范文一：关于函数概念引入的反思

关于函数概念引入的反思

从数学角度看，函数是数学中最基本的重要概念，它既是数学研

究的对象，同时也是数学研究中经常采用的一种思想方法。在引入

函数概念之前，数学研究的是静态的数学问题，当课程引入函数概

念以后，使研究的内容增添了运动变化的问题；基本初等函数使中

学生的数学头脑更为灵活；函数图像是使中学生体会数形结合的典

范；三角函数成为中学生研究三角形以及周期变化的主要用具；解

析几何中曲线的方程f （x ，y ）=0实际上是隐函数，可以使学生了

解解析式与几何图形的紧密关系；归纳中学数学内容，得到的结论

是：函数是个纲，纲举目张。学生第一次认识函数是在初中阶段。

初中数学中要学习函数的概念、正反比例函数、一次函数、二次函

数和锐角三角函数等知识，这些知识在初中数学中无论数量还是影

响力都居于重要位置，函数概念属于最基本的知识。现在初中数学

里对函数定义的描述是：在一个变化过程中，如果有两个变量x 和

y ，并且对于x 的每一个确定的值y 都有唯一的一个值与它对应，

则称x 为自变量，y 为x 的函数。对于函数概念的内涵只要稍加分

析，不难发现它着重强调了近代函数定义中的“对应”，而且确定

了y 对x 的单值对应关系，这一点恰恰是现代函数对“映射”的要

求，但是它却没有从“集合”范围来描述函数，所以没有明确地涉

及到定义域及值域。因此观之，现在初中数学中函数定义只是函数

概念三个要素中的“单值对应”关系而已。

函数是一个抽象的概念，需要学生逐步深入地了解，初中时期对

函数的了解应是初步的。学生如果没有“集合”“映射”等知识基

础时，要了解函数只有通过一些具体例子来实现，主要体会变量间

的“单值对应”关系。而对于自变量的定义域、值域等，教师可以

先不去过多探讨，以避免分散学生对概念的了解。因为初步接触函

数概念时只强调关注变化中的对应关系，所以对于常值函数y=f（x ）

=c（常数），不宜过早涉及。学生刚刚接触到常量与变量的概念，

还不十分理解常值函数y 是一个特殊的变量，不可能提高到映射的

高度上领会函数概念中的“对应”存在“多对一”的关系（这时并

不强调y 一定是变量）。这些知识都可以在今后的学习中逐步掌握，

操之过急，反而会造成“欲速则不达”的结果。运用函数图像的直

观性认识函数的性质，是研究函数的重要手段，体现出数形结合这

一至关重要的数学理念。如正比例函数y=kx（k 是常数），是中学

生正式学习的第一类具体函数，如何引导学生熟悉它的图像呢？人

教版教科书的做法是先用描点法画出函数y=x和y=-x的图像，然

后启发学生从中寻找规律，得出结论：正比例函数的图像是一条直

线，且过原点，当k>0时，直线经过第一、第三象限；当k<>

直线经过第二、第四象限。这个规律主要涉及了图像的形状和位置

两方面内容。至于在教学中如何使学生学好函数概念，则需要设计

适合学生实际的方案，这将是不拘一格、见仁见智的。

范文二：经典逻辑中函数概念的引入

第19卷第1期 广西梧州师范高等专科学校学报 2003年1月 vd(19No(1 OFJOURNAL TEACI-IERS(X)LLEC丑OF Jan(2003 WUZHOUGUANGXI

经典逻辑中函数概念的引入

马亮1 胡春燕2

,1(‘中国社会科学院哲学研究所研究生院，北京100102, ,2(广西梧州师专学报编辑部，广西贺州542800 ,

[摘要]“函数”本来是一个数学概念，弗莱格把它引入逻辑学，使其在逻辑学从古典到现代的发展过程 中，起到了关键的作用。弗莱格用函数和自变元概念代替传统逻辑中的主项和谓项概念，在此基础上相当自 然地建立了量词理论，并成功地把算术的符号语言扩展为一种逻辑语言，从而建立了现代逻辑。

[关键词]函数;弗莱格;运算;真值;逻辑[中图分类号 31381—09[文献标识码]A[文章 编号]1008—8377(2003)01—0019—03

“函数”一词本来是个数学概念。它被弗莱格引 理》的序言中又给出了如下定义:“如果某些量以这

入逻辑学以后，使逻辑学发生了革命性的变化。同时 样的方式依赖于另一些量，即当后面这些变量变化 也使人们对函数的认识发生了巨大进步。在此我们 时，前面这些变量也随之变化，则将前面的变量称为 打算粗略地考察一下这一历史事实。’我们的考察从后面变量的函数。”他用“解析表达式”替代了约翰的 数学中函数概念的变化开始。“任意形式”。明确地表述了变量之间相互依赖的变

