建业0
范文一：空间点到平面的距离
空间点到平面的距离
求空间点A到平面α的距离，可以过这点A向平面α引垂线，交α于点B，然后“量”出线段AB的长度——这是求空间点到平面的距离的一条思路。这个方法能否解决问题呢,不妨试试。
设点A的坐标为A(x，y，z)，平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，过点A作直线L垂000
直于平面α，与α相交于点B，则点B的坐标是可求的。平面α的一个法线向量为n=(A，B，C)。设点(x，y，z)是直线L上任意一点，因为直线L垂直于平面α，所以直线的点
x-xy-yz-z000向式方程为。方程组 ==ABC
x-xy-yz-z000，? ==
{ ABC
Ax+By+Cz+D=0。 ?
的解就是点B的坐标。
B(x-x)0由?得y=，? ，y0A
C(x-x)0z=，? +z0A
B(x-x)C(x-x)00把?、?代入?得Ax+B()+C()+D=0，即 +z，y00AA
22222(A+B+C)x=(B+C)x-A(By+Cz+D)，所以 000
22(B+C)x-A(By+Cz+D)000x=，? 222A+B+C
22(A+C)y-B(Ax+Cz+D)000把?代入?得y=;? 222A+B+C
22(A+B)z-C(Ax+By+D)000把?代入?得z=。? 222A+B+C
22(B+C)x-A(By+Cz+D)000所以直线L与平面α的交点坐标为B(，222A+B+C
2222(A+C)y-B(Ax+Cz+D)(A+B)z-C(Ax+By+D)000000，)。而222222A+B+CA+B+C
222(x)()(),，,，,xyyzz|AB|== 000
222222(B+C)x-A(By+Cz+D)(A+C)y-B(Ax+Cz+D)(A+B)z-(Ax+By+D)222000000000[x-]+[y-]+[z-]000222222222A+B+CA+B+CA+B+C
=
222222A(Ax+By+Cz+D)B(Ax+By+Cz+D)C(Ax+By+Cz+D)000000000++222222222222()()()A+B+CA+B+CA+B+C
22222(A+B+CAx+By+Cz))((Ax+By+Cz)==000000
2222222()A+B+CA+B+C|z|AxByCD，，，000=。 222ABC，，
范文二：点到平面的距离
深圳圆梦教育 http://www.szymedu.com 2-4.3.1 点到平面的距离
|ax，by，cz，d|000点P(x，y，z) 到平面E:ax ， by ， cz ， d , 0之距离为。 000222a，b，c
[1]. 点P(3，2，4)到平面E:2x , y ， 2z ， 6 , 0之距离为 。 答 6
2] 点P(2，5，-3)到平面E:x , 3y , z , 12, 0之距离为 。 答 : 211
A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,1)[3] 求点P(2，5，-3)到由所形成的平面之距离
,法向量N,AB，AC,___(1) (2) (3) AB,___AC,___
A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)(4) 所形成的平面方程式E为______ (5) P点到平面 E 之距离为 _______
? 两平行之平面之距离公式
|d,d|122:ax ， by ， cz ， d , 0与 :ax ， by ， cz ， d , 0之距离为 EE112222a，b，c
[1] 两平面2x , y , 2z ， 1 , 0，4x , 2y , 4z , 5的距离为_____
【解1】取A(0，1，0)在2x , y , 2z ， 1 , 0? 两平行平面的距离
|0,2,0,5|7,, A到(4x , 2y , 4z , 5 , 0)距离 , 616，4，16
|d,e|【解2】? 两平行平面ax ， by ， cz ， d , 0，ax ， by ， cz ， e , 0距离为 222a，b，c
5? 2x , y , 2z ， 1 , 0，4x , 2y , 4z , 5的距离，即2x , y , 2z ， 1 , 0，2x , y , 2z ,, 0的距离 2
51，72,? 为所求 64，1，4
[2] 两平面2x , y , 2z ， 1 , 0，4x , 2y , 4z , 5的距离为_____ 答: 7
1
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2-4.3.2 点到平面的距离
?与平面 E:ax ， by ， cz ， d , 0平行且距离为 的平面方程式为 k
222 ax ， by ， cz ， d ,ka，b，c
[1] 与平面 E:x , 2y ， 2z ,7 , 0平行且距离为 5 的平面方程式为_______ p110
x , y , z +3 , 0平行且距离为 4 的平面方程式为_______ [2] 与平面 E:2
p111
[3] 设平面E与平面F:3x ， 6y , 2z , 12平行且点P(1，, 1，, 2)到平面E的距离为2，求平面E
的方程式。
【详解】联考题
|3,6，4,d|设平面E的方程式为3x ， 6y , 2z , d则P(1，, 1，, 2)到平面E的距离 ,, 2
9，36，4
|1,d|? , 2 , |1 , d | ,14, 1 , d , , 14 , d , , 13或15 7
