气温图”，从中看出：两地的最高气温和最低气温各是多少；北

京气温四季分明，新加坡一年四季温差不大等等。怎样来比较两地气温的

变化呢？这一章我们将共同探讨如何选取合适的指标概括一组数据的各

种特征，比较两组数据的变化幅度。

数据是我们思考分析解决问题的基础，当我们收集到一组数据，怎样

表达和概括这一组数据？如何选取合适的指标作为这组数据的代表呢？

平均数是其中一种常用的指标。这节课我们学习第一节算术平均数与加权

平均数的第一部分内容算术平均数的意义。

1、请你来帮忙

下表是我2006年7-12月电话费统计表，请你帮我算一算：平均每月

花费了多少元电话费？

学生利用已有的知识解决问题。

通过上面的计算，你能总结出求平均数的方法吗？

月份 7 8 9 10 11 12

电话费（元） 75.80 45.00 76.30 65.90 55.90 45.90

概念：

x，x，？，12n一般地，对于n个数?，我们把，叫做这nx,x,x12nn个数的算术平均数，简称平均数.

设计意图：设置这个引例是由于小学里已经学习过平均数，所以由计

算平均数出发，设置低起点的问题有利于激发学生的学习兴趣。能让不同

程度的学生都积极作出反应，调动学生的参与热情

2、知识巩固

例1 植树节到了，某单位组织职工开展植树竞赛，图中反映的是植

树量与人数之间的关系。请根据图中的信息计算：

（1）总共植树多少棵？

（2）平均每人植树多少棵？

植树人数统计图教师帮助学生

人回忆数据的表示方 10 数

8 法，然后学生通过

条形图获取必要的 4

2 信息，进而求解。

棵数 1 2 3 4 5 6

思考：你发现植树总量、植树量的平均数和人数三者之间的数量关系了

吗？

(植树总量=植树量的平均数*人数)

设计意图：这样的设计，旨在把枯燥的数学知识与实际生活联系起来，

引发起学生的学习兴趣，点燃他们求知欲望的火花，从而进入最佳的学习

状态，为主动探究新知识聚集动力。

3、能力提升

要想求某些有关平均数的问题，需要从题目中获取必要的信息，请同

学们，看下面的例题。

例2 丁丁所在的初二（1）班共有40人，

如图是该校初二年级各班学生人数分布情况。（1）请计算该校初二年级每班平均人数；（2）请计算各班学生人数，并绘制条形统计图。

某校初二年级各班人数统计图(5)(1) 504618% 44人20% 45 40(4)数(2)403634 17% 23% 35(3) 3022% 25 20 15 10

5 0（1）班（2）班（3）班（4）班（5）班班级学生先独立思考，完成例题，然后小组交流讨论。

观察与思考：在你所画的条形统计图中画出一条代表平均人数40的

水平线，观察水平线上方超出部分之和与下方不足部分之和在数量上有什

么关系？

（超出部分的数量和与不足部分的数量和相等。)

设计意图：学习例2，通过演示，操作，提问等手段，让学生积极动

手，动口，把平均数在统计图中形象直观的表示出来，正确理解平均数表

示一组数据的“平均水平”，使学生对所学的知识有一个完整而深刻的印

象。

练习一

某省统计数据显示，2005年1-6月平均每月进出口总额为82.445亿

美元。下图是根据该省2005年上半年每月的进出口总额情况绘制的。不

计算出口总额，你能将缺少的一点补在虚线恰当的位置吗？

设计意图：此题是为了让学生巩固平均数的直观表示，更好地理解一

组数据与平均数的关系。

呼应章头，再看北京、新加坡两地气温图，发现一组数据是相对于平

均数而上下波动，其变化幅度的衡量标准就是平均数。

练习二

王敏是班内的优秀学生，她的历次数学成绩是96，98，95，93分，

但最近一次的成绩只有45分，原因是她感冒发烧抱病参加了考试。试问

她的平均成绩是多少？这样评价王敏的数学水平合理吗？

设计意图：通过讨论，发现平均数不能很好反映这组数据，某些特殊

数据对平均数有很大影响。为了公平起见，日常生活中经常见到在计算平

均数时，去掉一个最高值和一个最低值的情况。让学生举出自己熟悉的例

子，体会数学与生活的联系。

(1) 本节课你学习了哪些知识?

(2) 本节课你的表现如何? 你的同伴呢?

