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范文一：第八章 微分方程 本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题
第八章 微 分 方 程 本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题，并介绍一些基本概念及几种常用的微分方
程的解法．
第一节 微分方程的基本概念
自由落体运动 自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下，初速度为零的运动．根据牛
顿第二定律：，它的运动路程大小的变化规律可表示为： F,mas,s(t)
2dsm,mg． 2dt且还满足,，即 s(0),0,s(0),0
2,ds,g (1),2 dt,
,,s(0),0,s(0),0 (2),
对（1）两边积分，得
ds ,gt，C， （３） 1dt
对（３）两边积分，得
12 s,gt，Ct，C， （４） 122
这里C,CC,0,C,0都是任意常数．将（2）代入（４），得． 1221故自由落体运动路程的规律为
12s,gt． （５） 2这是微分方程应用的最早一个例子．
Malthus人口模型 英国人口学家马尔萨斯（Malthus T R 1766-1834）根据百余年的人口统计资
料，于18世纪末提出著名的人口模型．该模型假设人口的净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，
即单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比．
设时刻r的人口为x(t)，净相对增长率为，我们将x(t)当作连续变量考虑，开始时（t,0）的人口t
数量为x(0),xxx(t)，即．按照Malthus理论，于是满足如下方程为： 00
dx,,rx , (6), dt,
,(0),. (7)xx0,
其中r为常数．（6）称为Malthus人口模型．
对（6）整理，得
dx ,rdt． （8） x
对（8）两边积分，得
rtx(t),Ce， （9）
221
将（7）代入（9），得
， C,x0
故人口增长规律为
rtx(t),xe． （10） 0如果，（10）表明人口将以指数规律无限增长．特别地，当时，，这似乎不可能． r,0x(t),，,t,,
这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与19世
纪的人口资料比较时，误差较大．
Logistic模型荷兰生物数学家Verhulst引入常数x表示自然资源和环境条件所能容许的最m
,,x(t)大人口，并假定净相对增长率等于,,,，即净相对增长率随着增加而减少．因为随着人口的r1x(t),,xm,,
增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著．如果人口较少时（相对于资源
而言）人口增长率还可以看作常数．当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减
少．这正是对Malthus人口模型中人口的固定净相对增长率的修正．这样，Malthus人口模型（6）变为：
,,,()dxxt,,,1,() , (11)rxt, ,, dtx,m,,,(0), . (12)xx,0
该模型的解为
xm，，xt,， （13） ,,x,rtm,,e1，,1,,x0,,
易看出，当x(t),x时，． t,，,m
这个模型称为Logistic模型，其结果经计算与实际情况比较吻合．此模型在很多领域有着较广泛的应
用．
广告模型 在当今这个信息社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出
一批产品后，便会考虑到广告的大众性和快捷性，利用广告促销作用更快更多地卖出产品．那么，广告与
促销到底有何关系？广告在不同时期的效果如何？下面建立独家销售的广告模型来研究．
该模型假设：商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场趋于饱和时，销售速度将趋于极限
值，这时，销售速度将开始下降；自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随商品的销售
率的增加而减少．
设,,0s(t)为时刻商品的销售速度，表示销售速度的上限；为衰减因子常数，即广告作用随时tM
间增加，而自然衰减的速度；A(t)为时刻的广告水平（以费用表示）．建立方程为： t
,dss(t),,,,p,A(t),1,,s(t) (14),,, dtM,,,
,s(0),s (15)0,
其中A(t)s(t)为响应函数，即对的影响力，为常数． pp
222
由假设知，当销售进行到某个时刻时，无论怎样作广告，都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广
告策略：
A0,t,,,， A(t),,0t,,,
其中为常数． A
a在a时间内，设用于广告的花费为，则A,，代入（14），有 ,,0,,,
dspaa,, ,， ，，,s,p,,,,,dtM,,
令
papa b,，,c,； ． ,M,,
则有
ds ，bs,c． （16） dt
解（16），得
c,bt (),，stke ， （17） b
其中为任意常数．将（15）代入（17），得 k
c,bt,bt s(t),，，1,e，se， （18） 0b
当时，由的表达式，则（14）为 A(t)t,,
ds,,,s． （19） dt
其解为
,，，,,t s(t),s(t)e． （20）
这样，联合（18）与（20），得到
c,,,btbt1,e，se0,t,,，，,0s(t),． （21） ,b,，，,,,,s(,)et,,,
其图形如图8-1．
223
图8-1
上述四个例子中的关系式(1)、（6）、（11）和（14）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程．一
般地，凡是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程，都叫做微分方程．如果微分方程中，自变量的个数只有一个，则称之为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上，则称之
为偏微分方程．本章只讨论常微分方程.
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶．例如方程（6）、（11）和（14）是一阶微分方程；方程（1）是二阶微分方程．
一般地，n阶微分方程的形式是
(n) ,y,？,y)=0 (22) F(x,y,
(n)(n,1)其中,yx,y,y,？,y个变量的函数．这里必须指出，在方程（22）中，必须出现的，而等F是n，2
变量则可以不出现．例如n阶微分方程
(n)y，1,0
(n)中，除y外，其他变量都没有出现．
如果能从方程（22）中解出最高阶导数，得微分方程
(n)(n,1),y,f(x,y,y,？,y) (23)
以后我们讨论的微分方程都是这种已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（23）式右端的函数在所讨论的范围内连续．
由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函
数（解微分方程），就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式．这个函数
就叫做该微分方程的解．确切地说，设函数n在区间上有阶连续导数，如果在区间上， y,,(x)II
(n),F[x,,(x),,(x),？,,(x)],0 那么函数y,,(x)就叫做微分方程（22）在区间的解． I
由前面的例子，可知函数（4）和（5）都是微分方程（1）的解；函数（9）和（10）都是微分方程（6）的解；函数（13）是微分方程（11）的解；函数（21）是微分方程（14）的解．
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方
程的通解．例如，函数（9）是微分方程（6）的解，它含有一个任意常数，而方程（6）是一阶的，所以函数（9）是微分方程（6）的通解；函数(4)是方程（1）的解，它含有两个任意常数，而方程（1）是二阶的，所以函数（４）是方程（1）的通解．
在利用微分方程求解实际问题时，所得到的含有任意常数的通解因其具有不确定性而不能满足需要，
通常还要根据问题的实际背景，加上某些特定的条件，确定通解中的任意常数．用来确定通解中任意常数
值的条件叫做初始条件．例1中的条件（2），例2中的条件（7）等,便是初始条件．
一般地，设微分方程中的未知函数为y,y(x)，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的初
始条件是
x,x时，y,y, 00
或写成 y,y． 0x,x0
224
其中、都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是： xy00
,,， x,x时，y,y,y,y000或写成 ,,,． y,yy,y00x,xx,x00
其中,和都是给定的值． x,yy000
由初始条件确定了通解中的任意常数的解，就叫做微分方程的特解．例如（5）式是方程（1）满足条
件（2）的特解；（10）式是方程（6）满足条件（7）的特解．
微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线．通解的几何图形是一族积分曲线，特解所
对应的几何图形是一族积分曲线中的一条．
第二节 变量分离方程
从本节开始，我们将在微分方程基本概念的基础上，从求解最简单的微分方程—可分离变量的微分方
程入手，从易到难地介绍一些微分方程的解法．
形如
dy,f(x),(y) （1） dx
的方程，称为变量分离方程．其中x和分别是和的连续函数． f(x),(y)y
下面说明方程（１）的求解方法．
如果,(y),0，我们可将方程（１）改写成
dy ,f(x)dx (y),
这样，变量就“分离”开来了，两边积分，得到方程（1）的通解
dy ,f(x)dx，C （2） ,,,(y)
dy1这里我们把积分常数Cf(x)dxf(x)明确写出来，而把，分别理解为，的某一个原函数． ,,,(y),(y)
如果存在y,(y),0y,y，使，直接代入方程（1），可知也是（1）的解．如果它不包含在方程000的通解（2）中．必须予以补上．
例1求微分方程
dy ,2xy (3) dx的通解．
225
解 方程（3)是变量分离方程，变量分离后得
dy,2xdx， y
dy两端积分 ,2xdx， ,,y
2得 ， lny,x，C1
22，xCCx11从而 ， y,,e,,eeC1因,e仍是任意常数，把它记作，得到 C