故平面E的方程式为3x ， 6y , 2z , , 13或3x ， 6y , 2z , 15
[4] 求平面E:2x ， 2y , z ,1 , 0与平面E:4x , 3y ， 12z , 5 , 0所成二面角之平分面方程式。 12
【详解】联考题
|221||221|x，y,z,x，y,z,设P(x，y，z)为空间之点则P至平面E之距离d , ,11222322(1)，，,
|43125||43125|x,y，z,x,y，z,P至平面E之距离d , ,22222134(3)12，,，
|2x，2y,z,1||4x,3y，12z,5|,P在平分面上 , d , d, 12313
2x，2y,z,14x,3y，12z,52x，2y,z,14x,3y，12z,5,,,? 或 313313
2
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化简得14x ， 35y , 49z ， 2 , 0或38x ， 17y ， 23z , 28 , 0
25. A(1，3，2)在平面E上之投影点为B(2，1，0)，则C(3，5，1) 到平面E的距离为 。
30. 平面E:2x , y , 2z ， 1 , 0对于平面F:x ， y ， z , 1的对称平面方程式为 。
3
范文三：向量法求空间点到平面的距离教案
向量法求空间点到面距离（教案）
教材分析
重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤
难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量
教学目的
1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。
2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。
3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
新课导入：
我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？
对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点
用另一种方法解决。
我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是
一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。
一、复习引入：
1、 空间中如何求点到面距离？
方法1、直接做或找距离；
方法2、；等体积
方法3、空间向量。
2、向量数量积公式
a·b=abcosθ（θ为a与b的夹角）
二、向量法求点到平面的距离
剖析：如图，BO⊥平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离是线段BO的长度。
若AB是平面α的任一条斜线段，则在Rt?
BOA
?COS∠ABO
如果令平面的法向量为，考虑到法向量的方向，可以得到点B到平面的距离为
BO
因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一
条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的
数量积的绝对值再除以法向量的模
思考、 已知不共线的三点坐标 , 如何求经过这三点的平面的一个法向量 ?
例 1 、在空间直角坐标系中 , 已知 A (3,0,0), B (0,4,0) , C (0,0,2) , 试求平面
ABC 的一个法向量 .
解 : 设平面 ABC 的一个法向量为 n = ( x , y , z )
则n⊥AB，n⊥AC.∵AB=(-3,4,0),AC=(-3,0,2) (x,y,z)?(-3,4,0)=0?-3x+4y=0? 3? ∴ ? 即 ? y =x ??= 0 ? ( x , y , z ) ? ( - 3,0,2) ? - 3 x + 2 z = 0 ∴ ? 4 3 取 x = 4 , 则 n = (4,3,6) ? z = x ? ? 2 ∴n=(4,3,6)是平面ABC的一个法向量.
例 2 、 如图，已知正方形 的边长为 4 ， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的 ABCD
中点， GC ⊥平面 ABCD ，且 GC ＝ 2 ，求点 B 到平面 EFG 的距离.
解：如图，建立空间直角坐标系 C － xyz ．
由题设 C(0,0,0) A(4,4,0) ， B(0,4,0) ，，
D(4,0,0) ， E(2,4,0) ，
F(4,2,0) ， G(0,0,2) ．
EG4,2), EF = (2, - 2,0), = ( - 2, -
B E = (2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量
为 n = , z ) ( x , y
n ⊥ EF ⊥ EG ，n
?2x-2y=0 ∴ ? -2x-4y+2=0 ?
∴ n = ( 1 ,1,1)
3 3
|n?BE| ∴ = d =
n
点评：斜线段也可以选择BF或者BC都行。
练习1、(06年福建高考题)如图4，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
CA=CB=CD=BD=2，E到平面ACD的距离.
