搞怪的皮蛋
范文一：排列组合中的分组问题
排列组合中的分组问题
单位：新沂市高级中学 姓名：宋小林
排列组合的内容紧密联系实际，知识背景丰富，题型丰富多样。在高考中常用现实社会热点问题为载体进行考查，常考常新。而分组问题是排列组合中的重点也是难点。是许多同学看起来简单而处理问题时又很容易出错的一类题，下面我就排列组合中的分组问题，结合我个人在教学中的体会和做法，谈一些自己的看法。
关键词：分组 均匀 非均匀 有序 无序
排列组合中的分组问题有以下几类：
1、不均匀分组无序
例1. 把6个人分组成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数。
（1） 分成甲、乙、丙三组，其中甲组3人，乙组2人，丙组1人.
（2） 分成3组，其中一组3人，一组2人，一组1人.
解：本题为非均匀分组问题且与顺序无关
3（1）从6人中任选3人，为甲组有C6种选法，再从余下的3人中任选2人
13为乙组，有C32种选法，剩下1人为丙组，故共有C6*C32*C1种不同的分法。
3（2）先从6人中任选3人为一组有C6种选法，然后从剩下的3人任选2人
13为一组有C32种选法，最后剩下的一人为一组，故共有C6*C32*C1种不同的分法。
点评：由于各组人数不同，故此问题属于非平均分组问题。尽管（1）给出了甲、乙、丙3组，而（2）没有给出，但分组的方法相同。很多同学会把（1）
13结果误表示为C6*C32*C1*A3种。 3
总结：一般地，把n个不同元素，不平均的分成m组，(m、n∈N*)共有
n3n1n2m1Cn?Cn-n1?Cn-n1-n2 Cnm种分法 n
其中(n1≠n2≠n3 ≠nm,n1+n2+n3 +nm=n)
2、平均分组无序
例2. 有六本不同的书，分成如下两组，分别求出以下分组的方法数。
（1） 每组两本
（2） 一组四本，另外两组各一本
解：（1）平均分组问题，且与顺序无关 222C6?C4?C2222分组数为。=15（种）而此题许多同学会写成C6?C4?C2=90（种）3A3
实际上，上述问题重复了6次。为了方便期间，我们不妨把6本不同的书标上序号1、2、3、4、5、6，下面我们来看以下的分组：
（1，2）（3，4）（5，6），（1，2）（5，6）（3，4）
（5，6）（1，2）（3，4），（5，6）（3，4）（1，2）
（3，4）（1，2）（5，6），（3，4）（5，6）（1，2）
由于我们是均匀分组且是无序的故上述6种分法只能算作一种，所以重复了6次。
（2）部分平均分组，且与顺序无关 411C6?C2?C1分组数为。与问题（1）类似由于有两个组是1本，中间出=15（种）2A2
现重复。
总结2：一般地n个不同元素平均成m组，且与顺序无关，共有
n3nnn1n2Cn?Cn-n1?Cn-n1-n2 Cnm
mAm种分法。其中(n1=n2=n3 =nm=n,m?n∈N*) m
3、不均匀分组有序
例3. 有六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本，共有多少种不同分法？
解：此题属于不平均分组，且有顺序问题。其实质问题是先分组，再排列。
321故可将六本不同的书分成三组有C6?C3?C3=360（种）
总结3：一般地，将n个不同元素非平均地分成m组且与顺序有关，共有：
n3n1n2mm1Cn?Cn-n1?Cn-n1-n2 Cnm?Am种分法 n
其中(n1+n2+n3 +nm=n且n1≠n2≠n3 ≠nm)
4、平均分组有序
例4. 有6本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？
（1） 分给甲、乙、丙三人，每人两本
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一人四本，一人一本，一人一本
422C6?C4?C23解：（1）六本不同的书平均分成三组有 ?A3=90（种）不同分法。3A3
（2）同理：由问题（1）知
n3nnn1n2Cn?Cn-n1?Cn-n1-n2 Cnn2
mAm共有m种分法，其中(n1=n2=n3 =nm=?Amn)。 m
总之，掌握了上述4个结论，对于解决排列组合中的分组问题应该会是游刃有余。另外，还可以将其它问题转化为分组问题来解。
例如：苏教版选修2-3习题1.4第九题
4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒子的放法有多少种？
分析：恰有一个空盒，则另外的3个盒子中的小球数分别为1，1，2。实际上可以转化为先将四个不同的小球分为三组，其中一组2个，两外两组
