勿忘13481033
范文一：[建筑]1、直接验证梯形公式1与中矩形公式2具有一次代数精度_
1、直接验证梯形公式(1)与中矩形公式(2)具有一次代数精度，而辛甫生公式(3)则
具有3次代数精度。
2、试判定下列求积公式的代数精度:
1311f(x)dx,f()，f(1),0434
3、确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代
数精度:
hf(x)dx,Af(,h)，Af(0)，Af(h)012,,h (1)
1113f(x)dx,Af()，Af()，Af()012,0424 (2)
11f(x)dx,f(0)，Af(x)00,04 (3)
4、下列求积公式称作辛甫生3/8公式:
13f(x)dx,[f(0)，3f(1)，3f(2)，f(3)],08
试判定这一求积公式的代数精度。
5、证明上述辛甫生3/8公式是插值型的。
311x,x,I,f(x)dx01,4406、给定求积节点，，试构造计算积分的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。
f(x)g(x),f(x)，,g(x)7、证明:如果求积公式(4)对函数和准确成立，则它对于亦
k(k,0,1,？,m)x准确成立，因之，只要求积公式(4)对于幂函数是准确的，则它至
m少具有次代数精度。
8、已给数据表
x1.1 1.3 1.5
x3.0042 3.6693 4.4817 e
1.5xedx,1.1试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分。
,xf(x),1，esin4x9、设已给出的数据表
x0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
f(x)1.00000 1.65534 1.55152 1.06666 0.72159
1I,f(x)dx,0分别用复化梯形法、复化辛甫生法与柯特斯法求积分的近似值。
11,5x，10I,edx,0210、设用复化梯形法计算积分，为使截断误差不超过，问应当划分区
[0,1]间为多少等分,如果改用复化辛甫生法呢,
11、推导下列三种矩形公式:
b12,f(x)dx,(b,a)f(a)，f(,)(b,a),a2 (1)左矩形公式
b12,f(x)dx,(b,a)f(b),f(,)(b,a),a2 (2)右矩形公式
ba，b1,,3,,f(x)dx,(b,a)f，f(,)(b,a),,,a224,, (3)中矩形公式
51I,dx,1x12、利用梯形法二分3次计算积分的近似值，并与积分精确值比较，令中间数据
保留小数点后第6 位。
13、运用龙贝格方法将上题结果加工成龙贝格值。
,22(x，x，1)cosxdx,014、利用梯形法二分3次计算积分的近似值，利用龙贝格方法加速。
35,,,nsin,,，,？,24n3!n5!n15、证明等式
,nsinn,3,6,12n试利用,当时运用松弛加速技术求得近似值.
16、验证求积公式
,,,,353853,,,,()2(2)2,,，，，fxdxfff,,,,,195995,,,,
是三点高斯公式。
17、用三点高斯公式求下列积分值
14,dx,,201，x 12xcosxdx,,118、分别用辛甫生公式与三点高斯公式计算积分。
3xedx,6,10119、分别用下列方法计算积分:，要求准确到。
(1)复化梯形法;(2)复化辛甫生法; (3)龙贝格方法; (4)复化中心点方法。 20、不用余项公式而直接检验下列数值微分方法的代数精度:
f(a，h),f(a),f(a),h(1)前差公式
f(a),f(a,h),f(a),h(2)后差公式
f(a，h),f(a,h),f(a),2h(3)中差公式
f(x),sinxx,0.8h,0.121、用变步长的中点方法求在(弧度)的一阶导数值，设取起
算二分3次，令中间数据保留小数点后第6位。
22、运用加速公式(45)，(46)和(47)加工上题的结果。
,,f(x),cosxh,0.1,0.01,0.001f(0.8)23、设，取步长用二阶三点公式(54)求的值，
令中间数据保留小数点后第6位。
24、导出三点公式(51)，(52)和(53)余项。
1f(x),2(1，x)25、设已给出的数据表:
x1.0 1.1 1.2
f(x)0.2500 0.2268 0.2066
,f(x)x,1.0,1.1,1.2试用三点公式计算在的值，并估计误差。
,f(x),sinxh,0.1,0.01,0.001f(0.8)26、设，分别取步长用中点方法计算的值，令中间数据保留小数点后第6位。。
范文二：1、直接验证梯形公式(1)与中矩形公式(2)具有一次代数精度,...
1、直接验证梯形公式(1)与中矩形公式(2)具有一次代数精度,而辛甫生公式(3)则
具有 3次代数精度。
2、试判定下列求积公式的代数精度:
) 1(41
) 31(43) (1
f f dx x f +≈
?