解：由题设易知AO⊥BD，OC⊥BD，∴OA=1，OA+OC=AC，∴∠
AOC=90，即OA⊥OC.
以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则
A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, ?222,∴
E(1,,0), AD=(-1,0,-1), AC
=(0, 2
23,0). ED=(-,-2
2
设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z)，则由nAD=0及nAC=
0，得
??x+z=0?
-z=0?x=-z??,取
得n
??
d=于是点E到平面ACD的距离为EDn
n
. 练习, PAAC 2 、 如图 ⊥平面 ABC , ⊥ BC , PA =
AC =1,
求点 P 到面 的距离 . （答案 d = ） BCPBC
B - ACD , ABD ⊥ 平面 ACD ，若棱长 课下作业、在三棱锥中平面
= AD = AB = 1 ，且 ∠ 0，求点 D 到平面 ABC AC= CDBAD= 30 2 ）的距离。（答案d =
13
板 书 设 计
一、复习
a·b=abcosθ（θ为a与b的夹角）
a?b a在b上的投影d=acosθ= b
二、点到平面的距离
B到面的距离 小结：向量法求点到面距离三步
（1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量
（2）求出该平面的一个法向量
（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模
教学后记：
优点：1.从实际经验引导学生将生活经验用于学习，转换思维；
2.由例题整理步骤，理清思路，便于学生理解；
3.学生掌握很好。
范文四：空间点到平面距离公式的证明探究
空间点到平面距离公式的证明探究
付小娟
(广州民航职业技术学院数学教学部，广州，510403)
摘要 平面解析几何中点到一条直线的距离公式和空间解析几何中点到一个平面的距离公式非常相似，而证明方法也大同小异，利用求条件极值的拉格朗日乘数法来证明两个公式，通过特例诠释公式，实现两个公式之间的有机衔接，然后又进一步探究点到平面距离公式的其他简便方法。
关键词: 平面解析几何，空间解析几何， 条件极值，拉格朗日乘数法，距离公式
1 点到直线的距离公式
解析几何是用代数方法研究几何图形的形状、性质，体现了数形结合的重要数学思想。在坐标系中研究几何图形是解析几何的基本出发点，也是很多公式和定理的证明依据。点到直线的距离公式可以用数形结合的方法，先过点向直线做垂线，通过解方程组求出交点，再利用两点间的距离公式来推导出来，这是中学数学中常用到的方法，在证明中经常需要讨论常数A、B、C各自等于零时的情况，证明带了了很多麻烦。现把点到直线的距离转变为条件极值，利用拉格朗日乘数法[1]求解，可以更加科学完备的证明，而且省去了讨论常数A、B、C各自等于零时的的情况，而且可以很自然的推广到空间中点到平面距离公式的证明之中。
，，Mx,yAx，By，C,000问题1 证明平面中点到一条直线L:(A,B不能同时为0)的距离公式是
Ax，By，C00d,22A，B
问题1的证明借助于多元函数的条件极值法。如上图一所示:
，，Mx,y，，Nx,y00 过点作任一条直线和已知直线相交，设交点是，交点坐标满足直线方程即Ax，By，C,0NMM，当交点的位置不同时，、N两点之间的距离也随之发生变化，则、N两点，，Dx,y
M之间的最短距离即为点到直线L的距离。
22根据两点间距离公式得到:，，，，，，，则点到直线的最短距离变为求该函Dx,y,MN,x,x，y,y00
Ax，By，C,0数在条件下的最小值问题，利用拉格朗日条件极值法，设
22，，，，，，，，，，，，Fx,y,Dx,y，,Ax，By，C,x,x，y,y，,Ax，By，C00
求解这个方程组，得到唯一驻点
ACAxByBCAxBy,，，,，，，，，，,,0000Hx，y，，,,002222ABAB，，,,，根据实际问题存在最小值的性质，这个驻点就是函
C，Ax，By00(A,B不，，Dx,y,min22A，B数F(x,y)最小值点，同时也是距离函数D(x,y)的最小值点，所以最短距离
能同时为0)。
2 空间中点到平面的距离公式[2][3]
问题2 证明空间中点M(x,y,z)到平面(A,B,C不能同时为0)的距离公式。,:Ax，By，Cz，D,00000
付小娟(1980-08)，女，河南人，广州民航职业技术学院讲师，硕士，主要从事数学教学工作 E-mail:princess2830@sohu.com
M0, n
N
l
，，N(x,y) Mx,y00
图二 空间中点到平面的距离 图一 点面和点线间距离的联系
M0,
n M0
M , M
图四 利用向量平行证明点面距离公式 图三 利用数量积证明点面间距离
Ax，By，Cz，D000d, 222A，B，C
[1]问题2的证明借助于多元函数的条件极值法，如图二所示
过点向该平面任意引一条直线，设直线和平面的交点是，交点坐标满足平面M(x,y,z),，，Nx,y,z0000
方程，即(A,B，C不能同时为0)，则、N两点之间距离D(x,y,z)的最小值即为点MMAx，By，Cz，D,000到平面的距离。 ,