函数(hmction)--词，最初是在莱布尼茨1673年 化关系，使得对函数概念的认识在严密性上前进了 的一篇手稿里使用的，它表示任何一个随着曲线上 一大步。从数学的角度讲，用确定的解析表达式的点的变动而变动的量。如切线、法线、次切线的长 ——或者是有限的多项式，或者是无穷级数——来 度以及纵坐标等。后来莱布尼茨在他的著作《历史》 中用函数一词来表示依赖于 表达函数是正当要求。 对函数的解析表达式是否具有唯一性的问题的 一个变量的量。这之后 函数才在与其现代概念接近的意义上逐渐流行起 思考使人们对函数的理解又前进了一步。在18 来。?对函数概念在数学史上的产生发展。已经有部 世 纪后半叶，先是在周期函数中，后在简单函数中发现 分作者作了研究。?为了本文的目的，我们有必要在 存在着表达式不唯一的情形，如: 这里根据这些作者的成果对这一发展过程作一概 ry=x，x?0 览。 ?y=一x，x<0 瑞士数学家约翰?伯努利(john="" bemouli)1718年="" l="" 给函数下了如下定义:由任一变数和常数的任一形="" 以及="" 式所构成的量。约翰的学生、18世纪的数学家欧拉="">

,=幢在他的《无穷小分析引论)(1748年)中进一步推广了 另外。下述公式 他的老师的定义，他说:“常量是指永远保持同一值 的确定的量”，“变量是指不取定 ， y=siIfx+?孑X 值的量或者说通用 的量，它本身蕴涵了一切通

用的值”。“一个变量的函 是函数，但Y并不随着而变化。著名数学家柯西 他1821年所写的《解析教程》以及1823年所写 在 数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成 的 《微分学纲要》中把函数定义修订如下:“当变量之间 的解析表达式”。1734年欧拉给出了一直沿用至今 的函数符号f(x)。1755年，欧拉在他的《微分学原 这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个

[收稿日期]2002—09—02

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万方数据

2003年1月第19卷第1期 广西梧州师范高等专科学校学报

GUANGXI TEAO(tERS Jan(2003 OFWUZHOUCOLLEGEOF JOURNAL Vbl(19No(1

从亚里斯多德直到莱布尼茨的逻辑学的发展， 值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常

基本上是以概念、主谓结构的判断和以三段论的研 想象这些变量是用其中的一个来表达的，这时这个 究为重心。这种逻辑的特点是从概念到判断到推 量就取名为自变量，而有这自变量表示的其他量就 理，判断被分为直言、假言和选言判断，对直言判断 叫做这个自变量的函数。”在这个定义中，柯西对函 区分主词和谓词。其实自文艺复兴以来，传统逻辑 数的解析式放宽了限制，而着重从变量的对应关系 着手叙述了函数的概念。稍后，数学家狄里赫莱由 的局限性逐渐被揭露出来:它不能处理大量的本领 域的课题甚至是相当简单的课题，理论本身由于缺 于发现了狄里赫莱函数而使对函数概念的理解沿着乏一个可靠严格的原则把其中的论题如假言推理选 柯西的方向又前进了一步。假设有这样一个函数，

言推理及三段论统一起来，显得是一些带有偶然当自变量 X为有理数时，Y的值取1;当自变量X为

拼

凑色彩的特设规则的堆积而破绽百出。莱布尼茨无理数时，Y的值取0。这个函数是无法用解析式来 后，布尔成功地把代数方法引入逻辑学研究，使以 表达的。所以1837年狄里赫莱也给函数下了一个 得逻 定义:如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一 辑学的面貌一新。其功绩在于:“布尔系统的主要 特点是关于选择函数及其展开的理论，或者的Y值同它对应，那么Y就是x的一个函数，至于在 新 象我们 现在要说的，是关于真值函项及其具有析整个区间上Y是否按照一种或多种规律依赖于X，或

取范式形 式的表达式的理论。”凹从历史实际来者Y依赖于X是否可用数学运算来表达，那是无关

紧要的。这一定义的特点是显然的:首先是把变量 逻辑的代数研究方向，但没有构成看。布尔开创了 间的关系描述为变化对应关系，更重要的是把函数 面取代局面。我们认为，布尔并未对传统逻辑的全 解析式的要求大大拓宽了。 引入逻辑，而是把逻辑引向数学。 真正把函数观念 集合论的建立使数学进入了一个新的发展时 弗莱格的目标是发展逻辑学，这一目标是建立 在对传统逻辑舶清醒反思基础上的。他认为，区别 期。这时用集合论的语言重新叙述函数的定义，成 了进一步使数学严密化的必要途径。这是因为，在 主词和谓词只能造成歪曲。“在第一次设计一种语

这一时期，把函数看作一种对应或者映射的思想已 言时，我受到语言例子的诱惑，用主词和谓词构造判

经完成，研究的重心从函数的解析式上转移到了自 断。但不久我就确信，这对我独特的目的是有妨碍

变量的取值范围。显然集合论才是研究这一问题最 的，并且只会导致毫无用处的评述。”他认为，传统

佳工具。事实上早在18世纪，约翰?伯努利、欧拉等 逻辑对全称判断和特称判断的区别“其实不是对

人在实际问题研究中就拓广了自变量的取值范围， 断的区别，而是对内容的区别”。旧同时，作为有判 很深 他们允许自变量取函数，从而开创了泛函分析的研 造诣的数学家，对数学方面的进展及其语言也 究。这之后，把函数自变量的取值范围从实数域扩 有着 精到的理解，这使得他能够以既批判又借鉴 大到了复数域，相应地就有了实变函数论和复变函 的态度 对待数学;其结果是既发展了逻辑也发展