2x． （4） y,Ce
此外，显然也是方程（3）的解，如果在（4）中允许，则也就包含在（4）中，因C,0y,0y,0
此，（3）的通解便是方程（4），其中是任意常数． C
例２解方程． （5） xydx，(x，1)dy,0
解 变量分离，得
dyx ,,dx， yx，1
两边积分，得
dyx ,,dx， ,,yx，1
x，1,11,, lny,,dx,,1,dx， ,,,,x，1x，1,,
lny,lnx，1,,x，lnC， 1
y ln,,x，lnC， 1x，1
y,x ,CeC,,C（）， 1x，1
故所求方程的通解为
,xy,C(x，1)e． （6）
此外，y,0y,0显然也是方程（５）的解，而包含在（６）中，因此，方程（6）是（5）的
通解，其中C是任意常数．
例３解Malthus人口模型：
226
dx， ． ,rxx(0),x0dt
解 变量分离，得
dx， ,rdtx
两边积分，得
， lnx,rt，lnC
rtx(t),Ce， 因初始条件，，，所以，故满足初始条件的解为 x0,xc,x00
rtx(t),xe ． 0
形如
dyy ,,() （１） dxx的方程，称为齐次方程．这里u是的连续函数．例如： ,(u)
22(xy,y)dx,(x,2xy)dy,0，
是齐次方程，因为
yy2,()2dyxy,yxx． ,,2ydxx,2xy12(),x
下面说明方程（１）的求解方法．
作变量变换，令
y u,， （２） x
即，于是 y,ux
dydu,u，x， （３） dxdx将（２）和（３）代入方程（1），则原方程变为
duu，x,,(u)， dx
du即 x,,(u),u． dx
变量分离，得
dudx,， ,(u),ux两边积分，得
227
dudx,． ,,,(u),ux
y求出积分后，再用u代替，便得所给齐次方程的通解． x
例1解方程
dydy22． y，x,xydxdx
解原方程可写成
y2()2dyyx， ,,2ydxxy,x,1x
y因此是齐次方程．令,u,则 x
dydu， y,ux,,u，xdxdx于是原方程变为
2duuu，x,， dxu,1
duu即 x,． dxu,1变量分离，得
1dx(1,)du,， ux两端积分，得
u,lnu，C,lnx， 或写为 lnxu,u，C． y以u代入上式中的，便得所给方程的通解为 x
ylny,，C． x
dy例2 求解方程x，2xy,y(x,0) ． dx
dyyy解 将方程改写为 (x,0) ，这是齐次方程． ,2，dxxx
dyduy以,u,u，u及代入，则原方程变为 dxdxx
du x,2u， （4） dx
dudx分离变量，得到 ， ,x2u
228
u,ln(,x)，C两边积分，得到（4）的通解 ，即
2，，u,,,ln,x，C． 这里是任意常数． （5） (ln(,x)，C,0)C此外，方程（4）还有解 ， u,0
注意，此解并不包括在通解（5）中．代回原来的变量，即得原方程的通解
2 ,,y,xln(,x)，C 及解． (ln(,x)，C,0)y,0
第四节 一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程
形如
dy ，P(x)y,Q(x) （1） dx
的方程，叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数及其导数是一次方程．如果则方程（1）Q(x),0y
称为齐次的；如果不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的． Q(x)
当时，（１）可写成 Q(x),0
dy ，P(x)y,0 （2） dx
方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程．（2）是变量分离方程，变量分离后得
dy,,P(x)dx， y
两边积分，得
lny,,P(x)dx，lnC， 1,
由此得
,Pxdx(),y,Ce,(C,,C) （３） 1式（３）是所求的齐次线性方程（2）的通解．这里C是任意常数．
下面我们来讨论求非齐次线性方程（1）的通解的方法．
不难看出，（2）是（3）的特殊情形，两者既有联系又有差异．因此可以设想它们的解也应该有一定
的联系．我们试图利用方程（2）的通解（3）的形式去求出方程（1）的通解．显然，如果（3）中C恒保
持常数，它必不可能是（1）的解．我们设想：在（2）中，将常数xCu(x)换成的待定函数，使它满足
方程（１），从而求出u(x)．该方法称为常数变易法．为此，令
,P(x)dx, ,yue ， （４）
,P(x)dx,P(x)dxdy,,于是 ,,ue,uP(x)e． （５） dx
将（４）和（５）代入方程（1）得
229
,P(x)dx,P(x)dx,P(x)dx,,,,， ue,uP(x)e，P(x)ue,Q(x)
,P(x)dxP(x)dx,,即 ,,，． ,ue,Q(x)uQ(x)e
P(x)dx,两边积分，得 u,Q(x)edx，C． ,
把上式代入（４），便得非齐次线性方程（1）的通解
,P(x)dxP(x)dx,,,,yeQ(x)edxC （６） ,，,,,,,
将（６）式改写成两项之和
,P(x)dx,P(x)dxP(x)dx,,,yCeeQ(x)edx,，,上式右端第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解．由此可知，一阶非齐次线性方程通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．
例 1 求方程
5dy2y2,,(x，1) dxx，1
的通解．
解 这是一个一阶非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．
dy2,y,0， dxx，1
dy2dx变量分离，得 ， ,yx，1
两边积分，得 lny,2lnx，1，lnC， 1
2即 y,C(x，1)C,,C（）． 1
用常数变易法，把，，C换成ux，即令
2 y,u(x，1)， （7）
dy2那么 ,,u(x，1)，2u(x，1)， dx
代入所给非齐次方程，得
12,u,(x，1)．
322两边积分，得 u,(x，1），C． 3
在把上式代入（７）式，即得所求方程的通解为
3，，222(1)(1)y,x，x，，C． ,,3，，
230
dyxn，1n例2 求方程的通解，这里为常数． (x，1),ny,e(x，1)dx
dynxn解： 将方程改写为 ， （8） ,y,e(x，1)dxx，1
dyn 首先，求齐线性方程 ,y,0的通解， dxx，1
dyn从,dx得到齐线性方程的通解为 yx，1
ny,C(x，1)．
其次，应用常数变易法求非齐线性方程的通解．为此，在上式中把x看成为的待定函数，即 Cu(x)
ny,u(x)(x，1)， （9）
dydu(x)nn,1微分之，得到 ,(x，1)，n(n，1)u(x)． （10） dxdx
du(x)x以（9）及（10）代入（8），得到 ,e， dx
~x积分之，求得 (),，uxeC，
因此，以所求的代入（9），即得原方程的通解 C(x)
~~nx y,(x，1)(e，C)C． 这里是任意常数 二 、 伯努利方程
形如
dyn ，P(x)y,Q(x)y (n,0,1) （11） dx
的方程叫做伯努利方程．当n,0n,1或时，这是线性微分方程．当n,0,n,1时，这方程不是线性的，
n但是通过变量的代换，便可把它化为线性的．事实上，以y除方程（10）的两边，得
dy,n1,n y，P(x)y,Q(x)． （12） dx
d1,n容易看出，上式左端第一项与(y)1,n只差一个常数因子，因此，我们令 dx
1,nz,y，
那么
dzdy,n,(1,)ny． dxdx
用(1,n)乘方程（12）的两端，再通过上述变换便得线性方程
dz，(1,n)P(x)z,(1,n)Q(x)． dx
231
1,n求出这方程的通解后，以y代z，便可得到伯努利方程（11）的通解．此外，当时，方程还有解． n,0y,0
例3 求方程
dyy2， ，,a(lnx)ydxx
的通解．
2解 以y除方程的两边，得
dy1,2,1y，y,alnx． dxx
,1d(y)1,1即 ,，y,alnx． dxx
,1 令z,y，则上述方程成为
dz1,z,,alnx， dxx
这是一个线性方程，它的通解为
a，，2zxC(lnx)． ,,,,2，，,1以yz代，故得所求方程的通解为
a，，2yxC,(lnx),1． ,,2，，
此外，方程还有解y,0．
y,,在上节中，对于齐次方程,,y,，我们通过变量变换，把它化为变量可分离的方程，然y,xu,,x,,
后分离变量，经积分求得通解．在本节中，对于一阶非齐次线性方程
,y，P(x)y,Q(x)， 我们通过解对应的齐次线性方程找到变量变换
,P(x)dx,,yue， 利用这一代换，把非齐次线性方程化为变量可分离的方程，然后经积分求得通解．对于伯努利方程
n,y，P(x)y,Q(x)y，
1,n我们通过变量变换y,z，把它化为线性方程，然后按线性方程的解法求得通解，可见，以上方程都是
通过变量变换化为可求解方程来求解的，该方法适合很多特殊方程求解．
232
第五节 可降阶的高阶微分方程 从这一节起，我们讨论二阶及二阶以上的微分方程，即所谓的高阶微分方程，对于有些高阶微分方程，
我们可以通过变量变换将它化成较低阶的方程来求解．下面以二阶微分方程为例来介绍：
二阶微分方程的一般形式为
,,, F(x,y,y,y),0或者
,,, y,f(x,y,y)
一般来说，二阶微分方程要比一阶微分方程的求解复杂一些．但是对于某些二阶微分方程来说，如果
我们能设法作变量代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能应用前面几节中所讲的方法来求出它的解了．
下面介绍三种容易降阶的二阶微分方程的求解方法．
,,，，y,fx
形如
,, （１） y,f(x)
的方程，右端仅含有自变量x．两端同时积分一次，就化为一阶方程
, y,f(x)dx，C1,
再积分一次，得到通解
y,[f(x)dx，C]dx，C12,,
，，n一般地对ny,f(x)求解，只需对方程两端积分次．
例1 求解方程
,x ,,y,sin2x，e．
解 对所给的方程连续积分两次，得
1,x ,y,,cos2x,e，C， 12
1,xy,,sin2x，e，Cx，C 124
所求的通解为
1,x y,,sin2x，e，Cx，C． 124
例2 求微分方程
2x ,,,y,e,cosx．
的通解．
解 对所给方程连续积分三次，得
12x,,y,e,sinx，C， 2
1x2,y,e，cosx，Cx，C， 24
233
1C,,x22C ． y,e，sinx，Cx，Cx，C,,,123128,,
所求的通解为
1x22y,e，sinx，Cx，Cx，C． 1238
,,, y,f(x,y)
形如
,,, （２） y,f(x,y)
的方程，右端不显含未知函数． y
这时，只要令
, y,p,
那么
dp,,,y,,p dx而方程（２）就化为