12C4?C31?C2各1个。分组的方法共有种，然后将三组分给四个不同盒子中的2A2
12C4?C31?C23三个的排列问题，故共有=144（种）。 ?A42A2
范文二：排列组合中的分组问题
在解排列组合的有关府用题时，经常会遇
到将所给元素或对象进行分组的问题．主要涉
及平均分组与不平均分组、有序与无序等问题．
很多同学在解答此类问题时要么束手无策，要
么出现错解或漏解．本文就这类问题加以剖析
说明，希望引起重视．
一、不平均分组问题
１．分组后无序
倒，不同的６本书。分成三堆，使得一堆３
本，一堆２本，一堆１本，问有多少种分法．
解：本例属于不平均分组问题，令３本的为
甲堆，２本的为乙堆，１本的为丙堆．故我们只需
将它们分开即可，属于无序问题．
Ｃｉ?Ｃ！?Ｃ｛一６０．
中
学
生
数
理
化■湖南点评：由于是不同的书，故分组后并无序，所以切忌乘以Ａｉ．２．分组后有序倒２不同的６本书，分给甲、乙、丙３人，
使得１人得３本，１人得２本，１人得１本．问共
有多少种不同的分法．
解：由于题设并没有指定哪个人得３本书，
冈此甲、乙、丙３人都有得到３本书的町能．于是
问题可转化为先将６本不同的书分成三堆，一
堆３本，一堆２本，一堆１本；然后再将ｉ堆书再
分给甲、乙、丙３人．
Ｃｉ?Ｃ；?Ｃｊ?Ａｉ一３６０．高二向剑疃版
点评：此例与上例的区别在于分组后有序．
二、平均分组问题
１．分组后有序
倒芎将不同的６本书分给甲、乙、丙３人，
每人２本，问有多少种不同的分法．
解：此类问题属于平均分组后的有序问题．
由于是不同的６本书，不妨把６本书编号为１，
２，３，４，５，６．不失一般性，设甲分得标号为１，２
的２本书，乙得标号为３，４的２本书，丙得标号
为５，６的２本书；与甲分得标号为３，４的２本
书，乙得标号为１，２的２本书，丙仍得标号为５，
≥幺弘万方数据永远不要忘记自己的梦想
蓦
萎
君
冒
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泰潮溉霸嘲彦蝴蝴甓没有绝对的完美’只有相对的更羡’万方数据。。。，。。。。。＠明．。。，凇
排列组合中的分组问题
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
引用次数：向剑峰中学生数理化（高二版）MATHS PHYSICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(MIDDLE SCHOOL EDITION)2009，(5)0次
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsslh-geb200905014.aspx
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范文三：排列组合中的分组问题
排列组合中的分组问题
分组问题，由于涉及的面比较广，所以是排列、组合中的难点，如果只是断章取义的去教学，不从根本上去加以理解、归纳，那么就很难正确的解答各类题型，下面通过例题予以浅谈。 一、非均匀分组
所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1. 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法,
(1)分成三组，分别为1人、2人、4人;
(2)选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人。
解:(1)选出1人的方法有种，再由剩下的6个人中选出2人的方法有种，剩下的4人为一组有种，依分步计数原理得分组的方法有
(种)
(2)可直接从7人中选出2人的方法有种，再由余下的5个人中选3人的方法有种，所以依分步计数原理，分组的方法有:(种)。
也可先选取5人，再分为两组有(种)。
二、均匀分组
所谓“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。 1. 全部均匀分组
例2. 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组都是3人，有多少种不同的分法,
分析:记7个人为a、b、c、d、e、f、g写出一些组来考察
表1
选3人 再选3人 分组方法种数
a b c d e f 这两种只能
d e f a b c 算一种分法
a b c d e g 这两种只能
d e g a b c 算一种分法
?? ?? ??