他发展逻辑学的策略是借助于对数学中 数论的区分。现在，用集合论语言通常定义函数如了数学。 分析扩展，并把它应用到逻辑领域以下(这里我们假定已定义了“关系”，D表示关系f的函数概念的 前域):? 辑语言，最终建立了现代逻辑学系统。 改进和构造逻 集合A集合B的关系f，如果满足(1)Df=A， 弗莱格分析了“函数”概念的变化趋势，认为

(2)若atb，arc，则b=C，则称f为A到B的函数(或称 从两个方向上扩展函数概念的内容:“首先，是 映射)。 造函数的计算方法的范围扩展了。除加法、乘法、乘 用以构 弗莱格的重大贡献是把函数概念引入逻辑，正 方及其逆运算以外，还增加了不同种类的跨界运算， 如本文开始所说，这不仅使逻辑学的发展进入了一 但人们却始终没有清楚地意识到由此引入的这些全

个新时期，而且使函数概念的发展获得了质的飞跃。 新的方法。由于数学分析的符号语言不起作用，(譬

“弗莱格在数理逻辑史发展上第一次构造了命题和 如如果谈到一个函数，其值对有理数自变元是1，对

谓词演算的形式公理系统;对形式语言的本质，对象 无理数自变元是0)，人们就走得更远，甚至不得不求

语言和元语言的区别，以及函项()的本质，都作了科 助于日常语言。其次，由于采用了复数，可以作为自 学的规定。弗莱格逻辑演算系统的建立标志着数理 变元和函数值出现的东西的范围扩展了。以此必然 更宽地确定‘和’、‘积’等等表达的意义。”?这正是我 逻辑的基础已经牢固地奠定，他的功绩是前无古人的”。?让我们考察一下这一过程。 们在上面回顾函数概念发展过程时所看到的状况。 万方数据

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广西梧州师范高等专科学校学报 第19卷第1期 2003年1月

TEACI-IERS(30LI(Ff_,E No(1OFGUANGXI JOURNAL Jan(2003vd(19OFWUZHOU

他把函数解析式分析为两个部分，即自变元符号和内涵和外延。概念本身没有真值，只有由概念组成

函数表达式，自变元是“自身独立的整体”，后者不是 的判断具有真值。与传统逻辑的理解大不相同，弗 完整的。现在，弗莱格的目标是要在这两个方向上 莱格认为概念是一个其值总是一个真值的函数。就 走得更远。在第一个方向上，“除用于构造函数表达 是说，他是通过函数和真值来说明概念的。他认为

式的+、一等符号外，我还采用=、>、<这样的符 概念具有函数的各种性质:不完整的，不饱和的，需="">

要补充的。概念是语言中语法谓词的意谓。这里号，使得我们能够譬如在x象以前那样代表自变元

的谓词是指语法动词加宾语组成的句子部分，的地方谈论函数X2=1”。四就是说，与数学传统上 说 或者 “=”只作为函数运算和函数值之间联系符号不同， 是连词“是”加上表语组成的句子部分，如 “()是行 这里“=”号直接作为类似运算符号(如X2+1中的 星”，它与函数一样，具有需要补充性和不饱和 这里“()”对应于函数的自变元，填入一个专 性。 “+”)而构成一个函数，例如X2=1，但这个运算的值 不能象x2+1的值一样是一个数字，而是一个真值。 了一个具有真值的句子。专名是饱和的，名则成 是确定的对象。这里弗莱格极富创见性的它的意谓 在第二个方向上，函数的自变元不仅可以是数字，而

个专名的句子如“晨星是金星”的谓词看 是把有两 且可以是一般对象，例如人。函数值可以是其他东是相等的”，从而把等词引入到逻辑分 成是“()() 西，例如真值。这样，函数概念的适用性大大超出了 数学的范围，使得函数概念能够表达数学之外的一 引入函数概念的基础上。相当容易而析中。最后在 量词的理论。量词理论的建立是现般命题。在这种扩展的基础上，结合对“概念”的全 自然地建立了 代逻辑诞生的标 志。这样，弗莱格以令人信服的面分析，用函数和自变元概念代替了传统的主项和 入到逻辑分析，建立了现代逻辑。 方式从数学分析进 谓项概念，弗莱格成功地把算术的符号语言扩展为 综上所说。把函数概念引入逻辑，既是弗莱格的 一种逻辑语言。

把函数概念成功地引入逻辑的必要条件不仅是创造性成就，也是函数概念发展中的一个必然结果。 要

这不仅使逻辑学发生了革命性变化，也因为进一步 扩充“函数”的适用范围，而且要改变逻辑中对概念、判断等内容的传统解释。传统上认为概念是客 澄清了函数概念而使数学发生了极大进步，现代逻

观事物在人的头脑中的概括反映，用语词表达，具有 辑被认为是数学基础的一部分。

[注释] ?M?克莱因著，江泽涵等译:<古今数学思想>(第三册)，上海科学技术出版社，1979，44—126页。 ?例如M?克莱因:<古今数学思想>，杜石然:‘函数概念的历史发展>，卡尔?E?波耶:<微积分概念史>。参见** 奇: ‘函数概念300年>，栽<自然辩证法研究》第17卷第3期。>

