丨至高无上丨
范文一：初三尺规作图
一、考点讲解:
1. 完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段, 作一个角等于已知角, 作角的平分线, 作线段的垂直平分线。
2.利用基本作图作三角形:已知三边作三角形;已知两边及其夹角作三角形;已知两角 及其夹边作三角形; 已知边底及边底上的高作等腰三角形。 已知一条直角边及斜边作三角形。 3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。作三角形的内切圆,作两条线 段的比例中项
4.了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明)。
二、经典考题剖析:
1.已知:A 、 B 、 C 是平面内的三点, , , ,下列说法正确的是 A.可以画一个圆,使 A 、 B 、 C 都在圆上 B.可以画一个圆,使 A 、 B 在圆上, C 在圆外
C.可以画一个圆,使 A 、 C 在圆上, B 在圆外 D.可以画一个圆,使 B 、 C 在圆上, A 在圆内
2.下列说法错误的是()
A.三角形的外心不一定在三角形的内部 B.圆的两条非直径的弦不可能互相平 分
C.两个三角形可能有公共的外心 D.任何梯形都没有外接圆
3.你能把一个正方形分成八个全等的三角形吗?怎么分,请画出来.
4.如图,两棵小树 AB , CD 在路灯下的影子分别为 BE 、 DF ,试画出小树 GH 在同一路灯下 的影子的位置.
5.如图,已知 及两边上各一点 .求作一点 ,使它到 两点的距离 相等,并且到 两边的距离也相等.
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6.如图,已知:△ ABC .
(1)求作一点 P ,使 PA =PB =PC ;
(2)求作一点 P ,使 P 到三条边的距离相等;
(3)作出一个新三角形,使新三角形与原三角形对应线段的比为 1∶ 2.
三、针对性训练:
1.如图,墙 AB 与墙 AC 垂直,在地面的 P 处有一木柱,系着一匹马,已知系马的绳子的长 度为 4m ,试在图中作出此马的活动区域.
2.(1)在下图中完成下列作图(保留作图痕迹)
①作 的平分线 CD ,交 AB 于点 D ;
②延长 BC 到点 E ,使 CE=CA,连结 .
(2)求证 : CD ∥ AE .
3. (1)如图 1, 中, ,请用直尺和圆规作一条直线,把 分割成两 个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹).
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(2)已知内角度数的两个三角形如图 2、图 3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它 们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.
4.已知三条线段分别为 10cm , 7cm , 8cm ,以其中哪条为边,另两条为对角线,可以作平行 四边形?并作出该平行四边形.
5.如图所示,要把破残的圆片复制完整.已知弧上的三点 .
(1)用尺规作图法找出弧 AC 所在圆的圆心.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)设 是等腰三角形,底边 cm ,腰 cm .求圆片的半径 R .
6. 如图,在平面直角坐标系中,直线 l 是第一、三象限的角平分线.
实验与探究:由图观察易知 A (0, 2)关于直线 l 的对称点 的坐标为(2, 0),请在图 中分别标明 B(5,3) 、 C(-2,5) 关于直线 l 的对称点 、 的位置,并写出他们的坐 标 :、 ;
归纳与发现:结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点 P(a,b)关于 第一、三象限的角平分线 l 的对称点 的坐标为 (不必证明);运用与拓广:已知两点 D(1,-3)、 E(-1,-4), 试在直线 l 上确定一点 Q , 使点 Q 到 D 、 E 两点 的距离之和最小,并求出 Q 点坐标.