,． p,f(x,p)这是一个关于变量的一阶微分方程，再按一阶方程求解．设其通解为 x、p
p,,(x,C)． 1
dy但是p,，因此又得到一个一阶微分方程 dx
dy,,(x,C)． 1dx
对它进行积分，便得方程（２）的通解为
y,,(x,C)dx，C． 12,
例3 求微分方程
2,,,(1，x)y,2xy， 满足初始条件
,y,1,y,3 x,0x,0的特解．
解 所给方程是,,,,y,f(x,y)y,p,型的．令代入方程并分离变量后，有
dp2x,dx． 2p1，x两边积分，得
2lnp,ln(1，x)，C,
234
2C,，，即 p,y,C(1，x)． C,,e 11
由条件,，得 y,3x,0
， C,31
2所以 ,y,3(1，x)．
3两边再积分得 y,x，3x，C． 2又由条件得 y,1,x,0
C,1， 2于是所求的特解为
3y,x，3x，1．
,,,y,f(y,y)
形如
,,, (３) y,f(y,y)的方程，其中不明显地含自变量x．
这时，只要令,,,，并利用复合函数的求导法则把化为对的导数，即 y,pyy
dpdpdydp,,y,,,,p dxdydxdy这样方程(３)就成为
dp p,f(y,p)． dy
这是一个关于变量的一阶微分方程，再按一阶微分方程求解．设它的通解为 y,p
,y,p,,(y,C)， 1分离变量并积分，便得方程（３）的通解为
dy xC,，． 2,,(y,C)1
例4 求微分方程
2,,,yy,y,0 的通解．
解 所给方程是,,,,y,f(y,y)y,p型的．令 ，则
235
dp ， ,,y,pdy
代入原方程，得
dp2 yp,p,0． dy
在、时，约去并分离变量，得 y,0p,0p
dpdy． ,py
两边积分，得
， lnp,lny，C
C'即 y,Cy(C,,e)p,Cy，或 ． 111
再分离变量并两端积分，便得所求方程的通解为
'， lny,Cx，C21
＇ＣｘC２１ 或 y,Ce ． （C＝,e)2２
第六节 二阶线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶齐次线性微分方程的形式为
,,,y，P(x)y，Q(x)y,0 ． （1）
如果,y、y的系数P(x)、Q(x)均为常数，则（1）式为
,,,y，py，qy,0， （2）
其中是常数，则称（2）为二阶常系数齐次线性微分方程．如果不全为常数，称（1）为二阶p、qp、q变系数齐次线性微分方程．下面我们主要研究二阶常系数齐次线性微分方程的解法．
关于方程（２），我们不加证明地给出二阶常系数齐次线性微分方程的有关定理：
定理1 （解的叠加定理）如果y、y是方程（２）的两个解，那么 12
y,Cy，Cy 1122
也是（2）的解，其中C,C是任意常数． 12
236
y1定理2 如果是方程（２）的两个不成比例的特解（即），则就,常数y、yy,Cy，Cy,121122y2是方程（２）的通解，其中是任意常数． C,C12
在这里我们之所以要求不成比例，是因为如果有，那么就可推出y,yy,Cy1212
，，，即通解中的两个任意常数变成一个． y,Cy，Cy,CC，Cyy,Cy，Cy11221221122
y1根据定理2，要求（２）的通解，只要设法先求出它的两个解，且,常数，则y,yy,Cy，Cy,121122y2
就是方程（２）的通解．
仔细观察方程（2）可知，它的解应该具有各阶导数都只相差一个常数因子的性质，因此我们推测
方程（2）的解是指数函数．
rxrx取y,ey,err（为常数），选取适当的，使它满足方程（２），则就是方程（2）的解．
rx将y,e代入方程（2），得到
2rx(r，pr，q)e,0．
rx由于e,0，所以
2 r，pr，q,0． （3）
rx由此可见，只要y,er满足代数方程（3），函数就是微分方程（2）的解．我们把代数方程（3）叫
2做微分方程（2）的特征方程．特征方程（3）是一个二次代数方程，其中r、r的系数及常数项恰好依次是微分方程（2）中,,,y、y及的系数． y
特征方程（3）的两个根r、r可以用公式 12
2,p,p,q4r, 1,22
求出．它们有三种不同的形式：
2（i）当p,4q,0r,r时，是两个不相等的实根： 12
22,p，p,q,p,p,q44r,r,， 1222
2（ii）当p,4q,0r,r时，是两个相等的实根： 12
pr,r,, 122
237
2（iii）当p,4q,0时，是一对共轭复根： r,r12
r,,，i,,r,,,i,,12
2q,p4p其中 ． ,,,,,,22
相应地，微分方程（2）的通解也就有三种不同的情形．分别讨论如下： （?）特征方程有两个不相等的实根：． r,r12
yrxrx122微分方程（2）有两个解y,e、y,e，并且不是常数，因此微分方程（2）的通解为 12y1
rxrx12y,Ce，Ce． 12（?）特征方程有两个相等的实根：r,r． 12
这时，微分方程（2）有一个解
rx1y,e. 1
y2下面求出微分方程（2）的另一个解y，并且要求不是常数． 2y1
yrx12设即y,eu(x),u(x)，，代入微分方程（2），可得 2y1
,,u(x),0
因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取u,x，由此得到微分方程（2）的另一个解
rx.1y,xe 2
从而微分方程（2）的通解为
rxrx11y,Ce，Cxe 12
rx1即 ，，y,C，Cxe 12
（?） 特征方程有一对共轭复根：r,,，i,,r,,,i,(,,0)． 12
y，，，，,，i,x,,i,x2 这时，微分方程（2）有两个解y,e,y,e ，并且不是常数．但它们是复值函数形12y1
i,式．为了得出实值函数形式，我们先利用欧拉公式e,cos,，isin,把y,y，改写为 12
，，,，i,x,xi,x,xy,e,e,e,e(cos,x，isin,x), 1
，，,,i,x,x,i,x,xy,e,e,e,e(cos,x,isin,x)． 2
238
由于复值函数之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部；取它们的差除以y与y12
2i就得到它们的虚部．根据方程（2）有关解的定理，所以实值函数
1,x y,(y，y),ecos,x,1122
1,x y,(y,y),esin,x2122i
,xyecos,x1还是微分方程（2）的解，且不是常数，所以微分方程（2）的通解为 ,,cot,x,xyesin,x2
,xy,e(Ccos,x，Csin,x)． 12
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程
,,, ， y，py，qy,0的通解的步骤如下：
第一步 写出微分方程（2）的特征方程
2 r，pr，q,0．
第二步 求出特征方程（3）的两个根r,r． 12
第三步 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：
2特征方程,,,y，py，qy,0的通解 微分方程r，pr，q,0r,r的两个根 12
rxrx12两个不相等的实根r,r y,Ce，Ce 1212
rx1两个相等的实根r,r y,(C，Cx)e 1212
,x一对共轭复根r,,,i, y,e(Ccos,x，Csin,x) 1,212
例1 求微分方程,,,y,2y,3y,0的通解．
解 所给微分方程的特征方程为
2r,2r,3,0， 其根r,,1,r,3是两个不相等的实根，因此所求通解为 12
,x3xy,Ce，Ce． 12
2dsds例2 求方程,，2，s,0s,4、s,,2满足初始条件的特解． t,0t,02dtdt
解 所给微分方程的特征方程为
239
2r，2r，1,0， 其根是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 r,r,,112
,ts,(C，Ct)e， 12将初始条件,代入通解，得， C,4C,2s,4、s,,212t,0t,0
于是所求特解为
,ts,(4，2t)e．
例３ 求微分方程,,,的通解． y,2y，5y,0
解 所给方程的特征方程为
2r,2r，5,0, 其根r,1,2i为一对共轭复根．因此所求通解为 1,2
xy,e(Ccos2x，Csin2x)． 12二、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是
,,, （4） y，py，qy,f(x),其中是常数，． f(x),0p、q
当f(x),0时，（4）可写为
,,,． （5） y，py，qy,0叫作方程（4）对应的二阶常系数齐次线性微分方程．
关于方程（4）的通解，我们不加证明地给出如下定理：
,定理3 如果y是方程（4）的一个特解，是方程（4）对应的齐次方程（5）的通解，则方程（4）Y
的通解为
, y,Y，y．
由上述定理3可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的通解，归结为求对应的齐次线性方程（5）的通解和非齐次方程（4）本身的一个特解．由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法已得到
,解决，所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解y的方法．
,本节介绍当方程（4）中的y，，fx取两种常见形式时求的方法．这种方法的特点是不用积分就可以
,求出yf(x)来，这种方法叫做待定系数法．的两种形式是
240
,xxm（1）f(x),P(x)e，其中是常数，是的一个次多项式： P(x),mm
mm,1(P)x,ax，ax，,,,，ax，a． m01m,1m
x,（2）xf(x),e[P(x)cos,x，P(x)sin,x]，其中是常数，P(x)、P(x)分别是的次、,、,llnlnn次多项式，其中有一个可为零．
,下面分别介绍y为上述两种形式时的求法． f(x)
,x1．f(x),eP(x)型 m
,我们知道，方程（4）的特解y是使（4）成为恒等式的函数．怎样的函数能使（4）成为恒等式呢？
,x因为（4）式右端e是多项式P(x)与指数函数的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同f(x)m
,,,,x,,,一类型，因此，我们推测y,Q(x)e(其中是某个多项式)可能是方程（4）的特解．把Q(x)y、y及y
,,xy,Q(x)e代入方程（4），然后考虑能否选取适当的多项式，使满足方程（4）．为此将 Q(x)
,,xy,Q(x)e,
,,,x ,,,， y,e,Q(x)，Q(x)
,,,x2 ,,,,, ,，，ye,Q(x)2,Q(x)Q(x)
,x代入方程（4）并消去e，得
2,,,Q(x)，(2,，p)Q(x)，(,，p,，q)Q(x),P(x)． （6） m
推导可知如下结论：
,x如果f(x),P(x)e，则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）具有形如 m
