这妞是个好菇凉
范文一：冲激函数的复合尺度变换
() 文章编号 :1006 - 7043 200004 - 0060 - 03
冲激函数的复合尺度变换
栾晓明 ,杨忠根
()哈尔滨工程大学 电子工程系 ,黑龙江 哈尔滨 150001
( ) k( ) φ( ) δδ 摘要 :介绍并推导了at 与[t ] 的这两种冲激函数复合尺度变换的表达式 ,给出了限制条件更
? 弱的一般形式 ,指出了在几本参考书中相关部分的不完善或有误之处.
关 键 词 :信号与系统 ;冲激函数 ;卷积积分 ;复合尺度变换
中图分类号 : TN911 . 6 文献标识码 :A
Compound Time Scal ing of the Impul se Function
L UAN Xiao- ming , YAN G Zho ng- gen
()Dep t . of Elect ro nic Eng. , Harbin Engineering U niversity , Harbin 150001 ,China Abstract :Based o n t he fo undatio n p rovided by defining t he unit imp ulse f unctio n t hro ugh co nvolutio n ,t he ( ) kδ( δφ( ) ) co mpo und time scaling of t he imp ulse f unctio n was discussed. So me fo r mulas fo r at and [t ] were int ro duced and p roved. The mistakes in so me reference boo ks were pointed o ut . Key words :signals and systems ;imp ulse f unctio n ; co nvolutio n integral ; co mpo und time scaling
δ( ) 冲激函数 t 是对自然界中存在时间极为
1 冲激函数的定义( ) ( ) 短暂 ?0或存在区域极小 可抽象为一点, 值很 ( ) ( ) 大??, 作用 积分有限的一类物理现象的理 函数通常有 3 种定义方式.
( ) δ想化数学抽象. 借助于冲激函数t 及其各阶导 ) 1用确定函数脉冲序列的极限来定义( ) kδ( ) 函数t , 对函数在间断点处的导数及高阶导 τ τ 1 δ( ) ( t = lim [ u t +( ) ( )) - u t - ] 1 δ数都可以进行描述分析. 由于 函数的引入允许τ?0 τ 2 2 对发生跳变的区域求导 , 使对物理现象和过程的 数学上 , 函数的定义是 , 对自变量在其定义域描述与分析得到了强有力的工具. 掌握它的应用 内的任意一个值 , 函数按照一定的规则总有确定 δ 是现代科技工作者必备的基础. 函数在信号与
) δ( ) 的值和它对应. 在定义 1中 ,t 在 t = 0 点没有 线性系统分析中起着举足轻重的作用 , 它是对信
δ( ) 号与线性系统进行分析不可缺少的工具. 信号与 确定的值 ,t 是用确定函数序列的极限来定义系统分析中一个重要概念是信号的变换 , 作为最 的 , 序列的选取不唯一 , 可有其它选择. 这里 , 不能
δ重要信号模型之一的 函数 , 其变换的讨论是重 δ把函数像普通确定函数那样来理解. ( k) δ( ) δφ( ) 要的内容 ,at 与 [t ] 是其中两类变换 形) () 2狄拉克 Dirac定义式. 这两种形式在现有信号与系统教材中未介 δ( )t = 0 , t ?0绍 , 而在几本参考文献中相关内容的讨论是不够 ( k) ?( )2 () ( ) δ完善或是有误的 见文献[1,4 ]. 本文就at δ( ) t d t = 1 ?- ?φ( ) δ与[t ] 这 两 类 函 数介绍正确的变换关系
式. 这种定义形式简单 ,但理解上有困难. 它实际是
将不定式 0??定义为 1 ,与以往的概念不同. 按这种
δ( ) ( ) δ( ) δ方式定义的t不是唯一的 , 如t+ A′t, A
第 4 期栾晓明 ,等 :冲激函数的复合尺度变换 ?61 ?
() ( ) ( ) 为任意常数 ,也满足式2.8可看作式 9当 k = 1 时的特例.式
) ) ( ) 定义 1与定义 2导致一种模糊 、不协调 、似 下面先证明式 8的成立.