3、确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量地高,并指明求积公式所具有的代
数精度:
(1)
)
() 0() () (210h f A f A h f A dx x f h
h ++-≈?
-
(2) ) 43
() 21() 41() (2101
0f A f A f A dx x f ++≈? (3) ) () 0(41) (0010x f A f dx x f +≈?
4、下列求积公式称作辛甫生 3/8公式: )]
3() 2(3) 1(3) 0([83
) (1
f f f f dx x f +++≈?
试判定这一求积公式的代数精度。 5、证明上述辛甫生 3/8公式是插值型的。 6、给定求积节点
410=
x , 431=x ,试构造计算积分
?=1
0) (dx x f I 的插值型求积公式,并 指明该求积公式的代数精度。
7、证明:如果求积公式(4)对函数 ) (x f 和 ) (x g 准确成立, 则它对于 ) () (x g x f βα+亦
准确成立,因之,只要求积公式(4)对于幂函数 k
x ) , , 1, 0(m k =是准确的,则它至 少具有 m 次代数精度。 8、已给数据表
试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 ?
1
. 1dx
e x 。
9
x e x f x
4sin 1) (-+=分别用复化梯形法、复化辛甫生法与柯特斯法求积分
?=1
) (dx
x f I 的近似值。
10、设用复化梯形法计算积分 ?=1
0dx
e I x
,为使截断误差不超过 51021
-?,问应当划分区
间 ]1, 0[为多少等分?如果改用复化辛甫生法呢?
11、推导下列三种矩形公式:
(1)左矩形公式 ?
-'+
-≈b
a
a b f a f a b dx x f 2) )((21
) () () (η (2)右矩形公式
2
) )((21
) () () (a b f b f a b dx x f b
a
-'--≈?
η (3)中矩形公式 3
) )((2412) () (a b f b a f a b dx x f b
a
-''+??? ??+-≈?η 12、 利用梯形法二分 3次计算积分 dx
x I ?=511的近似值, 并与积分精确值比较, 令中间数据
保留小数点后第 6 位。
13、运用龙贝格方法将上题结果加工成龙贝格值。
14、利用梯形法二分 3次计算积分 xdx
x x cos ) 1(20
2?
++π
的近似值,利用龙贝格方法加速。
15、证明等式
-+
-
=4
5
2
3
! 5! 3sin
n
n
n
n ππππ
试利用
n n π
sin
, 当 12, 6, 3=n 时运用松弛加速技术求得近似值 .
16、验证求积公式
????
??+++???? ??-≈
?
53295
) 2(9
85329
5) (3
1
f f f dx x f
是三点高斯公式。
17、用三点高斯公式求下列积分值
?
+=1
02
14
dx
x π
18、分别用辛甫生公式与三点高斯公式计算积分
?
-1
1
2cos xdx
x 。
19、分别用下列方法计算积分:?
3
1dx
e x ,要求准确到 6
10-。 (1)复化梯形法; (2)复化辛甫生法; (3)龙贝格方法; (4)复化中心点方法。 20、不用余项公式而直接检验下列数值微分方法的代数精度:
(1)前差公式 h a f h a f a f )
() () (-+≈
'
(2)后差公式 h h a f a f a f )
() () (--≈
'
(3)中差公式 h h a f h a f a f 2)
() () (--+≈
'
21、用变步长的中点方法求 x x f sin ) (=在 8. 0=x (弧度)的一阶导数值,设 1. 0=h 取起
算二分 3次,令中间数据保留小数点后第 6位。 22、运用加速公式(45) , (46)和(47)加工上题的结果。
23、设 x x f cos ) (=,取步长 001. 0, 01
. 0, 1. 0=h 用二阶三点公式(54)求 ) 8. 0(f ''的值, 令中间数据保留小数点后第 6位。 24、导出三点公式(51) , (52)和(53)余项。
25、设已给出
2) 1(1
) (x x f +=
的数据表:
试用三点公式计算 在 的值,并估计误差。
26、设
x
x
f sin
)
(=,分别取步长 001
. 0,
01
. 0, 1. 0
=
h 用中点方法计算 ) 8. 0(
f '的值,令中
间数据保留小数点后第 6位。 。
范文三：复化梯形公式和复化辛普森公式的精度比较
实验四、复化梯形公式和复化Simpson 公式的精度比较
（2学时）
一、实验目的与要求
1、熟悉复化Simpson 公式和复化梯形公式的构造原理；
2、熟悉并掌握二者的余项表达式；
3、分别求出准确值，复化梯形的近似值，复化Simpson 的近似值，并比较后两
者的精度；
4、从余项表达式，即误差曲线，来观察二者的精度，看哪个更接近于准确值。
二、实验内容： 1sin x sin x dx 。 对于函数f (x ) =，试利用下表计算积分I =?0x x
表格如下：
注：分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，比较哪个精度更好。