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答案:
二、 1.B 2.D 3.略 4.略 5.略 6.略
三、 1. 略 2.略 3.略 4.以 7cm 为边, 8cm 、 10cm 为对角线或以 8cm 为边, 7cm 、 10cm 为对角 线 5.(1)略 (2) R= 6. (3, 5)、 (5, -2), (b,a ) Q(, )
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范文二：初二尺规作图
一、选择题：
1．如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ）
A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°
2. 如图，已知钝角△ABC ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹. 步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧○1；
步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧○2，将弧○1于点D ； 步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H . 下列叙述正确的是（ ） A ．BH 垂直分分线段AD C ．S △ABC =BC ·AH
3. 如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ；连结CD ．若AB=6，AC=4，则△ACD 的周长为 ．
B ．AC 平分∠BAD
D ．AB =AD
4. 如图，已知线段AB ，分别以点A 和点B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点，作直线CD 交AB 于点E ，在直线CD 上任取一点F ，连接FA ，FB ．若FA=5，则FB=
．
5．如图，△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，请你用尺规作图将△ABC 分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）
1
6. 如图，已知△ABC ，∠C =Rt ∠，AC
7．如图，一块余料ABCD ，AD ∥BC ，现进行如下操作：以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点G ，H ；再分别以点G ，H 为圆心，大于GH 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部相交于点O ，画射线BO ，交AD 于点E ． （1）求证：AB=AE；
（2）若∠A=100°，求∠EBC 的度数．
8．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
2
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是_________________________．
9. 在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：
对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是：
A ．根据“边边边”可知，△C ' O ' D ' ≌△COD ，所以∠A ' O ' B ' =∠AOB B ．根据“边角边”可知，△C ' O ' D ' ≌△COD ，所以∠A ' O ' B ' =∠AOB C ．根据“角边角”可知，△C ' O ' D ' ≌△COD ，所以∠A ' O ' B ' =∠AOB D ．根据“角角边”可知，△C ' O ' D ' ≌△COD ，所以∠A ' O ' B ' =∠AOB
10．小米在用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下： ①分别以点D ，E 为圆心，大于
1
DE 2
②作射线BF ，交边AC 于点H ；
③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ④取一点K ，使K 和B 在AC 的两侧；
所以，BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是
A ．①②③④ B ．④③②① C ．②④③①D 1
11．如图，已知∠CAB ，用直尺和圆规作∠ABD ，使∠ABD =∠A ，射线BD 与射线AC 相交于点D ．（不
2
写画法，保留作图痕迹）
12．阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
请回答：（1（2）他所画的痕迹弧MN 是以点为圆心，为半径的弧．
13．阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
小艾的作法如下：
（3）作直线CF ．
所以直线CF 就是所求作的垂线．
如图，（1）在直线AB 上取一点D ，使点D 与点C 不重合，以点C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于D ，E 两点； （2）分别以点D 和点E 为圆心，大于
尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB 和AB 上一点C ．求作：AB 的垂线，使它经过点C ．
1
DE 长为半径作弧，两弧相交于点F ； 2
老师表扬了小艾的作法是对的．
请回答：小艾这样作图的依据是____________． 14. 阅读下面材料:
在数学课上，老师提出如下问题:
老师说:
请回答:． 15．数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线． 小明用直尺画角分线的方法如下：
（1）如图1，用支持的一边贴在∠AOB 的OA 边上，沿着支持的另一条边画直线m ；
（2）如图2，再用支持的一边贴在∠AOB 的OB 边上，沿着直尺的另一条边画直线n ，直线m 与直线n 交于点P ；
（3）如图3，作射线OP ．射线OP 是∠AOB 的平分线．
B
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明的作图依据是________________________________________．
16．有两棵树位置如图，树脚分别为A ，B . 地上有一只昆虫沿A —B 的路径在地面上爬行．小树顶D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小鸟飞至AB 之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
17．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB 内的P 点，乙站在OA 上，丙站在OB 上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？
5
轴对称练习
1. 下列说法中, 不正确的是( ).
A. 等腰三角形是轴对称图形 B.若△ABC≌△A′B′C′,则这两个三角形一定轴对称 C. 若两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分, 则这两个图形关于这条直线对称
D. 直线MN 是线段AB 的垂直平分线, 若点P 使PA=PB,则点P 在MN 上, 若P 1A ≠P 1B, 则P 1不在MN 上
2. 请画出对称轴右边的图形, 这给我们一个什么形象？
3. 如图, 阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形, 请用三种方法分别在图中虚线方格内涂黑3个小正方形, 使它们成为轴对称图形．
4. 如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF，BD=CE.求证：△ABC
A
是等腰三角形.