δ( ) ( ) τ δ证明 1 ′at x | , 设 a′是而非的结果. 解决此矛盾的做法是 , 放弃用通常 应理解为 x = at
ττδ= x , 则= x / a , d= d x / a对确定性函数指定数值的作法来定义 函数 , 而
( ) δ( ) ) δ( ) ( ) ( 由关系式知 f t ′t = f 0′t - f ′0代之以考虑其作用效果或特性来定义. 这是超出
δ( ) t 知( ) ( ) 确定性 规则函数概念的广义 分配函数概念的 ? 做法.δ( ) ( ) ( τ) δ( τ) τ ′at 3 f t = f t - ′ad= ? - ? ) 3以卷积积分来定义函数 ? ?? 1 x δ( )f′ x t - d x = (τ) δ(τ) ( τ) τ ?f f t - d= ?a | a | - ? ??- ?- ? ? 1 1 ( )( )δ( τ) τ 3 t - d= f t ( δ( ) )( δ( )) d x = f t ′x - f ′t ? - x ?a | a | - ? 即 ?? 1 1 ( )δ( ) ( ) f t ′x d x + ′t ? f δ( ) ( )( ) ( ) t 3 f t = f t 4 a |?a |?| a | - ?- ?δ 函数与任何函数的卷积将恢复该函数. 包含在 1 δ( ( ) )x d x = ?f ′t 积分式内的单位冲激函数 , 其作用结果是将作用 a | a | 对象在发生冲激时间点处的值筛选出来. 该定义
虽超出了普通确定性函数的概念 , 但它能给函数 1 一个唯一 、确定的意义. 以下的推导主要依据此定 δ( ) ( ) ( ) ′at 3 f t = f ′t =a | a | 义. 1 δ( ) ( )′t 3 f t a | a |
故δ 2 函数的复合尺度变换 1 δ( δ( ) ) ′at = ′t a ?0 , ) δ( ) a | a | 1at 由于
F T ?? τd ( ωδ) 证明 2 利用傅里叶变换关系′t ?j和 δ( ) ( ) δ(τ) (τ)at f t d t = f / a = ??| a | - ?- ? 尺度特性有 ? δ( )F T( )t f 0 ω 1 1 ( ) f t d t = δ( ) ′at ? ?j =? ?| a || a | - ?| a | a a | a |
F T( ( ) δ) δ 即at 和t / | a| 的作用效果是相同的 , 故1 ω δ( )j? ′t a | a | 1 ( )δ( ) δ( 5 ) at = t , a ?0| a | 故( ) k ) δ( ) ( )δ 2′at 和at 1 δ( δ( )) = ′at ′t a ?0 , a | a | ( ) 文献[ 1 ]中式 1,11为
( ) 证明 3 由复合函数求导法则和式 5有1 ( )δ( ) δ( )6 ′at = ′t 2 δ( ) δ( ) a[at ]′= ′x | ?ax = at
( ) 式6应加以条件限制 a > 0 . 因为当 a =- 1 时 , 1 1 δ( ) δ( )δ( )[at ]′= ′= t ′t | a | | a | ( ) 式 6不成立.
故 ( ) 文献[ 2 ]中式 1,12为 1 1 ( k) ( k) δ( ) δ( ) ′at = ′t , a ?0( ) δ( δ( ) ) ?0 , a > 0 7at = t , k k +1 a | a | a( ) ( ) 式 9的简洁证明可仿照式 8证明 3 的做法.( ) ( ) 可将式 6, 7推广为限制条件更弱的 , a 可正可( )( )k k δ ( ) δ ( ) at 应理解为x | 由于 证明x = at ( ) ( )负的一般关系式 8, 9( k) ( k - 1) δ( ) δ( ) [at ] = { at ]′} = 1 δ( ) δ( ) ′t ?0 ( )a ′at = , 8 k - 1k k( ) ( δ) ( ) δ [ a ?′x | ] = a?x | a | a | x = at x = at
1 ( k) ( k) 而δ( δ( ) )at = t k ( )k a | a?| 1 1 ( )( )k k δ( )δδ( ) t ( )= [at ] = t ( )9 a |a ?0 , k = 0 , 1 , 2 , a |||
哈尔滨工程大 学 学 报 21 卷第 ?62 ?
N 故δ( )t - t k 的作用效果 6 φ( )′t k1 k = 1 ( k) ( k) δ( )δ( )t at = k ?? a?| a |- 1 )δ φ( ) φ( ) ) ( ( t - x [ x ]d x = f t - s?f ?? - ?- ? ?0 , k= 0 , 1 , 2 a ? d s ) δφ( - 1 ) 3[t ] φ( ) ) δ( ) ( δ( )= f t - 0s?s - 1 ? φφ ( ) - ?| [′s] | 文献[ 1 ] P11 ,2 ] P17 , 3 ] P13 中有关系式 N 2 ( )f t - t k d s δ( )( )) δ( ) δ( t - 2 10 4= t + 2+ t - = - 1 6φ( )′t φφ ( ) | [′0] | k k = 1 文献[ 3 ] P10 中有关系式? 而N δ ( π) δ( )( )11 ?sin t = t - n 6 δ( ) x t - k n = - ?( d x )= f t - x 6 φ( ) ?| ′t | - ?k k = 1 文献[ 4 ] P8 中有关系式N N ?2 ( ) f t - x ( ) f t - x δ( ) δ( ) δ( )t - 4 t + 3= t - 1+ t - 3 δ) ( t d x = x - k 6 6? φ( )φ( )′t ′t - ?k k = 1 k = 1 k ( ) 12N δ( () () () δφ( ) )t -式10, 11, 12是属于[t]类型的函数变换 , 文t k φ( δ) 即[t ]和 6 作用效果一样 , 故 k = 1 ( ) φ( ) φδφ( ) 献[1,4 ]的做法是 :若t= 0 ,则把[t]等 | ′t | k k N N δ( )t - t k δφ( ) = [t ] 6( ) δ效变换成位于 t处的若干冲激函数 6 t - t . 从φ( ) | ′t | k k k k = 1 k = 1
δ( ) 函数的意义来看 , 这种转换是合理的 , 但式 10,
3 结论() () ( ) δ 11, 12把t - t前的加权系数都取为 1 是不对kN δφ( ) δ( ) ( ) φ 的.[t] = 6 at - t, 其中 a应与 t的δ 函数的复合尺度变换关系式为k k k k = 1 1 ( k) ( k) () () () 函数形式有关. 式10, 11, 12应改为δ( )δ( )= at t k a?| a | 1 1 2 δ( δ( ) δ( )t - 4= t + 2)( )+ t -2 13 a ?0 , k = 0 , 1 , 2 ,4 4
? 1 1 δ( ) δ( ) ′at = ′t a ?0 , δ( πδ( )) ( )14 sint = t - n a | a | 6 π n = - ?N δ( )t - t k 1 1 2 δφ( ) [t ] = δ( ) δ( ))t - 4 t + 3= t -1 δ( 3 + t -6)φ( | ′t | k k = 1 2 2
k = 1 , 2 , ( ), N 15
φ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ 式中 : t 为t = 0 的单根.式13, 14, 15 中 t - t 的加权系数不为k k
( ) φ 1 , 随 t 而定. 一般性的关系式是
参考文献 : ( ) φ, N ; 则设 t = 0 的单根为 t , k = 1 , 2 , k N δ( ) t - t 1 乐正友. 信号与系统例题分析及习题 M .北京 :δφ( ) , k = 1 , 2 , , N [t ] = 6φ( )′t k k = 1 清华大学出版社 , 1985 .