其中：积分的准确值I =0.9460831。
三、实验步骤
1、 熟悉理论知识，并编写相应的程序；
2、 上机操作，从误差图形上观察误差，并与准确值相比较，看哪个精度更好；
3、 得出结论，并整理实验报告。
四、实验注意事项
1、复化梯形公式，程序主体部分：
for n=2:10
T(n)=0.5*T(n-1)
for i=1:2^(n-2)
T(n)=T(n)+(sin((2*i-1)/2^(n-1))/((2*i-1)/2^(n-1)))/2^(n-1)； end
end
2、复化Simpson 公式，程序主体部分：
for i=1:10
n=2.^i
x=0:1/n:1
f=sin(x)./x
f(1)=1
s=0
for j=1:n/2
s=s+f(2*j)
end
t=0
for j=1:(n/2-1)
t=t+f(2*j-1)
end
S(i)=1/3/n*(f(1)+4*s+2*t+f(n+1))
end
五．实验内容
复化梯形公式和复化辛普森公式的引入
复化梯形公式：
h T n =∑[f (x k +f (x k +1)]；
k =02n -1
复化辛普森公式：
h S n =∑[f (x k +4f (x 1) +f (x k +1)]； k +k =062
根据题意和复化梯形公式、复化辛普森公式的原理编辑程序求解代码如下： Matlab 代码
clc
s=quad('sin(x)./x',0,1)
p1=zeros(10,1);
p2=zeros(10,1);
for k=6:15
s1=0;
s2=0;
x=linspace(0,1,k);
y=sin(x)./x;
z=(1/(2*(k-1))):(1/(k-1)):1;
sz=sin(z)./z;
y(1)=1;
for i=1:(k-1)
s1=s1+0.5*(x(i+1)-x(i))*(y(i)+y(i+1));
end
for j=1:(k-1)
s2=s2+(1/6)*(x(j+1)-x(j))*(y(j)+y(j+1)+4*sz(j)); end
p1(k-5)=s1-s;
p2(k-5)=s2-s;
end
p1; n -1
p2;
s1=s+p1(4)
s2=s+p2(4)
format long
for k=1:length(p1)
p1(k)=abs(p1(k));
p2(k)=abs(p2(k));
end
p1
p2
plot(6:1:15,p1,'-r' )
hold on
plot(6:1:15,10000*(p2),'-c' )
hold off
部分程序结果输出：
s =
0.946083070076534
s1 =
0.945690863582701
s2 =
0.946083085384947
结果分析
1
根据结果输出可知：积分I =?sin(x ) 0.946083070076534； dx 的准确值为：I= x 0
通过复化梯形公式和复化辛普森公式得到的积分值为：
s1 =0.945690863582701:
s2 =0.946083085384947;
相对误差为：
S 1-I ?=4.15?10-4； I
S -I δ2=2?=1.62?10-8； I δ1=
显然，从相对误差可知通过辛普森公式得到的结果误差小精度高。
由于以上的算法只算了结点个数为9的情况，只能横向比较两公式的精确程度，而不能分别比较两公式随节点个数变化精度的变化，故而将以上程序重新编（以上程序为最终程序）可得出两公式随节点个数变化精度的变化情况所取得节点个数为从6到15，共计10种情况对应的误差值如下表：
（表1）
注：由于辛普森公式的精度较高，所得的误差值较小不宜比较，故而将辛普森公式计算出的误差值乘上10000得到以上表1的结果，其相应的曲线图如下（图1）。
（图1:两误差曲线比较）
备注：红色，青色分别比奥斯曲线复化梯形公式和复化辛普森公式的误差值曲线
从曲线图可知复化梯形公式和复化辛普森公式的随着节点个数的增加误差值越小即其精度逐渐增大，且复化辛普森公式的精度远高于复化梯形公式的精度。
范文四：代数精度
代数精度
定义：若求积公式
对于不高于m 次的代数多项式都准确成立，而对某一个m+1 次代数多项式不成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
有定义可以看出，A k 和x k 的选择不同，
对积分
的近似程度就
不同，显然需要有一个衡量公式准确程度的标准。由于f(x) 是任意的，不易衡量。于是提出在多项式
因为
的情况下，来衡量公式的准确程度，即代数精度。
所以，当f(x) = 1,x ,x2 ,…,xn 均有
准确成立时，
也有
准确成立。
因此，求一个求积公式
的代数精度时，只要分别令
f(x) = 1,x ,x2 ,…,xn ,依次验证
即可。
当f(x) = xm 时求积公式准确成立，而f(x) = xm+1 时求积公式不准确成立，那么就可以有结论，该求积公式具有m 次代数精度。
范文五：代数精度
3.1 数值积分公式与代数精度，Newton-Cotes 求积公式习题
一、填空题
1、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。