,k,xy,xQ(x)e （7） m
的特解，其中Q(x)P(x),是与同次(m次）的多项式，而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根mm
或是特征方程的重根依次取为0、1或． 2
上述结论可推广到n,k阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（7）式中的是特征方程含根的重
s复次数（即若s,,k0k不是特征方程的根，取为；若是特征方程的重根，取为）．
例1 求微分方程,,,y,2y,3y,3x，1的一个特解．
,x解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数P(x)eP(x),3x，1,,,0f(x)是型（其中）． mm与所给原方程对应的齐次线性微分方程为
,,,y,2y,3y,0,
241
它的特征方程为
2r,2r,3,0．
有两个实根，由于这里不是特征方程的根，所以应设特解为 r,,1,r,3,,012
,y,bx，b． 01把它代入原方程，得
,3bx,2b,3b,3x，1, 001比较两端x同次幂的系数，得
,3b,3,0 ,bb,2,3,101,
1由此求得b,,b,．于是求得一个特解为 1,013
1,． ,,，yx3
2x例2 求微分方程,,,y,5y，6y,xe的通解．
,x解 所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f(x)是P(x)e型P(x),x,,,2）（其中． mm
与所给原方程对应的齐次线性微分方程为
,,,， y,5y，6y,0它的特征方程为
2r,5r，6,0， 有两个实根r,2,r,3，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为 12
2x3xY,Ce，Ce． 12
, 由于y,,2是特征方程的单根，所以应设为
,2xy,x(bx，b)e， 01把它代入所给原方程，得
,2bx，2b,b,x， 001比较等式两端同次幂的系数，得
,2b,1,0， ,bb2,,001,
1解得b,,,b,,1．因此求得一个特解为 012
242
1,2x． y,x(,x,1)e2
从而所求的通解为
12x3x22x． y,Ce，Ce,(x，2x)e122
x, 2．,,f(x),eP(x)cos,x，P(x)sin,x型 ln
应用欧拉公式和方程（4）有关解的定理，不加证明地可得如下结论：
,x如果,,f(x),eP(x)cos,x，P(x)sin,x则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的特解可设为 ln
kx,,(1)(2) y,xe[R(x)cos,x，Rsin,x] （8） mm
(1)(2)其中mR(x),R(x)是次多项式，，而k按,，i,（或）不是特征方程的根、m,max{l,n},,i,mm
或是特征方程的单根依次取为0或1．
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（8）式中的是特征方程中含根,，i,k（或）的重复次数． ,,i,
例3 求微分方程,,的一个特解． y，y,xcos2x
x,解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且属于,,f(x),eP(x)cos,x，P(x)sin,x型ln
（其中,,0,,,2,P(x),x,P(x),0）． ln
与所给方程对应的齐次方程为
,,， y，y,0它的特征方程为
2r，1,0，
有两个复根r,i,r,,i,，i,,2i，由于这里不是特征方程的根，所以应设特解为 12
,y,(ax，b)cos2x，(cx，d)sin2x． 把它代入所给方程，得
（,3ax,3b，4c)cos2x,(3cx，3d，4a)sin2x,xcos2x． 比较两端同类项的系数，得
,3a,1,
,,3b，4c,0,， ,,3c,0,
,,3d,4a,0,
14由此解得 a,,,b,0,c,0,d,． 39
于是求得原方程的一个特解为
243
14,． y,,xcos2x，sin2x39
以上我们主要介绍了二阶线性微分方程的解法，该方法可以推广到高阶线性微分方程．
244
范文二：Gronwall不等式的几个推广及其在微分方程中的应用_郑丽芳
:作者简介 :郑丽芳 (1975-) , 女 , 福建莆田人 , 中学一级教师 。
0引言
我们称下列引理为 Gronwall 引理 。 引理 1(Gronwall 不等式 )
设非负函数 E (t )
在 [0, T ]连续可微 , E (0) =0, 且对 t ∈ [0, T ], 有
d E (t ) ! CE (t )+F (t ) (1)
其中 C 为常数 , F (t ) 为 [0, T ]上单调增加的非负可
积函数 , 则有
d E (t ) ! e Ct F (t )
(2)
和
E (t ) ! C -1(e Ct -1) F (t )
(3)
为了证明引理 1, 只需对式 (1) 两边同乘 e -Ct , 对 t 在 [0, T ]上积分即可得到 [1]。
1Gronwall 不等式的几个推广
本节将给出几种 Gronwall 不等式的变形 , 如
Bihari 型和带奇性的 Gronwall 不等式以及多维空
间中的 Gronwall 不等式等 , 并且加以证明 。 [2-4]
定理 1
设 h (x ) 是 (0, ∞ ) 上单调递增的连续函
数 , h (x )>0, 当 x >0时 。 v (t ) 是 [a , b ]上非负的连续 函数 , w (t ) 是 [a , b ]上有界可测 。 如果存在正常数 C 1,
C 2, 使得
w (t ) ! C 1+C 2
t
a
(4)
第 14卷 第 2期
莆 田 学 院 学 报
Vol.14No.22007年 4月
J ou r n a l of P u t i a n University
Apr. 2007
文章编号 :1672-4143(2007) 02-0024-05
中图分类号 :O175
文献标识码 :A
Gronwall 不等式的几个推广及其在微分方程中的应用
郑丽芳 1,
吴珍莺 2
(1. 莆田一中 , 福建 莆田 351100; 2. 莆田学院 数学与应用数学系 , 福建 莆田 351100)
摘 要 :对经典的 Gronwall 不等式进行了推广 , 得到了 Bihari 型 、
带奇性型的 Gronwall 不等式和一种多维空 间中 Gronwall 型不等式 , 并用实例说明了各种类型的 Gronwall 不等式在获得微分方程解的一些基本估计中的 作用 。
关键词 :Gronwall 不等式 ; 奇性 ; 微分方程 ; 估计
Some Generalized Gronwall ' s Inequalities and
Their Application in Diferential Equations
ZHENG Li-fang 1, WU Zhen-ying 2
(1. No.1Middle School of Putian, Putian 351100, China ;
2. Mathematics &Applied Mathematics Department, Putian University, Putian 351100, China )
Abstract :It is well-known that the inequality of Gronwall's type may be important to estimate for the
solutions of various differential equations. We intend to get some generalizations of this type of inequality such as Bihari's inequality, Gronwall's inequality with singularity and Gronwall's inequality in several variables space. We also cite some examples in illustration of its application.
Key words :Gronwall's inequality ; singularity ; differential equations ; estimate
第 2期 郑丽芳 , 等 :Gronwall 不等式的几个推广及其在微分方程中的应用
t ∈ [a , b ], 则有
w (t ) ! H
-1
H (C 1
)+C 2
t
a
s (5) a . e 于 [a , b ], 其中 H (w ) =w
w 0
>0。
特别当 w (t ) 在 [a , b ]上连续 , 则结论 (5) 几乎处处可加强为
处处成立 。
证
不妨设 h (x ) 有严格正下界 , 否则我们可
用 h (x )+! 代替 h (x ) 进行类似的讨论 , 再令
d
H C 1+C 2t a
&
s =C 2v (t ) h (w (t ))
h C 1+C 2
a
v (s ) h (w (s ))d s
a . e 于 [a , b ], 由条件 (4) , 我们有
v (t ) h (w (t ))
h C 1+C 2
a
t ∈ [a , b ], 代入上式即得
d
H C 1+C 2t a
&
s ! C 2
v (t ) a . e 于 [a , b ], 两 边 对 t 在 [a , t ]上 积 分 , 再 利 用 条 件
(4) 以及 H 的单调性 , 即得不等式 (5) 。
显然若 w (t ) 在 [a , b ]上连续 , 由于 Lebesgue 积分为 Riemann 积 分 , 由 N -L 公式 , 不等式 (5) 对所有 t ∈ [a , b ]成立 。
定理 2(带奇性的 Gronwall 不等式 ) 设 v (t ) ’
0且在 [0, T ]上连续 , 若存在正常数 C 1, C 2和 #, 其
中 $<1, 使得当="" t="" ∈="" [0,="" t="">
v (t ) ! C 1+C 2
t
v (s )(t-s ) %-1d s
(6)
则存在常数 M >0, 使得当 t ∈ [0, T ]时 , 有
v (t ) ! MC 1
(7)
其中 M 依赖于 &, T 和 C 2。
为了证明定理 2, 我们需要建立如下引理 。 引理 2
设 p , q >0, 则
B (p , q ) =’ (p ) ((q )
(8)
其中 B (. , . ) 与 *(.) 分别为通常的 Beta 与 Garma
函数 , 即
B (p , q ) =
1
p-1
(1-x ) q-1d x
和
+(p ) =∞
p-1e -x
d x
定理 2的证明 :由不等式 (6) 我们得
v (t ) !
