范文一：异距数列众数的计算与实践

异距数列众数的计算与实践

姚源果

()百色学院 数学与计算机科学系 ,广西百色 533000

摘 要 : 文章在传统等距数列众数的计算公式基础上给出了异距数列众数的一个计算方法 ,并 结合一个实例加以验证 。

关键词 : 异距数列 ;众数 ;位置平均数

分类号 : O151 文献标识码 : A 文章编号 :1673 - 8233 (2006) 06 - 0013 - 03

Counting and Practicing of Mode of Series of Unequal Interval

Y A O Y u a n - g uo

(Dep a rt me nt of Ma t he m a ti c s a n d Co mp ut e r Sci e nc e , B a i s e

)Uni ve r sit y , B a i s e Gu a n g xi 533000 , Chi n a

Abstract : Thi s p ap e r p ut s fo r wa r d a co unti ng met ho d of mo de of se rie s of unequal i nt er val ba sed o n t he t ra ditio nal co unti ng fo r mula of t hat of se rie s of equal i nt er val . A nd it ha s bee n t e stifie d by a n e xa mp le .

Key words :se rie s of unequal i nt er val ; mo de ; locatio n ave ra ge

1 众数的含义

( ) 众数 Mo de是指统计总体或分布数列中出现的频数最多 、频率最高的标志值 。众数作为一种位置平均

数 ,不受数列中极端变量值的影响 ,它可以反映数据集中的趋势 ,当一组数据出现的频数不同或数据分布中出

现极端数值时 ,可用众数作为该数组数据的代表 。

在分配曲线图上 , 众数就是曲线的最高峰所对应的标志值 (如图 1 , M为众数) 。 0

图 1众数的位置

收稿日期 : 2006 - 11 - 08 () 作者简介 : 姚源果 1974, ,男 ,广西田林县人 ,百色学院数学与计算机科学系讲师 。

13

《百色学院学报》2006 年第 6 期

众数作为位置平均数 , 正因为不受极端值的影响 , 所以在很多实际问题中得到应用 , 诸如掌握农贸市场上 某一农产品的价格水平 , 我们不一定要全面登记该农产品每一次成交的价格主总销售量 , 只要调查其最普遍的 成交价格即可 ; 再如制鞋厂在制定各种尺码鞋子的生产计划时 , 计划产量最多的尺码就应是在市场上销售量最 ( ) 大 众数的尺码 。

众数的计算方法2

现行的统计学教材中对等距数列的众数计算都采用了下面方法 :

f 0 - f 1 ( )1 下限公式 : M= L +d 0 ( - ) ( - )f f + f f 0 1 0 2

0 2 f - f ( )2 下限公式 : M0 = U - d ( - f ) + ( f f ) f 0 1 02 -

式中 M为众数 , L 为众数组下限 , U 为众数组上限 。f 、f 、f 分别表示众数组与众数组相邻的前一组及后0 0 1 2 一组的频数 , d 为众数组组距 。

对于异距数列 , 由于各组次数的数值受组距不同的影响 , 因此在研究各组频数的实际分布时 , 为消除组距

( ) 不同的影响 , 有学者将上述计算公式中的频数改为频数密度 频数密度 = 频数 / 组距, 频数密度最大的数组 即为众数数组 。

( ) ( ) () 由公式 1、2可看出 , 假设众数组的数据分布与三组 众数组 、众数组的相邻前一组及后一组内的数据 分布一致 , 即峰度 、偏态及对应位置的频数等都一致 。故众数的组内位置由前后两组的频数密度大小来决定 , 哪

f 0 - f 1 f 0 - f 2 边的频数密度大就偏向哪一边 , 偏向的程度取决于或这样的假 ( ) ( ) ( ) ( )f - f + f - f f - f + f - f 0 1 0 2 0 1 0 2 设前提紧密联系了次数密度高低 , 与众数的定义相吻合 。但不足之处在于 , 此种算法事实上忽略了总体容量的 大小 , 不管总体多少 , 分了多少组 , 此算法只考虑了三组 , 忽视了分布数列的其他 。这样计算出来的众数对总体 来说是缺乏代表性的 。

基于以上分析 , 为避免传统计算方法对总体分布的忽视 , 本文采用众数组频数密度与众数组前后两端总体 平均频数密度的方法来确定异距数列的众数 。

表 1设分组资料

分组XXX - - X X - - X XX- - - - 0 1 1 2 m - 1 m n- 1 n

f 1 f 2 f m f n 频数密度

1 2 X m X n , f m = ma x{ f 1 , f 2 , XX<><><><>< 其中="" x0="">< ,="" f="" n="" }="" 。则构建的众数计算公式为="" :="">