图1 图2 D 图
C B
F E 5. 在等边△ABC中,D 是BC(如图①)或其延长线(如图②)上任意一点(D与B 、C 不重合). 连结AD, 在CA 或其延长上取一点E, 使CE ＝BD, 连结BE 交AD 或其反向延长线于点O. （1）请按题目条件将图②补画完整．（2）请结合图①或图②说明∠CAD＝∠ABE．
（3）假若D 点可以在BC 上或BC 的延长线上滑动, 其余条件保持不变. 试探究：∠BOD的大小会随着点D 的变化而变化吗？如变化, 试说明理由; 如不变, 大小为多少？
B 6．在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 图② γ． AP 于点E ．设∠PAB ＝α，∠ACE ＝β，∠AEC ＝图①
A
A
C
P
B P
B
(1)依题意补全图1；
(2)若α＝15°，直接写出β和γ的度数； (3)如图2，若60°<><>
①判断α，β的数量关系并加以证明；
②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果） ．．．．．．．．．
7.(1)小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个
锐角的平分线．如左图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”小明作图的依据是。
(2)尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分
1
别以点C 、D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，则作射线OP 即为所求（图4）．由
2
作法得△OCP ≌△ODP 的根据是 。
图
1
图2
7
范文三：初二尺规作图例题
四、尺规作图及轴对称
13.8 基本作图
1．作一条线段等于已知线段
例1：已知：线段a 。求作一条线段，使它等于线段a 。
2．作一个角等于已知角
例2：已知：∠AOB 。求作：一个角，使它等于∠AOB 。 3．作角的平分线
例3：已知：∠AOB 。求作：射线OC ，使它平分∠AOB 。 角平分线的性质：
定理：角平分线上的点_______________________________。
定理：____________________________的点在这个角的平分线上。
例4：已知：如图，Rt △ABC 中，CA=CB，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E 。求证：BE=CD。
例5：已知：如图，∠B=∠C=900，M 为BC 中点，DM 平分∠ADC ，
求证：AM 平分∠DAB M
练习：
E
（1）在Rt △ABC 中，∠C=Rt∠，AD 平分∠BAC ，CD:BD=1:2，BC=3， 则D 到AB 的距离ED=____， AD=_____，∠B=_____。
（2）已知AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，E 、F 是垂足，且BC=CD求证：∠B+∠ADC=1800
F
A E B
（3） 已知：如图，△ABC 中，∠C=900，CD ⊥AB ，BE 平分∠CBA ，EF ⊥AB 。
求证：CM=EF C E
M
A F D B
1
4．作线段的垂直平分线 诊测：
1、 角平分线的性质：角平分线上的点_____________________________________________。 ____________________________________的点在角平分线上。
2、如图3，在△ABC 中，∠C =90 ，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于D 点，DE ⊥AB 于E 点，且AB =60cm ，则△BED 的周长为______．
3、什么图形中有线段的垂直平分线？
知识点： 已知：线段AB 。
求作：线段AB 的垂直平分线。 A B
在线段AB 的垂直平分线上取任意一点，研究其性质。
线段垂直平分线定理：
1、 线段垂直平分线上的点__________________________________________________ 2、 ______________________________________的点在线段垂直平分线上。
例1：如图15，在△ABC 中，AB =AC =16，D 为AB 中点， DE ⊥AB 交AC 于E ，△BEC 的周长为26，求BC 的长．
例2：已知：如图，在△ABC 中，点E 、F 分别是AB 、AC 上的点， AD 是EF 的垂直平分线。求证：∠1=∠2
例3：已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，DE 垂直平分AC ，DE=1cm，∠BAC=1200，求BC
的长
例4：已知：在△ABC 中，∠CAB 的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 延长线于N 。求证：BM=CN
练习：
1． 已知：如图，在△ABC 中，∠ C=900，∠B=150，D 为AB 中点，DE ⊥AB 于D ，交BC 于E ，
若BE=4，求AC 的长。
2． 已知：如图，AB=AC，DE 是AB 的中垂线，交AB 、AC 于E 、D ，△BCD 的周长为24，CD=4，
∠A=360。求AB 的长
2
例5：（1）如图，已知有三条公路a , b , c 两两相交，交点分别为A 、B 、C 。若要在ABC 内选一点建一座加油站，使它到三条公路的距离相等。该如何选址？（作图，写作法并指明结果）
（2）在公路MN 的一旁有A 、B 两个工厂，要在公路旁边修建仓库的位置？请画图说明。（要求写作法，指导结果）
（3）已知：如图，点M 、N 及AOB 。求作：一点G ，使G 点到OA 、OB 的距离相等，并且到点M 、N 的距离也相等。（要求写作法，保留作图痕迹，并指明结果）
练习：
1、 如图，AB ∥CD ，BE 、CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，EF ⊥BC 于F ，EF=5，则AB 与CD 间
的距离是________。 A
D C
2、 在Rt △ABC 中，∠C=900，BD 平分∠ABC ，若CD=2，AB=8，则△ABD 的面积为______
D
C 3、 如图，△ABC 中，∠C=900，AC=BC，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，AB=6，则△DEB 的
周长为______
D
A
4、 如图，△ABC 中，∠C=900，AB 的垂直平分线交BC 于E ，D 为垂足，并且BD=2CD，
则∠B=_______。
C
5、 如图，△ABC 中，∠A =900，∠B 的平分线交AC 于点D ，DE 是BC 的垂直平分线，E 为垂
足，求∠C 的度数。
B
6、 已知：∠ABC ，点D 在其内部，在AB 和AC 上分别作一点M 、N ，使DM=DN，且∠MDN
＝90°.
3
范文四：初一尺规作图题目及答案
题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a .
求作：线段AB ，使AB = a . 作法：
（1） 作射线AP ；
（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN.