( )16 2 张宝俊 ,李祯祥 ,沈庭艺. 信号与系统学习与解题指
证明 函数的卷积定义为导M .北京 : 北京理工大学出版社 , 1997 .
?3 范世贵 ,段哲民. 信号与系统理论提要与例题分析( ) δ( ) ( δ( )) f t 3 t = f t -= x x d x ? - ? M . 西安 : 西北工业大学出版社 , 1994 .
) 4 ( ) ( 胡光锐 ,徐昌庆 ,谭政华 ,等. 信号与系统解题指南f t = f t - x | x = 0
M . 北京 : 科学出版社 , 1999 .
?5 O PP EN HEIM A V , W ILL S KY A S , NAWAB S H ) )δ( ( ) ( ) ( d xδ- t x x f t 3 t - t = f t - = 0 0 著 ;刘树棠译. 信号与系统 M .西安 : 西安交通? - ? 大学出版社 ,1998 . ) ) ( ( f t - t = f t - x | x = t0 0 [ 责任编辑 :刘玉明 ]- 1 - 1 ( ) φ( ) φ() φ 设x = s , 则 x = s, t= 0, k = 1 , 2 ,k
ds φ( ) φ( ) δ , N ; ds = ′x d x , d x = , 比较[t ]和φ( )′x
范文二：单位冲激函数的妙用(图
单位冲激函数的妙用（图）
上一回说到，单位冲激函数是连续函数与离散函数之间相互转换的桥梁，
因此在工程技术尤其是
IT 领域的信号分析中有十分重要的妙用。
比如有许多不满足绝对可积条件的信号，
应用单位冲激函数就可以求出其傅立叶变换，“化验”出信号包含的频率成分。
我们已经知道单位冲激信号的频谱密度函数是常数1，则根据傅里叶变换的对称性，有常数（直流信号）f （t ）＝1的傅里叶变换（频谱密度函数）为
（1）
可见单位冲激函数δ（t ）与常数1构成一个傅里叶变换对：
（2）
推而广之，再根据傅里叶变换的频移性质，可知指数函数的频谱为频域的冲激函数
（3）
再根据欧拉公式，可导出正弦函数的傅里叶变换（频谱）为离散频谱：
（4）
（5）
一般地，对于周期函数（傅立叶级数展开式的指数形式）
（
6）
利用冲激函数的特性也可求出其傅里叶变换为
（7）
综上所述，周期函数的傅里叶变换（频谱密度函数），是位于周期函数各次谐波频率nω1处的频域冲激函数串，频率间隔是周期函数的基频ω1，冲激强度等于相应的傅立叶系数C n 的2π倍。
可见用频域的冲激函数串来表示时域周期信号的离散频谱是非常方便的。通过引入冲激函数的概念，把傅里叶变换的适用范围拓展到周期函数，则周期函数的离散频谱都可以用冲激函数串方便地表示。
例：有脉幅为E 、脉宽为τ、周期为T 的周期矩形脉冲信号f T （t ），如下图所示：
图1 周期矩形脉冲的时域波形
求其离散频谱。我们知道通过傅立叶级数的方法，求出其傅立叶系数为
（8
）
其中ω1＝2π/T为基频。由式（7）可得周期矩形脉冲的频谱密度函数为
（9）
其离散频谱图如下图所示：
图2 周期矩形脉冲信号的频谱的冲激函数表示
单位冲激函数还有更大的妙用，且听下回分解。
（作者：周法哲2009-7-16于广东）
范文三：单位冲激函数及其复合函数积分的探讨
第33卷 第2期2011年4月
电气电子教学学报
JO U RN A L O F EEE
Vol. 33 No. 2Apr. 2011
单位冲激函数及其复合函数积分的探讨
易志雄, 陈燚涛, 欧贵兵
(武汉纺织大学, 湖北武汉430073)
摘 要:单位冲激函数是 信号与系统 课程中十分重要的一个基本数学模型, 其物理含义和广义函数的性质难以形象理解, 从而使得单位冲激函数及其复合函数的积分计算容易出现理解上的偏差。本文采用常规函数的计算方法, 根据狄拉克对单位冲激函数的数学定义以及广义函数的筛选性质, 对单位冲激函数及其复合函数的积分问题进行了归纳和探讨, 分别对内层函数为常数、一次函数、二次函数、三次及以上函数的情形进行了分析和推导, 试图得出一般性的结论, 最后运用已知正确结果对结论的正确性进行了验证。关键词:单位冲激函数; 复合函数; 广义函数; 积分中图分类号:T N911
文献标识码:A 文章编号:1008-0686(2011) 02-0116-03
Discussion on the Integral of Unit Impulse Function and Its Compound Function
YI Zh-i xiong, C HEN Y -i tao, OU Gu-i bing
(Wu han T ex tile Univ er sity , W uhan 430073, China)
Abstract:In the course o f Signal and System , unit im pulse function is an im por tant and basic m athematic model. Because o f its special physics and generalized function m eaning, it is difficult to understand the integral of unit impulse function. Based on Dirac' s definition of unit impulsive function and the select qual-i ty of g eneralized function, deeper discussion on the integral functio n is made. Three different situatio ns about the inner -layer function are analy zed in this paper:the inner -layer function is co nstant, linear func -tion, quadratic function and three o r abov e functio n. A series of general conclusions ar e drawn from the abov e analysis. Finally, som e know n corr ect results ar e used to prove the co nclusions in this paper. Keywords:unit im pulse functio n; co mpound function; general functio n; integrate