- f m - f m ( ) 上限公式 : M3 m 0 = L + d ( f - f ) + ( f ) f m m - mm + -

f m - f m + ( ) 4 dm 下限公式 : M0 = U + ) ( f + f ( )- m - m - f f m m + n m- 1

?? i = 1 i = m+1 0 代表众数 , L 代表众数组下限 , U 代表众数组上限 , dm 代表众数组组距 。, M其中 f = , f = m- m+ 1 m - n - m

3 实例分析

采集某单位全体职工 10 月份工资数据 , 共 439 个 , 分组统计如表 2 所示 。

14

姚源果 / 异距数列众数的计算与实践

表 2某单位全体职工 10 月份工资数据

( )600 , 700700 , 900900 , 11001100 , 13001300 , 16001600 , 2000工资 元

13 130 196 76 20 4 人数

频数密度 0 . 130 0 . 650 0 . 980 0 . 380 0 . 067 0 . 010

( ) 采用 3式计算 , 众数组为第 3 组 , L= 900 , f 3 = 0 . 980 ,

f 1 + f 2 0 . 130 + 0 . 650 0 . 390 = f == 3 - 2 2

f + f + f 0 . 380 + 0 . 067 + 0 . 010 4 5 6 f 3 + = = 0 . 152 = 3 2

0 . 98 - 0 . 39 则 M= 900 +×200 = 983 . 200 ( ) ( )0 . 98 - 0 . 39+ 0 . 98 - 0 . 152

( ) 将全部数据用 EXC EL 软件作出数据分布的散点图 如图 2 所示, 曲线较水平的地方反映了数据分布的集 中趋势 。

图 2数据分布的散点图

= 983 . 20 元代表某单位的全体职从图 2 可看出 , 较能反映数据分布的集中趋势在 1000 元附近 。所以用 M0 工平均工资水平较为合理 。

参考文献 :

[ 1 ] 吴惠荣 . 统计学原理 [ M ] . 上海 :上海交通大学出版社 ,2000 .

() [ 2 ] 辛玲 . 如何确定异距数列的众数 [J ] . 上海统计 ,2000 , 3.

[ 3 ] 吴海建 . 众数计算问题之我见 [J ] . 统计研究 ,2002 , (8) .

【责任编辑 :邓崇亮】

15

范文二：【doc】如何确定异距数列的众数

如何确定异距数列的众数

骞加}寸,名,极直,7坟

如何确定异距数列的众数

众数是平均指标的一种.它是标 志数值数列中最常出现的标志值,也 就是出现次数最多的标志.在实际工 作中,常常利用众数反映社会现象的

一

般水平=

众数是通过发生次数的多少来确 定的,数据次数太少时,不宜用众数. 因此,确定众数所使用的资料大多是

.当资料是单项数列时,分组数列确定 众数比较容易,出现次数最多的标志 值即为众数.在等距数列中,应先根据 各组次数确定众数所在的组,然后利 用插补法,根据下限公式M.=L+ [A-/(A-+A)】xd或上限公式M.= U_l/(A-+Aj]×d来确定众数. 那么对于异距数列,是否也可按这样 的方法求呢?众所周知,异距数列各组 的次数的多少要受组距大小的影响. 如果我们不考虑组距的影响,直接根 据各组次数按上述方法计算,势必会 影响众数的准确性.因此在计算异距 数列的众数时,应先计算次数密度以 消除各组组距大小对本组次数多少的

影响,由此再确定众数,有的人认为计 算次数密度后还需计算标准组距次 数,再据标准组距次数确定众数.本文 认为无此必要.因为次数密度已经准 确反映了各组次数的分布特征,使不 可比的次数有了可比性.而标准组距 的确定有主观性,由此计算出的标准 组距次数也会有偏差,从而影响众数 的准确性:

故由异距数列确定众数的具体步 骤为:

第一步:计算各组的次数密度; 第二步:根据各组的次数密度的 大小确定众数所在组;

30?

Q圭三

第三步:利用上限或下限公式计 算众数的近似值.