222 ，，，，，，，，，则两点的最短距离变为求函数D(x,y,z)在条件Dx,y,z,MN,x,x，y,y，z,z0000
下的极小值问题，利用拉格朗日条件极值法，设 Ax，By，Cz，D,0
222，，，，，，，，，，Fx,y,z，,,x,x，y,y，z,z，,Ax，By，Cz，D000
2
D，Ax，By，Cz000，，Dx,y,z,min222利用问题1的方法解的该函数的最小值是:A，B，C
3 两公式比较、过渡
以上两个公式的证明方法完全一样，都是借助于拉格朗日乘数法，利用代数知识研究几何问题，该方法虽然过程繁琐，但是具有普遍适用性，只要是相关的求最值问题都可以利用此方法;而且证明不用分情况讨论常数A、B、C各自为零的情况。事实上，这两个公式不仅解析形式和证明方法相似，而且存在着必然的联系。
方程(A,B不能同时为0)在平面直角坐标系XOY中表示一条直线，但是在空间直角坐Ax，By，C,0
,
,,标系OXYZ中则表示一张平行于Z轴的平面，法向量n,A,B,0，平面直角坐标系XOY内的点在，，Mx,y00空间直角坐标系中表示点(如图一所示)。那么利用前面证明过的空间中点到平面的距离公式也可，，Mx,y,000
Ax，By，C00d,以得到到平面的距离。 ，，Mx,y,0Ax，By，C,00022A，B
4 点到平面距离公式的其他证明方法
利用拉格朗日乘数法证明公式虽然过程严谨，推理逻辑，但是求极值却很烦琐，因此只适合证明公式，实际应用中常用另外两种行之有效，而又简单易推广的方法证明公式:
4.1利用数量积的知识【3】。如图三所示，在该平面上任意选取一点 M(x,y,z)
则点满足平面的方程，即，同时，两点构成向量M(x,y,z)Ax，By，Cz，D,0
,,
，设平面的法向量则 ,,MM,x,x,y,y,z,z,,n,A,B,C,0000
Ax，By，Cz,Ax，By，CzAx，By，Cz，D，，000000d,, ,222A，B，Cn
,
4.2利用定义法，借助于向量平行[4]的充要条件。如图四所示，过点作一条垂直于该平面M(x,y,z)0000
,
的直线，设垂足是，则平行于法向量 ,,MM,x,x,y,y,z,zAx，By，Cz，D,0M(x,y,z)0000
xxAt,,,0,,,xxyyzz,,,,000MMntyyBt,,,,,,, ,,//n,A,B,C,,00ABC,zzCt,,0,
又因为点在平面上，所以坐标满足平面方程，即 M(x,y,z)Ax，By，Cz，D,0
3
Ax，By，Cz，D000，，，，，，Ax,At，By,Bt，Cz,Ct，D,0,t,000222A，B，C Ax，By，Cz，D000？d,MM,0222A，B，C
数量积的方法使学生们理解了空间中点的坐标表示，空间平面的知识，而且通过求解过程，掌握投影和数量积之间的关系，能够熟练的利用数量积来解决有关平面的问题。
向量平行的方法把问题转换成空间直线和平面的位置关系，巧妙的借助于两向量平行的充要条件，使垂足的坐标很容易求出来，使两点间的距离公式发挥的更加直接，充分彰显了定义法的魅力所在。 5 结束语
本文把距离问题转变为利用条件极值，构造拉格朗日函数证明两个不同的公式，挖掘出了两个公式的内在联系;又进一步探究了关于点到平面距离公式的其他两种证明方法。每种方法在解决同一个问题中都凸显出各自的优越性，而更为重要的是通过不同方法的学习激发了学生们的积极性和兴趣，不仅记忆深刻，也把课本中相关的知识综合到了一起，这就达到了归纳、理解、运用的目的。
参考文献
[1] 刘贵濂，梁炼。高等数学[理工类]。北京，中国人民大学出版社，2007:130-171。 [2] 朱弘毅。高等数学[中册]。上海，上海科学技术出版社，2002:1-27。
[3] 董福学，点到直线距离公式的证法探究，数学教学研究，第27卷第7期2 0 0 8 年7月。 [4] 贾士代, 点到平面的距离公式的简明证法。殷都学刊(自然科学版)，第1期1 9 9 4年3月。
4
范文五：用导数方法证明空间点到直线_点到平面及异面直线间的距离公式
北 京 印 刷 学 院 学 报 年第 11 卷 第 4 期 2003 12 月
Journal of Beijing Institute of Graphic Communication 2003 Vol111 No14 Dec1
() 文章编号 : 100428626 20030420054204
用导数方法证明空间点到直线 、点到平面
及异面直线间的距离公式
张二艳
()北京印刷学院 基础课部 , 北京 102600
摘 要 : 空间点到直线 、点到平面及异面直线间的距离公式通常是利用几何方法来推导
的 ,利用微积分理论中的导数方法可以给出另一种证明 。
关键词 : 空间距离 ; 导数 ; 极值 ; 教学研究
中图分类号 : O182 ; G642 文献标识码 : B
空间中点到直线的距离公式 、点到平面的距离公式 、异面直线间的距离公式 ,通常是用几何的方法推 导的 ,在一般的空间解析几何教材中都有证明过程 。本文则利用导数求极值的方法给出这三个公式的另 一种证明 。
1 点到直线的距离公式