b -a b -a 4(4)() f (ζ), ζ∈(a , b ) 2(答案：3，180) -2、设l j (x )(j =0,1,2 n ) 是区间[a,b ]上的一组n 次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数A j =且∑n
A j = 。
j =0
(答案：至少是n ，?b
a l k (x ) dx ， b-a )
n
3. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和∑C (n )
k =
k =0
（答案： 1 ）
二、计算题
1．试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。
① ?h f (x ) dx ≈h f (0)+f (h )]+αh 2[f ' (0)-f '
02(h )]；
② ?h
-h f (x ) dx ≈A -1f (-h ) +A 0f (0)+A 1f (h );
解：①分别将f (x ) =1, x 代入求积公式，易知求积公式精确成立，
代入f (x ) =x 2，令求积公式精确成立，于是有左=h 3
3=右=h 31
2-2αh 3，可得α=12，
代入f (x ) =x 3，于是左=h 4
4，右=h 4
2-h 4
4=h 4
4, 左=右，求积公式成立，
f (x ) =x 4，左=h 5h 5h 4h 4
代入5，右=2-3=6, 左≠右，求积公式不精确成立，
综合以上可知，该求积公式具有三次代数精度。
②将f (x ) =1, x , x 2分别代入求积公式，令求积公式成立，则有
???A 0+A 1+A 2=2h
??-h (A 0-A 2) =0 ????h 2(A 0+A 2) =2
3h 2
从而解得A 0=A 2=1h , A 1=4
h ，所求公式至少具有两次代数精度，且进一步有
?-h h x 3dx =h h (-h ) 3+h 3 ， 33
h
-h ?-h h x 4dx ≠h h (-h ) 4+h 4 33从而原积分公式?f (x ) dx ≈h 4h h f (-h ) +f (0)+f (h ) 具有三次代数精确度。 333
22．利用梯形公式和Simpson 公式求积分?1ln xdx 的近似值，并估计两种方法计算值的最大
误差限。 解：由梯形公式T (f ) =b -a 2-1ln2(f (a ) +f (b )) =(ln1+ln2) =≈0.3466 222
(b -a ) 3
'' 1111最大误差限为：R T (f ) =-f (ξ) =≤?1=≈0.0833(ξ∈(1,2)) 1212ξ21212
由Simpson 公式S (f ) =?1?b -a ?3?a +b ??+f (b ) =ln1+4ln +ln 2 f (a ) +4f ?? ?≈0.3858 6?262?????
(b -a ) 5
(4)161f (η) =≤?6≈0.0021(η∈(1,2))。 最大误差限为：R S (f ) =-428802880η2880
3．求系数A 1, A 2, A 3使求积公式
11f (x ) dx ≈A f (-1) +A f (-) +A f () 对于次数≤2的一切多项式都精确成立123?-133
答案： 1
A 1+A 2+A 3=2
A 1=1/211-A 1-A 2+A 3=033A 2=0A 3=3/2A 1+112A 2+A 3=993
4．试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。
23等式对f (x ) =1, x , x , x 精确成立得 Answer由
?1-6x =??15??2x 1+3x 2=1?x =3+26?2222x 1+3x 2=1??15 ? 解此方程组得
3f (x ) =x 又当时 左边≠右边
∴ 此公式的代数精度为2
5．确定求积公式 ?1
-1f (x ) dx ≈Af (-0. 5) +Bf (x 1) +Cf (0. 5) 的待定参数，使其
代数精度尽量高，并确定其代数精度.
23f (x ) =1, x , x , x 精确成立则有 Answer 假设公式对
A +B +C =2??-05A +Bx +0. 5C =01?2?20. 25A +Bx +0. 25C =1?3?-0. 125A +Bx 3+0. 125C =01 ?
A =C =42, B =-33 解此方程组得
求积
1 -1?f (x ) dx ≈1[4f (-0. 5) -2f (0) +4f (0. 5) ], 当f (x ) =x 4时3，
21
左边=5 右边=6 左边≠右边
3 ∴代数精度为
6． 确定求积公式
?h
-h f (x ) dx ≈A 0f (-h ) +A 1f (0)+A 2f (h ) 。
中待定参数A i 的值(i =0,1, 2) ，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。
2f (x ) =1, x , x 解：分别将，代入求积公式，可得
14A 0=A 2=h , A 1=h 33。
34f (x ) =x f (x ) =x 令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。
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