1.下限公式:

M0=L+[Al/(A+)]×d

2.上限公式:

34o=U一[?2/I?l+?2)】xd 此时公式中Mo代表众数

L代表众数的下限

U代表众数组的上限

A代表众数组次数密度与下

次数密度之差

A:代表众数组次数密度与上 次数密度之差

F仔

(26一O5)I】×100=534.47f元) ?u=U一【/(l+|_×d

=

600一【(26—1.5)/[I2.6—15J+ (2.6一O.5)]】×100=53447【元) 3.按组中值计算平均工资

x=(?x×f)/ElL=(200×1004- 900x5OJ/810=491.36{元1

4计算中位数

组由于Ell/2=405.从表中资料可 知中位数在500,600这一组,则: 组M=L+(Etl/2一F…J/fmxd d代表众数蛆组距

下面举例说明

现有某企业职工工资分组资料如 下:

大家知道.算术平均数,众数和中 位数的关系与分布特征有关.如果是 I资组(元)职212人数(人)次数密度组中值以下累计次数

t1】t2)(3)=(2)/组距(4)'5】

3oo以下1ooO52O0lO0 30o,50030015417o40o 2602655O660

1ooO57O0760

8oo以上5o0259oo810 合计8lO

1不考虑组距的影响计算众数 由表中资料可知,众数组为300,

500一组,则:

M0=L+【?l/fAl+A21]×d=

300+【(300—100)/[(300—100)+ (300—260J】j×200=466.75(元】或 3,10=U一【A2/(Al+A2)lxd=500一 【(300—260)/[(300—100)+ f300—260)]}×200=466.67(元) 2.考虑组距的影响计算众数

由表中资料可知,据次数密度大 小确定500--600为众数组.则: M0:L+【Al/(Al+A21]×d

=500+【(2.6—1.5)/[(26—1.5}+ 对称分布,有x=M=Mn;如果是右偏 分布,有x>M>:如果是左偏分布. 有x<N<Mo.下面我们将分两种情况 计算的众数,中位数M和平均工 资x按大小顺序排列看是否符合上述 情形:

(1)当Mo=466.67时,有_,10?

<M不符合任何分布下三者的关系. (2)当Mo=534.47时.有x<N. <M,符合任何分布下三者的关系. 因此.该企业职工工资收入的众 数,应为按本文所讲方法计算而得到 的534.47元.

(作者单位:湖南省财经学院)

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×

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2

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一

耋_析"分O15如?==

范文三：C数列数列的概念

设f?x?是定义在D上的函数，若对D中的任意两数x1,x2（x1?x2），恒有

2?12?1f?x1?x2??f?x1??f?x2?，则称f?x?为定义在D上的Ｃ函数． 3?33?3

（Ⅰ）试判断函数f?x??x2是否为定义域上的Ｃ函数，并说明理由；

（Ⅱ）若函数f?x?是R上的奇函数，试证明f?x?不是R上的Ｃ函数；

（Ⅲ）设f?x?是定义在D上的函数，若对任何实数???0,1?以及D中的任意两数恒有f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?，则称f?x?为定义在D上的Cx1,x2，

函数. 已知f?x?是R上的C函数，m是给定的正整数，设an?f?n?,n?0,1,2,?,m，且a0?0,am?2m，记Sf?a1?a2???am. 对于满足条件的任意函数f?x?，试求Sf的最大值.

答案：

（Ⅰ） f?x??x是Ｃ函数， 2

证明如下：

对任意实数x1,x2（x1?x2）及???0,1?， 有f?2?12?1x1?x2??f?x1??f?x2? 3?33?3

22?12?1??x1?x2??x12?x22 3?33?3

??22?x1?x2??0. 9

即f?2?12?1x1?x2??f?x1??f?x2?. 3?33?3

∴f?x??x2是Ｃ函数.

（Ⅱ）假设f?x?是R上的Ｃ函数，取x1?1,x2??1，. 则有f(?1?1

3212?(?1))?f(1)?f(?1). 333

?f?x?是奇函数，

∴f(?1)??f(1)，f(?)??f(). ∴f()?13131

31f(1). (＃) 3

1

31f(1). 3同理,取x1??1,x2?1，可证f()?

与(＃)式矛盾.

∴f?x?不是R上的Ｃ函数．

（Ⅲ）对任意0?n?m，取x1?m，x2?0，??n??0,1?. m

?f?x?是R上的C函数， an?f?n?，且a0?0,am?2m

∴an?f?n??f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2??

那么Sf?a1?a2???am?2??1?2???m??m?m. 2n?2m?2n. m

可证f?x??2x是C函数，且使得an?2n(n=0,1,2,?,m)都成立，此时Sf?m2?m． 综上所述，Sf的最大值为m2?m．

来源：09年北京海淀月考一

题型：解答题，难度：较难

定义在R上的函数，对任意实数，都有f?x?3??f?x??3和f?x?2??f?x??2，且f?1??2，记an?f?n??n?N*?，则a2008?______.