x - x y - y 11 z - z 1 ( ) 空间中的一点 Px , y, z 到直线 L : 0 0 0的距离公式为 = = n l m 2 2 2 y- y z - z x - x y- y 0 1z - z 0 1x - x 0 10 10 10 1+ + m n l m n l d = 。
2 2 2 + + l m n
x = x + l t , 1
证明 可将直线 L 写成参数方程的形式 : y = y+ mt , 其中 t 为参数 。1
x = z + nt 。 1
( ) 设 Q x , y , z为直线 L 上任意一点 , 问题可转化为求 P , Q 两点间距离的最小值 。 P , Q 两点间距离 的平方为
2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Ft= d= x - x - l t+ y- y- mt+ z - z - nt, 0 1 0 1 0 1
( ) 对 Ft求导数并使之为零 :
2 ( ) ( ) ( ) ( ) F′t= - 2 l x - x - l t- 2 m y- y- mt- 2 n z - z - nt= 0 。 0 1 0 1 0 1
解得驻点为
( ) ( ) ( ) x - x l + y - y m + z - z n 0 1 0 1 0 1 3 t = 。2 2 2 l + m + n
这是唯一可能的极值点 ,即最小值点 ,所以 收稿日期 : 2003209225
第 4 期 张二艳 : 用导数方法证明空间点到直线 、点到平面及异面直线间的距离公式 55
3 2 3 2 3 2 3 2 ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( Ft= Ft = d= x - x - l t + y- y- mt + z - z - nt 。 min 0 1 0 1 0 1
3 3 3 ) ( ) α( 直线 L 的方向向量为= { l , m , n} , 过点 Px , y, z , M x - l t , y- mt , z - nt 的直线 0 0 01 1 1
3 3 3 βαβ的方向向量为 = { x - x - l t , y- y- mt , z - z - nt } 。由于 PM ?L , 所以 ?= 0 ,即 0 1 0 1 0 1
3 3 3 ( ) ) ( ) ( x - x - l t l + y- y- mt m + z - z - nt n = 0 , 0 1 0 1 0 1
2 2 23 ( ) ( ) ( ) ( ) 由此得到 x - x l + y- ym + z - z n - l+ m + nt = 0 。 0 10 10 1
3 ( ) 将上式和 t 代入 Ft,整理得 min 2 2 2
) ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( [ x - x m - y - y n ] + [ y - y n - z - z m ] + [ z - z l - x - x n ] 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 2 2 2d= l + m + n
222x - x y- yy- yz - z 0 1 0 1 0 1 0 1 z - z x - x 0 1 0 1 + + l m n l m n , = 2 2 2l + m + n
于是 ,点到直线的距离公式为 222x - x y- y 0 1 0 1 y- yz - z 0 1 0 1 z - z x - x 0 1 0 1 + + n l l m m n d = 。
2 + 2 + 2 lm n
2 点到平面的距离公式
) ( 空间中的一点 Px , y, z 到平面 A x + By + Cz + D = 0 的距离公式为 0 0 0
| A x + B y + Cz + D | 0 0 0 d = 。 2 2 2 + + A B C
( ) 证明 设 Q x , y , z 为平面 A x + By + Cz + D = 0 内任意一点 , 问题可转化为求 P , Q 两点间距离
2 2 2 2 ) ) ) ( ( ( 的最小值 。 P , Q 两点间距离的平方 d= x - x + y - y+ z - z , 约束条件为 A x + By + Cz + 00 0 D = 0 。由拉格朗日乘数法可构造辅助函数
2 2 2 ( ( ) ( ) ( ) λ( ) ) Fx , y , z= x - x + y - y+ z - z +A x + By + Cz + D。 000
求其 x 、y 、z 的偏导数 , 并使之为零 , 得方程组
) λ( F= 2 x - x + A= 0 , x 0
( ) λF= 2 y - y+ B= 0 , y 0
( ) λF= 2 z - z + C= 0 , z 0
A x + By + Cz + D = 0 。
Ax+ By+ Cz+ D 0 0 0 A λx = x- , x = x- A ,0 0 2 22 A+ B + C 2 B Ax+ By+ Cz+ D 0 0 0 ( )λA x + B y+ Cz + D 2 y = y- , 0 0 0 0 解方程组 , 得 , 由此可知驻点 y = y- B ,0 2 2 2 λ2 2 2= 2 A+ B+ C A + B + C