C 1+C 2
t
(t-s ) , -1C 1+C 2
s
v (! )d ()
! d s =C 1
1+C 2
() 0
12(*+C 22
t 0
!
v (! )d ! d s 令 x =s-! , 并由引理 2得
t
!
5-1
(t-s ) 6-1d s =
10
27-1x 8-1
(1-x ) 9-1d x =:2
(; ) (t-! ) 2>-1
将此式代入上式即得
v (t ) !
C 11+C 2
t ? %&
+C 22A 2(B ) t
2E -1
v (! )d !
t ∈ [0, T ], 由不等式 (6) 得到
v (t ) !
C 11+C 2t
F +C 22
H 2(I ) t 2+
*
K +C 3
2L 2
(M ) t 0
2P -1
(! -s ) Q -1v (s )d s d !
再重复上面的作法 , 经过 n-1次得到
v (t ) !
C 11+C 2t R S
+C 22
2(U ) t 2W +… +C n-12n-1(Y ) t (n-1) (*
[
+C n
2\n
(]) n t
v (! )d ! t ∈ [0, T ], 其中 n =1
a
*+1, 注意到 n b -1>0, 应用 定理 1即得估计式 (7) 。
对多维的情形我们有如下的定理 。 定理 3设 u (x , t ), v (x , t ) 在 G =[0, a ]×[0, b ]上非
负连续 , 且 C 为正常数 , 当 (x , t ) ∈ G , 则下面的不等
式成立 。
u (x , t ) ! C +
t 0
(9)
则
u (x , t ) ! Ce
t 0
(10)
25
莆 田 学 院 学 报 2007年 4月
证 设 w (x , t ) =C +
t 0
! x
!
v (! ,
算得
1#w
#=v (x , t ) u (x , t ) -1x 0
! v (! ,
! v (x ,
根据 v (x , t ), u (x , t ) 的非负性以及不等式 (9) 得到
%1’ w
$
%v (x , t ) (x , t ) ∈ G , 分别对 x , t 积分并注意到
w (0,0) =w (0, t ) =w (x ,0) =C
和
) w (x ,0) =0
即得到式 (10) 。
2应用
本节我们举几个例子 , 阐明 Gronwall 引理及 其推广在微分方程中的一些应用 。
例 1
设 +(x ) 为 [a , b ]上非负连续函数 , C 为正
常数 , 且满足
1x 2(t ) %C +
t
a
! , (s ) x (s )d s
(11)
一切 t ∈ [a , b ], 则
x (t ) %&+
t
a
! -(s )d s
(12)
证
令 w (t ) =x 2(t ), h (w ) =&则当 w >w 0>0,
w
w 0
! d w =2&-0
&
应用式 (11) , 由定理 1得
x (t ) %x (a ) +
t
a
! . (s )d s
而由式 (11) x 2(a ) %2C , 代入上式得到式 (12) 。
对于抽象的微分方程的解 , 我们有下列的估计 。 例 2
设函数 F (t , X ) :[a , b ]×R n
→ R n
, 且满足
(F (t , X ) (%/(t ) g ((X ()
(13)
其中 () (表示 R n 中的范数 , 0(t ) 为 [a , b ]上非负 连续函数 , g (s ) 为连续的不减的函数 , 且 g (s )>0, 当 s >0。 设 X (t ) :[a , b ]→ R n 且满足微分方程
d X =F (t , X )
(14)
求证 :当 t ∈ [a , b ], X (t ) 有界 。 证
设 X (t ) =(x 1(t ), … , x n (t )) , 当 (X (t ) (>0,
由 Cauchy 不等式得
d (X (=n
i =1
*x i
d
x i
%
d X 由条件 (13) 得
d (X (%1(t ) g (X +$
(由定理 1得
(X (%G -1G (X (a )
(+b a
! 2(s )d
$s (15)
其中 G (u ) =u
u 0
! d s , u >u 0
, 0。
同时我们有
d (X (
, -3(t ) g (X
(X (,G -1G (X (a )
b a
! 4(s )d
$s (16)
当 G ((X (a ) ()>b
a
! 5(s )d s 时 , 结合 (15) 和 (16) ,
即得欲证 。
例 3
设 Q T =(0, l ) ×(0, T ], u ∈ C 2(Q T ) ∩ C (Q . T ) 是
下列弦振动方程初边值问题 :
62u -a 282u =t -:f (x , t ) (x , t ) ∈ Q T
(17) u (x ,0) =; (x ) x ∈ [0, l ](18) u t
(x ,0) =<(x )="" x="" ∈="" [0,="" l="" ](19)="" u="" (0,="" t="" )="u" (l="" ,="" t="" )="0t" ∈="" [0,="" t="">
112
)
的解 , 其中 0<><1,>(x ) ∈ C 1[0, l ], ? (x ) ∈ C [0, l ],
f (x , t ) ∈ C (Q .
T ) , 求证能量模估计 :sup
[0, T ]
l 0
! A t
#2
+a 2
C x
#2
34
d x %C
l 0
! D 2+a 2E x 2
$
d x +Q T
5
f 2(x , t )d x d 36
t (21)
其中 C 依赖于 F 和 T 。
证 方程 (17) 两边同乘 G u 并在 Q T 上积分 ,
由于
I u J t K 2u L t -a 2M u N t O 2u P x =1Q
R t S u
$2
-
26
第 2期 郑丽芳 , 等 :Gronwall 不等式的几个推广及其在微分方程中的应用 a 2! #u %u
+1a 2’ ) u
2
我们有
Q T
#1+-u
+a 2
/u
2
&-a 21
3u 5u
d x d t =Q T
#t
-7
8u f (x , t )d x d t
由 Green 公式并利用边界条件 (20) 得
l 0
1:u
+a 2
%t =T
t =0d x =
Q T
#
t ->? u f (x , t )d x d t (22)
把初始条件式 (18) 、 (19) 代入式 (21) 的左边 , 对右 边应用 Cauchy 不等式得
l
(A u
+a 2
C u 2
t =T d x )
Q T
#t -2E
G t
2
d x d t +Q T
#f 2(x , t )d x d t +l
(H 2
+a 2
I x
2!
v (t ) =l
(J u
+a 2
L u
! =t d x K =
Q T
#
f 2
(x , t )d x d t +
l
(N 2
+a 2
O x
2!
v (t ) )
Q T
#! -2P
R !
2
d x d ! +K 应用带奇性的 Gronwall 不等式 (定理 2) , 即得
v (t ) ) C 1K
其中 C 1依赖于 S 和 T , (21) 证毕 。
我们知道热传导方程初边值问题解的最大模 估计一般是通过抛物型方程的极值原理得到的 。 作为 Gronwall 不等式的应用 , 我在这里用定理 3来估计热传导方程初边值问题解的最大模 。
例 4设 u ∈ C 2,1
(Q T ) ∩ (Q +T ) , 热传导方程初边
值问题
T u -a 2V 2u =f (x , t ) (x , t ) ∈ Q T (23) u (x ,0) =X (x ) x ∈ [0, l ](24) u (0, t ) =u (l , t ) =0t ∈ [0, T ]
(25-.
/
)
证
方程两边同乘 u 在 Q T 上积分得到
Q T
#u Y u Z t -a 2[2u
\
d x d t =Q T
#uf d x d t 上式左边应用 Green 公式以及边界条件 (25) , 右边
应用 Cauchy 不等式得
l
(u 2
(x , t ) t =T
t =0d x +2a 2
Q T
#]u
d x d t )
Q T
#u 2
d x d t +Q T
#f 2d x d t
即
l
0(u 2(x , t )d x )
Q t
#u 2
d x d t +Q T
#f 2
d x d t +l
(
d x
(26)
由于 , 一方面
x
0(
_u 2(‘ , t ) d c =u 2(x , t ) -u 2(0, t )
(27)
另一方面应用 Cauchy 不等式 , 得
x 0
(
2(e , t ) fg
d h =2x 0(u (i , t ) j u (k , t ) d n )
x
(u (o , t )d p +x
(q u (r , t )
st
2
d u (28)
方程 (23) 两边同乘 v u w t
, 并在 Q T 上积分得
Q T
#x u
y t
-a 2
z u |2u &
d x d t =Q T
#f (x , t ) ~u d x d t (29)
对式 (29) 左边被积函数可化为
Q T
# t
d x d t +
Q T
#a 2 t
u
-a 2
x u
u
&d x d t 27
莆 田 学 院 学 报
2007年 4月
将上式第二个积分应用 Green 公式代入式 (29) , 并 注意到边界条件 (25) , 可得
l
0a 2
! u 2
t =T
t =0d x +Q T
$#u
&2
d x d t =Q T
$
f (x , t ) %u d x d t
(30)
对式 (30) 右边应用带 ’ 的 Cauchy 不等式得
l 0
! (u &2d x +Q T
$*u
&2
d x d t ’ M
l
! , 2x
d x +Q T
$f 2
(x , t )d x d t (31) 其中 M =max 2, 4
) 。 结合式 (26) 、 (27) 、
(28) 和 (31) 得
u 2(x , t ) ’ K +
t 0
! x
0! u 2
(-, ! )d . d !