答案：

2009

来源：09年广东月考一 题型：填空题，难度：较难

范文四：数列的概念教案

【课题】 6(1 数列的概念

【教学目标】

知识目标:

(1)了解数列的有关概念;

(2)掌握数列的通项(一般项)和通项公式(

能力目标:

通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力(

【教学重点】

利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项( 【教学难点】

根据数列的前若干项写出它的一个通项公式(

【教学设计】

通过几个实例讲解数列及其有关概念:项、首项、项数、有穷数列和无穷数列(讲解数列的通项(一般项)和通项公式(

从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数(学生往往不易理解什么是“一定次序”(实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数:2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列(

例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项;后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用(

例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.

【教学备品】

教学课件(

【课时安排】

2课时((90分钟)

【教学过程】

*揭示课题

6(1 数列的概念。

*创设情境 兴趣导入

将正整数从小到大排成一列数

1，2，3，4，5，?( (1 )

将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为

(课件展示) (2 )

当n从小到大依次取正整数时， 的值排成一列数为

-1，1，-1，1，?( (3 )

取无理数 的近似值(四舍五入法)，依照有效数字的个数，排成一列数为 3，3.1，3.14，3.141，3.1416，?( (4)

*动脑思考 探索新知

【新知识】

象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数列(数列中的每一个数叫做数列的项(从开始的项起，按照自左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项(或

首项)，第2项，第3项，?，第n项，?，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，?，n，分别叫做对应的项的项数(

只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列( 【小提示】

数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念(如数列(2)中，第3项为 ，这一项的项数为3.

【想一想】

上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?

【新知识】

由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作 (

简记作{ }(其中，下角码中的数为项数， 表示第1项， 表示第2项，?(当 由小至大依次取正整数值时， 依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n项 叫做数列{ }的通项或一般项(

*运用知识 强化练习

1.说出生活中的一个数列实例(

2.数列“1，2，3，4， 5” 与数列“5 ，4， 3，2， 1 ” 是否为同一个数列, 3.设数列 为“-5,-3,-1,1,3, 5，?” ，指出其中 、 各是什么数,

*创设情境 兴趣导入

【观察】

6.1.1 中的数列(1)中，各项是从小到大依次排列出的正整数(

可以看到，每一项与这项的项数恰好相同(这个规律可以用表示(利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项。

6.1.1 中的数列(2)中，各项是从小到大顺次排列出的2的正整数指数幂( 可以看到，各项的底都是2，每一项的指数恰好是这项的项数(这个规律可以用 表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项。

*动脑思考 探索新知

【新知识】

一个数列的第n项 ，如果能够用关于项数 的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

数列(1)的通项公式为 ，可以将数列(1)记为数列{n};数列(2)的通项公式为 ，可以将数列(2)记为数列 .

*巩固知识 典型例题

例1 设数列{ }的通项公式为写出数列的前5项(

分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需将通项公式中的n换成该项的项数，并计算出结果(

解 (课件展示)

例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.

(1)5,10,15,20，?; (2) …; (3)?1，1，?1，1，?( 分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式子表示这种关系( 解 (1)数列的前4项与其项数的关系如下表:

项数n 1 2 3 4

项 5 10 15 20

由此得到，该数列的一个通项公式为(略)

(2)数列前4项与其项数的关系如下表:(学生展示) (3)数列前4项与其项数的关系如下表:

序号 1 2 3 4

项 ?1 1 ?1 1

由此得到，该数列的一个通项公式为(略)

【注意】

由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的(例如， 与 都是例2(3)中

数列“?1，1，?1，1，?(”的通项公式(

【知识巩固】

例3 判断16和45是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指出是第几项. 分析 如果数a是数列中的第k项，那么k必须是正整数，并且 解 数列的通项公式为(略) .

将16代入数列的通项公式有

*运用知识 强化练习

1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项: (1)、(2) 见课本

2. 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式: (1)?1，1，3，5，?; (2) , , , ，?; (3) , , , ，?. 3. 判断12和56是否为数列 中的项，如果是，请指出是第几项( *理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题:

数列、项、项数分别是如何定义的,

结论:

按照一定的次序排成的一列数叫做数列(数列中的每一个数叫做数列的项(从开始的项起，

按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第3

项，?，第n项，?，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，?，n，分别叫做各项

的项数(

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容,重点和难点各是什么,

*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法,你是如何进行学习的,你的学习效果如何, 判断22是否为数列 中的项，如果是,请指出是第几项( *继续探索 活动探究