0 引言
单位冲激信号 (t) 是信号与系统学科中描述一类特定物理现象的数学模型, 在信号与系统分析中具有重要意义[1], 因为它本身的特殊物理含义和广义函数的数学性质, 有时能使相关计算大大简化。但有时也使得相关计算无法按常规方法进行, 特别是关于单位冲激信号复合函数的积分
的计算, 容易出现理解上的偏差, 导致计算错误, 而且目前对这方面的计算还存在诸多的分歧。
由于冲激信号属于广义函数, 对于单位冲激信号复合函数的积分运算, 在一般的教材和相关辅导资料中都很少涉及和讨论, 甚至为了减少理解上的误区而回避了此类运算。有些参考书上甚至因为对 (t) 定义的相关理解不当而出现不同程度的误解, 最典型的情况就是只考虑了冲激出现的时刻, 而没有考虑相应冲激在强度方面的变化[2]。例如, 在文献
-
[f (t) ]d t
收稿日期:2010-08-25; 修回日期:2011-02-15 基金项目:中国纺织工业协会科研项目, 项目编号(2008052) 作者简介:易志雄(1988-) , 男, 本科学生, 研究方向为控制理论与工程, E -mail:yzx8712@163. com
陈燚涛(1972-) , 男, 博士, 副教授, 主要从事测控信号分析处理的研究, E -m ail:to_cyt@163. com ) , 男, 硕士, , , com
第2期易志雄, 陈燚涛等:单位冲激函数及其复合函数积分的探讨
117
[3]例1-3(5) 中认为
(t -4) d t = [ (t +2) + (t-2) ]d t =
2
-
-
2
k =4ac -b /4a , 以下分别予以讨论。1) 对于a >0的情况
(1) 当 =b -4ac <0时,>
2
2
在文献[4]例1-3(b ) 中认为
(t -4t+3) d t = [ (t-1) + (t-3) ]d t =2
2
-
-
[f (t) ]d t = 0d t =
-
-
2
--
2a
在文献[5]中也有类似的问题。
本文从单位冲激信号的广义定义出发, 试图总结出一套相对完善的解决方法, 从而消除目前存在的这种状况。以下将关于
(2) 当 =b -4ac =0时, 方程f (t) =0有二
重根, 使用类似文献[6]的做法, 则有
[f (t) ]d t 的计算做了
-
分类归纳, 做出一般性的分析与讨论。
1 关于 [f (t) ]d t 的计算
1. 1 f (t) =c 为常数
-
[f (t) ]d t = [f (t) ]d t + [f (t) ]d t =
(x) d x + (x )
f (t) f (t) d x =-
(x ) g(x) d x + (x) g(x ) d x =0
-
-b
k
k
k k
(3) 当 =b 2-4ac >0时, 有
-2a
[f (t) ]d t = 0d t =0
(2) 当c =0时,
[f (t) ]d t = (0) d t =1
(1) 当c 0时,
-
-
-
-
1. 2 f (t) =b t +c (b 0) 为一次函数
应用 (t) 尺度变换性质, 有
[f (t) ]d t = [f (t) ]d t = (x) d x + (x )
f (t) f (t) d x =-
(x ) g(x) d x + (x) g(x ) d x
-
-
[f (t) ]d t +
-k
- k
k k
[f (t) ]d t = (b t +c ) d t =
t +b t +d t =
b |b | t +d t =b |b ||b |
-
-
-
-
-
这时不能简单认为上述前后两式正负相消为0,
因为前后两个g(x ) =1/f (t) =0时t 的取值不一样。对应于不同的情形, 前者对应于t 1=(-b -d t =b
(1)
者对应于t 2=(-b +
)/2a , 后
)/2a 。所以, 由前面推导出的解
题依据式(2) 有如下结果:
-
1. 3 f (t) =a t +b t +c (a 0) 为二次函数
根据广义函数的相关性质, 有
f (t) (t) =f (0) (t) 则对于任意m <0,>
2
(x ) g(x ) d x + (x ) g(x ) d x =
k
k
x =0
t=t
1
x =0x =0
-g (x ) |t=+g(x ) |t==t 1t 2
-1/f (t) |+1/f (t) |
x =0
t=t 1
x =0t=t
2
=
x =0t=t 2
-1/(2a t +b ) |+1/(2a t +b ) |=
n
f (t) (t)d t =m
-
f (0) (t) d t =f (0) m
(t) d t =m
(2)
1/
+1/ =2/
2) 对于a <>
(1) 当 =b -4ac <0时,>
2
f (0)
(t) d t =f (0)
同理可得:对于任意n >0, 有
n -
[f (t) ]d t = 0d t =
-
-
2
--