(32)
其中 K =
Q T
$f 2
(x , t )d x d t +l
! /2
(x )d x , 由 式 (32) 定 理
3, 即得
u 2(x , t ) ’ MK
其中常数 M 依赖于 a , l , T 。
参考文献 :
[1]姜礼尚 , 陈亚浙 . 数学物理方程讲义 [M]. 北京 :高等教育
出版社 , 1986.
[2]L C Evans. Partial differential equations [M]. Trans. American Math. Society, 1998.
[3]Guofu Lu. Source-type solution of nonlinear diffusion-convection equations [D]. Suzhou :Suzhou University, 1999.
[4]梁绍君 . 关于 Gronwall 不等式的注记 [J]. 西南交通大学
学报 , 2004(3) :394-396.
[责任编辑 林 锋 ]
(上接第 23页 )
+∞
-1!
V '(S (1+y ))(1+y )d N (y )]=
-(q +1+2k ) -3+∞ -1
! V '(h 0
(1+y ))(1+y )d N (y ) ’ -(q +4+5k )+6+∞ -1
! (1+y )d N (y ) =-q <>
即 V '''(h 0)<0。 由="" 于="" v="" ''(h="" 0)="0," 故="" 存="" 在="" 7="">0, 当 h 0
又由于 V '(h 0) =-1, 故当 h 0
故 V ''(h 0)>0。
定理 2
对于最佳实施边界 , 有如下误差估计
式 :存在 t 0>0, 当 t >t 0时 h (t ) -h 0’ M 2h (t ) a
e b t
M 2h a 0e b t , 其中 M 2=2
M 1
01
, M 1
、
a 、 b 与定理 1同 。
证 我们有边值条件 U (h (t ), t ) =K-h (t ) , V (h 0) =
K-h 0, V '(h 0) =-1, 因此由 Taylor 展开得到
V (h (t )) -U (h (t ), t ) =1V ''(:(t ))(h (t ) -h 0) 2
其中 h 0<; (t="">
1V ''(<(t ))(h="" (t="" )="" -h="" 0)="" 2’="" m="">
h (t ) a e bt
由于 V '' (h 0)>0(引理 3的结论 ) , 存在 =>0, 当
h 0 h (t ) =h 0, 存 在 t 0>0, 当 t >t 0时 , 有 h 0 h 0<@(t> 1V ''(h 0)(h (t ) -h 0) 2’ M 1 h (t ) a e bt 即得定理 2中的估计式 。 参考文献 : [1]Merton R C . Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J]. J of Financial Economics, 1976(3) :125-144. [2]Pham H . Optimal stopping, free boundary and American option in a jump-diffusion model[J]. Appl Math Optim , 1997, 35:145-164. [4]A Friedman. 抛物型偏微分方程 [M]. 北京 :科学出版社 , 1984:186-223. [5]P Willmott. Derivatives:the theory and practice of financial engineering[M]. London :John Wiley &Sons, 1999:325-337. [责任编辑 林 锋 ] +++++++++++++++++++ 28 几个一阶微?分方程解法?之间的关系 题 目: ? 姓 名: 盛园甲 学 院: 数理学院 专 业: 数学与应用?数学 班 级: 052班 学 号: 05413?1215 指导教师: 刘书新 职称: 讲师 2008 年 12 月29 日 新疆农业大?学教务处制? 几个一阶微?分方程解法?之间的关系? 作者:盛园甲 指导教师:刘书新 摘要:本文主要介?绍了可分离?变量方程，一阶线性方?程，恰当方程的?解法，和它们解法?之间的关系?。 关键词:可分离变量?方程，恰当方程，积分因子法?。 引言: 随着常微分?方程在实际?生产、生活中表现?出重要的应?用性,因此研究常?微分方程的?解题方法也?变得十分必?要。一般的一阶?方程是没有?初等解法的?，本文就在与?介绍若干有?初等解法的?方程类型和?求解的方法?，及它们解法?之间的关系?， 在文献[1]中给出了三?种常见的常?微分方程及?其解法: 一:可分离变量?方程 形如 dy,,fxy()() (1.1) dx 的方程，称为可分离?变量方程，这里，分别是x,y的连续函?数。 fx(),()y 现在说明方?程(1.1)的求解方法?。 如果,(y)0,我们可将(1.1)写成 , dy,fxdx() dx 这样，变量就“分离”开来了，两边分别积?分，得到 dy (1.2) ,，fxdxc(),,,()y 1dyfxdx()这里我们把?积分常数c?明确写出来?，而把，分别理解为?，f(x),,()y,()y, 如无特别声?明，以后也做这?样的理解。 的某一个原?函数， 把(1.2)作为确定y?是x的隐函?数的关系式?，于是，对于任一常?数c，微分(1.2)的两边，就知(1.2)所确定的隐?函数y=y(x,c)满足方程(1.1)，因而(1.2)是(1.1)的通解。 ,()0y,y如果存在，直接带入，可知y=也是(1.1)的解。 00 二:一阶线性方?程 一阶线性微?分方程可以?写成 dy (2.1) ,，pxyx()(),dx 这里，是x的连续?函数。 px(),()x ,0若，则(2.1)变为 ,()x dy (2.2) ,pxy()dx (2.2)称为一阶线?性齐次方程?; ,0若，则称(2.1)为一阶非齐?次方程。 ,()x (2.2)是变量分离?方程，可用求变量?分离方程解?的方法求的?通解为 pxdx(), (2.3) yce, 这里c是任?意常数。 现在讨论非?齐次线性方?程(2.1)的通解的求?法。不难看出，(2.2)是(2.1)的特殊形式?，两者既有联?系又有区别?，因此可以设?想它们的解?也应该有一?定的联系而?又有区别。我们试图利?用方程(2.2)的通解(2.3)的形式去求?方程(2.1)通解，显然(2.3)中c恒保持?为常数，它必不可能?是(2.1)的解，我们设想:(2.3)中，将常数c变?易为待定函?数， 使它满足方?程(2.1)，从而求得。 cx()cx()为此，令 pxdx(),ycxe,() (2.4) 微分得 pxdx()dydcx(),,e (2.5) dxdx 将(2.4)，(2.5)代入(2.1)，得到 pxdxpxdxpxdx()()()dcx(),,,ecxpxepxcxeQx，,，()()()()() (2.6) dx 从而 ,pxdx()dcx(),,Qxe() dx 积分后即可?求得 ,pxdx(), (2.7) cxQxedxc()(),，1, 这里是任意?常数，将(2.7)代入(2.4)，得到 c1 pxdxpxdx()(),,, (2.8) yeQxedxc(()),，1, 这就是(2.1)的通解。 三:恰当方程 我们可以将?一阶方程 dy ,fxy(,) dx 写成微分形?式 fxydxdy(,)0,, 或把x，y平等看待?，写成下面具?有对称形式?的一阶微分?方程 (3.1) MxydxNxydy(,)(,)0，, 这里，都是的连续?函数，且具有连续?的一阶偏导?数。这样的形xy,Mxy(,)Nxy(,) 式?有时便于探?求方程的通?解。 如果方程(3.1)的 左端恰好是?某个二元函?数的全微分?，即 uxy(,) ,,uu (3.2) MxydxNxydyduxydxdy(,)(,)(,)，,,，,,xy则称(3.1)为恰当方程?。 容易验证，(3.1)的通解就是? uxyc(,), ，，, 或 MxydxNMxydxdyc(,)(,)，,, ,,,,,,y，， c这里是任意?常数。 四:可分离变量?方程，一阶线性方?程，恰当方程解?法之间的关?系 恰当方程可?以通过积分?求出它的通?解。因此能否将?一个非恰当?方程化为恰?当方 程就有?很大的意义?，积分因子就?是为了解决?这个问题而?引入的概念?。 如果存在函?数uuxy,,(,)0，使得 uxyMxydxuxyNxydy(,)(,)(,)(,)0，, 为一恰当方?程，即存在函数?v，使 (3.3) uMdxuNdydv，,,0 则称为方程?(3.1)的积分因子?。 uxy(,) 这时是(3.3)的通解，因而也就是?(3.1)的通解。 vxyc(,), 文献[2]中给出了，对于可分离?变量方程，一阶线性方?程都可以写?成具有对称?形 式的一阶?微分方程 (4.1) MxydxNxydy(,)(,)0，, 如果存在，使 ux()0, (4.2) uMdxuNdy，,0 成为全微分?方程，则称为方程(4.1)?的积分因子?。 u 因此，对于可分离?变量方程，一阶线性方?程的求解，就可归结到?寻求积分因?子。 容易看出是?方程(4.1)的积分因子?的充要条件?是 uxy(,) ,,()()uNuM ,,,xy 即 ,,,,uuMN NMu,,,(),,,,xyyx 企图从上式?找出u是很?困难的。 文献[12]给出了可分?离变量变量?分离方程，一阶线性方?程的积分因?子。 1:可分离变量?方程的积分?因子: dy,,fxy()()可分离变量?方程的一般?形式为，写成微分形?式得dx 11，两边同时乘?以得，此时易得方?程,,fxydxdy()()0,,,fxdxdy()0()y,,()y 1的通解为?(c为任意常?数)。由此可知方?程有积分因?子,,fxdxdyc(),,,()y 1u,。 ()y, 2:一阶线性方?程的积分因?子: dy,，pxyx()(),一阶线性方?程的的一般?形式为，写成微分形?式得 dx pxyQydxdy()()0，,, (4.3) ,, ,1pxyQy()()，其中M=,N=，算得 ,,MN,,,yx,,px() N ,pxdx(),pxdx(),,因而一阶线?性方程有只?与x有关的?积分因子，以乘(4.3)得ue,ue, 到 ,,,pxdxpxdxpxdx()()(),,, pxeydxedyQxedx()()0,，, 即 ,,,pxdxpxdxpxdx()()(),,, ydeedyQxe()0，,, 因此，(4.3)的通解为 pxdxpxdx()(),,, yeQxedxc(()),，, c为任意常?数。 这与前面得?到的结果(2.8)是一样的。 由此可知利?用积分因子?可以求解某?些一阶微分?方程，但对于不同?类型的方程?而言，这并不一定?是最好最简?便的方法，这就要求我?们在掌握基?本解法的同?时学会具体?问题具体分?析，尽可能采取?简便易操作?的方法。 结论 我通过以上?几例了解了?常微分方程?几个初等解?法之间的关?系，对于可分离?变量方程，一阶线性方?程的求解，就可归结到?寻求积分因?子，将其转化为?恰当方程，通过积分求?解。读了这几篇?文献之后 ，对常微分方?程初等解法?的认识加深?了，我可以对有?初等解法的?常微分方程?利用相似的?方法进行进?一步的研究?和探讨。 参考文献: [1] 中山大学数?学力学系常?微分方程组?，常微分方程?. 