C Ax+ By+ Cz+ D 0 0 0 λz = z - ; 0 - C 。 z = z 02 2 22 A+ B+ C 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 这是唯一可能的极值点 ,即最小值点 。将其代入 d= x - x + y - y+ z - z 整理 , 得 000
2 ) ( A x + B y + Cz + D 0 0 0 2 d= 2 2 2。A + B + C
( ) 所以 , 点 Px , y, z 到平面 A x + By + Cz + D = 0 的距离公式为 0 0 0
| A x + B y + Cz + D | 0 0 0 d = 。 2 2 2 + + A B C
2003 年北 京 印 刷 学 院 学 报 56
3 空间两条异面直线间的距离公式
y - y z - z x - x 112 x - x 1 如果空间两条异面直线 L 、L 的标准方程分别为 L : 1 2 1 , L : 2 l 1= = = lm n2 11 y - y 2 z - z 2 与 L 间的距离公式为 2, 则 L 1 = n2m 2
x - x y- yz - z 1 2 1 2 1 2
lm n 1 1 1
lm n 2 2 2d = 。 222m nnl l m 1 1 1 1 1 1 + + l m 2 2m n nl 2 22 2
证明 将两直线分别写成参数方程形式 :
x = x + l t , x = x + l s , 1 1 2 2 y = y+ m s , y = y+ m t , 2 2 1 1 L : L : 2 1
x = z + nt ; 1 1 x = z + ns 。 2 2
其中 t , s 为参数 。L 与 L 与上任意两点距离的平方为 1 2
2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Ft , s= d= x + lt - x - ls+ y+ m t - y- m s+ z + nt - z - ns。 由于空间两条异面直1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
( ) 线间的距离就是两直线上点之间距离的最小值 ,可以借助求函数 Ft , s的最小
( ) 值来计算 。对 Ft , s求偏导 , 得
) ) ) ( ( ( F= 2 x + l t - x - l s?l + 2 y+ m t - y- m s?m + 2 z + nt - z - ns?n, t 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1
( ) ( ) ( ) F= - 2 x + lt - x - l s?l - 2 y+ m t - y- m s?m - 2 z + nt - z - ns?n。 s 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2
F= 0 , t 令 整理后得 F= 0 , s 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l+ m + nt - ll+ m m + nns = x - x l+ y- ym + z - z n, 1111 2 1 2 1 22 11 2 11 2 11
2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l l + m m + nnt - l + m + ns = x - x l + y- ym + z - z n。 1 2 1 2 1 22222 12 2 12 2 12
2 2 2 ( )l + m + n- ll + m m + nn 1111 2 1 2 1 2当 ?0 时 , 解此方程组得驻点坐标为 2 2 2( )ll+ m m + nn- l+ m + n 1 2 1 2 1 2 222
( ) ( ) ( ) x - x l+ y- ym + z - z n- ) ( 2 11 2 11 2 11l+ m m + nn l1 2 1 2 1 2
2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) - l + m + n x - x l + y- ym + z - z n222 2 12 2 12 2 123 t = 2 2 2 ( )l+ m + n- ll+ m m + nn 1111 2 1 2 1 2
2 2 2( )l l + m m + nn- l + m + n 1 2 1 2 1 2 222
2 2) ( ) ( ) ( ) ( x l + y- ym + z - z n] + - l + + n[ x - 11 2 11 2 11 2 112 m 1
( ) ( ) ( ) ( ) ll+ m m + nnx - x l+ y- ym + z - z n 1 2 1 2 1 22 12 2 12 2 12= , 2 2 2 22 2 2( ) ( ) ( )ll + m m + nn- l + m + nl + m + n 1 2 1 2 1 2111222