?方嘉琳:<集合论>，吉林人民出版社，1982，65—66页。

?张家龙:<数理逻辑发展史——从莱布尼茨到哥德尔》，社会科学文献出版社，1993，第119页。>

?威廉?涅尔、玛莎?涅尔著，张家龙、洪汉鼎译:<逻辑学的发展>，商务印书馆，1985，531页。

?弗莱格对传统逻辑的批判，参见王路:‘世纪转折处的哲学巨匠:弗莱格》，社会科学文献出版社，1998，第28—29页。

?王路译:<弗莱格哲学论著选辑>，商务印书馆，2001，第61页。

?同上，第61页。如果把这句话与该文上下文联系起来看，这句话令人费解。这里的说明是我个人的理解，与<世纪>

折处的哲学巨匠:弗莱格)89页的说明略有不同。张家龙先生说:。弗莱格所说的‘函项’(即本文中的‘函数’——引者) 转

实际 上是函项关系或函项运算，他的用词不太精确。”见‘数理逻辑发展史——从莱布尼茨到哥德尔>，第114页。

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范文三：经典逻辑中函数概念的引入

经典逻辑中函数概念的引入

1 2马 亮胡春燕

1. 中国社会科学院 哲学研究所研究生院 ,北京 100102

2. 广西梧州师专 学报编辑部 ,广西 贺州 542800

[ 摘 要 ] “函数”本来是一个数学概念 ,弗莱格把它引入逻辑学 ,使其在逻辑学从古典到现代的发展过程 中 ,起到了关键的作用 。弗莱格用函数和自变元概念代替传统逻辑中的主项和谓项概念 ,在此基础上相当自 然地建立了量词理论 ,并成功地把算术的符号语言扩展为一种逻辑语言 ,从而建立了现代逻辑 。

[ 关键词 ]函数 ;弗莱格 ;运算 ;真值 ;逻辑

() [ 中图分类号 ]B81 - 09 [ 文献标识码 ]A [ 文章编号 ]1008 - 8377 200301 - 0019 - 03

( ) “函数”一词本来是个数学概念 。它被弗莱格引 的函数符号 f x。1755 年 ,欧拉在他的《微分学原 入逻辑学以后 ,使逻辑学发生了革命性的变化 ,同时 理》的序言中又给出了如下定义 : “如果某些量以这 也使人们对函数的认识发生了巨大进步 。在此我们 ,即当后面这些变量变化 样的方式依赖于另一些量

时 ,前面这些变量也随之变化 ,则将前面的变量称为 打算粗略地考察一下这一历史事实 。我们的考察从

后面变量的函数 。”他用“解析表达式”替代了约翰的 数学中函数概念的变化开始 。

“任意形式”,明确地表述了变量之间相互依赖的变 () 函数 function一词 ,最初是在莱布尼茨 1673 年

化关系 ,使得对函数概念的认识在严密性上前进了 的一篇手稿里使用的 ,它表示任何一个随着曲线上

一大步 。从数学的角度讲 , 用确定的解析表达式 的点的变动而变动的量 ,如切线 、法线 、次切线的长

———或者是有限的多项式 ,或者是无穷级数 ———来 度以及纵坐标等 。后来莱布尼茨在他的著作《历史》

表达函数是正当要求 。 中用函数一词来表示依赖于一个变量的量 ,这之后

对函数的解析表达式是否具有唯一性的问题的 函数才在与其现代概念接近的意义上逐渐流行起

?思考使人们对函数的理解又前进了一步 。在 18 世 来 。对函数概念在数学史上的产生发展 ,已经有部

?纪后半叶 ,先是在周期函数中 ,后在简单函数中发现 分作者作了研究 。为了本文的目的 ,我们有必要在

存在着表达式不唯一的情形 ,如 : 这里根据这些作者的成果对这一发展过程作一概

y = x ,x ?0 览 。

y = - x ,x < 0="" ()="" 瑞士数学家约翰?伯努利="" john="" bernouli1718="" 年="">

给函数下了如下定义 : 由任一变数和常数的任一形 以及 式所构成的量 。约翰的学生 、18 世纪的数学家欧拉 () 在他的《无穷小分析引论》1748 年中进一步推广了 y = 2 x他的老师的定义 ,他说 “: 常量是指永远保持同一值 另外 , 下述公式

2 2 的确定的量”“, 变量是指不取定值的量或者说通用 y = sinx + cosx

的量 ,它本身蕴涵了一切通用的值”“, 一个变量的函 是函数 ,但 y 并不随着而变化 。著名数学家柯西在 数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成 他 1821 年所写的《解 析教程》以 及1823 年所写的 的解析表达式”。1734 年欧拉给出了一直沿用至今 《微分学纲要》中把函数定义修订如下 当变量之间

“:

[ 收稿日期 ]2002 - 09 - 02

?这样联系起来的时候 ,即给定了这些变量中的一个 让我们考察一下这一过程 。 从亚里斯多德直的”。

值 ,就可以决定所有其他变量的值的时候 ,人们通常 到莱布尼茨的逻辑学的发展 , 想象这些变量是用其中的一个来表达的 ,这时这个 基本上是以概念 、主谓结构的判断和以三段论的研 量就取名为自变量 ,而有这自变量表示的其他量就 究为重心 。这种逻辑的特点是从概念到判断到推 叫做这个自变量的函数 。”在这个定义中 ,柯西对函 理 ,判断被分为直言 、假言和选言判断 ,对直言判断 数的解析式放宽了限制 ,而着重从变量的对应关系 区分主词和谓词 。其实自文艺复兴以来 ,传统逻辑 着手叙述了函数的概念 。稍后 ,数学家狄里赫莱由 的局限性逐渐被揭露出来 : 它不能处理大量的本领 于发现了狄里赫莱函数而使对函数概念的理解沿着 域的课题甚至是相当简单的课题 ,理论本身由于缺 柯西的方向又前进了一步 。假设有这样一个函数 , 乏一个可靠严格的原则把其中的论题如假言推理选 当自变量 x 为有理数时 , y 的值取 1 ; 当自变量 x 为 言推理及三段论统一起来 ,显得是一些带有偶然拼 无理数时 ,y 的值取 0 。这个函数是无法用解析式来 凑色彩的特设规则的堆积而破绽百出 。莱布尼茨以 表达的 。所以 1837 年狄里赫莱也给函数下了一个 后 ,布尔成功地把代数方法引入逻辑学研究 ,使得逻

辑学的面貌一新 。其功绩在于 布尔系统的主要新 定义 :如果对于给定区间上的每一个 x 的值有唯一

“:

的 y 值同它对应 ,那么 y 就是 x 的一个函数 ,至于在 特点是关于选择函数及其展开的理论 ,或者象我们

现在要说的 ,是关于真值函项及其具有析取范式形 整个区间上 y 是否按照一种或多种规律依赖于 x ,或

?者 y 依赖于 x 是否可用数学运算来表达 ,那是无关 式的表达式的理论 。”从历史实际来看 ,布尔开创了 紧要的 。这一定义的特点是显然的 : 首先是把变量 逻辑的代数研究方向 ,但没有构成对传统逻辑的全 间的关系描述为变化对应关系 ,更重要的是把函数 面取代局面 。我们认为 ,布尔并未真正把函数观念 解析式的要求大大拓宽了 。 引入逻辑 ,而是把逻辑引向数学 。

集合论的建立使数学进入了一个新的发展时 弗莱格的目标是发展逻辑学 ,这一目标是建立

在对传统逻辑的清醒反思基础上的 。他认为 ,区别 期 。这时用集合论的语言重新叙述函数的定义 ,成

了进一步使数学严密化的必要途径 。这是因为 ,在 主词和谓词只能造成歪曲 。“在第一次设计一种语 这一时期 言时 ,把函数看作一种对应或者映射的思想已 ,我受到语言例子的诱惑 ,用主词和谓词构造判 经完成 ,研究的重心从函数的解析式上转移到了自 断 。但不久我就确信 ,这对我独特的目的是有妨碍 变量的取值范围 。显然集合论才是研究这一问题最 的 ,并且只会导致毫无用处的评述 。”他认为 ,传统 佳工具 。事实上早在 18 世纪 ,约翰?伯努利 、欧拉等 逻辑对全称判断和特称判断的区别“其实不是对判

?人在实际问题研究中就拓广了自变量的取值范围 , 断的区别 ,而是对内容的区别”。同时 ,作为有很深 他们允许自变量取函数 ,从而开创了泛函分析的研 造诣的数学家 ,对数学方面的进展及其语言也有着 究 。这之后 ,把函数自变量的取值范围从实数域扩 精到的理解 ,这使得他能够以既批判又借鉴的态度 大到了复数域 ,相应地就有了实变函数论和复变函 对待数学 ; 其结果是既发展了逻辑也发展了数学 。 数论的区分 。现在 ,用集合论语言通常定义函数如 他发展逻辑学的策略是借助于对数学中函数概念的 (下 这里我们假定已定义了“关系”,D表示关系 f 的 f 分析扩展 ,并把它应用到逻辑领域以改进和构造逻 ?) 前域: 辑语言 ,最终建立了现代逻辑学系统 。

() ()集合 A 集合 B 的关系 f ,如果满足 1D= A , 2 f 弗莱格分析了“函数”概念的变化趋势 ,认为是

(若 afb ,afc ,则 b = c ,则称 f 为 A 到 B 的函数 或称映 从两个方向上扩展函数概念的内容 : “首先 ,用以构 ) 造函数的计算方法的范围扩展了 。除加法 、乘法 、乘 射。

,还增加了不同种类的跨界运算 , 方及其逆运算以外 弗莱格的重大贡献是把函数概念引入逻辑 ,正

但人们却始终没有清楚地意识到由此引入的这些全 如本文开始所说 ,这不仅使逻辑学的发展进入了一 个

(新的方法 。由于数学分析的符号语言不起作用 , 譬 新时期 ,而且使函数概念的发展获得了质的飞跃 。

如如果谈到一个函数 ,其值对有理数自变元是 1 ,对 “弗莱格在数理逻辑史发展上第一次构造了命题和

) 谓词演算的形式公理系统 无理数自变元是 ;对形式语言的本质 ,对象 语0,人们就走得更远 ,甚至不得不求

() 言和元语言的区别 ,以及函项 的本质 ,都作了科 学的助于日常语言 。其次 ,由于采用了复数 ,可以作为自

变元和函数值出现的东西的范围扩展了 。以此必然 规定 。弗莱格逻辑演算系统的建立标志着数理 逻辑的?基础已经牢固地奠定 ,他的功绩是前无古人 更宽地确定‘和’‘、积’等等表达的意义 。”这正是我