f (t) (t) d t = f (0) (t) d t =f (0)
(t) d t =f (0)
-
-
f (0)
(t) d t =
-
n
(2) 当 =b -4ac =0时, 有
(3)
上述两式就是后面解题的基本依据。现在, 我们继续讨论
2
-
[f (t) ]d t 的计算。对于
[f (t) ]d t = [f (t) ]d t+ [f (t) ]d t =
(x ) d x + (x ) d x = f (t) f (t)
(x ) g(x ) d x - (x ) g (x ) d x =0
-
-2a
k - k
- k
k
- -
f (t) =a t +b t +c , 有f (t) =2a t+b 。令f (t) =a t 2+b t +c =x ,
f t ) ,
(3) 当 =b 2-4ac >0时, 有
-b 2a
[f (t) ]d t = [f (t) ]-
-
118
电气电子教学学报
- k
第33卷
(x ) g (x ) d x - (x ) g(x ) d x =
- k
k
(x ) d x +
f (t)
(x )
d x =
f (t)
g(x ) |
x =0t=t 1
x =0t=t 2
2 验证与应用
-在参考文献[2]中, 有两例关于
=
k
- -
g(x ) |
x =0t=t 1
=1/f (t) |
x =0t=t 2
x =0t=t 2
-1/f (t) |
x =0t=t 1
[f (t) ]d t 的
-
正确计算结果, 这里用于验证前面所得结论。
(1)
1/(2a t +b ) |1/
-1/(2a t +b ) |=
+1/ =2/
综上可得:对于f (t) =a t 2+b t+c (a 0) 为二
- 2
[t 2-4]d t =1/2
对应于a =1, b =0, c =-4 =b -4ac =16>0代入公式(4) , 得2/
=2/
b -4ac =1/2,
验证正确。
(2)
次函数, 有
[f (t) ]d t =
- -
[f (t) ]d t =0,
2/
=b 2-4ac 0
(4)
=b -4ac >0
2
- 2
[t 2-4t +3]d t =1
1. 4 f (t) 为三次或三次以上的函数
f (t) 为三次或三次以上的函数的情况并不常见, t n 的系数与f (t) =0的根之间没有明确的关系, 不能推导出象前面那样的公式。笔者受参考文献[2]的启发, 采用如下的解法。
设方程f (t) =0有n 个单重根t =t i (i =1, 2, n) , 则有
[f (t) ]=
i=1
对应于a =1, b =-4, c =3 =b -4ac =4>0代入公式(4) , 得2/证正确。
=2/
b -4ac =1, 验
3 结语
解决 信号与系统 中诸多问题时, 往往会涉及到很多数学问题。但工程问题由于受到实际环境因素的影响, 或是 (t) 和 (t) 这样的广义函数的影
响, 解决问题时, 从数学角度看往往不具有完备性, 存在各种理解上的误区, 甚至会存在争议。在分析问题时, 应仔细考虑。本文将关于 - [f (t) ]d t 的计算归纳到一起, 做出一般性的分析与讨论, 试图得出相应的结论, 期望对相关计算和研究有所帮助。参考文献:
[1] 陈生潭等编著. 信号与系统(第二版) [M ]. 西安:西安电子科技
大学出版社, 2001:15-23
[2] 倪育德, 庞勇. 以分配函数的概念认识冲激信号及复合函数
[J]. 中国民航学院学报, 2006, 24(1) :62-64
[3] 郑君里, 应启珩, 杨为理. 信号与系统(第二版) [M ]. 北京:高
等教育出版社, 2000:6-8
[4] 胡光锐, 徐昌庆. 信号与系统解题指南[M ]. 北京:科学出版社,
n
(t -t i )
|f (t i ) |
-
i=1
i=1
(t -t ) d t |f (t ) |
-
[f (t) ]d t =
n
(t-t i ) d t =
|f (t i ) |
n
-
i
i
若方程f (t) =0有重根(二重及以上) , 对于偶数重根点, 由前面二次重根的推导可知, 其积分为零; 对于奇数重根点, 可看作是偶重根和单根的线性组合, 根据上面的推导, 其积分为
(t -t i ) d t - |f (t i ) |
综上所述, 设方程f (t) =0有q 个奇重根(含单
根) t =t j (j =1, 2, , q) , p 个偶重根t =t i (i =1, 2, , p ) , 则有
j =1
(t -t ) d t |f (t ) |
-
[f (t) ]d t =
-
j=1
q
(t-t j ) d t =
|f (t j ) |
(5)
2000. :7-9
[5] 范世贵. 信号与系统*导教*导学*导考(第二版) [M ]. 西
安:西北工业大学出版社, 2004:5-15
[6] 刁元胜. 积分变换[M ]. 广州:华南理工大学出版社. 2003. 2:
29-30
q
-
j
j
范文四：单位冲激函数的妙用(图
单位激函的妙用;单,冲数
上一回到,位冲激函数是函数与离散函数之相说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说
互的梁,因此在工程技尤其是说说说说说说说说说说说说说说说说IT说域的信号分析中有十分重要的妙用。比如有多不足可条件的信号,用位冲激函数就可以求出其傅立叶,说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说“说化
说”说说说说说出信号包含的率成分。
我已知道位冲激信号的密度函数是常数说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说1说说说说说说说说说说,根据傅里叶的称性,有常数，直流信号,f，t,,1说说说说说说说说说说说的傅里叶，密度函数,