由表1可见，把abc，def看作2个元素顺序不同的排列有种，而这只能算一种分组方法。
解:选3人为一组有种，再选3人为另一组有种，依分步计数原理，又每种分法只能算一种，所以不同的分法有(种)。
也可以先选再分组为,70(种)
2. 部分均匀分组
例3. 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有2个、2个、2个、4个，有多少种不同的分法,
分析:记十个零件为a、b、c、d、e、f、g、h、i、j写出一些组来考察
表2
选2个 再选2 又选2个 剩下四个 分组方法数
a b c d e f g h i j
a b e f c d g h i j
c d a b e f g h i j
c d e f a b g h i j
e f a b c d g h i j
e f c d a b g h i j
?? ?? ?? ?? ?|? 由表可见，把ab、cd、ef看作三个元素顺序不同的排列时有种排法，而这种只能算一种分法。
解:因为分成2个、2个、2个、4个元素的四个堆，分别为种，由分步计数原理及每中只能算一种不同的分组方法得
(种)
由此可见，不论全部均匀分组还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有种顺序不同的排法只能算一种分法。
三、编号分组
1. 非均匀编号分组
例4. 从7个参加义务劳动的人中选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法,
解:分组的方法有(种)
注:由于分组后各组要担任不同的工作，这就将不编号的组变为编号的组，只需乘以组数的全排列即可。
2. 部分均匀编号分组
例5. 有5本不同的书全部分给3人，每人至少一本，有多少种不同的分法, 分析:5本不同的书全部分给3人有两类情况，一类是一人得3本;另外两人各得1本;另一类是一人得1本，另外两人各得2本。
解:(1)将书分成3本、1本、1本三组，再分给三个人的方法有:
(种)
(2)将书分成2本、2本、1本三组，再分给三人共有:
(种)
所以，总的分组方法有
60，90,150(种)
注:此类题型只要先分组再排列即可。
四、综合归类练习
例6. 已知集合A含有4个元素，集合B含3个元素，现建立从A到B的映射f:A?B，使B中的每个元素在A中都有原象的映射有多少个,
解:先把A中的4个元素分成3组，即2个、1个、1个，所有分组方法有种。 再把B中的3个元素看成3个位子，然后在3个位子全排有
种
因此使B中的元素都有原象的映射有36个。
例7. 将5个编号不同的小球放入3个盒，使每个盒子都不空的投法有多少种, 解:先将5个小球分成3组，只有两种分法，即3个，1个，1个;2个，2个，1个。其分组种数分别为，再把它们分别在3个盒子全排即得:
,(10，15)×6,180(种)。
注:这两道题都属于部分均匀分组再排列问题，可见组合问题应用面广，题型多变，需结合前面所讲加深理解。
例8. 现有6本不同的书分给甲、乙、丙三人
(1)甲得1本、乙得2本、丙得3本，共有多少种不同的分法, (2)甲、乙、丙三人均得2本有多少种不同的分法,
(3)一人得1本、一人得2本、一人得3本，共有多少种不同的分法, (4)三人中的一人得1本、另外两人各得1本，共有多少种不同的分法, 答案:(1),60(种)(属非均匀分组)
(2)(种)(属均匀编号分组)
(3),360(种)(属非均匀编号分组)
(4)(种)(属部分均匀编号分组)
范文四：排列组合平均分组问题 排列组合中的“平均分组”与“不平均分组”
小数老师说
排列组合对于高中理科生来说，简直是一个噩梦～因为即使你费劲九牛二虎之力算出了结果，也不能确定自己的答案是对还是错～不是遗漏就是重复，反正距离正确答案永远“差一点”～
其实，解排列组合题目要建立模型，如果同学们能从题目中抽象出模型来，难度就大大降低了～今天，小数老师带大家研究一下“平均与不平均分组”的模型～
下面先看模型
(1)6本不同的书分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，一共有几种分法,
解:这里分三步取书即可，有种方法。那这里有重复的吗,没有。
(2)6本不同的书平均分成3堆，一共有几种分法,
1
解:先分三步取书，有
种方法，但是这里出现重复计数的情况。
不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取AB,第二步取CD，第三步取EF，则该分法可以记为(AB,CD,EF)，但是http://www.wenku1.com
中还包括以下情况，(AB, EF , CD)(CD, AB,EF)(CD, EF , AB)(EF ,AB,CD)(EF,CD, AB)，而后面的情况，其实与(AB,CD,EF)一样，因为题目要求平均分成3堆就可以了，不用管顺序，所以，正确答案应该是:
。
(3)6本不同的书分成3堆，一堆4本，另2堆各1本，共用几种分法,
解:先分3步取书，有
种方法，但是同样也出现了重复计数的情况。
不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取ABCD，第二步取E，第三步取F，则该分法可以记为(ABCD，E，F)，但是
中还包括下面情况，(ABCD，F，E)，而实际上，这两种情况是一样的，不用管后面两堆的顺序问题，所以，正确答案是:
。
总结
2
1，通过上面模型(2)与(3)，可以总结出来，对于平均分组问题，先按照顺序选择得到组合数，然后根据平均分成的组数得到排列数，用组合数除以排列数即可。
2，组合不考虑顺序，排列是需要考虑顺序的～
(4)6本不同的书平均分给3个人，一共有多少种分法,
解:这个可以分成两步，第一步，先把6本书平均分成3堆，由(2)可得，
;第2步，把3堆书分给3个不同的
人，有
种方法，根据分步相乘的原理，得到最后结果，
。
注意
做这类型题目的时候，同学们千万不要只记最后结果哈，这样对于抽象模型有影响，可能会导致最后解答错误。
大家学会了模型之后，接下来我们找一些模拟题来验证一下吧～
例1、将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法共有( )种。
A、240 B、180 C、150 D、540
解析:因为要将5名同学分到3所大学，所以可以看作是把5名同学先分成3组，然后进行排列即可;又因为每所大
3
学至少1人，所以5名同学分成3组有两种情况，为(2,2,1)和(3,1,1)。所以，第一步结果为:，第二步，把分成的3组进行排列，结果为，根据分步相乘可得结果，
故答案为:C。
例2、数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题且每组只研究一个课题并要求每组选一个组长则不同分配方案有______种。
解析:根据题目，同样先抽象出数学模型，第一步，12名同学，平均分成4组;第2步，每组同学分别选择一个课题(课题不一样);第三步，每组选择一个组长。