们在上面回顾函数概念发展过程时所看到的状况 。 ,只有由概念组成 内涵和外延 。概念本身没有真值

的判断具有真值 。与传统逻辑的理解大不相同 ,弗 他把函数解析式分析为两个部分 ,即自变元符号和 函

莱格认为概念是一个其值总是一个真值的函数 。就 数表达式 ,自变元是“自身独立的整体”,后者不是 完整

的 。现在 ,弗莱格的目标是要在这两个方向上 走得更是说 ,他是通过函数和真值来说明概念的 。他认为 远 。在第一个方向上 “, 除用于构造函数表达 式的 + 、概念具有函数的各种性质 : 不完整的 ,不饱和的 ,需 - 等符号外 , 我还采用 = 、> 、< 这样的符="" 号="" ,使得要补充的="" 。概念是语言中语法谓词的意谓="" 。这里说="" 我们能够譬如在="" x="" 象以前那样代表自变元="" 的地方谈的谓词是指语法动词加宾语组成的句子部分="" ,或者="">

2 ?( ) 是连词“是”加上表语组成的句子部分 ,如“是行 论函数 x= 1”。就 是说 , 与数学传统上 “= ”只作

星”,它与函数一样 , 具有需要补充性和不饱和性 。 为函数运算和函数值之间联系符号不同 , 这里“ = ”号2 ( ) () 这里“”对应于函数的自变元 ,填入一个专名则成 直接作为类似运算符号 如 x+ 1 中的 “ + ”而构成2 2 了一个具有真值的句子 。专名是饱和的 ,它的意谓 一个函数 ,例如 x= 1 ,但这个运算的值 不能象x + 1 的

是确定的对象 。这里弗莱格极富创见性的是把有两 值一样是一个数字 ,而是一个真值 。 在第二个方向

( ) ( ) 个专名的句子如“晨星是金星”的谓词看成是“是上 ,函数的自变元不仅可以是数字 ,而 且可以是一般

相等的”,从而把等词引入到逻辑分析中 。最后在 引对象 ,例如人 。函数值可以是其他东 西 ,例如真值 。

入函数概念的基础上 ,相当容易而自然地建立了 量这样 ,函数概念的适用性大大超出了 数学的范围,使得

函数概念能够表达数学之外的一 般命题 。在这种扩词的理论 。量词理论的建立是现代逻辑诞生的标 志 。展的基础上 ,结合对“概念”的全 面分析 ,用函数和自这样 ,弗莱格以令人信服的方式从数学分析进 入到变元概念代替了传统的主项和 谓项概念 ,弗莱格成逻辑分析 ,建立了现代逻辑 。

功地把算术的符号语言扩展为 一种逻辑语言 。 综上所说 ,把函数概念引入逻辑 ,既是弗莱格的

把函数概念成功地引入逻辑的必要条件不仅是 创造性成就 ,也是函数概念发展中的一个必然结果 。

这不仅使逻辑学发生了革命性变化 ,也因为进一步 要扩充“函数”的适用范围 ,而且要改变逻辑中对概

澄清了函数概念而使数学发生了极大进步 ,现代逻 念 、判断等内容的传统解释 。传统上认为概念是客

辑被认为是数学基础的一部分 。 观事物在人的头脑中的概括反映 ,用语词表达 ,具有

[ 注释 ] () ?M?克莱因著 ,江泽涵等译《: 古今数学思想》第三册,上海科学技术出版社 , 1979 ,44 - 126 页。

?例如 M?克莱因《: 古今数学思想》,杜石然 《: 函数概念的历史发展》,卡尔?E?波耶 《: : 微积分概念史》。参见**奇 《函数概念 300 年》,载《自然辩证法研究》第 17 卷第 3 期。

?方嘉琳《: 集合论》,吉林人民出版社 ,1982 ,65 - 66 页。

?张家龙《: 数理逻辑发展史 ———从莱布尼茨到哥德尔》,社会科学文献出版社 ,1993 ,第 119 页。

?威廉?涅尔 、玛莎?涅尔著 ,张家龙 、洪汉鼎译《: 逻辑学的发展》,商务印书馆 ,1985 ,531 页。

?弗莱格对传统逻辑的批判 ,参见王路《: 世纪转折处的哲学巨匠 :弗莱格》,社会科学文献出版社 ,1998 ,第 28 - 29 页。

?王路译《: 弗莱格哲学论著选辑》,商务印书馆 ,2001 ,第 61 页。

?同上 ,第 61 页 。如果把这句话与该文上下文联系起来看 ,这句话令人费解 。这里的说明是我个人的理解 ,与《世纪转

( ) 折处的哲学巨匠 :弗莱格》89 页的说明略有不同 。张家龙先生说 “: 弗莱格所说的‘函项’即本文中的‘函数’———引者实际 上是函项关系或函项运算 ,他的用词不太精确 。”见《数理逻辑发展史 ———从莱布尼茨到哥德尔》,第 114 页。

范文四：函数概念引入

函数”概念引入的有效性反思

北京东城教师研修中心 雷晓莉

北京宏志中学 王芝平

北京2中分校 马 岳

概念是思维的细胞．数学学习离不开推理，推理离不开判断，而判断是以概念为基础的．所以，理解概念是一切数学活动的基础，概念不清就无法进一步开展其他数学活动．学生的概念理解和应用的水平也是衡量教学质量高低的最重要标准．因此，数学教师必须特别重视概念的教学．