(3) 在日常生活中你接触到哪些与平均数有关的事情，说出来和大家

交流一下。

设计意图：小结的目的是为了使学生对所学的知识及时巩固，条理化、

清晰化，而由学生讨论后小结，就能使学生由被动变为主动，充分调动了

学生的积极性。教师在这个过程中主要起听众的作用，负责将学生未讲出

的知识点及时补充。

调查一下我班同学家一年以来各月的用水量（或用电量）

（1）计算各个月每个家庭的用水量的平均数。

（2）哪几个月用水量多一些，你能说说其中的道理吗？（3）进一步调查或查找相关的资料，看看你们的统计结果与已有资料是

否一致。

范文四：专业学习之几何平均数、加权平均数与算术平均数的区别

几何平均数、加权平均数与算术平均数的区别

几何平均数:

是N个数据的连乘积的开N次方根，(x1*x2*x3*...*xn)^(1/n) 。比例中项就是一个例子。

算术平均数:

是一组数据的代数和除以数据的项数所得的平均数.

即(x1+x2+x3+...+xn)/n .

这两个名称常在不等式中出现:

一组数的几何平均数恒不大于算术平均数!

(x1*x2*x3*...*xn)^(1/n)≤(x1+x2+x3+...+xn)/n .

算数平均数是表征数据集中趋势的一个统计指标。它是一组数据之和除以这组数据之个数。

算术平均数在统计学上的优点就是它较中数众数更少受到随机因素影响，缺点是它更容易受到极端数影响。

加权平均数的概念

加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算，

若 n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次，那么(x1f1 + x2f2 + ... xkfk)/ （f1 + f2 + ... + fk）叫做x1，x2，…，xk的加权平均数。f1，f2，…，fk是x1，x2，…，xk的权.

x1f1 + x2f2 + ... xkfk

xy的权= -----------------------------

f1 + f2 + ... + fk

简单的例子就是：

你的小测成绩是80分，期末考成绩是90分，老师要计算总的平均成绩，就按照小测40％、期末成绩60％的比例来算，所以你的平均成绩是：

80?40％+90?60％＝86

学校食堂吃饭，吃三碗的有 x 人，吃两碗的有 y 人，吃一碗的 z 人。平均每人吃多少？

(3*x + 2*y + 1*z)/(x + y + z)

这里3、2、1分别就是权数值，“加权”就是考虑到不同变量在总体中的比例份额。

当一组数据中的某些数重复出现几次时，那么它们的平均数的表示形式发生了一定的变化.例如，某人射击十次，其中二次射中10环，三次射中8环，四次射中7环，一次射中9环，那么他平均射中的环数为

（10*2 + 9*1 + 8*3 + 7*4 ）/10 = 8.1

这里，7，8，9，10这四个数是射击者射中的几个不同环数，但它们出现的频数不同，分别为4，3，l，2，数据的频数越大，表明它对整组数据的平均数影响越大，实际上，频数起着权衡数据的作用，称之为权数或权重，上面的平均数称为加权平均数，不难看出，各个数据的权重之和恰为10.

在加权平均数中，除了一组数据中某一个数的频数称为权重外，权重还有更广泛的含义.

比如在一些体育比赛项目中，也要用到权重的思想.比如在跳水比赛中，每个运动员除完成规定动作外，还要完成一定数量的自选动作，而自选动作的难度是不同的，两位选手由于所选动作的难度系数不同，尽管完成各自动作的质量相同，但得分也是不相同的，难度系数大的运动员得分应该高些，难度系数实际上起着权重的作用.

而普通的算术平均数的权重相等，都是1，（比如，3和5的平均数为4）也就是说它们的重要性相同，所以平均数是特殊的加权平均数.

范文五：对简单算术平均数与加权算术平均数的关系的质疑

! "#"$ 知识丛林:;<><>?@AB<@ #="" 年第="" #="" 期(="" 总第="" $%="" 期)="">

# 一、问题的提出 &’! $$当我们翻开统计学教材看简单算术平均数与 !.)*+!#)#+".),+"#)#+*.)* $ % ! % %".# 加权算术平均数的关系时，都有如此的结论:对于 +#++#+ *,*’ !分组资料计算平均数通常都需要进行加权，但是 $$ % !也有两个例外的情况:()当总体所有各个组的权 !2 数都完全相同时，加权算术平均数可以简化为不 & !$ $ % !加权的算术平均数即简单平均数来计算。()当分 "简单算术平均数为 : % 2 布数列的次数分布完全对称时，加权算术平均数 +#++#+* !.!".".的计算结果也与简单算术平均数相同。教师们长 %".# 期以来一直用此结论教授学生来简化一些计算，从上面的计算结果可以看出，加权算术平均几乎没有人去怀疑第二种结论的精确性。然而笔数与简单算术平均数的计算结果相同，因此只有者在长期的教学实践中发现第二个结论在有些场当变量取值为等差数列，且次数分配完全对称 & 合是不成立的。时，才有加权算术平均数可以不用计算权数，直接二、问题的分析用简单算术平均数求得。那么对于次数分布为对让我们先来看三个单变量分称分布的等距分组数列是否也适合这个结论呢,