可以得到:第一步结果是，
;第二步结果是
;第三
步，因为是每组有3个同学，选择组长的话，3个同学都有可能，所以选择4个组长的结果是
。
根据分步相乘，得到最后答案为:
。
总结
1，做排列组合题，要先抽象数学模型;
2，多审题多总结，研究题目中的关键词;
3，掌握分类与分步的计数方法，尽量做到不重不漏～
4
精彩文章
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距离高一、高二期末考试还有15天，
公式、定理你都记住了吗,
题都会做了吗,
易错点又研究了一遍吗,
典型题目总结了吗,
知道期末考啥吗,
......
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5
6
范文五：谈谈排列组合中的分组问题的教学
谈谈排列组合中的分组问题的教学
苏州市第一中学 盛淳
分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分组问题，实际上可运用分组问题的方法来解决。下面就排列组合中的分组问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。
一、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，每组两本，有多少种分法,
222=90(种) ，这90种分组实分析:分组与顺序无关，是组合问题。分组数是CCC642
际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以
(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本下两种分法:(1，2)(3，4)(5，6)与
数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了
3组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数，所以分法是P3222CCC642=15(种)。 3P3
例2 六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法,
1233分析:先分组，方法是，那么还要不要除以,我们发现，由于每组的书CCCP6533
123的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有=60(种) 分法。 CCC653
例3 六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法,
411分析:先分组，方法是=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢,我们发现，CCC621
其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的
411CCC621本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15(种)。 2P2
通过以上三个例题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
原理一 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m，m，?，12
mmmm123p?CCCCn,,,nmnmmm112pm，其中k组内元素数目相等，那么分组方案是。 pkPk
二、分组后分配的问题
例4 将上面三个例题中的“分为三组”改为“分给甲、乙、丙三人”，那么各有多少种分法,
分析:由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再
222CCC642123333乘以，即例1是=90(种)，例2是=360(种)，例3是PPCCCP3365333P3
411CCC6213=90(种)。 P32P2
原理二 一般地，如果每个“不同的元素”和每个“接受单位”都有“归宿”，并且每个“接受单位”可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以“接受单位”数的全排列数。
例5 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法,
分析:六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢,有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是222411CCCCCC6426211233++=90(种)。再考虑排列，即再乘以。所以一共有540种不CCCP653323PP23
同的分法。
三、分组问题的变形问题
例6 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种,
分析:恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为
112CCC432先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有(种)，2P2
112CCC4324然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有=144(种)。 P42P2
例7 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种,
分析:先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，
112CCC1098共有(种)分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担2P2
甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有
112CCC10982=2520(种)不同的选法。 P22P2
例8 设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个,
分析:由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、
112CCC43231、2，则共有(种)分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以，所以共有P32P2
112CCC4323=36(个)不同的函数。 P32P2
总之，掌握上述两个基本原理，就能顺利解决任何分组问题。而且，学会了分组问题，还能将一些其他的排列组合问题转化为分组问题来解决。
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