函数不仅是一种重要的数学概念，而且是一种重要的数学思想，它是联系中学代数主要内容的一条纽带．因此，函数概念的教学是数学教学中的一个重要课题．特别是初中阶段的函数概念的教学，具有承上启下的作用，对它学习的好坏，会直接影响到高中阶段函数概念的教学，乃至以后数学的学习．因此对函数概念教学的研究不仅是必要的，而且应是深入的．2008年11月“中学数学核心概念结构体系及教学设计研究与实践”课题组在沈阳对函数的概念进行了研究和实践，下面结合广州民航子弟学校的林俊伟老师的这节课谈谈函数概念引入的有效性．

一、概念引入简介

教师一上课就给出学生两张图片，同时结合图片请学生思考以下两个问题：

1. 《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？

2. 我们班中同学A 与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？

上述两个问题中都涉及两个量的关系，这一节课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确定另一个量．

二、概念引入分析

教师从学生熟悉的生活入手，创设丰富的情景，开门见山，在极短的时间内指明本节课的学习内容．但仔细研究引入内容的实质，会发现脚印与身高、体重与饭量之间是存在着相关关系，但不一定是函数关系，二者只有在特定范围内才可能是函数关系，而且这种函数关系中既包含一对一，也包含多对一．

三、概念引入反思

1．情景选择的反思

新课程理念提倡教师在教学中选择恰当的素材，创设一个有利于教学发展的情景，这是好的，但在教学的实践中，教学情境必须为课堂教学服务，必须为教学目标服务．教学情境的创设不能为情境而情境，不能和教学内容脱节，不能只有“面子”没有“里子”．再说情景的选择必须与学生的实际水平相符合，而课例中的情景脚印与身高、体重与饭量之间关系的探究似乎也高出初学者的实际水平．因此在教学中对情景的选择要有目标意识、要符合学生实际、而且还要有真实性．因为不恰当的教学情境不仅不会给教学活动带来好处，往往还会产生负面作用．

2．反例使用的反思

概念的教学一般要经历几个环节：概念的引入、概念的形成、概念的明确、概念的表示、概念的巩固和应用．概念的引入与概念的形成实际上是需要给学生各种刺激，是需要学生辨别各种刺激的模式．这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是教师提供的有代表性的典型事例．但不管

是哪种刺激模式，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括．但在学生对概念认识的初级阶段或起始阶段，给学生提供的刺激模式应该是正例，而且数量要恰当．不然就会影响概念的形成．但在概念的巩固和应用中，可以通过适当的反例让学生辨析概念，达到对概念内涵和外延的掌握．本节课引入中的例子，似乎与函数的概念的内涵有些偏离，可能会对函数概念的形成产生不利的影响．

四、借鉴概念的发展历史引入概念

概念的引入在遵循结构性原则，参与性原则，激发性原则等的前提下，可以从数学知识发展的需要引入，也可以从实际应用的需要引入，还可以通过类比引入以及复习旧课引入等．众所周知，人的发展是在无数代前辈人的全部经验总和的基础上进行的．人在掌握前人的经验时要简略地重演前人获得相应经验的过程，“我们所赖以生活的一切和我们所占有的一切，本身都带有社会起源的痕迹”（巴索夫，1926）．因此当我们考察和研究学生的数学学习过程时，必须注意研究作为人类社会生活经验结晶之一的数学概念的发展过程．

函数的概念一次又一次的扩张，就是前人思维困难的一次又一次的突破，从中我们可以看到函数概念的内涵不断被挖掘、丰富和精确刻画．华东师大汪晓勤老师曾经做过对函数概念的调查，让学生根据自己的理解写出函数的定义，从调查中可以看出，即使在教材和教学的影响之下，也仍然有很多的被试给出不同于教材、却类似于历史上数学家的回答．这种函数概念理解中的历史相似性表明，函数概念历史发展过程中的认识障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍．因此，在函数概念教学中，如果能恰当地借鉴历史，根据函数历史途径，选择学生容易接受的典型情景，探究函数概念，使学生在情景的识别与辨析中逐步体会它的形成过程，并且亲身感悟一次一次逐步抽象出函数概念的方法，这样有助于学生打破原有的思维定势，形成清晰的认识并对函数的概念达到深刻的理解．这种历史的方法是一个多层次逼近，反映了认识由远及近，由模糊至清晰，由粗略到精确的过程，是我们在教学中值得借鉴的．

通过以上的分析，我们根据学生的情况，借鉴函数的历史的发展，对函数概念围绕着一条明线和一条暗线展开探究．明线为两个变量，暗线为函数概念在历史上的几次演变过程．学生在探究函数概念的过程中，经历了三次函数概念的扩张，并最终归纳、总结、抽象、概括出现行初中课本中的函数概念．下面是这节课的教学设计：

（一）创设情景，引出课题

例1：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s 千米，行使时间为t 小时，先填下面的表，再试用t 的式子表示s.

问题：

1．先填下面的表，再试用t 的式子表示s.