人民教育出?版社，1978. [2]胡林,常微分方程?自学指导.水利电力出?版社，1986. [3]东北师范大?学微分方程?教研室，常微分方程?.高等教育出?版社,1982. [4] 刘绛玉，关于一阶方?程的积分因?子法.广东石油化?工高等专科?学校学报，2000，(2). [5] 李长江，初等积分法?与一阶方程?解题初探.宜宾学院学?报，2006，(6). [6] 贾美娥，浅谈常数变?易法解常微?分方程.赤峰学院学?报(自然科学版?)，2008，(1). [7] 刘颖，一类特殊的?一阶常微分?方程的初等?积分法.沈阳航空工?业学院学报?，2004，(10). [8] Capas?so AD Liddo?，Madda?lena L.Asymp?totic? Behav?ior of a Nonli?near for the Gengr?aphic?al Diffu?sion of Innov?ation?s J.D ynami?c Syste?ms and Appl.1994. [9] 叶彦谦,常微分方程?讲义.人民教育出?版社，1979. [10] 刘林, 一阶常微分?方程初等解?法研究 . 河套大学学?报，2006，(6) . [11] 张伟年，杜正东，徐冰，常微分方程?.高等教育出?版社，2006. [12] 龚雅玲，求解微分方?程的积分因?子法.南昌教育学?院学报，2007，(1). 新疆农业大学 专业文献综述 题 目: 姓 名: 学 院: 专 业: 班 级: 学 号: 指导教师: 几个一阶微分方程解法之间的关系 盛园甲 数理学院 数学与应用数学 052班 054131215 刘书新 职称: 讲师 2008 年 12 月29 日 新疆农业大学教务处制 几个一阶微分方程解法之间的关系 作者：盛园甲 指导教师：刘书新 摘要：本文主要介绍了可分离变量方程，一阶线性方程，恰当方程的解法，和它们解法之间的关系。 关键词：可分离变量方程，恰当方程，积分因子法。 引言： 随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性, 因此研究常微分方程的解题方法也变得十分必要。一般的一阶方程是没有初等解法的，本文就在与介绍若干有初等解法的方程类型和求解的方法，及它们解法之间的关系， 在文献[1]中给出了三种常见的常微分方程及其解法： 一：可分离变量方程 形如 dy dx =f (x ) ?(y ) (1.1) 的方程，称为可分离变量方程，这里f (x ) ，?(y ) 分别是x,y 的连续函数。 现在说明方程(1.1)的求解方法。 如果?（y ）≠0, 我们可将(1.1)写成 dy dx =f (x ) dx 这样，变量就“分离”开来了，两边分别积分，得到 ??(y ) =? dy f (x ) dx +c (1.2) dy 1 这里我们把积分常数c 明确写出来，而把? ?(y ) ，?f (x ) dx 分别理解为 ?(y ) ，f(x) 的某一个原函数，如无特别声明，以后也做这样的理解。 把(1.2)作为确定y 是x 的隐函数的关系式，于是，对于任一常数c ，微分(1.2)的两边，就知(1.2)所确定的隐函数y=y(x,c)满足方程(1.1)，因而(1.2)是(1.1)的通解。 如果存在?(y 0) =0，直接带入，可知y=y 0也是(1.1)的解。 二：一阶线性方程 一阶线性微分方程可以写成 dy dx =p (x ) y +?(x ) （2.1） 这里p (x ) ，?(x ) 是x 的连续函数。 若?(x ) ≡0，则（2.1）变为 dy dx =p (x ) y （2.2） （2.2）称为一阶线性齐次方程； 若?(x ) ≠0，则称（2.1）为一阶非齐次方程。 （2.2）是变量分离方程，可用求变量分离方程解的方法求的通解为 y =ce ? p (x ) dx (2.3) 这里c 是任意常数。 现在讨论非齐次线性方程（2.1）的通解的求法。不难看出，（2.2）是（2.1）的特殊形式，两者既有联系又有区别，因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有区别。我们试图利用方程（2.2）的通解（2.3）的形式去求方程（2.1）通解，显然（2.3）中c 恒保持为常数，它必不可能是（2.1）的解，我们设想：（2.3）中，将常数c 变易为待定函数c (x ) ， 使它满足方程（2.1），从而求得c (x ) 。 为此，令 y =c (x ) e ? p (x ) dx (2.4) 微分得 dy dx = dc (x ) ?p (x ) dx e (2.5) dx 将(2.4)，(2.5)代入(2.1)，得到 从而 dc (x ) dx =Q (x ) e ? -p (x ) dx p (x ) dx p (x ) dx dc (x ) ?p (x ) dx e +c (x ) p (x ) e ?=p (x ) c (x ) e ?+Q (x ) (2.6) dx 积分后即可求得 c (x ) =?Q (x ) e ? -p (x ) dx dx +c 1 (2.7) 这里c 1是任意常数，将(2.7)代入(2.4)，得到 p (x ) dx -p (x ) dx y =e ?(?Q (x ) e ?dx +c 1) (2.8) 这就是（2.1）的通解。 三：恰当方程 我们可以将一阶方程 写成微分形式 f (x , y ) dx -dy =0 或把x ，y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程 M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0 (3.1) 这里M (x , y ) ，N (x , y ) 都是x , y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。这样的形式有时便于探求方程的通解。 如果方程(3.1)的 左端恰好是某个二元函数u (x , y ) 的全微分，即 M (x , y ) dx +N (x , y ) dy ≡du (x , y ) ≡则称(3.1)为恰当方程。 容易验证，(3.1)的通解就是 u (x , y ) =c 或 ?M (x , y ) dx +??N - ?? ? M (x , y ) dx ?dy =c ??y ?? dy dx =f (x , y ) ?u ?x dx + ?u ?y dy (3.2) 这里c 是任意常数。 四：可分离变量方程，一阶线性方程，恰当方程解法之间的关系 恰当方程可以通过积分求出它的通解。因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程 就有很大的意义，积分因子就是为了解决这个问题而引入的概念。 如果存在函数u =u (x , y ) ≠0，使得 u (x , y ) M (x , y ) dx +u (x , y ) N (x , y ) dy =0 为一恰当方程，即存在函数v ，使 uMdx +uNdy ≡dv =0 (3.3) 则称u (x , y ) 为方程(3.1)的积分因子。 这时v (x , y ) =c 是(3.3)的通解，因而也就是(3.1)的通解。 文献[2]中给出了，对于可分离变量方程，一阶线性方程都可以写成具有对称形式的一阶微分方程 M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0 (4.1) 如果存在u (x ) ≠0，使 uMdx +uNdy =0 (4.2) 成为全微分方程，则称u 为方程(4.1)的积分因子。 因此，对于可分离变量方程，一阶线性方程的求解，就可归结到寻求积分因子。 容易看出u (x , y ) 是方程(4.1)的积分因子的充要条件是 即 N ?u ?x -M ?u ?y =(?M ?y -?N ?x ) u ?(uN ) ?x =?(uM ) ?y 企图从上式找出u 是很困难的。 文献[12]给出了可分离变量变量分离方程，一阶线性方程的积分因子。 1：可分离变量方程的积分因子： 可分离变量方程的一般形式为 f (x ) ?(y ) dx -dy =0，两边同时乘以 1 dy dx =f (x ) ?(y ) ，写成微分形式得 dy =0，此时易得方程 ?(y ) 得f (x ) dx - 1 ?(y ) 的通解为?f (x ) dx -? u = 1 1 ?(y ) 。由此可知方程有积分因子dy =c （c 为任意常数） ?(y ) 。 2：一阶线性方程的积分因子： 一阶线性方程的的一般形式为 dy dx =p (x ) y +?(x ) ，写成微分形式得 [p (x ) y +Q (y ) ]dx -dy =0 (4.3) 其中M=p (x ) y +Q (y ) ,N=-1，算得 ?M -N ?N ?x =-p (x ) ?y -p (x ) dx -p (x ) dx 因而一阶线性方程有只与x 有关的积分因子u =e ?，以u =e ?乘(4.3)得到 -p (x ) dx -p (x ) dx -p (x ) dx p (x ) e ?ydx -e ?dy +Q (x ) e ?dx =0 即 -p (x ) dx -p (x ) dx -p (x ) dx yde ?+e ?dy -Q (x ) e ?=0 因此，(4.3)的通解为 y =e ?c 为任意常数。 这与前面得到的结果(2.8)是一样的。 由此可知利用积分因子可以求解某些一阶微分方程，但对于不同类型的方程而 言，这并不一定是最好最简便的方法，这就要求我们在掌握基本解法的同时学会具体问题具体分析，尽可能采取简便易操作的方法。 结论 我通过以上几例了解了常微分方程几个初等解法之间的关系，对于可分离变量方程，一阶线性方程的求解，就可归结到寻求积分因子，将其转化为恰当方程，通过积分求解。读了这几篇文献之后 ，对常微分方程初等解法的认识加深了，我可以对有初等解法的常微分方程利用相似的方法进行进一步的研究和探讨。 参考文献： [1] 中山大学数学力学系常微分方程组，常微分方程. 人民教育出版社，1978. [2]胡林, 常微分方程自学指导. 水利电力出版社，1986. [3]东北师范大学微分方程教研室，常微分方程. 高等教育出版社,1982. [4] 刘绛玉，关于一阶方程的积分因子法. 广东石油化工高等专科学校学报，2000，（2）. [5] 李长江，初等积分法与一阶方程解题初探. 宜宾学院学报，2006，（6）. [6] 贾美娥，浅谈常数变易法解常微分方程. 赤峰学院学报（自然科学版），2008，（1）. [7] 刘颖，一类特殊的一阶常微分方程的初等积分法. 沈阳航空工业学院学报，2004，（10）. [8] Capasso AD Liddo，Maddalena L.Asymptotic Behavior of a Nonlinear for the Gengraphical Diffusion of Innovations J.D ynamic Systems and Appl.1994. [9] 叶彦谦, 常微分方程讲义. 人民教育出版社，1979. [10] 刘林, 一阶常微分方程初等解法研究 . 河套大学学报，2006，(6) . [11] 张伟年，杜正东，徐冰，常微分方程. 高等教育出版社，2006. [12] 龚雅玲，求解微分方程的积分因子法. 