表 ( 组分布数列次数分布完全对称月工资(元)# 以下 # 以上 ..!..#..90.. 0..9-.. -..9!!.. !!..9!*.. !*..9!#.. 时，加权算术平均数的计算结果员工数(人) !# *. /# -/ /# *. !# 与简单算术平均数计算结果不相

下面再列举一个等距分组数列的例子来试表 % 单变量组的资料同的情况。变量值 & "( "# " "- * ,.算。加权算术平均数为: 次数 ’ # # *,*# 根据表 ( 计算公司员工的月平均工资。表 ) &’! $$ 月工资(元)# 以下 # 以上 ..!..#..90.. 0..9-.. -..9!!.. !!..9*... !*..9!#.. $ % ! % # 组中值 (.. /.. ,.. !... !".. !(.. !/.. ’ !$ 员工数(人)!# *. /# -/ /# *. !# $ % !解:对于等距分组求平均数问题，首先要求出各组 *+##++#+** # "()")",),"-).)//%"01* % 代表值——组中值，然后再用平均数的计算公式 "(*+#+,+#+* 来算。所以表可以变为(表 )。( # 简单算术平均数为:

从表 # 中可以看出组中值是一个公差为 ".. "(+"#+",+"-+*. %"01""01*，即简单算术平均 !的等差数列，且这个数列的次数分布为对称分布。 # 所以利用上面的结论得出用加权算术平均数公式数的计算结果与加权算术平均数的计算结果不相和用简单算术平均数公式计算的结果一致。等。单变量分组的资料表 & 综上所述，可以得出当单变量(为等差数列) 加权算术平均数为: 变量值 & * - "0 !,!分组和等距分组数列的次数分布为对称分布时，次数 ’ # * # , # * 可以直接用简单算术平均数公式来求数列的加权 &’ !$$ *+*#++0#+* !))-),"),!)算术平均数。 $ % ! % %!-1# # *+#++#+* ,三、问题的证明 ’ !$上面的结论为了上升到理性认识，我们就一 $ % ! 简单平均数为: 般情况作数学证明。

设变量取值为，，，，且为等差数列& &&& 3!" +*+-+"0+ !,!%"(1"!!-1# 即加权算术平均数公 #

式计算的结果不同于用简单算术平均数公式计算， (公差为 4)，变量次数分配为对称分布，’，’， !"的结果。

在以上二个例题中，尽管分布数列的次数分 ’，且 ’%’，’%’6’%’6%’ 6’ 6’ %’ ’ 3335*35!"!" 35! 3+* 3+* 3+! 3+! "" " " " 布都是完全对称的，但是运用简单算术平均数与所以加权算术平均数: 加权算术平均数的计算结果却都不相同。这与长 3 期以来形成的结论相矛盾。那么，问题出在什么地 &’! $$方呢,现在来看分布数列为等差数列的单变量分 $ % ! &% % 3 组的例子与等距分组数列的例子。 ’ !$将上面的题目的单变量分组标志值改为等差 $ % !

&’+&’+& ’ +& ’ +& ’ +&’+&’ ""35"3!!!! 35! 35! 3+! 3+! 3+* 35! " " " " " " 数列，且次数分布不变，表 ’ ’+’++’+’+’ + !""! 3+ !则数据如表。变量 & # # !.!"."*.*" 次数 ’ * # , # * 则加权算术平均数为 : ’7&+&8+’7&+&8+ +’ 7& +& 8+ ’ & !!3""35! 35! 35! 3+* 3+! 3+! " " " " " % +’ ’+’+ !" 35! +’ ""# 3+! " " * !!统计与决策

知识丛林 678978<>< :;年第="" #="" 期(总第="" !$%="" 期)="">

位置平均数之之

疑疑范赞成 !