，1,可位冲激函数说说说说说说说δ，t,与常数1说说说说构成一个傅里叶:
，2,推而广之,再根据傅里叶的移性,可知指数函数的域的冲激函数说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说
，3,再根据欧拉公式,可出正弦函数的傅里叶，,离散:说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说
，4,
，5,一般地,于周期函数，傅立叶数展式的指数形式,说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说
，6,利用冲激函数的特性也可求出其傅里叶说说说
，7,
说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说上所述,周期函数的傅里叶，密度函数,,是位于周期函数各次波率nω1说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说的域冲激函数串,率隔是周期函数的基ω1说说说说说说说,冲激度等于相的傅立叶系数强
Cn 的2π
。
可用域的冲激函数串来表示域周期信号的离散说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说
说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说是非常方便的。通引入冲激函数的概念,把傅里叶的适
用范拓展到周期函数,周期函数的离散都可以用冲激函数串方便地表示。说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说
例:有脉幅说E说说、脉τ、周期说T的周期矩形脉冲信号fT，t说说说说,,如下所示:
说1 说说说说周期矩形脉冲的域波形
求其离散。我知道通傅立叶数的方法,求出其傅立叶系数说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说说
，8,
其中ω1,2π/T说说说说说说基。由式，7说说说说说说说,可得周期矩形脉冲的密度函数
，9,
其离散如下所示:说说说说说说说说说
说2 说说说说说说说说说周期矩形脉冲信号的的冲激函数表示
说说说说说说说说说说说说说说说说位冲激函数有更大的妙用,且听下回分解。
，作者:周法哲2009-7-16说说于广,
范文五：单位冲激函数及其复合函数积分的探讨
第３３卷第２期２０１１年４月
电气电子教学学报ＪＣ）ＵＲＮＡＩ。ＯＦＥＥＥ
Ｖｏ【－３３Ｎｏ．２
Ａｐｒ．２０１１
单位冲激函数及其复合函数积分的探讨
易志雄，陈妓涛，欧贵兵
（武汉纺织大学，湖北武汉４３００７３）
摘
要：单位冲激甬数是。信号与系统”课程中十分重要的一个基本数学模型，其物理含义和广义甬散的性质难以形象理解，从而使得单位冲激
函数及其复合函数的积分计算容易出现理解上的偏差。本文采用常规函数的计算方法．根据狄拉克对单位冲激函数的数学定义以及广义函数的筛选性质，对单位冲激函数及其复合甬教的积分问题进行了归纳和探讨。分别对内层函敷为常数．一次函数、二次函数、三次及以上函数的情形进行了分析和推导，试图得出一般性的结论，最后运用已知正确结果对结论的正确性进行了验证．关键词：单位冲激甬数；复合函散；广义函数ｌ积分中图分类号：ＴＮ９１１
文■标识码：Ａ
文章编号：１００８—０６８６１２０１１）０２－０１１６－０３
Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
ｏｎ
ｔｈｅＩｎｔｅｇｒａｌｏｆＵｎｉｔＩｍｐｕｌｓｅＦｕｎｃｔｉｏｎａｎｄＩｔｓＣｏｍｐｏｕｎｄＦｕｎｃｔｉｏｎ
ＹＩＺｈｉ—ｘｉｏｎｇ。ＣＨＥＮＹｉ－ｔａｏ，ＯＵＧｕｉ－ｂｉｎｇ（ＷｕｈａｎＴｅｘｔｉｌｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ４３００７３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｅ
ｃｏｕｒｓｅ
ｏｆＳｉｇｎａｌａｎｄＳｙｓｔｅｍ，ｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓ
ａｎ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔａｎｄｂａｓｉｃｍａｔｈｅｍａｔｉｃ
ｔｏ
ｍｏｄｅｌ．Ｂｅｃａｕｓｅｏｆｉｔｓｓｐｅｃｉａｌｐｈｙｓｉｃｓａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅａｎｉｎｇ，ｉｔｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔ
ｉｎｔｅｇｒａｌｏｆｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄ
ｔｙ
ｏｎ
ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｔｈｅ
Ｄｉｒａｃ＇ｓｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｓｅｌｅｃｔｑｕａｌｉ—
ｏｎ
ｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｄｅｅｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
ａｒｅ
ｔｈｅ
ｉｎｔｅｇｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｍａｄｅ．Ｔｈｒｅｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ
ａｂｏｕｔｔｈｅｉｎｎｅｒ－ｌａｙｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｎａｌｙｚｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ：ｔｈｅｉｎｎｅｒ－ｌａｙｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｔａｎｔ，ｌｉｎｅａｒｆＵｒｉｃ—
ｏｒ
ｔｉｏｎ。ｑｕａｄｒａｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｒｅｅａｂｏｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａｓｅｒｉｅｓｏｆｇｅｎｅｒａｌｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ
ａｒｅ
ａｒｅ
ｄｒａｗｎｆｒｏｍｔｈｅ
ａｂｏｖｅａｎａｌｙｓｉｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅｋｎｏｗｎｃｏｒｒｅｃｔｒｅｓｕｌｔｓｕｓｅｄｔｏｐｒｏｖｅｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｕｎｉｔｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｐｏｕｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｔｅ
Ｏ
引言
单位冲激信号艿（ｔ）是信号与系统学科中描述
的计算，容易出现理解上的偏差，导致计算错误，而且目前对这方面的计算还存在诸多的分歧。
由于冲激信号属于广义函数，对于单位冲激信号复合函数的积分运算，在一般的教材和相关辅导资料中都很少涉及和讨论，甚至为了减少理解上的误区而回避了此类运算。有些参考书上甚至因为对艿（ｆ）定义的相关理解不当而出现不同程度的误解，最典型的情况就是只考虑了冲激出现的时刻，而没有考虑相应冲激在强度方面的变化［２］。例如，在文献
一类特定物理现象的数学模型，在信号与系统分析中具有重要意义［１］，因为它本身的特殊物理含义和广义函数的数学性质，有时能使相关计算大大简化。但有时也使得相关计算无法按常规方法进行，特别
ｔ＇ｏｏ
是关于单位冲激信号复合函数的积分Ｉ缸，（ｆ）］出
收稿日期：２０１０?０８—２５；修回日期ｔ２０１１－－０２—１５基金项目：中国纺织工业协会科研项目。项目编号（２００８０５２）
作者简介：易志雄（１９８８一）．男．本科学生．研究方向为控衬理论与工程，Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｚｘ８７１２＠１６３．ｃｏｒｎ
陈簸涛（１９７２‘），男，博士．副教授，主要从事测控信号分析处理的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｏ＿ｃｙｔ＠１６３．
欧贵兵（１９６４一），男。硬士，副教授．主要从事教学理论的应用，Ｅ－ｍａｉＬ：ｏｕｙａｎｇｇｕｉｂｉｎ８ｒ＠１６３．
万方数据
第２期易志雄，陈皴涛等：单位冲激甬数及其复合甬数积分的探讨
１１７
［３］例１．３（５）中认为
Ｉ艿（￡２—４）ｄｔ＝ｌ［艿（ｒ＋２）＋艿（￡一２）］ｄｔ一２
在文献［４］例１－３（ｂ）中认为
ＩⅨ，一４ｔ＋３）出＝ｌ
［ｂ＇（ｔ－－１）＋烈￡一３）］出＝２
在文献［５］中也有类似的问题。
本文从单位冲激信号的广义定义出发，试图总结出一套相对完善的解决方法，从而消除目前存在
的这种状况。以下将关于Ｉ
ａ［ｆ（ｔ）］ｄｔ的计算做了
分类归纳，做出一般性的分析与讨论。
１关于．『：缸，（ｔ）］ｄｔ的计算
１．１
ｆ（ｔ）－－－－－ｃ为常数
（１）当ｃ：ｇ：０时，ｆ３［ｆ（ｔ）］ｄｔ＝Ｉ
ｏ出＝０（２）当ｃ＝０时，Ｉ虻／（￡）］出＝Ｉ
８（Ｏ）ｄｔ＝１
１．２
ｆ（ｔ）＝ｂｔ＋ｃ（６≠Ｏ）为一次函数应用艿（￡）尺度变换性质，有
Ｉ虻厂（ｚ）］出＝Ｉ
８（ｂｔ＋ｃ）ｄｔ＝
ＤＭ＋詈）】出＝￡击艿（外音）ｄｔ一
击Ｄ（小ｃ）ｄｚ＝击
㈤
１．３
ｆ（ｔＪ＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ（ａ：／：ＯＪ为二次函数根据广义函数的相关性质，有
厂（￡）艿（￡）＝，（Ｏ）艿（￡）
则对于任意ｍ０，有
ｒＨｒ月
ｆｎＪ‘∞
ｌｆ（ｔ）ｃ，（ｔ）ｄｔ—Ｉ
一－ｏｏ
ｆ（Ｏ）ｃ，（ｔ）ｄｔ＝厂（ｏ）Ｉ艿（￡）出＝
Ｊ。∞
，（ｏ）Ｉ
３（ｔ）ｄｔ＝厂（ｏ）
（３）
上述两式就是后面解题的基本依据。
现在，我们继续讨论ｌ８［ｆ（ｔ）］ｄｔ的计算。对于
，（￡）＝ａｔ２＋ｂｔ＋Ｃ，有／（￡）＝２ａｔ＋ｂ。
令，（￡）＝ａｔ２＋ｂｔ＋Ｃ＝ｚ，１／厂（￡）＝１／（２ａｔ＋ｂ）＝ｇ（ｚ），
万方数据
ｋ＝４ａｃ—ｂ２／４ａ，以下分别予以讨论。１）对于ａ＞０的情况
（１）当△＝ｂ２—４ａｃ０时，有
Ｊ‘∞
ｆ。缸，∽］出：旺茈，∽］出＋ｆ■，∽］出＝
Ｊ‘∞
Ｊ‘五
胁ｚ，南如＋胁ｚ，南ｄｘ＝
一Ｉ．３（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋ｌ艿（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ
这时不能简单认为上述前后两式正负相消为０，
因为前后两个ｇ（ｚ）一１／／（￡）一０时ｔ的取值不一样。