南昌教育学院学报，2007，（1）. p (x ) dx (?Q (x ) e ? -p (x ) dx dx +c ) 数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 内容分布图示 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型 ★追迹问题 ★返回 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t的质量. 用x表示该放射性物质在时刻t的质量, 则速度与现存的质量成正比”可表示为 dx 表示x在时刻t的衰变速度, 于是“衰变dt dx ??kx. (8.1) dt 这是一个以x为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中k?0是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t增加时, 质量x减少. 解方程(8.1)得通解x?Ce ?kt .若已知当t?t0时, x?x0,代入通解x?Ce?kt中可得 C?x0e?kt0, 则可得到方程(8.1)特解 x?x0e?k(t?t0), 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素(通常的镭(量, 一克 226 238 U)的半衰期约为50亿年; Ra)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始 226 Ra衰变成半克所需要的时间与一吨226Ra衰变成半吨所需要的时间同样都是 1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础. 二、 逻辑斯谛方程: 逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型. 设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t), 则有 dh(t) ?kh(t)[H?h(t)] (8.2) dt 其中k?0是比例常数. 这个方程为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程. 下面来求解方程(8.2). 分离变量得 dh ?kdt, h(H?h) 两边积分 dh ?h(H?h)??kdt, 得 或 1 [lnh?ln(H?h)]?kt?C1, H h ?ekH?tC1H?C2ekH,t H?h 故所求通解为 C2HekHtHh(t)??, 1?C2ekHt1?Ce?kHt 其中的C??C? ???1 ?e?C1H?0??是正常数. C2? 函数h(t)的图象称为Logistic曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic曲线, 由于它的形状, 一般也称为S曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以 算得 t??? limh(t)?H. 这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式. 注: Logistic的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了. 下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用. 人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型 dy ?y(k?by),dt 其中k,b的称为生命系数. y(t0)?y0 (8.3) 我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果. 有生态学家估计k的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得b?2,从而估计得: (1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿. 后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t时刻的销量为x(t),由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t时刻产品销售的增长率虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明 dx ,与x(t)成正比, 同时, 考dt dx 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量dt N?x(t)也成正比, 于是有 dx ?kx(N?x) dt 其中k为比例系数. 分离变量积分, 可以解得 (8.4) x(t)? 由 N 1?Ce?kNt (8.5) dxCN2ke?kNtd2xCk2N3e?kNt(Ce?kNt?1)?,?, dt(1?Ce?kNt)2dt2(1?Ce?kNt)2 * dxNd2x* ?0,即销量x(t)单调增加. 当x(t)??0;当当x(t)?N时, 则有时, 2dt2dtNNd2x x(t)?时, 2?0;当x(t*)?时, 即当销量达到最大需求量N的一半时, 产品最为 22dt * 畅销, 当销量不足N一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少. 国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益. 三、价格调整模型 在本章第一节例3已经假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S是价格P的单调递增函数, 商品需求量Q是价格P的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为 S(P)?a?bP,Q(P)????P (8.6) 其中a,b,?,?均为常数, 且b?0,??0. 当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格 Pe? 并称Pe为均衡价格. ??a ??b 一般地说, 当某种商品供不应求, 即S?Q时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即 S?Q时, 该商品价格要落. 因此, 假设t时刻的价格P(t)的变化率与超额需求量Q?S成 正比, 于是有方程 dP ?k[Q(P)?S(P)] dt 其中k?0,用来反映价格的调整速度. 将(8.6)代入方程, 可得 dP ??(Pe?P) (8.7) dt 其中常数??(b??)k?0,方程(8.7)的通解为 P(t)?Pe?Ce??t 假设初始价格P(0)?P0,代入上式, 得C?P0?Pe,于是上述价格调整模型的解为 P(t)?Pe?(P0?Pe)e??t 由于??0知, t???时, P(t)?Pe.说明随着时间不断推延, 实际价格P(t)将逐渐趋近均衡价格Pe. 四、人才分配问题模型 每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t年教师人数为x1(t),科学技术和管理人员数目为x2(t),又设1外教员每年平均培养?个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为?(0???1),?表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率 (0???1),于是有方程 dx1 ???x1??x1 (8.8) dtdx2 ??(1??)x1??x2 (8.9) dt 方程(8.8)有通解 x1?C1e(????)t 11 若设x1(0)?x0,则C1?x0,于是得特解 (8.10) 1(????)t (8.11) x1?x0e 将(8.11)代入(8.9)方程变为 dx21(????)t ??x2??(1??)x0e (8.12) dt 求解方程(8.12)得通解 1 (1??)x0 x2?C2e ??t ? ? e(????)t (8.13) 22 若设x2(0)?x0??,则C2?x0 ? ?1???1 ?x0,于是得特解 ???? ?2?1???1???t?1???1(????)t (8.14) x2??x0??????x0?e??????x0e ?????? (8.11)式和(8.14)式分别表示在初始人数分别为x1(0),x2(0)情况, 对应于?的取值, 在t年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取??1,即毕业生全部留在教育界, 则当t??时, 由于???,必有x1(t)???而x2(t)?0,说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将?接近于零. 则x1(t)?0,同时也导致x2(t)?0,说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率?, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局. 五、追迹问题 设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正北行走; 甲从乙的左侧O点出发, 始终对准乙以mv0(n?1)的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到. 建立如图8-8-2所示的坐标系, 设所求追迹曲线方程为y?y(x).经过时刻t, 甲在追迹曲线上的点为P(x,y),乙在点B(1,v0t).于是有 tan??y?? v0t?y , (8.15) 1?x 由题设, 曲线的弧长OP为 ? 解出v0t代入(8.15), 得 x ?y?2dx?nv0t, 1x (1?x)y??y???y?2dx. n0 两边对x求导, 整理得 (1?x)y??? 这就是追迹问题的数学模型. 1 ?y?2. n 这是一个不显含y的可降阶的方程, 设y??p(x),y???p??, 代入方程得 (1?x)p?? 两边积分, 得 1 ?p2 或 n dp?p2 ? dx , n(1?x) 1 ln(p??p2)??ln|1?x|?ln|C1|, n 即 p??p? 2 C1 . ?x 将初始条件y?|x?0?p|x?0代入上式, 得C1?1.于是 y???y?2? 2 两边同乘y???y?,并化简得 1 , (8.16) ?x y???y?2???x, (8.17) (8.16)与(8.17)式相加, 得 1?1?y?????x?, 2??x? 两边积分, 得 1?n y???(1?x) 2?n?1 代入初始条件y|x?0?0得C2? n?1n n?(1?x)n?1 n?1n ? ??C2. ? n ,故所求追迹曲线方程为 n2?1 n?1n?1 ??n?(1?x)n(1?x)n?ny???2(n?1), 2?n?1n?1?n?1???? 甲追到乙时, 即曲线上点P的横坐标x?1,此时y?距离时被甲追到. nn.即乙行走至离A点个单位n2?1n2?1 转载请注明出处范文大全网 » 第八章微分方程本章主要通过几范文三：几个微分方程解的关系
范文四：几个微分方程解的关系
范文五：微分方程的应用