底去掉。在现行的统计学教材中，均把平均据，而只是看其是否出现次数最多，众数

指标划分为算术平均数、调和平均数、几的确定与该标志值的位置并没有直接关其次，众数的计算确定方法应简化何平均数、众数和中位数等几种，其中众系。也有的统计学教材认为，众数所以被众数的计算一般分两种情况，一数和中位数被称为位置平均数。笔者经称为位置平均数，是因为众数的计算体根据单项式数列计算，二是根据组距位置平均数的有关内容进行深入分对现了以下统计思想:在一组数据的中心数列计算。根据单项式数列的计算方析，认为存在以下几个问题，需要我们进点附近，变量值出现的频数较高，根据众符合众数的含义及意义，无任何疑问。一步探讨，以使有关内容更完善、表达更数组及相邻两组的频数分布，确定中心根据组距式数列计算的方法却使人科学、更严谨。点的位置，因此，众数是一种位置代表惑。根据组距式数列计算时分两步，首一、关于众数处理之疑值。此种表达，在此暂且不说其计算是否确定众数所在组，然后根据众数计算首先，众数不应被称为位置平均数。合理(下个问题详细分析)，单就其以“确式计算确定众数的近似值。其计算的从众数的含义来说，众数是出现次定中心点的位置，因此，众数是一种位置就值得商榷。因为中位数、代表值”来说 /式有两种，一是根据上限公式计算，一数最多的标志值，它是以标志值出现次算术平均数、调和平均数、几何平均数等根据下限公式计算。根据下限公式的数的多少来作为确定其是否是众数的唯

都处于数列的中心或者接近中心的位置一依据，而并非看其出现在数列的哪个 !% 上，算术平均数、调和平均数、几何平均算方法如下: 12!3& 4,位置上，它与中位数是不同的。中位数是 &!! %# 等为什么就不能称为位置平均数因 0 数把所有标志值按大小顺序排列后，处于其中:表示众数组的下限; 表 3 !% 把众数称为位置平均数是没有道理此中点位置的标志值，它以标志值是否处众数组与前一组的频数之差 (+(+ 55%(’’的。本来统计学课程中就有太多的概念、中点位置作为确定中位数的唯一依于指标，且大多较抽象、难理解，而教材中表示众数组与后一组的频数之差"+ !据，中位数才是标准的位置平均数，因 # ’

有些地方却存在一些不实用、没必要的此，把中位数称为位置平均数是可以理 +);, 表示众数组的组距。 ’5&%概念、指标等内容，且有些概念、指标的解、接受的。为何把众数和中位数称为位根据上述公式计算的原理是:划分归类随意，不够规范、统一，该简化组距分组数列中，众数的数值与置平均数，绝大部分统计学教材并没有的没有简化，还有些内容将简单问题复相邻两组的频数分布有一定关系。当作出说明，只有部分教材做了简要解释，杂化。这些现象人为的加重了学生的负数组相邻两组的频数相等时，众数组如有的教材认为众数和中位数这两种平担。上述教材中对众数的处理就是其中 “根据部分处于特殊位置的标组中值即为众数;当众数组前一组的均指标是值计算的 ”，“ 所以被称为位置平均之一。笔者建议在统计学教材中，不再把志数多于众数组后一组的频数时，则众数”。这种解释，只适合中位数，而对众数众数和中位数统称为位置平均数，只将会向前一组靠近，众数小于组中值;当则未免太牵强了。因为在计算、确定众数中位数称为位置平均数，或者直接将“位数组后一组的频数多于众数组前一组置平均数”这一概念从统计学教材中彻时并没有以标志值在哪个位置上作为依频数时，则众数会向后一组靠近，众数

于组中值。根据这种关系，利用相似三形原理推导出了上述计算公式。

因此只有当统计资料的变量数列是权算术平均数不可以用简单算术平均 % +&+&+ & + %#"#$&"’(%)*)(% &% ’’%! # 等差数列或等距分组数列、次数为对称来代替。 #$&"’(%)* # # %! ! ! &+ # +&+&等距分组时，当变量出现的次 - .分布时，在计算加权算术平均数时才可 %#(% ’&+ #$ # &% ’" # # 分布为对称分布，则有加权算术平均以简化为用简单算术平均数计算。可以用简单算术平均数来代替。四、有关结论 $&$ %’ 这就表明:简单算术平均数不仅 # 单变量分组时，当变量值数列为 %- ’以用于未经分组的原始资料，而且可等差分布，变量出现次数分布为对称分 $% , 为加权算术平均数的特例来加以时 ( 此时我们称变量分布为对称分作布 , ! %而简单算术平均数为 : ! 布)，则有加权算术平均数可以用简单算用。’ 术平均数来代替，从而简化计算。 $&$& &$$&$ %#’ %’! 单变量分组时，当变量取值为非 #- # ’等差分布、变量出现次数分布为对称分所以有:加权算术平均数简单算术 !(作者单位华东交通大学经济管理学院 !布(即变量分布为非对称分布 )，则有加 $&$%’ (责任编辑 % 浩天平均数。 ! #

% # .统计与决策

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