对应于不同的情形，前者对应于ｔｌ＝（一ｂ一√五）／２ａ，后
者对应于ｚ２＝（－ｂ＋历）／２ａ。所以，由前面推导出的解
题依据式（２）有如下结果：
一ｌｄ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｚ＋Ｉ艿（ｚ）ｇ（ｚ）ｄＬｒ一
一ｇ（工）Ｉ篙＋ｇ（ｚ）Ｉ二：２－ｌ／ｆ＇（ｔ）ｌ霉＋１／ｆ（ｔ）Ｉ篇＝
一１／（２ａｔ＋ｂ）Ｉ，一ｏ＋１／（２ａｔ＋ｂ）ｌ
ｘｍＯ＝
。ｔＢｔ．
。ｔｇｈ
、｝瓜＋、ｆ厄＝２／瓜
２）对于ａ０时，有
’一
ｆ。缸，（ｔ）］出一ｆ嗉缸厂（￡）］出＋ｌ缸，（￡）］出：
。一
ｏ
ｚＩ
１１８
电气电子教学学报第３３卷
Ｊ．二池，南如＋卜ｃ工，南如＝
＿ｆ２艿（ｚ）ｇ（ｚ）如一，二艿（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ＝ｇ（ｚ）Ｉ二：一
ｇ（ｚ）Ｉ三？一１／ｆ＇（ｔ）Ｉ二：一ｌ／ｆ＇（ｔ）Ｉ二：一
１／（２ａｔ＋ｂ）Ｉ。：－－０。一１／（２ａｔ＋ｂ）Ｉ三：２
ｌｆ抠＋１７岖＝２／砸
综上可得：对于厂（ｆ）＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ（ａ≠Ｏ）为二次函数，有
卜”
ｌ缸，（ｆ）］出＝０，
△＝ｂ２—４ａｃ≤０
ｌ
ｌ
（４）
Ｉｂ＇［ｆ（ｔ）Ｊｄｔ；２／怄，△＝ｂ２—４ａｃ＞０Ｉ
１．４
ｆ｛ｔ）为三次或三次以上的函数
，（ｆ）为三次或三次以上的函数的情况并不常
见，ｔ”的系数与，（ｆ）＝０的根之间没有明确的关系，
不能推导出象前面那样的公式。笔者受参考文献［２］
的启发，采用如下的解法。
设方程，（￡）＝０有ｎ个单重根￡＝ｔｉ（ｉ＝１，２，ｎ），则有
虻弛）］５蚤可打文卜岛）
仁彤∽Ⅻ＝￡客耐衍讹１地＝
骞￡鬲备讹１础
若方程，（￡）＝０有重根（二重及以上），对于偶数重根点，由前面二次重根的推导可知，其积分为零；对于奇数重根点，可看作是偶重根和单根的线性组合，根据上面的推导，其积分为
Ｊ．。南默卜厶）ｄ。
综上所述，设方程厂（￡）＝０有ｑ个奇重根（含单根）ｔ＝岛（歹一１，２，…，ｑ），声个偶重根ｔ—ｔｉ（ｉ＝１，２，…，ｐ），则有
‘仁彤∽弘＝Ｅ
ｊ奎＝１南讹１地＝
蚤Ｊ．。盯打默卜ｔｊ）ｄｔ
（５）
万方数据
２验证与应用
ｒ∞
在参考文献［２］中，有两例关于Ｉ
Ｊ‘∞
ｔ３［ｆ（ｔ）］ｄｔ的
正确计算结果，这里用于验证前面所得结论。
，∞
（１）ｌ虻￡２—４］ｄｔ＝１／２
Ｊ一∞
对应于ａ＝１，ｂ＝０，ｃ＝－４△一ｂ２—４ａｃ＝１６＞０
代入公式（４），得２／伍＝２／￣／矿＝百＝１／２，
验证正确。
，∞
（２）ｌ缸￡２—４ｔ＋３］ｄｔ＝１Ｊ‘∞
对应于ａ＝１，ｂ＝一４，ｃ＝３△＝ｂ２—４ａｅ＝４＞０
代入公式（４），得２／沤＝２／￣／矿＝石一１，验
证正确。３
结语
解决“信号与系统”中诸多问题时，往往会涉及
到很多数学问题。但工程问题由于受到实际环境因素的影响，或是８０）和￡（ｔ）这样的广义函数的影响，解决问题时，从数学角度看往往不具有完备性，存在各种理解上的误区，甚至会存在争议。在分析问题时，应仔细考虑。本文将关于ＩＹｏｏ￥［ｆ（ｔ）］ｄｔ的计算归纳到一起，做出一般性的分析与讨论，试图得出相应的结论，期望对相关计算和研究有所帮助。参考文献：
［１］陈生潭等编著．信号与系统（第二舨）［Ｍ］．西安：西安电子科技
大学出舨社．２００１：１５—２３
［２］倪育德，庞勇．以分配函数的概念认识冲激信号及复合函数
［Ｊ］．中国民航学院学报．２００６，２４（１）：６２—６４
［３３部君里，应启珩，杨为理．信号与系统（第二舨）［Ｍ］．北京：高
等教育出版社。２０００：６－８
［４］胡光锐．徐昌庆．信号与系统解题指南［Ｍ］．北京：科学出版社。
２０００．：７－９
［５］范世贵．信号与系统＊导教＊导学＊导考（第二舨）［Ｍ］．西
安：西北工业大学出版社，２００４：５－１５
Ｃ６］刁元胜．积分变换［Ｍ］．广州：华南理工大学出版社．２００３．２，
２９—３０
单位冲激函数及其复合函数积分的探讨
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
易志雄， 陈燚涛， 欧贵兵， YI Zhi-xiong， CHEN Yi-tao， OU Gui-bing武汉纺织大学,湖北武汉,430073
电气电子教学学报
JOURNAL OF ELECTRICAL & ELECTRONIC EDUCATION2011,33(2)
参考文献(6条)
1. 陈生潭 信号与系统 2001
2. 倪育德;庞勇 以分配函数的概念认识冲激信号及复合函数[期刊论文]-中国民航学院学报 2006(01)3. 郑君里;应启珩;杨为理 信号与系统 20004. 胡光锐;徐昌庆 信号与系统解题指南 20005. 范世贵 信号与系统*导教*导学*导考 20046. 刁元胜 积分变换 2003
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4. 贺秋丽. 许梅 关于冲激函数的一个性质[期刊论文]-安徽大学学报(自然科学版)2002,26(2)
5. 汤志浩. 王荣乾. TANG Zhi-hao. WANG Rong-qian 狄拉克函数的定义和性质的研究[期刊论文]-柳州职业技术学院学报2009,09(2)
6. 田社平. 陈洪亮. TIAN She-ping. CHEN Hong-liang 密勒定理及其应用[期刊论文]-电气电子教学学报2011,33(2)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_dqdzjxxb201102042.aspx
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