2．事件中有几个数值发生改变的量？有几个数值不变的量？

3．变量与常量如何定义？

4．变量与常量在生活中的例子有哪些？

5．写出下列两式的表达式，并指出其中的变量与常量．

（1）设圆的面积为s ，半径为r ，则s 怎样用r 来表示呢？

（2）已知圆柱体的底面积为9平方米，高为h ，则体积V 怎样用底面积与h 表示呢？

【设计意图】通过探究常量和变量，为研究函数的概念做好铺垫.

（二）探索研究，形成概念

问题：结合上述几个例子，从两个变量联系的角度，你能试着给出函数的定义吗？

【设计意图】通过前面几个例子的思考与分析，让学生从表达式的角度理解两个变量的关系，完成对函数概念内涵的第一次抽象认识．

例2：姚明职业生涯技术统计

问题：

1．表格中有变量吗？是什么？

2. 赛季与场均得分这两个变量有关系吗？

3．随着赛季数值的变化，场均得分怎么样变化？

4. 你能写出赛季n 与场均得分p 之间的表达式吗？

例3：某地一天内的气温变化情况．

问题：

1．图像中有变量吗？是什么？这两个变量有关系吗？

2．你能写出温度T 与时间t 的表达式吗？

3．上面总结的函数概念是否完善，不完善该如何补充？

【设计意图】通过例2的姚明职业生涯技术统计表格和例3的天气变化图像，让学生从对函数的解析式理解过度到函数概念是两个变量间互相依赖关系的认识，完成对函数概念内涵的第二次抽象认识．

例4：北京的出租车是这样计费的：在不超过三公里的情况下，收取基价10元；超过三公里后，超过部分每公里按2元计费．

问题：1．在里程不超过三公里的情况下，里程改变，钱数改变吗？

2．这个例子与我们给出的函数的概念矛盾吗？

3．那应如何进一步完善我们刚才给出的函数定义呢？

【设计意图】通过出租车计费的例子，让学生从函数概念的变量的依赖关系过度到两个变量的对应关系，完成对函数概念内涵的第三次抽象认识.

（三）归纳抽象，形成定义

1．回放前面四个例子，让学生讨论这四个例子的关键点．如例1，

（1）在这个变化过程中，当t =1时，s=？当t =7时，s =？

（2）每给定t 的一个值时，s 的值会怎样？

2．归纳、抽象出函数的定义：

在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量 ，y 是x 的函数．

3．强调函数概念中的两个关键词

让学生再次对照着前面的四个例子提炼出函数定义中“确定”与“唯一确定”这两个关键词．

【设计意图】通过学生自己归纳总结，让学生经历批判和相互推翻的过程，最终由学生将关键点串联起来，形成与现行初中函数定义很接近的定义，完成对函数概念内涵的第四次完整认识.

（四）运用史料，促进理解

例5：寄信：（1）一个信封上有两个地址“北京二中分校 马岳老师收”以及“北京四中 武红梅老师收”，此时邮递员还能把信发出去吗？

【设计意图】通过寄信这个实际问题，引出“一对一”与“多对一”的概念，从而让学生进一步理解函数的定义．

（2）讲述“函”字的古意，即为“信封”的意思．

（3）讲述李善兰借用“函”字古意翻译“function ”为“函数”的故事.

【设计意图】通过查看“函”字的古意以及聆听李善兰创用“函数”一词的故事，使学生在体验中获得对“函数”这一名词由来的认识．

（五）举例分析，深化定义（略）

这样设计函数概念的教学，目的是让学生沿着数学家们曾经探索函数概念走过的路，经历一次次地提出概念、一次次地被推翻的概念探究过程，让学生对概念的发展、内涵与外延认识地更加深刻．

参考文献：

1．章建跃. 中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，2007.

2．顾继玲：初中阶段函数概念教学中应处理好的几个关系[J].中学数学教学参考，1996，8-9.

3．任明俊，汪晓勤. 中学生对函数概念的理解——历史相似性初探[J].数学教育学报，2007，11

范文五：函数概念的引入（微案例-孙国兴）

函数概念的引入

(中牟六中——孙国兴)

请看例一:老师去超市买苹果，发现苹果的单价是10元每千克，苹果净重与苹果总价有什么关系呢,

同学们先看一段视频——

在这个问题中有两个变量:一是苹果净重，二是苹果总价。一经确定苹果的净重都有唯一确定的苹果总价和它对应。如:苹果净重是1.880千克时，对应的总价就是18.80元。苹果净重是2.330千克时，它的总价就是23.30元。再如:苹果净重是2.555千克时，它的总价就是25.60元。

我们再看例二:在期中考试中，八一班学号1—9的同学的数学成绩如下表所示。

在这个问题中，有两个变量:学号和成绩。

同学们请思考:

一经确定一个学号，都有确定的成绩和它对应吗,如果有，是一个还是多个,

我们再看例三:三个家庭参加家庭自驾游，到井冈山接受革命传统教育，每个家庭都是父亲开车。各个家庭父亲及小孩的关系见下表——其中小明、小天都是独生子女，小芳、小花是双胞胎姐妹。

同学们请思考:

1. 在这个问题中，有几个变量，分别是什么,

2. 如果任意确定一个小孩，都能找到他(她)的父亲吗,如果有，

是一个还是多个,

由上述例题我们可以总结得出:一般的，在一变化过程中，如果有两个变量 x 、y ，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。

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