求作：点O ，使MO=NO（即O 是MN 的中点）. 作法：
（１）分别以M 、N 为圆心，大于
的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ．
则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ 与ＭＮ有何关系？） （怎样作线段的垂直平分线？）
题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ，
求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法：
（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA ，OB 于M ，N ；
（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
题目四：作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）
题目五：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a ，b ，c.
求作：△ABC ，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法：
（1） 作线段AB = c；
（2） 以A 为圆心b 为半径作弧，
以B 为圆心a 为半径作弧与 前弧相交于C ； （3） 连接AC ，BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目六：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m ，n, ∠α.
求作：△ABC ，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. 作法：
（1） 作∠A=∠α；
（2） 在AB 上截取AB=m ,AC=n； （3） 连接BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β，线段m . 求作：△ABC ，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法：
（1） 作线段AB=m； （2） 在AB 的同旁
作∠A=∠α，作∠B=∠β，
∠A 与∠B 的另一边相交于C 。
则△ABC 就是所求作的图形（三角形）。
三角形全等证明循序渐进训练(可改变条件练习)
第一类：SSS
1. 如图所示，已知：AB=DE,BC=EF,AC=DF. △ ABC与△DEF 全等吗？请说明理由.
2. 如图所示，已知：AC=BD,BC=AD. △ ABC与△BAD 全等吗？请说明理由.
3. 如图所示，已知：AB=DE,BC=EF,AF=DC. △ ABC与△DEF 全等吗？请说明理由.
(请分别说出以上全等三角形的对应边，对应角.) 第二类：SAS
1. 如图所示，已知：AB=DE,BC=EF, ∠B=∠E. △ ABC与△DEF 全等吗？请说明理由.
2. 如图所示，已知：AB=AD,AC=AE. △ ABC与△ADE 全等吗？请说明理由.
4. 如图所示，已知：AO=C O,BO=DO,∠BOC=∠AOD. △ ABO与△CDO 全等吗？请说明理由.
第三类：ASA 与AAS
1. 如图所示，已知：O 是AC 的中点, AB∥DC . △ABO 与△CDO 全等吗？请用ASA 说明理由
2. 如上图所示，已知：O 是AC 的中点, AB∥DC . △ABO 与△CDO 全等吗？请用AAS 说明理由
第四类：HL
如图所示，已知：MO ⊥AB, MA=MB. △ MAO与△MBO 全等吗？ O 是AB 的中点吗？ 请说明理由.
综合练习
1. 如图所示，已知：O 是AC ，BD 的中点. AB 与DC 平行且相等吗？请说明理由
2. 如图所示，已知：AB=AD,AC=AE. △ BOE与△DOC 全等吗？请说明理由. △ ABO与△ADO 呢？
范文五：初一尺规作图题目练习
初一作图练习
班别: 学号: 姓名:
一、 尺规作图例题
题目一:作一条线段等于已知线段。 已知:如图，线段a .
求作:线段AB，使AB = a . 作法:
(1)作射线AP;
(2)在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。
题目二:作已知线段的中点。
已知:如图，线段MN.
求作:点O，使MO=NO(即O是MN的中点).
1MN作法:(,)分别以M、N为圆心，大于 2
的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q; (,)连接PQ交MN于O(
则点O就是所求作的,,的中点。
(试问:PQ与,,有何关系,)
(怎样作线段的垂直平分线,)
题目三:作已知角的角平分线。 已知:如图，?AOB，
求作:射线OP, 使?AOP,?BOP(即OP平分?AOB)。 作法:
(1)以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N;
1MN(2)分别以M、,为圆心，大于 2
的相同线段为半径画弧，两弧交?AOB内于,; 作射线OP。
则射线OP就是?AOB的角平分线。
题目四:作一个角等于已知角。
1
二、 作图练习
1、 如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺画一条线段，使它等于a+b(保留作图痕
迹，不要求写作法)
2、 如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺画一条线段，使它等于a+c-2b(保留作图
痕迹，不要求写作法)
2
3、如图，已知?， ,
(1)画一个?AOB=? ,
(2)画?AOB的补角
(3)画?AOB的角平分线OC
?AOC=60?35′，求?AOB的度数 (4)若
,
4、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东45?的方向爬行2.5cm，碰到障碍物(记做B)
后，折向北偏西60?的方向爬行3cm(此时的位置记作C)。 (1)画出蚂蚁爬行路线;
(2)用量角器量出?OBC的度数。(保留整数)
3
5、下图是由五块积木搭成的几何体，这5块积木都是棱长为1的正方体 (1)、请画出这个图形的主视图、左视图和俯视图。
(2)、求出这个几何体的表面积。
4