2 2 2 ( ) ( ) ( ) l + m + nx - x l + y- ym + z - z n 1112 11 2 11 2 11
( ) ( ) ( ) l l + m m + n n x - x l + y - y m + z - z n 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 s = 2 2 2 ( )l + m + n- l l + m m + nn 1111 2 1 2 1 2
2 2 2( )l l + m m + nn- l + m + n 1 2 1 2 1 2 222
第 4 期 张二艳 : 用导数方法证明空间点到直线 、点到平面及异面直线间的距离公式 57
) ( ) ) ) ( ( ( - l l + m m + nnx - x l + y- ym + z - z n+ 1 2 1 2 1 22 11 2 11 2 11
2 2( ) ( l+ + n[ x - 2 112 ) ( ) ( ) x l+ y- ym + z - z n] 12 2 12 2 12 m 1= 。 2 2 2 22 2 2( ) ( ) ( )l l + m m + nn- l + m + nl + m + n 1 2 1 2 1 2111222
3 3 ( ) ( ) 根据题意可知 , L 与 L 上任意两点的距离一定存在最小值 , 而 t , s 是 F t , s的唯一驻点 , 则 1 2
3 3 ( ) ( ) t , s 为 Ft , s的最小值点 。所以 , L 与 L 之间的距离为 1 2
3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 ) ) ( ) ( ) ( ( Ft , s = d= x + lt - x - ls + y+ m t - y- m s + z + nt - z - ns 。 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
αα由于 L 的方向向量为 = { l, m , n} , L 的方向向量为 = { l, m , n} , 它们的公垂线 L 的方 1 1 1 1 12 2 2 2 2 向向量为
3 3 3 3 3 3 α = { x + lt - x - ls , y+ m t - y- m s , z + nt - z - ns } 。 因1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
αααα为 L ?L , L ?L , 所以 ?= 0 , ?= 0 ,即 1 2 1 2
3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) x + l t - x - l s l + y+ m t - y- m s m + z + nt - z - ns n= 0 , 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1
3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) x + l t - x - l s l + y+ m t - y- m s m + z + nt - z - ns n= 0 。 整理1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 以上二式 ,得 2
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( [ x m + y n + z l ] - x n - n m - y l - n l - z m - l m 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 3 3 d= F( t , s ) = 。2 2 2 22 2 2( ) ( )( ) - l + m + nl + m + n l l + m m + nn1112221 2 1 2 1 2
所以 ,
x - x y- yz - z 1 2 1 2 1 2
l m n 1 1 1
lm n 2 2 2d = ,
22 22 2 ( ) ( )( ) l+ + nl+ + n - l l+ m m + nn 2 2 11221 2 1 2 1 2m m 12
则 L 与 L 间的距离公式为 1 2
x - x y- y z - z 1 21 21 2
l m n 111
l m n 2 2 2 d = 。
2 2 2 n l m n1l1m 1111 + + m nl m 2222nl 22
() 用微积分的导数方法还可以解决许多类似的几何问题 ,如圆 椭圆内接三角形的最小面积 ,几何体到 平面的最近 、最远距离等等 ,有很大的探索空间 。
参考文献 :
[ 1 ]同济大学数学教研室. 高等数学[ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,1996 .
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