(1)读书部分:教材

(2)书面作业:教材习题6( 1 A 组(必做);6(1 B组(选做) (3)实践调查:用发现的眼睛寻找生活中的数列实例

【教师教学后记】

项目

教学反思

学生知识、技能掌握

学生是否真正理解有关知识;

是否能利用知识、技能解决问题;

在知识、技能的掌握上存在哪些问题;

学生的情感态度

学生是否参与有关活动;

在数学活动中，是否认真、积极、自信; 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生思维情况

学生是否积极思考;思维是否有条理、灵活; 是否能提出新的想法;是否自觉地进行反思; 学生合作交流的情况

学生是否善于与人合作;在交流中，是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见;

学生实践的情况

学生是否愿意开展实践;在实践中能否积极思考; 能否根据问题合理地进行实践;反思实践过程的方面

范文五：数列的有关概念

数列的有关概念:

(1) 数列:按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子

集{1,2,3,?,n}上的函数。

(2) 通项公式:数列的第n项a与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的n2通项公式。如: 。 an,,21n

(3) 递推公式:已知数列{a}的第1项(或前几项)，且任一项a与他的前一项a(或前几项)-nnn1

可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。

如: 。 aa,,1,2,aaan,，,(2)12nnn,,12

2(数列的表示方法:

(1) 列举法:如1，3，5，7，9，… (2)图象法:用(n, a)孤立点表示。 n

(3) 解析法:用通项公式表示。 (4)递推法:用递推公式表示。 3(数列的分类: 常数列:a,2,n有穷数列 ,n, 按项数,递增数列:ana,，,21,2nn, 无穷数列2,按单调性, 递减数列:an,,，1n,n4(数列{a}及前n项和之间的关系: n,摆动数列:an,,,(1)2n,Sn,(1),,1 Saaaa,，，，，？nn123na,,,nnSSn,,,(2)1,5(等差数列与等比数列对比小结:

等差数列 等比数列

an ,,(2)qn一、定义 aadn,,,(2)nn,1,1an

n,11( aand,，,1 1(，，aaq,n1n1

nm, aanmdnm,，,,, aaqnm,,,()，，，，nmnm二、公式

naq,1,，，nn,1，，naa，1，，1n2( 2( ,，nadS,,1nn2，，2nS,aq1,,naaq,1，，1,,q1,11,,qq,21(， ， 1(abcbac,,成等比,,abcbac,,2成等差,,，

bb称ac称ac为与的等差中项 为与的等比中项

**三、性质 mnpq，,，mnmnpq，,，mn2(若(、、、)， 2(若(、、、)，ppq,,q,,

aaaa，,，aaaa,,,则 则 mnpqmnpq

SSS,SS,SSS,SS,3(，，成等差数列 3(，，成等比数列 n2nn32nnn2nn32nn(三)不等式

abab,,,,0abab,,,,0abab,,,,01、;;(

abba,,,abacbc,,，,，abbcac,,,,,2、不等式的性质: ?; ?; ?;

abcacbc,,,,,0abcacbc,,,,,0abcdacbd,,,，,，,?，;?; nnababnn,,,,,,,0,1abcdacbd,,,,,,0,0?; ?; ，，

nnababnn,,,,,,,0,1?( ，，

小结:代数式的大小比较或证明通常用作差比较法:作差、化积(商)、判断、结论。

在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。

3、一元二次不等式解法:

2(1)化成标准式:;(2)求出对应的一元二次方程的根; axbxca，，,,0,(0)

(3)画出对应的二次函数的图象; (4)根据不等号方向取出相应的解集。 线性规划问题:

1(了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解

2(线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题( 3(解线性规划实际问题的步骤:

(1)将数据列成表格;(2)列出约束条件与目标函数;(3)根据求最值方法:?画:画可行域;?移:移

与目标函数一致的平行直线;?求:求最值点坐标;?答;求最值; (4)验证。 两类主要的目标函数的几何意义:

22?-----直线的截距;?-----两点的距离或圆的半径; zaxby,，zxayb,,，,()()

2ab，ab，,,4、均值定理: 若a,0，b,0，则，即( ; abab，,2,ababab,,,0,0，，,,22,,

ab，称为正数、b的算术平均数，称为正数、b的几何平均数( abaa2

5、均值定理的应用:设、都为正数，则有 xy

2s?若(和为定值)，则当时，积取得最大值( xys，,xy,xy4

2p?若(积为定值)，则当时，和取得最小值( xy，xyp,xy,

注意:在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

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